函数性态的研究(最值、凹凸性与渐近线).ppt

x
《经济数学基础》配套课件
定义4.3.3、4.3.4
若 lim f ( x) b，lim f ( x) b 或 lim f (x) b，
x
x
x
则称直线 y = b 为曲线 y = f (x) 的水平渐近线.
若 lim f (x) , lim f ( x) 或 lim f ( x) ，
0
0
f (x)
凹的∪
拐点 (0,1)
凸的∩
拐点 (2 3 ,1127)
凹的∪
凹区间为(,0《],经[2济3数,学基), 础凸》区配套间课为件[0, 2 3]
凹凸区间为(,0], [0, 2 3], [2 3 ,). 《经济数学基础》配套课件
例 求曲线
的拐点.
2
5
解:
y
1 3
x
3
,
y
2 9
x
3
x ( ,0) 0
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
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例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2)
求关键点 y 1
2
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2
2 (1
(0, )
y
不存在
y凹
0
凸
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
的拐点 .
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练习. 求曲线
的凹凸区间及拐点.

2
2
那么称在Ⅰ上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；
如果恒有
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
2
2
那么称在Ⅰ上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
定义：设函数 y f x在a,b内可导，则
1.如果曲线y f x在a,b内任意点的切线总位于 曲线的下方，则称曲线y f x在a,b上是凹的.
1.确定函数的定义域并求f x; 2.求出f x 0和f x不存在的点x0; 3.对于2中的每一个x0,检查f x在x0左、右两侧
邻近的符号.
例3.求曲线y 2x3 3x2 12 x 14的凹凸区间和拐点 .
解 函数的定义域为 (, ).
y y
6x2 0
6x 12, ,得x1
y 1 2
第八节 曲线的凹凸性及渐近线
一、曲线的凹凸性及拐点的判定定理 二、曲线的渐近线
一、曲线的凹凸性及其判别法
y y f (x)
y y f (x)
o
x x x1 x2 12
x
2
o x1 x1 x2 x2 x
2
定义 设在区间Ⅰ上连续，如果对Ⅰ上任意两点 x1, x2，
恒有 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
拐点是曲线凹与凸的分界点.由定理知，在拐点左右两侧
f x的符号必然异号，因而在拐点处有f x 0或者f x 不存在；反过来，f x 0的点和f x不存在的点可能是 曲线的拐点，究竟是否拐点，还要看该点处f x的符号是
否异号.
例1.判定曲线 y x3的凹凸性.
解 函数的定义域为 (, ).
y' 3x2 , y'' 6x. x 0 y'' 0.

y cos x sin x .
令 y 0,
得
x1
3 4
,
x2
7 4
.
f (3) 2 0, f (7) 2 0,
4
4
中值定理与导数的应用
10
在[0,2]内曲线有拐点为 (3 ,0), (7 ,0).
4
4
中值定理与导数的应用
11
二、渐近线
定义: 当曲线 y f ( x) 上的一动点 P 沿着曲线 移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x) 的 一条渐近线.
22
lim
x0
f
(x)
4( x 1)
lim[
x0
x2
2]
,
得铅直渐近线 x 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x)
0 不存在
f (x)
0
f (x)
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
间
断 点
中值定理与导数的应用
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)(x 1), f ( x) 2(3x 1).
令 f ( x) 0, 得驻点 x 1 , x 1. 3
令 f ( x) 0,
得特殊点 x 1 . 3
补充点: A (1,0),
B (0,1), C (3 , 5). 28
f (x)在点 x0处二阶导数不存在 .
中值定理与导数的应用
6
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及
凹、凸的区间.

6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性与曲线的凹凸性
第1页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法
y
y f (x) B
f ( x) 0
A
y
A y f (x) f ( x) 0
B
Oa
bx
Oa
bx
定理6.8 设函数y = f (x)在[a, b]上连续, 在
f ( x) cos x 2 , f ( x) sin x 0,
f ( x)的图形是凸的.
又f
(0)
0,
f
(
)
0,
因此f
(x)
0, 即
2
sin x 2 x.
第23页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的
几何上
y y x3
方法：须确定单调区间 、区间端点值（或单侧极限） ，从而判定根的个数以及根所在的区间。
解
令f (x) ex| x
f
'(x)
e x e x
1， 1,
2| x2 x2
e x
e
x
x2， x2,
x2 x2
x 0是导数为零的点，x 2是导数不存在的点，
第14页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
注 (1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的分
界点。
y
y x3
如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上 单调增加.
O
x
(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零, 不影响区间的单调性.

般方法: ⑴确定函数的定义域; ⑵求出函数的一阶导函数, 并求出函数的驻点及不可
导点;
⑶根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的
单调性.
第十六页，课件共有37页
应用: 证明不等式.
例5 证明当 x 0时, 有 ln x 1 x2 x.
-2
-1
-2
1
2
第三十页，课件共有37页
例8 设函数 f x 2x 5 3 x2 , 求曲线的凹凸区间.
解 当 x 0时,
f x 10 x 1, f x 10 2x 1,
3 3x
9 x3 x
当 x 1 时 f x 0, 而当 x 0时, 二阶导数不存
2
在, 从而将函数 f x的定义域划分成三个区间:
x2
y f x
f x1 f x2
2
o
x1
x x x1 x2
2
2
第二十五页，课件共有37页
如果函数 f x的图形在经过点 x0 , f x0 时改变了 上下凸性, 则称点 x0 , f x0 是曲线 y f x 的一个
拐点.
y
y f x
x0 , f x0
第十三页，课件共有37页
将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:
f x 10 x 1, x 0
3 3x
x ,0 0
f x
f x
0
0,1 1 1,
0 3
第十四页，课件共有37页
y
2
单调下降
-1 -2 -4 -6 -8
-10
1
2
单调上升
第十五页，课件共有37页
x 3

Proof. 设 f ( x) xlnx ， x0 ，（Step1 找准函数， ）
f
( x)lnx1，
f
( x)
1 x
0
，（Step2
判断函数凹凸性）
∴故Ef (fXx(E)x在 y(0)12, (1x[nf)(内xy)为n )f严(格y)x]凸，2函y数n，,
22
即
x
y
ln
x
y
1x [
0, y xlnx
0, x yln y] ，
y,
n1．
2 22
（Step3 利用凹凸性导结论）
从而 ( x y)ln x y xlnx yln y ． 2
（二）曲线的拐点
连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点
f ( x) 0的 po int s f ( x)不存在的po int s 是拐点横坐标的可疑点．
o
Note：改“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凸函数；
“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凹函数． 反之未必成立，即 Thm 7 及注仅是充分条件，非必要．
例 9 证： ( x y)ln x y xlnx yln y , x, y0 且 x y ； 2
Note: (2) 定义中的不等式 对 x [x1, x2] (a, b) ，都有
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凸函数
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凹函数
y y f (x)
A DB C

若 f ( x) C[a , b] ，且在 (a , b) 内有唯一极值点 x0 ， 则 f ( x0 ) 为极大值时，即为 f ( x ) 在 [a, b] 的最大值；
f ( x0 ) 为极小值时，即为 f ( x ) 在 [a, b] 的最小值．
例 7 建造一个具有已知容积 V 的无底有盖的圆柱形煤气柜．
EXE. 求函数 y sinx cosx 在 [0, 2 ] 上的极值．
三、最值
(1) 最值存在： 若 f C[a , b] ，则在 [a, b] 上 f 取得最大值和最小值．
（充分非必要）
(2) 何处取得最值：
极值点处 可能最值 端点处
(3)
驻点 f 不存在的点 （应是f 的连续点）
补充作业 (1)
ae 2 x cos x, x 0, 可导，求 a, b ． f ( x ) sin(bx ) x, x 0 x
x 3e tx x (2) 求 f ( x ) tlim 的间断点，并指出类型． tx e sin x
(3)
x 1 , L( x ) ln x 1,
如何判定：
驻点 极值点处 f 不存在的点 （应是f 的连续点） 可能最值 端点处
(3) 如何判定： 若 f ( x) C ，则
只要比较 f 在驻点、 f 不存在的点、端点处的值，
最大者为最大值，最小者为最小值．
两个结论：
两个结论：
(1) 若 f ( x) C[a , b] ，且在 (a, b) 内有唯一极值点 x0 ，
p p x (1 x ) 1 ， 0 x 1． p 1
例 9 讨论方程 x ke x （k 为正常数）有几个根．

10
f ( x2 ) f ( x1 ) 或 f ( x2 ) ( x1 x2 ) x2 x1 f ( x2 ) f ( x1 ) 从而当 x2 x1 , f ( x2 ) f ( x1 ), x2 x1
这表明 f ( x )在 I 上单调增 , 于是
(3) 得证.
第二章
§6 函数性态的研究 (2)
0.1 0.05 -1 -0.5 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25
1
0.5
1
1.5
四、函数的凹凸性(concavity)
凸函数的第一几何特征
以下凸函数为例，如图，
( x1 , f ( x1 ))
B( x2 , f ( x2 ))
x
A
x1
定义 1 (凸函数的分析定义)
若 x1 , x2 I , 及 [0， 1]，恒有
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
则称f ( x )在I上是下凸函数 (或凸函数 )。

对下凸第一几何特征可简述为： 曲线在相应点间弦的下方。
4
凸函数的第二几何特征
下凸的光滑函数上任一点的切线在曲
线的下方，且 f 是单调增加的。
见下一页图示

5

6
定理 5 (凸性的判定法一, P.155.定理6.5)
设 f ( x )在I上可微, 则下列命题等价:
( 1 ) f ( x )在 I上是下凸函数 ;
(2) x1 , x2 I ,
0
Байду номын сангаас
利用: x0 x1 (1 ) x2

则
在区间I 上有二阶导数
在 I 内图形是凹的 ; 在 I 内图形是凸的 .
例1. 判断曲线
的凹凸性.
y
解: y 4x3,
故曲线
在
ox
上是向上凹的.
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
x x
x x( x 1)
lim[2( x 2)(x 3) 2x] x x( x 1)
lim 2( x 2)( x 3) 2x( x 1) 4,
x
x1
y 2x 4 是曲线的一条斜渐近线.
f ( x) 2( x 2)( x 3) 的两条渐近线如图 x1
凹
故该曲线在
( ,0)
及
(
2 3
,

)
上向上凹,
在(0,
2 3
)
上
向上凸
,
点
(
0
,
1
)
及
(
2 3
,
11 27
)
均为拐点.
五、函数图形的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
和高各取多少时用料最省？
解: 设底半径为r ,高为h,面积为 S.则
V r2h
2r 2 2V r

S

4r

2V r2
令
V r 3
2

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例5：证明不等式
例5.4 例5.5
1 (xn yn ) ( x y )n (x 0, y 0, x y, n 1)
2
2
证明：设 f (t) tn (t 0,n 1) 则
f (t) ntn1, f (t) n(n 1)tn2,
当 t 0,n 1 时，有 f (t) 0
x x x k lim f (x)
x x
(或x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) kx]
x (或x )
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例2. 求曲线
的渐近线 .
解: y
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
即上述 f（t）为下凸函数，于是对任意 x 0, y 0 有：
1 (xn yn) ( x y)n
2
2
二、 曲线的渐近线
定义3 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M y k x b
例如, 双曲线
L PN
o
x
有渐近线
x y0
y
ab
但抛物线
无渐近线 .
ox
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1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )

0
5
x
ezplot('x*(x-1)*y=1',[-10 10])
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10
22
(2)水平渐近线 若limf(x)b,则 直y线 b是 曲
x (x )
yf(x)的水平渐 . 近线
注意：只有当函数的定义域是无穷区间时， 其曲线才有可能存在水平渐近线．
20
例5.求曲线 f (x) 1 的铅直渐近线．
x(x 1)
解 因为 lim 1 ,
x0 x(x 1)
lim 1 x1 x(x 1)
所以 x 0 和x 1 是曲线的两条铅直渐近线．
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21
y=1/x(x-1) 10
5
y
0 x=0 x=1
-5
-10 -10
2021/1/21
-5
y'15x26x7, y''30x6
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
x ( ,1 )
1
5
5
(1 , ) 5
y '' -
0
+
y
凸
8 2
5
拐点
凹
在 x 1 两侧 y ' ' 符号发精选课生件ppt改变,则 ( 1 , 8 )是拐12 点．
5
5 25
1
例3.求曲线 y x 3 的拐点．
(b)中曲线上任意两点的割线在曲线的下方
2021/1/21
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3
（一） 凹凸性定义
设 f (x)在 区 间 I上 连 续,如 果 对 I上 任 意 两 点

驻点
可能最值
极值点处 端点处
f 不存在的点
（应是f 的连续点）
(3) 如何判定：
驻点
可能最值
极值点处 端点处
f
不存在的点
（应是f 的连续点）
(3) 如何判定： 若 f (x)C ，则
只要比较 f 在驻点、 f 不存在的点、端点处的值， 最大者为最大值，最小者为最小值．
两个结论：
两个结论：
(1) 若 f (x)C[a, b] ，且在 (a, b) 内有唯一极值点 x0 ，
(6)
f
二阶连续可导， y sin
f ( x2 ) ，
求d2y ．
dx 2
推广到一般情况： 设 f ( x) 在 x0 处有 n 阶导数， f ( x0 ) f (x0 ) f (n1)(x0 ) 0 ，且 f (n)( x0 ) 0 ．则
10 n为奇数时，点 x0 为非极值点； 20 n为偶数时，
“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凹函数． 反之未必成立，即 Thm 7 及注仅是充分条件，非必要．
例 9 证： ( x y)lnx y xlnx ylny , x, y0且 x y ；
2
Proof. 设 f ( x) xlnx ， x0 ，（Step1 找准函数， ）
Def. 2 设 f ( x) C[a, b] ．对 x 1 , x2 (a, b) ，
及 0 1 ，若总有
f ( x1 (1 )x2) f (x1) (1 ) f (x2) (a, b) 内的凸函数； f ( x1 (1 )x2) f (x1) (1 ) f (x2) (a, b) 内的凹函数．
补充作业 (1)
ae2x cos x, x 0,