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4.3.2 对数的运算知识点一 对数的运算性质若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N＝log a M －log a N ， (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )．状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．知识点二 对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)． 状元随笔 对数换底公式常见的两种变形 (1)log a b·log b a ＝1，即1log a b＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .(2)log N n M m＝m n log N M ，此公式表示底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．[教材解难]换底公式的推导设x ＝log a b ，化为指数式为a x＝b ，两边取以c 为底的对数，得log c a x＝log c b ，即x log c a ＝log c b .所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a.[基础自测]1．下列等式成立的是( ) A ．log 2(8－4)＝log 28－log 24B.log 28log 24＝log 284C ．log 28＝3log 22D ．log 2(8＋4)＝log 28＋log 24解析：由对数的运算性质易知C 正确． 答案：C 2.log 49log 43的值为( ) A.12 B ．2 C.32 D.92解析：原式＝log 39＝2. 答案：B3．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4解析：原式＝log 5102＋log 50.25 ＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 答案：C4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为________． 解析：log 32＝ln 2ln 3＝a b .答案：a b题型一 对数运算性质的应用[教材P 124例3] 例1 求下列各式的值： (1)lg 5100； (2)log 2(47×25)．【解析】 (1)lg 5100＝lg 10015＝15lg 100＝25； (2)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22＝7×2＋5×1 ＝19.利用对数运算性质计算． 教材反思1．对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练1 (1)计算：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.(2)求下列各式的值． ①log 53＋log 513②(lg 5)2＋lg 2·lg 50③l g 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解析：(1)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.(2)①log 53＋log 513＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13＝log 51＝0.②(lg 5)2＋lg 2·lg 50 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.③原式＝lg 25＋lg 823＋lg 102·lg(10×2)＋(lg 2)2＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 答案：(1)－1 (2)见解析 利用对数运算性质化简求值．题型二 对数换底公式的应用[经典例题]例2 (1)已知2x ＝3y＝a ，1x ＋1y＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2 6 D. 6 (2)计算下列各式： ①log 89·log 2732.②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3.③6413＋lg 4＋2lg 5.【解析】 (1)因为2x ＝3y＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝± 6. 又a ＞0，所以a ＝ 6.(2)①log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝lg 32lg 23·lg 25lg 33＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. ②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3＝lg 16＋lg 5－lg 8－1⎝⎛⎭⎪⎫32782＝lg 16×58－1⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－49＝59. ③6413＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.【答案】 (1)D (2)见解析状元随笔 1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分． 方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log an b m＝mnlog a b . 跟踪训练2 (1)式子log 916·log 881的值为( ) A.18 B.118C.83D.38(2)(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( ) A.56 B.2512C.94D ．以上都不对 解析：(1)原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 38log 39＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋3log 322 ＝56log 32×52log 32＝2512. 答案：(1)C (2)B 利用换底公式化简求值． 题型三 用已知对数表示其他对数例3 已知log 189＝a,18b＝5，用a ，b 表示log 3645. 解析：方法一 因为log 189＝a ，所以9＝18a. 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b 2－a.方法二 ∵18b＝5，∴log 185＝b . ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.状元随笔 方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值． 方法二 先求出a 、b ，再利用换底公式化简求值. 方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练3 (1)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________；(用p ，q 表示) (2)①已知log 147＝a,14b＝5，用a ，b 表示log 3528. ②设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y的值．解析：(1)lg 5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝qp ＋q .(2)①∵log 147＝a,14b＝5， ∴b ＝log 145.∴log 3528＝log 1428log 1435＝log 141427log 14(5×7)＝log 14142－log 147log 145＋log 147＝2－a a ＋b . ②∵3x＝36,4y＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.答案：(1)qp ＋q (2)①2－aa ＋b②1 (1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．课时作业 22一、选择题1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：根据对数的性质知4个式子均不正确． 答案：A2．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3.答案：C3．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5＝( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－a D.a ＋2b1－a解析：lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝2a ＋b 1－a .答案：C4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．3 B ．9 C ．18 D ．27解析：原式可化为log 8m ＝2log 34，lg m 3lg 2＝2lg 4lg 3，即lg m ＝6lg 2·lg 32lg 2，lg m ＝lg 27，m ＝27.故选D. 答案：D 二、填空题5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.答案：4 －36．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________．解析：由换底公式， 得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.答案：1257.lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________.解析：原式＝lg (2×5)－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2·lg 24＝4.答案：4 三、解答题8．化简：(1)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27；(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋211+log252.解析：(1)方法一 (正用公式)： 原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 3lg 3＝115. 方法二 (逆用公式)：原式＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫3×925×2712×35×3－12lg 8127＝lg 3115lg 3＝115. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·22log ＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋25＝1＋2 5.9．计算：(1)log 1627log 8132； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． 解析：(1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54. [尖子生题库]10．已知2x ＝3y ＝6z≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.证明：设2x ＝3y ＝6z＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 6＝log k 2＋log k 3，∴1z ＝1x ＋1y.。
第12讲数学文化教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容．”因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读．[考情分析]预测2：与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．预测3：以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．预测4：以中外一些经典的数学问题为背景的题目．如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．立体几何中的数学文化题[例1]《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为()A．1丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺[思路分析]根据圆柱的体积公式，结合题中圆柱的体积和高以及有关单位的数据计算出圆柱的底面半径，再根据圆的周长公式，计算出圆柱底面圆周长．解析：设圆柱底面圆半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为V＝πr2h＝2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.答案：B[体会领悟]本题属于生活中谷物储存问题，源于《九章算术》第五章“商功”，结合立体几何中的基础知识进行设问，强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养．我国古代数学强调“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活、生产联系紧密，体现出明显的问题式、综合性的特征．立体几何中几何体体积公式是常考内容，例如2014年湖北卷第8题和2015年高考全国卷Ⅰ第6题考查圆锥的体积公式．[例2]“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d[思路分析]观察题目所给直观图，理解题干中有关“牟合方盖”的特征叙述，结合“当其正视图和侧视图完全相同时”这个关键条件作答．解析：当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.答案：A[体会领悟] “牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在高考中考查．[例3] 我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π[思路分析] 根据题设所给的三视图，想象出图中所对应几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，再根据祖暅原理和有关数据计算即可．解析：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C. 答案：C[体会领悟] 祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个有关几何求积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人民教育出版社《数学必修2》(A 版)第30页“探究与发现”中专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，考查几何体的三视图和体积计算，既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化．数列中的数学文化题[例4] 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱 B.53钱 C.32钱 D.43钱 [思路分析] 读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，本题相当于已知等差数列{a n }中，前5项和为5，a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5，求a 1.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎨⎧ a 1＝43，d ＝－16，故选D.答案：D[体会领悟] 我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差数列问题．[例5] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里[思路分析] 读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，本题相当于：已知等比数列{a n }中，公比q ＝12，前6项和S 6＝378，求a 2. 解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1(1－126)1－12＝ 378，解得a 1＝192，则a2＝192×12＝96，即第二天走了96里，故选B.答案：B[体会领悟]与等差数列一样，我国古代数学涉及等比数列问题也有很多，因此，涉及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．[例6]意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则a21＋a22＋a23＋…＋a22 015a2 015是斐波那契数列中的第________项．[思路分析]本题先根据题意明确该数列的递推公式，再依据所给式子中项的特点把递推公式恰当变形得出结论．解析：依题意得a1＝a2＝1，a n＋2＝a n＋1＋a n，a n＋1·a n＋2＝a2n＋1＋a n a n＋1，则a2 015a2 016＝a22 015＋a2 014a2 015，a2 014·a2 015＝a22 014＋a2 013a2 014，a2 013a2 014＝a22 013＋a2 012a2 013，…，a2a3＝a22＋a1a2，又a21＝a1a2，因此a2 015a2 016＝a22 015＋a22 014＋a22 013＋…＋a22＋a21，即a21＋a22＋a23＋…＋a22 015a2 015＝a2 016，即a21＋a22＋a23＋…＋a22 015a2 015是斐波那契数列中的第2 016项．答案：2 016[体会领悟]该题的命制以人民教育出版社《数学必修5》(A版)第32页“阅读与思考”中的“斐波那契数列”为背景，考查考生灵活处理递推数列问题的能力和转化与化归能力．斐波那契数列有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛应用．在高考中，也曾经很多次考查斐波那契数列问题．算法中的数学文化题[例7]如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8,12，则输出的a＝()A．4 B．2C．0 D．14[思路分析]读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．解析：由程序框图输入的a＝8，b＝12，按程序框图所示依次执行，可得b＝12－8＝4，a＝8；a＝8－4＝4，b＝4，a＝b，所以输出a＝4.故选A.答案：A[体会领悟]《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合．本题程序框图的算法思路源于《九章算术》中计算两个正整数的最大公约数的“更相减损术”算法，2015年高考全国卷Ⅱ第8题也是此类问题．[例8]秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州安岳(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为()A．20 B．61C．183 D．548[思路分析]读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．解析：初始值n ，x 的值分别为4,3，程序运行过程如下：v ＝1，i ＝3≥0，v ＝1×3＋3＝6，i ＝2≥0；v ＝6×3＋2＝20，i ＝1≥0；v ＝20×3＋1＝61，i ＝0≥0；v ＝61×3＋0＝183，i ＝－1＜0，结束循环，此时输出v 的值为183.故选C.答案：C[体会领悟] 秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的求值问题的算法．其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．本题程序框图的算法思路源于《数书九章》中多项式求值的“秦九韶算法”．[例9] 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为________．(参考数据：sin15°≈0.258 8，sin7.5°≈0.130 5)[思路分析] 读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．解析：n ＝6，S ＝12×6×sin 60°＝332≈2.598＜3.1，不满足条件，进入循环；n ＝12，S ＝12×12×sin 30°＝3＜3.1，不满足条件，继续循环；n ＝24，S ＝12×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6＞3.1，满足条件，退出循环，输出n 的值为24.答案：24[体会领悟] 更相减损术、秦九韶算法和割圆术分别在人民教育出版社《数学必修3》(A 版)第36页，第37页，第45页“算法案例”中出现．其中更相减损术和秦九韶算法分别在2015年和2016年高考全国卷Ⅱ中考过，因此以后全国卷考查割圆术的可能性较大．概率统计中的数学文化题[例10] 欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．[思路分析] 将实际问题转化为数学中的几何概型问题，关键是要求出铜钱的面积和中间正方形孔的面积，然后代入几何概型计算公式进行求解．解析：依题意，所求概率为P ＝12π·(32)2＝49π. 答案：49π[体会领悟] 从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径．试题插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例．三角函数中的数学文化题[例11] 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan (θ＋π4)＝________.[思路分析] 本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角函数值确定角θ满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可．解析：依题意得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sin θ－5cos θ＝1(0＜θ＜π2)，即有sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43，故tan(θ＋π4)＝tan θ＋11－tan θ＝－7. 答案：－7[体会领悟] 1 700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵．既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流，等等．不等式中的数学文化题[例12] 设a ＞0，b ＞0，则2ab a ＋b为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段CD 的长度是a ，b 的几何平均数，线段________的长度是a ，b 的调和平均数．[思路分析] 将线段OD ，CD 融入相关直角三角形中，利用三角形相似进行计算，再结合调和平均数的定义即可得到正确结果．解析：因为Rt △DEC ∽Rt △DCO ，所以DE CD ＝CD OD ，从而DE ＝CD 2OD .依题意可得OD ＝a ＋b 2，CD ＝ab ，所以DE ＝2ab a ＋b，即线段DE 的长度是a ，b 的调和平均数． 答案：DE[体会领悟] 早在4世纪，古希腊数学家帕波斯在其代表作《数学汇编》第3卷第2部分就给出了算术平均、几何平均、调和平均三种平均数的理论．嵌入几何意义考查不等式，凸显经典数学名题的深邃内涵和命题专家的过人之处．解析几何中的数学文化题[例13] 2016年1月14日，国防科工局宣布，“嫦娥四号”任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1＜c 2a 2； ④c 1a 2＞a 1c 2.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[思路分析] 注意到椭圆Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P 和一个焦点F ，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，因此可以从椭圆的焦距入手求解．解析：观察图形可知a 1＋c 1＞a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2＞0，c 1＞c 2＞0，知a 1－c 1c 1＜a 2－c 2c 2，即a 1c 1＜a 2c 2，从而c 1a 2＞a 1c 2，c 1a 1＞c 2a 2，即④式正确，③式不正确．故选D.答案：D[体会领悟] 命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于应用之中的好题．[传统文化训练一] 单独成册一、选择题1．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束……)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )A ．91B ．105C ．120D ．210解析：由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∴1＋3＋6＋…＋n (n ＋1)2＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1) ＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.答案：B2．《张丘建算经》卷上第23题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？意思是：现有一女子善于织布，若第1天织5尺布，从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织930尺布(注：1匹＝10丈，1丈＝10尺)，则每天比前一天多织( )A.47尺布B.5229尺布C.815尺布D.1631尺布解析：设公差为d ，则由a 1＝5，S 30＝30×5＋30×292d ＝930，解得d ＝5229. 答案：B3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n .第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( )A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1(n －1)n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝n 2·n －1n ＝n (n －1)． 答案：C4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32VC ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：由球体积公式得d ＝ 36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 828 03，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D.答案：D5．(2016·河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯，”诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有________盏灯．( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：本题可抽象为一个公比为2的等比数列{a n }．∵S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，∴可解得a 1＝3，即塔顶有3盏灯，故选B.答案：B6．(2017·武汉调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·(12)2×x＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.答案：B7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸解析：连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R ＝13.sin∠AOD ＝AD AO ＝513.∴∠AOD ≈22.5°，即∠AOB ≈45°.故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △OAB ＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.答案：D8．(2017·石家庄模拟)李冶( 1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)A ．10步，50步B ．20步，60步C ．30步，70步D ．40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．故选B.答案：B二、填空题9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：676610．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故a n ＝15n －14.由a n ＝15n －14≤2 016，解得n ≤4063，又n ∈N *，故此数列的项数为135.答案：13511．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1, 3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________(用k 表示)．解析：由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2， 故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．答案：(1)5 030 (2)5k (5k －1)212．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π. 答案：2π2＋16π[传统文化训练二] 单独成册对应学生用书第175页一、选择题1．(2017·长沙模拟)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为( )A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A. 答案：A2．(2017·沈阳模拟)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于()A ．21B ．22C ．23D ．24解析：当n ＝21时，21被3整除，执行否．当n ＝22时，22除以3余1，执行否；当n ＝23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n ＝23.故选C.答案：C3．(2017·南昌模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有________钱．( )A ．28B ．32C ．56D ．70解析：设甲、乙、丙三人各持有x ，y ，z 钱，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z 2＝90y ＋x ＋z 2＝70z ＋x ＋y 2＝56，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝72y ＝32z ＝4，所以乙手上有32钱．答案：B 4．(2017·石家庄模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD .且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝(x 3)2＋(3－x 3)2 ＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66 (x －32)2＋34，故选A.答案：A 5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2的虚部是( ) A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：依题意得，e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2＝(cos π4＋isin π4)(cos 3π4＋isin 3π4)＋2i ＝－1＋2i ，其虚部是2，选D.答案：D6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：程序运行如下：n ＝1，a ＝5＋52＝152，b ＝4，a ＞b ，继续循环； n ＝2，a ＝152＋12×152＝454，b ＝8，a ＞b ，继续循环； n ＝3，a ＝454＋12×454＝1358，b ＝16，a ＞b ，继续循环； n ＝4，a ＝1358＋12×1358＝40516，b ＝32，此时，a ＜b . 输出n ＝4，故选C.答案：C7．(2017·衡水中学调研)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( )A ．12日B ．16日C ．8日D ．9日解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n (a 1＋a n )2＋n (b 1＋b n )2＝2 250，即。
第一节无机非金属材料的主角——硅课时1二氧化硅和硅酸目标与素养：1.了解硅的结构、存在形式及其制备。
(宏观辨识与微观探析)2.了解二氧化硅、硅酸的主要性质及应用。
(宏观辨识与变化观念)3.了解硅酸的制备和用途。
(科学探究与社会责任)一、二氧化硅1．硅元素的存在及原子结构2．SiO2的组成、结构、性质与用途(1)存在SiO2的存在形式有结晶形和无定形两大类，水晶、玛瑙的主要成分是结晶的二氧化硅。
(2)结构SiO 2晶体是由Si 和O 按原子数之比为1∶2的比例组成的立体网状结构的晶体。
每个硅原子周围结合4个O ，每个O 周围结合2个Si 。
(3)物理性质 熔点高；硬度大；溶解性：不溶于水。
(4)化学性质①具有酸性氧化物的通性a ．可与NaOH 溶液反应，其反应方程式为SiO 2＋2NaOH===Na 2SiO 3＋H 2O 。
b ．可与氧化钙反应，其反应方程式为SiO 2＋CaO=====高温CaSiO 3。
②特性除氢氟酸外，SiO 2一般不与其他酸反应，SiO 2与HF 溶液反应，反应的化学方程式为SiO 2＋4HF===SiF 4↑＋2H 2O 。
(5)用途①沙子是基本的建筑材料。
②纯净的SiO 2是现代光学及光纤制品的基本原料，可以制作光导纤维。
③石英和玛瑙制作饰物和工艺品。
④实验室中使用石英坩埚。
二、硅酸1．物理性质颜色：白色；状态：胶状；溶解性：难溶于水。
2．化学性质3．制备1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)硅在自然界中既有游离态又有化合态。
()(2)SiO2是一种三原子分子，属于酸性氧化物。
()(3)SiO2与H2O反应可生成硅酸。
()(4)硅酸难溶于水，可溶于NaOH溶液。
() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．下列关于碳和硅的比较，正确的是()A．碳和硅在自然界的存在形式都是既有游离态也有化合态B．碳和硅的最高正价都是＋4价C．硅元素在地壳中的含量占第二位，碳元素占第一位D．硅与碳一样均含有两种常见价态的氧化物：SiO和SiO2[答案] B3．写出由SiO2制备H2SiO3的有关化学方程式____________________________________________________。
第4课 《论语》十二章 学习目标 重点难点 1．巩固有关《论语》和孔子的基本文学常识。
2．积累重点文言词语，提升文言文阅读能力。
3．理解君子、仁、义、礼、恕等核心概念。
4．不同程度地感受《论语》的思想、艺术魅力。
1．理解君子、仁、义、礼、恕等核心概念。
2．不同程度地感受《论语》的思想、艺术魅力。
【作者简介】孔子（前551－前479），名丘，字仲尼，春秋后期鲁国陬[z ōu]邑（今山东曲阜）人，中国古代思想家、教育家，儒家学派创始人。
孔子开创私人讲学之风，倡导仁义礼智信，一生富有政治理想，推行礼治德政，其学说核心为“仁”。
为实现抱负，曾经仕鲁，并从五十五岁起周游列国，历经十四年，但终不见用，晚年致力于整理文献和从事教育。
《论语》，语录体散文集，主要记载孔子及其弟子的言行，因此被称为“语”.【文体知识】《论语》是孔子弟子及其再传弟子关于孔子言行的记录，共二十篇，是一部儒家学派的经典著作，是研究孔子思想的主要依据。
体式归纳起来有：(1)语录体(也可称格言体)：仅指明是孔子的话，不写出说话的环境(包括说话的对象)，内容大多是关于学习、道德修养、为人处事的一般原则;目标导航知识精讲(2)对话体：记录孔子对弟子(或其他人)的问题所作的回答，它写出了提问者的原话，但没有写谈话的背景;(3)叙事体：其中多少有一点情节，但也往往是以记录孔子的话为主。
【基础知识】1．读准字音。
八佾．（）文质彬彬．（）迩．之事父（）譬．如（）子罕．（）未成一篑．（）2．参考译文第一章：孔子说：“君子吃东西不追求饱足；居住不追求安逸；对工作勤奋敏捷，说话却谨慎；接近有道德有学问的人并向他学习，纠正自己的缺点，就可以称得上是好学了。
”第二章：孔子说：“做人如果没有仁德，怎么对待礼仪制度呢？做人如果没有仁德，怎么对待音乐呢？”第三章：孔子说：“早晨能够得知真理，即使当晚死去，也没有遗憾。
”第四章：孔子说：“君子明白大义，小人只懂得小利。
