2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案：第一章 1.2 1.2.1 圆 的 切 线

[对应学生用书P32][对应学生用书P32]证明点共圆的方法有以下几种：(1)利用到一定点的距离相等的各点在一个圆上；(2)利用同斜边的几个直角三角形的各直角的顶点在一个圆上；(3)如图，只要具备以下条件之一者，A、B、C、D四点共圆：①∠BAC＝∠BDC；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③∠F AD＝∠BCD；④AE·CE＝BE·DE；⑤AF·BF＝CF·DF.[例1]已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．[证明]连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠B＋∠C＝180°.因为四边形ABFE内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°.所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．[例2]已知：如图，四边形ABCD中，∠1＝∠2.求证：A、B、C、D四点共圆．[证明]由A、B、D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙O.(1)如果点C在⊙O的外部(如图)．与圆相交于点E，∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB.而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．(2)如果点C在⊙O的内部(如图)．延长BC与圆相交于点E，连接AE.则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾，∴点C不可能在圆内，∴点C只能在圆上.证明命题的一般步骤：(1)弄清题意，辨明题设和结论； (2)用分析法探明证题思路和方法；(3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的已知条件； (4)用综合法有条理地写出证明过程； (5)检查证明过程的合理性． 1．利用相似三角形[例3] 如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .[证明] (1)由AC 与⊙O ′相切于A ， 得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得 △EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD ，即AE ·BD ＝AD ·AB . 结合(1)的结论，得AC ＝AE .2．利用三角形内(外)角平分线的性质[例4] 已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点．(1)求∠ADF 的度数； (2)若AB ＝AC ，求AC ∶BC . [解] (1)∵AC 为圆O 的切线， ∴∠B ＝∠EAC .又∵DC 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACD ＝∠DCB .∴∠B ＋∠DCB ＝∠EAC ＋∠ACD ， 即∠ADF ＝∠AFD ， 又因为BE 为圆O 的直径， ∴∠DAE ＝90°，∴∠ADF ＝12(180°－∠DAE )＝45°.(2)∵∠B ＝∠EAC ，∠ACB ＝∠ACB ， ∴△ACE ∽△BCA ， ∴AC BC ＝AE AB. 又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝30°.∴在Rt △ABE 中，AC BC ＝AE AB ＝tan ∠B ＝tan 30°＝ 33.3．利用面积关系[例5] Rt △ABC 中，O 是斜边BC 上一点，以O 为圆心的半圆与两直角边相切于M 、N ，如果两直角边分别为a 、b ，半圆的半径为r .求证：1r ＝1a ＋1b.[证明] 连接AO 、OM 、ON . ∵AB 、AC 与半圆相切于M 、N ， ∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC .又设AB ＝a ，AC ＝b ， 半圆的半径为r ， ∴S △ABC ＝12ab .又S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ar ＋12br ＝12r (a ＋b )． ∴ab ＝r (a ＋b )．则1r ＝1a ＋1b .4．利用射影定理[例6] 如图，AB 是⊙O 直径，过A 作切线，过B 作割线交⊙O 于E ，交切线于F ，过B 再作割线交⊙O 于C ，交切线于D .求证：BE ·BF ＝BC ·BD . [证明] 连接AE 、AC . ∵AD 是切线，∴BA ⊥AD .∵AB 是直径， ∴AE ⊥BF ，AC ⊥BD . ∴AB 2＝BE ·BF ， AB 2＝BC ·BD . ∴BE ·BF ＝BC ·BD .5．利用相交弦定理及切割线定理[例7] 如图所示，两圆内切于点T ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，TA 、TB 与小圆分别相交于点E 、F ，FE 的延长线交两圆的公切线TP 于点P .求证：(1) CE＝ CF ； (2)AC ·PF ＝BC ·PT .[证明] (1)设小圆的圆心为点O ， 连接OC .∵AB 切小圆于点C ， ∴OC ⊥AB . ∵∠1＝∠3＝∠2， ∴EF ∥AB ，∴OC ⊥EF ，∴ CE＝ CF . (2)∵EF ∥AB ，∴AE BF ＝AT BT ＝TE TF .∵AB 切小圆于点C ， ∴AC 2＝AE ·AT ，BC 2＝BF ·BT . ∴AC 2BC 2＝AE ·AT BF ·BT ＝TE 2TF 2，AC BC ＝TE TF . ∵PT 是公切线，∴∠PTF ＝90°，∵TF 是⊙O 的直径，∴TE ⊥PF ，△PTF ∽△TEF ， ∴PT PF ＝TE TF ，∴AC BC ＝PTPF，∴AC ·PF ＝BC ·PT .构造出平行关系或作恰当的辅助线是解此类问题的关键，利用成比例或一些特殊的图形形状是常用的构造平行关系的方法．[例8] 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 、AC 交于O 点，过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ，EF ∥BC ，AD ＝12 cm ，BC ＝20 cm ，OD OB ＝ADBC.求EF 的长． [解] ∵AD ∥BC ，EF ∥BC ， ∴EF ∥AD . ∵OD OB ＝ADBC，AD ＝12 cm ，BC ＝20 cm ， ∴OD OB ＝1220＝35，∴OB BD ＝58. ∴OE AD ＝OB BD ＝58. ∴OE ＝58×AD ＝58×12＝152 (cm)．同理：OF ＝38×BC ＝38×20＝152(cm)．∴EF ＝OE ＋OF ＝15(cm)．[例9] 已知：在△ABC 中，点D 在BC 边上，过点C 任作一直线与边AB 及AD 分别交于点F ，E .(1)如图(1)，当BD DC ＝12时，求证：AE ED ＝3AF2FB；(2)如图(2)，当BD DC ＝m n 时，猜想：AE ED 与AFFB 之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：过点D 作DG ∥CF 交AB 于G 点， ∴AE ED ＝AFFG. 又BD DC ＝12，∴DC ＝2BD ＝23BC . ∵DG ∥FC ，∴FG BF ＝DC BC ＝23.∴FG ＝23BF ，∴AE ED ＝AF 23BF ＝3AF2BF.(2)当BD DC ＝m n 时，有关等式：AE ED ＝m ＋n n ·AF FB. 证明：过D 作DG ∥CF 交AB 于G 点． ∴AE ED ＝AF FG.又∵BD DC ＝m n ，∴BC DC ＝m ＋n n .∵DG ∥FC ，∴BF FG ＝BC DC ＝m ＋n n .∴FG ＝nm ＋nBF . ∴AE ED ＝AFn m ＋nBF ＝m ＋n n ·AF BF.[对应学生用书P35]一、选择题1.如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC交于点E ，则( )A ．CE ·CB ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·ABC ．AD ·AB ＝CD 2 D ．CE ·EB ＝CD 2解析：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴CD 2＝AD ·DB .又CD 是圆的切线，故CD 2＝CE ·CB . ∴CE ·CB ＝AD ·DB . 答案：A2.如图，直线PB 、PD 分别交⊙O 于A ，B 和C ，D ，P A ＝4，AB＝2，CD ＝5，那么线段PC 的长是( )A ．3 B.65 C ．10D ．1解析：∵P A ＝4，AB ＝2，∴PB ＝6，设PC ＝x ，∴x ·(x ＋5)＝4×6. ∴x 2＋5x －24＝0.∴x 1＝3，x 2＝－8(舍去)，即PC ＝3. 答案：A3．如图所示，△ABC 内接于圆O ，过点A 的切线交BC 的延长线于点P ，D 为AB 的中点，DP 交AC 于点M ，若BP ＝8，AM ＝4，AC ＝6，则P A ＝( )A ．4 2B ．3 2 C. 2D ．5 2解析：由题意MC ＝AC －AM ＝6－4＝2. 又D 为AB 的中点，∴AD ＝BD .过点C 作CN ∥AB 交PD 于N ， ∴AM MC ＝AD CN ＝BD CN ＝BP CP ， ∴8PC ＝42，∴PC ＝4. ∵P A 2＝PC ·PB ＝32， ∴P A ＝4 2. 答案：A4．如图，两个等圆⊙O 和⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA ，OB ，A ，B 是切点，则∠AOB 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：连接OO ′，O ′A .∵OA 为⊙O ′的切线，∴∠OAO ′＝90°. 又∵⊙O 与⊙O ′为等圆且外切， ∴OO ′＝2O ′A .∴sin ∠AOO ′＝AO ′OO ′＝12，∴∠AOO ′＝30°.又由切线长定理知∠AOB ＝2∠AOO ′＝60°. 答案：B 二、填空题5．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的大小为________．解析：因为EC ＝EB ， 所以∠EBC ＝∠ECB ＝67°，又∠DCF ＝32°，所以∠BCD ＝180°－67°－32°＝81°.所以∠A ＝180°－∠BCD ＝99°. 答案：99°6．如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝____________.解析：由相交弦定理可知 ED 2＝AE ·EB ＝1×5＝5，又易知△EBD 与△FED 相似，得DF ·DB ＝ED 2＝5. 答案：57.如图，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.解析：连接OA . ∵OP 为⊙O 的切线，∴OA ⊥AP .又∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°.∴在Rt △AOP 中，OA ＝1，P A ＝OA ·tan 60°＝ 3. 答案： 38.如图，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，在劣弧 AB 上任取一点C ，过C 作⊙O 的切线分别交P A 、PB 于D 、E 两点．(1)若P A ＝5，则△PDE 的周长为________； (2)若∠APB ＝50°，则∠DOE ＝________. 解析：(1)由切线长定理知， DC ＝DA ，EC ＝EB ，P A ＝PB ，∴△PDE 周长为PD ＋PE ＋DE ＝PD ＋DC ＋PE ＋CE ＝PD ＋DA ＋PE ＋EB ＝P A ＋PB ＝2P A ＝10.(2)连接OC ，因为DA ，DC 与圆O 相切，所以∠AOD ＝∠COD . 同理，∠COE ＝∠BOE . ∴∠DOE ＝12∠AOB＝12(180°－∠APB ) ＝65°. 答案：10 65°三、解答题9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：(1)∠AED ＝∠AFD ； (2)AB 2＝BE ·BD －AE ·AC . 证明：(1)连接AD .因为AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝90°. 又EF ⊥AB ，∠EF A ＝90°， 则A 、D 、E 、F 四点共圆，∴∠DEA ＝∠DF A .(2)由(1)知，BD ·BE ＝BA ·BF . 连接BC ，显然△ABC ∽△AEF ， ∴AB AE ＝ACAF，即AB ·AF ＝AE ·AC ， ∴BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB (BF －AF )＝AB 2.10．如图，已知在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，过点P 作半径OA 的垂线分别交⊙O 于C ，D 两点，垂足是点E .求证：PC ·PD ＝AE ·AO .证明：连接OP ，∵P 为AB 的中点，∴OP ⊥AB ，AP ＝PB . ∵PE ⊥OA ， ∴AP 2＝AE ·AO .∵PD ·PC ＝P A ·PB ＝AP 2， ∴PD ·PC ＝AE ·AO .11.如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.[对应学生用书P45](时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，AB与圆O相切于点B，过点A作圆O的割线交圆O于C，D两点，BC⊥AD，AB＝2AC＝2，则圆O的直径等于()A. 3 B．2 3C．3 3 D．4解析：由切割线定理知AB2＝AC·AD，即22＝1·AD，解得AD＝4，所以CD＝AD－AC ＝3，连接BD，因为BC⊥AD，所以BD为圆O的直径，又因为BC2＝AB2－AC2＝3，所以BD＝CD2＋BC2＝32＋3＝2 3.2．在⊙O 的直径CB 的延长线上取一点A ，AP 与⊙O 相切于点P 上∠APB ＝30°，AP ＝3，则CP 等于( )A. 3 B ．23 C.23－1D ．23＋1解析：连接CP ，BP ， 则∠PCB ＝30°，∠CPB ＝90°. 于是∠PBC ＝60°， ∠PBA ＝120°， ∠A ＝30°＝∠PCB ， ∴CP ＝P A ＝ 3. 答案：A3．点P 为⊙O 的弦AB 上一点，且AP ＝9，PB ＝4，连接PO ，作PC ⊥OP 交圆于点C ，则PC 等于( )A ．4B ．6C ．8D ．9 解析：延长CP 交⊙O 于点D ，则OP 垂直平分弦CD ， 且CP ·PD ＝AP ·PB ＝36 ∴PC 2＝36，PC ＝6. 答案：B4．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BIC 等于( )A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°解析：∵∠A ＝80°， ∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°. ∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝50°，∴∠BIC ＝180°－50°＝130°.5.如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于P 点，∠B ＝30°，∠APD ＝80°，则∠A ＝( )A ．40°B ．50°C ．70°D ．110°解析：易知∠A ＝∠D ，又∵∠APD ＝∠B ＋∠D ，∠B ＝30°，∠APD ＝80°， ∴∠D ＝∠APD －∠B ＝80°－30°＝50°. ∴∠A ＝50°. 答案：B6．如图所示，PC 切⊙O 于A ，PO 的延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AC ∶CP ＝1∶2，则PO ∶OB 等于( )A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．1∶4 解析：连接OA ，则OA ⊥PC ， ∴△P AO ∽△PBC ，∴PO PC ＝OA BC ，即PO OA ＝PCBC， 又∵OA ＝OB ，AC ∶CP ＝1∶2， 设AC ＝x ，则CP ＝2x ，∴CA ＝x ＝BC ，∴PO OA ＝2xx ＝2，∴PO ∶OB ＝2∶1.答案：A7．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝6 cm ，则其外接圆的直径为( ) A. 3 cm B ．2 3 cm C ．4 3 cmD ．6 3 cm解析：作BC 边上的中线AD ，则AD ⊥BC ，延长AD 交△ABC 外接圆于E ，连接CE .∵AE ⊥BC ，AE 平分BC ， ∴AE 为△ABC 外接圆的直径， ∴∠ACE ＝90°. 在Rt △ACD 中， ∠CAD ＝12∠BAC ＝60°，CD ＝12BC ＝3 cm ，∴AC ＝CD sin ∠CAD ＝332＝23(cm)．在Rt △ACE 中，AE ＝AC cos ∠CAD＝2312＝43(cm)．即△ABC 外接圆的直径为4 3 cm. 答案：C8.如图所示，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM ＝MC ，AM ＝1.5，BM ＝4，则OC 等于( )A ．2 6B ． 6C ．2 3D ．2 2解析：延长CO 交⊙O 于D ，则DM ＝3CM ，CM ·MD ＝MA ·MB ，所以1.5×4＝3CM 2，CM ＝ 2，OC ＝2 2.答案：D9．(天津高考)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ； ②FB 2＝FD ·F A ； ③AE ·CE ＝BE ·DE ； ④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②④解析：因为∠BAD ＝∠FBD ，∠DBC ＝∠DAC ， 又AE 平分∠BAC ，即∠BAD ＝∠DAC ， 所以∠FBD ＝∠DBC ，所以BD 平分∠CBF ，结论①正确； 易证△ABF ∽△BDF ，所以AB AF ＝BD BF ，所以AB ·BF ＝AF ·BD ，结论④正确；由切割线定理，得BF 2＝AF ·DF ，结论②正确；由相交弦定理，得AE ·DE ＝BE ·CE ，结论③错误．选D.答案：D10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，点P 由C 出发以每秒2 cm的速度沿线段CA 向点A 运动(不运动至A 点)，⊙O 的圆心在BP 上，且⊙O 分别与AB 、AC 相切，当点P 运动2 s 时，⊙O 的半径是( )A.127 cm B ．125 cmC.53cm D ．2 cm解析：∵PC ＝2×2＝4 cm ， ∴P 是AC 的中点，∴BC ＝6 cm ，BP ＝213 cm.连接OD ， ∵D 为切点，∴OD ⊥AC ，则OD ∥BC ，即DP OD ＝PC BC ＝46＝23. 设半径OD ＝3k ，DP ＝2k ， ∴OP ＝(3k )2＋(2k )2＝13k ， ∴OB ＝213－13k . ∵AE 、AD 为⊙O 的切线， ∴AE ＝AD ＝AP ＋PD ＝4＋2k ， BE ＝10－(4＋2k )＝6－2k .在Rt △BOE 中，∵OB 2＝BE 2＋OE 2， ∴(213－13k )2＝(6－2k )2＋(3k )2， 解得k ＝47.故半径OD ＝3k ＝127.答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11.如图，在▱ABCD 中，BC ＝24，E 、F 为BD 的三等分点，则BM ＝________，DN ________.解析：BM AD ＝BE ED ＝12，∴BM ＝12BC ＝12，DN BM ＝DF FB ＝12，∴DN ＝12BM ＝6.答案：12 612．(湖南高考)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设AO ，BC 的交点为D ，由已知可得D 为BC 的中点，则在直角三角形ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝1，设圆的半径为r ，延长AO 交圆O 于点E ，由圆的相交弦定理可知BD ·CD ＝AD ·DE ，即(2)2＝2r －1，解得r ＝32.答案：3213．如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若AP ＝8，PB ＝6，PD ＝4，MC ＝6，则MN 的长为________．解析：由相交弦定理得：CP ·PD ＝AP ·PB ，CP ＝AP ·PBPD ＝12，又由切割线定理得：MN 2＝MC ·MD ＝6×22，所以，MN ＝233.答案：23314．如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则AC ⊥BC .∵AB ＝3AD ，∴AD ＝13AB ，BD ＝23AB ，OD ＝16AB .又AB 是圆O 的直径，OC 是圆O 的半径， ∴OC ＝12AB .在△ABC 中，根据射影定理有： CD 2＝AD ·BD ＝29AB 2.在△OCD 中，根据射影定理有：OD 2＝OE ·OC ， CD 2＝CE ·OC ，可得OE ＝118AB ，CE ＝49AB ，∴CE EO ＝8.答案：8三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图所示，已知边长为12的正三角形ABC ，DE ∥BC ，S △BCD ∶S △BAC ＝4∶9，求EC 的长．解：如图，过D 作DF ⊥BC ， 过A 作AG ⊥BC ， S △BCD ＝12BC ·DF ，S △BAC ＝12BC ·AG .因为S △BCD ∶S △BAC ＝4∶9， 所以DF ∶AG ＝4∶9. 因为△BDF ∽△BAG ， 所以BD ∶BA ＝DF ∶AG ＝4∶9. 因为AB ＝12，所以CE ＝BD ＝163.16．(本小题满分12分)如图，AD 是∠BAC 的平分线，⊙O 过点A 且与BC 边相切于点D ，与AB ，AC 分别交于E ，F ，求证：EF ∥BC .证明：如图，连接DF .因为BC 与圆相切， 所以∠CDF ＝∠DAF .因为∠EFD 与∠EAD 同为弧 DE所对的圆周角， 所以∠EFD ＝∠EAD .又因为AD 是∠BAC 的平分线， 故∠EAD ＝∠DAF . 所以∠CDF ＝∠EFD ， 所以EF ∥BC .17．(本小题满分12分)在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝2∠A . 求证：AB 2＝BC 2＋AB ·BC . 证明：如图所示．延长BC 到点D ，使CD ＝AB ，连接AD . ∵∠B ＝∠ACB ，∴AB ＝AC . 又∵AB ＝CD ，∴AC ＝CD .∴∠D ＝12∠ACB ＝∠BAC .∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△DBA . ∴AB BD ＝BC AB. ∴AB 2＝BC ·BD ＝BC (BC ＋CD ) ＝BC 2＋BC ·CD ＝BC 2＋AB ·BC .18．(本小题满分14分)(辽宁高考)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ， 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径． (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.。

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1.1。

3 平行截割定理错误!［读教材·填要点]1.平行截割定理(1)定理的内容:三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例.(２）符号语言表示：如图,若l1∥ｌ2∥l3,则错误!=错误!。

２．平行截割定理的推论(1）推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）,所得的对应线段成比例．（2)符号语言表示:如图,若l1∥l2∥l3,则错误!＝错误!=错误!。

［小问题·大思维]1．在平行截割定理中，被截的两条直线m,n应满足什么条件？提示:被截取的两条直线m、n可以平行，也可以相交,但它们必须与已知的平行直线a、b、c都相交．２．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”,是否仍然成立?提示:仍然成立.错误!利用定理证明“比例式”[例１］已知：如图,l1∥ｌ2∥ｌ3,＼f（ＡB，BC）=错误!。

求证：＼f（ＤE,DＦ）＝错误!。

［思路点拨］本题考查平行截割定理及比例的基本性质.解答本题需要利用定理证得错误!=错误!，然后利用比例的有关性质求出错误!即可.［精解详析] ∵ｌ1∥ｌ2∥ｌ3,∴ＡBBC＝错误!=错误!.∴错误!＝错误!,错误!=错误!,即错误!＝错误!,∴错误!=错误!。

1．3.2圆内接四边形的性质与判定[对应学生用书P29][读教材·填要点]1．圆内接四边形的性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．2．圆内接四边形的判定(1)定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．(2)符号语言表述：在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝180°或∠A＋∠C＝180°，那么四边形ABCD内接于圆．[小问题·大思维]1．所有的三角形都有外接圆吗？所有的四边形是否都有外接圆？提示：所有的三角形都有外接圆，但四边形并不一定有外接圆．2．如果一个平行四边形有外接圆，它是矩形吗？提示：因为平行四边形的对角相等，圆内接四边形的对角和为180°，所以该平行四边形一定是矩形．[对应学生用书P29][例1]如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C 两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．[思路点拨] 本题考查四点共圆的判定及性质的应用问题，解答(1)可利用圆内接四边形的判定定理证明。

解答问题(2)可利用四点共圆的性质求解．[精解详析] (1)证明：连接OP ，OM ，因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP ，因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC ，于是∠OP A ＋∠OMA ＝180°.由圆心O 在∠P AC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆．(2)由(1)得A ，P ，O ，M 四点共圆， 所以∠OAM ＝∠OPM .由(1)得OP ⊥AP ，由圆心O 在∠P AC 的内部， 可知∠OPM ＋∠APM ＝90°， 所以∠OAM ＋∠APM ＝90°.判定四点共圆的方法(1)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．1.如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P ，求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，可得△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ， ∴∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)如图，连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°， 由P ，D ，C ，E 四点共圆知， ∠DPC ＝∠DEC ，∴AP⊥CP.[例2]如图，两圆⊙O，⊙O2相交于A，B.⊙O1的弦BC交⊙O2于E点，⊙O2的弦1BD交⊙O1于F点．证明：(1)若∠DBA＝∠CBA，则DF＝CE.(2)若DF＝CE，则∠DBA＝∠CBA.[思路点拨]本题考查圆内接四边形的判定及性质．解决本题需要借助三角形全等证明角相等或边长相等．[精解详析](1)连接AE，AF，AC，AD，则∠BDA＝∠AEC，∠ACB＝∠AFD.又∵∠DBA＝∠CBA∴AD＝AE，∴△ACE≌△AFD.故CE＝DF.(2)由(1)∠BDA＝∠AEC，∠ACB＝∠AFD，又∵DF＝CE，∴△ACE≌△AFD，∴AD＝AE，∴∠DBA＝∠CBA.(1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或互补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供了一种新的途径．(2)在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意两者的综合运用．(3)构造全等或相似三角形，以达到证明线段相等、角相等或线段成比例等目的．2．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C ，使BD ＝DC ，连接AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C .证明：如图，连接OD ，因为BD ＝DC ， O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C . 因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B . 于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C .[例3] 如图所示，AB 、CD 都是圆的弦，且AB ∥CD ，F 为圆上一点，延长FD 、AB 交于点E .求证：AE ·AC ＝AF ·DE .[思路点拨] 本题考查圆内接四边形的判定及性质以及相似三角形等问题．解答本题可连接BD ，通过证明△EBD ∽△EF A 来解决．[精解详析] 连接BD ，因为AB ∥CD ， 所以BD ＝AC .因为A 、B 、D ，F 四点共圆， 所以∠EBD ＝∠F .因为∠E 为△EBD 和△EF A 的公共角， 所以△EBD ∽△EF A .所以DE AE ＝BD AF ，所以DE AE ＝AC AF.即AE ·AC ＝AF ·DE .证明比例线段或比例式通常利用三角形相似来解决，而证明三角形相似，常利用圆内接四边形的性质寻找角之间的关系．3．试证明：在圆内接四边形ABCD 中， AC ·BD ＝AD ·BC ＋AB ·CD .证明：如图，在AC 上取点E ，使∠ADE ＝∠1. 又∠3＝∠4，∴△ADE ∽△BDC .∴AE AD ＝BC BD， ∴AE ·BD ＝AD ·BC .①又∵∠ADE ＝∠1，∴∠ADB ＝∠CDE . 又∵∠5＝∠6，∴△ABD ∽△ECD . ∴AB EC ＝BDCD ，∴BD ·EC ＝AB ·CD .② ①②两式相加：AE ·BD ＋BD ·EC ＝AD ·BC ＋AB ·CD ， 即AC ·BD ＝AD ·BC ＋AB ·CD .[对应学生用书P31]一、选择题1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝( )A ．35°B ．90°C ．125°D ．150°解析：连接BD ，则∠MAB ＝∠ADB ＝35°，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC ＝90°，所以∠D ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°.答案：C2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE ＝50°，则∠BOD 等于( )A ．75°B ．90°C ．100°D ．120°解析：∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A ＝50°，∴∠BOD ＝2∠A ＝100°. 答案：C3．若AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高线，交于H ，则图中四点共圆的组数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：其中：B 、D 、H 、F 共圆；C 、D 、H 、E 共圆；A 、E 、H 、F 共圆；A 、F 、D 、C 共圆；B 、C 、E 、F 共圆；A 、B 、E 、D 共圆．答案：D4.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，∠ACB ＝60°，AB ＝a ，则CD 等于( )A.33a B ．62a C.12a D ．13a解析：∵AC 为BD 的垂直平分线， ∴AB ＝AD ＝a ，AC ⊥BD ， ∵∠ACB ＝60°，∴∠ADB ＝60°.∴AB ＝AD ＝BD ，∴∠ACD ＝∠ABD ＝60°. ∴∠CDB ＝30°，∴∠ADC ＝90°，∴CD ＝tan30°·AD ＝33a . 答案：A 二、填空题5．圆内接四边形ABCD 中，∠B ∶∠C ∶∠D ＝1∶2∶3，则∠A ＝________，∠B ＝________，∠C ＝________，∠D ＝________.解析：∵∠B ＋∠D ＝180°，∠B ∶∠D ＝1∶3， ∴∠B ＝45°，∠D ＝135°.又∠B ∶∠C ＝1∶2， ∴∠C ＝90°.又∠A ＋∠C ＝180°， ∴∠A ＝90°.答案：90° 45° 90° 135°6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝130°，则∠BCD ＝________.解析：∵∠BOD ＝130°，∴∠A ＝∠BOD 2＝130°2＝65°.∴∠BCD ＝180°－65°＝115°. 答案：115°7．如图，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，CD 平分∠ACB ，则AC ＝______，BD ＝________.解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.又∵CD 平分∠ACB ， 即∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD .∴BD＝AB22＝5 2.答案：65 28．若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.解析：∵两条直线与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则有对角互补，又两坐标轴互相垂直，∴这两条直线垂直，即(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0.∴a2＝1，∴a＝±1.答案：±1三、解答题9．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足．求证：E，B，C，F四点共圆．证明：如图，连接EF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴A，E，D，F四点共圆．∴∠1＝∠2.∴∠1＋∠C＝∠2＋∠C＝90°.∴∠BEF＋∠C＝180°.∴B，E，F，C四点共圆．10．如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)证明：B，D，H，E四点共圆；(2)证明：CE平分∠DEF.证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知，B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.11．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝F A·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．解：(1)证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB . ∴FB ＝FC .(2)证明：∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ， ∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB .∴FB FD ＝F AFB ，∴FB 2＝F A ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.∴∠D ＝30°.∵BC ＝6，∴AC ＝2 3 cm. ∴AD ＝2AC ＝4 3 cm.。

【人教A 版】2017-2018学年高中数学选修4-1创新应用教学案[对应学生用书P16]近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：由CD ＝2，AB ＝4，EF ＝3， 得EF ＝12(CD ＋AB )，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，则梯形ABFE 与梯形EFCD 有相同的高，设为h ， 于是两梯形的面积比为 12(3＋4)h ∶12(2＋3)h ＝7∶5. 答案：7∶52.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°. 设AD ＝2，则AB ＝6，于是BD ＝4，OD ＝1.如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8，则CD ＝2 2. 在Rt △OCD 中，DE ＝OD ·CD OC ＝1×223＝223.则CE ＝DC 2－DE 2＝ 8－89＝83， EO ＝OC －CE ＝3－83＝13.因此CE EO ＝8313＝8.答案：8[对应学生用书P16]平行线分线段相关定理线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．[例1] 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DH ∥GC . 求证：EG ∥BH . [证明] ∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝AD AB. ∵DH ∥GC ，∴AH AC ＝ADAG .∴AE ·AB ＝AC ·AD ＝AH ·AG . ∴AE AH ＝AGAB.∴EG ∥BH . [例2] 如图，直线l 分别交△ABC 的边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，且AF ＝13AB ，BD ＝52BC ，试求ECAE.[解] 作CN ∥AB 交DF 于点N ，并作EG ∥AB 交BC 于点G ，由平行截割定理，知BF CN ＝DB DC ，CN AF ＝ECAE， 两式相乘，得BF CN ·CN AF ＝DB DC ·ECAE ，即EC AE ＝BF AF ·DC DB. 又由AF ＝13AB ，得BFAF ＝2，由BD ＝52BC ，得DC DB ＝35，所以EC AE ＝2×35＝65.相似三角形的判定与性质常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．[例3] 如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF .[证明] ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF ＝ABCB. 又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB .∴AP PQ ＝AB BC .∴AD CF ＝AP PQ. 又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .[例4] 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠B CD ，CE ⊥AD 于点E ，DE ＝2AE ，若△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积．[解] 如图，延长CB 、DA 交于点F ，又CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD .∴△FCD 为等腰三角形，E 为FD 的中点． ∴S △FCD ＝12FD ·CE＝12×2ED ·CE ＝2S △CED ＝2， EF ＝ED ＝2AE . ∴F A ＝AE ＝14FD .又∵AB ∥CD ， ∴△FBA ∽△FCD . ∴S △FBA S △FCD ＝(F A FD)2＝(14)2＝116.∴S △FBA ＝116×S △FCD ＝18. ∴S 四边形ABCE ＝S △FCD －S △CED －S △FBA ＝2－1－18＝78.射影定理为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．[例5] 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，EF ⊥AB于F .求证：CE 2＝BD ·DF .[证明] ∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ， ∴DE ∥BC .∴BD CE ＝AB AC .同理：CD ∥EF ，∴CE DF ＝ACAD .∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD ·AB . ∴AC AD ＝ABAC . ∴CE DF ＝BD CE. ∴CE 2＝BD ·DF .[对应学生用书P41] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′ B ．3A ′B ′＝B ′C ′ C ．BC ＝B ′C ′D ．AB ＝A ′B ′解析：∵AA ′∥BB ′∥CC ′，∴AB BC ＝A ′B ′B ′C ′＝13.∴3A ′B ′＝B ′C ′. 答案：B2.如图，∠ACB ＝90°.CD ⊥AB 于D ，AD ＝3、CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4C.3∶ 2D.2∶ 3解析：Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴AC BC ＝AD CD ＝32.答案：A3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝ 2 cm ，则CD 和BC的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm 解析：设AD ＝x ，则由射影定理得x (x ＋3)＝4， 即x ＝1(负值舍去)， 则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)， BC ＝BD ·AB ＝3(3＋1)＝23(cm)． 答案：D4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD 的高，且AC＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215B.215C.3215D.2125解析：AC 2＝CD ·BC ， 即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝ 2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215. 答案：A5．如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC ；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由∠B ＝∠ACD ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；②由∠ADC ＝∠ACB ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；③AC CD ＝ABBC ，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC 2＝AD ·AB 可得AC AD ＝ABAC，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似．答案：C6.如图，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5解析：由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴(ADAB )2＝S △ADE S △ABC ＝19. ∴AD AB ＝13，AD DB ＝12. 答案：C7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：A 中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ； D 中AB AC ＝DEDF，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ∽△DEF ；而C 中不能保证三边对应成比例． 答案：C8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°.CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.14B.13C.12D ．2解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶4. 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 答案：C9.在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△EDF . ∴DE AB ＝DF FB ＝25. ∴S △DEF S △ABF ＝(25)2＝425.又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410. 答案：A10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD ＝3.则AE ∶EC ＝( )A.125 B.512 C.75D.57解析：∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BCCD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125. ∴AE EC ＝AG CD ＝125. 答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长∶△ABC 的周长等于________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵BD ＝2AD ，∴AB ＝3AD .∴AD AB ＝13. ∴△ADE 的周长△ABC 的周长＝AD AB ＝13.答案：1312．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：∵DE ∥BC ， ∴DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝6×53＝10， 又DF ∥AC ，∴DE ＝FC ＝6. ∴BF ＝BC －FC ＝4. 答案：413．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO 与DE 、BC 分别交于N 、M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：OD OC ＝DN MC ＝14，∴OE OB ＝OD OC ＝14. ∴NE BM ＝OE OB ＝14. 又DE BC ＝OD OC ＝14， ∴AE AC ＝DE BC ＝14. ∴AE ∶EC ＝1∶3. 答案：1∶4 1∶314．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________m.解析：∵BD ∥AE ，∴BCAB ＝CDDE .∴BC ＝AB ·CDDE.∵AB ＝1.8 m ，DE ＝2.7 m ，CE ＝8.7 m ， ∴CD ＝CE －DE ＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC ＝1.8×62.7＝4(m)．答案：4三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB. ∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝ANNC .∵BD ＝DC ， ∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝AN NC. ∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：BP 2＝PE ·PF .证明：连接PC ，∵AB ＝AC ，AD 是中线， ∴AD 是△ABC 的对称轴， 故PC ＝PB ， ∠PCE ＝∠ABP . ∵CF ∥AB ， ∴∠PFC ＝∠ABP ， 故∠PCE ＝∠PFC ，∵∠CPE ＝∠FPC ， ∴△EPC ∽△CPF ， 故PC PF ＝PE PC， 即PC 2＝PE ·PF ， ∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB 、DC 于E 、F ，交DA 、BC 的延长线于G 、H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F 、H 、C 重合时，请判断PE 、PC 、PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD .∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PBPD ，∴PE PF ＝PHPG.∴PE ·PG ＝PH ·PF . (2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图， ∵AB ∥CD ， ∴PE PC ＝PBPD. ∵AD ∥BC ，∴PC PG ＝PBPD .∴PE PC ＝PCPG，即PC 2＝PE ·PG . 18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图)．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单位为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？解：(1)∵四边形ABCD 为梯形，∴AD ∥BC . ∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC )2＝14.∵种植△AMD 地带花费160元， ∴S △AMD ＝1608＝20(m 2)．∴S △CMB ＝80(m 2)．∴△CMB地带的花费为80×8＝640元．(2)S△ABMS△AMD ＝BMDM＝BCAD＝2，∴S△ABM＝2S△AMD＝40(m2)．同理：S△DMC＝40(m2)．所剩资金为：1600－160－640＝800元，而800÷(S△ABM＋S△DMC)＝10(元/m2)．故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．11。

高中数学选修4 1教案在高中数学的教学过程中，编写一份优质的教案对于指导学生理解和掌握知识点至关重要。

今天，我们就来探讨如何编写一份高中数学选修4-1的教案范本。

## 教学目标在编写教案之前，首先要明确教学目标。

这些目标应当包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度。

例如，对于选修4-1的内容，教学目标可以是：- 理解并掌握相关数学概念和定理。

- 能够运用所学知识解决实际问题。

- 培养学生的逻辑推理能力和数学思维。

- 激发学生对数学学科的兴趣和热爱。

## 教学内容接下来，要根据教学大纲和教材内容，确定本节课的教学内容。

例如，如果本节是关于“函数的概念与性质”，那么教学内容应包括：- 函数的定义- 函数的表示方法- 函数的性质（如单调性、周期性等）## 教学方法选择合适的教学方法对于提高教学效果至关重要。

可以采用以下几种方法：- 讲授法：用于讲解基本概念和定理。

- 探究法：引导学生通过问题解决学习新知识。

- 合作学习：鼓励学生小组讨论，共同解决问题。

## 教学过程教学过程是教案的核心部分，需要详细规划。

一般包括以下几个环节：1. 导入新课：可以通过提出问题、回顾旧知识或展示实际应用案例来引入新课内容。

2. 新课讲解：根据教学内容，系统地讲解新知识点。

3. 学生练习：设计适当的练习题，让学生巩固和应用所学知识。

4. 小结反馈：总结课堂重点，解答学生疑问，并进行形成性评价。

## 教学评价教学评价是检验教学效果的重要环节。

可以通过以下方式进行：- 随堂测验：通过小测试了解学生对知识点的掌握情况。

- 作业布置：布置适量作业，既能够巩固课堂所学，又能够检验学生的学习效果。

- 自我反思：教师应对自己的教学过程进行反思，以便不断改进教学方法和策略。

## 教学资源最后，不要忘记准备必要的教学资源，如多媒体课件、实物模型、数学工具软件等，这些都能有效辅助教学，提高学生的学习兴趣。

总之，一份好的教案应该是结构清晰、内容丰富、符合学生实际水平的。

1．1.2 相似三角形的性质
[对应学生用书P4]
[读教材·填要点]
相似三角形的性质定理
(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．
(2)性质定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
[小问题·大思维]
1．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？
提示：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
2．两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比之间又有什么关系？ 提示：相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．
[对应学生用书P5]
[例1] 如图，梯形ABCD ，AB ∥CD ，E 是对角线AC 和BD
的交点，S △DEC ∶S △DBC ＝1∶3，
求：S △DEC S △ABD
的值． [思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及性质的应用．解答本题需要利用相似三角形
的性质求得DE BE 之比，进而求得S △ABE S △ABD 的值，最后求得S △DEC S △ABD
的值． [精解详析] ∵S △DEC ∶S △DBC ＝1∶3，
∴DE ∶DB ＝1∶3，即DE ∶EB ＝1∶2.
又∵DC ∥AB ，
∴△DEC ∽△BEA .
∴S △DEC ∶S △BEA ＝1∶4.。

[对应学生用书P43][对应学生用书P43]平行投影关键在于注意角度的变换及运动变化和发展的观点的应用，并由此来处理有关图形的投影问题．如一个圆在平面上的平行投影可能是一个圆，一个椭圆或者是一条线段，但是由于缺乏具体的量的关系，我们对所成的椭圆不能做出具体的量的关系．将圆与平面立体化就形成了平面与圆柱的截面问题．[例1] 已知△ABC 的边BC 在平面α内，A 在平面α上的正投影为A ′(A ′不在边BC 上)．当∠BAC ＝60°时、AB 、AC 与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos ∠BA ′C .[解] 由题意，∠ABA ′＝30°，∠ACA ′＝45°.设AA ′＝1，则A ′B ＝3，A ′C ＝1，AC ＝2，AB ＝2， ∴BC ＝4＋2－2·2·2·12＝6－22，cos ∠BA ′C ＝3＋1－6＋2223·1＝6－33.(1)由两个等圆的内公切线与两条外公切线的交点，切点之间的量的关系具体化，就可以得到相应的数量关系，将其进一步拓广到空间之中就得到了平面与圆柱的截面问题．(2)在平面中：由与等腰三角形的两条腰的交点问题进一步推广到空间中的平面与圆锥面的交线问题所采用的方法与以前的平行投影和平面与圆柱面的截面问题相同．从不同的方向不同的位置用平面去截圆锥面，其截面的形状不同，由此我们可以得到定理，并可以利用Dandelin双球对定理的结论进行证明和研究其特点．[例2]如图所示，用一个平面分别与球O、O2切于F1、F2，截圆柱面于G1、G2点，1求证所得的截面为椭圆．[证明]如图所示由平面图形的性质可知，当点P与G1或G2重合时，G2F1＋G2F2＝AD，G1F1＋G1F2＝AD.当P不与G1、G2重合时，连接PF1、PF2，则PF1、PF2分别是两个球面的切线，切点分别为F1、F2.过P作圆柱面的母线，与两个球分别相交于K1、K2二点，则PK1、PK2分别为两个球的切线，切点为K1、K2.由切线长定理可知：PF1＝PK1，PF2＝PK2.所以有PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝AD＝G1G2.由于AD为定值且AD>F1F2，故点P的轨迹为椭圆．[对应学生用书P43]一、选择题1．若一直线与平面的一条斜线在此平面上的正投影垂直，则这条直线与这条斜线的位置关系是()A．垂直B．异面C．相交D．不能确定解析：当这条直线在平面内时，则A成立，当这条直线是平面的垂线，则B或C成立，故选D.答案：D2．在空间，给出下列命题：(1)一个平面的两条斜线段相等，那么它们在平面内的正投影相等．(2)一条直线和平面的一条斜线垂直，必和这条斜线在这个平面内的正投影垂直．(3)一条斜线和它在平面内的正投影所成的锐角是这条斜线和平面内过斜足的所有直线所成的一切角中最小的角．(4)若点P 到△ABC 三边所在的直线的距离相等，则点P 在平面ABC 内的正投影是△ABC 的内心．其中，正确的命题是( ) A ．(3) B ．(3)(4) C ．(1)(3)D ．(2)(4)解析：由平行投影的性质知，当两条线段与平面所成的角相等时，才有(1)正确，在(2)中这条直线在平面外时不正确，(3)显然正确；(4)中P 点有可能是△ABC 的旁心．答案：A3．一平面截圆锥面的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到圆锥顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为( )A.35 B ．45C.12D ．22解析：如图为圆锥面的轴截面，则AB ＝8，SA ＝6，SB ＝10， ∴∠SAB ＝90°， ∴cos ∠ASB ＝35，∴cos ∠ASP ＝cos ∠ASB2＝1＋cos ∠ASB2＝1＋352＝2 55. ∴cos ∠BPH ＝sin ∠ASP ＝ 1－cos 2∠ASP ＝1－⎝⎛⎭⎫2 552＝55.∴椭圆离心率e ＝cos ∠BPH cos ∠ASP ＝552 55＝12.答案：C4．边长为2的等边三角形所在平面与平面α所成的角为30°，BC ⊂α，A 在α内的正投影为O ，则△BOC 的面积为( )A.32 B ．32C.34D ． 3解析：取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则∠ADO 为二面角的平面角，∠ADO ＝30°，S △BOC S △ABC ＝OD AD ＝cos30°＝32，又S △ABC ＝3，∴S △BOC ＝32.答案：B 二、填空题5．P 为△ABC 所在平面外一点，P A 、PB 、PC 与平面ABC 所成角均相等，又P A 与BC 垂直，那么△ABC 的形状可能是________．①正三角形 ②等腰三角形 ③非等腰三角形 ④等腰直角三角形(将你认为正确的序号全填上)解析：设点P 在底面ABC 上的正投影为O ，由P A 、PB 、PC 与平面ABC 所成角均相等，得OA ＝OB ＝OC ，即点O 为△ABC 的外心，又由P A ⊥BC ，得OA ⊥BC ，得AO 为△ABC 中BC 边上的高线，所以AB ＝AC ，即△ABC 必为等腰三角形，故应填①②④.答案：①②④6．两个大小不等的球相交，交线为________． 答案：圆7．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝π2.则P A 与底面ABC 所成角为________．解析：P 在底面ABC 的正投影为BC 中点D ，设P A ＝PB ＝PC ＝2，则PD ＝3，AP ＝2，∴∠P AD ＝π3.答案：π38．一圆柱面底半径为2，一截面与轴成60°，从割平面上、下放入圆柱面的两个内切球，使它们都与截面相切，则这两个切点的距离等为________．解析：由已知可知截线为一个椭圆，并且其长轴长为 2a ＝4cos30°＝432＝833，短轴长为2b ＝2×2＝4，所以2c ＝(2a )2－(2b )2＝(833)2－42＝433.答案：433三、解答题9．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的一截面与轴成45°角时，求截得二次曲线的形状及离心率．解：由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截面截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e ＝cos45°cos60°＝ 2.10．如图所示，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是斜三角形，A ′是A 在平面BCD 上的正投影．求证：A ′不可能是△BCD 的垂心． 证明：假设A ′为△BCD 的垂心， 则A ′B ⊥CD .又因为AA ′⊥平面BCD 于A ′，则AB ⊥CD . 又因为DA ⊥平面ABC ，则AD ⊥AB ，所以AB ⊥AC ， 这与△ABC 是斜三角形的已知条件相矛盾， 故A ′不可能是△BCD 的垂心．11．已知圆锥面S ，其母线与轴线的夹角为30°，又有一平面α与圆锥面的轴线成45°角并相交于点C ，且SC ＝6，一球与圆锥面相切并在平面α的上方与平面α相切．求此内切球的半径，并画出它的直观图．解：设内切球的球心为O ，半径为R ，且设球O 与锥面一个切点为P ，球O 与平面α切于M .在Rt △SPO 中 ，OP ＝R ，∠PSO ＝30°，所以SO ＝2R . 在Rt △OMC 中，∠OCM ＝45°， 所以OC ＝R sin45°＝R 22＝2R .又SC ＝6＝SO ＋OC ＝2R ＋2R ， 所以R ＝3(2－2)，其直观图为如图：[对应学生用书P47](时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．线段AB、CD在同一平面内的正投影相等，则线段AB、CD的长度关系为() A．AB>CD B．AB<CDC．AB＝CD D．无法确定解析：由线段AB、CD与平面所成的角来定，虽然投影相等，但线段AB、CD的长度无法确定，故它们长度关系也无法确定．答案：D2．正四面体在一个面上的平行投影是()A．一个三角形B．两个三角形C．三个三角形D．以上都有可能解析：根据几何体的三视图可知，D正确．答案：D3．直线和直线外一点在同一面上的正投影是()A．一条直线B．一点一直线C．一点一直线或一直线D．无法确定答案：C4．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论中正确的是()A．内心的平行投影仍为内心B．重心的平行投影仍为重心C．垂心的平行投影仍为垂心D．外心的平行投影仍为外心解析：只有线段的比例相等时，投影线段的比例才不变，重心为三条中线的交点，三角形的平行投影中线仍为中线．答案：B5．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°，则截面所截得的截线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：由题意知截面与圆锥的轴线成90°角，即是圆锥的正截面，故截线为圆． 答案：A6．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：由α＝50°2＝25°，φ＝30°，φ>α故截线是椭圆．答案：B7．一个平面去截一个球面，其截线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．点D ．圆或点解析：当截面与球相切，其截线是切点，相交时截线是圆． 答案：D8．对于半径为4的圆在平面上的平行投影的说法错误的是( ) A ．投影为线段时，线段的长为8 B ．投影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8 C ．投影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8 D ．投影为圆时，圆的直径可能为4 解析：由平行投影的性质易知D 说法错误． 答案：D9．如图，圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为( )A ．10 cm B.52 π2＋4 cm C ．5 2 cmD ．5π2＋1 cm解析：如图是圆柱的侧面展开图，则AC 长为圆柱面上从A 到C 的最短距离． 设圆柱的底面半径为r ，则r ＝52.∴底面圆周长l ＝2πr ＝5π，∴AB ＝52π.AD ＝BC ＝5， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝ ⎝⎛⎭⎫5π22＋52 ＝52π2＋4(cm)．答案：B10．如右图，一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后的几何体的最短母线长为2，则这个几何体的体积为( )A ．20πB ．16πC ．14πD ．8π解析：由已知圆柱底面半径r ＝2.即直径为4. 设截面与圆柱母线成α角，则sin α＝45，∴cos α＝35.∴几何体的最长母线长为2＋2a cos α＝2＋5×35＝5.用一个同样的几何体补在上面，可得一个底半径r ＝2，高为7的圆柱，其体积为V ＝π×22×7＝28π.∴所求几何体的体积为12V ＝14π.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11．用一个平面去截一个正圆锥面，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：____________，________，________，________. 解析：如图答案：圆 抛物线 椭圆 双曲线12．在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F .则①四边形BFD ′E 一定是平行四边形． ②四边形BFD ′E 有可能是正方形．③四边形BFD ′E 在底面ABCD 的正投影一定是正方形． ④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D ′D .以上结论正确的为________．(写出所有正确的结论编号)解析：由面面平行的性质定理知①正确；当E 、F 分别为中点时，所得的四边形为菱形，但不是正方形，且此时平面BFD ′E ⊥平面BB ′D ′D .故②不正确，④正确；D ′、E 、F 在底面上的正投影分别为D 、A 、C ，故③正确．答案：①③④13．若圆柱的一正截面(垂直于轴的截面)的截线为半径r ＝3的⊙O ，该圆柱的斜截面与轴线成60°角，则截线椭圆的离心率e ＝________.解析：依题意，在椭圆中，a ＝r sin 60°＝332＝2 3，b ＝r ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝(2 3)2－32＝ 3，∴e ＝c a ＝12.答案：1214．如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x ′Oy ′(其中y ′轴与y 轴重合)所在的平面为β，∠xOx ′＝45°.(1)已知平面β内有一点P ′(22，2)，则点P ′在平面α内的射影P 的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C ′的方程是(x ′－2)2＋2y 2－2＝0，则曲线C ′在平面α内的射影C 的方程是________．解析：(1)可知二面角α－y －β为45°，点P ′到y 轴的距离为22，所以点P 到y 轴的距离为22×cos45°＝2，点P 的y 轴坐标与点P ′的y ′轴坐标相同，故点P 的坐标为(2,2)．(2)曲线C ′的方程可化为(x ′－2)22＋y 2＝1，是一个椭圆．设O ′(2，0)，因为2×22＝1，故中心O ′在面α内的射影O ″的坐标为(1,0)．令曲线C ′长轴的一个端点A ′(22，0)，由上问可知其对应的射影为A (2,0)，曲线C ′短轴的一个端点B ′(2，1)，对应的射影为B (1,1)，由O ″，B ，A 三点坐标可知曲线C 是一个以(1,0)为圆心，1为半径的圆，方程为(x －1)2＋y 2＝1.答案：(2,2) (x －1)2＋y 2＝1三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求证：三角形的中位线平行射影具有不变性．证明：已知：△ABC ，DE 是其中位线，它们的平行射影分别是△A ′B ′C ′和D ′E ′，如下图，求证：D ′E ′仍然是△A ′B ′C ′的中位线． 证明：连接AA ′、EE ′、CC ′， 则AA ′∥EE ′∥CC ′. ∵AE ＝EC ，∴A ′E ′＝E ′C ′. 同理，A ′D ′＝D ′B ′.∴D ′E ′是△A ′B ′C ′的中位线．16．(本小题满分12分)平面β与圆锥面的轴l 垂直，则交线是什么曲线？设圆锥底面半径为R ，高为h ，顶点S 到截面β的距离为h 1(R ，h ，h 1均为正常数)．解：因为l ⊥β(垂足为O 1)， 所以平面β∥⊙O 所在的平面． 设P 为交线上的任意一点， 过点P 作圆锥的母线SQ ， 连接PO 1，QO ，则PO 1为平面SQO 与平面β的交线， QO 为平面SQO 与⊙O 所在的平面的交线． 所以PO 1∥QO . 于是PO 1QO ＝SO 1SO .即PO 1R ＝h 1h. 因此PO 1＝Rh 1h＝r (常数)．所以点P 到定点O 1的距离为常数r ，故交线为一个圆．17．(本小题满分12分)圆锥面S 的母线与轴线的夹角为30°，圆锥面内有两个相切的内切球，半径分别为r 1、r 2(r 1<r 2)求r 1与r 2的比．解：设球心分别为O1，O2，如图则SO1＝2r1SO2＝2r2，O1O2＝2r2－2r1，又O1O2＝r1＋r2∴2r2－2r1＝r1＋r2.r2＝3r1∴r1∶r2＝1∶3.18．(本小题满分14分)在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面δ，若它与轴l的交角为β(当δ与l平行时，记β＝0)，求证β<α时，平面δ与圆锥的交线为双曲线．证明：当β<α时，平面δ与圆锥面的两部分相交．在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面δ的两个切点分别是F1、F2，与圆锥两部分截的圆分别是S1、S2.在截口上任取一点P，连接PF1、PF2，过P作母线分别和两球切于Q1、Q2，则PF1＝PQ1，PF2＝PQ2.∴|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2，∵Q1Q2是两圆S1、S2所在平行平面间的母线段长，为定值，∴由双曲线的定义知，点P的轨迹为双曲线．模块综合检测[对应学生用书P49](时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN ，若AB ＝14，AC ＝19，则MN 的长为( )A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5解析：延长BN 交AC 于D ，则△ABD 为等腰三角形，AD ＝AB ＝14.故CD ＝5.又∵M ，N 分别是BC ，BD 的中点， ∴MN ＝12CD ＝2.5.答案：B2．在▱ABCD 中，E 是AD 的中点，AC 、BD 交于O ，则与△ABE面积相等的三角形有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解析：利用三角形面积公式，等底等高的两个三角形面积相等，再利用平行四边形的面积为中介，建立面积相等关系．答案：C3．在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，且AE ∶EB ＝2∶1，AF ⊥DE 于G ，交BC 于F ，则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积比为( )A ．1∶2B ．1∶4C ．4∶9D ．2∶3解析：易证△ABF ≌△DAE . 故知BF ＝AE .因为AE ∶EB ＝2∶1，故可设AE ＝2x ，EB ＝x ， 则AB ＝3x ，BF ＝2x .由勾股定理得AF ＝(3x )2＋(2x )2＝13x . 易证△AEG ∽△ABF .可得S △AEG ∶S △ABF ＝AE 2∶AF 2＝(2x )2∶(13x )2 ＝4∶13.可得S △AEG ∶S 四边形BEGF ＝4∶9. 答案：C4．圆锥面S 的母线与轴线的夹角为30°，其内切球的半径为1，则切点圆的面积为( ) A.14π B ．12πC.38π D ．34π解析：设球心为O ，切点圆的圆心为O 1，如图， 由∠ASO ＝30°，OA ＝1，OA ⊥SA 得O 1A ＝32. ∴S ＝π·O 1A 2＝34π.答案：D5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝135°，以A 为圆心，AB 为半径，作⊙A 交AD 、BC 于E 、F 两点，并交BA 延长线于G ，则BF 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：BF 的度数等于圆心角∠BAF 的度数． 由题意知∠B ＝45°，所以∠BAF ＝180°－2∠B . 答案：C6．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，不能判定DE ∥BC 的是( ) A ．AD ＝5，AB ＝8，AE ＝10，AC ＝16B ．BD ＝1，AD ＝3，CE ＝2，AE ＝6C ．AB ＝7，BD ＝4，AE ＝4，EC ＝3 D ．AB ＝AC ＝9，AD ＝AE ＝8解析：对应线段必须成比例，才能断定DE 和BC 是平行关系，显然C 中的条件不成比例．答案：C7.如图所示，P A 切圆于A ，P A ＝8，直线PCB 交圆于C ，B ，连接AB ，AC ，且PC ＝4，AD ⊥BC 于D ，∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，则sin αsin β的值等于( )A.14 B ．12C ．2D ．4解析：要求sin αsin β，注意到sin α＝AD AB ，sin β＝AD AC ，即AC AB ＝sin αsin β，又△P AC ∽△PBA ，得ACAB ＝PC P A ＝48＝12. 答案：B8.已知：如图，▱ABCD 中，EF ∥AC 交AD 、DC 于E 、F ，AD ，BF 交于M ，则下列等式成立的是( )A ．AD 2＝AE ·AMB ．AD 2＝CF ·DC C ．AD 2＝BC ·AB D ．AD 2＝AE ·ED解析：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥DC . ∵DF ∥AB ，∴AD AM ＝BF BM .∵DM ∥BC ，∴BF BM ＝CFDC. ∵EF ∥AC ，∴AE AD ＝CFDC .∴AD AM ＝AEAD，∴AD 2＝AE ·AM . 答案：A9．若D 是△ABC 的边AB 上的一点，△ADC ∽△ACB ，AD ＝5，AC ＝6，△ABC 的面积是S ，则△BCD 的面积是( )A.35S B ．45SC.59S D ．1136S解析：∵△ADC ∽△ACB ，∴S △ADC ∶S △ACB ＝(AD ∶AC )2＝25∶36. ∵S △ABC ＝S ，∴S △ACD ＝2536S .∴S △BCD ＝S －2536S ＝1136S .答案：D10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，AD ＝DC ，∠ADB＝20°，则∠ACB ，∠DBC 分别为( )A ．15°与30°B ．20°与35°C ．20°与40°D ．30°与35°解析：∵∠ADB ＝20°， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝20°. 又∵BC 为⊙O 的直径，∴ADC 的度数为180°－40°＝140°. ∵D 为AC 的中点，∴CD 的度数为70°. ∴∠DBC ＝70°2＝35°.答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11.如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．解析：∵在⊙O 中，∠ACD ＝∠ABC ＝30°，且在Rt △ACD 中，AD ＝1，∴AC ＝2，AB ＝4，又∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙O 的半径为2， ∴圆O 的面积为4π. 答案：4π12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径作半圆交AB 于D ，过D 作半圆的切线交AC 于E ，若AD ＝2，DB ＝4，则DE ＝________.解析：由切割线定理得： AC 2＝AD ·AB ＝2×6＝12. 所以AC ＝2 3.连接CD ，可证：EC ＝ED ，∠A ＝∠EDA .所以AE ＝ED ，所以ED ＝AE ＝EC ＝12AC ＝ 3.答案： 313．如图，AB ，CD 是圆O 内的两条平行弦，BF ∥AC ，BF 交CD 于点E ，交圆O 于点F ，过A 点的切线交DC 的延长线于点P ，若PC ＝ED ＝1，P A ＝2，则AC 的长为________．解析：∵P A 是⊙O 的切线， ∴由切割线定理得P A 2＝PC ·PD . ∵P A ＝2，PC ＝1，∴PD ＝4. 又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，由题意知四边形ABEC 为平行四边形， ∴AB ＝CE ＝2. 连接BC ，如图，∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AC ＝∠CBA .∵AB ，CD 是圆的两条平行弦， ∴∠PCA ＝∠CAB ， ∴△P AC ∽△CBA ， ∴PC CA ＝CAAB，∴AC 2＝PC ·AB ＝2， ∴AC ＝ 2. 答案： 214．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切于C .又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为________．解析：在Rt △ABC 中，AB ＝ AC 2＋BC 2＝5.连接OE ，则△OBE ∽△ABC ，∴OE AC ＝OB AB ＝BC －OEAB ，即OE 4＝3－OE 5，∴OE ＝43，∴BD ＝BC －2OE ＝3－83＝13.答案：13三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 交BC 于点D ，若E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：AB AC ＝DFAF.证明：∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点， ∴AE ＝EC ＝DE .∴∠EDC ＝∠ECD ，又∠EDC ＝∠BDF ， ∴∠EDC ＝∠ECD ＝∠BDF . 又AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠ECD ， ∴∠BAD ＝∠BDF ， 又∵∠AFD ＝∠DFB ， ∴△DBF ∽△ADF . ∴DB AD ＝DFAF. 又Rt △ABD ∽Rt △CBA ，因此AB AC ＝DBAD .∴AB AC ＝DF AF. 16．(本小题满分12分)(新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .(1)证明：∠D ＝∠E;(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形． 证明：(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆， 所以∠D ＝∠CBE .由已知CB ＝CE 得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上． 又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点， 故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD . 所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE . 又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E .由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形．17．(本小题满分12分)如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且P A ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长． 解：(1)证明：如图，连接AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D . 又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ， ∴AD ∥EC .(2)设BP ＝x ，PE ＝y ，∵P A ＝6，PC ＝2， ∴xy ＝12.①∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝AP PC ⇒9＋x y ＝62，②由①②可得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1.(舍去) ∴DE ＝9＋x ＋y ＝16. ∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12.18．(本小题满分14分)(新课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明：(1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2.证明：(1)连接AB ，AC .由题设知P A ＝PD ， 故∠P AD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ，∠DCA ＝∠P AB ， 所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ＝EC . 因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ， 所以AD ·DE ＝2PB 2.。

1．3.1圆幂定理[对应学生用书P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则P A·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26][例1] 如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，求CP 的长．[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt △OAP 中，求得AP 的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析] ∵P 为AB 的中点， ∴由垂径定理得OP ⊥AB .在Rt △OAP 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a . 由相交弦定理，得BP ·AP ＝CP ·DP ， 即⎝⎛⎭⎫32a 2＝CP ·23a ，解之得CP ＝98a .在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：因为AF ＝3，EF ＝32，FB ＝1，所以CF ＝AF ·FB EF ＝3×132＝2，因为EC ∥BD ，所以△ACF ∽△ADB ， 所以AF AB ＝CF BD ＝AC AD ＝AD －CD AD ＝34，所以BD ＝CF ·AB AF ＝2×43＝83，且AD ＝4CD ，又因为BD 是圆的切线，所以BD 2＝CD ·AD ＝4CD 2， 所以CD ＝43.答案：43[例2] 自圆O 外一点P 引圆的一条切线P A ，切点为A ，M 为P A 的中点，过点M 引圆的割线交圆于B ，C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°.求∠MPB 的大小．[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP ∽△PMC 而后转化角相等进行求解．[精解详析] 因为MA 为圆O 的切线， 所以MA 2＝MB ·MC . 又M 为P A 的中点， 所以MP 2＝MB ·MC . 因为∠BMP ＝∠PMC ， 所以△BMP ∽△PMC ， 于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．2.(北京高考)如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O相交于D .若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.解析：设PD ＝9t ，DB ＝16t ，则PB ＝25t ，根据切割线定理得32＝9t ×25t ，解得t ＝15，所以PD ＝95，PB ＝5.在直角三角形APB 中，根据勾股定理得AB ＝4.答案：95 4[例3] 如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2＝EF ·EC .(1)求证：∠P ＝∠EDF ； (2)求证：CE ·EB ＝EF ·EP ；(3)若CE ∶BE ＝3∶2，DE ＝6，EF ＝4，求P A 的长．[思路点拨] 本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相似三角形的判定与性质的综合应用．解答本题需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用．[精解详析] (1)证明：∵DE 2＝EF ·EC ， ∴DE ∶CE ＝EF ∶ED .∵∠DEF 是公共角，∴△DEF ∽△CED . ∴∠EDF ＝∠C .∵CD ∥AP ，∴∠C ＝∠P . ∴∠P ＝∠EDF .(2)证明：∵∠P ＝∠EDF ，∠DEF ＝∠PEA ， ∴△DEF ∽△PEA . ∴DE ∶PE ＝EF ∶EA . 即EF ·EP ＝DE ·EA . ∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE ·EA ＝CE ·EB . ∴CE ·EB ＝EF ·EP .(3)∵DE 2＝EF ·EC ，DE ＝6，EF ＝4， ∴EC ＝9.∵CE ∶BE ＝3∶2，∴BE ＝6. ∵CE ·EB ＝EF ·EP ， ∴9×6＝4×EP . 解得：EP ＝272.∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452.由切割线定理得：P A 2＝PB ·PC ， ∴P A 2＝152×452.∴P A ＝1523.相交弦定理、切割线定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这三个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题．因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到切线和割线要想到切割线定理．3．如图所示，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若P A ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________．解析：设⊙O 的半径为r (r >0)， ∵P A ＝1，AB ＝2， ∴PB ＝P A ＋AB ＝3.延长PO 交⊙O 于点C ， 则PC ＝PO ＋r ＝3＋r .设PO 交⊙O 于点D ，则PD ＝3－r . 由圆的割线定理知，P A ·PB ＝PD ·PC ， ∴1×3＝(3－r )(3＋r )，∴9－r 2＝3，∴r ＝ 6. 答案：6[对应学生用书P27]一、选择题1.如右图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于P 点，若AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，则⊙O 半径为( )A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5解析：由相交弦定理知AP ·PB ＝CP ·PD ， ∵AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3， ∴PD ＝AP ·BP CP ＝4×63＝8.∴CD ＝3＋8＝11，∴⊙O 的半径为5.5. 答案：A2．如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB ，PD ，P A ＝AB ＝ 5，CD ＝3，则PC 等于( )A ．2或－5B ．2C ．3D ．10解析：设PC ＝x ，由割线定理知P A ·PB ＝PC ·PD .即5×2 5＝x (x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)．故选B.答案：B3.如图，AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D ，E ，F ，如果AD ＝20，则△ABC 的周长为( )A ．20B ．30C ．40D ．35解析：∵AD ，AE ，BC 分别为圆O 的切线．∴AE ＝AD ＝20，BF ＝BD ，CF ＝CE .∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AC ＋BF ＋CF ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝AD ＋AE ＝40.答案：C4．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 的直径CE 在BC 上，且与AB 相切于D 点，若CO ∶OB ＝1∶3，AD ＝2，则BE 等于( )A. 3 B ．2 2 C ．2D ．1解析：连接OD ，则OD ⊥BD ， ∴Rt △BOD ∽Rt △BAC .∴OD AC ＝BDBC. 设⊙O 的半径为a ，∵OC ∶OB ＝1∶3，OE ＝OC ， ∴BE ＝EC ＝2a .由题知AD 、AC 均为⊙O 的切线，AD ＝2，∴AC ＝2. ∴a 2＝BD4a，∴BD ＝2a 2. 又BD 2＝BE ·BC ，∴BD 2＝2a ·4a ＝8a 2. ∴4a 4＝8a 2，∴a ＝ 2. ∴BE ＝2a ＝2 2. 答案：B 二、填空题5．(重庆高考)过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 分别交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________.解析：如图所示，由切割线定理得P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CP A ，故△APB ∽△CP A ，则AB CA ＝AP CP ，即AB 8＝63＋9，解得AB ＝4.答案：46．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为____________．解析：设BE ＝x ，则FB ＝2x ，AF ＝4x ，由相交弦定理得DF ·FC ＝AF ·FB ，即2＝8x 2，解得x ＝12，EA ＝72，再由切割线定理得CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72.答案：727.如图，⊙O 的弦ED 、CB 的延长线交于点A .若BD ⊥AE ，AB＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝________；CE ＝________.解析：由切割线定理知， AB ·AC ＝AD ·AE .即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5.∵BD ⊥AE ，且E 、D 、B 、C 四点共圆，∴∠C ＝90°. 在直角三角形ACE 中，AC ＝6，AE ＝8， ∴CE ＝64－36＝27. 答案：5 278．(重庆高考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．解析：由题意得BC ＝AB ·sin 60°＝10 3. 由弦切角定理知∠BCD ＝∠A ＝60°， 所以CD ＝53，BD ＝15，由切割线定理知，CD 2＝DE ·BD ，则DE ＝5. 答案：5 三、解答题9．如图，PT 切⊙O 于T ，P AB ，PDC 是圆O 的两条割线，P A ＝3，PD ＝4，PT ＝6，AD ＝2，求弦CD 的长和弦BC 的长．解：由已知可得PT 2＝P A ·PB ， 且PT ＝6，P A ＝3，∴PB ＝12. 同理可得PC ＝9，∴CD ＝5. ∵PD ·PC ＝P A ·PB ，∴PD PB ＝P A PC ，∴△PDA ∽△PBC ， ∴AD BC ＝PD PB ⇒412＝2BC，∴BC ＝6. 10．如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P .(1)求证：PM 2＝P A ·PC ；(2)若⊙O 的半径为2 3，OA ＝ 3OM ，求MN 的长．解：(1)证明：连接ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形，则∠OBN ＝∠ONB ，∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ， ∠PNM ＝90°－∠ONB ， ∴∠PMN ＝∠PNM ， ∴PM ＝PN .由条件，根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ， 所以PM 2＝P A ·PC .(2)依题意得OM ＝2，在Rt △BOM 中， BM ＝OB 2＋OM 2＝4.延长BO 交⊙O 于点D ，连接DN . 由条件易知△BOM ∽△BND ， 于是BO BN ＝BM BD ，即2 3BN ＝44 3，得BN ＝6. 所以MN ＝BN －BM ＝6－4＝2.11．如下图，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线，交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 1，⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：P A ·PE ＝PC ·PD ；(2)当AD 与⊙O 2相切，且P A ＝6，PC ＝2，PD ＝12时，求AD 的长． 解：(1)证明：连接AB ，CE ， ∵CA 切⊙O 1于点A ， ∴∠1＝∠D .又∵∠1＝∠E ，∴∠D ＝∠E .又∵∠2＝∠3， ∴△APD ∽△CPE . ∴P A PC ＝PDPE. 即P A ·PE ＝PC ·PD .(2)∵P A ＝6，PC ＝2，PD ＝12. ∴6×PE ＝2×12，∴PE ＝4. 由相交弦定理，得PE ·PB ＝P A ·PC . ∴4PB ＝6×2，∴PB ＝3. ∴BD ＝PD －PB ＝12－3＝9， DE ＝PD ＋PE ＝16. ∵DA 切⊙O 2于点A ，∴DA 2＝DB ·DE ，即AD 2＝9×16，∴AD ＝12.。