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(10.3.17)
5.3.5 多模光纤的模数量
由截止特征方程
Jm 1 (U ) Jm 1 (U c) 0
在Uc=V较大时，利用贝塞耳函数的渐近公式
Jm (U ) U 2 U co U s 4 (m 2 )
将特征方U 程c写 为 4(m 21 )n 2
当V较大时，上式近似为
Uc
(2nm) V 2
K a
r) cos(m 1)
Km1(Wa
r) cos(m 1) e
jz
5.5.7
利用芯层与包层的界面上电磁场的边界条件：
E z1 E z2
E y1 E y 2 （弱波导近似）
将（5.3.4）和（5.3.6）代入边界条件，和近似条件n1=n2，可 得特征方程：
U J m1(U ) W Km1(W )
周时，场量将出现2m个极大值和2m个零点。
在半径方向，纤芯中的场按 沿半径方向取极值的个数。
J
m
(U a
r)
的规律分布，n反映了场量
例：LP01 Ey , Hx 沿角方向不变化，呈轴对称分布 在场半量径最方大向 值场，量随近r 增似加按，Jm场(2量.4a单05调r)下分降布，，在在r=ar=趋0于时零，
LP02
半径方向场量近似按Jm
(5.520r) a
分布
在 r=0场量最大值,在r=2.405 a /5.520=0.436 a 趋于零
在0.436 a < r < a范围，场量出现另一极大值。
一些线偏振模场量的幅值沿半径方向的分布
2. 截止参数
W 0
利用小宗量渐近公式
截止时的特征方程：
UJm 1(U)WKm 1(W ) W 0 0 Jm(U) Km(W )
5.3.1 线偏振模场解及特征方程
线偏振模满足的标量波动方程：
( t2k2n22)Ey0
在柱坐标系下求解方程，可得
E y1
A J m (U
)
J
m
U a
r sin
m e jz
（5.3.4）
E y2
B K m (W
)
K
m
W a
r sin
m e jz
H x1
An 1 Z 0 J m (U
)
J
m
U a
r cos
m e jz
（5.3.5）
H x2
Bn 2 Z 0 K m (W
)
K
m
W a
r cos
m e jz
其中，Z0为介质的波阻抗
Et Ht
Ex Hx
Zc
Z0 n
和
Ez1
jAU 2k0a n1Jm (U )
Jm1
(U a
r)sin(m
1)
U Jm1( a
r)sin(m
1)e
jz
Ez2
jBW 2k0a n2 Km (W )
Km1(
K a
r) sin(m 1)
Km1(Wa
r) sin(m 1) e
jz
5.5.6
Hz1
jAU 2k0a Z0 Jm (U )
Jm1(Ua
r)
cos(m 1)
Jm1(Ua
r)
cos(m
1)e
jz
Hz2
jBW 2k0a n2 Km (W )
Km1(
j
0H z
H y x
H x y
j
Ez
H z y
j H
y
j
Ex
j H x
H z x
j
Ey
E z y
j E y j
0H x
j E
x
E z x
j
0H y
H z
1 j
E y 0 x
E0,Ey,Ez
H
y
1
H
x
1
2E y
0 xy
0
2E y 2x
对满足上式的m、n取整数，可得到截止的模式序号。
例：m = 0， n 可取最大值 n = V /
n = 1， m可取最大值 m = 2V / -2
以m和n为横、纵坐标轴，作一条直线，如图
三角形区域的节点数表示传导模数，节点数近似等于三角形的 面积，即
12V 2V2V 22V
一对确定的mn值，LP模是四重简并，总的传播模数量为
（1）m=0
U Jm 1(U ) U J1(U ) W K 1(W ) W 0 0 Jm (U ) J0(U ) K 0(W )
UcJ1(Uc)0
U0 J1(Uc)0 c
J1(Uc)0
m=0, Uc=Vc=0 ～ LP01 J1(Vc)=0, 3.83, 7.01, … ～ LP02, LP03
HE1n LP0n HE2n TE0n LP1n HE2n TM0n LP1n HEm1,n EHm1,n LPmn (m2)
5.3.4 LPmn模的功率分布
沿光纤轴方向横截面积中传输的电磁功率
S
1
ReE
H*
2
n1Jm2
(U a
r)
Sz
1 2
Ey
Hx*
A2 2Z0
cos2
mn2JKm2m2(U(Wa)
※上式的推导应用LP模的特征方程
（1）远离截止状态 W V , Jm (U ) 0 ,
m nW V 2 2 1
功率主要集中在纤芯中传播。
(10.3.16)
（2）截止状态
W 0 , U V ,
m nK m 1(K W m 2 )(K W m ) 1(W )
m0,1时，0n 1n 0
m2,
mn1m 1
M
4V22
V
常用的估算式：
MV2/2
包层：
P 0 a 0 2 1 2 E y H x * rd d n r 24 a Z 2 0 A 2 K m 1 ( K W m 2 ) ( K W m ) 1 ( W ) 1
上两式中， 12
m0 m0
(10.3.14)
光纤中传播的总功率：
Pt Pi P0
功率因子
m nP iP iP 0W V 2 2 1W U 2 2K m 1(K W m 2 )(K W m ) 1(W )
Ey
E
z
j
E.3.2a-d)
将(5.3.2)四个方程代入由方程(5.5.1)式中的(e)和(f), 可得：
( t2k2n22)Ey0
由于 n1 n2（5.5.2)近似表达式：
H z
1 j
E y 0 x
H
y
0
H
x
Ey
Ez
j
E z y
(5.3.3)
u1 ,n-1 u0 ,n
LPmn模U取值范围
LPmn m 1
um-1 ,n um ,n
LP01 LP11 LP02 LP12 LP13
比较U值的取值范围 TE0n、 TM0n 和HE2n模 ～ LP1n模 HEmn、EHm-1模 ～ LPmn模 , m 2 线偏振光=左旋圆偏振光+右旋圆偏振光 矢量模与线偏振模对应关系：
Jm (U )
Km (W )
（5.3.8)
U J m1(U ) W Km1(W )
Jm (U )
Km (W )
利用贝塞耳函数的递推，不难证明上两式等价。
作业
5.3.2 线偏振模特性
线偏振模的特性，包括横向场分布特点（U, W)和纵向场的特
性 。由于特征方程为超越方程，只能数值求解。
V , W
1、远离截止时的特性
利用大宗量渐近方程
U Jm 1(U )W K m 1(W ) W W Jm (U ) K m (W )
远离截止时特征方程
Jm (U f)0 U f umn (m 0 ,1 ,2 , n1 ,2 , ,)
模式的分类：LPmn m的物理意义：是贝塞耳函数的阶数；
确定场量沿方向的分布规律， 从0变化一
5.3 阶跃光纤中的线偏振模 电场在直角坐标系下：
EEx ExEz HHx Hy HZ
可以证明在弱波导条件下，尽管光纤中传播的导波分为TE、TM、 TEM模，但所有这些模式的纵向分量比横向分量小得多。
（<<1，只有几乎与光纤轴平行的光线才能满足边界上的全反射
条件，此情形下的平面波，不管式垂直偏振，还是水平偏振，其
电场和磁场几乎与z轴垂直，无论子午射线，还是偏射线，经反射
尽管有可能产生电磁场的z向分量，但z向分量总是很小。
简化模型：
H E a ExH 1 Ez1 b EyH 2 Ez2
x方向线 偏振模
y方向线 偏振模
在直角坐标系下圆柱型光波导的纵横向分量关系：
E y
x
E x y
(2) m 1
Jm1(U)0
但不能取 U=0
截止参数：Vc= Uc= um-1 ,n LP01模截止参数和远离截止状态时和HE11模相同，场的分布是 相同。
m=0, LP0n模有两个正交的简并模 m 1， LPmn模有四个简并模 5.3.3 LP模与矢量模之间的对应关系
模式名称
Uc Uf
LP0n
上式略去二阶偏导。
E Z在边界 E y在 上边 连界 续 H x在 上边 连界 续
对于模式{0， Ey ， Ez}, Ey , Ez, Hx , Hz在边界均连续。
当n的变化很小，以下3种说法一致： （1）模式场的二阶变化趋于零。 （2） Ey在边界上连续， Ht只有Hx分量，互相垂 直。电磁场为标量。 （3）光波导为弱波导。 模式{ex，0， ez}同理
