【智博教育原创专题】高考边缘热点问题之取整函数(高斯函数)

专题07取整函数(原卷版)一、取整函数的概念取整函数，也称为整数函数，是一种将实数映射到最接近的整数的函数。

在数学中，取整函数通常表示为“floor”和“ceiling”两种形式。

1. 向下取整函数（floor function）：向下取整函数将实数向下取整到最接近的整数。

例如，对于实数 3.14，向下取整后的结果为3。

2. 向上取整函数（ceiling function）：向上取整函数将实数向上取整到最接近的整数。

例如，对于实数3.14，向上取整后的结果为4。

二、取整函数的性质1. 单调性：取整函数在其定义域内是单调递增的。

这意味着，如果x1 < x2，那么floor(x1) ≤ floor(x2)和ceiling(x1) ≤ceiling(x2)。

2. 奇偶性：取整函数既不是奇函数也不是偶函数。

这是因为取整函数的输出取决于输入的整数部分，而整数部分并不遵循奇偶性。

3. 连续性：取整函数在其定义域内是连续的。

这意味着，对于任意一个实数x，都存在一个足够小的正数ε，使得当y在x的ε邻域内时，floor(y)和ceiling(y)的值与floor(x)和ceiling(x)的值相等。

4. 有界性：取整函数在其定义域内是有界的。

对于向下取整函数，其值域为整数集；对于向上取整函数，其值域也为整数集。

三、取整函数的应用1. 计算机科学：在计算机科学中，取整函数常用于处理整数运算和浮点数运算。

例如，在计算循环次数、数组索引和内存分配时，取整函数可以帮助确保结果为整数。

2. 工程学：在工程学中，取整函数常用于处理测量和计算问题。

例如，在计算建筑材料的数量、设计电路板和优化机械部件时，取整函数可以帮助确保结果为整数。

3. 统计学：在统计学中，取整函数常用于处理数据分析和概率计算。

例如，在计算平均值、中位数和众数时，取整函数可以帮助确保结果为整数。

四、取整函数的拓展除了基本的向下取整和向上取整函数外，还有一些拓展的取整函数，如：1. 向零取整函数（truncation function）：向零取整函数将实数取整到最接近的零的整数。

高斯函数的性质和应用1、对x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，[1]=1，且有性质（1)任意x∈R,0≤x-[x]＜1,性质（2）[x+1]-[x]=1，性质（3）[x]＋[-x]=-1（x∈Z），定义域为R,值域为Z;不单调，无最值，无奇偶性对任意实数x，都有[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x；2、g(x)=x-[x]定义域为R,值域：[0,1)无单调性，最小值0，周期为1.例1、（多选题）高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x 的最大整数，例如[6.8]=6，[-4.1]=-5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.下列关于高斯函数y=[x]的性质叙述正确的是（ABC）A.y=[x]值域为Z B.y=[x]不是奇函数C.y=x-[x]为周期函数 D.y=[x]在R 上单调递增例2、设{x}=x-[x]，则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为？由f(x)=01,由图像可知，两函数除以交点（-1,0)之外，其余的交点关于点（0，1)对称，所以，函数y=f(x)的所有零点之和为-1；故答案为：-1；例3、已知函数f(x)=|x-1|(3-[x])，x∈[0,2),若f(x)=52，则x=；不等式f(x)≤x 的解集为__。

【解析】由题意，得f(x)=3−3s 0≤<12−2s 1≤<1,当0≤x<1时,3-3x=52,当1≤x<252,即x=9/4(舍),综上x=16;当0≤x<134≤x<1,当1≤x＜2时,2x-2≤x,即1≤x＜2,综上，答案为：34≤x<2；例4、高斯函数()[]f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则()0g f x =⎡⎤⎣⎦（B ）A．12e e--B．2-C．12e e--D．2212e e --例5、.设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.已知函数f(x)=22+1，则函数y=[f(x)）]的值域为(D )A.{0,-1} B.{-1,1} C.{0,1} D.{-1,0,1}小练习：条件同上已知函数f(x)=12x 2-x+1(0<x<3)，则函数y=[f(x)]的值域为(?){0,1,2}例6、定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a 的最大整数．加强练习一、选择题1、已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =()A.4 B.5 C.2D.32、函数y=[]x 叫做“取整函数”，][][][2222log 1log 2log 3log 64⎡⎤+++⋯+⎣⎦的值为()A.21B.76C.264D.6423、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）4、我们定义函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）为“下整函数”，定义函数{}y x =（{}x 表示不小于x 的最小整数）为“上整函数”，例如[4.3]4=，[5]5=；{4.3}5=，{5}5=.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费（单位：元）()A.2[1]x + B.2([]1)x + C.2{}x D.{2}x6、已知[]y x =为高斯函数，令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有()A.()2.30.7f -= B.()f x 为奇函数 C.()()1f x f x += D.()f x 的值域为[]0,17、[]y x =高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是()A.[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B.x ∃∈R ，[]1x x ≥+C.,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+ D.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)8、对x ∀∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪,[]y x =被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是()A.x ∃∈R ,[]1x x ≥+B.x ∀,y ∈R ,[][][]x y x y +≤+ C.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1D.若t ∃∈R ,使得31t ⎡⎤=⎣⎦,42t ⎡⎤=⎣⎦,53t ⎡⎤=⋯⎣⎦,2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立,则正整数n 的最大值是5三、填空题9、由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为[]y x =，例如[][]1.210.31=-=-，，则函数[][)21,1,3y x x =+∈-的值域为_________________.10、取整函数y=[x]，x∈R 称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]=1，[-1.1]=-2.则点集P={（x，y）|[x]2+[y]2=1]所表示的平面区域的面积是?4四、解答题10、已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]3=，[ 4.2]5-=-，不等式213x ≤+<的解集为A ，不等式2230x x -≤的解集为B .(1)求A B ；(2)已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求11a b+的最小值.11、已知函数()[]f x x =.(1)记()()2h x f x x =-，[)0,3x ∈，求()h x 的解析式，并在坐标系中作出函数()h x 的图像.(2)结合(1)中的图象，解不等式()1524h x <≤直接写出结果.(3)设()3131x x g x -=+，判断()g x 的奇偶性，并求函数()()()()2y f g x f g x =+-的值域.。

专题四十六 取整运算（高斯函数） (361)1.解方程：2[x]=x +2{x }(x ≥0)．(注：[x]表示实数x 的整数部分，{x }表示实数x 的小数部分，如[2.13]=2，{2.13}=0.13)2.设[a]表示不超过a 的最大整数．已知0<a <1，且[a +130]+[a +230]+⋯+[a +2930]=18，求[10a]的值．3.设[x]表示不超过x 的最大整数，如[4.3]=4，[−4.3]=−5.(1)下列各式正确的是（）A.[x]=|x|B.[x]=|x|−1C.[x]=−xD.[x]<[x]+1 (2)解方程：[2x +1]=x −13；(3)已知x ，y 满足方程组{y =2[x]+3，y =3[x −2]+5， 若x 不是整数，求x +y 的取值范围．4.函数[x]称为高斯函数，它表示不超过x 的最大整数，例如[5.3]=5，[−2.4]=−3，[4]=4.对任意的实数x ，x −1<[x]≤x ．(1)试说明：对于任意实数x ，有[x]+[x +12]=[2x]；(2)解方程：[5+6x 8]=15x−75．5.设[x]表示不大于实数x 的最大整数，满足[−1.77x]=[−1.77]x 的自然数有（）A.4个B.5个C.6个D.7个参考答案1.【答案】:解：原方程可转化为2[x]=[x]+{x }+2{x }，即3{x }=[x]．因为0≤{x }<1，所以0≤[x]<3，所以[x]只能为0，1，2，且x =[x]+{x }=43[x]．当[x]=0时，x =0；当[x]=1时，x =43；当[x]=2时，x =83．综上，原方程的解为x =0或x =43或x =83．2.【答案】:解：因为0<a <1，所以0<a +n 30<2(n 为1到29的整数)，所以[a +n 30]=0或[a +n 30]=1.因为[a +130]+[a +230]+⋯+[a +2930]=18，所以[a +130]=⋯=[a +1130]=0，[a +1230]=⋯=[a +2930]=1，所以0<a +1130<1，1⩽a +1230<2，所以0<a <1930,且1830⩽a <1，所以1830⩽a <1930，所以6⩽10a <613，所以[10a]=6.3(1)【答案】D(2)【答案】解：因为[2x +1]=x −13，所以[2x]=x −43．令[2x]=n ，代入[2x]=x −43，得n =x −43，即x=n+43．又因为[2x]≤2x<[2x]+1，所以n≤2n+83<n+1.整理，得−83≤n<−53，所以n=−2.代入方程[2x]=x−43，得−2=x−43，解得x=−23．(3)【答案】由方程组{y=2[x]+3,y=3[x−2]+5,可得{y=2[x]+3,①y=3[x]−1.②②-①,得0=[x]−4.解得[x]=4，y=11，所以[x]+y=15，所以15<x+y<16.4(1)【答案】证明：①若x为整数，则[x]+[x+12]=x+x=2x=[2x]．②若x不为整数，设x=a+r(0<r<1),其中a为x的整数部分，r为x的小数部分．当0<r<0.5时，此时0.5<r+12<1，0<2r<1，[x]+[x+12]=2a，[2x]=[2a+2r]=2a，所以[x]+[x+12]=[2x];当0.5≤r<1时，此时1≤r+12<1.5，1≤2r<2，[x]+[x+12]=a+a+1=2a+1，[2x]=[2a+2r]=2a+1，所以[x]+[x+12]=[2x]．综上可得，对于任意实数x，有[x]+[x+12]=[2x]．(2)【答案】因为x −1<[x]≤x ， 所以5+6x 8−1<[5+6x 8]≤5+6x 8， 即5+6x 8−1<15x−75≤5+6x 8． 解得4190<x ≤8190,所以696720<5+6x 8≤936720， 所以[5+6x 8]=0或1， 则15x−75=0或1. 解得x =715或x =45．经检验，x =715和x =45都符合题意， 故原方程的解为x =715或x =45．5.【答案】:B【解析】:因为[−1.77x]=[−1.77]x ，x 是自然数， 所以−2x +[0.23x]=−2x , 所以[0.23x]=0, 所以0≤0.23x <1, 所以0≤x <4823． 故x =0或1或2或3或4. 故选B ．。

【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题10 高斯（以高斯为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．对于一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数.若3n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，*N n ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3n S =（ ）A ．23122n n - B ．23122n n +C ．232n n -D ．29322n n -【答案】A 【解析】 【分析】根据高斯函数的性质以及数列求和公式进行计算. 【详解】解：由题意，当3n k =，31n k =+，32(N )n k k +=+∈时，均有33n n n a f k ⎛⎫⎡⎤=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故可知：31(1)00111222333(1)(1)(1)3(1)2n n S n n n n n n +-=++++++++++++-+-+-+=⨯⨯-+23122n n =-. 故选：A2．x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，十八世纪，函数[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则[][]4.8 3.5--=（ ） A ．0 B ．1C ．7D ．8【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的新定义求解即可. 【详解】由题意可知[][]4.8 3.5--=4－(－4)＝8. 故选：D.3．若复数z 的实部和虚部均为整数，则称复数z 为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；①两个高斯整数的乘积也是高斯整数； ①模为3的非纯虚数可能是高斯整数；①只存在有限个非零高斯整数z ，使1z也是高斯整数 其中正确的命题有（ ） A ．①①① B ．①①① C ．①① D ．①①①【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，逐项判断正误即可. 【详解】解：①令i(a,b Z)z a b =+∈，当0b =时，z a =，即z 为整数，根据题意，z 是高斯整数，故①正确；①令1i(a,b Z)z a b =+∈，2i(c,d Z)z c d =+∈，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=-++， 则ac bd -为整数，ad bc +为整数，故12z z ⋅为高斯整数，故①正确；①令i(a 0,b 0)z a b =+≠≠，且3z =，故229a b +=，所以,a b 至少有一个数为非整数，故z 不是高斯整数，①错误；①令1i(a,b Z)z a b =+∈，且0z ≠，则22222211i i i a b a bz a b a b a b a b -===-++++， 若1z为高斯整数，故2222,a ba b a b ++为整数，即存在有限个，例如i z =，故①正确. 故选：A.4．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=，已知函数2221()13x f x x =-+，则函数[()]y f x =的值域是（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【答案】D【解析】 【分析】结合[]x 表示不超过x 的最大整数，利用函数的值域求法求解. 【详解】解：()2222221221152()131331x x f x x x x +-=-=-=-+++， 因为x ∈R ， 所以211t x =+≥，21011x <≤+， 则()15[)33f x ∈-， 当1[,0)3x ∈-时，[()]1y f x ==-；当[0,1)x ∈时，[()]0y f x ==；当5[1,)3x ∈时，[()]1y f x ==；所以函数[()]y f x =的值域是{}1,0,1-， 故答案为：D5．高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”的美誉．高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，利用此方法推导出等差数列前n 项和公式．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，43S =，()*4125,-=≥∈n S n n N ，17n S =，则n 的值为（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．17【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列下标的性质，结合已知条件即可求解. 【详解】根据题意，43S =，()*4125,-=≥∈n S n n N ，4175n n n S S S -=⇒-=，则12343a a a a +++=，1235n n n n a a a a ---+++=， 两式相加得12132438n n n n a a a a a a a a ---+++++++=， 即()11482n n a a a a +=⇒+=，所以()117172n n n a a S n +==⇒=， 故选：D ．6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为[]y x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如][3.54,2.12⎡⎤-=-=⎣⎦，已知函数()11x x e f x e -=+，令函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则 ()g x 的值域为（ ）A ．()1,1-B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1- 【答案】C 【解析】 【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出()f x 的值域，结合已知定义即可求解． 【详解】解：因为11x e +>， 所以2021xe <<+， 所以12()1(1,1)11x x xe f x e e -==-∈-++， 则()[()]g x f x =的值域{}0,1-． 故选：C ．7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[0.5]1,[1.5]1-=-=．已知函数21()1(03)2f x x x x =-+<<，则函数[()]y f x =的值域为（ ）A ．15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．{1,2,3}C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2}【答案】D【解析】 【分析】先求出()f x 在（0,3）上的值域，再根据高斯函数的定义，求解()y f x ⎡⎤=⎣⎦ 的值域. 【详解】 因为22111()1(1),(0,3)222f x x x x x =-+=-+∈， 所以函数在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增， 所以min 1()(1)2f x f ==，又5(1)1,(3)2f f ==，所以15(),22f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，因为[()]y f x =，所以{0,1,2}y ∈； 故选：D.8．设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[][]3, 5.1π=-6=-．已知函数()221xf x x =+，则函数()]y f x ⎡=⎣的值域为（ ） A ．{0，1-} B ．{ 1-，1} C ．{0，1} D ．{ 1-，0，1}【答案】D 【解析】 【分析】按000x x x =><，，三类讨论，分别求函数()y f x =的取值范围，从而求函数的值域，再求函数()y f x ⎡=⎣]的值域即可． 【详解】①当0x =时，()00f =，①当0x >时，()222111x f x x x x==≤++（当且仅当1x =时，等号成立）， 故()01f x <≤①当0x <时，()222111x f x x x x==≥-++（当且仅当1x =-时，等号成立）， 故()10f x -≤<，故函数()y f x =的值域为[1-，1]，故函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{ 1-，0，1}， 故选：D ．9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[ 3.7]4,[2.3]2-=-=.已知()[ln ]f x x x =，当()0f x =时，x 的取值集合为A ，则下列选项为x A ∈的充分不必要条件的是（ ）A ．(0,1)x ∈B ．x ∈C ．(1,2)x ∈D ．()2,e x ∈【答案】B 【解析】 【分析】令()ln g x x x =，根据高斯函数知()0f x =时，0()1g x ≤<，利用导数分析不等式的解集，即可得解. 【详解】令()ln ,0g x x x x =>，由题意()0f x =时，0()1g x ≤<，()ln 1g x x '=+，1e x ∴<时，()0g x '<，1e x >时，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，显然1(0,)ex ∈时，()0g x <，又(1)0g =，所以0()1g x ≤<的解为0[1,)x x ∈，其中0()1g x =，因为(2)2ln 2ln 41g ==>，1g =<，(e)eln e e 1g ==>，所以 0[1,)x ， 故选：B10．正态分布()2,x N μσ~是由德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，这项工作对后世的影响极大，故正态分布又叫高斯分布，已知高斯分布函数()()222ex f x μσ-=在x (0)P x >=（ ）附：()()0.6827220.9545P x P x μσμσμσμσ-≤≤+=-≤≤+=， A ．0.6827 B ．0.84135C ．0.97725D ．0.9545【答案】B 【解析】由题设有μ=σ=(0)P x >. 【详解】由题意知：μ=σ= 所以1()(0)()0.841352P x P x P x μσμσμσ+-≤≤+>=>-==.故选：B11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数()()2134142f x x x x =-+<<，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ） A ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．1,0,1,2D ．{}0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，化成顶点式，在已知定义域的情况下，根据顶点式，得到()f x 的值域，进而根据高斯函数的定义，即可求解. 【详解】 因为()()22111343222f x x x x =-+=--，()1,4x ∈，所以函数在()1,3上单调递减，在()3,4上单调递增，所以()()min 132f x f ==-，又()312f =，()40f =，所以()13,22f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，因为()y f x ⎡⎤=⎣⎦，所以{}1,0,1y ∈-； 故选：B12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[0.5]0=，[1.4]1=，已知函数()[]f x x x =-，则下列选项中，正确的是（ ）A ．()f x 区间[0，2]上的值域为[0，1)B ．()f x 区间[0，2]上的值域为[0，1]C ．()f x 区间[0，2]上的值域为(0，1]D ．()f x 区间[0，2]上的值域为(0,1)【解析】 【分析】根据高斯函数的定义，可得函数()[]f x x x =-的图象，即可的解. 【详解】由高斯函数的定义可得：当01x <时，[]0x =，则[]x x x -=， 当12x <时，[]1x =，则[]1x x x -=-， 当23x <时，[]2x =，则[]2x x x -=-， 当34x <时，[]3x =，则[]3x x x -=-，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象可知，()f x 在[0，2]的值域也为[0，1). 故选：A13．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行123100++++的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项21002101n n a n -=-，则12100...a a a +++=（ ）A ．98B ．99C ．100D ．101【答案】C 【解析】 【分析】观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算101n n a a -+是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可. 【详解】由已知，数列通项21002101n n a n -=-，所以10121002(101)100210010224202221012(101)101210110122101n n n n n n n a a n n n n n -------+=+=+==------，所以91110029398012n n a a a a a a a a -+=+=+==+， 所以12100...502100a a a +++=⨯=. 故选：C.14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，人们把函数[]y x =，x ∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.13-=-，[]3.13=.那么函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =⋅++的值域内元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】化简函数解析式，判断函数值域，进而得解. 【详解】由()[][][]2sin cos sin cos sin 24f x x x x x x x π⎤⎛⎫=⋅++=++ ⎪⎥⎝⎭⎦，所以函数()f x 的周期2T π=， 故只需求[)0,2x π∈的值域. 当0x =时，函数()011f x =+=，当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均单调递增，所以(){}1,2f x ∈，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,2f x ∈，当324x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}0,1f x ∈，当34x π=时，函数()101f x =-+=-，当3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,0f x ∈-，当x π=时， ()()011f x =+-=-，当5,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,0f x ∈-，当54=x π时，()()110f x =+-=， 当53,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递减，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0f x ∈-，当32x π=时，()()011f x =+-=-， 当37,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递减，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0f x =-，当74x π=时，()()101f x =-+=-， 当7,24x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0,1f x ∈-，综上所述(){}1,0,1,2f x ∈-， 故选：C.15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．已知数列{}n a 满足12a =，25a =，2145n n n a a a +++=，若[]21log n n b a +=，n S 为数列11000 n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则[]2022S =（ ） A ．249 B ．499 C ．749 D ．999【答案】A 【解析】 【分析】利用已知关系式构造两个新数列，求出141nn a +=+，利用放缩技巧，可得到数列{}n b的通项公式，再利用裂项相消法求数列11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 前n 项和后，带入函数解析式即可得到答案. 【详解】由2145n n n a a a +++=，得()2114n n n n a a a a +++-=-，又213a a -=，所以数列{}1n n a a +-是以3为首项，4为公比的等比数列，则1134n n n a a -+-=⋅①；由2145n n n a a a +++=得，21144n n n n a a a a +++-=-，又2143a a -=-，所以数列{}14n n a a +-是常数列，则121443n n a a a a +-=-=-①，由①①联立可得141nn a +=+；因为44124n n n <+<⨯，所以222log 4log 41)log (24)n n n<+<⨯（即：22log (41)21nn n <+<+ 所以[]()212log log 412n n n b a n +⎡+⎤⎣⎦===，故110001000112502211n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭（），所以202211111125012501223202220232023S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎥⎣⎝⎤⎢⎭⎦，则[]2022249S =．故选：A 二、多选题16．高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号，以他名字命名的“高斯函数”是数学界非常重要的函数．“高斯函数”为()[]f x x =，其中,[]x R x ∈表示不超过x 的最大整数，例如[2.1]2=，则函数()24e 1e 13x xg x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值可能为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，可知41()13e e xx g x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，利用基本不等式，结合高斯函数的定义，求出函数()g x g （x ）的值域，分析选项可得答案． 【详解】24e 141()1e 133e e xx x x g x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+⎢⎥⎣⎦，因为1e 2e x x +≥（当且仅当1e e x x =，即0x =时，等号成立），所以14151333e ex x -<-≤+，故()g x 的值域为{1,0,1}-． 故选：ABC.17．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[][]1.61, 2.13=-=-，设函数()[]1f x x x =+-，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（ ） A ．()f x 为奇函数 B ．()1f x =⎡⎤⎣⎦C ．()f x 在()01，上单调递增D ．()f x 有最大值无最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据[]x 的定义，将函数()f x 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据函数图象判断函数的性质. 【详解】由题意：[]2,211,10=0,011,12x x x x x ⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<-⎨≤<⎪⎪≤<⎪⎩，所以()f x 3,212,10=1,01,12x x x x x x x x ⎧⎪+-≤<-⎪⎪+-≤<-⎨+≤<⎪⎪≤<⎪⎩ 所以()f x 的图象如下图，由图象分析： (0)1f =，所以A 不正确；()1f x =⎡⎤⎣⎦，所以B 正确；()f x 在()01，上单调递增，所以C 正确；()f x 有最小值无最大值，所以D 不正确.故选：BC.18．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[ 2.1]3-=-，[2.1]2=.则下列说法正确的是（ ） A ．函数[]y x x =-在区间[,1)k k +（Z k ∈）上单调递增 B ．若函数sin e ()e x xxf x -=-，则[()]y f x =的值域为{0}C．若函数()|f x =，则[()]y f x =的值域为{0,1} D ．R x ∈，[]1x x ≥+ 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数式确定单调性判断A ；举特例说明判断B ，D ；变形函数式，分析计算判断C 作答. 【详解】对于A ，[,1)x k k ∈+，Z k ∈，有[]x k =，则函数[]y x x x k =-=-在[,1)k k +上单调递增，A 正确； 对于B ，333322223sin 312()(1,0)2eeeef ππππππ--==-∈---，则3[()]12f π=-，B 不正确； 对于C，()f x ==当10|cos 2|2x ≤≤时，122|cos 2|2x ≤-≤，1()f x ≤≤[()]1f x =， 当1|cos 2|12x <≤时，022|cos 2|1x ≤-<，0()1f x ≤<，有[()]0f x =，[()]y f x =的值域为{0,1}，C 正确；对于D ，当2x =时，[]13x +=，有2[2]1<+，D 不正确. 故选：AC19．对x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）A ．x R ∀∈，[]1x x <+B ．[]y x =，x ∈R 的奇函数C ．函数[]()y x x x R =-∈的值域为[)0,1D ．[][][],,x y R x y x y ∀∈+≤+恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】由取整函数的定义得到[][]1x x x ≤<+，然后逐项判断. 【详解】设{}x 是x 的小数部分，则由取整函数的定义知：[]{}x x x =+，当x 为整数时，{}0x =，则[]=x x ，当x 不为整数时，{}01x <<，则[]x x <，且[]1x x <+成立，即[][]1x x x ≤<+，A ，由取整函数的定义知： [][]1x x x ≤<+，所以x R ∀∈，[]1x x <+成立，故选A 正确；B ，当01x <时，[]0y x ==，当10x -<<时，[]1y x ==-，故[]y x =，x ∈R 不是奇函数，故B 错误；C ，由取整函数的定义知： [][]1x x x ≤<+，所以[]1x x x -<≤，[]01x x ∴≤-<，∴函数[]()y x x x R =-∈的值域为[)01，，故C 正确；D ，由取整函数的定义知： [],,x y R x x ∀∈≤，[]y y ≤，所以[][][][][]⎡⎤+=+≤+⎣⎦x y x y x y ，故D 正确．故选：ACD ．20．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.2]4,[2.3]2-=-=．已知函数()||[]f x x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为R B ．()f x 的值域为[]0,1 C ．()f x 是偶函数 D ．()f x 的单调递增区间为(,1)()k k k +∈N【答案】AD 【解析】 【分析】首先得到函数的定义域，再利用特殊值判断C 、B ，求出(,1)()k k k +∈N 上的函数解析式，即可判断D ； 【详解】解：因为()||[]f x x x =-，所以()f x 的定义域为R ，故A 正确； 当01x ≤<时[)()||[]00,1f x x x x x =-=-=∈； 当12x ≤<时[)()||[]10,1f x x x x =-=-∈； 当23x ≤<时[)()||[]20,1f x x x x =-=-∈，当1k x k ≤<+，k ∈N 时[)()||[]0,1f x x x x k =-=-∈， 当10x -≤<时()(]()||[]111,2f x x x x x =-=---=-+∈，当()1t x t -+≤<-，t ∈N 时()(]()||[]1121,22f x x x x t x t t t =-=----=-++∈++， 所以函数()f x 的值域不是[]0,1，且函数在(,1)()k k k +∈N 上单调递增，故B 错误、D 正确；(0.7)0.7[0.7] 1.7f -=---=，(0.7)0.7[0.7]0.7f =-=，(0.7)(0.7)f f ∴-≠，()f x ∴不是偶函数，故C 错误；故选：AD 三、填空题21．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数.则[]y x =称为高斯函数.例如：[]1.82-=-，[]0.90=，已知函数()[]f x x x =-，则()f x 的值域为___________.【答案】[)0,1 【解析】 【分析】对x 进行分类讨论，结合高斯函数的知识求得()f x 的值域. 【详解】当x 为整数时，()[]0f x x x =-=，当x 不是整数，且0x <时，()[]()0,1f x x x =-∈， 当x 不是整数，且0x >时，()[]()0,1f x x x =-∈， 所以()f x 的值域为[)0,1. 故答案为：[)0,122．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：[]()y x x =∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.6]2-=-，[1.6]1=，[2]=2，则关于x 的不等式2[][]120x x +-<的解集为__________. 【答案】[3,3)- 【解析】 【分析】解一元二次不等式，结合新定义即可得到结果. 【详解】①2[][]120x x +-<， ①4[]3x -<<， ①33x -≤<， 故答案为：[3,3)-23．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数()[]f x x =也被应用于生活、生产的各个领域．高斯函数也叫取整函数，其符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[2.39]2,[0.17]1=-=-．若函2()cos ()3k f k k π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦Z ，则()f k 的值域为_________．【答案】{1,1}- 【解析】 【分析】 先求出2cos ()3k k π∈Z 的值，再根据高斯函数的定义即可求出答案. 【详解】 当11222,33k k k πππ=+∈Z 或22242,33k k k πππ=+∈Z 时， 21cos,()132k f k π=-=-； 当33222,3k k k πππ=+∈Z 时，2cos 1,()13k f k π==； 故()f k 的值域为{1,1}-． 故答案为：{1,1}-.24．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数[]()f x x =也应用于生活、生产的各个领域.高斯函数也叫取整函数，其符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[3.14]3=，[ 1.6]2-=-，定义函数：[]()sin 2x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 值域的子集的个数为：________． 【答案】8 【解析】依题意求出函数()f x 的值域，再根据含有n 个元素的集合含有2n 个子集； 【详解】解：依题意，[]x 表示向下取整，即[]x 取值均为整数，所以[]()sin 2x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可以看做()sin 2g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭在x 取整数时的函数，由于()sin 2g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期242T ππ==；在[)0,4π内，有[]sin 00,012sin11,122()sin 2sin 20,232sin 31,342x x x f x x x πππππ⎧⎛⎫⨯=≤< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⨯=≤<⎪ ⎪⎛⎫⎪⎝⎭== ⎪⎨⎛⎫⎝⎭⎪⨯=≤< ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪⨯=-≤< ⎪⎪⎝⎭⎩ 所以函数的值域为{}0,1,1-，故()f x 值域的子集的个数为328=个 故答案为：8 【点睛】本题考查集合的子集，含有n 个元素的集合含有2n 个子集；25．高斯函数[]y x =也称为取整函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.43=．已知数列{}n a 满足11a =，21n n naa a +=+，设数列1n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，则[]2022S =______． 【答案】2021 【解析】 【分析】首先利用裂项得到111,11n n n a a a +=-+再化简11111111n n n n na a a a a +=-=+-++，利用裂项相消求和，再利用高斯函数的定义，即可求解. 【详解】因为21n n n a a a +=+，所以2111111111,11111n n n n n n n n n na a a a a a a a a a ++==-=-=+-++++， 所以2022213220232022120232023111111111202220222021S a a a a a a a a a ⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=-+=+ ⎪⎝⎭． 因为11a =，所以21n n n n a a a a +=+>，所以20231a >，所以20231202120212022a <<+，故[]20222021S =． 故答案为：202126．函数[]y x =称为高斯函数，[]x 表示不超过，x 的最大整数，如[0.9]0=，[ln99]1=.已知数列{}n a 满足33a =，且n n 1n ()a n a a +=-，若[]ln n n b a =，则数列{}n b 的2022项和为___________. 【答案】4959 【解析】 【分析】根据递推关系求出数列的通项公式，再分类讨论求出n b ，即可求和. 【详解】n n 1n ()a n a a +=-，33a =13113n n a a a n n +∴===+， n a n ∴=当19n ≤≤时，0lg 1n a ≤<时，[]lg 0n n b a ==； 当1099n ≤≤时，1lg 2n a ≤<时，1n b =； 当100999n ≤≤时，2lg 3n a <≤时，2n b =； 当10002022n ≤≤时，3lg 4n a ≤<时，3n b =； 所以[][][]2022122022lg lg lg 9019002102334959.T a a a =+++=⨯+⨯+⨯=故答案为：495927．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数31()132x x f x =-+，则函数[()]y f x =的值域是 __． 【答案】{1-，0}##{}01-，【解析】 【分析】根据已有的函数解析式，先求解出()f x 的值域，然后根据题目的定义要求，计算出[()]y f x = 的值域即可.【详解】解：30x >，131x ∴+>，则10113x<<+，可得31111()(1322132x x x f x =-=-∈-++，1)2， 当1()(2f x ∈-，0)时，[()]1f x =-，当()[0f x ∈，1)2时，[()]0f x =，∴函数[()]y f x =的值域是{1-，0}． 故答案为：{1-，0}．28．高斯函数[]x ，也称为取整函数，即[]x 表示不超过x 的最大整数.例如：[]2.32=，[]1.52=－－.则下列结论：①[][]2.112+－＝－；①[][]0x x +－＝；①若[]13x +＝，则x 的取值范围是23x ≤≤；①当11x ≤－＜时，[][]11x x +++－的值为1或2.其中正确的结论有________.(写出所有正确结论的序号)【答案】①① 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】①[][]2.11312+=+=－－－，正确；①[][]0x x +=－，错误，例如：[]2.52=，[]2.53=－－，()230+≠－； ①若[]13x +=，则x 的取值范围是23x ≤＜，故错误； ①当11x ≤－＜时，012x ≤+＜，012x +≤＜－， ①[]10x +=或1，[]10x +=－或1或2， 当[]10x +=时，[]11x +=－或2； 当[]11x +=时，[]11x +=－或0； 所以[][]11x x +++－的值为1或2，故正确. 故答案为：①①29．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对123100++++的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数()xf x {}n a 满足*121(0)()()()(1)()n n a f f f f f n N n n n-=+++++∈，若存在*n N ∈使不等式242270n n n ka +-+≤成立，则k 的取值范围是______.【答案】49,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】 根据题意先求()(1)f x f x +-，然后利用倒序相加法求n a ，则由242270n n n ka +-+≤可得22427(1)2(1)2424(1)2111n n n n k n n n n ++++++≥==++++++，求出24(1)21n n ++++的最小值即可求得k 的取值范围【详解】 因为()x f x =，所以1()(1)1x x x x f x f x -+-==， 由*121(0)()()()(1)()n n a f f f f f n N n n n-=+++++∈， 121(1)()()()(0)n n n a f f f f f n nn --=+++++， 所以21n a n =+，所以12n n a +=， 所以由242270n n n ka +-+≤，得21422702n n n k ++-⋅+≤， 24(1)270n n k n +-++≤，2427(1)n n k n ++≤+，所以22427(1)2(1)2424(1)2111n n n n k n n n n ++++++≥==++++++，令24()(1)1g x x x =+++，（*x ∈N ）则当01x <<，()g x 递减，当1x >时，()g x 递增，因为244924(4)5,(3)410554g g =+==+=， 所以min 49()(4)5g x g ==， 所以4959255k ≥+=， 即k 的取值范围是49,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故答案为：49,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭30．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[ 2.1]3,[2.1]2-=-=．已知函数()sin |||sin |f x x x =+，函数()[()]g x f x =，则下列命题正确的是__________． ①函数()g x 是周期函数； ①函数()g x 的值域是{0,1,2}； ①函数()g x 的图象关于2x π=对称； ①方程()2g x x π⋅=只有一个实数根； 【答案】①①【解析】【分析】先研究函数()f x 的奇偶性，作出函数()f x 的图象，作出函数()g x 的图象判断①①的正确性，由特值判断①的正确性，再分类讨论判断方程()2g x x π⋅=的根的个数得解.【详解】由题得函数()sin sin f x x x =+的定义域为R , ()sin sin()sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，当0x π≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=；当2x ππ<<时，()sin sin 0f x x x =-=；当23x ππ≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=；所以函数()f x 的图象如图所示，所以函数()g x 的图象如图所示，由函数()g x 的图象得到()g x 不是周期函数，故选项①不正确； 所以函数()g x 的值域是{}0,1,2，故选项①正确；由[()]144g f ππ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，55[()][0]044g f ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以函数()g x 的图象不关于2x π=对称，故选项①不正确； 对于方程()2g x x π⋅=，当()0g x =时，0x =，方程有一个实数根；当()1g x =时，2x π=，此时()212g π=≠，此时方程没有实数根；当()2g x =时，x π=，此时()02g π=≠，此时方程没有实数根； 故方程()2g x x π⋅=只有一个实数根，故选项D 正确.故答案为：①①.。

高三复习专题08：取整函数(高斯函数)的应用知识点设][x 表示不超过实数x 的最大整数,则称][)(x x f =为取整函数（又叫高斯函数）,由于取整函数的定义域是连续的,值域却是离散的,因而有其独特的性质和广泛的应用,取整函数有关的试题能有效的考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思想,因而备受命题者的青睐.一．取整函数的性质：⑴函数][)(x x f =的定义域为R ,值域Z ；⑵若Z n ∈,当1+<≤n x n 时,n x =][；⑶当21x x <时,恒有][][21x x ≤；⑷1][][1+<≤<-x x x x ；⑸][)(x x f =是周期函数且最小正周期为1；⑹若Z x ∈,则0][][=-+x x ,若Z x ∉,则1][][-=-+x x .二.取整函数的图像：1.][)(x x f =2.][)(x x x f -=三.题型归纳⎪⎩⎪⎨⎧题包含取整函数方程的解算初始整取整函数的零点问计函数取四.经典题型题组1（基本运算）1.[]3.1，[]3-，[]5.2-2.]360[sin ...]3[sin ]2[sin ]1[sin ︒++︒+︒+︒3.[lg2019]++[lg3]+[lg2]+[lg1] 4.2178][log ++3][log +2][log +1][log 3333 5.学校要招开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y＝[10x ]B．y＝[310x +]C．y＝[410x +]D．y＝[510x +]题组2（方程的解）1.已知][)(x x x f =的定义域为[0,3],求)(x f 的值域.2.（1）方程[][]022=--x x 的解集.（2）不等式[][]0322≥--x x 的解集.3.设[]x 表示不超过x 的最大整数,如[][]1.51, 1.52=-=-.,若函数()()0,11x x a f x a a a=>≠+,则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域.4.定义在区间[,]a b 的长度为a b -,用[]x 表示x 不超过的最大整数．设()[]([])f x x x x =-，()1,g x x =-则02012x ≤≤时,不等式02012x ≤≤的解集的区间长度.5.（1）如果对于任意实数x ,[]x 表示不超过x 的最大整数.例如[]3.273=,[]0.60=.那么][][y x =是1x y -<（2）对于实数x,[x]称为取整函数或高斯函数,平面内,若(),x y 满足[][]22114x y -+-=,则22x y +的取值范围题组3（零点问题）1.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数,][)(x x g =为取整函数,02()ln x f x x x=-是函数的零点,则)(0x g 的值.2.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数,][)(x x x f -=为取整函数,则x x f x g lg )()(-=的零点个数.3.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数,][)(x x x f -=为取整函数,若方程x x f a log )(1=-有且仅有3个实根，则a 的取值范围.4.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数,x x x f -=][)(,设⎩⎨⎧<<-->+=)02(,sin )()0(,lg )()(x x x f x x x f x g π，则)(x g y =的零点个数.5.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数,有三个零点)0(][)(>-=x a x x g ，则a 的取值范围.6.对*∈N n ，设n x 是关于方程023=-+n x nx 的实数根，[]n n x n a )1(+=() 3,2=n ，[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则2017201821a a a +++ 的值.《高三数学复习专题培优系列之函数》1.函数定义域的常见求法归纳2.函数的值域的各种类型3.函数对应法则的解决策略4.函数单调性的题型探究5.函数奇偶性的题型探究6.函数对称性的题型探究7.对称性与周期性结合解决策略8.取整函数的应用9.指、对函数及其结合相关题型总结10.幂函数和二次函数根的分布问题11.函数中大小比较问题12.函数图像问题的一般套路13.函数零点问题14.等高线及嵌套函数的解题策略。

.一、取整函数的性质⑴函数y=[x]的定义域为R ，值域Z ；⑵若n ∈Z ，当n ≤x<n+1时,[x]=n; ⑶当x 1<x 2时，恒有[x 1]≤[x 2]；⑷x-1<[x]≤x<[x]+1；⑸若n ∈Z ，则[n+x]=n+[x]，由这一性质可知f （x ）=[x]是最小正周期为1的周期函数.二、取整函数在求值中的应用1. 求值；[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+．．．+[log250]解析：由取整函数的性质⑵可得,当2n≤x<2n+1(n ∈Z)时,[x]=n,所以[log21]+[log 22]+[log23]+[log 24]+．．．+[log250]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+5×(50-31)=2432. 由数[1/100]，[4/100]，[9/100]，[16/100]．．．．．．[10000/100]〕组成集合A ，求集合A 中的元素的个数。

解析：设f （n ）=1002n，则f （n+1)-f （n ）=10012n ，当n ≥50时f （n+1)-f （n ）>1所以[100502],[100512],...,[1001002]是51个互不相等的数当 1≤n ≤49时f （n+1)-f （n ）<1,且[f （1)]=0,[f（49）]=[24.01]=24所以1≤n ≤49时0≤[f （n ）]≤24且能取到该范围内的任一个整数所以集合A 中的元素的个数为51+25=76.点评：根据取整函数定义恰当进行分类，是解决以上两题的关键. 3、求sin1sin 2sin3sin 4sin5的值.解析：sin1、sin 2、sin3(0,1)，sin 4、sin5(1,0)2sin1sin 2sin3sin 4sin5三、取整函数在函数的应用.4 、定义f （x ）=x-[x]，则以下结论正确的是（）A. f （3）=1.B.方程f （x ）=0.5有且仅有一个实根C. f（x ）是周期函数 D. f（x ）是增函数.解析：因为x ∈Z 时f （x ）=0，所以排除A 、D ，又f （0.5）=f （1.5）=0.5，排除 B.选C. 点评：该题以取整函数为载体，综合考查函数的有关性质，试题新颖灵活.5.用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数2()([])f x x x 的四个命题：①函数()y f x 的定义域为R ，值域为[0,1]；②函数()y f x 的图象关于y 轴对称；③函数()y f x 是周期函数，最小正周期为1；④函数()yf x 在(0,1)上是增函数．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）答案：③④7.已知 f （x ）=x[x]的定义域为[0，3]，求f （x ）的值域.解析：⑴当0≤x<1时[x]=0,f （x ）=0;⑵当1≤x<2时[x]=1,f （x ）=x,此时1≤f （x)<2; ⑶当2≤x<3时[x]=2,f（x ）=2x,此时4≤f （x ）<6;⑷当x=3时[x]=3,此时f （x ）=9.综上所述,f （x ）的值域为{y|y=0或1≤y<2或 4≤y<6或y=9}. 点评：根据n ≤x<n+1(n ∈ Z)时[x]=n 合理进行分类,是解决本题的关键.8.设f （x ）=xx 212-21，则[f （x ）]+[f （-x ）]的值域为＿解析：f （-x ）=xx 212-21=121x-21=xxx 21221）（-21=21-xx212=-f （x ）.又0<xx212<1,所以-21<f （x ）<21. 当-21<f （x ）<0时[f （x ）]+[f （-x ）]=-1+0=-1.当0<f （x ）<1时,[f （x ）]+[f （-x ）]=0+(-1)=-1. 当f （x ）=0时[f （x ）]+[f （-x ）]=0.综上所述,函数[f （x ）]+[f （-x ）]的值域为{-1、0}. 点评：本题以取整函数为载体,考查函数值域的求法及函数奇偶性的判定,内容基础,考查方式灵活.9.对于给定的*Nn ，定义),1[,)1][()1()1][()1(x x x x x x n n n C xn，当)3,23[x时，函数xC 8的值域是A ．]28,316[B.)56,316[C.]56,28[)328,4( D.]28,328(]316,4(解：当223x 时，1][x ，xC x88]316,4(，当32x时，2][x ,]28,328()1(568x x C x ，于是答 D.10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]([]y x x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ B ）A ．[]10x yB ．3[]10x y C ．4[]10x yD ．5[]10x y 11.定义：若[x]表示不超过x 的最大整数，则称函数y=[x]为“下取整”函数；若（x ）表示表示不小于x 的最小整数，则称函数y=（x ）为“上取整”函数，例如[1.5]=1，(―2.3)= ―2,,(2.9)=3.试用适当的符号表示如下的函数关系式：○1某商场举办周年庆酬宾活动，活动规定：顾客当天在同一柜台购物，每满300元可少付100元，若顾客当天在该柜台购物价值x 元，而他实际付款是y 元，试建立y 关于x 的函数关系式。

取整运算（高斯函数）中的“断点”如果一组数是由连续的整数组成，我们就称这组数是连续的；如果一组数是由一些不连续的整数组成，那么中间缺掉的整数就称为断点，所有断点的个数称为断点数。

如｛1，2，4｝的断点为3，断点数为1；｛0，2，4，5｝的断点为1，3，断点数为2。

设[x]表示不大于x的最大整数（关于高斯函数的详细见前文）。

【例1】当0≤x≤100时，[x]+[x/3]所有能取到的值为一组整数，求这组数的断点数。

【解析】当x=0时，[x]+[x/3]=0，当x=100时，[x]+[x/3]=100+33=133，理论上[x]+[x/3]有134个值；但是当x=3时，[x]+[x/3]=3+1=4，当2＜x＜3时，[x] =2，[x/3]=0，∴[x]+[x/3] =2，可见，[x]+[x/3]的值不能取到3；当x=6时，[x]+[x/3]=6+2=8，当5＜x＜6时，[x] =5，[x/3]=1，∴[x]+[x/3] =6，∴[x]+[x/3]的值不能取到7；同理[x]+[x/3]的值不能取到11，15，…，131（3+4×32），故[x]+[x/3]不能取到的值共有33个，其断点数为33；【例2】当0≤x≤200时，求[2x/3]+[5x/4]的断点数。

【解析】当x=0时，[2x/3]+[5x/4]=0，当x=200时，[2x/3]+[5x/4]=133+250=383，理论上[2x/3]+[5x/4]可能有383个值；但是当x=12时，[2x/3]+[5x/4]=8+15=23，当11＜x＜12时，[2x/3]=7，[5x/4] ≤14，∴[2x/3]+[5x/4]≤21，可见22是[2x/3]+[5x/4]的断点；当x=24时，[2x/3]+[5x/4] =16+30=46；当23＜x＜24时，[2x/3] =15，[5x/4] ≤29，∴[2x/3]+[5x/4]≤44，∴45是[2x/3]+[5x/4]的断点；同理68，91，…，367（22+23×15）都是[2x/3]+[5x/4]的断点，故[2x/3]+[5x/4] 的断点数为16；【探索1】通过以上两个例子，可以看出，[(m/n)x]+[(q/p)x]（m，n，p，q为正整数，且m，n互质，p，q互质）在x=np，和np-1＜x＜np时，存在断点：当x=np时，[(m/n)x]+[(q/p)x]=mp+nq，当np-1＜x＜np时，[(m/n)x] ≤mp-1，[(q/p)x] ≤nq-1，∴[(m/n)x]+[(q/p)x]≤mp+nq-2，其断点为mp+nq-1；当x=2np时，[(m/n)x]+[(q/p)x]=2mp+2nq，当2np-1＜x＜2np时，[(m/n)x] ≤2mp-1，[(q/p)x] ≤2nq-1，∴[(m/n)x]+[(q/p)x]≤2mp+2nq-2，其断点为2mp+2nq-1= （mp+nq-1）+（mp+nq）；…，由此可知，（mp+nq-1）+k（mp+nq）（k为非负整数）均为[(m/n)x]+[(q/p)x]的断点，断点数为k的最大值加1。

高斯函数有关的高考压轴题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN与高斯函数有关的高考压轴题董永春(成都戴氏高考中考肖家河总校数学组, 四川成都，611000)1 高斯函数问题的提出早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设x ∈R ，用 [x ]或int (x )表示不超过x 的最大整数，并用"{}x "表示x 的非负纯小数,则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。

高斯函数[x ]的定义域是R ,值域为Z ,其图象是不连续的水平线段。

在初中、高中数学竞赛中经常出现含有取整函数的问题。

笔者在高三复习时发现欧拉常数问题[1]在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。

下面从一些考题去体会高斯函数。

2 高斯函数有关的准备我们只提出本文需要的一些性质[]{}x x x =+，[]1x x x -<≤[]1x <+， 1101010n n x x -⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦表示取x 的各分位小数。

3 高斯函数有关问题的解决例1 （2012四川16）记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-。

设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[][]()2n n n a x x x n N *++=∈，现有下列命题：①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2；②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =；③当1n ≥时，1n x >；④对某个正整数k ，若1k k x x +≥，则n x =。

其中的真命题有_①__③___④______。

（写出所有真命题的编号） 分析：①显然成立，对于②，取3a =，12343,1,3,1,...x x x x ====为摆动数列，②错。