六年级下册数学培优-第一讲-比例和反比例

第六单元 正比例和反比例（知识清单·培优专练）1、正比例的意义。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，那么这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作整理比关系。

如果用字母y 和x 表示两种相关联的量，用k 表示它们的比例（一定），那么正比例关系用式子表示为k xy （一定）。

2、判断两种量是否成正比例关系的方法。

（1）确定这两种量是不是相关联系的量；（2）确定这两种量的比值是否一定；（3）根据比值是否一定进行正确判断。

3、正比例的图像。

正比例图像是一条从原点出发的射线。

从图像中可以直观地看到两种量地变化情况，可以不用计算，由一个量的值就能直接找到相对应的另一个量的值。

4、反比例的意义。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。

如果用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示它们的乘积（一定），那么反比例关系可以表示为xy=k （一定）。

5、判断两种两是否成反比例关系的方法。

（1）看两种量是不是相关联的量；（2）看两种量相对应的数积是否一定，若积一定，则成反比例关系；若积不一定，则不成反比例关系。

一、选择题A．B．C．D．④每天加工零件的时间一定，每个零件加工的时间与加工的零件个数。

（成正比例）A．4 B．3 C．2 D．18．有两个相关联的量，它们的关系如图所示，这两个量不可能是（）。

A．圆柱的底面积一定，体积和高B．单价一定时，购物的总价和购物数量C．路程一定，已走的路程和剩下的路程D．圆的周长与直径二、填空题9．如果59=，那么a和b成( )比例；如果m∶3＝10∶n，那么m和a b(1)在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成( )比例。

(2)当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是( )千克。

12．已知A和B是两种相关联的量，当5B=，如果A和B成正比例，A=时，6当7.5A=时，B= A=时，B=( )；如果A和B成反比例，当10( )。

第一节 反比例函数的图像和性质一、课标导航二、核心纲要 1.反比例函数(1)定义：一般地，形如k xky (=为常数，)0=/k 的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数．注：①自变量x 在分母上，指数为1． ②比例系数.0=/k③自变量x 的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是.0=/y ④反比例函数的其他形式：).0()0(1=/==/=-k kx y k k xy 或 (2)图像：反比例函数的图像是双曲线，也称为双曲线).0(=/=k xky (3)性质（如下表所示）注：（1）y 随x 变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件 (2) ).0(=/=k k xky 为常数，中自变量.0=/x 函数值.0=/y 所以双曲线不经过原点，两个分支逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.2．待定系数法求反比例函数的解析 式只需图像上一个点的坐标即可求出k. 3.反比例函数的图像的对称性 (1)中心对称：对称中心是原点．(2)轴对称：对称轴是直线x y =和直线.x y -=.4.︱k ︱的几何意义(如下表所示)5.数学思想(1)数形结合；(2)分类讨论．本节重点讲解：一个定义，一个性质，一个对称性，一个几何意义．三、全能突破基 础 演 练1．如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的( )．A.反比例函数 B ．正比例函数 C ．-次函数 D ．反比例或正比例函数2．若反比例函数22)12(--=m xm y 的图像在第二、四象限，则m 的值是( )．A ．-1或1B ．小于21的任意实数 C ．-1 D ．不能确定3．如图26 -1-1所示，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数xk k y 122++=的图像上．若点A 的坐标为（-2，-2），则k 的值为( )．1.A 3.-B 4.C D ．1或-34．若函数||1m xm y -=为反比例函数，则m=5．三个反比例函数321y y y 、、的图像的一部分如图26 -1-2所示，则321k k k 、、的大小关系为6．反比例函数xk y 2-=的图像一个分支经过第一象限，对于给出的下列说法： ①常数k 的取值范围是k>2;②另一个分支在第三象限；③在函数图像上取点),(11b a A 和点),,(22b a B 当21a a >时，则;21b b <④在函数图像的某一个分支上取点),(11b a A 和点),,(22b a B 当21a a >时，则;21b b < ⑤函数的图像是中心对称图形但不是轴对称图形； ⑥一元二次方程01)12(22=-+--k x k x 无实数根， 其中正确的是 （在横线上填出正确的序号）7．已知,21y y y +=而1y 与x+l 成反比例，2y 与2x 成正比例，并且1=x 时，,20;2===y x y 时，求y 与x 的函数关系式．8．如图26 -1-3所示，定义：若双曲线)0(>=k xky 与它的其中一条对称轴x y =相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为双曲线)0(>=k xky 的对径． (1)求双曲线x y 1=的对径． (2)若双曲线)0(>=k xky 的对径是,210求k 的值．(3)仿照上述定义，定义双曲线)0(<=k xky 的对径．能 力 提 升9．已知二次函数C bx ax y ++=2的图像如图26 -1-4所示，那么一次函数c bx y +=和反比例函数xay =在同一平面直角坐标系中的图像大致是( )．10.下列选项中，阴影部分面积最小的是( )．11.根据图26-1-5(a)所示的程序，得到了y 与x 的函数图像如图26-1-5(b)，过点M 作x PQ //轴交图像于点P 、Q ，连接OP 、OQ.则以下结论：①x<0时，;2xy =②△OPQ 的面积为定值；③x>0时，y 随x 的增大而增大；④;2PM MQ =POQ ∠⑤可以等于.90其中正确的结论是( )．A.①②④B.②④⑤ C .③④⑤ D.②③⑤12．(1)正比例函数)0(11=/=k x k y 和反比例函数)0(22=/=k x ky 的一个交点为(1，-2)，则另一个交点 为(2)直线)0(>=a ax y 与双曲线xy 3=交于),(),(2211y x B y x A 、两点，则=-122134y x y x13.如图26 -1-6所示，在直角坐标系中，正方形的中心在原点0，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P (3a ，a)是反比例函数)0(>=k xky 的图像上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则 这个反比例函数的解析式为14．如图26 -1-7所示，点A 、B 是函数x y =与xy 1=的图像的两个交点，作x AC ⊥轴于C ，作x BD ⊥ 轴于D ，则四边形ACBD 的面积为15.如图26 -1-8所示，已知双曲线)0(>=k xky 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为6，则=k16.如图26 -1-9所示，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数)0,0(>>=x k xky 的图像上，若点 R 是该反比例函数图像上异于点B 的任意一点，过点R 分别作相交x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ．则当S=m(m 为常数，且O<m<4)时，反比例函数解析式为 ，点R 的坐标是 （用含m 的代数式表不）．17.如图26-1-10所示，在平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线)0(>=k xky 经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则=k18.如图26-1-11所示，△AOB 为等边三角形，点B 的坐标为（-2，0），过点C(2，0)作直线L 交AO 于D ，交AB 于E ，点E 在某反比例函数图像上，当△ADE 和△DCO 的面积相等时，那么该反比例函数解析式 为19．(1)两个反比例函数xy x y 63==、在第一象限内的图像如图26-1-12所示，点2013321p p p p 、、、、 在反比例函数xy 6=的图像上，它们的横坐标分别是,2013321x x x x 、、、、 纵坐标分别是1、3、5、…共2013个连续奇数，过点2013321p p p p 、、、、 分别作y 轴的平行线与x y 3=的图像交点依次是1Q ),,(,),,(),,(),,(20132013201333322211y x Q y x Q y x Q y x 则=2013y(2)如图26-1-13所示，在函数)0(8>=x xy 的图像上有点,1321+n n p p p p p 、、、、、 点i P 的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点1321+n n p p p p p 、、、、、 分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为、1s ,32n s s s 、、、 则=1s =n s , （用含n 的代数式表示）．20．(1)①如图26-1-14(a)所示，一个正方形的一个顶点1P 在函数)0(1>=x xy 的图像上，则点1P 的坐标是( , )②如图26-1-14(b)所示，若有两个正方形的顶点21p p 、都在函数)0(1>=x xy 的图像上，则点2P 的坐标是( , )(2)如图26-1-14(c)所示，若将两个正方形改为两个等腰直角三角形，直角顶点21p p 、在函xy 4=(x>0)的图像上，斜边211A A OA 、都在x 轴上， ①求点1A 的坐标； ②求点2P 的坐标．(3)如图26-1-14(d)所示，若有两个等边三角形的顶点21p P 、都在函数)0(34>=x x y 的图像上，点21A A 、在x 轴上，直接写出点2P 的坐标．21．(1)探究：如图26-1-15 (a)所示，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．(2)应用：①如图26-1-15 (b)所示，点M 、N 在反比例函数)0(>=k xky 的图像上，过点M 作y ME ⊥ 轴，过点N 作x NF ⊥轴，垂足分别为E 、F ．试证明：.//EF MN②若①中的其他条件不变，只改变点M 、N 的位置如图26-1-15(c)所示，请判断MN 与EF 是否平行．直接写出结论．(3)拓展：如图26-1-15(d)所示，点M 、N 在反比例函数)0(11>=k xky 的图像上，过点M 作y ME ⊥ 轴，过点N 作x NF ⊥轴，垂足分别为E 、F ，交反比例函数)0(22>=k xky 的图像于点G 、H ，MN 与GH 是否平行？并说明理由．中 考 链 接22．(1)（2012．荆门）已知：多项式12+-kx x 是一个完全平方式，则反比例函数xk y 1-=的解析式为( )．x y A 1=⋅ x y B 3-=⋅ x y C 1=⋅或x y 3-= x y D 2=⋅或xy 2-= (2)（2012．佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数xa a y 22+-=图像的两个分支分别在( )．A.第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、二象限 D ．第三、四象限23．（2013．江西南昌）如图26 -1-16所示，直线2-+=a x y 与双曲线xy 4=交于A 、B 两点，则当线段AB 的长度取最小值时，a 的值为( )．0.A 1.B 2.C 5.D24. (2013．北京)如图26-1-17所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线,1:--=x y l 双曲线,1xy =在L 上取一点,1A 过1A 作x 轴的垂线交双曲线于点,1B 过1B 作y 轴的垂线交L 于点,2A 请继续操作并探究：过2A 作x 轴的垂线交双曲线于点,2B 过2B 作y 轴的垂线交L 于点,,3 A 这样依次得到L 上的点.,,,,,21 n A A A A 记点n A 的横坐标为,n a 若,21=a 则=2a =2013,a ；若要将上述操作无限次地进行下去，则1a 不能取的值是巅 峰 突 破25.如图26-1-18所示，点P 是反比例函数)0(<=k xky 图像上的点，PA 垂直x 轴于点A （-1，O ），点 C 的坐标为(1，0)，PC 交y 轴于点B ，连接AB ，已知.5=AB(l)k 的值为(2)若点M （a ，b ）是该反比例函数图像上的点，且满足,ABC MBA ∠<∠则a 的取值范围是26.如图26-1- 19所示，正方形2111p p B A 的顶点21p p 、在反比例函数)0(2>=x xy 的图像上，顶点11B A 、分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形,2232B A P P 顶点3P 在反比例函数y )0(2>=x x的图像上，顶点3A 在x 轴的正半轴上，则点3P 的坐标为。

苏教版六年级下册数学教学培优记录苏教版六年级下册数学教学培优记录「篇一」一、全册教材分析苏教版六年级《数学》教材下册在原有基础上稍有变动，新增选择统计图的内容，删去众数和中位数。

前移转化的策略，增设选择策略解决问题，合理整合“综合与实践” 部分的内容。

此外，教材还前移了实验教材中《百分数的应用》，安排在六年级上册；增设了“探索规律”的活动――《面积的变化》。

本册教材把教学内容编排成七个单元，前六个单元教学新知识，第七单元是总复习，教学的新知识仍然有四个领域的内容。

“数与代数”领域：一共安排了3个单元，包括《解决问题的策略》、《比例》和《正比例和反比例》。

《解决问题的策略》该单元没有安排新的策略，只是应用前面教材教学的策略，解决稍复杂的问题。

目的是让学生进一步体会策略在解决新颖问题、复杂问题时的作用，体会解决同一个问题的方法多样、策略灵活，体会各种策略之间的相互配合、相互补充。

《比例》该单元的教学内容是图形的放大与缩小，比例的意义与性质。

两个内容分别属于两个知识领域，前者是图形与几何的内容，后者是数与代数的内容。

该单元把图形的放大与缩小、比例的意义与性质结合起来教学，是因为这两个内容能够互相利用、互相支持。

比例是表示两个比相等的式子，这个相当抽象的数学概念和图形的放大或缩小联系起来，就有了具体的含义，图形的放大、缩小有助于学生形成比例的概念。

该单元还增设了“探索规律”的活动――《面积的变化》，主要引导学生探索和发现平面图形按比例放大后，面积的变化规律。

《正比例和反比例》该单元在比和比例，以及常见数量关系的基础上编排。

通过两个数量保持商一定或者积一定的变化，教学正比例和反比例关系。

让学生在建立正比例和反比例概念的同时，受到函数思想的熏陶，为第三学段的数学教学打基础。

与过去教材相比，该单元不要求应用正比例、反比例解决实际问题。

“图形与几何”领域：教材安排了2个单元，《圆柱和圆锥》和《确定位置》。

《圆柱和圆锥》是在圆的知识与长方体、正方体知识的基础上编排的，圆柱和圆锥都是平面与曲面围成的立体图形，该单元主要是认识圆柱和圆锥的特征，理解圆柱侧面积和表面积的含义及计算方法，探索并应用圆柱和圆锥的体积计算公式解决问题，扩大学生认识几何形体的范围，丰富对形体的认识，发展空间观念和思维能力，培养转化能力和推理能力。

1、正反比例认识2、灵活求正反比3、复杂分组比较生活中的正反比例：1、总产量一定，亩产量和播种的面积。

2、制造每个零件的时间一定，总时间和制造的零件总数。

3、乘坐公共汽车的站数和票价。

4、人的身高和体重。

5、路程一定，已经行驶的路程和剩下的路程。

正比例与反比例 --正反比例的概念及应用 授课提纲 情 课 堂激 模块一：正反比例认识如果单独完成某项工作，那么甲需24天，乙需36天，丙需48天。

现在甲先做，乙后做，最后由丙完成。

甲乙工作的天数比为1:2，乙丙工作的天数比为3:5.问：完成这项工作一共用了多少天？【练习1】从A地跑到B地，甲乙丙三人分别需要的时间是3小时、4小时、5小时。

现在三人进行接力赛训练。

甲先从A地开始跑，乙丙两人等在路上，当甲跑到乙的位置后，乙再向前跑；当乙跑到丙的位置后，丙再向前跑，最终跑到B地。

已知甲乙跑步的时间比为3:2，乙丙跑步的时间比为4：5.那么，从甲开始跑直到最后丙跑到B地，一共花了多长时间？例题2：如图，有ABC三个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合。

如果A齿轮转动7圈时，B齿轮恰好转动5圈；B齿轮转动7圈时，C齿轮恰好转动10圈。

请问：这三个齿轮的齿数之比是多少？（图片只是示意图，不代表实际齿数。

）有ABCD四个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合，C和D相互咬合。

这四个齿轮的齿数之比3:4:5:6.当A、D两个齿轮一共转动50圈时，B、C两个齿轮一共转动多少圈？模块二：灵活求正反比例题3：6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞在一起一样高。

用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？【练习3】已知9盒圆珠笔和4盒铅笔的支数一样，25盒钢笔和6盒圆珠笔的支数一样。

而3盒圆珠笔和16盒铅笔的价格相同，5盒钢笔和6盒圆珠笔的价格相同。

那么圆珠笔、铅笔、钢笔的单价比是多少？例题4：已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同。

周测培优卷 5理解比例、正比例、反比例及解比例的能力检测卷一、我会填。

(1题 4分，其余每空 2分，共 26分) 1．3∶4＝(2．已知 3.2×5＝20×0.8，根据比例的基本性质，写出一个比例是)。

3．在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是最小的合数，则另一个内项是( )。

4．手机专卖店按 10∶1的比做了一个手机模型，已知手机的高度是15 cm ，模型的高度是( )m 。

5．在一个比例中，两个外项的积是 13.5，一个内项是 1.5，另一个内项是( )。

)∶12＝12∶()＝24÷()＝()%(6．甲的45等于乙的32(甲、乙均不为 0)，则甲∶乙＝( )∶()比例；购买无人飞)比例。

)。

7．圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高成(机的单价一定，总价和数量成(8．已知mn ＝a (m 、n 、a 均不为 0)，当 a 一定时，m 和 n 成()比例；当 m 一定时，n 和 a 成( 比例。

)比例；当 n 一定时，m 和 a 成( )二、我会辨。

(每题 2分，共 6分)1．由 2、3、4、5四个数，可以组成比例。

2．乐乐的年龄和体重成正比例。

( () )3．如果 5a ＝6b (a 、b 均不为 0)，那么 a ∶b ＝5∶6。

三、我会选。

(每题 3分，共 12分) ( )1．(A ．1.5 2．下面(A ．19∶109和 91∶901 )不能与 1、2、3组成比例。

B ．6C.23D.12)组的两个比不能组成比例。

1 1 1 1B. ∶和∶2 3 6 9 C ．7∶8和 14∶16 D ．5∶2.5和 1∶0.53．下列各种关系中，成反比例关系的是( A ．三角形面积一定，底和高 B ．平行四边形底一定，面积和高 C ．一袋大米已经吃了的和没吃的)。

D ．房间面积一定，每块瓷砖的边长和所需块数 4．表示 x 和 y 成正比例关系的式子是( )。

A ．x ＋y ＝5 C.yx ＝0B ．y ＝5x D ．xy ＋3＝5四、解比例。

第一讲：反比例函数概念 一、一般地，形如xky =（k 为常数，且0≠k ）的函数称为反比例函数。

注意：①分母中含有自变量x ，且指数为1.②比例系数0≠k③自变量x 的取值为一切非零实数。

反比例函数表达式的三种形式① xky =②kx y =1-③ k xy =二、求函数解析式的方法：待定系数法 对于解析式xky =，中只有一个待定系数，因此只需要一对对应的x 、y 的值即可。

例1：下列函数中，是反比例函数的有①x y 5=； ②x y 4.0=； ③2x y =； ④2=xy ； ⑤πx y =； ⑥xy 5-=；⑦12-=x y ； ⑧31-=xy ； ⑨)0(2≠=a a xay 为常数且； ⑩x y 52-=；例2：如果函数222-+=k kkx y 是反比例函数，那么k =________，此函数的解析式是 ；如果自变量取值为—1时，函数值为2，次反比例函数的关系式是 ； 例3：计划修建铁路1200km ，那么铺轨天数y （天）是每日铺轨量x 的反比例函数吗？ 解：因为 ，所以y 是x 的反比例函数；例4：一块长方形花圃，长为a 米，宽为b 米，面积为8平方米，那么，列出a 关于b 的函数关系式为例5：在某一电路中，保持电压V （伏特）不变，电流I （安培）与电阻R （欧姆）成反比例，当电阻R=5时，电流I=2安培。

（1）求I 与R 之间的函数关系式；（2）当电流I=0.5安培时，求电阻R 的值。

思考：你还能举出哪些生活中的反比例函数例子？提升训练：1.已知：,21y y y +=1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当3,1==y x ；当1,1=-=y x ，求21-=x 时，y 的值？2.已知y 与x-1成反比例，并且x ＝-2时y ＝7，求：(1)求y 和x 之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y 的值(3)y ＝-2时，x 的值。

3.已知y ＝y 1－y 2，y 1与x 成正比例，y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝－14，x ＝4时，y ＝3．求(1)y 与x 之间的函数关系式．(2)自变量x 的取值范围．(3)当x ＝14时，y 的值．第二讲：反比例函数的图像和性质 1.通过描点法画x y 2=和xy 3-=的函数图像 2.反比例函数的图像是双曲线。

专题21 比和比例应用题1.按比分配问题把一个数址按照一定的比分成几部分，求各部分数量是多少的问题叫作按比分配问题。

解题方法：(1)一般方法：把比转化成分数，用分数乘法解答，即先求总份数，然后求出各部分量占总量的几分之几，最后按照“求一个数的几分之几是多少”的解题方法分别求出各部分量是多少。

(2)归一法：把比看作分得的份数，先求出总份数，然后用“总量÷总份数=每份的量（归一）”，再用“每份的量×各部分量所对应的份数”求出各部分量。

(3)用比例知识解答：首先设未知量为x ,然后根据题中“已知比等于相对应的量的比”作为等量关系式列出含有x 的比例式，再解比例求出x 的值。

2.用比例知识解决问题正比例关系式：y x = k （一定）反比例关系式：x ·y = k （一定）用正比例和反比例解决问题的步骤：(1)分析数量关系，判断成什么比例。

(2)找等量关系。

如果成正比例，则按“等比”找等量关系式；如果成反比例，则按“等积”找等量关系式。

(3)列比例式。

设未知量为x,并代人等量关系式，得出正比例式或反比例式。

(4)解比例。

(5)检验，并写出答语。

【例1】 两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1。

若把两瓶酒精溶液混合，则混合液中酒精和知识梳理例题精讲水的体积之比是多少？举一反三1.两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是5:1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是3:5。

若把两瓶酒精溶液混合，则混合液中酒精和水的体积之比是多少？2.甲、乙两块合金的质量比是8:7，甲合金中铜与锌的质量比是5:3，乙合金中铜与锌的质量比是9:5，现将两块合金熔成一块，求新合金中铜与锌的质量比。

3.一个长方形与一个正方形的周长比是5:4，长方形的长与宽的比是3:2。

长方形与正方形面积的比是多少？例题精讲【例2】小华准备用60cm长的铁丝围成一个长方形，若围成的长方形的长与宽的比是3:2，那么这个长方形的面积是多少？1.一个长方形的周长是72厘米，它的长和宽的比是2:1，这个长方形的面积是多少平方厘米？2.甲、乙、丙三人合资开了一个火锅店，且同时订立合同:盈利按个人出资的比例分配（出资情况如表）。