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欣赏一道高考题的数学美数学美是数学的魅力之一，数学美是数学能吸引众多数学爱好者的原因之一。
2010年广东高考的一道解析几何题如下：题目：(2010年广东卷理20)已知双曲线的左、右顶点分别为，，点，是双曲线上不同的两个动点.(Ⅰ)求直线与交点的轨迹的方程;(Ⅱ)若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且，求的值.本文只讨论问题(Ⅰ)，欣赏其中的数学之美。
1．解法之美一个数学问题可以从多种角度去思考，并且都能得到最终想要的结果。
那么这个问题就是一个好问题。
上述题目问题(Ⅰ)就是这样一个问题，下面给出几个不同思考角度的几种解法：解法1：由题设知，，，则有直线的方程为，……①直线的方程为.……②联立①②解得交点坐标为，，即，，……③则，.又由点在双曲线上，.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为，且.解法2：由题设知，，，则有直线的方程为，……①直线的方程为.……②设点是与的交点，由①②得. ……③又点在双曲线上，因此，即. 代入③式整理得.因为点，是双曲线上的不同两点，所以它们与点，均不重合.故点和均不在轨迹上. 过点及的直线的方程为.解方程组得，.所以直线与双曲线只有唯一交点.故轨迹不经过点.同理轨迹也不经过点.综上分析，轨迹的方程为，且.解法3：由题设知，，，设，因为点在上，点在上，所以，.两式相加得，，即.又由得，，即.……①，，，……②则，.而点在双曲线上，.将①②代入上式，整理得所求轨迹的方程为，且.解法4：设点是直线与的交点，因为、、三点共线，所以，……①因为、、三点共线，所以，……②①②得．……③又点在双曲线上，因此，即．代入③式整理得.因为点是双曲线上的不同两点，所以它们与点，均不重合．故点与均不在轨迹上．过点及的直线的方程为．解方程组得．所以直线与双曲线只有唯一交点．故轨迹不经过点．同理轨迹也不经过点．综上分析，轨迹的方程为，且．2．结构之美从上述的解答过程可看到，由双曲线的顶点出发，分别引出两条动直线与，探究两条动直线交点的轨迹，恰是与已知双曲线在结构上对称的椭圆。
2010年高考数学真题试卷（全国1卷word 版）及答案（1-18题答案）2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I ）第I 卷一、选择题（1）cos300°＝ （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）32（2）设全集U ＝（1，2，3，4，5），集合M ＝（1，4），N ＝（1，3，5），则N ⋂（C ，M ）（A ）（1，3） （B ）（1，5） （C ）（3，5） （D ）（4，5）（3）若变量x 、y 满足约束条件 1.0.20.y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则z ＝x-2y 的最大值为（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4)已知各项均为正数的等比数列｛a n ｝中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=（A ）52 (B)7 (C)6 (D)4 2(5)(1－x )2(1－x )3的展开式中x 2的系数是(A)－6 (B ）－3 (C)0 (D)3(6)直三棱柱ABC －A １B 1C 1中，若∠BAC =90°,AB =AC=AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（A ）30° (B)45° (C)60° (D)90° (7)已知函数f (x )= lg x .若a ≠b ，且f (a )=f (b )，则a +b 的取值范围是（A ）（1，+∞） （B ）[1,+∞] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)(8)已知F 1、F 2为双曲线C :x 2－y 2=1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则 1PF ·2PF ＝（A ）2 (B)4 (C)6 (D)8(9)正方体ABCD －A 1BCD 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为(A) 23 (B)33 (C) 23 (D) 63 (10)设a =log 3，2，b =ln2，c =125-,则（A ）a ＜b ＜c (B)b ＜c ＜a (C)c ＜a ＜b (D)c ＜b ＜a(11)已知圆O 的半径为１，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ·PB 的最小值为（A ）－4+2 （B ）－3+2 （C ）－4+22 （D ）－3+22（12）已知在半径为２的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB =CD =2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（A ）233 (B) 433 (C) 23 (D) 833第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（13）不等式2232x x x -++>0的解集是 . （14）已知α为第一象限的角，sin α＝35，则tan α＝ . （15）某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程种各至少选一门.则不同的选法共有 种.（用数字作答）（16）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）记等差数列{a n }的前n 项和为S ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .（18）（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足a ＋b ＝a cot A ＋b cot B ，求内角C .(19)（本小题满分12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用：若两位初审专家都未予通过，则不予录用：若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审. (Ⅰ)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;(Ⅱ)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率.(20)(本小题满分12分)如图，四棱锥S—ABCD中，SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.(Ⅰ)证明：SE=2EB;(Ⅱ)求二面角A—DC—C的大小.(21)（本小题满分12分）已知函数f(x)=3a x4-2(3a+2)x2+4x.(Ⅰ)当a=16时，求f(x)的极值;(Ⅱ)若f(x)在(-1,1)上是增函数，求a的取值范围.(22)(本小题满分12分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交为A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.(Ⅰ)证明：点F在直线BD上；(Ⅱ)设89FA FB−−→-−−→=，求△BDK的内切圆M的方程.2010年高考文科数学参考答案(全国卷1)1.C2.C3.B4.A5.A6.D7.C8.B9.D 10.C 11.D 12.B13.(-2，-1)并(2,+无穷) 14 -24/25 15..30 16.√3/317、{an}是等差数列S3=a1+a2+a3=3a2=12a2=4设公差为da1=4-d a3=4+d2a1,a2,a3+1成等比数列(a2)^2=2a1·(a3+1)4^2=2(4-d)(4+d+1)8=(4-d)(d+5)8=20-d-d^2d^2+d-12=0(d+4)(d-3)=0d=-4 或d=3若d=-4，则a1=8，an=a1+d(n-1)=8-4(n-1)=12-4nSn=(a1+an)n/2=(8+12-4n)n/2=-2n^2+10n若d=3，则a1=1，an=a1+d(n-1)=1+3(n-1)=3n-2Sn=(a1+an)n/2=(1+3n-2)n/2=(3/2)n^2-(1/2)n18、a+b=acosA/sinA+bcosB/sinB合并同类项，a(1-cosA/sinA)=b(cosB/sinB-1)由正弦定理a/b=sinA/sinB得到：cosB-sinB=sinA-cosA(自己带进去化简吧)根据两角和差公式，两边都提取根号2根号2（sin45°cosB-cos45°sinB）=根号2（sinAcos45°-cosAsin45°）即：sin(45°-B)=sin(A-45°)所以：45°-B=A-45°或45°-B+A-45°=180°（舍去）所以A+B=90°，即C=90°。
江苏省淮安市清浦中学 董建奎 徐晓功2010高考江苏卷第20题（2）：设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P . (1)设函数)(x f 2ln (1)1b x x x +=+>+，其中b 为实数。
①求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； ②求函数)(x f 的单调区间； （2）已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围优美解1：由题设知，()g x 的导数2()()(21)g x h x x x '=-+，其中函数()0h x >对于任意的(1,)x ∈+∞都成立，所以，当1x >时，2()()(1)0g x h x x '=->，从而()g x 在区间(1,)+∞上单调递增。
由12x x αβ+=+，结合数轴知α，β表示的点在1x ，2x 表示的点的中点的两侧。
显然01m m ≠≠且，且有11212(1)(1)(1)()x m x m x m x x α-=-+-=--， 212212(1)()x m x m x x m x x α-=+--=-，21212()()(1)()x x m m x x αα∴--=--，同理21212()()(1)()x x m m x x ββ--=--，说明α，β表示的点同在1x ，2x 表示的点的内部或同在外部，又α，β表示的点在1x ，2x 表示的点的中点的两侧，所以α，β表示的点在1x ，2x 表示的点的外部的时候不会在1x ，2x 表示的点的同一侧，由已知|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,且()g x 在(1,)+∞上单调递增， 得到α，β表示的点只能同在1x ，2x 表示的点的内部。
一道高考试题的错解引发的思考导数是高中新课程的新增内容，它也是研究函数性态的有力工具。
近年来高考中，关于导数的题目是常见的。
然而，学生在解决这些问题的过程中常常由于个别环节的疏忽而导致失误丢分。
下面就2010年高考文科数学全国一卷中的第21题在解答中的典型错误谈谈自己所思考的问题，以提高解题的准确性。
题目（2010年全国ⅰ文21）已知函数（ⅰ）当时，求的值（ⅱ）若在上是增函数，求的取值范围其中第（ⅰ）问是容易作答，就不再阐述了。
第（ⅱ）问是关于求字母参数取值范围的问题，也是学生容易出错的问题。
笔者对学生的解答过程记录如下：解：第（ⅱ）问.由于在上是增函数，所以在上有成立，即，也就是，从而时，有 .令 ,（1）当时，显然成立;（2）当时，则 , 有 ;（3）当时，则 , 有 ;综上可知 .然而，正确答案是．整体看这个解答的思路是没有问题的，那么求解过程中是哪个环节出了问题?事实上，关于导数及其应用这一部分常会遇到两类题目：一类是已知函数求其单调区间；另一类是已知函数的单调区间，求函数解析式中字母参数得范围．2010年全国ⅰ文21题第二问就属于第二类问题．从这两类数学问题的本质来看，它们又是紧密联系的．为了对本文中的错解进行深入探讨，现从下面两个问题进行探讨：1 已知函数求其单调区间例1 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．解：函数的导数为．由 ,解得或 .因此，函数在和是增函数.由 ,解得0＜x＜2．因此，函数在是减函数．这道题的求解是容易的．但稍微留心的学生便会产生一个疑问：可不可以写成函数在和是增函数．函数在是减函数．答案是肯定的．只不过是解答中所列的不等式和中没有等号罢了，因此解出的不等式也没有等号．关于这部分内容，北师大版高中数学选修1—1，第四章导数应用中“导数与函数的单调性”这一节指出：导函数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是增加的；如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是减少的．由于学生对教材知识理解的不到位，因此很多学生在解此类问题时候，所列出的不等式都是和，很少去思考能否写成和．事实上，在数学分析中导数与函数的单调性这部分内容有下面两个定理一个推论是需要教师注意的：定理1 若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是，．定理 2 若函数在内可导，则在内严格递增（递减）的充要条件是：①对一切，有 ;②在内的任何子区间上 .推论设函数在内可导．若，则在内严格递增（严格递减）．例2 函数的单调区间．解：由，可知函数在区间上是递增的．但还有这的错误解答：由，解得或 .所以函数在和上单调递增.产生这样错误的原因在于对教材中给出的导函数的符号与函数的单调性之间的关系理解不清楚，对教材中的结论生搬硬套．需要注意得是，上面的推论只是严格单调的充分条件．如，虽然，但它在整个数轴上是严格递增的．从函数的连续性和凹凸性看，点是拐点，虽然在点两侧的函数导数值符号相反，由于在上连续，因此在整个数轴上，其图像是递增的．例3 函数，求其单调区间．解：因为定义域是 , ，所以函数在上是递减的．其实这个题目中也可以写成，只是在这个分式中分子不为零，所以写成更好一些．从上面的问题中，可以看出用导数求解函数的单调区间时，所列的不等式应该是和更严密一些，至于是否，可以结合函数的定义域及式子本身的特征来进一步选取．这样以来，对于“已知函数的单调区间，求函数解析式中字母参数得范围”的问题就不会出现漏解、错解的现象．2 已知函数在某一区间单调，求函数解析式中字母范围例4 已知，函数在时是单调递增函数．求的取值范围．解法1：因为函数在时是单调递增函数,所以在成立，所以，而在上，因此 .解法2：由 ,解得或，所以函数的单调增区间是和 .由于在是单调递增函数,所以 ,得 ,因此 .对于解法1，如果不注意列出，则势必造成漏解现象．对于解法2，看到在时是单调递增函数，但并不是说是函数的单调增区间，只说明可能是这个函数的单调区间的一部分．3 对2010年高考文科数学全国一卷中的第21题第（ⅱ）问错误的思考3.1 正如例4的解法2，对题意有准确的理解．2010年高考文科数学全国一卷中的第21题第（ⅱ）问中：在上是增函数，并不是说是函数的单调增区间，可能是函数的单调增区间的一部分．3.2 从例1、例2中可看到，对于求函数的单调区间这样的问题，是用（），还是（），对于问题的求解是没有影响的．而例3需要考虑函数的定义域及其导函数的特征，所以写成比写成更好一些．3.3 由例4，可以看到对于已知函数在某一区间单调，求函数解析式中字母范围这类问题，就要认真分析、多加思考是用（），还是（）．再看2010年高考文科数学全国一卷中的第21题第（ⅱ）问，这道题目所给的函数是一个多项式函数，其定义域就不需再考虑了，在实数范围内它的图像也是连续的，其解答中最容易出现错误的就是列出（），导致所求字母的范围漏解，而列出的正确的式子应该是（）．。
2010年高考十大典型失误文及失误启示2010年十大典型失误文启示绿色生活江苏一考生1不知从何时起，窗外的梧桐叶漫过了屋顶，逢了夏日，便洒下片片绿荫，透过枝丫的阳光支离破碎的（地）像一片片碎玻璃［照］着我的双眸。
我不断的（地）晃荡着杯子，直到里面的水溅到手上才发现自己已发呆了很久。
2“如今，人们似是不大欢迎绿色的东西了。
”妈妈在饭桌上如是说。
（，）“前些日子城南才种的绿化带最近两天又拆了，说是要拓宽道［路］，城西那原先的公园被拆了，说要搞房地产，可是现在那只是一群（堆）脚手架……”我诺诺地应和着，不知道该用什么话给母亲带来些宽慰。
3“好精致的花！”我不禁微叹道，（。
）眼前的这盆花，叶子实在是翠得惹人，嫩得像要滴出水来，我忍不住上前一抚，却发现这只是盆假花。
逛了三遍花鸟市场后最终在一个不起眼的地方，挑了一盆茉莉花。
我的天，如今买一盆真花可真不容易。
4阳台上不再寂寞了，妈妈赋闲在家的时候便在侍弄她的花园，等我们回来便开始做晚饭。
“这个周末，我带你们去郊区玩。
”饭后，爸爸笑着对我说。
我们一家人顿时兴奋了起来。
“终于可以呼吸呼吸新鲜的空气了。
”姐姐高兴地说着。
5当我们在飞行器上摘下氧气面罩时，一股股的恶臭吹进了舱内，我们立即关上窗户再次戴上面罩。
“没想到郊外的污染这么严重。
”“警报，警报，二噁英气体浓度严重超标（！）”“警报，警报，二氧化硫浓度严重超标（！）”“警报，警报，氮氧气体浓度超标（！）”……6《人民报》二零八零年六月七：今日上午郊区，一家乘坐小型飞行器旅游因误开舱窗导致有毒有害气体进入，飞行器不幸坠毁，无人幸免，各市领导呼吁人们外出旅游时要带上充足氧气不要开窗，并且下达命令整治污染企业，据本报调查，此类命令一月之内已是第五十七次下达，面对如此环境，我们表示无比悲痛……【误区警示1】这篇文章写到了窗外绿色的梧桐叶、因房地产开发绿化带遭到?毁坏、买茉莉花的艰难和郊外空气质量的恶化，写出了现代社会人们对绿色生活的严重忽视，审题基本符合题意。
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（某某卷，解析版）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将某某、高考某某号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B =，则m =.【解析】∵{}1,2,3,4AB =，∴{}21,3,m ∈，于是2m =.故答案为：2.【点评】本题考查集合的概念和运算，属基础概念题．2.不等式204xx ->+的解集是. 【解析】20(4)(2)0(4)(2)0424xx x x x x x->⇔+->⇔+-<⇔-<<+，故答案为：)2,4(-.或由2020404x xx x ->⎧->⇔⎨+>+⎩或2040x x -<⎧⎨+<⎩，解得42x -<<，故答案为：)2,4(-. 【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解.3.行列式cossin 66sincos66ππππ的值是.【解析】cossin 166coscossinsincos()cos 66666632sincos66πππππππππππ=-=+==，答案为：12. 【点评】本题考查二阶行列式的计算方法与和角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，符合在知识交汇处命题原则，属基础题.4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+=.【解析】∵12z i =-，∴(12)(12)1251262z z z i i i i i ⋅+=-++-=+-=-，故答案为：i 26-【点评】本题考查复数的基本概念与运算，属基础概念题．5.将一个总数分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取个个体.【解析】设A 、B 、C 三层的个体数为5k ，3k ，2k （0k >），则分层抽样方法知：从C 中应抽取100220532k k k k⨯=++个个体，故答案为：20.【点评】本题改编自09年某某的一道高考题，主要考查分层抽样的基本知识.6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =， 则该四棱椎的体积是. 【解析】四棱椎的体积2168963V =⨯⨯=，故答案为：96. 【点评】本题考查棱椎的概念、性质和体积计算公式，属基础题.7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d =.【解析】由044222=+--+y x y x ，得22(1)(2)1x y -+-=，则圆心为(1,2)，故3d ==，答案为：3.【点评】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式以及计算能力，是课本习题的变式题.8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为. 【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82=.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题. 9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 ______.【解析】因函数3()log (3)f x x =+图象与x 轴的交点是(2,0)-，所以其反函数的图像与y 轴的交点坐标是(0,2)-，故答案为：)2,0(-.【点评】反函数是高考常考的知识点，一般难度都不大.当与反函数图像有关时，要注意反函数与原函数的图象关于直线y x =对称.10. 从一副混合后的扑克牌（52X ）中随机抽取2X ，则“抽出的2X 均为红桃”的概率为 ____________（结果用最简分数表示）.【解析】由等可能事件的概率计算公式,得213252117C P C ==,故答案为：117.【点评】本题考查等可能事件的概率及其计算，解本类问题的关键是弄清基本事件的总数. 11. 2010年某某世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在右边的框图中，S 表示某某世博会官方在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入.【解析】依题意，S 表示某某世博会官方在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，可知程序的执行框内应填：a S S +←.【点评】本题主要考查算法的程序框图．由题意确定算式是基础，弄清算法流程图的逻辑结构是解题关键．12.在n 行m 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅.当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=_____.【解析】当9n =时，由矩阵的结构可知：111a =，223a =，335a =，447a =，559a =，662a =，774a =，886a =，998a =，∴1122339912945a a a a +++⋅⋅⋅+=+++=，故答案为：45.【点评】矩阵是某某高考常考的知识点，也是一大亮点.本题考查矩阵元素的构成规律和等差数列的前n 项和公式.13.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，1(2,1)e =、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量。
