二元函数taylor展开

关于二元函数可微性的判定二元函数可微性是微积分学中一个重要的概念，对于判断一个二元函数是否可微有着很大的指导作用。

在实际应用中，我们经常需要判断一个二元函数在某一点是否可微，这对于求极值、判断函数的性质等都是至关重要的。

那么，如何判定一个二元函数在某一点是否可微呢？本文将在这方面进行介绍和分析。

我们来回顾一下二元函数的可微性的定义。

对于一个二元函数f(x, y)，在点(x0, y0)处可微的定义为：存在A、B，使得f(x0+Δx,y0+Δy)=f(x0,y0)+AΔx+BΔy+o(√(Δx^2+Δy^2))o(√(Δx^2+Δy^2))表示当(Δx, Δy)趋于0时，o(√(Δx^2+Δy^2))/√(Δx^2+Δy^2)→0。

接下来，我们将介绍几种常见的二元函数可微性的判定方法：一、偏导数存在且连续对于一个二元函数f(x, y)，如果在点(x0, y0)处的偏导数fx(x0, y0)和fy(x0, y0)都存在且连续，那么此函数在点(x0, y0)处可微。

这是二元函数可微性最为常见的判定方法之一。

我们知道，偏导数的存在表示函数在这一点可导，而偏导数的连续则保证了函数在这一点的导数存在且连续，从而满足了可微的条件。

举个例子：对于二元函数f(x, y) = x^2 + y^2，在点(1, 2)处的偏导数分别为fx(1, 2) = 2x = 2和fy(1, 2) = 2y = 4，在点(1, 2)处偏导数存在且连续，因此函数在点(1, 2)处可微。

三、Taylor公式Taylor公式是另一种判定二元函数可微性的方法。

对于一个二元函数f(x, y)，如果在点(x0, y0)附近可以展开成Taylor级数，并且满足f(x0+Δx,y0+Δy)=f(x0,y0)+AΔx+BΔy+o(√(Δx^2+Δy^2))，则函数在点(x0, y0)处可微。

Taylor公式的展开不仅可以判断函数在某一点的可微性，还可以用于函数的逼近和数值计算等方面。

§10.4 二元函数的泰勒公式一.高阶偏导数二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数xz ∂∂，yz ∂∂ 仍是x 与y 的二元函数。

若他们存在关于x 和y 的偏导数，即x∂∂（xz ∂∂），y∂∂（xz ∂∂），x∂∂（yz ∂∂），y∂∂（yz ∂∂）.称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个。

通常将x∂∂（xz ∂∂）记为22xz ∂∂或''xx f ),(y x .y∂∂（x z ∂∂）记为y x z ∂∂∂2或''xy f ),(y x . (混合偏导数)x ∂∂（y z ∂∂）记为x y x ∂∂∂2或''yx f ),(y x . (混合偏导数)y∂∂（yz ∂∂）记为22yz ∂∂或''yy f ),(y x .一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有2n个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号kk n nyxz ∂∂∂-或 )(n yxkkn f -),(y x表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1 求函数332233++-=xyy x y x z 的二阶偏导数.解 xz ∂∂=23263y xy y x +-，yz ∂∂=xy x y x 233223+-.22xz ∂∂=y xy663-.y x z ∂∂∂2=y x y x 26922+-.x y z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. (yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2)22yz ∂∂=x y x 263+.例2 证明：若u=r1,r=222)()()(c z b y a x -+-+-,则22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=0.证明 由§10.3例2，有xu ∂∂=3ra x --，yu ∂∂=3rb y --，zu ∂∂=3rc z --.22xu ∂∂=6233)(rxr ra x r∂∂---(xr ∂∂=ra x -)=6233)(rra x ra x r----=31r-+53r2)(a x -.同样，可得22yu ∂∂=31r-+53r2)(b y -,22zu ∂∂=31r-+53r2)(c z -于是，22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=31r-53r+])()()[(222c z b y a x -+-+-=33r-+33r=0.由例1看到，yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2，即二阶混合偏导数（先对x 后对y 和先对y 后对x ）与求导的顺序无关。

泰勒公式及其应用许文锋华南师范大学数学科学学院信息与计算科学专业 2007级6班指导老师：谢骊玲中文摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在高等数学、数值分析、数值最优化理论、其他非数学领域等应用,其中包括利用泰勒公式求近似值、证明积分、不等式、求行列式等高等数学问题；在数值分析问题上面主要讨论了泰勒公式在数值微积分及微分方程数值解上的应用；在最优化问题上面，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用.关键词：泰勒公式，高等数学，数值分析，数值最优化，应用Taylor Formula and its ApplicationXu WenFeng（Grade 07,Class 6, Major in Information and Computing Science,School ofMathematics,South China Normal University)Tutor:Xie LiLingAbstractThis paper briefly introduces the proof of Taylor and its derivation. And we discuss the application of Taylor formula in detail in some fields such as advanced mathematics, numerical analysis, numerical optimization theory and other applications in some non—mathematical fields ,including using Taylor formula to solve some advanced mathematical problems such as approximation, proof of integral, inequality, solution of determinant etc. In numerical analysis we mainly discuss the applications of Taylor formula in numerical differentiation and numerical integration.As for numerical optimization ，we discuss the applications of Taylor formula in theoretical proof and algorithm design.Keyword ： Taylor formula, advanced mathematics, numerical analysis, numerical optimization, applications一、前言对于某些函数，如果我们要求其在某一点上的值，有时是无法通过直接计算得到的.在学习了导数和微分概念时我们已经知道，如果函数f在0x 点可导，则)())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο，即在点x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为)(0x x-的高阶无穷小.然而在通常的场合中，取一次的多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，因此我们提出了用一个多项式去逼近一个函数，泰勒公式就是满足上述逼近性质的多项式.泰勒公式尤其在一些近似计算和数值方法上发挥着举足轻重的作用.本文分为三部分，第一部分是给出了本文所需要用的定理和推论；第二部分是一元泰勒公式的推导和证明以及多元泰勒公式的介绍；第三部分是通过多个实例介绍泰勒公式的应用，包括在高等数学和数值计算方面的应用。

二元函数求极限的通用方法与技巧在数学中，我们经常会遇到二元函数求极限的问题。

二元函数是指含有两个自变量的函数，而求极限则是要求在某个点上函数的值趋于无穷或趋于某个确定的值。

本文将介绍二元函数求极限的通用方法与技巧，帮助读者更好地理解和解决这类问题。

一、基本性质首先，我们需要了解二元函数求极限的基本性质。

对于二元函数f(x, y)，如果在点P(a, b)的某个邻域内，f(x, y)的值趋于L，则称L为f(x, y)在点P(a, b)处的极限，记作lim[f(x, y)] = L, (x, y)→(a, b)。

二、分别求限法对于一些特殊的二元函数，我们可以通过将其中一个自变量固定，然后求另一个自变量趋于某个确定的常数，从而得到二元函数的极限。

1. 水平线法对于形如f(x, y) = F(x)的二元函数，我们可以先将其中一个变量固定，对另一个变量求极限。

例如，对于f(x, y) = x^2 + y，我们可以将y固定为某个常数c，然后对x进行求极限，即求lim[x^2 + c]。

通过求解这个一元函数的极限，我们可以得到f(x, y)的极限。

2. 垂直线法类似的，当二元函数f(x, y)中含有一个x和一个y的系数，且此系数仅与其中一个变量相关时，我们可以先固定一个自变量，再对另一个自变量进行求极限。

例如，对于f(x, y) = (x^2 + 2xy)/(3x)，我们可以将x固定为某个常数c，然后对y进行求极限，即求lim[(c^2 +2cy)/(3c)]。

三、使用一元函数的性质除了分别求限法外，我们还可以使用一元函数的性质来求解二元函数的极限。

1. 夹逼定理对于形如g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y)的二元函数，如果lim[g(x, y)] =lim[h(x, y)] = L，那么我们可以推断lim[f(x, y)] = L。

2. 代数运算法则对于一组二元函数f(x, y)和g(x, y)，如果lim[f(x, y)] = L1，lim[g(x, y)] = L2，则我们可以利用代数运算法则求解f(x, y)和g(x, y)的和、差、乘积和商的极限。

§10.4. 二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二元函数),(y x f z =的两个（一阶）偏导数yzx z ∂∂∂∂,仍是x 与y 的二元函数.若它们存在关于x 和y 的偏导数，即.,;,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z y z y z x z x z y z x z x z 称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个.通常将它们表为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x z 表为 22xz∂∂ 或 ).,(y x f xx'' ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂x z y z 表为y x z ∂∂∂2 或 ).,(y x f xy '' （混合偏导数） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂y z x z 表为 x y z ∂∂∂2 或 ).,(y x f yx'' （混合偏导数） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂y z y z 表为 22yz ∂∂ 或 ).,(y x f yy'' 一般地，二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有n 2个.二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如，符号k k n n yx z∂∂∂- 或),()(y x f n y x k k n -表示二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数，其次接着对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1. 求函数 332233++-=xy y x y x z 的二阶偏导数.解：.233.63223232xy x y x yzy xy y x x z+-=∂∂+-=∂∂ .66322y xy xz-=∂∂.269222y x y x x y z +-=∂∂∂ .269222y x y x y x z +-=∂∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂=∂∂∂x y z y x z 22 .26322x y x yz+=∂∂例2. 证明：若,)()()(,1222c z b y a x r ru -+-+-==则.0222222=∂∂+∂∂+∂∂z uy u x u证明： 由§10.3.例2，有.,,333rcz z u rby y u ra x x u --=∂∂--=∂∂--=∂∂623223)(r x rr a x r x u∂∂---=∂∂ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂r a x x r 6233)(r r ax r a x r ----=.)(31253a x r r -+-=同样，可得.)(31,)(312532225322c z rr z u b y r r y u -+-=∂∂-+-=∂∂ 于是，])()()[(3322253222222c z b y a x r r z u y u x u -+-+-+-=∂∂+∂∂+∂∂.03333=+-=rr定理1. 若函数),(y x f 在点),(00y x P 的邻域G 存在二阶混合偏导数),(y x f xy''与),(y x f yx''，并且它们在点),(00y x P 连续，则),(),(0000y x f y x f yx xy''='' )1(证明 令),(y x F ∆∆[]),(),(0000y x x f y y x x f ∆+-∆+∆+= []),(),(0000y x f y y x f -∆+-，①令),(),()(00y x f y y x f x -∆+=φ.对)(x φ在],[00x x x ∆+上应用拉格朗日中值定理,得 x x x y x F ∆∆+'=∆∆)(),(10θφ[]x y x x f y y x x f x x ∆∆+'-∆+∆+'=),(),(010010θθ y x y y x x f xy∆∆∆+∆+''=),(2010θθ； ②令),(),()(00y x f y x x f y -∆+=ψ.同样方法可以得到y x x y x x f y x F yx∆∆∆+∆+''=∆∆),(),(4030θθ.于是有 =∆+∆+''),(2010y y x x f xyθθ),(4030x y x x f yx ∆+∆+''θθ. 令0,0→∆→∆y x ,取极限得(1)式.例3. 证明：若,sin ,cos ),,(ϕρϕρ===y x y x f z 则.11222222222ρρϕρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ff f y f x f 证明：ρρρ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y y f x x f f .sin cos ϕϕy fxf ∂∂+∂∂=ϕϕϕ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y y f x x f f .cos sin ϕρϕρyfx f ∂∂+∂∂-= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ϕϕρρρρsin cos 22y fx f f f f f .sin cos sin cos sin cos 22222222ϕϕϕϕϕϕy f x y f y x f x f ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ϕρϕρϕϕϕϕcos sin 22y f x f f f f f ϕρϕϕρϕρcos cos sin sin 222222x f y x f xf ∂∂-∂∂∂-∂∂=.sin cos cos sin 222222ϕρϕρϕϕρy fyf x y f ∂∂-∂∂+∂∂∂-于是，)cos (sin )sin (cos 112222222222222ϕϕϕϕρρϕρρ+∂∂++∂∂=∂∂+∂∂+∂∂y f x f f f f ρϕρϕρϕρϕsin cos sin cos y f x f y f x f ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-.2222yf x f ∂∂+∂∂= 即 .11222222222ρρϕρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ff f y f x f★说明：定理1的结果可推广到n 元函数的高阶混合偏导数上去.例如，三元函数),,(z y x f 关于z y x ,,的三阶偏导数按照不同的顺序共有六个：.,,,,,333333xy z fyx z fyz x fxz y fzx y fzy x f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 若它们在点),,(z y x 都连续，则它们相等.若二元函数),(y x f 所有的混合高阶偏导数都连续，则偏导数（亦称一阶偏导数）有二个，二阶偏导数只有三个)(yx xyf f ''=''，三阶偏导数只有四个.一般情况，n 阶偏导数只有1+n 个.二、二元函数的泰勒公式讨论二元函数泰勒公式的方法是：作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数.应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式.为了将二元函数),(y x f 在点),(k b h a Q ++的函数值),(k b h a f ++在点),(b a P 展成泰勒公式，作辅助函数,10),,()(≤≤++=t kt b ht a f t ϕ即 .10,,),,()(≤≤+=+==t kt b y ht a x y x f t ϕ显然，).,()1(,1);,()0(,0k b h a f t b a f t ++====ϕϕ于是，函数),(k b h a f ++在点),(b a P 展成的泰勒公式就是一元函数)(t ϕ在点0的泰勒公式（即麦克劳林公式）在1=t 的值.定理2. 若函数),(y x f 在点),(b a P 的邻域G 存在n+1阶连续的偏导数，则G k b h a Q ∈++∀),(，有+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=++),(!21),(!11),(),(2b a f y k x h b a f y k x h b a f k b h a f ,10),,()!1(1),(!11<<++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++θθθk b h a f y k x h n b a f y k x h n n n（4）其中符号),(b a f y x l i⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂表示偏导数l i l i y x f ∂∂∂+在),(b a P 的值， ),(),(0b a f y x k h C b a f y k x h i m i m im i mi i m m--=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∑.（4）式称为二元函数),(y x f 在),(b a P 的泰勒公式.在泰勒公式（4）中，令0,0==b a ，就得到二元函数),(y x f 的麦克劳林公式（将h 与k 分别用x 与y 表示）：+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=)0,0(!21)0,0(!11)0,0(),(2f y y x x f y y x x f y x f 10),,()!1(1)0,0(!11<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++θθθy x f y x x n f y y x x n n n（5）在泰勒公式（4）中，当0=n 时，有k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x ),(),(),(),(θθθθ++'+++'+=++，或10,),(),(),(),(<<++'+++'=-++θθθθθk k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x .（6）（6）式二元函数中值定理的另一种形式，这里只有一个θ.在泰勒公式（4）中，当1=n 时，有k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x ),(),(),(),(θθθθ++'+++'=-++)7(.10},),(),(2),({2122<<++''+++''+++''+θθθθθθθk k b h a f hk k b h a f h k b h a f yyxy xx例4. 将函数y x e y x f +=),(展成麦克劳林公式.解： 函数y x e y x f +=),(在2R 存在任意阶连续偏导数，且1)0,0(,=∂∂∂=∂∂∂+++f yx e y x flm lm y x l m l m ， m 与l 是任意非负整数.由公式（5），有.10,)()!1(1)(!1)(!21)(1)(12<<++++++++++=+++θθy x n n y x e y x n y x n y x y x e三、二元函数的极值1. 极值点的定义定义 设函数(,)f x y 在点(,)P a b 的邻域G 有定义.若(,)a h b k G ∀++∈，有(,)(,)((,)(,))f a h b k f a b f a h b k f a b ++≤++≥，则称(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点（极小点）.极大点（极小点）的函数值(,)f a b 称为函数(,)f x y 的极大值（极小值）.极大点与极小点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.例如，点(1,2)是函数22(,)(1)(2)1f x y x y =-+--的极小点，极小值是(1,2)1f =-.事实上，(,)x y ∀，有22(1)(2)0x y -+-≥， 于是 (,)(1,2).f x y f ≥2. 极值点的必要条件定理3. 若函数(,)f x y 在点(,)P a b 存在两个偏导数，且(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点，则(,)0x f a b '= 与 (,)0y f a b '=.证明：已知(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点，即x a =是一元函数(,)f x b 的极值.根据一元函数极值的必要条件，a 是一元函数(,)f x b 的稳定点，即(,)0x f a b '=. 同法可证， (,)0y f a b '=.方程组 (,)0,(,)0,x yf x y f x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 的解（坐标平面上某些点）称为函数(,)f x y 的稳定点.★定理3指出，可微函数(,)f x y 的极值点一定是稳定点.反之，稳定点不一定是极值点.例如，函数（双面抛物面） 22(,)f x y x y =-. 2,2.x y f x f y ''==-显然，点(0,0)是函数22(,)f x y x y =-的稳定点.但点(0,0)并不是函数22(,)f x y x y =-的极值点.3. 极值点的充分条件定理4. 设函数(,)f x y 有稳定点(,)P a b ，且在点(,)P a b 的邻域G 存在二阶连续偏导数.令 (,),(,),(,).xxxyyyA f a bB f a bC f a b ''''''=== 2.B AC ∆=-1）若0∆<，则(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点：（ⅰ）0(A >或C>0)，(,)P a b 是函数(,)f x y 的极小点. （ⅱ）0(A <或C<0)，(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点. 2）若0∆>，则(,)P a b 不是函数(,)f x y 的极值点.注：当判别式0∆=时，稳定点(,)P a b 可能是函数(,)f x y 的极值点，也可能不是函数(,)f x y 的极值点.例如，函数2222222123(,)(),(,)(),(,).f x y x y f x y x y f x y x y =+=-+=不难验证，(0,0)P 是每个函数唯一的稳定点，且在稳定点(0,0)P 每个函数的判别式20B AC ∆=-=.显然，稳定点(0,0)P 是函数2221(,)()f x y x y =+的极小点；是函数2222(,)()f x y x y =-+的极大点；却不是函数23(,)f x y x y =的极值点.求可微函数f(x,y)的极值点的步骤：1）求偏导数，解方程组(,)0,(,)0,x yf x y f x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩求稳定点.设其中一个稳定点是(,)P a b .2）求二阶偏导数，写出2(,)(,)(,).xy xxyy f x y f x y f x y ''''''⎡⎤-⎣⎦ 3）将稳定点(,)P a b 的坐标代入上式，得判别式2(,)(,)(,).xy xxyy f a b f a b f a b ''''''⎡⎤∆=-⎣⎦ 再由∆的符号，根据下表判定(,)P a b 是否是极值点：例6. 求函数333z x y xy =+-的极值. 解： 解方程组22(,)320,(,)330.x yf x y x y f x y y x '⎧=-=⎪⎨'=-=⎪⎩ 解得两个稳定点（0，0）与（1，1）.求二阶偏导数(,)6,(,)3,(,)6.xxxyyyf x y x f x y f x y y ''''''==-= 2[(,)](,)(,)936.xyxx yy f x y f x y f x y xy ''''''-=- 在点(0,0),90,(0,0)∆=>不是函数的极值点.在点(1,1),270,∆=-<且60,(1,1)A =>是函数的极小点，极小值是 33(1,1)(3)1x y xy +-=-.4. 二元函数f （x ，y ）在实际问题中的最大、最小值一般来说，求函数(,)f x y 在D 的边界上的最大（小）值是很困难的.但是，在很多实际问题，根据问题的实际意义，函数(,)f x y 的最大（小）值必在区域D （D 可以是无界区域）内某点P 取得，又函数(,)f x y 在D 内只有一个稳定点P ，那么函数(,)f x y 必在这个稳定点P 取得最大（小）值.例7. 用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱，问怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板.解： 设水箱长、宽、高分别是,,x y z .已知xyz V =，从而高Vz xy=.水箱表面的面积11(22)2VS xy x y xy V xy x y ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， S 的定义域{}(,)0,0D x y x y =<<+∞<<+∞.这个问题就是求函数S 在区域D 内的最小值.解方程组22221220,1220.S V y V y x x x S V x V x y y y ⎧∂⎛⎫=+-=-= ⎪⎪∂⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂⎪=+-=-= ⎪⎪∂⎝⎭⎩在区域D内解得唯一稳定点.求二阶偏导数2234,S Vx x∂=∂ 21S x y ∂=∂∂， 2234S V y y ∂=∂. 222222233161S S S V x y x yx y ⎛⎫∂∂∂-⋅=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭.在稳定点，30∆=-<，且20A =>，从而，稳定点是S 的极小点.因此，函数S在点取最小值.当x y ==z ==即无盖长方形水箱2x y z ===，所需钢板最省. 例8. 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形. 解：设三角形的三个边长分别是,,x y z .面积是ϕ.由海伦公式，有ϕ= （8）已知22x y z p z p x y ++==--或，将它代入（8）式之中，有ϕ=因为三角形的每边是正数而且小于半周长p ，所以ϕ的定义域 {}(,)0,0,D x y x p y p x y p =<<<<+>.已知ϕ的稳定点与2p ϕ的稳定点相同.为计算方便，求2()()()p x p y x y p pϕψ==--+-的稳定点.解方程组(,)()()()()()(22)0.(,)()(_()()()(22)0.x y x y p y x y p p x p y p y p x y x y p x x y p p x p y p x p y x ψψ'=--+-+--⎧⎪=---=⎪⎨'=--+-+--⎪⎪=---=⎩在区域D 内有唯一稳定点22,33p p ⎛⎫⎪⎝⎭.求二阶偏导数 (,)2(),(,)2()3,xxxy x y p y x y x y p ψψ''''=--=+- (,)2().yy x y p x ψ''=--2222[(,)](,)(,)444885.xy xx yy x y x y x y x xy y px py p ψψψ''''''-=++--+在稳定点22,33p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，220,033p A p ∆=-<=-<.从而，稳定点22,33p p ⎛⎫⎪⎝⎭是函数ψ，即ϕ的极大点.由题意，ϕ在稳定点22,33p p ⎛⎫⎪⎝⎭必取到最大值.当23p x =，23p y =时，223pz p x y =--=，即三角形三边长的和为定数时，等边三角形的面积最大.。

成人高考专升本《高等数学二》公式大全一、极限与连续部分：1.无穷小量的性质：(1)一般性质：C*ε=ε；A*ε/A=ε,A≠0；(2)无穷小量与有界函数的乘积：∞Δ；(常值项与无穷小量的乘积为无穷小量)(3)无穷小量相加：ε±ε=ε；(4)无穷小量的逆无穷大量：ε*∞=1；1/∞=0；2.等价无穷小量：(1)正当论证的基本等式；(2)等价无穷小量的性质；(3)等价无穷小量性质的推广；3.无穷大量和有界函数的乘积：(1)∞*k=∞，这里k为常数，正数或负数；(2)∞*ε=未定，ε是无穷小量；(3)∞+∞=∞；4.函数极限的性质：(1)唯一性；(2)迫敛性；(3)局部有界性；(4)四则运算的极限运算；(5)局部变量性；5.极限计算的基本方法：(1)利用极限的四则运算与连续运算法则；(2)替换法；(3)无穷小量比较法与等价无穷小法；(4)用变量代换法；(5)分类讨论法。

二、多元函数部分：1.高阶偏导数的计算：(1)双层微商（交换／不交换次序）；(2)高阶偏导数计算；2.隐函数与参数方程求导：(1)隐函数的求导方法；(2)参数方程求导法；(3)参数曲线求切线；3.方向导数与梯度：(1)方向导数的定义与计算公式；(2)梯度的定义与计算公式；(3)平面上的切线与法线；4. 多元函数Taylor公式：(1) 二元函数Taylor展开式；(2) n元函数Taylor展开式。

三、重积分部分：1.二次型的积分：(1)四个标准型；(2)标准型积分公式；2.三重积分的计算：(1)直角坐标系下三重积分；(2)柱面坐标系下的三重积分；(3)球面坐标系下的三重积分；3.曲线坐标系下的重积分：(1)平面曲线的弧长度；(2)空间曲线的弧长度；4.曲面积分：(1)曲面积分的定义与性质；(2)曲面积分的计算方法；(3)双曲面、抛物面、椭球面的曲面积分。

四、级数部分：1.数项级数的概念与性质：(1)常项／变项数列、等比数列等；(2)数项级数的概念与性质；2.正项级数的审敛方法：(1)比较审敛法；(2)极限审敛法；(3)高阶无穷小说审敛法；(4)定积分判别法；(5)莱布尼茨判别法；3.幂级数的收敛域：(1)收敛域的概念；(2)幂级数的收敛域；(3)幂级数在收敛域上的连续性；4.幂级数的运算：(1)幂级数的运算公式；(2)幂级数的逐项积分与逐项导数。

关于二元函数可微性的判定二元函数可微性的判定是微积分中的一个重要概念，它涉及到函数在某一点处的连续性和导数存在性的问题。

在实际问题中，对于二元函数的可微性判定不仅能够帮助我们更好地理解函数在某一点的性质，还能够应用到各种领域，例如物理、经济、工程等。

本文将围绕二元函数可微性的判定展开讨论，从定义、性质和判定方法等方面进行详细分析，希望通过本文的阐述，读者能够对二元函数可微性有一个更深入的理解。

一、二元函数可微性的定义在讨论二元函数可微性的判定之前，我们首先需要了解二元函数可微性的定义。

一般来说，对于一个二元函数而言，如果它在某一点处存在一阶偏导数，并且这些偏导数在该点处连续，那么我们就可以称这个二元函数在该点处可微。

具体来说，对于二元函数z=f(x,y)，如果在点P(x0,y0)附近，对于Δx和Δy的任意小的变化，都有：Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)≈AΔx+BΔy其中A和B均为常数，那么函数在点P(x0,y0)处可微。

这就是二元函数可微性的定义。

二、二元函数可微性的性质了解了二元函数可微性的定义之后，我们来看一下二元函数可微性的性质。

对于一个可微函数而言，它有以下几个性质：1. 在可微点处函数连续2. 可微函数的偏导数存在3. 可微函数在某一点沿任意方向的方向导数存在一个可微函数在可微点处一定是连续的。

这是因为函数在可微点处的局部性质良好，所以函数在该点处也是连续的。

可微函数的偏导数存在。

这是因为函数在可微点处存在一阶偏导数，而一阶偏导数的存在是可微性的前提条件。

可微函数具有上述性质，这些性质也是判定二元函数可微性的重要依据。

三、二元函数可微性的判定方法对于二元函数可微性的判定，一般来说有以下几种方法：1. 利用偏导数的定义进行判定2. 利用全微分的存在性进行判定3. 利用雅可比矩阵进行判定这三种方法都是判定二元函数可微性的重要手段，下面我们分别来介绍一下这三种方法。

首先是利用偏导数的定义进行判定。

二元函数的泰勒公式在微分方程定性理论分析中的应用李祖雄（重庆三峡学院数学与统计学院，重庆市万州区404120）摘要：泰勒公式是数学分析课程中的一个重要内容，它被广泛应用于数学、物理学的研究领域。

本文介绍二元函数的泰勒公式在微分方程的平衡点的稳定性、Hopf 分支、时滞微分方程等的定性理论分析中的应用。

关键词：泰勒公式；平衡点的稳定性；Hopf 分支；时滞微分方程泰勒公式是18世纪早期著名的英国数学家泰勒（Brook Taylor ）创立，它将函数展开无穷级数的形式，泰勒公式开创了有限差分理论。

泰勒公式在求函数的极限、求函数的极值、广义积分的敛散性、函数的近似计算、误差估计、重积分的近似计算、物理学等有着极为广泛的应用。

本文仅介绍二元函数的泰勒公式在平衡点的稳定性、Hopf 分支分析、时滞微分方程稳定性分析中的应用。

1二元函数的泰勒公式在这里我们给出泰勒公式：定理1［1］（泰勒公式）若(,)f x y 在点00(,)x y 的邻域00((,),)U x y r =O 上有1k +阶的连续偏导数，则对于邻域U 内的每一点00(,)x x y y +D +D 都有称为佩亚诺余项。

泰勒公式的应用很广泛，这里仅给出几个在微分方程定性分析中的应用。

2平衡点的稳定性作者简介：李祖雄（1972-），男，湖南张家界人，博士，副教授。

三峡高教研究Sanxia Higher Education Researches 2020年6月Jun.2020第2期总第56期No.2Sum No.56三峡高教研究总第56期设00(,)x y 是此系统的平衡点,(,)P x y ,(,)Q x y 是解析函数.令00,,x x y y x h =-=-应用泰勒公式将右端函数在00(,)x y 处展开可得其中1100120021002200(,),(,),(,),(,),x y x y a P x y a P x y a Q x y a Q x y ====110012002200(,),(,),(,),xx xy yy p P x y p P x y p P x y ===110012002200(,),(,),(,),.xx xy yy q Q x yq Q x y q Q x y === 这样关于(,)x h 的微分方程以原点为平衡点.舍去系统中的非线性项可得原系统在平衡点00(,)x y 处的线性近似方程通过对此线性近似系统的系数矩阵11122122a a A a a æö=ç÷èø的特征值的各种情况进行讨论可得系统平衡点00(,)x y 的稳定性.3Hopf 分支分析本节仅给出例题中应用到泰勒公式的部分，其他部分计算略去。