4.3 函数的性态(2)

函数的简单性态
⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。

注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。

如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。

例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。

⑶、函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x 都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x 都满足=-，则叫做奇函数。

注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

⑷、函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。

注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。

例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。

高考中函数的热点问题一、函数的性态例题1 已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2,求函数f (x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.，并说明理由。

思路点拨：函数的奇偶性的范围应在定义域上加以分析，而函数增减单调性区间可选择定义域上或定义域的子集上考虑问题()()0()(1,0)(0,1).1011001x f x xxf x x ≠∴-⋃+>--⋃∴⎧⎪⎨⎪⎩ 解：函数的定义域为函数（）的定义域，，关于原点对称，对于定义域内的每一个，211log .1x f x f x f x xx--=--==-∴+ （）（），（）是奇函数()()121212222211221221()0,1,0,1,11111122()()log log ()[log 1log 1],1111f x x x x x f x f x x x x x x x x x <∈++-=--+=-+-------⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭研究在上的单调性设()()2212122111220,log 1log 10,()()0,110110.f x f x x x x x f x f x f x ->--->∴->---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭即（）在，上单调递减，由于（）是奇函数，（）在，上单调递减在研究函数()()()F x f x g x =±的相关问题时，如果函数()f x 与函数()g x 具备相同的单调性或奇偶性，则可以借助此性质去研究其它问题。

例题2、若2525(log 3)(log 3)(log 3)(log 3)x x y y ---≥-，则有（ ）（A ）0x y +> （B ）0x y +< （C ）0x y +≥ （D ）0x y +≤解：令25()(log 3)(log 3)x x F x =-，2()(log 3)x f x = 与5()(log 3)x g x =-都是增函数，()F x ∴是增函数，又原式可转化为()()F x F y ≥-，则有x y ≥-，∴选取（C ）点评：把题中的不等式问题，转化为一个和差函数的单调性来研究，是解题的捷径。

函 数 的 基 本 性 质 和 特 征一．函数的基本性质1. 函数的单调性：1212),,f x D x x D x x ∈<函数（的定义域为，任给，且 1212)(0f x f x x x ->-（）若1212()(()())0x x f x f x ⇔-->，则函数)f x （是单调递增函数；12121212)(0()(()())0f x f x x x f x f x x x -<⇔--<-（）若，则函数)f x （是单调递减函数； 2. 函数的奇偶性：函数)f x （的定义域为D ，D 关于原点为对称，()),(),,(=(),()f x f x f x x a a x D f x a f a x f x -=---∈---若（则为奇函数。

或）则为奇函数。

()),(),,(=(),()f x f x f x x a a x D f x a f a x f x -=--∈--若（则为奇偶函数。

或）则为偶函数。

3. 函数的周期性：(=()()f x T f x f x T +若），则函数是以为周期的周期函数。

(=()()f kx T f x f x T +若），则函数是以为周期的周期函数。

(=()()f x T f x f x T +-若），则函数是以2为周期的周期函数。

1(=()()f x T f x T f x +若），则函数是以2为周期的周期函数。

1(=()()f x T f x T f x +-若），则函数是以2为周期的周期函数。

(=()()m f x T m f x T f x +-≠若），(0),则函数是以2为周期的周期函数。

()()T f x T f x ϖϖ若的周期是，则的周期为。

1(()()21(f x f x T f x T f x -+=+），则是以为周期的周期函数。

） 1(()()1(f x f x T f x T f x -+=-+），则是以4为周期的周期函数。

第 函数 极限 连续第一节 函 数1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性定义：单调增： ).()(2121x f x f x x <⇒< 单调不减： ).()(2121x f x f x x ≤⇒< 判定：（1）定义：(2）导数：设)(x f 在区间I 上可导，则 a) )(0)(x f x f ⇔≥'单调不减； b) )(0)(x f x f ⇒>'单调增； 2)奇偶性定义：偶函数 );()(x f x f =- 奇函数 ).()(x f x f -=- 判定：(1）定义：(2）设)(x f 可导，则：a))(x f 是奇函数⇒ )(x f '是偶函数；b))(x f 是偶函数⇒ )(x f '是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；连续的偶函数其原函数之一是奇函数。

3)周期性定义：)()(x f T x f =+ 判定：(1)定义；(2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性定义：若;)(,,0M x f I x M ≤∈∀>∃则称)(x f 在I 上有界。

判定：（1）定义：（2）)(x f 在],[b a 上连续)(x f ⇒在],[b a 上有界；（3）)(x f 在),(b a 上连续，且)0()0(-+b f a f 和存在)(x f ⇒在）（b a ,上有界；（4）)(x f '在区间I （有限）上有界)(x f ⇒在I 上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本初等函数与初等函数 基本初等函数:常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。

了解它们定义域,性质,图形. 初等函数:由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数.题型一 复合函数例1．1已知)1(+x f 的定义域为),0(],,0[>a a ，则)(x f 的定义域为 (A) ]1,1[--a (B) ]1,1[+a(C) ]1,[+a a (D) ],1[a a - 解 应选 (B)例1．2已知,1)]([,)(2x x f e x f x -==ϕ且,0)(≥x ϕ求)(x ϕ及其定义域。

函数的性态知识点总结一、函数的定义与符号表示1. 函数的定义：函数是一种映射关系，指一个集合到另一个集合的特定对应关系。

2. 函数的符号表示：函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。

2. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

3. 周期函数：周期函数指f(x+T)=f(x)，其中T为周期。

4. 单调性：函数在定义域上的增减性质。

5. 有界性：函数是否有界，即是否存在上下界。

三、函数的极限1. 函数极限的定义：函数f(x)当x趋向于a时，f(x)的极限为L，表示为lim(f(x))=L。

2. 函数极限的性质：极限存在性与唯一性、有界性与无界性、单调性的保持。

四、导数与微分1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)，即导数是函数在某一点处的变化率。

2. 导数的计算：通过求导法则、高阶导数来求函数的导数。

3. 微分的定义：微分是导数的几何意义，表示函数在某一点的局部线性逼近。

4. 导数与函数的关系：导数可以表示函数的增减性、凹凸性和拐点等性质。

五、函数的极值与拐点1. 极值的定义：函数的最大值和最小值称为极值，包括局部极值和全局极值。

2. 极值的求解：通过导数的零点、非常数项、边界点等方式求解函数的极值。

3. 拐点的定义：函数图像在拐点处的曲线方向发生变化，即曲线由凹变凸或由凸变凹。

4. 拐点的求解：通过计算函数的二阶导数，找出函数的拐点。

六、函数的泰勒展开1. 泰勒展开的定义：泰勒展开是将函数在某点进行多项式逼近，用于计算函数在该点附近的近似值。

2. 麦克劳林展开：泰勒展开在x=0处的情况，称为麦克劳林展开。

3. 泰勒级数：泰勒级数是泰勒展开的无穷级数形式，用于表示函数在某点附近的各阶导数。

七、函数的积分1. 定积分与不定积分：定积分是区间上的积分，不定积分是函数的反导数。

函数性态的描述、刻画与应用分析研究函数性态的描述、刻画与应用分析研究引言函数性态描述、刻画与应用分析是函数理论中的一个重要研究方向。

函数是数学中的基本概念，它描述了元素之间的映射关系。

函数性态的描述与刻画研究不仅可以帮助我们深入理解函数的性质，还可以为函数的应用提供理论支持。

本文将对函数性态的描述、刻画与应用分析进行综合研究。

一、函数性态的描述1.1 定义函数是一个关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

函数通常用公式、图像、表格等方式进行描述。

对于给定的输入，函数能够唯一确定一个输出，而且对于同一个输入，函数的输出是确定的。

函数的描述可以通过函数的定义域、值域、映射关系等元素来进行完整阐述。

1.2 性态的描述函数性态的描述主要从函数的连续性、可导性、单调性等方面展开。

连续性描述了函数在定义域上是否存在间断点，以及间断点的类型；可导性描述了函数在某个点是否存在导数，以及导数的存在条件；单调性描述了函数在定义域上的递增或递减性质。

这些性态描述可以帮助我们深入了解函数在不同区间的变化规律。

二、函数性态的刻画2.1 数学工具函数性态的刻画离不开一些数学工具的支持。

常见的刻画工具有极限、导数、积分等。

通过这些工具，我们可以对函数的性态进行定量描述。

比如，极限可以描述函数在某个点上的趋近性；导数可以描述函数在某个点上的变化率；积分可以描述函数在某个区间上的累积效应。

这些数学工具为函数性态的刻画提供了重要依据。

2.2 图像刻画函数的图像是刻画函数性态的重要工具之一。

通过绘制函数的图像，可以直观地显示函数在定义域上的性态特征。

比如，函数的连续性可以通过图像上是否存在间断点来观察；函数的单调性可以通过图像上的上升或下降趋势来判断；函数的可导性可以通过图像上的平滑性来体现。

图像刻画可以帮助我们更直观地了解函数的性态。

三、函数性态的应用分析3.1 实际问题的建模函数性态的应用主要体现在实际问题的建模中。