天津工业大学2008-2009线性代数期末试卷

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷1。

设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=*8030010000100001A ，则A ＝ 。

2。

A 为n 阶方阵，T AA =E 且=+<E A A 则,0 。

3．设方阵12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵，且AB=O ,则=t 。

4。

设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组,,,,21m ααα β 的秩为 .5．设A 为实对称阵，且|A ｜≠0，则二次型f =x T A x 化为f =y T A —1 y 的线性变换是x = ．６．设3R 的两组基为()T11,1,1a =，()21,0,1a T=-，()31,0,1a T=；),1,2,1(1=βT ,()()232,3,4,3,4,3ββ==T T，则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵为 。

(共6小题,每小题3分，满分18分）1.设D n为n阶行列式,则D n＝0的必要条件是［］.(A) D n中有两行元素对应成比例；（B）D n中各行元素之和为零；(C）D n中有一行元素全为零；（D）以D n为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组α,β,γ线性无关，α,β，σ线性相关,则［］.（A)α必可由β,γ,σ线性表示；(B) β必可由α，γ，σ线性表示；（C）σ必可由β，γ,α线性表示；(D)γ必可由β,α,σ线性表示。

３．设3阶方阵A有特征值0，－1,1，其对应的特征向量为P1，P2,P3，令P＝（P1，P2，P3)，则P－1AP＝［］。

(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦；(B）000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(C)000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－；(D)100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－．４．设α1，α2,α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ ］.（A）α1，α2，α3 —α1；（B）α1，α1+α2,α1+α3；(C）α1+α2，α2+α3，α3+α1; （D）α1-α2,α2—α3,α3-α1.５．若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0,则A的秩Ｒ(A)=[ ］。

期末线代试题及答案一、选择题（每题2分，共50分）1. 设A为3阶方阵，满足A^2 = I，则A的行列式的值是多少？A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C2. 设向量组V1 = (1, 0, -1)，V2 = (2, -1, 3)，V3 = (-1, 2, 0)，则V1, V2, V3是否线性相关？A. 相关B. 不相关答案：B3. 设向量组V1 = (1, 2, -1)，V2 = (2, 1, 3)，V3 = (-1, 4, 5)，则V1, V2, V3是否线性相关？A. 相关B. 不相关答案：A4. 设A为3阶方阵，满足行列式det(A) = 3，则矩阵B = A^-1的行列式的值是多少？A. -1/3B. 3C. 1/3D. 1答案：C5. 已知矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9]，则A的秩是多少？A. 2B. 3C. 1D. 0答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 设A为3阶方阵，满足A^T = 2A，则A的特征值之和是________。

答案：62. 设矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9]，则A的伴随矩阵的元素之和为________。

答案：03. 设向量组V1 = (1, 0, 1)，V2 = (2, 1, 3)，V3 = (-1, 0, -2)，则V1, V2, V3的秩为________。

答案：24. 设三阶方阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = -1, λ3 = 0，则A的特征值对应的特征向量分别为________。

答案：（2, 0, 1），（0, 1, -1），（1, 1, -1）5. 设矩阵A = [1 2, 3 4]，则A的迹为________。

答案：5三、解答题（每题20分，共60分）1. 设A为2阶方阵，满足det(A) = 3，求A的伴随矩阵。

答案：设A = [a b, c d]，则伴随矩阵的元素为：A* = [d -b, -c a]所以伴随矩阵为：A* = [d/3 -b/3, -c/3 a/3]2. 已知矩阵A = [1 -1, 2 3]，求A的特征值和特征向量。

12n n n b b b ；12312⎛⎫ ⎪，2⎛武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、2A E +；2、1；3、4；4、3；5、 0.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、D 5 、B三、解答题（每小题7分，共35分）1、 2212111nn nn i i n b b a b b D a b b a b =+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+∑ ………………………………………………………（3分） 11n i iaa b a =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ ………………………………………………………………（6分）11n n i i a b a -=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑…………………………………………………………………………………（7分） 2、 因为()123240,312402231024A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………………（2分） 553100444333010444131001222r r ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=55313334262-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（7分） 3、 因 22|3|3||T AA A =29||A = ……………………………………………………（5分）2229()a b =+。

……………………………………………………（7分）4、设10,T X α= 即123220x x x ++= ……………………………………… （2分）解得基础解系12221,001ηη--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

……………………………………… （4分）Schmidt 正交化12,ηη，得到222132222252[,]41,[,]501ηααηαηααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求。

中国海洋大学2008-2009学年第2学期期末考试试卷数学科学学院《线性代数》课程试题(A卷) 共4 页第2 页中国海洋大学 2008-2009学年 第2学期 期末考试试卷数学科学 学院 《线性代数》 课程试题(A 卷) 共 4 页 第 3 页解： 1X A B -=，根据初等行变换求解可得 ()()213132132323102211022110221311133,201570015702,521891014510012110021010351,100121rr r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-------+---+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪-⨯-⨯-⎪ ⎪---⎝⎭uuuuuuuuuuuuu r uuuuu r uuuuuuuuuuuuu r uuuuu r 100210103500121--⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭uuuuuuuuuuu因此213521X --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭4. 已知3R 的两组基为()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1TTTααα==-=与()()()1231,2,1,2,3,3,3,7,1T T Tβββ===，求：（1）基{}123,,ααα到基{}123,,βββ的过渡矩阵； （2）向量()5,2,1Tα=在基{}123,,ααα下的坐标。

解：（1）设基{}123,,ααα到基{}123,,βββ的过渡矩阵为C ，则()()123123,,,,C βββααα=，即123111237011131001C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此1111123011237001131C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用初等变换法求解得()2313122111123110012100118011237,010106,1010106001131001131001131r r r r r r r --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----+⨯--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭uuuuuuuuuuu r uuuuuuuuuuuuur12,,,,n αααβL 线性无关；（2）若1β可由12,,,n αααL 表出，而2β不能由12,,,n αααL 表出， 则1212,,,,n αααββ+L 线性无关。

2008─2009学年 第 二 学期《线性代数Ⅱ》课程考试试卷B 答案注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单选题 (每小题 2 分，共 20 分)1.设A 为n 阶方阵，且2,n ≥则5A -等于（ A ）；(A ) (5)n A -； (B ) 5A -； (C ) 5A ； (D ) 5nA .2.设,,A B C 为同阶方阵，则()T ABC 等于 ( B )；(A ) T T T A B C ； (B ) T T T C B A ； (C ) T T T C A B ； (D ) T T T A C B .3.设矩阵1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则和A 等价的矩阵是( B )；(A ) 1022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(B ) 1313A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(C ) 111222A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(D ) 112222A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭. 4.若向量组s ααα,...,,21，(2s )线性无关的充要条件是（ D ）； (A ) s ααα,...,,21 均不为零向量；(B ) s ααα,...,,21中任意两个向量不成比例； (C ) s ααα,...,,21任意s-1个向量线性无关；(D ) s ααα,...,,21中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示.5.已知12,ββ为非齐次线性方程组Ax b =两个不同的解，12,αα为其导出组0Ax =的一个基础解系，12,c c 为任意常数，则Ax b =的通解可以表示为（ A ）；(A ) )()(212121121αααββ++++c c ；(B ) )()(212121121αααββ+++-c c ；(C ) )()(212121121ββαββ-+++c c ；(D ) )()(212121121ββαββ+++-c c . 6.设A 为n 阶方阵，且032=-+E A A则=+-1)2(E A （ A ）；(A ) E A -；(B ) E A +；(C ))(31E A -；（D ）)(31E A +. 7．设n 阶可逆方阵A 有一个特征值为3，对应的特征向量为x, 则下列等式中不正确的是（ B ）；()3A Ax x = 1()3B A x x -= 11()3C A x x -= 2()9D A x x =.8.写出二次型1231213(,,)22f x x x x x x x =+的规范形（ C ）；（A ）221222y y -； （B ）221222y y +； （C ）2212y y -； （D ）2212y y +. 9.设3阶矩阵A 与B 相似,A 的特征值为4,2,3. 则B 等于（ D ）；1()24A ； 1()9B ； ()9C ； ()24D .10.二次型212311323(,,)44f x x x x x x x x =++的矩阵为（ D ）；(A ) 104004440⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(B ) 1022002000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(C ) 1002000220⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(D ) 102002220⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、计算下列行列式 (每小题6分，共12分)1．123233249499367677=02．1115115115115111=512三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名…………………….………….………………试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………三、计算矩阵 (共20分)设111210101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，123120001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求（1）A AB 23-；(5分) （2）B A T；（5分）（3）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求1-A .（10分）解：（1）242126124AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)2421114108323126221018181241011610AB A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (5)（2）12112336411012000310*******TA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭………10 （3）40A =-≠，故A 可逆，……………………13 并且**1111222, (17)113111111222444113111 (204)222113444A A A A ----⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪===- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭四、(每小题4分，共16分)已知向量组13125α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21112α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭32013α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭41101α⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1)若123430αααβ+--=，求β；(2)求向量组的秩),,,(4321ααααR ；(3)求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组； (4)将其余向量组用此最大无关组线性表示.解：（1）1135383193β⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4)（2）31211011110101122110000052310000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向量组的秩),,,(4321ααααR =2 (8)（3）向量组4321,,,αααα的一个最大无关组为12,αα (12)（4）312412,2αααααα=-=- (16)三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名…………………….………….………………试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………五、(共15分)求下列非齐次线性方程组的通解及对应的齐次方程组的基础解系：123451234523451234513235226254337x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩ 解111111101153321135012262012262000000543317000000-----⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭因R(A)=R(A,b)=2 5.故有无穷解. (5)原方程组的同解方程组为13452345532262x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ (7)特解*32,000η-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (9)齐次的基础解系123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (13)通解为*112233k k k ηηξξξ=+++(123,,k k k 为任意常数) (15)六、(共17分) 设矩阵100032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）求一正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.解：（1）10032(1)(1)(5)0023A E λλλλλλλ--=-=---=- 得A 的特征值为1231,5λλλ===……………4 对应121λλ==，解方程0)(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ (8)1ξ，2ξ为对应于121λλ==的特征向量.对应53=λ，解方程0)5(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ (10)3ξ为对应于53=λ的特征向量.(2)将321,,ξξξ单位化有,11021,001,11021321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P P ......... (12)令),,(321P P P P =（不唯一）有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P (15)三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名…………………….………….………………试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………。

天津工业大学（2008—2009 学年第二学期）《线性代数》期末试卷2009.6, 理学院)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息，若写在其它处视为作弊。

本试卷共有九道大题，请认真核对后做答，若有疑问请与监考教师联系。

一．填空题（请将答案写在空格处,每题3分）1．设矩阵0000200x A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭可逆,A =2, 则:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1A; 2．已知3维向量321,,ααα,β, 且行列式),,(321ααα=2009,则行列式12132(6,2,2009)ααααα+-= ; 向量组{β,321,,ααα} 的秩R = ;-------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------学院专业班学号姓名-------------------------------装订线----------------------------------------装订线-----------------------------------------装订线---------------------------3．若3阶矩阵A 有特征值 3,-12,2, 则矩阵*2123B A A A E -=-+-的特征值为 , 其中行列式B = ;4.已知矩阵22411111B x x xx ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其行列式B = ;5．若实正交矩阵33()ij A a ⨯=,且111a =-,向量,{2,0,0}T α=-则线性方程组A X α=的解为 ;6.设1211v ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,124211v ν⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,若12,v ν是AX β=的解,()(,)R A R A β==2;则线性方程组AX β=的通解为 ;7.已知向量,{1,2,,}T n α= 111,23{1,,,,}T nβ= 3n ≥,矩阵T A αβ=, 则()R A = , 矩阵A 的特征值为 ;232000300a n a a an ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11,2,2,0,2,0,,j i j ijj i j ii j ia j a ==≥≥=≥≠≠⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩三. 已知矩阵A 满足等式：2A 2+6A-7E =0,1. 证明矩阵A 可逆, 计算 A -1;2. 证明矩阵(A -2E)可逆, 计算(A-2E) -1;四．已知矩阵111,,()A diag =, 且113122ABA BA E --=-,计算矩阵B 及*A ;五. 设矩阵111111042A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,112β-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1) 求解方程组AX β=; (2) 求解方程组2A X β=;六. 已知列向量组12345(1,2,3,4),(2,3,4,1),(2,5,8,3),(5,26,9,12),(3,4,1,2)TTTT Tααααα=-=-=--=--=-1.计算12345{,,,,}ααααα的秩;2.求它的一个最大无关组, 并将其余向量用最大无关组线性表示;-------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------学院专业班学号姓名-------------------------------装订线----------------------------------------装订线-----------------------------------------装订线---------------------------T X AX 化为标准形; 正定？？？？3.回答在直角坐标系123O x x x 中,),,(321x x x f =6 表示的曲面;七. 若二次型22212312312(,,)22610f x x x x x x x x =+++, 1.将),,(321x x x f 写为AX X T 的形式;八. 设4阶方阵A0A +=,2TAAE =, 0A <, 其中E 为4阶单位阵;证明: *0A -= (*A 为A 的伴随阵);-------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------学院专业班学号姓名-------------------------------装订线----------------------------------------装订线-----------------------------------------装订线---------------------------九. 已知m n ⨯实矩阵A ,证明: 方程组0T A AX =与0A X =同解;。

第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

一． 填.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于 .2.设A 为2005阶矩阵，且满足T A A =-，则A = .3.非齐次线性方程组AX b =有解的充要条件是 .4.设A 为4阶方阵，且A 的行列式12A =，则2A *= .5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为 .6.设A 为正交矩阵，则1A -= A = .7.三阶可逆矩阵A 的特征值分别为2，4，6，则1A -的特征值分别 为 .8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的 取值范围是 .9.设A 为n 阶方阵，且2A A =，则()12A E --= . 10.在MATLAB 软件中rank(A)表示求 .二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含（ ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - 2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0. 3. 设A 是n 阶方阵，满足2A E =，则（ ）（A ）A 的行列式为1 （B ）,A E A E -+不同时可逆. （C ）A 的伴随矩阵*A A = （D ）A 的特征值全是14. 设n 阶方阵,,A B C 满足ABC E =，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ ） （A ）ACB E = (B) CBA E = (C) BCA E = (D) BAC E =5. 在MATLAB 中求A 的逆矩阵是（ ）（A ）det(A) (B)rank(A) (C)inv(A) (D)rref(A) 三、计算题（每题6分，共12分）1.1111111111111111x x x x ---+---+--2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.四、设1122123122,,3,βααβααβαα=-=+=-+验证：123,,βββ线性相关.（8分）五、已知122212221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1A -及()1*A - （10分）六、设线性方程组1232123123424x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩当λ等于何值时，（1）无解；（2）方程组有惟一解；（3）有无穷多解，并求出此时方程组的通解.（12分）七、求一个正交变换X PY =，把下列二次型化为标准形()22212312323,,4233f x x x x x x x x =+++ （13分）答案一．1.0 2.0 3.()()R A R A = 4.2 5.9 6.T A ，1±7.111,,246. 8.5t > 9.()2A E +- 10. 矩阵A 的秩二、1.D 2.D 3.B 4.C 5.C 三、123421314132111111111112111 1.1111111111111111111111111100 3511110011110111100000x x x x xx x c c c c x x x xx x r r x x xx r r x x x x r rxx x x r r x x x -----+--+---+++--+----------+-------------↔---分分（分）46x x=（分）()2131414342123411211121111102122. ,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。

系别_______ ____ _ _ 专业__________ ___年级_________ ____姓名______ ______学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 理 工 科 专业 线性代数 课2008——2009学年度第一学期期末考试试卷(B 卷)填空题（每题2分,共16分）1． 四阶行列式中的一项34124321a a a a 应取的符号是_______。

2． 排列3712456的逆序数是_________。

3． 设A 是三阶方阵，且2A =，则2A =________。

4． 设12113215631A λ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且A 的秩等于2，则λ=________。

5． 若n 阶矩阵A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得__________________成立。

6． 若二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-++，则二次型的矩阵为_______________。

7． 矩阵方程组AX B =有解的充分必要条件是_________________。

8． 设向量12(2,1,1),(3,5,6)T T αα=-=-，则1α与2α的内积为_______________。

判断题（每空2分,共20分）（ ） 1． 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零。

（ ） 2． 设λ是A 的特征值，则2λ是2A 的特征值。

（ ） 3. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

（ ） 4． 设A 的秩等于r ，则A 的1r -阶子式全不等于零。

（ ） 5． 若n 阶矩阵A 可以表示成一些初等矩阵的乘积，则A 可逆。

（ ） 6． 若,A B 为同阶可逆矩阵，则11()kA kA --=。

（ ） 7． 线性无关的向量组中任何一部分组都线性无关。