华易新高考研究联盟浙江省2013年高考模拟卷二(理科数学)

浙江省宁波市2013年高考模拟考试数学（理）试题本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式)()()(B P A P B A P +=+Sh V = 如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 Sh V 31=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高k n k k n n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k = 球的表面积公式 棱台的体积公式24R S π= )(312211S S S S h V ++= 球的体积公式 其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积，343V R π= h 表示棱台的高其中R 表示球的半径第I 卷（选择题部分，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合M={-1，0，1}，N={x|x 2≤}，则M ∩N=A ．{0}B ．{0，1}C ．{-1，1}D ．{-1，0}2．函数)4cos()4cos()(ππ--+=x x x f 是 A ．周期为π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．338B ．3316C ．38D ．3164．已知点P （3，3），Q （3，-3），O 为坐标原点，动点M （x ，y ）满足⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤⋅12||12||OM OM OP ，则点M 所构成的平面区域的面积是 A ．12 B ．16 C ．32 D ．645．已知R b a ∈,，条件p ：“a>b ”，条件q ：“122->b a ”，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”。

秘密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）模拟卷二 数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率(1)k kn k n n P C P P -=-（k=0，1，2，…，n ）球的表面积公式24R S π=，球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高棱台的体积公式11221()3V h S S S S =++，其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡指定区域内作答1．设集合A={x|1≤|x －1|≤2}，集合B ={x|0322≤-+x x }, 则C R A ∩（C R B ）=（） A ．（2，3）B ．[-3，3]C ．(]3,-∞-∪[)+∞,3D ．（－∞，－3）∪（3，+∞）2．已知i 是虚数单位，ai i-+131的共轭复数是－3i ，则实数a=（） A ．3 B ．－3 C ．31 D ．－313．设a ∈R ，则“a ＝－415”是“直线l ：ax+2y －1=0与圆C ：x 2+（y －a ）2=4相切”的（）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．把函数y=cos （2x －1）的图象向左平移21，再横向伸长2倍后可得函数（）A ．y=cos （x+2π）B ．y=sin （x+2π）C ．y=sinx D ．y=cos （x+23π）5．设a ，b 是两个非零向量， ①.若|a +b |=|a |+|b |，则a ∥b ②.若a ∥b ，则|a +b |=|a |+|b |③若|a +b |=|a |+|b |，则存在实数λ，使得b =λa ④若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |+|b |则正确命题是（）A ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．②④6．从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其积为偶数，则不同的取法共有（）A ．65B ．66C ．121D ．917．若正数x ，y ，a 满足x+3y=axy ，且3x+4y 的最小值为25，则a 为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．F 1，F 2分别是双曲线C ：22a x －22by =1（a ，b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若△OBM 的面积为△OBF 1的面积的三倍，则C 的离心率是（） A.23 B ．6C ．2D ．3 9．设实数a>1，b>1，①若lna+2a=lnb+3b ，则a ＞b ②若lna+2a=lnb+3b ，则a ＜b ③若lna －2a=lnb －3b ，则a ＞b ④若lna －2a=lnb －3b 则a ＜b 则下列命题成立的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③10．已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A.存在某个位置，使得直线AC 与平面ABD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与平面ACD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与平面ABC 垂直.D.对任意位置，三对直线与平面“AC 与平面ABD ”，“AB 与平面ACD ”，“AD 与平面ABC ”均不垂直第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题 ：本大题共7小题，每小题4分，共28分，请在答题卡指定区域内作答（第13题图）11．直角三角形△ABC 两直角边为AB=3和AC=2，△ABC 围绕AC 所在直线旋转到某一位置△AB 1C ，构成一个三棱锥C —ABB 1（单位：cm ），则该三棱锥的体积的最大值为________cm 3. 12．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则d=_______13．如右上图，如果执行它的程序框图，输入正整数48==m n 、，那么输出的p 等于14．若将函数f （x ）=x 5表示为f （x ）=a 0＋a 1（1＋x ）＋a 2（1＋x ）2＋……＋a 5（1＋x ）5，其中a 0，a 1，a 2，…a 5为实数，则a 1+a 5=_________15．实数x ，y 满足平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-0,00201y x y x y x ，则覆盖此平面区域的最小圆的方程是______16．设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f （x ）=x ＋1，则 f （0.5）+f （1.5）+f （2.5）+…+f （2013.5）=_____17．如图，AB 为单位圆的直径，E ，F 为半圆上点，弧BE 是弧的三分之一，若AB ·AF=1，则·的值是三、解答题 ：本大题共5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，请在答题卡指定区域内作答 18．(本小题满分14分)已知函数f （x ）=2asin 2x+2sinxcosx －a （a 为常数）在x=83π处取得最大值 （1）求a 值；（2）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （3）若f （θ）=51，0＜θ＜83π，求cos θ 19． (本小题满分14分)单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，CD 中点，平面A 1EF 交BB 1于M ，交DD 1于N（1）画出几何体A 1MEFN —ABEFD 的直观图与三视图； （2）设AC 中点为O ，在CC 上存在一点G ，使CG =λ1CC ，且OG ⊥平面A 1EF ，求λ；（3）求A 1C 与平面A 1EF 所成角的正弦值20． (本小题满分14分) 设单调递增等比数列{a n }满足a 1+a 2+a 3=7，且a 3是a 1，a 2+5的等差中项，（1）求数列{a n }的首项； （2）数列{c n }满足：对任意正整数n ，11a c +22a c +…+n n a c =22+12112--n n 均成立，求数列{c n }的通项FEADBC 1B1D 1A1BOEF21．(本小题满分15分) 已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a .（1）如果椭圆C 左焦点为（－2，0），且经过点)2,2(--，求椭圆C 的方程（2）设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M. 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上； 22．(本小题满分15分) 已知函数f(x)=21(x －1)2+lnx ，g(x)=kx －k ． （1）若23=k ，求函数F(x)=f(x)－g(x)的极值； （2）若对任意的)3,1(∈x ，都有f(x)＞g(x)成立，求k 的取值范围．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2013浙江省高考重点中学理科数学模拟卷详细解析【试卷分析】本卷难度适中，符合2012浙江省高考试卷的风格，及2013浙江省考冈要求，具有浙江省理科数学高考的魅力！它极具高考参考价值！【解析分析】本解析融入笔者特色解题技巧，魅力，精辟，详细，精准，毫不挑剔！魏2013考生量身打造，从现在开始，用好每一分钟，祝你成功！本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟【解析日期】2012.08.【解析人】方俊.【解析点评】优秀（合格）.【注】每题均富含也或是充满了幽默，please 细细品读！急用时可以删掉，非常方便哦！一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1．复数()R m i im z ∈+-=212在复平面上对应的点不可能位于 （）A ．第1象限B ．第2象限C 第3象限D ．第4象限【试解】------（做后再看答案，效果更佳！）【答案】A 【解析】本题考查复数的基本运算。

方法1：（特值法）m=0时，z=（-2i-4）/5位于第三象限，故C 不选；m=1时，z=（-3-4i ）/5；m=2,3,4时带人逐一验证可知A 不可能。

方法2：（直接法）z=（m-2i ）（1-2i ）/5，为了方便，现只考虑分子的正负号，分子的实部为m-4.虚部为-2（1+m ）i ，因为m 属于R ，进行特殊值验证（m=-1，-2，-3，0,1,2,3,4，。

），易知B,C,D 均可，A 不可能，故选A 。

基础题。

2．已知函数33()11f x x x =++-,则下列坐标我和同学某某某一起骑车出门玩，他的气门芯坏了，我就把我的拔下来给他装上，我俩一起高高兴兴骑车回家了。

表示的点一定在函数f (x )图象上的是 （）A ．(,())a f a --B ．(,())a f a -C ．(,())a f a -D ．(,())a f a ---【试解】------（做后再看答案，效果更佳！）【答案】B 【解析】本题考查函数的图象，函数的奇偶性。

2013年浙江省华易新高考研究联盟高考数学模拟试卷2（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数z 满足(1+i)z =3−i ，则复数z 的虚部是（ ） A 2i B −2 i C 2 D −22. 函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则“a ≠0”是函数f(x)有零点的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 若m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A α // β，m ⊂α，n ⊂β⇒m // n B α⊥β，n // α，m ⊥β⇒n ⊥m C m // n ，m ⊥α⇒n ⊥α D m // n ，m // α⇒n // α 4. 已知集合A ={x|x−a x+a<0}，若1∉A ，则实数a 取值范围为（ ）A (−∞, −1)∪[1, +∞)B [−1, 1]C (−∞, −1]∪[1, +∞)D (−1, 1]5.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |ω|<π)的部分图象如图，当x ∈[0, π2]，满足f(x)=1的x 的值为（ ） A π6 B π3 C π2 D 5π126. 已知实数x ，y 满足{x ≥1x +y ≤4ax +by +c ≤0，且目标函数z =2x +y 的最大值为6，最小值为1，其中b ≠0，则cb 的值及a 的正负分别为（ ）A 4，正B 4，负C 14，正D 14，负 7. 已知实数a ≠0，函数f(x)={2x +a,x <1，−x −2a,x ≥1，若f(1−a)=f(1+a)，则a 的值为( )A 32或−34 B −32 C 34或−32 D −34 8. 已知P 是双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)上一点，F 1、F 2是左右焦点，△P F 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120∘，则双曲线的离心率等于（ ） A3√57 B 3√52 C 27 D 729. 八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有个三个连续的小球涂红色的涂法共有（ ） A 24种 B 30种 C 20种 D 36种10. 若不等式x 2+2xy ≤a(2x 2+y 2)对于一切正数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A 2 B√2+12 C 32D 1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填写在答题卡相应位置上 11. 若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=32，S 3=92，则公比q =________． 12. 已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是________．13. 在(x +1)6的二项展开式中任取2项，若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项的个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ=________．14. 如图，如果执行右面的程序框图，若n >m ，当输入正整数n =6，那么输出的P 等于120，则输入的正整数m =________． 15. 在△ABC 中，已知tanB =12，cosA =4√1717，AB 边的中线长CD =2，则△ABC 的面积为________．16. 已知向量a →，b →，c →满足a →+b →+c →=0→，|c →|=2√3，c →与a →−b →所成的角为120∘，则当t ∈R 时，|ta →+(1−t)b →|的取值范围是________．17. 函数y =2sinx(x ∈[0, π])在点P 处的切线与函数y =lnx +12x 2在点Q 处切线平行，则直线PQ 的斜率是________．三、解答题（本大题满分72分）本大题共有5题，考生解答下列各题时应在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．18. 已知向量p →=(−cos 2x, a)，q →=(a, 2−√3sin 2x)，函数f(x)=p →⋅q →−5(a ∈R, a ≠0)． （1）求函数f(x)(x ∈R)的值域；（2）当a =2时，若对任意的t ∈R ，函数y =f(x)，x ∈(t, t +b]的图象与直线y =−1有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值（不必证明），并求函数y =f(x)的在[0, b]上单调递增区间．19. 已知数列{a n }满足a n+1=2a n +n +1(n =1, 2, 3,…)．（1）若{a n }是等差数列，求其首项a 1和公差d ； （2）证明{a n }不可能是等比数列；（3）若a 1=−1，是否存在实数k 和b 使得数列{a n +kn +b}是等比数列，如存在，求出{a n }的前n 项和，若不存在，说明理由．20. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA =PB =PC =AC =4,AB =BC =2√2（1）求证：平面ABC ⊥平面APC（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（3）若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角M −PA −C 的余弦值为2√23，求BM 的最小值．21.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1(−1, 0)、F 2(1, 0)，直线l:x =a 2交x 轴于点A ，且AF 1→=2AF 2→．（1）试求椭圆的方程；（2）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值． 22. 已知函数f(x)＝ln(2ax +1)+x 33−x 2−2ax(a ∈R)．（1）若x ＝2为f(x)的极值点，求实数a 的值；（2）若y ＝f(x)在[3, +∞)上为增函数，求实数a 的取值范围； （3）当a =−12时，方程f(1−x)=(1−x)33+bx 有实根，求实数b 的最大值．2013年浙江省华易新高考研究联盟高考数学模拟试卷2（理科）答案1. D2. A3. C4. B5. D6. B7. D8. D9. A10. D11. 1或−1212. 36+6√213. 8714. 315. 616. [32，+∞)17. 1218. 解：（1）f(x)=p→⋅q→−5=−acos2x−√3asin2x+2a−5=−2asin(2x+π6)+2a−5．…因为x∈R，所以−1≤sin(2x+π6)≤1当a>0时，−2a×1+2a−5≤f(x)≤−2a×(−1)+2a−5．所以f(x)的值域为[−5, 4a−5]．…同理，当a<0时，f(x)的值域为[4a−5, −5]．…（2）当a=2时，y=f(x)=−4sin(2x+π6)−1，由题设函数y=f(x)，x∈(t, t+b]的图象与直线y=−1有且仅有两个不同的交点及函数y=f(x)的最小正周期为π可知，b的值为π．…由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z．…因为x∈[0, π]，所以k=0，∴ 函数y=f(x)在[0, π]上的单调递增区间为[π6，2π3]．…19. （1）解：∵ a n+1=2a n+n+1，∴ a2=2a1+2，a3=2a2+3=4a1+7，∵ {a n}是等差数列，∴ 2a2=a1+a3，∴ 2(2a1+2)=a1+(4a1+7)，∴ a1=−3，a2=−4∴ d=a2−a1=−1；（2）证明：假设{a n}是等比数列，则a22=a1a3∴ (2a1+2)2=a1(4a1+7)，∴ a1=−4，a2=−6，a3=−9，∵ a4=2a3+4=−14，∴ a32≠a2a4与等比数列矛盾∴ 假设不成立∴ {a n}不可能是等比数列；（3）解：假设存在，则有a n+1+k(n+1)+ba n +kn+b=2a n +(k+1)n+k+b+1a n +kn+b=常数∴ {k +1=2k k +b +1=2b ，∴ {k =1b =2∴ {a n +n +2}是等比数列，首项为2，公比为2 ∴ a n +n +2=2n ， ∴ a n =2n −n −2 ∴ {a n }的前n 项和为2(1−2n )1−2−n(n+1)2−2n =2n −n 22−5n 2−120. （1）证明：取AC 中点O ，因为AP =BP ，所以OP ⊥OC由已知，可得△ABC 为直角三角形，∴ OA =OB =OC ，△POA ≅△POB ≅△POC ，∴ OP ⊥OB∵ OB ∩OC =O ∴ OP ⊥平面ABC ，∵ OP ⊂平面PAC ，∴ 平面ABC ⊥平面APC（2）解：以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系． 由已知得O(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，A(0, −2, 0)， C(0, 2, 0)，P(0, 0, 2√3)，∴ AP →=(0,2,2√3)，AM →=(m,n +1,0)设平面PBC 的法向量{−2x +2y =02x −2√3z =0，由{−2x +2y =02x −2√3z =0得方程组{−2x +2y =02x −2√3z =0，取n 1→=(√3,√3,1) ∴ cos <AP →，n 1→>=√217∴ 直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为√217． （3）解：由题意平面PAC 的法向量n 2→=OB →=(2,0,0)， 设平面PAM 的法向量为n 3→=(x,y,z)，M =(m, n, 0) ∵ AP →=(0, 2,2√3)，AM →=(m, n +2, 0)，AP →⋅n 3→=0，AM →⋅n 3→=0∴ {2y +2√3z =0mx +(n +2)y =0取y =−1，可得n 3→=(n+2m，−1，√33)∴ cos <n 2→，n 3→>=2(n+2)m2√(n+2m )2+1+13=2√23∴ n +2=√323m∴ BM 的最小值为垂直距离d =8√70−2√10535． 21.解：（1）由题意，|F 1F 2|=2c =2，A(a 2, 0)∵ AF 1→=2AF 2→∴ F 2为AF 1的中点∴ a 2=3，b 2=2 ∴ 椭圆方程为x 23+y 22=1…（2）当直线DE 与x 轴垂直时，|DE|=2b 2a=4√3，此时|MN|=2a =2√3，四边形DMEN 的面积S =|DE||MN|2=4．同理当MN 与x 轴垂直时，四边形DMEN 的面积S =|DE||MN|2=4．当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE:y =k(x +1)，代入椭圆方程，消去y 得：(2+3k 2)x 2+6k 2x +(3k 2−6)=0设D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2 所以，|x 1−x 2|=4√3×√k 2+12+3k 2，所以|DE|=√k 2+1|x 1−x 2|=4√3(k 2+1)2+3k 2， 同理|MN|=4√3(1k2+1)2+3k 2…所以四边形的面积S =|DE||MN|2=12×4√3(k 2+1)2+3k 2×4√3(1k2+1)2+3k 2=24(k 2+1k 2+2)6(k 2+1k2)+13令u =k 2+1k 2，则S =4−413+6u因为u =k 2+1k 2≥2，当k =±1时，u =2，S =9625，且S 是以u 为自变量的增函数，所以9625≤S <4．综上可知，9625≤S≤4．故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为9625．…22. f′(x)=2a2ax+1+x2−2x−2a=x[2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)]2ax+1．因为x＝2为f(x)的极值点，所以f′(2)＝0．即2a4a+1−2a=0，解得a＝0．又当a＝0时，f′(x)＝x(x−2)，从而x＝2为f(x)的极值点成立．因为f(x)在区间[3, +∞)上为增函数，所以f′(x)=x[2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)]2ax+1≥0在区间[3, +∞)上恒成立．①当a＝0时，f′(x)＝x(x−2)≥0在[3, +∞)上恒成立，所以f(x)在[3, +∞)上为增函数，故a＝0符合题意．②当a≠0时，由函数f(x)的定义域可知，必须有2ax+1>0对x≥3恒成立，故只能a> 0，所以2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)≥0对x∈[3, +∞)上恒成立．令g(x)＝2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)，其对称轴为x=1−14a，因为a>0所以1−14a<1，从而g(x)≥0在[3, +∞)上恒成立，只要g(3)≥0即可，因为g(3)＝−4a2+6a+1≥0，解得3−√134≤a≤3+√134．因为a>0，所以0<a≤3+√134．由①可得，a＝0时，符合题意；综上所述，a的取值范围为[0, 3+√134]．若a=−12时，方程f(1−x)=(1−x)33+x>bx可化为，lnx−(1−x)2+(1−x)=bx．问题转化为b＝xlnx−x(1−x)2+x(1−x)＝xlnx+x2−x3在(0, +∞)上有解，即求函数g(x)＝xlnx+x2−x3的值域．以下给出两种求函数g(x)值域的方法：方法1：因为g(x)＝x(lnx+x−x2)，令ℎ(x)＝lnx+x−x2(x>0)，则ℎ(x)=1x +1−2x=(2x+1)(1−x)x，所以当0<x<1，ℎ′(x)>0，从而ℎ(x)在(0, 1)上为增函数，当x>1，ℎ′(x)<0，从而ℎ(x′)在(1，+∞上为减函数，因此ℎ(x)≤ℎ(1)＝0．而x>1，故b＝x⋅ℎ(x)≤0，因此当x＝1时，b取得最大值0．方法2：因为g(x)＝x(lnx+x−x2)，所以g′(x)＝lnx+1+2x−3x2．设p(x)＝lnx +1+2x −3x 2，则p ′(x)=1x +2−6x =−6x 2−2x−1x．当0<x <1+√76时，p ′(x)>0，所以p(x)在(0,1+√76)上单调递增；当x >1+√76时，p ′(x)<0，所以p(x)在(1+√76,+∞)上单调递减； 因为p(1)＝0，故必有p(1+√76)>0，又p(1e 2)=−2+1+2e 2−3e 4<−3e 4<0， 因此必存在实数x 0∈(1e 2,1+√76)使得g ′(x 0)＝0，∴ 当0<x <x 0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0, x 0)上单调递减； 当x 0<x <1，g′(x)>0，所以，g(x)在(x 0, 1)上单调递增； 又因为g(x)=xlnx +x 2−x 3=x(lnx +x −x 2)≤x(lnx +14)， 当x →0时，lnx +14<0，则g(x)<0，又g(1)＝0．因此当x ＝1时，b 取得最大值0．。

浙江省华易新高考研究联盟2013年高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）设复数z1=1﹣3i，z2=3+2i，则在复平面内对应的点在（）求出=﹣﹣由此能得到==﹣i在复平面内对应的点（﹣，﹣）在第三象限．3．（5分）从2012名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2012人中剔除12人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行．则每人入选的概率都相等，且为都相等，且为=4．（5分）（2009•宁波模拟）设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真5．（5分）下列四个函数：①y=|tanx|，②y=lg|x|，③，④y=2x，其中③（6．（5分）sin2α=，，则cos（﹣α）的值为（）B，且=1+，，（（+7．（5分）实数x、y满足不等式组则P=x2+（y﹣1）2的取值范围是（）表示的可行域为如图：的坐标由的距离的平方为：=8．（5分）有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位共有222d=二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分））一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为1V=12．（4分）展开式中x4的系数为20（用数字作答）．与常数解：展开式看作个+=2013．（4分）（2011•广州模拟）已知程序框图如图，则输出的i=9．14．（4分）已知函数有三个不同零点，则实数a的取值范围为（0，1]．15．（4分）如图，第n（n∈N*）个图形是由正n+2边形“扩展”而来，则第n个图形中共有（n+2）（n+3）个顶点（相临两条边的交点即为顶点）．16．（4分）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=4，AC=2，D是BC上的一点，DC=2BD，则=．，将两向量，，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求，为基向量，由图及题意得，（）+×××）．．17．（4分）若实数x，y满足x2+y2=4，则的最小值是．则要求的式子化为=t====t=sin），=，1+，故，三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccosB+bcosC﹣3acosA=0．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积是，求的值．（Ⅰ）由正弦定理==cosA=cosA==bcsinA=bc=•=bccosA=×=19．（14分）（2011•广州模拟）已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，且a n+1=a n+2a n﹣1（n≥2）．（1）设b n=a n+1+λa n，是否存在实数λ，使数列{b n}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；（2）求数列{a n}的前n项和S n．通过设（）知，构造{）可知，则有比较，令）知．项和注：若将上述和式合并，即得所以因为所以（所以…．）可知，所以为偶数时，．为奇数时，．项和注：若将上述和式合并，即得20．（14分）已知长方形ABCD的AB=3，AD=4．AC∩BD=O．将长方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥A﹣BCD，如图所示．过A作BD的垂线交BD于E．（1）问a为何值时，AE⊥CD；（2）当二面角A﹣BD﹣C的大小为90°时，求二面角A﹣BC﹣D的正切值．，AE=，BDC=，∴，即EF=，21．（15分）（2012•甘肃一模）设椭圆的右焦点为F1，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）．（1）求椭圆M的方程；（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+（y﹣2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．的坐标，利用=，从而求的最大值转化为求的最大值；可得=．根据点=，利用，由解得，再分别求得、，利用，可求，，，得．的方程为．…从而求的最大值转化为求的最大值．所以，即，所以．因为，所以当时，所以，所以所以=．上，所以上，所以，即所以=因为，所以当时，，解得．所以，即所以因为，所以当时，，解得所以，即所以．所以因为，所以当时，综上可知，22．（15分）已知函数f（x）的定义域为I，导数f n（x）满足0＜f（x）＜2且fn（x）≠1，常数c1为方程f（x）﹣x=0的实数根，常数c2为方程f（x）﹣2x=0的实数根．（1）若对任意[a，b]⊆I，存在x0∈（a，b），使等式f（b）﹣f（a）=（b﹣a）f n（x0）成立．求证：方程f（x）﹣x=0不存在异于c1的实数根；（2）求证：当x＞c2时，总有f（x）＜2x成立；（3）对任意x1、x2，若满足|x1﹣c1|＜1，|x2﹣c1|＜1，求证：|f（x1）﹣f（x2）|＜4．。

浙江省华易新高考研究联盟2013年高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．U2．（5分）设复数z1=1﹣3i，z2=3+2i，则在复平面内对应的点在（）==﹣i 由此能得到==﹣i在复平面内对应的点（﹣，﹣）在第三象限．3．（5分）从2012名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2012人中剔除12人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行．则每人入选的概率=4．（5分）（2009•宁波模拟）设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是5．（5分）下列四个函数：①y=|tanx|，②y=lg|x|，③，④y=2x，其中=（6．（5分）sin2α=，，则cos（﹣α）的值为（）=1+=，﹣=cos+=7．（5分）实数x、y满足不等式组则P=x2+（y﹣1）2的取值范围是（）表示的可行域为如图：的坐标由的距离的平方为：=8．（5分）有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（）共有2222d=二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分））一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为112．（4分）展开式中x4的系数为20 （用数字作答）．的个数与选取解：构成+13．（4分）（2011•广州模拟）已知程序框图如图，则输出的i= 9 ．14．（4分）已知函数有三个不同零点，则实数a的取值范围为（0，1] ．15．（4分）如图，第n（n∈N*）个图形是由正n+2边形“扩展”而来，则第n个图形中共有（n+2）（n+3）个顶点（相临两条边的交点即为顶点）．16．（4分）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=4，AC=2，D是BC上的一点，DC=2BD，则=．，将两向量，，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求，为基向量，由图及题意得，（）+×4﹣×16+×2×4×（﹣﹣．17．（4分）若实数x，y满足x2+y2=4，则的最小值是．，则要求的式子化为sin）==sin+﹣，=，]，故﹣三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccosB+bcosC﹣3acosA=0．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积是，求的值．（Ⅰ）由正弦定理==∴cosA=，∴sinA===bcsinA=bc=•=bccosA==19．（14分）（2011•广州模拟）已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，且a n+1=a n+2a n﹣1（n≥2）．（1）设b n=a n+1+λa n，是否存在实数λ，使数列{b n}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；（2）求数列{a n}的前n项和S n．以及设（n≥2））知（n≥1），构造{）可知，则有比较，令）知．…（项和注：若将上述和式合并，即得（n≥1）所以时，因为所以（n≥1）所以…（．…（）可知，所以．…（．…（项和注：若将上述和式合并，即得20．（14分）已知长方形ABCD的AB=3，AD=4．AC∩BD=O．将长方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥A﹣BCD，如图所示．过A作BD的垂线交BD于E．（1）问a为何值时，AE⊥CD；（2）当二面角A﹣BD﹣C的大小为90°时，求二面角A﹣BC﹣D的正切值．AE=DE=，∴BD=5，∴AE=，，∴，即，而，21．（15分）（2012•甘肃一模）设椭圆的右焦点为F1，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）．（1）求椭圆M的方程；（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+（y﹣2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．的坐标，利用=，从而求的最大值转化为求的最大值；可得．根据点=，利用，可求，由，再分别求得、，利用，可求，，得．…（的方程为．…（…（从而求的最大值转化为求所以，即，所以因为时，所以，所以所以=．…（上，所以上，所以，即所以．…（因为时，，解得所以，即所以因为时，，解得所以，即所以所以因为时，综上可知，22．（15分）已知函数f（x）的定义域为I，导数f n（x）满足0＜f（x）＜2且fn（x）≠1，常数c1为方程f（x）﹣x=0的实数根，常数c2为方程f（x）﹣2x=0的实数根．（1）若对任意[a，b]⊆I，存在x0∈（a，b），使等式f（b）﹣f（a）=（b﹣a）f n（x0）成立．求证：方程f（x）﹣x=0不存在异于c1的实数根；（2）求证：当x＞c2时，总有f（x）＜2x成立；（3）对任意x1、x2，若满足|x1﹣c1|＜1，|x2﹣c1|＜1，求证：|f（x1）﹣f（x2）|＜4．。

2013年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．解答：解：（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁R S）∪T=（）A．（﹣2，1]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）考点：交、并、补集的混合运算；全集及其运算．专题：集合．分析：先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得∁R S，再利用并集的定义求出结果．解答：解：∵集合S={x|x＞﹣2}，∴∁R S={x|x≤﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}={x|﹣4≤x≤1}，故（∁R S）∪T={x|x≤1}故选C．点评：此题属于以一元二次不等式的解法为平台，考查了补集及并集的运算，是高考中常考的题型．在求补集时注意全集的范围．3．（5分）（2013•浙江）已知x，y为正实数，则（）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy考点：有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．解答：解：因为a s+t=a s•a t，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D．点评：本题考查指数与对数的运算性质，基本知识的考查．4．（5分）（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：φ=⇒f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f （x）为奇函数⇒f（0）=0⇒φ=kπ+，k∈Z．所以“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．解答：解：若φ=，则f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=﹣Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；若f（x）是奇函数，⇒f（0）=0，∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0．∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ=“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．故选B．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用．5．（5分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值，利用裂项相消法易得答案．解答：解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则2﹣=．∴a=4，故选A．点评：本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键．6．（5分）（2013•浙江）已知，则tan2α=（）A．B．C．D．考点：二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由题意结合sin2α+cos2α=1可解得sinα，和cosα，进而可得tanα，再代入二倍角的正切公式可得答案．解答：解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C点评：本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．7．（5分）（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB 上任一点P，恒有则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．A B=AC D．A C=BC考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．解答：解：设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，=||•||=||﹣（a+1））||，•=﹣a，于是•≥••恒成立，整理得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC．故选：D．点评：本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力8．（5分）（2013•浙江）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（）A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：通过对函数f（x）求导，根据选项知函数在x=1处有极值，验证f'（1）=0，再验证f （x）在x=1处取得极小值还是极大值即可得结论．解答：解：当k=1时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）．求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）+（e x﹣1）=（xe x﹣1），f'（1）=e﹣1≠0，f'（2）=2e2﹣1≠0，则f（x）在在x=1处与在x=2处均取不到极值，当k=2时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）2．求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）2+2（e x﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2），∴当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当x0＜x＜1时（x0为极大值点），f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；在（x0，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项．故选C．点评：本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（）A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离．分析：设P1是点P在α内的射影，点P2是点P在β内的射影．根据题意点P1在β内的射影与P2在α内的射影重合于一点，由此可得四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角，根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直，得到本题答案．解答：解：设P1=fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直故选：A点评：本题给出新定义，要求我们判定平面α与平面β所成角大小，着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江）设二项式的展开式中常数项为A，则A=﹣10．考点：二项式系数的性质．专题：排列组合．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••．令=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣=﹣10，故答案为﹣10．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．（4分）（2013•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于24cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可．解答：解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图：V=V棱柱﹣V棱锥==24（cm3）故答案为：24．点评：本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算．V椎体=Sh，V柱体=Sh．考查空间想象能力．13．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z=kx+y得到最大值点A，即可得到答案．解答：解：可行域如图：由得：A（4，4），同样地，得B（0，2），z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况．当k＞0时，目标函数z=kx+y在A点取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，即12=4k+4，得k=2；当k＜0时，①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=4k+4，故k=2．②当k时，目标函数z=kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=0×k+2，故k不存在．综上，k=2．故答案为：2．点评：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．14．（4分）（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有480种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．解答：解：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A，当C在左边第2个位置时，A和B有C右边的4个位置可以选，有A A，当C在左边第3个位置时，有A A+A A，共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有480种．故答案为：480．点评：本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法．15．（4分）（2013•浙江）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．解答：解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．点评：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力．16．（4分）（2013•浙江）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=，进而可得cosβ=，在RT△ACM中，还可得cosβ=，建立等式后可得a=b，再由勾股定理可得c=，而sin∠BAC═=，代入化简可得答案．解答：解：如图设AC=b，AB=c，CM=MB=，∠MAC=β，在△ABM中，由正弦定理可得=，代入数据可得=，解得sin∠AMB=，故cosβ=cos（﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=，而在RT△ACM中，cosβ==，故可得=，化简可得a4﹣4a2b2+4b4=（a2﹣2b2）2=0，解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=，故在RT△ABC中，sin∠BAC====，故答案为：点评： 本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x 、y ∈R ．若、的夹角为30°，则的最大值等于 2 ．考点：数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用． 分析：由题意求得 =，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解答：解：∵、 为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x +y，∴||===，∴====， 故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为 2．点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．19．（14分）（2013•浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）ξ的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相应的概率可得所求ξ的分布列；（2）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论．解答：解：（1）由题意得ξ=2，3，4，5，6，P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；P（ξ=5）==；P（ξ=6）==．故所求ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6P（2）由题意知η的分布列为η 1 2 3PEη==Dη=（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2=．得，解得a=3c，b=2c，故a：b：c=3：2：1．点评：本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属于中档题．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG==，从而得到tanθ=，由此可得∠BDC．解答：（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形∴PQ∥OF∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°设∠BDC=θ，可得Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θRt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG==∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°点评：本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大小的情况下求线线角．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识，属于中档题．21．（15分）（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．解答：解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴|PD|=．∴三角形ABD 的面积S △==，令4+k 2=t ＞4，则k 2=t ﹣4， f （t ）===，∴S △=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l 1的方程为．点评：本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力． 22．（14分）（2013•浙江）已知a ∈R ，函数f （x ）=x 3﹣3x 2+3ax ﹣3a+3． （1）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）当x ∈[0，2]时，求|f （x ）|的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：导数的综合应用． 分析： （1）求出原函数的导函数，求出函数取x=1时的导数值及f （1），由直线方程的点斜式写出切线方程；（2）求出原函数的导函数，分a ≤0，0＜a ＜1，a ≥1三种情况求|f （x ）|的最大值．特别当0＜a ＜1时，仍需要利用导数求函数在区间（0，2）上的极值，然后在根据a 的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小． 解答： 解：（1）因为f （x ）=x 3﹣3x 2+3ax ﹣3a+3，所以f ′（x ）=3x 2﹣6x+3a ， 故f ′（1）=3a ﹣3，又f （1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a ﹣3）x ﹣3a+4；（2）由于f ′（x ）=3（x ﹣1）2+3（a ﹣1），0≤x ≤2．故当a ≤0时，有f ′（x ）≤0，此时f （x ）在[0，2]上单调递减，故 |f （x ）|max =max{|f （0）|，|f （2）|}=3﹣3a ．当a ≥1时，有f ′（x ）≥0，此时f （x ）在[0，2]上单调递增，故 |f （x ）|max =max{|f （0）|，|f （2）|}=3a ﹣1．当0＜a ＜1时，由3（x ﹣1）2+3（a ﹣1）=0，得，．所以，当x ∈（0，x 1）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增； 当x ∈（x 1，x 2）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减； 当x ∈（x 2，2）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增． 所以函数f （x ）的极大值，极小值．故f （x 1）+f （x 2）=2＞0，．从而f （x 1）＞|f （x 2）|． 所以|f （x ）|max =max{f （0），|f （2）|，f （x 1）}． 当0＜a ＜时，f （0）＞|f （2）|． 又=故．当时，|f （2）|=f （2），且f （2）≥f （0）．又=．所以当时，f （x 1）＞|f （2）|．故．当时，f （x 1）≤|f （2）|．故f （x ）max =|f （2）|=3a ﹣1．综上所述|f （x ）|max =．点评： 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答（2）的关键，此题属于难题．。

浙江省2013届高三高考密破仿真预测卷（二）数学理试题（解第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合}032|{2<--=x x x M ，}|{a x x N >=，若N M ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[+∞B ．),3(+∞C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞3.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈.若则32b =-，1012b =，则8a =（ ）A. 0B. 3C. 8D. 11 【答案】B【解析】由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==4.已知命题01,:;25sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使R ，.01,:;25sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使01,5sin ,:2>++∈=∈∃x x R q x R x p 都有命题使，.01,;25sin ,2>+=∈∃x R q x R x 都有命题使给出下列结论：①命题“q p ∧”是真命题 ②命题“q p ⌝∧”是假命题 ③命题“q p ∨⌝”是真命题④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题, 其中正确的是( )A.②④B.②③C.③④D.①②③5.曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为( )A. 42ln2- B. 2ln2-C. 4ln2- D. 2ln26．如图所示，为一个几何体的主视图与左3视图，则此几何体的体积为A．36 B．48 C．64 D．72【答案】C【解析】解：由题意可知该几何体是个台体，上底边长为3，下底边长为5，高为4，利用台体的体积公式可知为64.，选C7.右图给出的是计算111124620++++的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )A．10>i B．10<i C．11>i D．11<i经过第十次循环得到1111...24620S=++++，i=11，此时的i应该满足判断框中的条件，执行输出,故判断框中的条件是i＞10.8.已知某一随机变量x的概率分布如下，且xE=5.9，则a的值为（）【答案】B【解析】因为b=1-0.2-0.5=0.3,由40.50.290.3 5.9,6a a⨯+⨯+⨯=∴=.10．已知双曲线2215xym-=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为A ．6B ．32D ．3411．函数22(),()1,(()(())[,](0)f x x g x og x f g x g f x a b a b ==<<若与的定义域都为，值域相同，则（ ） A ．1,4a b == B ．1,1a b =≤C ．1,4a b ≥≤D ．1,4a b ≥=【答案】A【解析】解：因为函数22(),()1,(()(())[,](0)f x x g x og x f g x g f x a b a b ==<<若与的定义域都为值域相同，那么利用解析式分析两个函数的定义域和值域要相同时，则参数a,b 的值要满足1,4a b ==，选A第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分。