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《幂函数》的教学设计与反思1.定义：幂函数指的是数学中一类特定的函数，一般写作y=x^n，其中x是自变量，n是幂函数的指数，如果是负数则其幂函数的曲线向反方向延伸，此时的函数图象与指数函数具有相同的性质。
2.性质：（1）当n为正整数时，曲线向正数方向延伸，且此时函数图象随x增大而增大，函数单调递增。
（2）当n为负整数时，曲线向负数方向延伸，且此时函数图象随x增大而减小，函数单调递减。
（3）当n为常数时，x^n的横坐标变化区间为[0,∞]，在x=0处发生变折，函数图象不存在交点，但曲线弯曲程度取决于常数n 的大小。
（4）指数函数的值域为[0,∞]，且函数的值域与其定义域无关。
3. 例题：（1）若y=x^2-2x+3，求y的最小值解：原式等价于y=(x-1)^2+2，令d=x-1，则y=d^2+2，此时当d=0时取得最小值，即y=2，故y的最小值为2。
（2）若y=3x^3+9x，求x=1时y的值解：当x=1时，y=3*1^3+9*1=12，故x=1时y的值为12。
二、《幂函数》教学实施及反思1.教材结构：教学内容：《幂函数》的定义、性质、例题。
教学视频：介绍了幂函数的定义及曲线形式，及它的四项性质，以及如何解决相应的例题。
2.实施过程：（1）首先，将定义及性质的概念讲解给学生听，同时提供实例进行案例分析，以加深学生对定义及性质的理解；（2）其次，展示教学视频，以形象化的方式描绘定义及性质，使学生更好地理解整个过程；（3）最后，给出实例题，让学生自己动手实践，进行实际的操作演练，以加深其对幂函数的掌握与运用能力。
3.学反思：《幂函数》这门课程具有一定的难度，且涉及多种概念及知识点。
教学过程中，我采取了将定义及性质的概念讲解、展示教学视频及给出实例题三步骤，努力帮助学生加深对《幂函数》的理解，使他们能够熟练掌握并运用《幂函数》的知识，总体过程中学生也积极参与，反馈积极。
不过在教学过程中也发现了一些问题，如学生的知识储备较少，缺乏系统认知，无法自主解决问题，部分学生存在学习动力不足等问题。
高中数学“幂函数”教学设计作者：***来源：《江苏教育·中学教学版》2024年第05期【关键词】高中数学；方法引领；教学设计；幂函数【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2024）19-0043-04【作者简介】杨玲玲，江苏省句容市第三中学（江苏句容，212400）教师，一级教师。
一、教学内容分析本节课的内容选自苏教版普通高中数学教材必修一第6章第1节，是第5章《函数》内容的延续和深化，也是函数思想方法应用的具体化。
学生在初中时已经接触过y = x，y = x2，y = x-1等函数，对这些函数有一定的认知基础和研究经验。
教学时，教师可以引导学生梳理已有经验，帮助学生学会从数和形两个角度来研究幂函数的性质。
这样的研究方式对后续内容的学习起着引领、指导和组织的作用，能够帮助学生建立研究函数模型的方法范式，从而实现数学知识和方法的自然延拓。
二、教学目标设置1.了解幂函数的概念，会画出y = x，y = x2，y = x3，y = x-1，y = x[12]等幂函数的图象；2.了解几个常见的幂函数的性质，会利用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数幂值的大小；3.经历探究幂函数图象与性质的过程，明确研究一类函数模型的基本方法，进一步体会数形结合、特殊与一般等数学思想，培养直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养。
三、学情分析1.学生已有的认知基础本节课的授课对象是江苏省四星级普通高中高一学生，在知识结构上，他们在初中时已经研究了一次函数、二次函数、反比例函数等初等函数，在高中又学习了函数的概念及简单性质，已经积累了研究函数的初步知识基础。
在经验方法上，他们经历了对y = x，y = x2，y = x-1等函数的初步学习，已经拥有了研究函数的基本经验，并具备一定的观察、分析、抽象、概括能力。
2.达成目标所需的认知基础在探究幂函数性质的过程中，需要学生对数形结合思想有较深刻的认识和理解，有较强的直观想象、逻辑推理能力和良好的独立思考、合作交流等学习习惯。
3.3幂函数教学设计教 学 过 程知 识师生活动 设计意图一、小测检验（检测上节课所学内容） 1.判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=x+1；（2）f （x ）=1x x2+。
2.已知函数)(x f 为奇函数，若1)(02++=>x x x f x 时，，则=)0(f ，)2(-f =参考答案：偶 奇 0，-7 二、新授课 （一）创设情景，引出课题 活动一、问题一：学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？ （二）预习课本，得出新知 活动二、问题二：阅读课本89-90页，思考并小组讨论完成以下问题1. 幂函数是如何定义的？2. 幂函数的解析式具有什么特点？3. 常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？知识点1．一般地,函数y=x α叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数.（三）结合函数、新知探究 活动三：在同一坐标系中画出函数y ＝x ，y ＝x ２，y ＝x ３，y ＝21x 和y ＝x －１的图象幂函数的性质教师展示题目，学生作答。
让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.学生独立完成，教师组织学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
学生自己列表描点画图回忆上节课所学知识点。
建立联系。
实际情景，激发学生兴趣阅读能力，数学抽象作图能力培养，数形结合，通过图像抽象出幂函数的性质，数学抽象体会数学的发展过程幂函数y=x y=x2y=x3y=y=x-1定义域R R R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞) R[0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上是增函数在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数在R上是增函数在[0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数公共点(1,1)活动四、问题三：1.五个函数都过那个点？2.哪些函数为奇函数？哪些函数为偶函数？有非奇非偶函数吗？3．单调性一致吗？哪个函数不一致？4.哪个函数的图像有界？活动五：完成下列例题1.教材91页例2.教材91页练习1，2活动五：教材91页练习3教师组织，学生口述，教师评价学生合作学习，讨论得出结论，教师组织教师引导，学生参与学生独立完成，教师组织展示学生独立完成，教师组织展示与评价总结归纳，数学的整体化，巩固训练数学抽象，发现问题能力的培养逻辑推理，用数学思维理解世界运算能力培养，数学应用逻辑推理能力，运算能力的训练，理解数学概念。
㊀㊀㊀１１１㊀㊀指向核心素养发展的高中数学结构化教学设计指向核心素养发展的高中数学结构化教学设计㊀㊀㊀ 以 幂函数 为例Һ高碧怡㊀张然然∗㊀（广东第二师范学院数学学院，广东㊀广州㊀５１０３０３）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学结构化教学旨在将零散的知识点进行模块化整合，帮助学生梳理数学知识结构，架构起良好的认知框架，形成结构化的学习方式，进而促进学生数学核心素养的发展．文章以 幂函数 为例展开结构化分析，从知识的萌芽点㊁新旧知识联系㊁新知探究㊁巩固练习和归纳概括五个环节，以及知识结构㊁认知结构㊁思想方法结构和教学过程结构四个维度展开讨论，探索能够促进学生数学核心素养发展的结构化教学设计基本框架．ʌ关键词ɔ数学核心素养；结构化教学；幂函数ʌ基金项目ɔ广东省教育科学规划课题 指向师范生教学能力发展的数学结构化教学策略构建 （项目编号２０２１ＧＸＪＫ３８０）；广东省本科高校教学质量与教学改革工程建设项目教学团队项目 数学教育课程教学团队 ．‘普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）“明确提出 优化课程结构 要求．由于教材编写的特点㊁教学课时的分散性以及固化思维的影响，不少高中课堂呈现出碎片化的特点，不利于学生对数学知识的整体认知和数学核心素养的发展．而结构化教学的核心是培养和发展学生的自主建构能力，以发展思维为导向，以数学学科知识为载体，最终落实培养学生数学核心素养的目标．一㊁数学学科结构体系简介数学具有其自身的结构体系，包括知识结构㊁认知结构㊁思想方法结构和数学知识教学的过程结构．其中，知识结构是数学知识按照其内容各要素之间的逻辑关系组织起来的整体结构．认知结构是学生在数学学习过程中系统性地整合数学知识结构，并反映在头脑中所形成的观念体系．思想方法结构是指以数学思想为核心，所包含的相互联系㊁转化与渗透的结构体系，它是数学结构中的内隐性结构．同类的数学知识有着相类似的教学过程，通过结构化的教学过程可以引导学生掌握一类知识的自主学习途径，将客观存在的数学知识结构内化为头脑中的认知结构．二㊁ 幂函数 结构化教学设计及分析（一）教材分析本节选自普通高中教科书数学必修第一册人教Ａ版第三章第三节，教材通过实际背景抽象出幂函数的概念并借助５个特殊幂函数图像，运用数形结合的方式研究幂函数的性质，总结出研究一类函数的基本路径，即背景 概念 图像 性质 应用．本节课蕴含由特殊到一般㊁数形结合㊁归纳的数学思想方法，凸显数学抽象㊁逻辑推理㊁直观想象和数学运算的数学核心素养．（二）教学目标１．通过对５个函数解析式的观察分析，感受幂函数概念的抽象过程，了解幂函数的概念，会表示幂函数，能够准确地描述幂函数的特征．２．经历ｙ＝ｘ，ｙ＝１ｘ，ｙ＝ｘ２，ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ３这５个幂函数图像和性质的探究过程，运用数形结合的研究方法，分析归纳幂函数的一般性质，体会幂函数图像随幂指数α变化的规律及幂指数对幂函数性质的影响．３．在建构幂函数的概念和探究其图像和性质的过程中，体会由特殊到一般㊁归纳㊁数形结合等数学思想方法，发展数学抽象㊁直观想象㊁逻辑推理和数学运算等数学核心素养．（三）教学重难点重点：了解幂函数的概念；分析归纳出幂函数的性质，掌握研究函数的一般路径．难点：作出ｙ＝ｘ和ｙ＝ｘ３的图像；根据５个特殊幂函数的图像和性质归纳出幂函数的一般性质．（四）教学过程１．重视数学知识结构，抓住知识的萌芽点以研究函数的一般路径以及幂的意义为出发点，构建起探究幂函数的脚手架，借助结构图串联零散的知识点．ʌ问题一ɔ请同学们尝试梳理出函数知识点的框架结构图．教师引导：可以从 是什么？ 函数是什么？怎么样？ 函数怎么表示㊁有什么性质这些角度进行梳理．㊀㊀㊀㊀１１２㊀师生活动：教师引导学生运用知识框架图回顾旧知，共同得出图１．图１㊀函数知识点框架结构图ʌ问题二ɔ在初中初步探究一次函数㊁反比例函数和二次函数时，采取了怎样的研究路径？ʌ问题三ɔ本节课认识一类新的函数 幂函数，何为幂函数？同学们你们还记得什么叫作 幂 吗？评析㊀设计复习环节，引导学生梳理与本节课相关的数学知识结构，抓住知识的萌芽点，从旧知出发建构新知，培养学生运用知识框架图串联零碎知识点的习惯，培养学生的结构意识，让学生在复习过程中感受数学知识的系统性．２．结合实例抽象概念，以旧知构建新知由于学生抽象思维的发展尚未完善，对于抽象的幂函数的概念存在一定的困难，教师可以借助实例归纳共性，以旧知为基础构建新知，降低学生的理解难度，激发学生对新知的求知欲．ʌ问题一ɔ完成以下填空，并判断等式中是否存在函数关系．（１）若张红以１元／千克的价格购买了某种蔬菜ω千克，则她需要支付的金额ρ与ω的关系式为；（２）若正方形的边长为ａ，则正方形的面积ｓ与边长ａ之间的关系式为；（３）若正方体的棱长为ｂ，则正方体的体积Ｖ与棱长ｂ之间的关系式为；（４）若一个正方形场地的面积为ｓ，则这个正方形的边长ｃ与面积ｓ的关系式为；（５）如果某人ｔｓ内骑车行进了１ｋｍ，那么他骑车的平均速度υ与时间ｔ之间的关系式为．ʌ问题二ɔ将上述５个函数解析式中的自变量和因变量分别用ｘ和ｙ表示，观察５个式子之间有哪些共同的特征？自变量所在的位置有何特点？归纳共同特征：（１）都具有幂的形式；（２）以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数，都形如ｙ＝ｘα的形式．幂函数概念：函数ｙ＝ｘα叫作幂函数，其中ｘ是自变量，α为常数．ʌ概念辨析ɔ判断下列函数是否为幂函数．（１）ｙ＝ｘ４；㊀㊀（２）ｙ＝２ｘ２；㊀㊀（３）ｙ＝２ｘ；（４）ｙ＝ｘ－２；（５）ｙ＝ｘ３＋２．评析㊀经历抽象幂函数概念的过程，从学生对 幂 的原有认知出发构建起幂函数的概念，感受数学知识之间的内在联系，体会由特殊到一般抽象函数概念的数学思想方法，初步感受数学知识内隐的数学思想方法结构体系，发展数学抽象和逻辑推理数学核心素养．３．借助信息技术深入探究性质，以 形 助 数 凸显教学过程结构探究幂函数的性质是本节课的难点，教师可以通过对直观图形的动态演示，引导学生更深入地剖析幂函数的性质．ʌ问题一ɔ运用什么路径研究幂函数？研究幂函数的哪些方面？师生活动：回顾初中研究函数的一般路径，得出图２．图２㊀幂函数研究路径图ʌ探究一ɔ在不同直角坐标系中分别作出前面５个幂函数的图像，结合函数解析式与图像观察并归纳幂函数的性质．教师引导：作图时要注意什么？能否借助前两节学习的内容简化作图步骤？评析㊀借助路径图（图２）回顾研究函数的一般路径，激活学生对函数知识的原有认知，在此基础上展开对幂函数图像和性质的探究，让学生感受探究函数的过程不是零散的，而是具有一定路径的，感受数学知识教学过程的结构性特征．在利用函数的基本性质简化幂函数的作图过程并借助图像分析归纳幂函数的性质的过程中，学生能体会数学知识之间的内在联系，内化知识结构，构建㊀㊀㊀１１３㊀㊀起对函数的良好认知框架，同时渗透数形结合和归纳的数学思想方法，发展直观想象和逻辑推理核心素养．ʌ探究二ɔ在同一平面直角坐标系中作出５个函数图像，观察图像，分析归纳幂函数的一般性质．教师引导：（１）在（０，１）内取更多的点作出函数图像，注意公共区域内图像相对位置的高低，观察不同函数在公共区域内的增长速率．（２）遵循从整体到局部的原则，从整体上，观察函数图像在整个直角坐标系上的分布特点；从局部上，观察５个函数图像在特定象限的分布特点，探究共性思路图（如图３）．图３㊀探究共性思路图ʌ问题二ɔ从函数图像在各象限的分布特点来看，它们有哪些共性？预设回答：５个幂函数在第一象限都有图像分布，在第四象限都没有图像分布，图像都经过（１，１）点．ʌ问题三ɔ函数的基本性质中，哪些反映函数的整体性质？哪些反映局部性质？ʌ追问一ɔ从函数的奇偶性看，存在哪些共性？从函数的单调性看，存在哪些共性？ʌ追问二ɔ幂函数在（０，＋ɕ）上的单调性与函数解析式存在怎样的联系？师生活动：动态演示改变常数α的值时幂函数图像的变化趋势，引导学生观察图像总结特性：当α＞０时，幂函数在（０，＋ɕ）上单调递增；当α＜０时，幂函数在（０，＋ɕ）上单调递减．ʌ问题四ɔ除了上述结论，你还能从动态演示中发现哪些特点？当α＞０时，随着α的增大，函数图像有什么变化？α＜０呢？评析㊀借助信息技术直观展示５个函数图像分布及图像随α变化的趋势，遵循从整体到局部的原则对幂函数的图像进行观察，给予学生探究幂函数共性的方向，运用知识结构框架图梳理探究幂函数性质的一般思路，为今后研究其他函数的性质提供思路，感受数学知识学习相类似的过程结构．学生按照从整体到局部的原则抓住知识之间的关联点，构建新知，架构起完整的知识结构，促进良好认知结构的形成，发展学生直观想象和逻辑推理核心素养．４．以 数 辅 形 ，强化认知结构上述教学过程主要从 形 的角度展开对幂函数的探究，接下来教师通过例题及课后习题，引导学生从 数 的角度探究幂函数的性质，并检验学生对本节课知识的掌握程度．例题：证明幂函数ｆ（ｘ）＝ｘ是增函数．教师引导：我们既从 形 的角度也从 数 的角度探究了函数的基本性质，那么从 数 的角度如何证明函数的单调性？运用定义法证明函数的单调性分为几步走？如何判断ｘ１－ｘ２的符号？ʌ课堂练习ɔ１．已知幂函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像过点（２，２），求这个函数的解析式．２．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（１）（－１．５）３，（－１．４）３；（２）１－１．５，１－１．４．评析㊀通过例题引导学生借助研究函数基本性质的学习经验，在从 形 的角度研究幂函数性质的基础上，过渡到从 数 的角度运用演绎证明的方式进一步探究幂函数的性质，体会运用数形结合研究一类函数性质的思想方法，发展逻辑推理和数学运算核心素养．５．归纳概括，优化认知结构ʌ问题一ɔ本节课主要学习了哪些内容？运用了哪些数学思想方法？ʌ问题二ɔ研究一类新函数的一般思路是什么？评析㊀以问题的形式引导学生回顾本节课的主要内容㊁研究思路和方法，并借助知识结构图梳理出本节课的知识框架㊁蕴含的数学思想方法，帮助学生搭建本节课的知识框架，掌握研究一类函数的一般路径，体会研究函数的过程结构，促使学生在头脑中形成对函数的良好认知结构，逐步形成结构化的学习方式．结㊀语幂函数 的教学旨在帮助学生掌握探究函数的一般路径及思路，形成结构化的学习方式，发展数学核心素养．指向数学核心素养发展的结构化教学要求教师不断革新教育理念，从学生的实际学情出发，站在宏观的角度统整数学知识，善于借助信息技术突破难点，把数学核心素养培养落实到课堂教学的各个环节．ʌ参考文献ɔ［１］朱俊华，吴玉国．基于单元整体的小学数学结构化教学［Ｊ］．中小学教师培训，２０１９（９）：６０－６３．［２］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０２０．［３］洪梦，吴立宝．指向 四个理解 的幂函数教学设计研究［Ｊ］．中学数学研究，２０２０（１０）：１－５．。
《幂函数》教案目标：1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．重点：常见幂函数的概念、图象和性质；教学难点：幂函数的单调性及其应用．教学方法：采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．教学过程：一、问题情境情境：我们以前学过这样的函数：＝x，＝x2，＝x1，试作出它们的图象，并观察其性质．问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？二、数学建构1．幂函数的定义：一般的我们把形如＝x(R)的'函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数是常数．2．幂函数＝x 图象的分布与的关系：对任意的 R，＝x在第I象限中必有图象；若＝x为偶函数，则＝x在第II象限中必有图象；若＝x为奇函数，则＝x在第III象限中必有图象；对任意的 R，＝x的图象都不会出现在第VI象限中．3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：（1）定点：＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；≤0时，图象过只过定点(1，1)．（2）单调性：＞0时，在区间[0，＋)上是单调递增；＜0时，在区间(0，＋)上是单调递减．三、数学运用例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝．例2 比较下列各题中两个值的大小．（1）1.50.5与1.70.5 （2）3.141与π1（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）3 与2例3 幂函数＝x；＝xn；＝x1与＝x在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数，n与常数－1，0，1的大小关系．练习：（1）下列函数：①＝0.2x；②＝x0.2；③＝x3；④＝3x2．其中是幂函数的有（写出所有幂函数的序号）．（2）函数的定义域是．（3）已知函数，当a＝时，f(x)为正比例函数；当a＝时，f(x)为反比例函数；当a＝时，f(x)为二次函数；当a＝时，f(x)为幂函数．（4）若a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数按从小到大的顺序排列为．四、要点归纳与方法小结1．幂函数的概念、图象和性质；2．幂值的大小比较方法．五、作业课本P90-2，4，6．高中数学幂函数教案设计篇二教学目标1. 知识目标：(1)了解幂函数的概念；(2)会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；(3)了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。
让核心素养在数学课堂悄然生长——“幕函数”教学设计与思考广东省惠州市东江高级中学《普通高中数学课程标准（2017年）》指出了数学学科核心素养，并将数学学科核心素养作为数学课程的重要目标，在课程目标、课程内容、学业质量等方面都对数学学科核心素养提出了具体要求.这些要求最终要落实到教学中去，这就要求教师在确定教学目标，进行教学设计时，关注数学学科核心素养.而在具体教学中，利用信息技术可以创设丰富的教学情境,可以帮助学生自主探究和解决问题，可以将一些抽象的数学内容通过直观演示变得直观可视等.下面以幕函数为例，谈谈如何借助TI图形计算器进行教学设计，让核心素养在数学课堂中悄然生长.1•教学目标1.1理解幕函数的概念，会研究常见幕函数的性质，并能根据函数性质作出其大致图像；1.2在無函数的性质与图像的探究过程中，感悟数形结合、从特殊到一般、化归等数学思想.在生生互动和师生互动中，进一步增强发现和提出问题、分析和解决问题的能力；1.3在無函数的教学过程中，使得逻辑推理、直观想象、数学运算、数学抽象等数学核心素养在更髙水平上得到提升.2.教学重难点教学重点:幕函数y=为常数）作图以及性质的探究.教学难点：归纳幕函数的性质.设计意图：本节课是第二章第2.3节第1课时的内容•無函数作为重要的函数模型，是学生在高中阶段系统学习了函数的性质后，第一次全面研究的某一类函数.本节课在学生已经掌握函数的一般性质和几个简单函数的基础上，引出幕函数的概念，研究几个典型幕函数的图像与性质.一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，另一方面也为今后进一步熟悉函数的性质和作用、研究指函数和（516000）李旭冯祖琨对数函数的性质打下坚实的基础.同时，结合新高考的要求，以及数学改革的方向，要在教学的过程中，体现并融入核心素养.因此，本文在教学设计时，借助TI图形计算器，进行合理的教学设计，让数学核心素养在课堂中悄然生长.3.教学过程3.1情境创设问题1请写出下列函数的解析式：①如果某人购买了每千克1元的蔬菜“千克，那么他需要付的钱数P（元）关于购买的蔬菜量"（千克）的函数解析式为________■②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S 关于a的函数解析式为________•③如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V 关于a的函数解析式为________■④如果正方形的面积为S,那么正方形的边长a 关于S的函数解析式_________•⑤如果某人力内骑车行进了吒m,那么他骑车的速度v^km/s）关于t的函数解析式为_________•生1函数的解析式分别是p=w,s=a,v= a,a=s2,v=t1.设计意图:从旧知到新知,这样的引入显得十分自然，学生感受到幕函数来自于生活顺利地建立了新、旧知识之间的联系，增强数学的应用性和趣味性.问题2如果将上述函数解析式左侧的因变量改成y,右侧的自变量改成％，请仔细观察得到的函数解析式，它们具有什么共同特征?是指数函数吗？生2：新得到的函数的解析式分别是y=x,y= x,y=x,y=,y=x~\其共同特征是:①幕的形式且系数为1;②幕的底数是自变量巧③幕的指数是常数.设计意图:从特殊到一般,将实际问题转化为数学问题，同时，统一自变量与因变量之后，让学生更能直观地感知幕函数解析式的共同特征，达到锻炼学生的观察能力与概括能力的目的.体现数学的核心素养逻辑推理和数学建模.3.2概念引入师：经过以上的分析，我们把形如y=屮（a为常数）的函数叫作幕函数，其中力是自变量,a是常数.问题3你能说出無函数y=%"（a为常数）与指数函数y=a"（a>0且a M1）有什么区别吗？生3：这两个函数的自变量的位置与常数的位置是颠倒过来的.设计意图：针对学生容易将幕函数和指数函数混淆的情况，组织学生对两类函数的解析式进行对比，从而达到强化记忆的目的.随堂练习：⑴在函数y=-y,y=2异,y=%+Xx,y=1中，哪几个函数是幕函数？（2）已知無函数y =/（%）的图像过点（2,Q）,试求这个函数的解析式.3.3新知探究问题4研究函数一般从哪些方面着手？类比之前研究指数函数、对数函数的方法你准备怎样研究幕函数？生4：研究函数一般从其定义域、值域、奇偶性与单调性等方面着手，考虑借助幕函数的图像研究幕函数的性质.师：按照从特殊到一般的原则，我们首先研究五个具有代表意义的無函数•请用TI图形计算器在同—平面直角坐标系中作出下列函数y=x,y=x,y =x,y=x1,y=x~A的图像.引导学生类比之前研究指数函数与对数函数的思路，去研究無函数的图像与性质，并强化数形结合的意识.生：用TI图形计算器作图图1问题5根据上述图像的特征，填写下面的表格（生5回答,教师板书）：y=%y=%2y-x y=y=久J 定义域R R R[0,+8){x1x Q\值域R[0,+8)R[0,+8)!y1y0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性R上增(-8,0)减R(0,+8)增(-8,0)减(0,+8)增上增(0,+8)减师：从上表可以看出，幕函数随着幕指数的取值不同，它们的图像和性质存在着较大的差异，下面就请同学们通过观察上述函数的图像来探寻幕函数的一些共性，我们来看以下5个问题:定义域、值域、单调性、奇偶性、公共点.问题6幕函数图像过定点及象限的情况？图2生6：通过TI图形计算器，改变a的取值（如图2）发现幕函数y=力“（a为常数）过定点（1,1）,不一定过点（0,0）；幕函数图像过第一象限，不过第四象限.师：能利用幕函数的解析式解释其中的原因吗？生7：因1“=1,因此幕函数过定点（1,1）;当％>0时，护>0,因此無函数图像过第一象限.问题7無函数在区间（0,+8）上的单调性如何？生8：借助图形计算器作出5个具有代表性的幕函数在第一象限内的图像,通过图3观察a>0时，幕函数y=%"在（0,+8）上是增函数;a<0时，無函数y=屮在（0,+8）上是减函数.师:a=0呢？另，通过幕函数在区间（0,+8）上的单调性，你能判断幕函数在区间（-8,0）上的单调性吗？生9：当a=0时，幕函数变为y=/=1(%# 0),此时无单调性.当a M0时，判断幕函数在区间(-8,0)上的单调性借助函数的奇偶性判断即可.师：通过5个具有代表性的幕函数，我们猜想了無函数的单调性与a之间的关系，能否借助图形计算器进行验证呢？生10：通过TI图形计算器,分别在a>0与^ < 0范围内改变a的取值得到一般性规律(如图4).图4问题8：当a>0时,幕函数y=%"在(0,+8)上的图像的高低与指数的变化有何关系？图5生11:观察图5可知，当％>1时，戏>x>x> 0；当0<%<1时，疋<%2<x<x2.问题9幕函数y=x a(x e(0,+8)),a> 1与a<1的图像有何不同？>1时，無函数y=%"的图像向下凸出；当0<a< 1时,無函数y=x a的图像向上凸出.问题10y=%"(a<0)在(0,+8)递减，图像特征又如何呢？生13：观察图7可知：当a<0时，幕函数y=护在第一象限的图像向上与y轴无限接近，向右与力轴无限接近.图7设计意图：问题串建构教学更容易让学生参与其中，更容易理解•课堂教学中，“自然的过程”来源于数学知识发生发展过程和学生认知过程的融合，具体表现为对数学概念、原理的不断归纳和概括的过程”，而实现这种“自然的过程”的关键，是提出恰到好处的问题和设计精细的过程.4.课堂例题例1已知y=(m2+2m-2)x m'~1+2“-3是幕函数，求m,”的值.例2比较下列各题中两个值的大小：(1)2.3,2.4;(2)(Q)洛，(仔■66(3)(-0.31)了,0.35匚例3已知m w(0,1),令a=log m2,6=m2, c=2",那么a,b,c之间的大小关系为().A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b思考:数学教学过程是数学活动的过程,也是数学思维活动的过程.学生“动起来”是产生数学思维活动的关键，而学生活动的驱动力就来源于问题•教师采用了问题串的形式展开教学，更有利于知识的理解和记忆，也能增强学生学习数学的参与性和趣味性.同时，借助TI图形计算器，数形结合，更有利于知识的理解;幕函数性质的获得难以一步到位，教学活动借助问题串层层推进，一步步揭开幕函数的神秘面纱•根据学生认知规律的螺旋上升安排教学内容——从观察整个图象找幕函数性质，缩小到第一象限找规律，层层递进，给学生提供反复认识的机会，符合学生的认知规律.知识的产生、方法的由来从学生头脑里自然而然的流淌出来.这样的设计能够使学生产生“其言皆若出于吾口，其意皆若出于吾心”的感觉，最终达到教学内容自然生成的目的.学生的数学核心素养，并非孤立的，而是相互依存、相互促进的•数学建模素养的培养，可以有效带动数据分析、逻辑推理、数学抽象和数学运算等素养的综合提升•核心素养的培养，是一个循序渐进的“慢工程”，任重而道远.关注学生知识理解与迁移程度是一个切实可行的抓手，以此来发展学生的数学核心素养，能够让数学核心素养这一抽象概念在数学课堂落地生根.参考文献[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2017.[2]罗风云.课堂不是给予，而是唤醒-----“需函数”的教学与反思[J].数学教学通讯,2018(10):11-13.[3]龚亮亮.用好的问题串建构课堂教学一以“需函数”教学为例[J],上海中学数学,2018(3)：31-32.[4]孙孜.关注知识理解与迁移,发展数学核心素养一“需函数”的设计与思考[J].中国数学教育•高中版,2019,1 -2,88-93.基于“怎样解题表”的数学教学设计——以一道函数综合题为例南京航空航天大学苏州附属中学(215000)吴双民—、问题提出《普通高中数学课程标准(2017年)》指出：教师要努力提升教学设计和实施能力，把握数学知识的本质、理解其中的教育价值，把握教学中的难点，理解学生认知的特征;在此基础上，探索通过什么样的途径能够引发学生思考，让学生在掌握知识技能的同时，感悟知识的本质，实现教育价值.，在数学教学过程中，学生不可避免地会碰到一些难以下手的题目，或是对概念理解不透彻，或是题目本身难度较大，学生对题意理解困难较大，这时候教师应该在充分理解知识本质的同时,根据学生的实际情况，设计符合学生认知规律的教学方案，从学生的思维起点出发，在学生困惑处重点讲解，并及时反思小结，理清知识之间的关联,使学生能够融会贯通，掌握知识的本质.著名数学教育家G.波利亚在《怎样解题》中提出解题的四个步骤:理解题目；拟定方案;执行方案；反思•“理解题目”是弄清楚题目中的已经条件有哪些，要解决什么问题;“拟定方案”是寻找解题思路,找出已知数据和未知量之间的联系，是关键步骤;“执行方案”是将之前的解题思路付诸实践；“回顾”是检查已经得到的解答，反思还有不同的方法吗？能在别的题目中利用这个结果或者方法吗？为了有效引导学生掌握解题的正确方法，笔者引用波利亚的“怎样解题表”，以一道函数综合题为例，探索合理的教学设计，深入剖析解题思路，启发学生思考，培养学生的思维能力.二、试题分析题目已知函数/'(%)=弓,g(%)=ax-2inx-a(a e R,e为自然对数的底数).(1)求/&)的极值；(2)若在区间(0,e]上，对于任意的％0,总存在两个不同的x1,x2,使得g(衍) =g(%2)=/(%),求Q的取值范围.该题目来自2016年徐州三模卷，涉及到的知识点是导数在研究函数中的应用，函数与方程，均为B 级要求•本题已知条件给定两个函数，其中/(%)是已知函数,g(%)中的参数a是未知函数•第一小问求/(%)的极值，是常规题，考察利用导数研究函数的极值；第二小问考察g&)的图象，方程g&)= /(%)有两个不同的解，转化为直线y=仁(0<k< 1)与函数g仏)的图象有两个不同的交点，有一定的难度•考察学生分析问题和解决问题的能力，对数形结合，分类讨论，转化与化归等数学思想方法的理解和掌握.三、教学设计。
幂函数教案：数学思维的培养与提高无论是在教育还是在生活中，数学都是重要的一门学科，而幂函数作为数学中的重要内容，对于学生的数学思维的提高和培养有着不可或缺的作用。
因此，在数学老师的教学过程中，如果能够合理地安排幂函数的教学内容，将会对学生的数学学习产生积极的影响。
本文就幂函的教学内容及其对于学生数学思维的提高和培养进行探讨。
一、幂函数的教学内容幂函数又叫多项式函数，指的是形如y=x^a（a为常数）的函数。
在数学学习中，幂函数通常在高一数学学习中进行教学，主要内容包括：1.幂函数的概念及性质。
幂函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性、对称轴等性质都是不可或缺的内容。
2.幂函数的图像。
让学生自行完成各个参数的图像绘制，再让学生从图像的角度来理解和记忆不同参数的函数性质。
3.幂函数的图形变换。
了解平移、伸缩、翻转等基本图形变换方式，并且让学生自己观察图像的变化来理解不同的幂函数公式的表达形式。
4.幂函数的应用。
幂函数在解决实际问题和数学建模中有着非常广泛的应用，如在物理、经济、生物、环境等领域中都有应用。
教师可以列举多个实际例子，让学生更好地理解该函数在生活中的应用。
二、幂函数教学对学生数学思维的培养和提高幂函数的教学不仅仅涉及具体的概念、公式、绘制图像等基础内容，也包括对学生数学思维的培养和提高。
具体的表现在以下几个方面。
1.启发性学习。
幂函数教学注重启发学生的思维，引导学生自己发现知识和规律，让学生在解决问题时能够独立思考，并自行探索实际问题背后的数学规律。
2.数学语言的塑造。
在幂函数教学中，教师需要引导学生学习并掌握数学的专业语言。
学生在学习中需了解并掌握幂函数的专业术语及其含义，为学生对于数学语言的理解及应用打好基础。
3.数学思维的培养。
在幂函数教学中，学生能够通过多角度去理解数学知识，从而促进学生的数学思维的培养。
同时，由于每一个学生对于数学的理解是不同的，幂函数教学可以激发学生在自己的学习方法上进行创新，不断培养其自主学习和探索问题的意识。
幂函数教学设计及反思一．教学目标1.知识技能：了解幂函数定义，掌握一些常见幂函数的图像及性质和一般幂函数第一象限内图像特点2.过程与方法：通过形式来定义幂函数，比较幂函数和指数函数得出其特有的形式特点，观察图像归纳总结出其函数性质，数形结合找规律3.情感、态度和价值观：函数图像直接反应函数性质，同样由函数性质也能大致画出其图像，对图像与性质之间的关系进行探索体会二．重难点重点：幂函数的定义，常见幂函数的图像和性质，一般幂函数第一象限的大致图像再利用其性质得到整体图像难点：其一般的性质分析，再由性质得到一般图像三．教学方法和用具方法：归纳总结，数形结合，分析验证用具：幻灯片，几何画板，黑板四．教学过程（幻灯片见附件）1.设置问题情境，找出所得函数的共同形式，由形式给出幂函数的定义（幻灯片1幻灯片2）（板书）2.从形式上比较指数函数和幂函数的异同（幻灯片3）3.利用定义的形式，判断所给函数是否是幂函数，并得出判断依据（幻灯片4）4.画常见的三种幂函数的图像，再让学生用描点法画另两种，并用几何画板验证（幻灯片5）（几何画板）5.用几何画板画出这五个幂函数的图像，观察图像完成书中幂函数的函数性质的表格，并分析得出更一般的结论（板书）（几何画板）6.直观观察五个幂函数的图像，寻求第一象限幂函数图像的大致走向（幻灯片6）7.任意给出几个幂函数，利用所得规律直接画出第一象限图像，再利用其定义域，奇偶性画出整体大致图像，并用几何画板验证（板书）（几何画板）8.例题1比较幂值大小（幻灯片7）例题2利用幂函数定义和性质（幻灯片8）例题3证明具体一个幂函数的增减性（幻灯片9）9.小结（幻灯片10）五．教学反思1.要注意课堂上学生的反应，老师要迅速对其作出判断。
例如：判断y=x2+x是不是幂函数，学生说不是，因为它是二次函数。
这时老师就应该迅速反应，要反驳学生，二次函数y=x2也是幂函数。
2.教学中多次用到几何画板画图或验证，有时过多使得课堂时间不够，有时又显得有些多余。
从幂函数的三种教学设计看数学核心素养的落实从幂函数的三种教学设计看数学核心素养的落实 1一次函数的教学设计课件教材分析本节课是人民教育出版社八年级数学《第十四章一次函数》2．本节核《14.2一次函数》的第一课时。
函数是初中数学学习的重要内容，二正比例函数是最简单的函数。
通过学习正比例函数，培养学生利用函数解决生活中的实际问题，培养学生的函数思想；通过画正比例函数图像，培养学生的动手画图能力，数形结合的数学思想，通过函数图像研究正比例函数的性质，这些都是初中函数学习是主要目标，也是数学教学的重要目标。
学情分析一、 1、由用描点法画函数图象的认识，学生能接受一次函数的图像是直线，结合“两点确定一条直线”，学生画出一次函数图象。
二、 2、根据学生抽象归纳能力较差，学习直线y=kx+b(k、b 是常数，k≠0)常数k和b的取值对于直线的位置的影响有难度。
所以教学中应尽可能多的让学生动手操作，突出图像变化特征的.探索过程，自主探索出其规律。
3.抓住初中生的心理特点，用直观生动的形象来引起学生的兴趣，吸引他们的注意力；另一方面，积极创造条件和机会，让学生发表自己的意见，充分发挥他们的学习主动性。
教学目标一、知识技能目标：1、理解直线y=kx+b与y=kx之间的位置关系。
2、两点法”画出一次函数的图象。
3、掌握一次函数的性质。
二、过程与方法目标：1、通过操作、观察，培养学生动手和归纳的能力。
2、结合具体情境向学生渗透数形结合的数学思想。
三、情感目标：1.通过动手操作，一次观察和探索函数的特征，体验数学研究和发现的过程，逐步培养学生在教学活动中主动探索的意识和合作交流的习惯。
2.让学生通过直观感知和动手操作，体验和体会规律形成的过程。
教学重点和难点重点：用“两点法”画出一次函数的图象是研究一次函数的性质的基础，是本节课的重点。
难点：直线y=kx+b（k、b是常数，k≠0）常数k和b的取值对于直线的位置的影响，是本节课的难点。
从幂函数的三种教学设计看数学核心素养的落实 2教学目标1通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图象和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力。
2.使学生理解和掌握幂函数的图像和性质，并初步应用所学知识解决相关问题，培养学生的灵活思维能力。
培养学生的观察、分析、归纳能力。
理解类比在研究问题中的作用。
教学重点、难点重点：幂函数的性质及运用难点：幂函数图象和性质的发现过程教学方法：问题探究法教具：多媒体教学过程一、创设情景，引入新课问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系?(总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数)问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里s是a的函数。
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积 ,这里v是a的函数。
问题4：如果正方形场地面积为s，那么正方形的边长 ,这里a是s的函数问题5：如果某人s内骑车行进了 km，那么他骑车的速度，这里v是t的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?(右边指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢?(变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式)(适当引导：从自变量所处的位置这个角度)(引入新课，书写课题)二、新课讲解由学生讨论，(教师可提示p=w可看成p=w1)总结，即可得出：p=w, s=a2, a=s , v=t-1都是自变量的若干次幂的形式。
教师指出：我们把这样的都是自变量的若干次幂的形式的函数称为幂函数。
幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数(power function)，其中是自变量，是常数。
1幂函数与指数函数有什么区别?(组织学生回顾指数函数的概念) 结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数例1判别下列函数中有几个幂函数?① y= ②y=2x2 ③y=x ④y=x2+x ⑤y=-x3 ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ (由学生独立思考、回答)2幂函数具有哪些性质?研究函数应该是哪些方面的内容。
前面指数函数、对数函数研究了哪些内容?(学生讨论，教师引导。
学生回答。
)3幂函数的定义域是否与对数函数、指数函数一样，具有相同的定义域?(学生小组讨论，得到结论。
引导学生举例研究。
结论：幂指数不同，定义域并不完全相同，应区别对待。
)教师指出：幂函数y=xn中，当n=0时，其表达式y=x0=1;定义域为(-∞，0)u(0，+∞)，特别强调，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图象是从点(0,1)出发，平行于x轴的两条射线，但点(0,1)要除外。
)例2写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：①y=x②y= ③y=x ④y=x(学生回答并总结解决方案。
引导学生用指数函数和对数函数进行比较。
引导学生具体问题具体分析，简单总结:分数指标要变成根的形式，负指标写成正指标再写成定义域。
幂函数的奇偶性也要具体分析。
)4上述函数①y=x ②y= ③y=x ④y=x 的单调性如何?如何判断?(学生思考，引导作图可得。
并加上y=x 和y=x-1图象)接下来，在同一坐标系中学生作图，教师巡视。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示。
见后附图1让学生观察图象，看单调性、以及还有哪些共同点?(学生思考，回答。
教师注意学生叙述的严密性。
)教师总评：幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1),(2)如果a>0，则幂函数的图象通过原点，并在区间[0，+∞)上是增函数，(3)如果a5通过观察例1，在幂函数y=xa中，当a是(1)正偶数、(2)正奇数时，这一类函数有哪种性质?学生思考，教师讲评：(1)在幂函数y=xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。
(2)在幂函数y=xa中，当a是正奇数时，函数都是奇函数，在第一象限内是增函数。
例3巩固练习写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性和单调性：①y=x ②y=x ③y=x 。
例4简单应用1：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：①0.75 ，0.76 ;②(-0.95) ，(-0.96) ;③0.23 ，0.24 ;④0.31 ，0.31例5简单应用2：幂函数y=(m -3m-3)x 在区间上是减函数，求m的值。
例6简单应用2：已知(a+1)课堂小结今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获和经验?1.幂函数概念与其指数函数表达式的区别2。
常见幂函数的图像和幂函数的性质。
布置作业：课本p.73 2、3、4、思考5从幂函数的三种教学设计看数学核心素养的落实 3一、教材分析集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容.本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力.函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从运算转向了关系.函数是高中数学的核心内容，是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些.函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系.用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点.反过来，通过这些内容的学习，加深了对函数思想的认识.函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终.高中数学课程中，函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数，在必修四将学习三角函数.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.二、学情分析1.学生的作业与试卷部分缺失，导致易错问题分析不全面.通过布置易错点分析的任务，让学生意识到保留资料的重要性.2.学生学基本功较扎实，学习态度较端正，有一定的自主学习能力.但是没有养成及时复习的习惯，有些内容已经淡忘.通过自主梳理知识，让学生感受复习的必要性，培养学生良好的复习习惯.3.在研究例4时，对分类的情况研究的不全面.为了突破这个难点，应用几何画板制作了课件，给学生形象、直观的感知，体会二次函数对称轴与所给的区间的位置关系是解决这类问题的关键.三、设计思路本节课新课中渗透的理念是：“强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性”.在本节课的学习过程中，教师没有把梳理好的知识展示给学生，而是让学生自己进行知识的梳理.一方让学生体会到知识网络化的必要性，另一方面希望学生养成知识梳理的习惯.在本节课中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参与，整个教学过程尊重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题.通过自主分析、交流合作，从而进行有机建构，解决问题，改变学生模仿式的学习方式.在教学过程中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想.在教学过程中通过恰当的应用信息技术，从而突破难点.四、教学目标分析(一)知识与技能1.了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，集合的基本运算.a：能从集合间的运算分析出集合的基本关系.b：对于分类讨论问题，能区分取交还是取并.2.理解函数的定义，掌握函数的基本性质，会运用函数的图象理解和研究函数的性质.a：会用定义证明函数的单调性、奇偶性.b：会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系.(二)过程与方法1.通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化.2.在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合与函数的本质.(三)情感态度与价值观在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的信心.在例4的解答过程中，渗透动静结合的思想，让学生养成理性思维的品质.五、重难点分析重点：掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问题.难点：含参问题的讨论，函数性质之间的关系.六.知识梳理(约10分钟)从幂函数的三种教学设计看数学核心素养的落实 4一、教学内容解析1.教材内容及地位本节课是北师大版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等;在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.2.教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.3.教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.二、学生学情分析1.教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2.教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.三、课堂教学目标1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.3.通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量.4.引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力.四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象;二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1.指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性;然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4.在“学以致用”阶段.首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践.五、教学过程(一)创设情境，引入课题实例科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线.请你根据曲线图说说气温的变化情况?预设：学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时间段气温的升降变化(若学生没指明时间段，可追问)等.图象在某区间上(从左往右)“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质──单调性(板书课题).设计说明：从科考情境导入新课，了解“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候，直观形象感知气温变化，自然引入函数的单调性.函数是描述事物变化规律的数学模型.如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应实物的变化规律.在事物变化过程中，保存不变的特征就是这个事物的性质.因此，研究函数的变化规律是非常有意义的.问题1：观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么变化趋势?设计说明：学生回答时可能会漏掉“在某区间上”，规范表达“函数在哪个区间上具有怎样的单调性”.借此强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函数的局部性质.设函数的定义域为，区间.在区间上，若函数的图象(从左向右)总是上升的，即随的增大而增大，则称函数在区间上是递增的，区间称为函数的单调增区间(学生类比定义“递减”，接着推出下图，让学生准确回答单调性.)设计说明：从图象直观感知到文字描述，完成对函数单调性的第一次认知.明确相关概念，准确表述单调性.学生认为单调性的知识似乎够用了，为下面的认知冲突做好铺垫.(二)引导探索，生成概念问题2：(1)下图是函数的图象(以为例)，它在定义域r上是递增的吗?(2)函数在区间上有何单调性?预设：学生会不置可否，或者凭感觉猜测，可追问判定依据.设计说明：函数图象虽然直观，但是缺乏精确性，必须结合函数解析式;但仅凭解析式常常也难以判断其单调性.借此认知冲突，让学生意识到学习符号化定义的必要性.自然开始探索.问题3：(1)如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“随的增大而增大”?以二次函数在区间上的单调性为例，用几何画板动画演示“随的增大而增大”，生成表格(每一秒生成一对数据).设计说明：先借助图形、动画和表格等直观感受“随的增大而增大”，然后让学生思考、讨论得出，若，则必须有.(2)已知，若有.能保证函数在区间上递增吗?拖动“拖动点”改变函数在区间上的图象，可以递增，可以先增后减，也可以先减后增.(3)已知，若有，能保证函数在区间上递增吗?拖动“拖动点”，观察函数在区间上的图象变化.设计说明：先让学生讨论交流、举反例，然后借助几何画板动态说明验证两个定点不能确定函数的单调性，三个点也不行，无数个点行不行呢?引导学生过渡到符号化表示，呈现知识的自然生成.(4)已知，若有能保证函数在区间上递增吗?设计说明：可先请持赞同观点的同学说明理由，再请持反对意见的学生画出反驳，然后追问：无数个也不能保证函数递增，那该怎么办呢?若学生回答全部取完或任取，追问“总不能一个一个验证吧?”紧接着师生一起回顾子集的概念(ppt展示教材上子集的定义)，再次体验对“任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会用“任意”来处理“无限”的数学思想.问题4：如何用数学语言准确刻画函数在区间上递增呢?预设：请学生自愿尝试概括定义.板书“任意，当时，都有，则称函数在区间上递增”，则突出关键词“任意”和“都有”;若缺少关键词“任取”或“任意”，则追问“验证两个点就能保证函数在区间上递增吗?”.问题5：请你试着用数学语言定义函数在区间上是递减的.预设：为表达准确规范，要求学生先写下来，然后展示.并有意引导使用“任意，当时，都有，则称函数在区间上递减”，以此打破必须“”的思维定式.(三)学以致用，理解感悟判断题：你认为下列说法是否正确，请说明理由.(举例或者画图)(1)设函数的定义域为，若对任意，都有，则在区间上递增;(2)设函数的定义域为r，若对任意，且，都有，则是递增的;(3)反比例函数的单调递减区间是.设计说明：让学生分组讨论，然后进行展示性回答.若学生认为正确，则要求说明理由;若学生认为错误，则要求学生到黑板上画出反例(题(3)可追问怎么修改).通过构造反例，逐步完善和加深对函数单调性的理解.例题：判断并证明函数的单调性.设计说明：对照定义板书示范，指明变形的目的是变出因式等，并让学生提炼证明的基本步骤.练习：证明函数的单调性：(1)在上递减;(2)在上递增.设计说明：回答“问题2”悬而未决的问题.先请两位学生板演，然后由其他学生完善步骤.思考题：物理学中的玻意耳定律(为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大.试用函数的单调性证明.设计说明：引导学生用数学知识解释其他学科的规律，培养学生应用数学的意识和能力.(四)回顾反思，深化认识课堂小结：通过本节课的学习，你的主要收获有哪些?(关键词：三种语言，证明方法，数学思想，情感体验等.)设计说明：先给出问题，要求学生自主小结，再推出引导性关键词，使得总结简明、到位、拔高.(五)布置作业课堂作业：(1)第38页习题2-3 a组：3，5;(2)判断并证明函数的单调性.探究题：向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多糖水越甜.请你运用所学的数学知识解释这一现象.设计说明：课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法，完善对“对勾函数”的认识.探究题是为培养学生运用数学的意识(从地理情境开始，中间解答物理定律，最后以化学实验结束)，感受数学的实用性和人文性.(六)板书设计函数的单调性递增：(板书定义)递减：(学生类比)例题(提炼步骤，明确变形方向)练习(学生板演)六、教后反思反思“三个理解”的理解程度、教学策略和落实情况等.从幂函数的三种教学设计看数学核心素养的落实 5教学目标①理解一次函数与一元一次方程的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解问题.②学习用函数的观点看待方程的方法,初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.③经历方程与函数关系问题的探究过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想.教学重点与难点重点：一次函数与一元一次方程的关系的理解.难点：一次函数与一元一次方程的关系的理解.教学设计导语前面我们学习了一次函数.实际上,一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应,互相依存.它与我们七年级学过的一元一次方程,一元一次不等式,二元一次方程组有着必然的联系.这节课开始,我们就学着用函数的观点去看待方程(组)与不等式,并充分利用函数图象的直观性,形象地看待方程(组)不等式的求解问题.这是我们学习数学的一种很好的思想方法.注:点明学习本节内容的必要性：(1)函数与方程、方程组、不等式有着必然的联系；(2)用函数的观点看待方程、方程组、不等式是我们学数学应该掌握的思想方法.给学生一个本节内容的大致框架.引入新课我们先来看下面的两个问题有什么关系：(1)解方程2x+20=0.(2)当自变量为何值时,函数y=2x+20的值为零?问题：①对于2x+20=0和y=2x+20,从形式上看,有什么相同和不同的地方?②从问题本质上看,(1)和(2)有什么关系?③作出直线y=2x+20(建议课前作出,以免影响本节课主题),看看(1)与(2)是怎么样的一种关系?注:用具体问题作对比,帮助学生理解.在学生议论的基础上,教师结合教科书38页揭示：(1)与(2)实际上是同一个问题.探讨归纳从前面的讨论我们可以看到：一个一元一次方程的求解问题,可以与解某个相应的一次函数问题相一致.你认为在一般情况下,怎样的解一元一次方程问题与怎样的一次函数问题是同一的?学生小组讨论(鼓励学生用自己的语言说明为什么同一?图象上怎么看?函数方程形式上怎么看?)师生共同归纳(教科书39页)(略)让学生在探究过程中理解两个问题的同一性.练习巩固。
