2016-偏微分方程数值解法-课程大纲-谢树森

第6章附录6.1 对流方程例题6.1.2计算程序!ADVECT.F!!!! advect - Program to solve the advection equation! using the various hyperbolic PDE schemesprogram advectinteger*4 MAXN, MAXnplotsparameter( MAXN = 500, MAXnplots = 500 )integer*4 method, N, nStep, i, j, ip(MAXN), im(MAXN)integer*4 iplot, nplots, iStepreal*8 L, h, c, tau, coeff, coefflw, pi, sigma, k_wavereal*8 x(MAXN), a(MAXN), a_new(MAXN), plotStepreal*8 aplot(MAXN,MAXnplots+1), tplot(MAXnplots+1)!* Select numerical parameters (time step, grid spacing, etc.).write(*,*) 'Choose a numerical method: 'write(*,*) ' 1) FTCS, 2) Lax, 3) Lax-Wendroff : 'read(*,*) methodwrite(*,*) 'Enter number of grid points: 100'read(*,*) NL = 1. ! System sizeh = L/N ! Grid spacingc = 1 ! Wave speedwrite(*,*) 'Time for wave to move one grid spacing is ', h/cwrite(*,*) 'Enter time step: 0.001'read(*,*) taucoeff = -c*tau/(2.*h) ! Coefficient used by all schemescoefflw = 2*coeff*coeff ! Coefficient used by L-W schemewrite(*,*) 'Wave circles system in ', L/(c*tau), ' steps'write(*,*) 'Enter number of steps: 300'read(*,*) nStep!* Set initial and boundary conditions.pi = 3.141592654sigma = 0.1 ! Width of the Gaussian pulsek_wave = pi/sigma ! Wave number of the cosinedo i=1,Nx(i) = (i-0.5)*h - L/2 ! Coordinates of grid pointsa(i) = cos(k_wave*x(i)) * exp(-x(i)**2/(2*sigma**2))enddo! Use periodic boundary conditionsdo i=2,(N-1)ip(i) = i+1 ! ip(i) = i+1 with periodic b.c.im(i) = i-1 ! im(i) = i-1 with periodic b.c.enddoip(1) = 2ip(N) = 1im(1) = Nim(N) = N-1!* Initialize plotting variables.iplot = 1 ! Plot counternplots = 50 ! Desired number of plotsplotStep = float(nStep)/nplotstplot(1) = 0 ! Record the initial time (t=0)do i=1,Naplot(i,1) = a(i) ! Record the initial stateenddo!* Loop over desired number of steps.do iStep=1,nStep!* Compute new values of wave amplitude using FTCS,! Lax or Lax-Wendroff method.if( method .eq. 1 ) then !!! FTCS method !!!do i=1,Na_new(i) = a(i) + coeff*( a(ip(i))-a(im(i)) )enddoelse if( method .eq. 2 ) then !!! Lax method !!!do i=1,Na_new(i) = 0.5*( a(ip(i))+a(im(i)) ) +& coeff*( a(ip(i))-a(im(i)) )enddoelse !!! Lax-Wendroff method !!!do i=1,Na_new(i) = a(i) + coeff*( a(ip(i))-a(im(i)) ) +& coefflw*( a(ip(i))+a(im(i))-2*a(i) ) enddoendifa(i) = a_new(i) ! Reset with new amplitude valuesenddo!* Periodically record a(t) for plotting.if( (iStep-int(iStep/plotStep)*plotStep) .lt. 1 ) theniplot = iplot+1tplot(iplot) = tau*iStepdo i=1,Naplot(i,iplot) = a(i) ! Record a(i) for plotingenddowrite(*,*) iStep, ' out of ', nStep, ' steps completed'endifenddonplots = iplot ! Actual number of plots recorded!* Print out the plotting variables: x, a, tplot, aplotopen(11,file='x.txt',status='unknown')open(12,file='a.txt',status='unknown')open(13,file='tplot.txt',status='unknown')open(14,file='aplot.txt',status='unknown')do i=1,Nwrite(11,*) x(i)write(12,*) a(i)do j=1,(nplots-1)write(14,1001) aplot(i,j)enddowrite(14,*) aplot(i,nplots)enddodo i=1,nplotswrite(13,*) tplot(i)enddo1001 format(e12.6,', ',$) ! The $ suppresses the carriage return stopend!***** To plot in MATLAB; use the script below ******************** !load x.txt; load a.txt; load tplot.txt; load aplot.txt;!%* Plot the initial and final states.!figure(1); clf; % Clear figure 1 window and bring forward!plot(x,aplot(:,1),'-',x,a,'--');!legend('Initial','Final');!pause(1); % Pause 1 second between plots!%* Plot the wave amplitude versus position and time!figure(2); clf; % Clear figure 2 window and bring forward!mesh(tplot,x,aplot);!ylabel('Position'); xlabel('Time'); zlabel('Amplitude');!view([-70 50]); % Better view from this angle!****************************************************************** ================================================6.2 抛物形方程例题6.2.2计算程序!!!!dftcs.f!!!!!!!!!!! dftcs - Program to solve the diffusion equation! using the Forward Time Centered Space (FTCS) scheme.program dftcsinteger*4 MAXN, MAXnplotsparameter( MAXN = 300, MAXnplots = 500 )integer*4 N, i, j, iplot, nStep, plot_step, nplots, iStepreal*8 tau, L, h, kappa, coeff, tt(MAXN), tt_new(MAXN)real*8 xplot(MAXN), tplot(MAXnplots), ttplot(MAXN,MAXnplots)!* Initialize parameters (time step, grid spacing, etc.).write(*,*) 'Enter time step: 0.0001'read(*,*) tauwrite(*,*) 'Enter the number of grid points: 50 'read(*,*) NL = 1. ! The system extends from x=-L/2 to x=L/2h = L/(N-1) ! Grid sizekappa = 1. ! Diffusion coefficientcoeff = kappa*tau/h**2if( coeff .lt. 0.5 ) thenwrite(*,*) 'Solution is expected to be stable'elsewrite(*,*) 'WARNING: Solution is expected to be unstable'endif!* Set initial and boundary conditions.do i=1,Ntt(i) = 0.0 ! Initialize temperature to zero at all pointstt_new(i) = 0.0enddo!! The boundary conditions are tt(1) = tt(N) = 0!! End points are unchanged during iteration!* Set up loop and plot variables.iplot = 1 ! Counter used to count plotsnStep = 300 ! Maximum number of iterationsplot_step = 6 ! Number of time steps between plots nplots = nStep/plot_step + 1 ! Number of snapshots (plots)do i=1,Nxplot(i) = (i-1)*h - L/2 ! Record the x scale for plotsenddo!* Loop over the desired number of time steps.do iStep=1,nStep!* Compute new temperature using FTCS scheme.do i=2,(N-1)tt_new(i) = tt(i) + coeff*(tt(i+1) + tt(i-1) - 2*tt(i))enddodo i=2,(N-1)tt(i) = tt_new(i) ! Reset temperature to new valuesenddo!* Periodically record temperature for plotting.if( mod(iStep,plot_step) .lt. 1 ) then ! Every plot_step stepsdo i=1,N ! record tt(i) for plottingttplot(i,iplot) = tt(i)enddotplot(iplot) = iStep*tau ! Record time for plotsiplot = iplot+1endifenddonplots = iplot-1 ! Number of plots actually recorded!* Print out the plotting variables: tplot, xplot, ttplotopen(11,file='tplot.txt',status='unknown')open(12,file='xplot.txt',status='unknown')open(13,file='ttplot.txt',status='unknown')do i=1,nplotswrite(11,*) tplot(i)enddowrite(12,*) xplot(i)do j=1,(nplots-1)write(13,1001) ttplot(i,j)enddowrite(13,*) ttplot(i,nplots)enddo1001 format(e12.6,', ',$) ! The $ suppresses the carriage returnstopend!***** To plot in MATLAB; use the script below ********************!load tplot.txt; load xplot.txt; load ttplot.txt;!%* Plot temperature versus x and t as wire-mesh and contour plots.!figure(1); clf;!mesh(tplot,xplot,ttplot); % Wire-mesh surface plot!xlabel('Time'); ylabel('x'); zlabel('T(x,t)');!title('Diffusion of a delta spike');!pause(1);!figure(2); clf;!contourLevels = 0:0.5:10; contourLabels = 0:5;!cs = contour(tplot,xplot,ttplot,contourLevels); % Contour plot!clabel(cs,contourLabels); % Add labels to selected contour levels!xlabel('Time'); ylabel('x');!title('Temperature contour plot');!******************************************************************! program diffu_explicit.for! explicit methods for finite diffrencedimension T(51,51)real dx,dt,lamda,kp,Tmax,Tminopen(2,file='diffu_1.dat')dx=0.5dt=0.1kp=0.835lamda=kp*dt/dx/dxTmax=100.Tmin=0.imax=21write(*,*) 'lamda=',lamdado i=1,50do j=1,50T(i,j)=0.0do j=1,40T(1,j)=TmaxT(imax,j)=Tminend dodo j=1,40do i=2,20T(i,j+1)=T(i,j)+lamda*(T(i+1,j)-2.*T(i,j)+T(i-1,j)) end dowrite(2,222) (T(i,j),i=1,21)end do222 format(1x,21(2x,f18.10))end% diffu_explicit.mclc; clear all;nl = 20.; nt = 40;dx = 0.5; dt = 0.1; kp = 0.835;lamda = kp*dt/dx/dx;Tl = 0.; Tr = 100.;T = zeros(nl,nt);T(1,:) = Tl; T(nl,:)=Tr;for j=1:nt-1for i =2:nl-1T(i,j+1)=T(i,j)+lamda*(T(i+1,j)-2.*T(i,j)+T(i-1,j));endendsurf(T');xlabel('x');ylabel('time');zlabel('Temperature');title('explicit scheme');! diffu_implicit.for! implicit methods for finite diffrenceexternal tridparameter (imax=21,kmax=50)dimension t(imax),a(imax),b(imax),c(imax),r(imax),u(imax) real dx,dt,lamda,kp,tmax,tminopen(2,file='diffu_2.dat')dx=0.5lamda=kp*dt/dx/dxtmax=100.tmin=0.write(*,*) 'lamda=',lamdado i=2,imax-1! t(i)=tmax-(tmax-tmin)/(imax-1.)*(i-1.) t(i)=0.0end dot(1)=tmaxt(imax)=tmin! write(*,*) a(i),b(i),c(i)b(1)=1.c(1)=0.r(1)=t(1)a(imax)=0.b(imax)=1.r(imax)=t(imax)do i=2,imax-1a(i)=-lamdab(i)=1.+2.*lamdac(i)=-lamdar(i)=t(i)end dok=01 k=k+1call trid(a,b,c,r,u,imax)do i=1,imaxt(i)=u(i)r(i)=u(i)end dowrite(2,222) (t(i),i=1,imax)! write(*,222) (t(i),i=1,imax)if(k.lt.kmax) goto 1222 format(1x,21(2x,f18.12))endsubroutine trid(a,b,c,r,u,n)parameter (nmax=100)real gam(nmax),a(n),b(n),c(n),u(n),r(n)if (b(1)==0.) pause 'b(1)=0 in trid'bet=b(1)u(1)=r(1)/betdo j=2,ngam(j)=c(j-1)/betbet=b(j)-a(j)*gam(j)if (bet==0.) pause 'bet=0 in trid'u(j)=(r(j)-a(j)*u(j-1))/betend dodo j=n-1,1,-1u(j)=u(j)-gam(j+1)*u(j+1)end doend subroutine trid================================================== 6.3椭圆方程例题6.3.1计算程序! program overrelaxation.for! overrelaxation_iteration_methods for finite diffrence! of the 2d_Laplacian difference equationparameter(imax=25,jmax=25,pi=3.1415926)dimension T(imax,jmax),a(imax,jmax),& qx(imax,jmax),qy(imax,jmax),q(imax,jmax),an(imax,jmax) real lamda,Tu,Td,Tl,Tr,kpx,kpy,dx,dyopen(2,file='overrelaxation.dat')open(3,file='q.dat')lamda=1.5;Tu=100.;Tl=75.;Tr=50.;Td=0.;dx=1.;dy=1.;kmax=9 kpx=-0.49/2./dx;kpy=-0.49/2./dydo i=1,imaxdo j=1,jmaxT(i,j)=0.0end doend doT(1,1)=0.5*(Td+Tl) ;T(1,jmax)=0.5*(Tl+Tu)T(imax,jmax)=0.5*(Tu+Tr);T(imax,1)=0.5*(Tr+Td)do j=2,jmax-1T(1,j)=Tl; T(imax,j)=Trend dodo i=2, imax-1T(i,1)=Td; T(i,jmax)=Tuend dok=0do i=2,imax-1do j=2,jmax-1a(i,j)=T(i,j)T(i,j)=0.25*(T(i+1,j)+T(i-1,j)+T(i,j+1)+T(i,j-1))T(i,j)=lamda*T(i,j)+(1.-lamda)*a(i,j)end doend doep=abs((T(2,2)-a(2,2))/T(2,2))if(k.lt.kmax) goto 5write(*,*) 'ep=',epdo j=1,jmaxwrite(2,222) (T(i,j),i=1,imax)end do222 format(1x,25(2x,f14.10))do i=2,imax-1do j=2,jmax-1qx(i,j)=kpx*(T(i+1,j)-T(i-1,j))qy(i,j)=kpy*(T(i,j+1)-T(i,j-1))q(i,j)=sqrt(qx(i,j)*qx(i,j)+qy(i,j)*qy(i,j))if(qx(i,j).gt.0.) thenan(i,j)=atan(qy(i,j)/qx(i,j))elsean(i,j)=atan(qy(i,j)/qx(i,j))+piend ifend doend dodo j=2,jmax-1do i=2,imax-1! write(3,333) dx*(i-1),dy*(j-1),an(i,j),q(i,j)write(3,333) dx*(i-1),dy*(j-1),qx(i,j),qy(i,j)end doend do333 format(1x,4(2x,f18.12))End================================================= 例题6.3.2计算程序!!!!xadi.f90!!!!!program xadiuse AVDefuse DFLibparameter(n=19)real aj(n),bj(n),cj(n)integer statusreal T(0:n,0:n),TT(0:n,0:n)real lamda,Tu,Td,Tl,Tr,dx,dy,dt,kaopen(2,file='T3.dat')Tu=100.;Tl=75.;Tr=50.;Td=0.;dx=1.;dy=1.;kmax=10;dt=1.ka=0.835; lamda=ka*dt/(dx*dx)write(*,*) 'lamda=',lamdaT = 0.T(0,:) = Tl; T(n,:) =TrT(:,0) = Td; T(:,n) =TuT(0,0)=0.5*(Td+Tl);T(0,n)=0.5*(Tl+Tu)T(n,n)=0.5*(Tu+Tr);T(n,0)=0.5*(Tr+Td)! 系数矩阵赋值aj(:)=-lamda; ai(:)=lamdabj(:)= 2.*(1.+lamda); bi(:)=2.*(1-lamda)cj(:)=-lamda; ci(:)=lamdacall faglStartWatch(T, status)! 相当于随时间演化do k=1,kmaxdo i=1,n-1do j=1,n-1r(j)=ai(i)*T(i-1,j)+bi(i)*T(i,j)+ci(i)*T(i+1,j)end dor(1)=r(1)-aj(1)*T(i,0)r(n-1)=r(n-1)-cj(n-1)*T(i,n)call tridag(aj,bj,cj,r,u,n-1)do j=1,n-1T(i,j)=u(j)end doend do! 将矩阵T转置计算x方向call reverse(n,T,TT)do i=1,n-1do j=1,n-1r(j)=ai(i)*TT(i-1,j)+bi(i)*TT(i,j)+ci(i)*TT(i+1,j) end dor(1)=r(1)-aj(1)*TT(i,0)r(n-1)=r(n-1)-cj(n-1)*TT(i,n)call tridag(aj,bj,cj,r,u,n-1)do j=1,n-1TT(i,j)=u(j)end doend docall reverse(n,TT,T)call faglUpdate(T, status)call faglShow(T, status)end dopausecall faglClose(T, status)call faglEndWatch(T, status)do j=0,nwrite(2,222) (T(i,j),i=0,n)end do222 format(1x,20(2x,f14.10))endSUBROUTINE tridag(a,b,c,r,u,n)INTEGER n,NMAXREAL a(n),b(n),c(n),r(n),u(n)PARAMETER (NMAX=500)INTEGER jREAL bet,gam(NMAX)if(b(1).eq.0.)pause 'tridag: rewrite equations'bet=b(1)u(1)=r(1)/betdo 11 j=2,ngam(j)=c(j-1)/betbet=b(j)-a(j)*gam(j)if(bet.eq.0.)pause 'tridag failed'u(j)=(r(j)-a(j)*u(j-1))/bet11 continuedo 12 j=n-1,1,-1u(j)=u(j)-gam(j+1)*u(j+1)12 continuereturnENDSUBROUTINE REVERSE(n,T,TT) integer n,i,jreal T(0:n,0:n),TT(0:n,0:n)do i=0,ndo j=0,nTT(i,j)=T(j,i)end doend doreturnend================================================6.4 非线性偏微分方程% gasdynamincs_lw_1.mclc; clear all;xmin=-1.; xmax=1.; nx=101; h=(xmax-xmin)/(nx-1);r=0.9; cad=0.; time=0.; gamma=1.4; bcl=1.; bcr=1.;fprintf(' Space step - %f \n',h); fprintf(' \n');dd(1:nx)=zeros(1,nx); ud(1:nx)=zeros(1,nx); pd(1:nx)=zeros(1,nx);x(1:nx)=xmin+((1:nx)-1)*h;% Test 1te=' ( Test 1 )';rol=1.; ul=0.; pl=1.;ror=0.125; ur=0.; pr=0.1;tp=5.5;% Test 3%te=' ( Test 3 )';%rol=0.1; ul=0.; pl=1.;%ror=1.; ur=0.; pr=100.;%tp=0.05;% Initial conditionsdd(1:(nx-1)/2+1)=rol; ud(1:(nx-1)/2+1)=ul; pd(1:(nx-1)/2+1)=pl;dd((nx-1)/2+2:nx)=ror;ud((nx-1)/2+2:nx)=ur; pd((nx-1)/2+2:nx)=pr;[d,u,p,e,time]=lw_gasdynamics(dd,ud,pd,h,nx,r,cad,tp,gamma,bcl,bcr);% Exact solutionfor n=1:nx[density, velocity, pressure]=riemann(x(n),time,rol,ul,pl,ror,ur,pr,gamma);de(n)=density; ue(n)=velocity; pe(n)=pressure;ee(n)=pressure/((gamma-1.)*density);endfigure(1);plot(x,de,'k-',x,d,'k--');xlabel(' x ');ylabel(' density ');title([' Example 6.1 ',te]);figure(2);plot(x,ue,'k-',x,u,'k--');xlabel(' x ');ylabel(' velocity ');title([' Example 6.1 ',te]);figure(3);plot(x,pe,'k-',x,p,'k--');xlabel(' x ');ylabel(' pressure ');title([' Example 6.1 ',te]);figure(4);plot(x,ee,'k-',x,e,'k--');xlabel(' x ');ylabel(' internal energy ');title([' Example 6.1 ',te]);clear all;% Lax-Wendroff scheme (gasdynamics)function [d,u,p,e,time]=lw_gasdynamics(dd,ud,pd,h,nx,r,cad,tp,gamma,bcl,bcr)sd(1,1:nx)=dd(1:nx);sd(2,1:nx)=dd(1:nx).*ud(1:nx);sd(3,1:nx)=pd(1:nx)/(gamma-1.)+0.5*(dd(1:nx).*ud(1:nx)).*ud(1:nx);si(1:3,1:nx+1)=zeros(3,nx+1); av(1:3,1:nx)=zeros(3,nx);time=0.;while time <= tpsta=max(abs(sd(2,:)./sd(1,:))+...sqrt(gamma*(gamma-1)*(sd(3,:)./sd(1,:)-0.5*(sd(2,:).*sd(2,:))./(sd(1,:).*sd(1,:)))));tau=r*h*sqrt(1.-2.*cad)/sta;time=time+tau; %fprintf(' time - %f \n',time);% first stepif bcl == 0sl1=sd(1,2); sl2=-sd(2,2); sl3=sd(3,2);elsesl1=sd(1,2); sl2=sd(2,2); sl3=sd(3,2);endgl(1)=sl2;gl(2)=(gamma-1.)*sl3+0.5*(3.-gamma)*sl2^2/sl1;gl(3)=sl2*(gamma*sl3-0.5*(gamma-1.)*sl2^2/sl1)/sl1;for n=1:nxif (n == 1)|(n == nx)av(:,n)=[ 0.; 0.; 0.;];elseav(:,n)=cad*(sd(:,n+1)-2.*sd(:,n)+sd(:,n-1));endsr1=sd(1,n); sr2=sd(2,n); sr3=sd(3,n);gr(1)=sr2;gr(2)=(gamma-1.)*sr3+0.5*(3.-gamma)*sr2^2/sr1;gr(3)=sr2*(gamma*sr3-0.5*(gamma-1.)*sr2^2/sr1)/sr1;si(1,n)=0.5*(sl1+sr1)-(gr(1)-gl(1))*tau*0.5/h;si(2,n)=0.5*(sl2+sr2)-(gr(2)-gl(2))*tau*0.5/h;si(3,n)=0.5*(sl3+sr3)-(gr(3)-gl(3))*tau*0.5/h;gl(:)=gr(:);sl1=sr1; sl2=sr2; sl3=sr3;endif bcr == 0sr1=sd(1,nx-1); sr2=-sd(2,nx-1); sr3=sd(3,nx-1);elsesr1=sd(1,nx-1); sr2=sd(2,nx-1); sr3=sd(3,nx-1);endgr(1)=sr2;gr(2)=(gamma-1.)*sr3+0.5*(3.-gamma)*sr2^2/sr1;gr(3)=sr2*(gamma*sr3-0.5*(gamma-1.)*sr2^2/sr1)/sr1;si(1,nx+1)=0.5*(sl1+sr1)-(gr(1)-gl(1))*tau*0.5/h;si(2,nx+1)=0.5*(sl2+sr2)-(gr(2)-gl(2))*tau*0.5/h;si(3,nx+1)=0.5*(sl3+sr3)-(gr(3)-gl(3))*tau*0.5/h;% second stepfl(1)=si(2,1);fl(2)=(gamma-1.)*si(3,1)+0.5*(3.-gamma)*si(2,1)^2/si(1,1);fl(3)=si(2,1)*(gamma*si(3,1)-0.5*(gamma-1.)*si(2,1)^2/si(1,1))/si(1,1);for n=2:nx+1fr(1)=si(2,n);fr(2)=(gamma-1.)*si(3,n)+0.5*(3.-gamma)*si(2,n)^2/si(1,n);fr(3)=si(2,n)*(gamma*si(3,n)-0.5*(gamma-1.)*si(2,n)^2/si(1,n))/si(1,n);su(:,n-1)=sd(:,n-1)-(fr(:)-fl(:))*tau/h+av(:,n-1);fl(:)=fr(:);endsd(:,1:nx)=su(:,1:nx);endd(1:nx)=su(1,1:nx); u(1:nx)=su(2,1:nx)./su(1,1:nx);p(1:nx)=(gamma-1.)*(su(3,1:nx)-0.5*(su(2,1:nx).*su(2,1:nx))./su(1,1:nx));e(1:nx)=(su(3,1:nx)-0.5*(su(2,1:nx).*su(2,1:nx))./su(1,1:nx))./su(1,1:nx);return;% Solves Riemann problem for ideal gas% r1, u1, p1 initial parameters for x<0% r2, u2, p2 initial parameters for x>0% rf, uf, pf solution at the point (x,t)% c1, c2 sound speeds for x<0 and for x>0% s1, sr velocties of the fronts of S(hock)W(ave)s% shl, shr velocties of the fronts of the heads of R(arefaction)Ws% stl, str velocties of the tails of RWsfunction [rf,uf,pf]=riemann(x,t,r1,u1,p1,r2,u2,p2,gamma)g(1)=0.5*(gamma-1.)/gamma; g(2)=0.5*(gamma+1.)/gamma; g(3)=2.*gamma/(gamma-1.); g(4)=2./(gamma-1.); g(5)=2./(gamma+1.); g(6)=(gamma-1.)/(gamma+1.);g(7)=0.5*(gamma-1.); g(8)=1./gamma; g(9)=gamma-1.;s=x/t;c1 = sqrt(p1/(r1*g(8)));c2 = sqrt(p2/(r2*g(8)));du=u2-u1;% Vacuum solutionuvac=g(4)*(c1+c2)-du;if uvac <= 0.disp(' Vacuum generated by given data');return;end% Apply Newton method% Initial guessespv=0.5*(p1+p2)-0.125*du*(r1+r2)*(c1+c2);pmin=min(p1,p2); pmax=max(p1,p2); qrat=pmax/pmin;if ( qrat <= 2. ) & ( pmin <= pv & pv <= pmax )p=max(1.0e-6,pv);elseif pv < pminpnu=c1+c2-g(7)*du;pde=c1/(p1^g(1))+c2/(p2^g(1));p=(pnu/pde)^g(3);elsegel=sqrt((g(5)/r1)/(g(6)*p1+max(1.0e-6,pv)));ger=sqrt((g(5)/r2)/(g(6)*p2+max(1.0e-6,pv)));p=(gel*p1+ger*p2-du)/(gel+ger); p=max(1.0e-6,p);endendp0=p; err=1.;while err > 1.0e-5if p <= p1prat=p/p1; fl=g(4)*c1*(prat^g(1)-1.); ffl=1./(r1*c1*prat^g(2));elsea=g(5)/r1; b=g(6)*p1; qrt=sqrt(a/(b+p));fl=(p-p1)*qrt; ffl=(1.-0.5*(p-p1)/(b+p))*qrt;endif p <= p2prat=p/p2; fr=g(4)*c2*(prat^g(1)-1.); ffr=1./(r2*c2*prat^g(2));elsea=g(5)/r2; b=g(6)*p2; qrt=sqrt(a/(b+p));fr=(p-p2)*qrt; ffr=(1.-0.5*(p-p2)/(b+p))*qrt;endp=p-(fl+fr+du)/(ffl+ffr);err=2.*abs(p-p0)/(p+p0); p0=p;endif p0 < 0.p0=1.0e-6;end% Velocity of CDu0=0.5*(u1+u2+fr-fl);if s <= u0if p0 <= p1shl=u1-c1;if s <= shlrf=r1; uf=u1; pf=p1; return;elsecml=c1*(p0/p1)^g(1); stl=u0-cml;if s > stlrf=r1*(p0/p1)^g(8); uf=u0; pf=p0; return;elseuf=g(5)*(c1+g(7)*u1+s); c=g(5)*(c1+g(7)*(u1-s));rf=r1*(c/c1)^g(4); pf=p1*(c/c1)^g(3);return;endendelsepml=p0/p1; sl=u1-c1*sqrt(g(2)*pml+g(1));if s <= slrf=r1; uf=u1; pf=p1; return;elserf=r1*(pml+g(6))/(pml*g(6)+1.); uf=u0; pf=p0; return;endendelseif p0 > p2pmr=p0/p2; sr=u2+c2*sqrt(g(2)*pmr+g(1));if s >= srrf=r2; uf=u2; pf=p2; return;elserf=r2*(pmr+g(6))/(pmr*g(6)+1.); uf=u0; pf=p0; return;endelseshr=u2+c2;if s >= shrrf=r2; uf=u2; pf=p2; return;elsecmr=c2*(p0/p2)^g(1); str=u0+cmr;if s <= strrf=r2*(p0/p2)^g(8); uf=u0; pf=p0; return;elseuf=g(5)*(-c2+g(7)*u2+s); c=g(5)*(c2-g(7)*(u2-s));rf=r2*(c/c2)^g(4); pf=p2*(c/c2)^g(3);return;endendendendreturn;%%%%%%%%% gasdynamics_Godunov.m%%%%%%%%%%%%%clc; clear all;xmin=-1.; xmax=1.; nx=101; h=(xmax-xmin)/(nx-1);r=0.9; gamma=1.4; bcl=1.; bcr=1.;fprintf('gasdynamics_godunov \n'); fprintf(' Space step - %f \n',h); fprintf(' \n'); dd(1:nx-1)=zeros(1,nx-1); ud(1:nx-1)=zeros(1,nx-1); pd(1:nx-1)=zeros(1,nx-1);x(1:nx)=xmin+((1:nx)-1)*h; xa=xmin+((1:nx-1)-0.5)*h;% Test 1te=' ( Test 1 )';rol=1.; ul=0.; pl=1.;ror=0.125; ur=0.; pr=0.1;tp=15.5;% Test 2%te=' ( Test 2 )';%rol=1.; ul=0.; pl=1000.;%ror=1.; ur=0.; pr=1.;%tp=0.024;% Test 3%te=' ( Test 3 )';%rol=0.1; ul=0.; pl=1.;%ror=1.; ur=0.; pr=100.;%tp=0.05;% Test 4%te=' ( Test 4 )';%rol=5.99924; ul=19.5975; pl=460.894;%ror=5.99242; ur=-6.19633; pr=46.0950;%tp=0.05;% Test 5%te=' ( Test 5 )';%rol=3.86; ul=-0.81; pl=10.33;%ror=1.; ur=-3.44; pr=1.;%tp=0.5;% Initial conditionsdd(1:(nx-1)/2)=rol; ud(1:(nx-1)/2)=ul; pd(1:(nx-1)/2)=pl;dd((nx-1)/2+1:nx-1)=ror;ud((nx-1)/2+1:nx-1)=ur; pd((nx-1)/2+1:nx-1)=pr;[d,u,p,e,time]=godunov_gasdynamics(dd,ud,pd,h,nx,r,tp,gamma,bcl,bcr);% Exact solutionfor n=1:nx[density, velocity, pressure]=riemann(x(n),time,rol,ul,pl,ror,ur,pr,gamma);de(n)=density; ue(n)=velocity; pe(n)=pressure;ee(n)=pressure/((gamma-1.)*density);endfigure(1);plot(x,de,'k-',xa,d,'ko');xlabel(' x ');ylabel(' density ');title([' Example 6.3 ',te]);figure(2);plot(x,ue,'k-',xa,u,'ko');xlabel(' x ');ylabel(' velocity ');figure(3);plot(x,pe,'k-',xa,p,'ko');xlabel(' x ');ylabel(' pressure ');figure(4);plot(x,ee,'k-',xa,e,'ko');xlabel(' x ');ylabel(' internal energy ');clear all;% Method of S. K. Godunovfunction [d,u,p,e,time]=godunov_gasdynamics(dd,ud,pd,h,nx,r,tp,gamma,bcl,bcr)g(1)=0.5*(gamma-1.)/gamma; g(2)=0.5*(gamma+1.)/gamma; g(3)=2.*gamma/(gamma-1.); g(4)=2./(gamma-1.); g(5)=2./(gamma+1.); g(6)=(gamma-1.)/(gamma+1.);g(7)=0.5*(gamma-1.); g(8)=1./gamma; g(9)=gamma-1.;sd(1,1:nx-1)=dd(1:nx-1);sd(2,1:nx-1)=dd(1:nx-1).*ud(1:nx-1);sd(3,1:nx-1)=pd(1:nx-1)/(gamma-1.)+0.5*(dd(1:nx-1).*ud(1:nx-1)).*ud(1:nx-1);time=0.;while time <= tpsta=max(abs(sd(2,:)./sd(1,:))+...sqrt(gamma*(gamma-1)*(sd(3,:)./sd(1,:)-0.5*(sd(2,:).*sd(2,:))./(sd(1,:).*sd(1,:)))));tau=r*h/sta;time=time+tau; %fprintf(' %f \n',time);if bcl == 0[f1,f2,f3]=flux_godunov(sd(1,1),-sd(2,1),sd(3,1),sd(1,1),sd(2,1),sd(3,1),g(:));else[f1,f2,f3]=flux_godunov(sd(1,1),sd(2,1),sd(3,1),sd(1,1),sd(2,1),sd(3,1),g(:));endfleft(1)=f1; fleft(2)=f2; fleft(3)=f3;for n=1:nx-2[f1,f2,f3]=flux_godunov(sd(1,n),sd(2,n),sd(3,n),sd(1,n+1),sd(2,n+1),sd(3,n+1),g(:));fright(1)=f1; fright(2)=f2; fright(3)=f3;su(:,n)=sd(:,n)-(fright(:)-fleft(:))*tau/h;fleft(:)=fright(:);endif bcr == 0[f1,f2,f3]=flux_godunov(sd(1,nx-1),sd(2,nx-1),sd(3,nx-1),sd(1,nx-1),-sd(2,nx-1),...sd(3,nx-1),g(:));else[f1,f2,f3]=flux_godunov(sd(1,nx-1),sd(2,nx-1),sd(3,nx-1),sd(1,nx-1),sd(2,nx-1),...sd(3,nx-1),g(:));endfright(1)=f1; fright(2)=f2; fright(3)=f3;su(:,nx-1)=sd(:,nx-1)-(fright(:)-fleft(:))*tau/h;sd(:,1:nx-1)=su(:,1:nx-1);endd(1:nx-1)=su(1,1:nx-1); u(1:nx-1)=su(2,1:nx-1)./su(1,1:nx-1);p(1:nx-1)=(gamma-1.)*(su(3,1:nx-1)-0.5*(su(2,1:nx-1).*su(2,1:nx-1))./su(1,1:nx-1));e(1:nx-1)=(su(3,1:nx-1)-0.5*(su(2,1:nx-1).*su(2,1:nx-1))./su(1,1:nx-1))./su(1,1:nx-1); return;% Solves Riemann problem for ideal gas% r1, u1, p1 initial parameters for x<0% r2, u2, p2 initial parameters for x>0% rf, uf, pf solution at the point (x,t)% c1, c2 sound speeds for x<0 and for x>0% s1, sr velocties of the fronts of S(hock)W(ave)s% shl, shr velocties of the fronts of the heads of R(arefaction)Ws% stl, str velocties of the tails of RWsfunction [rf,uf,pf]=riemann(x,t,r1,u1,p1,r2,u2,p2,gamma)g(1)=0.5*(gamma-1.)/gamma; g(2)=0.5*(gamma+1.)/gamma; g(3)=2.*gamma/(gamma-1.);g(7)=0.5*(gamma-1.); g(8)=1./gamma; g(9)=gamma-1.;s=x/t;c1 = sqrt(p1/(r1*g(8)));c2 = sqrt(p2/(r2*g(8)));du=u2-u1;% Vacuum solutionuvac=g(4)*(c1+c2)-du;if uvac <= 0.disp(' Vacuum generated by given data');return;end% Apply Newton method% Initial guessespv=0.5*(p1+p2)-0.125*du*(r1+r2)*(c1+c2);pmin=min(p1,p2); pmax=max(p1,p2); qrat=pmax/pmin;if ( qrat <= 2. ) & ( pmin <= pv & pv <= pmax )p=max(1.0e-6,pv);elseif pv < pminpnu=c1+c2-g(7)*du;pde=c1/(p1^g(1))+c2/(p2^g(1));p=(pnu/pde)^g(3);elsegel=sqrt((g(5)/r1)/(g(6)*p1+max(1.0e-6,pv)));ger=sqrt((g(5)/r2)/(g(6)*p2+max(1.0e-6,pv)));p=(gel*p1+ger*p2-du)/(gel+ger); p=max(1.0e-6,p);endendp0=p; err=1.;while err > 1.0e-5if p <= p1prat=p/p1; fl=g(4)*c1*(prat^g(1)-1.); ffl=1./(r1*c1*prat^g(2));elsea=g(5)/r1; b=g(6)*p1; qrt=sqrt(a/(b+p));fl=(p-p1)*qrt; ffl=(1.-0.5*(p-p1)/(b+p))*qrt;endif p <= p2prat=p/p2; fr=g(4)*c2*(prat^g(1)-1.); ffr=1./(r2*c2*prat^g(2));a=g(5)/r2; b=g(6)*p2; qrt=sqrt(a/(b+p));fr=(p-p2)*qrt; ffr=(1.-0.5*(p-p2)/(b+p))*qrt;endp=p-(fl+fr+du)/(ffl+ffr);err=2.*abs(p-p0)/(p+p0); p0=p;endif p0 < 0.p0=1.0e-6;end% Velocity of CDu0=0.5*(u1+u2+fr-fl);if s <= u0if p0 <= p1shl=u1-c1;if s <= shlrf=r1; uf=u1; pf=p1; return;elsecml=c1*(p0/p1)^g(1); stl=u0-cml;if s > stlrf=r1*(p0/p1)^g(8); uf=u0; pf=p0; return;elseuf=g(5)*(c1+g(7)*u1+s); c=g(5)*(c1+g(7)*(u1-s));rf=r1*(c/c1)^g(4); pf=p1*(c/c1)^g(3);return;endendelsepml=p0/p1; sl=u1-c1*sqrt(g(2)*pml+g(1));if s <= slrf=r1; uf=u1; pf=p1; return;elserf=r1*(pml+g(6))/(pml*g(6)+1.); uf=u0; pf=p0; return;endendelseif p0 > p2pmr=p0/p2; sr=u2+c2*sqrt(g(2)*pmr+g(1));if s >= srrf=r2; uf=u2; pf=p2; return;rf=r2*(pmr+g(6))/(pmr*g(6)+1.); uf=u0; pf=p0; return;endelseshr=u2+c2;if s >= shrrf=r2; uf=u2; pf=p2; return;elsecmr=c2*(p0/p2)^g(1); str=u0+cmr;if s <= strrf=r2*(p0/p2)^g(8); uf=u0; pf=p0; return;elseuf=g(5)*(-c2+g(7)*u2+s); c=g(5)*(c2-g(7)*(u2-s));rf=r2*(c/c2)^g(4); pf=p2*(c/c2)^g(3);return;endendendendreturn;% Solves Riemann problem and computes fluxes for method of S. K. Godunov% r1, u1, p1 parameters in left cell% r2, u2, p2 parameters in right cell% rf, uf, pf parameters on the interface% c1, c2 sound speeds in left and right cells% s1, sr velocties of the fronts of S(hock)W(ave)s% shl, shr velocties of the fronts of the heads of R(arefaction)Ws% stl, str velocties of the tails of RWsfunction [f1,f2,f3]=flux_godunov(sl1,sl2,sl3,sr1,sr2,sr3,g)r1=sl1; u1=sl2/r1; p1=(1./g(8)-1.)*(sl3-0.5*sl2*u1);r2=sr1; u2=sr2/r2; p2=(1./g(8)-1.)*(sr3-0.5*sr2*u2);% sound speeds in left and right cellsc1 = sqrt(p1/(r1*g(8)));c2 = sqrt(p2/(r2*g(8)));du=u2-u1;% Vacuum solution。

第十章偏微分方程的数值解第十章偏微分方程的数值解求解偏微分方程问题非常困难。

除了少数特殊情况，在大多数情况下很难找到准确的解决方案。

因此，近似解更重要。

本章只介绍求解各种典型偏微分方程定解问题的差分方法。

(1)差分方法的基本概念 1.1几种偏微分方程固定解的椭圆方程；最典型和最简单的形式是泊松方程。

特别是，在那个时候，它是拉普拉斯方程，也称为调和方程。

泊松方程的第一个边值问题是一个有边界的有界区域，一条分段光滑曲线，称为固定解区域，以及已知的连续函数。

第二类和第三类边界条件可以统一表示为边界的外法线方向。

当时，这是第二种边界条件，当时，这是第三种边界条件。

抛物线方程:在最简单的形式中，一维热传导方程可以有两种不同类型的定解:初值问题初边值问题在初边值问题中，是一个已知的函数，满足连接条件，边界条件称为第一类边界条件。

第二个和第三个边界条件在其中。

当时，它是第二类边界条件，否则它被称为第三类边界条件。

双曲线方程:的最简单形式是一阶双曲线方程。

物理学中常见的一维振动和波动问题可以用二阶波动方程来描述，二阶波动方程是双曲方程的一种典型形式。

方程的初值问题是一个边界条件，一般有三种类型。

最简单的初边值问题是1.2差分法。

差分法的基本概念也称为有限差分法或网格法。

它是求解偏微分方程定解问题数值解最广泛使用的方法之一。

其基本思想是:首先，对求解区域进行网格划分，用一组有限离散点(网格点)代替自变量的连续变化区域。

问题中出现的连续变量的函数被定义在网格点上的离散变量的函数所代替。

通过用网格点上函数的差商代替导数，将具有连续变量的偏微分方程的固定解问题转化为只有有限个未知数的代数方程(称为差分格式)。

当网格为无穷大时，如果差分格式有解，并且其解收敛于原微分方程的解，则差分格式的解作为原问题的近似解(数值解)。

因此，在用差分法求偏微分方程的定解时，通常需要解决以下问题:(1)选择网格；(2)选择微分方程和固定解条件的差分逼近，列出差分格式；(3)求解差分方案；(4)讨论微分方程差分格式解的收敛性和误差估计。

《偏微分⽅程》课程⼤纲《偏微分⽅程》课程⼤纲⼀、课程简介教学⽬标：“偏微分⽅程”是重要的数学基础课程，它在数学的其它分⽀和⾃然科学与⼯程技术中的⼴泛应⽤是众所周知的。

本课程将尽可能地结合物理背景，系统地对⼏类典型⽅程数学结构、求解⽅法、解的性质以及物理意义进⾏详细阐述，为学⽣⽇后的学习和⼯作打下坚实的基础，提供强有⼒的⼯具，并为进⼀步了解和应⽤现代偏微分⽅程的有关内容提供重要帮助。

主要内容：1. 了解⼏类典型⽅程及其定解条件的物理背景2．掌握⽅程的分类及其化简⽅法3. 熟练掌握各类⽅程的求解⽅法（包括具有普适性的⽅法，如分离变量法,Fourier变换法和Green函数法等，以及针对某类⽅程的特定⽅法，如特征线法）4. 会⽤⼀些基本⽅法（如能量积分法、极值原理等）讨论解的性质并掌握解的重要性质⼆、教学内容(其中带*的部分可能随堂调整)第⼀章引论主要内容：1、偏微分⽅程简介a)偏微分⽅程的历史、现状和⽤途b)什么是偏微分⽅程？介绍有关偏微分⽅程基本概念和研究内容c)例⼦：简单⽽多样的例⼦帮助学⽣初步了解偏微分⽅程2、⼆阶线性偏微分⽅程的分类和特征理论a)两个⾃变量的⼆阶线性偏微分⽅程的分类与化简，椭圆型、双曲型和抛物型的标准形式与典型例⼦，混合型⽅程b)多个⾃变量的⼆阶线性偏微分⽅程⽅程的分类及其例⼦c)⼆阶线性⽅程的特征理论*3、四类典型⽅程的数学模型：包括波动⽅程、热传导⽅程、调和⽅程、和⼀阶⽅程4、其他预备知识：线性⽅程的叠加原理、Sturm-Liouville原理*重点与难点：通过化标准型将⼆阶⽅程进⾏分类、特征的概念（这是偏微分⽅程中最基本也是最重要的概念）、各类⽅程及其定解条件的物理意义第⼆章波动⽅程主要内容：1、弦振动⽅程Cauchy问题的存在性：D’Alembert求解公式，传播波，依赖区域、决定区域和影响区域，特征线法（⾏波法）的其他应⽤和例⼦，Duhamel齐次化原理及其物理解释2、弦振动⽅程初边值问题的存在性：分离变量法求解齐次问题及解的存在性讨论，分离变量法求解的物理意义，多种边界条件的例⼦，⾮齐次⽅程的情形，⾮齐次边界条件的情形，⾼维波动⽅程分离变量法的例⼦3、⾼维波动⽅程Cauchy问题的求解：三维波动⽅程的球平均法，⼆维波动⽅程的降维法4、波的传播与衰减：依赖区域、决定区域和影响区域，Huygens原理与波的弥散，波动⽅程解的长时间性态5、能量不等式与唯⼀性和稳定性：初边值问题解的唯⼀性和稳定性，Cauchy问题解的唯⼀性和稳定性重点与难点：针对于波动⽅程：特征线与特征锥、特征线⽅法、波的有限传播速度；适⽤于各种⽅程的普遍⽅法：能量积分⽅法、分离变量法第三章热传导⽅程主要内容：1、求解初边值问题的分离变量法：⼀维情形，⾼维的例⼦2、Cauchy问题解的存在性：Fourier变换及其基本性质，⽤Fourier变换法求解Cauchy 问题及解的存在性讨论，Fourier变换法的其他应⽤3、极值原理与唯⼀性和稳定性：有界区域的极值原理，⽆界区域的极值原理，初边值问题解的唯⼀性和稳定性，Cauchy问题解的唯⼀性和稳定性4、解的渐近性态：初边值问题解的渐近性态，Cauchy问题解的渐近性态重点与难点：Fourier变换⽅法、极值原理、关注与波动⽅程的区别第四章调和⽅程主要内容：1、调和函数的基本性质：Green公式，Neumann问题解的⾃由度与可解性条件，调和⽅程的基本解，变分原理、基本积分公式，平均值定理，极值原理、边值问题解的唯⼀性和稳定性2、Green函数：定义和性质，⽤静电源像法求⼀些特殊区域的Green函数，⼀般单连通区域的Green函数，⽤Green函数法求解调和⽅程与Poisson⽅程3、调和函数的进⼀步性质―――Harnack定理，可去奇点定律，解析性定理、强极值原理、Neumann边值问题解的唯⼀性。

《微分方程数值解》课程简介06191140 微分方程数值解 3Numerical Methods for Differential Equations3-0预修要求：数学分析，高等代数或线性代数, 常微分方程面向对象：数学系信息与计算科学专业三、四年级本科生内容简介：《微分方程数值解法》包括常微分方程初值问题的差分格式的构造和性态分析；椭圆型方程的差分方法；抛物型方程的差分方法；双曲型方程的差分方法;通过本课程的学习，使学生掌握求解微分方程数值解的基本方法，能够根据具体的微分方程选用合适的计算方法。

推荐教材或主要参考书：《微分方程数值解法》，李荣华等,高等教育出版社。

《微分方程数值方法》，胡健伟，汤怀民著，科学出版社。

《初值问题的差分方法》，R.D.Richtmyer and K.W.Morton著，袁国兴等译，中山大学出版社。

《偏微分方程数值方法》，陆金甫，关治，清华大学出版社《微分方程数值解》教学大纲06191140 微分方程数值解 3Numerical Methods for Differential Equations3-0预修要求：数学分析，高等代数或线性代数, 常微分方程面向对象：数学系信息与计算科学专业三、四年级本科生一、课程的教学目的和基本要求本课程是为数学系信息与计算科学专业开设的专业课。

本课程为3学分，上课时间大约为16×3=48学时，春夏或秋冬学期完成。

通过本课程的学习，要使学生掌握常微分方程初值问题的单步和多步差分方法，椭圆型微分方程的差分方法，抛物型微分方程的差分方法，双曲型微分方程的差分方法，以及与之相关的理论问题。

学会分析各种计算方法的收敛条件和收敛速度。

二、课程主要内容及学时分配（一）常微分方程的初值问题（15学时）1．引论。

2．Euler方法。

3．线性多步方法。

4．稳定性、收敛性和误差估计。

5．多步方法的计算。

6．预估—校正算法。

7．Runge—Kutta方法。

《偏微分方程数值解》课程教学大纲《偏微分方程数值解》课程教学大纲课程名称：偏微分方程数值解课程代码：MA309学分 / 学时：4学分 / 64学时适用专业：数学系和与科学计算相关的专业先修课程：偏微分方程，科学计算（I）后续课程：科学计算（II），科学计算选讲开课单位：理学院数学系一、课程性质和教学目标（需明确各教学环节对人才培养目标的贡献）课程性质：本课程是理学院数学系的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过理论学习和上机实算，使学生掌握偏微分方程数值解的基本概念，基本方法和基本原理。

教学目标：重点介绍偏微分方程数值解的有限差分法、和有限元方法，培养学生以计算机为工具，通过数学建模、理论分析与数值求解等步骤定量化解决实际问题的能力。

本课程各教学环节对人才培养目标的贡献见下表。

知识能力素质要求各教学环节的贡献度课堂讲授课堂讨论自学小组大作业作业考试课堂整体贡献度知识知识体系完整掌握求解线性偏微分方程的有限差分方法，掌握变分原理和有限元方法的基本知识√√√能力清晰思考和用语言文字准确表达的能力√ √√ √ √√√√√ √√ √√ 发现、分析和解决问题的能力√√ √√ √√ √√√√√ √√ √√ 批判性思考和创造性工作的能力√√ √√√√√ √√√√√ √√ √√ 与不同类型的人合作共事的能力√ √ √√至少一种外语的应用能力√ √ 终生学习的能力√√ √√ √√ 组织管理能力√ √ 获取整理信息的能力* √ √√ √√√√√ √√ √√素质志存高远、意志坚强√ √ √√ √ 刻苦务实、精勤进取√√ √√ √√ √√ √√ √√ √√ 身心和谐、视野开阔√ √ √√ √√ 思维敏捷、乐于创新√√ √√ √ √√√√ √√ √√二、课程教学内容及学时分配（含实践、自学、作业、讨论等的内容及要求）教学内容学时课堂教学讨论作业及要求自学及要求团组大作业及要求第一章总论微分方程数学模型及举例；微分方程数值解的重要意义和基本问题。