(春季拔高课程)2017-2018年九年级数学 第12讲 几何问题探究—其它类型问题教案

动点问题探究——其它类型动点问题教学过程一、课堂导入动点所产生的函数及方程问题在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中占到10%到20%的比重。

主要研究在几何图形运动中，伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动静结合．二、复习预习1. 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。

平移不改变图形的形状和大小。

图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。

2. 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。

3. 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

三、知识讲解考点1 单点运动及双点运动问题关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图。

解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量，用含未知数的代数式去表示所需的线段，根据题意中隐含的条件借助相似等方式构造方程或函数表达式。

考点2 图形运动问题图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变，以三角形、四边形的运动是常见的一种题型。

这里需注意：平移、旋转、翻折都改变了图形的位置，不改变图形的形状和大小。

对于此类题目，关键在于抓住运动图形的特殊位置、临界位置及特殊性质，其基本方法是把握图形运动与变化的全过程，以不变应万变，解答过程中常需借用函数或方程来解答。

考点3 线运动问题解决此类题的关键是根据线运动的变化，研究图形的变化．由图形变化前后的关系及图形的性质综合解决问题，如本题利用平移性质及三角形面积建立方程解决问题.四、例题精析考点一“K”型图问题例1如图13，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，BC＝8，MB＝5．（1）判断△MBC的形状，并说明理由；（2）若P、Q分别是线段BC、BM上的动点（点P与B、C均不重合），且∠MPQ＝∠MCB，设BP＝x，QM ＝y，求y与x的关系式及x的取值范围，判断y是否存在最大（或最小）值，若存在，求出其值，并判断此时△MQP的形状，若不存在，说明理由．考点二几何变换-翻折问题例2在矩形ABCD中，=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．（1）如图1，当DH=DA时，①填空：∠HGA=度；②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时的最小值；（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a 的值．考点三几何变换-平移问题例3如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH（点E与O重合）.（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝，OM= ；（2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。

教学过程一、课堂导入几何在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中图形与几何的探究问题占到20%到30%的比重。

主要考查了图形的一些基本性质，借助图形的变换（平移变换、旋转变换、轴对称变换、相似变换）进行线段和角的一些相关问题的探讨，主要考查了学生的观察能力、空间想象能力、动手操作能力以及所学几何基础知识的灵活运用能力。

解决几何综合问题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧“模型间的关联，明确努力方向，才能进一步探究综合问题。

注重对基本模型及辅助线的积累是非常必要的。

二、复习预习三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线。

三角形中线的相关定理：1. 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

2. 等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）。

中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见。

三、知识讲解考点1 三角形的中位线1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2. 三角形中位线的定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。

3. 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边。

考点2 全等三角形的概念及其性质1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2.性质定理： （1）全等三角形的对应角相等。

（2）全等三角形的对应边相等。

（3）能够完全重合的顶点叫对应顶点。

（4）全等三角形的对应边上的高对应相等。

（5）全等三角形的对应角的角平分线相等。

（6）全等三角形的对应边上的中线相等。

（7）全等三角形面积和周长相等。

（8）全等三角形的对应角的三角函数值相等。

考点3 全等三角形的解题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

会解决图形的平移、旋转、翻折等问题教学过程一、课堂导入动点所产生的函数及方程问题在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中占到10%到20%的比重。

主要研究在几何图形运动中，伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动静结合．二、复习预习1. 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。

平移不改变图形的形状和大小。

图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。

2. 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。

3. 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

三、知识讲解考点1 单点运动及双点运动问题关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图。

解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量，用含未知数的代数式去表示所需的线段，根据题意中隐含的条件借助相似等方式构造方程或函数表达式。

考点2 图形运动问题图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变，以三角形、四边形的运动是常见的一种题型。

这里需注意：平移、旋转、翻折都改变了图形的位置，不改变图形的形状和大小。

对于此类题目，关键在于抓住运动图形的特殊位置、临界位置及特殊性质，其基本方法是把握图形运动与变化的全过程，以不变应万变，解答过程中常需借用函数或方程来解答。

考点3 线运动问题解决此类题的关键是根据线运动的变化，研究图形的变化．由图形变化前后的关系及图形的性质综合解决问题，如本题利用平移性质及三角形面积建立方程解决问题.四、例题精析 考点一 双点运动问题例1 如图14，在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6cm ，BC = 12cm ，动点P 以1cm/s 的速度从A 出发沿边AB 向点B 移动，动点Q 以2cm/s 的速度同时从点B 出发沿BC 向点C 移动．⑴△PBQ 的面积S(cm 2)与点P 移动时间t (s)的函数关系式为______，其中t 的取值范围为________； ⑵判断△PBQ 能否与△ABC 相似，若能，求出此时点P 移动的时间，若不能，说明理由； ⑶设M 是AC 的中点，连接MP 、MQ ，试探究点P 移动的时间是多少时，△MPQ 的面积为△ABC 面积的41？例2如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．考点二图形运动问题例3如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8；折叠纸片使点B落在AD上，落点为B′；点B′从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点B′停止移动，连接BB′；设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点B′的移动距离为x，点F与点C的距离为y；（1）求证∠BEF=∠AB′B；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；考点三线运动问题例4如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．课程小结本节课主要研究了几何图形中的动点问题，中考中，对运动变化问题的考查是常考的内容之一，考查的热点是点运动问题、图形运动问题（旋转、翻折、对称变换），解答动点问题时，点不同位置考虑的不全面是容易导致出错的原因之一。

推荐精选春季拔高课程2017九年级数学第9讲几何问题探究—与中点相关问题教案 1 / 1 初，张咏 在成都 ，闻准 入相， 谓其僚 属曰：“寇公奇材，惜学术不足尔。

”及准出陕 ，咏适自成都 罢还， 准严供 帐，大 为具待 。

咏将 去，准 送之郊，问曰：“何 以教准 ？”咏 徐曰： “《霍光传》不行不读也。

”准莫谕其意 ，归， 取其传读之， 至“不学无术”，笑曰：“此张公谓 我矣。

”几何问题研究——与中点有关问题知识点 1. 中点的定义2. 中点的表示方法：等量关系、倍的关系、分的关系3. 三角形中线的作用：均分线段4. 全等三角形的中线的作用：倍长中线（延伸中线至 * ，连结 ** ，证明三角形全等）教课目的 娴熟掌握有中点为背景的全等三角形证明的方法 .教课要点 在实质问题中能对中线倍长法模型的成立，利用中线倍长法解决问题 .教课难点 利用中线倍长法结构全等三角形解决问题 .教课过程一、讲堂导入几安在初中数学中据有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中图形与几何的研究问题占到 20%到30%的比重。

主要考察了图形的一些基天性质，借助图形的变换（平移变换 、旋转变换、轴对称变换、相像变换） 进行线段和角的一些有关问题的商讨， 主要考察了学生的察看能力、空间想象能力、 着手操作能力以及所学几何基础知识的灵巧运用能力。

解决几何综合问题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉” ，是成立在足够的知识累积的基础上的，熟习基本图形及常用的协助线，在碰到特定条件时能够实时 联想到对应的模型， 找到 “新” 问题与 “旧“模型间的关系， 明确努力方向， 才能进一步研究综合问题。

着重对基本模型及协助线的累积是特别必要的。

二、复习预习三角形中线的定义：三角形极点和对边中点的连线。

三角形中线的有关定理： 1. 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

2. 等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角均分线、底边的高重合）。

熟练掌握图形相似的证明方法；知识讲解考点1 两条线段之间的数量关系在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如AB=2CD或等。

在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。

证明两条线段的倍分关系时，利用构造基本图形模型证明，具体情况如下：1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=12b；2.利用等腰三角形证明a=；3.利用含30°角的直角三角形证明等；考点2 两条线段之间的位置关系在位置关系猜想中，两条线段是垂直关系还是平行关系一目了然，关键是如何证明，方法如下：1.在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90°，一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明；2.在证明两条线段平行时，大多是根据平行线的判定方法进行证明即可；总之证明位置关系，需要根据图形的性质，利用三角形全等进行证明，有时利用相似。

在解答时，根据具体的题目条件，分解出基本图形，灵活掌握并选择方法证明。

考点3 相似三角形的判定①定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．②平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．④判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 考点4 证明题常用方法归纳（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”（2）找相似： 通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.（3）找中间比： 若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。

综合问题；教学过程 一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，难度较大。

主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。

此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。

就本节二次函数与相似三角形的点存在性问题，主要考查了学生能否将相似三角形的性质与判定融入到二次函数，在函数图像中构造相似图形的能力。

二、复习预习 勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2=c 2）2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有： （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3.逆定理：如果三角形的三边长：a ，b ，c ，则有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边为c 。

（2）验证c 2和a 2+b 2是否具有相等的关系，若a 2+b 2=c 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形。

三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据． 当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为： 一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式； 顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 相似三角形的概念及其性质1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

教学过程一、课堂导入几何在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中图形与几何的探究问题占到20%到30%的比重。

主要考查了图形的一些基本性质，借助图形的变换（平移变换、旋转变换、轴对称变换、相似变换）进行线段和角的一些相关问题的探讨，主要考查了学生的观察能力、空间想象能力、动手操作能力以及所学几何基础知识的灵活运用能力。

解决几何综合问题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧“模型间的关联，明确努力方向，才能进一步探究综合问题。

注重对基本模型及辅助线的积累是非常必要的。

二、复习预习三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线。

三角形中线的相关定理：1. 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

2. 等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）。

中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见。

三、知识讲解考点1 三角形的中位线1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2. 三角形中位线的定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。

3. 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边。

考点2 全等三角形的概念及其性质1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2.性质定理：（1）全等三角形的对应角相等。

（2）全等三角形的对应边相等。

（3）能够完全重合的顶点叫对应顶点。

（4）全等三角形的对应边上的高对应相等。

（5）全等三角形的对应角的角平分线相等。

（6）全等三角形的对应边上的中线相等。

（7）全等三角形面积和周长相等。

（8）全等三角形的对应角的三角函数值相等。

考点3 全等三角形的解题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

熟练运用所学知识解决二次函数综合问题灵活运用技巧及方知识讲解探究图形面积的一般思路要求三角形或四边形的面积的最大值或是最小值，解决这类问题的基本步骤：（1）首先要确定所求三角形或四边形面积最值，可设动点运动个时间t或动点的坐标（t，at2+bt+c）（2）①求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高，此时就先证明涉及到底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似，从而求得用含t的代数式表示底和高；②求四边形的面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段；（3）用含有未知数的代数式表示出图形的面积；（4）用二次函数的知识来求最大值或是最小值。

例题精析例1如图， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？例2如图，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ． （1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．例3如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．例4如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．课程小结有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与图形面积的综合问题提供有利的依据。