高中数学人教A版必修2《2.3.4平面与平面垂直的性质》教案2

平面与平面垂直的性质教学设计(一)知识与技能让学生理解和掌握面面垂直性质定理,能运用性质定理证明一些简单命题. (二)过程与方法1) 由“直观感知、操作确认、推理证明”理解和掌握面面垂直性质定理; 2) 由证明一些空间位置关系的简单命题,体会性质定理的初步运用. (三)情感、态度与价值观1) 由面面垂直性质定理的引入与证明,发展学生空间想象力,培养学生逻辑推理能力; 2) 由线面垂直和面面垂直的相互转化,体会转化思想在立几中重要性,进一步帮助学生树立辨证统一思想;3) 由实际问题与数学模型间的转化,让学生体会到数学学习的重要性,激发学生数学学习的主观能动性.(一)教学重点平面与平面垂直性质定理 (二)教学难点平面与平面垂直性质定理应用 (三)教学模式,学生自主探究（一）情境创设、引入课题复习回顾 两个平面互相垂直定义、判定定理.生活感知 教室里就有许多平面与平面垂直的例子.问 题1 黑板所在面与地面垂直,能否在黑板上画一条直线与地面垂直? 直观感知 在黑板面内画地面垂线 板书课题 平面与平面垂直的性质 （二）合作探究、形成知识(1)合作探究,证明定理抽象概括 实际问题化归为数学模型 动手操作 小组合作例1 如图,已知平面α⊥平面β,CD αβ=, 直线,AB AB CD α⊂⊥于点B ,求证:AB ⊥β. 展示操作 几何画板演示学生思路,CD B =β.则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直黑板地面βBDACα符号描述 ,,CD AB AB AB CD αβαββα⊥=⎫⇒⊥⎬⊂⊥⎭图形描述(2)小题竞答,夯实基础想一想: 判断下列语句是否正确,并说明理由:①两个平面不垂直,则一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直.( ) ②两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面.( )③两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面( ) 展示操作 由几何画板展示命题3的示意图.强调条件 由此我们也认识到,性质定理的成立,必须具备哪几个条件? 习惯引导 我们在学习定义、法则或定理时,要紧扣其关键词.变式引入 现在我们把问题3的条件改变一下,看看又有什么样的结论?(3)类比迁移,发展思维问 题2 面α⊥面β,过一个平面α内任意一点P 作平面β的垂线a ,则直线a 与面α具有板书推论 两个平面垂直,经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内. （三）小试牛刀、应用巩固过渡引入 性质定理的结论是线面垂直,它还能解决其它空间位置关系问题吗? 问题展示 例2 如图,已知平面α⊥平面β,且l αβ=,直线a ,a βα⊥⊄,试判断直线a 与平面α的位置关系. 逻辑推理 l β=,所以所以//a b 所以//a α. βBDACααalβαalβ变式练习 改变条件,结论如何?如图,已知平面α⊥平面β,且l αβ=,直线//a α,且a l ⊥,试判断直线a 与平面β的位置关系.学生交流 小组合作b γ=,由又因为a l ⊥,所以⊥β,且l αβ=,所以a β⊥,即直线a 与平面激发学习兴趣! 课后延展 作业意图 (四)归纳总结、提升认识1、我们主要学习了:性质定理2、我们还了解了: 转化思想 线线垂直↔线面垂直↔面面垂直(五)布置作业、板书设计 教材P 73页A 组练习第5题,CD AB CDαβ=⎫⎬⊥符号描述。

课题：2.2.3.4直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课 型：新授课一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理;（2）能运用性质定理解决一些简单问题;（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

2、过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识;（2）性质定理的推理论证。

3、情态与价值通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。

二、教学重点、难点两个性质定理的证明。

三、学法与用具（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。

（2）用具：长方体模型。

四、教学设计（一）、复习准备：1.直线、平面垂直的判定，二面角的定义、大小及求法.2.练习：对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一个条件是（ ）①,//m n m α⊥,//n β②,,m n m n αβα⊥⋂=⊂③//,,m n n m βα⊥⊂④//,,m n m n αβ⊥⊥.3.引入：星级酒店门口立着三根旗杆，这三根旗杆均与地面垂直，这三根旗杆所在的直线之间具有什么位置关系？（二）、讲授新课：1. 教学直线与平面垂直的性质定理：①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直→线线平行）②练习：,,a b c 表示直线，M 表示平面，则//a b 的充分条件是（ ）A 、a c b c ⊥⊥且B 、////a M b M 且C 、a M b M ⊥⊥且D 、,a b c 与所在的角相等例1：设直线,a b 分别在正方体''''ABCD A B C D -中两个不同的平面内，欲使//a b ，,a b 应满足什么条件？（分组讨论→师生共析→总结归纳）（判定两条直线平行的方法有很多：平行公理、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、中位线定理、平行四边形等等）2.教学平面与平面垂直的性质定理：①定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（面面垂直→线面垂直）探究：两个平面垂直，过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线有且仅有一条. ②练习：两个平面互相垂直，下列命题正确的是（ ）A 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C 、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D 、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.例2、如图，已知平面,,αβαβ⊥，直线a 满足,a a βα⊥⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.④练习：如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，a αβ⋂=，求证：.a γ⊥(三)、巩固练习：1、下列命题中，正确的是（ ）A 、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B 、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C 、若,a b 异面，过a 一定可作一个平面与b 垂直D 、,a b 异面，过不在,a b 上的点M ，一定可以作一个平面和,a b 都垂直.2、如图，P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB CB PAB M PC =⊥平面是的中点，N 是AB 上的点，3.AN NB =求证：.MN AB ⊥3、教材P71、72页（四）巩固深化、发展思维思考1、设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，直线a 与平面α具有什么位置关系？（答：直线a 必在平面α内）思考2、已知平面α、β和直线a ，若α⊥β，a ⊥β，a α，则直线a 与平面α具有什么位置关系？五、归纳小结，课后巩固小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？六、作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直;（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

高中数学234平面与平面垂直的性质教案新人教A版必修2教案教学内容：高中数学《平面与平面垂直的性质》教学设计教学目标：1.理解平面与平面垂直的定义；2.掌握平面与平面垂直的判定方法；3.运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。

教学重点：1.平面与平面垂直的定义；2.平面与平面垂直的判定方法。

教学难点：1.运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。

教学准备：1.多媒体设备；2.教学课件；3.板书工具。

教学过程：Step 1：导入新知以两面相交直线的垂直为例，复习垂直线段的定义与判定方法，并引入本节课的主要内容：平面与平面垂直。

Step 2：引入新知1.解释平面与平面垂直的定义：当两个平面的交线与其中一个平面的一条直线垂直时，称这两个平面垂直。

2.图示两个平面垂直的情况，强调交线与直线垂直的关系。

Step 3：判定平面与平面垂直的方法1.利用平面与直线垂直的性质，结合两个平面所包含的直线，判定两个平面垂直。

2.指导学生通过观察图形，判定哪些平面是垂直的。

Step 4：例题讲解结合具体示例，讲解平面与平面垂直的判定方法。

例题：已知平面P与平面Q的交线与直线l垂直，l与平面Q的交线与平面R的交线垂直。

问平面P与平面R是否垂直？解题思路：由已知条件可知，平面P与平面Q的交线与直线l垂直，说明平面P与平面Q垂直；同时l与平面Q的交线与平面R的交线垂直，说明平面R与平面Q垂直。

因此，根据垂直的传递性推论，可以得出平面P与平面R垂直。

Step 5：解决实际问题给学生提供一些有关平面与平面垂直的实际问题，引导学生用所学知识解决问题。

Step 6：归纳总结总结平面与平面垂直的定义与判定方法。

Step 7：课堂练习布置一些练习题，让学生进行巩固练习。

Step 8：作业布置布置课后作业，要求学生进一步巩固所学知识。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解平面与平面垂直的定义，并能够熟练运用判定方法解决问题。

同时，通过解决实际问题的训练，提高了学生的应用能力。

示范教案整体设计教学分析教材通过实例操作，归纳出了两个平面互相垂直的定义，进一步归纳出了平面与平面垂直的判定定理和性质定理．值得注意的是在教学中要留给学生适当的思考时间，避免出现直接给出定义和定理，那样做会不符合新课标的精神的．三维目标1．掌握两个平面互相垂直的定义，提高学生的归纳能力．2．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，以及应用定理解决有关问题，提高学生抽象思维能力，培养空间想象能力．重点难点教学重点：两个平面垂直的判定和性质．教学难点：归纳判定定理和性质定理．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.回顾直线与平面垂直的定义，是用线线垂直来定义的，那么如何定义平面与平面垂直呢？用什么来定义？教师点出课题．设计2.如下图所示，在长方体AC′中，棱AA′垂直平面AC，那么过AA′的平面AB′和平面AD′垂直于平面AC吗？教师点出课题．推进新课新知探究提出问题(1)如右下图，两个平面α，β相交，交线为CD，在CD上任取一点B，过点B分别在α，β内作直线BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD.于是，直线CD⊥平面ABE.容易看到，当∠ABE为直角时，给我们两平面互相垂直的印象．由此归纳出两平面垂直的一个定义？(2)在下图中，由于∠ABE为直角，可知BA⊥BE.又BA⊥CD，所以BA⊥β.这就是说平面α过平面β的垂线BA.现在要问，如果平面α过平面β的垂线BA，那么这两个平面是否相互垂直呢？归纳平面与平面垂直的判定定理．(3)下面我们再来研究两平面垂直的性质．再观察右上图，设平面α与平面β垂直，α∩β＝CD，如果平面α内的直线BA⊥CD，这时，BA是否垂直平面β？归纳平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．讨论结果：(1)如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α，β互相垂直，记作α⊥β.(2)答案是肯定的．事实上，只要在平面β内作BE⊥CD，由于BA⊥β，所以BA⊥BE，因此∠ABE为直角依两个平面垂直的定义，就可以推出α⊥β.由以上观察和分析，我们可以得到平面与平面垂直的判定定理：定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直(如下图)，实际上就是依据这个定理．(3)定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．已知：(如下图)平面α⊥平面β，α∩β＝CD，BA α，BA⊥CD，B为垂足．求证：BA⊥β.证明：在平面β内过点B作BE⊥CD.因为α⊥β，所以BA⊥BE.又因为BA⊥CD，CD∩BE＝B，所以BA⊥β.应用示例思路1例1 已知：如下图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，求CD的长．解：连结BC.因为BD⊥AB，直线AB是两个互相垂直的平面α和β的交线，所以BD⊥α，BD⊥BC.所以△CBD是直角三角形．在直角△BAC中，BC＝32＋42＝5.在直角△CBD中，CD＝52＋122＝13.所以CD长为13 cm.变式训练如下图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，MN在平面BCC′B′内，MN⊥BC于M.判断MN与AB是否垂直？并说明理由．解：显然，平面BCC′B′⊥平面ABCD，交线为BC.因为MN在平面BCC′B′内，且MN⊥BC，所以MN⊥平面ABCD.从而MN⊥AB.例2 已知Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC 成直角(如下图)．(1)(2)求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2)∠BAC＝60°.证明：(1)如上图(2)，因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC.因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.(2)如上图(1)，在直角三角形BAC中，因为AB＝AC＝a，所以BC＝2a，BD＝DC＝2 2a.如上图(2)，△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝2BD＝2×22a＝a.所以AB＝AC＝BC. 因此∠BAC＝60°.点评：证明面面垂直转化为证明线面垂直．变式训练如下图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，∠BAD＝60°.求证：平面PBD⊥平面PAC.证明：设AC与BD交于点O，连结PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.思路2例3 如下图，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：(1)直线MF∥平面ABCD；(2)平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明：如下图，(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.又∵MF平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)连结BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，可知AA1⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形．故NA∥BD.∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.变式训练如左下图，已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ.求证：a⊥γ.证明：如右上图，设α∩γ＝AB，β∩γ＝AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a⊂α，∴PM⊥a.同理，PN⊥a.又PM⊂γ，PN⊂γ，且PN∩PM＝P，∴a⊥γ.知能训练如下图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB＝2，SC＝SD＝ 2.求证：平面SAD⊥平面SBC.证明：在△SDC中，∵SC＝SD＝2，CD＝AB＝2，∴∠DSC＝90°，即DS⊥SC.∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD，∴BC⊥面SDC.∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.∵DS ⊂平面SAD，∴平面SAD⊥平面SBC.拓展提升如下图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．(1)求证：EN∥平面PCD；(2)求证：平面PBC⊥平面ADMN.(1)证明：∵AD∥BC，BC 面PBC，AD面PBC，∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC＝MN，∴AD∥MN.∴MN∥BC.∴点M为PC的中点．∴MN 12BC.又E为AD的中点，∴四边形DENM为平行四边形．∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.(2)证明：连结PE、BE，∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.又∵PA＝AB且N为PB的中点，∴AN⊥PB.而AN∩AD＝A，∴PB⊥面ADMN.∴平面PBC⊥平面ADMN.课堂小结知识总结：利用垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题等．思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题．作业本节练习A4题；练习B3题．设计感想本节教学设计体现了学生的主体地位，充分调动了学生的积极性．在实际应用时，尽量借助于信息技术．备课资料备选习题1.如下图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．求证：AB1⊥平面A1BD；证明：如下图，取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.∴AO⊥BD.连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD.又AO∩B1O＝O，∴BD⊥面AOB1.AB1⊂面AOB1，∴AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD.2.如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)求证：B1C1⊥平面ABB1A1；(3)设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．分析：(1)转化为证明B1C∥MD；(2)转化为证明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1；(3)可猜测点E为C1C的中点．证明：(1)如下图，连结AB1与A1B相交于M.则M为A1B的中点，连结MD，又D为AC的中点，∴B1C∥MD，又B1C平面A1BD，MD⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AB＝B1B，∴四边形ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，又在直棱柱ABC—A1B1C1中BB1⊥B1C1，BB1∩A1B＝B，∴B1C1⊥平面ABB1A1.(3)解：当点E为C1C的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，∵D、E分别为AC、C1C的中点，∴DE∥AC1，∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD.又DE 平面BDE，∴平面A1BD⊥平面BDE.。

人教高一数学教学设计之《2.3.4 平面与平面垂直的性质》一. 教材分析《2.3.4 平面与平面垂直的性质》是人教高一数学必修2第二章第三节的内容。

本节主要介绍平面与平面垂直的性质，包括两个平面垂直的判定和性质。

通过学习，学生能够理解平面与平面垂直的概念，掌握判定和性质，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析高一学生已经学习了平面几何的基础知识，对图形的认识和推理能力有一定的基础。

但学生对立体几何的理解可能还不够深入，需要通过实例和操作来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.了解平面与平面垂直的概念，掌握平面与平面垂直的判定和性质。

2.能够运用平面与平面垂直的知识解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

四. 教学重难点1.平面与平面垂直的概念理解。

2.平面与平面垂直的判定和性质的掌握。

3.运用平面与平面垂直的知识解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、操作来探索平面与平面垂直的性质。

2.利用多媒体课件和实物模型，帮助学生直观地理解平面与平面垂直的概念。

3.采用小组合作学习，让学生通过讨论、交流、分享来加深对平面与平面垂直的理解。

六. 教学准备1.多媒体课件和实物模型。

2.练习题和实际问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如墙角的垂直线，引发学生对平面与平面垂直的思考。

提问学生对垂直的理解，引导学生从平面几何过渡到立体几何。

2.呈现（10分钟）利用多媒体课件和实物模型，呈现平面与平面垂直的判定和性质。

通过动画演示和实物模型的旋转，让学生直观地理解平面与平面垂直的概念。

3.操练（10分钟）学生分组进行操作，利用准备好的实物模型，进行平面与平面垂直的判定和性质的练习。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成一些相关的练习题，巩固对平面与平面垂直的理解。

教师选取一些学生的作业进行讲解和点评。

5.拓展（10分钟）学生分组讨论，思考平面与平面垂直在实际问题中的应用。

2.3.4 平面与平面垂直的性质整体设计教学分析空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.三维目标1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力.3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.重点难点教学重点:平面与平面垂直的性质定理.教学难点:平面与平面性质定理的应用.课时安排1课时教学过程复习（1）面面垂直的定义.如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.（2）面面垂直的判定定理.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为：⇒⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB α⊥β. 两个平面垂直的判定定理图形表述为：图1导入新课思路1.(情境导入)黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直,直线A′A 垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD垂直吗？图2推进新课新知探究提出问题①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,AB α,AB⊥CD,AB∩CD=B.请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系.图3②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.③设平面α⊥平面β,点P∈α,P∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a与平面α的关系.④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点.⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β的关系.问题②引导学生进行语言转换.问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面α的关系.问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点.问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图3.②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.图4两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋂⊥=⋂⊂⊥B CD AB CD AB CD AB βααβαAB ⊥β.两个平面垂直的性质定理证明过程如下：图5如图5，已知α⊥β,α∩β=a ,AB ⊂α，AB ⊥a 于B .求证：AB ⊥β.证明：在平面β内作BE ⊥CD 垂足为B ,则∠ABE 就是二面角αCDβ的平面角.由α⊥β,可知AB ⊥BE .又AB ⊥CD ，BE 与CD 是β内两条相交直线,∴AB ⊥β.③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.如图6,已知α⊥β，P ∈α，P ∈a ，a ⊥β.求证：a ⊂α.图6证明：设α∩β=c ，过点P 在平面α内作直线b ⊥c ，∵α⊥β,∴b ⊥β.而a ⊥β，P ∈a ,∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合.那么a⊂α.利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.④我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理.⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.应用示例思路1例1如图7，已知α⊥β，a⊥β,a⊄α,试判断直线a与平面α的位置关系.图7解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,∵α⊥β,∴b⊥β.∵a⊥β,∴a∥b.∵a⊄α,∴a∥α.变式训练如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.图8图9证明：如图9,(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC. ∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a⊂α，∴PM⊥a.同理,PN⊥a.又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ.(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.同理,b∥a2.∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合.又a1⊂α，a2⊂β，∴a1、a2都是α、β的交线，即都重合于a.∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.例2如图10，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.图10图11（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；（3）求直线AB与平面PCD的距离.（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB,又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB.又∵BC⊂侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.（2）解：如图11,取AB中点E，连接PE、CE,又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB.又∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥面ABCD .∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成角.PE =23BA =3,CE =22BC BE +=3, 在Rt △PEC 中，∠PCE =45°为所求.（3）解：在矩形ABCD 中，AB ∥CD ,∵CD ⊂侧面PCD ，AB ⊄侧面PCD ，∴AB ∥侧面PCD .取CD 中点F ，连接EF 、PF ，则EF ⊥AB .又∵PE ⊥AB ,∴AB ⊥平面PEF .又∵AB ∥CD ,∴CD ⊥平面PEF .∴平面PCD ⊥平面PEF .作EG ⊥PF ，垂足为G ，则EG ⊥平面PCD .在Rt △PEF 中，EG =530=∙PF EC PE 为所求. 变式训练如图12，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成60°角，侧面BCC 1B 1⊥面ABC .求平面AB 1C 1与底面ABC 所成二面角的大小.图12活动:请同学考虑面BB 1C 1C ⊥面ABC 及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.解：∵面ABC ∥面A 1B 1C 1，则面BB 1C 1C ∩面ABC =BC ,面BB 1C 1C ∩面A 1B 1C 1=B 1C 1,∴BC ∥B 1C 1，则B 1C 1∥面ABC .设所求两面交线为AE ，即二面角的棱为AE ,则B 1C 1∥AE ，即BC ∥AE .过C 1作C 1D ⊥BC 于D ，∵面BB 1C 1C ⊥面ABC ,∴C 1D ⊥面ABC ，C 1D ⊥BC .又∠C 1CD =60°,CC 1=a ,故CD =2a ,即D 为BC 的中点.又△ABC 是等边三角形,∴BC ⊥AD .那么有BC ⊥面DAC 1,即AE ⊥面DAC 1.故AE ⊥AD ，AE ⊥AC 1,∠C 1AD 就是所求二面角的平面角.∵C 1D =23a ，AD =23a ，C 1D ⊥AD ,故∠C 1AD =45°. 点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.思路2例1 如图13，把等腰直角三角形ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD =AC ,图13（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ；（2）求二面角CBDA 的余弦值.（1）证明：(证法一):由题设,知AD =CD =BD ,作DO ⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA =OB =OC . ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点.∴O ∈AB ，即O ∈平面ABD .∴OD 平面ABD .∴平面ABD ⊥平面ABC .(证法二):取AB 中点O ，连接OD 、OC ,则有OD ⊥AB ，OC ⊥AB ，即∠COD 是二面角CABD 的平面角.设AC =a ，则OC =OD =a 22, 又CD =AD =AC ,∴CD =a .∴△COD 是直角三角形，即∠COD =90°.∴二面角是直二面角，即平面ABD ⊥平面ABC .（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC ,∵△BCD 为正三角形，∴CE ⊥BD .又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE ⊥BD .∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角.同（1）可证OC ⊥平面ABD ,∴OC ⊥OE .∴△COE 为直角三角形.设BC =a ，则CE =23a ，OE =21a ,∴cos ∠OEC =33=CE OE 即为所求. 变式训练 如图14，在矩形ABCD 中，AB =33,BC =3，沿对角线BD 把△BCD 折起，使C 移到C ′，且C ′在面ABC 内的射影O 恰好落在AB 上.图14（1）求证：AC ′⊥BC ′；（2）求AB 与平面BC ′D 所成的角的正弦值；（3）求二面角C ′BDA 的正切值.（1）证明：由题意,知C ′O ⊥面ABD ,∵C ′O ⊂ABC ′,∴面ABC ′⊥面ABD .又∵AD ⊥AB ,面ABC ′∩面ABD =AB ,∴AD ⊥面ABC ′.∴AD ⊥BC ′.∵BC ′⊥C ′D ,∴BC ′⊥面AC ′D .∴BC ′⊥AC ′.(2)解:∵BC ′⊥面AC ′D ,BC ′⊂面BC ′D ,∴面AC ′D ⊥面BC ′D .作AH ⊥C ′D 于H ,则AH ⊥面BC ′D ,连接BH ,则BH 为AB 在面BC ′D 上的射影, ∴∠ABH 为AB 与面BC ′D 所成的角.又在Rt △AC ′D 中,C ′D =33,AD =3,∴AC ′=32.∴AH =6.∴sin ∠ABH =32=AB AH ,即AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值为32. (3)解:过O 作OG ⊥BD 于G ,连接C ′G ,则C ′G ⊥BD ,则∠C ′GO 为二面角C ′BDA 的平面角.在Rt △AC ′B 中,C ′O =6''=∙ABBC AC , 在Rt △BC ′D 中,C ′G =233''=∙BD D C BC . ∴OG =22C G C '-'=23.∴tan ∠C ′GO =22'=OGO C ,即二面角C ′BDA 的正切值为22.点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了.例2 如图15,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1=1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角，求二面角BB 1CA 的正弦值.图15活动:可以知道，平面ABC 与平面BCC 1B 1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.解：由直三棱柱性质得平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，过A 作AN ⊥平面BCC 1B 1，垂足为N ，则AN ⊥平面BCC 1B 1（AN 即为我们要找的垂线）,在平面BCB 1内过N 作NQ ⊥棱B 1C ，垂足为Q ，连接QA ，则∠NQA 即为二面角的平面角.∵AB 1在平面ABC 内的射影为AB ，CA ⊥AB ，∴CA ⊥B 1A .AB =BB 1=1，得AB 1=2.∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角，∴∠B 1CB =30°，B 1C =2.在Rt △B 1AC 中，由勾股定理,得AC =2.∴AQ =1.在Rt △BAC 中，AB =1，AC =2，得AN =36. sin ∠AQN =AQ AN =36, 即二面角BB 1CA 的正弦值为36. 变式训练如图16，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =22，M 为BC 的中点.(1)证明：AM ⊥PM ；(2)求二面角PAMD 的大小.图16 图17(1)证明：如图17,取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ,∵△PCD 为正三角形,∴PE ⊥CD ，PE =PDsin ∠PDE =2sin60°=3.∵平面PCD ⊥平面ABCD ,∴PE ⊥平面ABCD .∵四边形ABCD 是矩形,∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形.由勾股定理可求得EM =3，AM =6，AE =3,∴EM 2+AM 2=AE 2.∴AM ⊥EM .又EM 是PM 在平面ABCD 上的射影,∴∠AME =90°.∴AM ⊥PM .(2)解:由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ,∴∠PME 是二面角PAMD 的平面角.∴tan ∠PME =33 EM PE =1.∴∠PME =45°. ∴二面角PAMD 为45°.知能训练课本本节练习.拓展提升(2007全国高考,理18)如图18,在三棱锥S —ABC 中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,∠BAC =90°,O 为BC 中点.(1)证明SO ⊥平面ABC ;(2)求二面角ASCB 的余弦值.专业文档珍贵文档图18 图19 (1)证明：如图19,由题设,知AB =AC =SB =SC =SA .连接OA ,△ABC 为等腰直角三角形,所以OA =OB =OC =22SA ,且AO ⊥BC .又△SBC 为等腰三角形,故SO ⊥BC ,且SO =22SA . 从而OA 2+SO 2=SA 2.所以△SOA 为直角三角形,SO ⊥AO .又AO ∩BC =O ,所以SO ⊥平面ABC .(2)解:如图19,取SC 中点M ,连接AM 、OM ,由(1),知SO =OC ,SA =AC ,得OM ⊥SC ,AM ⊥SC .所以∠OMA 为二面角ASCB 的平面角.由AO ⊥BC ,AO ⊥SO ,SO ∩BC =O ,得AO ⊥平面SBC .所以AO ⊥OM .又AM =23SA ,故 sin ∠AMO =3632==AM AO . 所以二面角ASCB 的余弦值为33. 课堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 B 组3、4.。

§2、3.3直线与平面垂直的性质§2、3.4平面与平面垂直的性质一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

2、过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；（2）性质定理的推理论证。

3、情态与价值通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。

二、教学重点、难点两个性质定理的证明。

三、学法与用具（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。

（2）用具：长方体模型。

四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

（自然进入课题内容）（二）研探新知1、操作确认观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。

如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？A1D1a bC1B1图 2.3-4 图2.3-52、推理证明引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法， 然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出： 垂直于同一个平面的两条直线平行。

（三）应用巩固 例子：课本P.74例4做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。

（四）类比拓展，研探新知类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。