大学物理静电场中的导体

S +
+ +
实心带电导体
结论：导体内部无净电荷，电荷只分布在导体的外表面
2）空腔导体
空腔内无电荷时
E dS 0
S
qi 0
i
高斯 面
S
空腔带电导体
电荷分布在表面 内表面？ 外表面？
若内表面带电，必等量异号
E dS
S
q
ε0
i
0
+ + +
＋
U AB
两球相连相当 于电容器并联
Q1 Q2 C C1 C2 40 ( R1 R2 ) U
屏蔽外电场
E
E
外电场
空腔导体屏蔽外电场
空腔导体可以屏蔽外电场, 使空腔内物体不受外电场 影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等.
屏蔽腔内电场
接地空腔导体
将使外部空间不受 空腔内的电场影响.
+
+ +
q
+ + +
接地导体电势为零
q
+
q
+
高压带电作业人员穿的导电纤维编织的工作服
10.7.2 孤立导体的电容
2. 静电平衡导体的电势 导体是等势体，表面是等势面
b
E内 0
E内 0 a
b
U a U b E dl 0
a
二、静电平衡导体上电荷的分布
1）实心导体
E 0 q SE dS 0 ε0
q 0
+ + +
高斯 面
+
+

R2 R1
在金属球壳与导体球之间（r0 < r < R1时）：
q r0
作过 r 处的高斯面S1
q
S1 E2 dS 0
得
E2 r
q
40r 2
q
E2 40r 2 er
在金属球壳内（R1< r < R2时）：电场 E3 0
在金属球壳外（ r > R2时）： 作过 r 处的高斯面 S 2
S2
E4
dS
在它形成的电场中平行放置一无限大金属平板。求：
金属板两个表面的电荷面密度？
解：带电平面面电荷密度0 ，导体两面感应电荷面密度分 别为1 和 2，由电荷守恒有
1 2 0 (1)
导体内场强为零（三层电荷产生）
σ0 σ1
σ2
E0 E1 E2 0
(2)
E0
0 1 2 0
(3)
20 20 20
导体表面任一点的电场强度都与导体表面垂 直。
20
2.导体在静电平衡状态下 的一些特殊性质
❖ 导体是等势体，导体表面是等势面。
在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差可以表示为
VP VQ
Q
E
dl
0
P
❖ 导体表面的电场强度方向与导体的表面相垂直。
❖ 导体上感应电荷对原来的外加电场施加影响，改
Q1
Q2
0
q
q
0
得
E4r
q
4 0 r 2
E4
q
4 0 r 2
er
43
思考：（3）金属球壳和金属球的电势各 为多少？
解：设金属球壳的电势为U壳 ，则：
U壳
R2 E4 dl

V
五.电场强度的计算 电偶极子 1.定义 (物理模型) P r 其距离较问 题涉及线度 –q l +q 小得多l<<r 的等量异号的点电荷系统. 2.电矩 (电偶极矩) p –q l +q p=ql p与l同向,l从负指向正. 3.电偶极子电场的电场强度 (1)延长线上的电场强度 E– A E+ 坐标如图 –q l +q A的坐标 O x 为x. E+=qi/[4πε0(x–l/2)2] E–=–qi/[4πε0(x+l/2)2] E=E++E–
四.电场叠加原理 4.点电荷系激发的电场 (由力的叠加原理得出) E = qiri/(4πε0ri3) 将带电体分成无数个点电荷. i 试验电荷受力为 5.连续带电体激发的电场 F =Fi= q0qiri/(4πε0ri3) E =q rdq/(4πε0r3) i i ρ=dq/dV E=F/q0 = q0 qiri/(4πε0ri3) q0 (1)体电荷 体电荷密度 i E = rρdV/(4πε0r3) E = qiri/(4πε0ri3) =Ei (2)线电荷截面尺寸远小于长 i i 1.独立性 任何电荷的电场不 度.也远小于问题所涉及线度 线电荷密度 λ=dq/dl 因其它电荷的存在而受影响; E = lrλdl/(4πε0r3) 2.叠加性 空间电场是所有电 (3)面电荷 厚度远小于表面尺 荷产生电场的矢量和. 3.求电场的基点 寸,也远小于问题所涉及线度 (1)点电荷激发的电场; 面电荷密度 σ=dq/dS (2)电场叠加原理. E = S rσdS/(4πε0r3)
2 1 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
1
讨论 1.中垂线上 1+2=π Ex=0 sin2=sin1 cos1=–cos2=(l/2)/(a2+l2/4)1/2 Ey=λcos1/(2πε0a) =(q/l)[(l/2)/(a2+l2/4)1/2]/(2πε0a) =q/[4πε0a)(a2+l2/4)1/2] (1)当l ≫ a 1=0 Ey=λ/(2πε0a) (2)当 Ey=q/(4πε0a2) 点电荷 (3)当a=0 带电体不再是线电荷 ≪a 2.延长线上 dl r bP x 所有电 O dE 荷元产 l

孤立导体球
1 q 电势: 电势: V = 4 πε0 R 孤立导体球的电容为: 孤立导体球的电容为:
q = 4 πε0R 1 q 4 πε0 R 孤立导体的电容仅取决于导体的几何形状和大 小,与导体是否带电无关. 与导体是否带电无关.
地球的电容: 地球的电容: C = 4 π ε 0 R = 4 π× 8.85 × 10 12 × 6.4 × 10 6 F
S
+
左底
侧面
∫
+
右底
∫
= 0+0+0
q1 q 2
E dS = 1 (σ 2 S + σ 3 S) ∫
S
ε0
σ 2 = σ 3
σ1 σ 4 EI = EIII = = ε0 ε0
I S
II
S
III S
σ1 = σ 4
σ1 σ 2
A
σ3 σ4
B
导体的静电平衡性质
静电场中的导体与电介质
qA
qB
I
+q
R1
l
+q
R2
导体的静电平衡性质
静电场中的导体与电介质
例 2 有一外半径R1 = 10cm 和内半径R2 = 7cm 的金属球壳, 的金属球壳,在球壳内放一半径 R3 = 5cm 的同心金 8 属球, 的正电荷, 属球,若使球壳和金属球均带有 q = 10 C 的正电荷, 两球体上的电荷如何分布?球心的电势为多少? 问 两球体上的电荷如何分布?球心的电势为多少? 解 根据静电平衡的条件求电荷分布 作球形高斯面 S1 +q
r
∫
S3
E3 dS = ∑qi ε0 = 0
i
R2

导体内
)
b
ua ub E • dl
p 等势面
等势体
体 是 等
a
E内 0 ua ub
a
Q
b
势 体
导体表面
Q Q
uP uQ E • dl E cos 900 dl 0
P
P
uP uQ
处于静电平衡状态的 导体的性质：
1、导体是等势体，导体表面是等势面。
2、导体外部附近空间的场强与导体表面正交。
A C B D
无
限
均
大
匀 带 电 平 面
+++q+++R++ ++++
均 匀 带 电 平
面
E
q
4 0 R 2
0
+ + +
+ + + + +
E 2 0
4、导体外部近表面处场强方向与该处导体表面垂
直，大小与该处导体表面电荷面密度 e 成正比。
表面附近作圆柱形（钱币形）高斯面
E
E
•
dS
E
S
cos 00
1S 2S q1
q1
q2
3S 4S q2
由静电平衡条件，导体板内E=0。
1 2 3 4
EA
1 2 o
2 2 o
3 2 o
4 2 o
0
EB
1 2 O
2 2 O
3 2 o
4 2 o
0
A
B
1
4
q1 q2 2S
2
3
q1 q2 2S
例 3: 接地导体球附近有一点电荷，求: 导体上的感应电荷。

v E
二、导体上电荷的分布 由导体的静电平衡条件和静电场的基本性 dV 质，可以得出导体上的电荷分布。 1.导体内部无静电荷 证明：在导体内任取体积元 dV
E内 = 0
r r 由高斯定理 E dS ⋅ = 0 ∫
S
∑q = ∫ ρ dV = 0
i i V
Q体积元任取 导体带电只能在表面！
ρ =0
证毕
A B σ1 σ 2σ 3
场 两板之间 强 分 布 两板之外
Q E = ε0S
r E
E=0
练习
已知: 两金属板带电分别为q1、q2 求：σ1 、σ2 、σ3 、σ4
q1
q2
q1 + q2 σ1 = σ 4 = 2S
σ1
σ2
σ3
σ4
q1 − q2 σ 2 = −σ 3 = 2S
2.导体表面电荷 表面附近作圆柱形高斯面
r r σΔS 0 ∫ E • dS = E ⋅ ΔS ⋅ cos 0 =
σ
r E
ΔS
ε0
σ ∴E = ε0
r σ ^ ^ E表 = n n ：外法线方向
ε0
3.孤立带电导体表面电荷分布 一般情况较复杂；孤立的带电导体，电荷 分布的实验的定性的分布： 曲率较大，表面尖而凸出部分，电荷面密度较大 曲率较小，表面比较平坦部分，电荷面密度较小 曲率为负，表面凹进去的部分，电荷面密度最小
例3.已知：导体板A，面积为S、带电量Q，在其旁边 放入导体板B。 求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布 (2)将B板接地，求电荷分布
σ1 σ 2 σ 3 σ4 − − − =0 a点 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0
A B σ1 σ 2σ 3 σ 4

E内= 0 等势体
静电平衡时的导体
接地 ：取得与无限远相同的电势 通常取为零）。 （通常取为零）。
6
半径为R的金属球与地相连接 的金属球与地相连接， 例1. 半径为 的金属球与地相连接，在与球心 相距d=2R处有一点电荷 处有一点电荷q(>0)，问球上的 相距 处有一点电荷 ， 感应电荷 q'=? q'？q =
q3
q2 q1
B
R1 R2
A
R3
22
解: （1）当球体和球壳为一般带电体时 ） 用高斯定理可求得场强分布为
r −R E3 = (q1 + 3 Q) ( R2 ≤ r ≤ R3 ) 2 4πε0r R3 − R 1
3 3 2 3 2
4πε0 R q1 E2 = 2 4πε0r
E1 =
q1
3 1
r
(r ≤ R1 )
E = σ / εo
1 3.面电荷密度正比于表面曲率 σ ∝ R 面电荷密度正比于表面曲率
31
例4-2 （3）如果外壳接地，情况如何？ ）如果外壳接地，情况如何？ （4）如果内球接地，情况又如何？ ）如果内球接地，情况又如何？ （3）如果外壳接地 ） 则： 外壳电势= 外壳电势= 无穷远处电势 =0 外壳带电量= 外壳带电量=Q’
S
ε0 V
S 是任意的。 是任意的。 令S→ 0，则必有ρ 内 = 0。 。
8
必为零。 2.导体壳： 外可不为零，但σ内 和 E内必为零。 导体壳： 可不为零， 导体壳 σ
σ内 = 0
E内 = 0
S内
σ外
理由： 理由： 在导体中包围空腔选取 高斯面S 高斯面 ， 则：
S
r r ∫ E导内 ⋅ d s = 0

AB
E dl 0
导体表面为等势面
E dl
AB
AB
E dl 0
en
+
E dl
+A +
+
B
eτ
+
+
§9.2 静电平衡导体 上的电荷分布
1 实心导体
E0
E dS 0
q
S
ε0
q 0
高斯
面
++ + +
+ +
S+
+
++
实心带电导体
结论：导体内部无净电荷，
电荷只分布在导体表面.
2 空腔导体 空腔内无电荷时
S
2
3
0
0
S
QA QB
1 2 3 4
1 4 0 2 3 0
1 2 QA S 3 4 QB S
(电荷守恒)
1
4
QA QB 2S
2
3
QA QB 2S
S AB
§9.3 有导体存在时静电场分布的 分析与计算
于是
EI
EIII
QA QB
2 0 S
EII
QA QB
2 0 S
（2）如果导体板 B 接地， EIII = 0(B = = 0 )，故有
带空腔导体，内壁带电为 QA，再由电荷守恒知， 外表面带电为 QA + QB。所有导体表面电荷均为均 匀分布。
利用 Gauss 定理可求出各区域的场强
R2 R3 R1 I II III IV
例：设有两个相距很远的导体球，半径分别为R和r(R>r)，用
一导线将两球相连，求两个导体球的面电荷密度之间的关系

E 感
E内 E外 E感 0
+ + + + +
+ E外
+ + + +
感应电荷
加上外电场 E 外 E外
把金属导体置于外电场中，自由 电子将产生宏观定向运动，导体 中电荷按照外电场特性和导体形 状形成特定的分布。
在外电场作用下，引起导体中电 荷重新分布而呈现出的带电现象， 称为静电感应现象Electrostatic Induction
★★导体空腔的静电屏蔽作用：
—— 导体空腔（不论接地与否）内部电场不受腔外 电荷的影响；接地导体空腔外部的电场不受内部电场 的影响。
应用：精密测量上的仪器屏蔽罩、屏蔽室、高压带电 作业人员的屏蔽服（均压服）等。
小结： 静电平衡导体的电荷分布
Q+++q +
12、、导腔空内体腔无内导电部体荷无带：电电导荷体荷的。Q 电荷只能分布在外表++面+++。----+--Qq++++-+-=++0---q-++-
+
证明：腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量 等量异号
因为：
E内 0
故
E
dS
0
qi
0
q1
+ q1
故qi 0 (S内)
故：必存在 q1
高斯面S
（3).导体表面附近的场强：
E 面外
0
nˆ
设 P 点在表面外紧靠 ΔS 表面。 设高斯柱面如图
由
及高斯定理得
E(nˆ )
ΔS