2016年理科北京市海淀区高三数学查漏补缺题

北京市海淀区高三年级二模数学（理科）2016.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知全集=U R ，{|1},{|2},M x x P x x =≤=≥ 则()U M P = ðA.{|12}x x <<B.{|1}x x ≥C.{|2}x x ≤D.{|12}x x x ≤≥或 2.在数列{}n a 中，12a =，且1(1)n n n a na ++=，则3a 的值为 A.5 B.6 C.7 D.83. 若点(2,4)P 在直线1,:3x t l y at =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）上，则a 的值为A.3B.2C.1D.1-4.在ABC ∆中，34cos ,cos ,55A B == 则sin()A B -=A.725-B.725C.925-D.9255.在5()x a +(其中0a ≠)的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为 A.2- B.1- C. 1 D.26.函数()ln 1f x x x =-+的零点个数是A.1个B.2个C.3个D.4个 7. 如图，在等腰梯形ABCD 中，8,4,4AB BC CD ===. 点P 在线段AD 上运动，则||PA PB +的取值范围是A.[6,4+B.C. D.[6,12] 8.直线1:10l ax y a+-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论： ① 11,2AOB a S ∆∀≥=； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥<则所有正确结论的序号是DCABPA.①②B.②③C.①③D.①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2016.5 本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知全集=U R ，{|1},{|2},M x x P x x =≤=≥ 则()U M P = ð A.{|12}x x << B.{|1}x x ≥ C.{|2}x x ≤D.{|12}x x x ≤≥或 2.在数列{}na 中，12a=，且1(1)n n n a na ++=，则3a 的值为A.5B.6C.7D.83. 若点(2,4)P 在直线1,:3x t l y at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）上，则a 的值为 A.3 B.2 C.1 D.1-4.在ABC ∆中，34cos ,cos ,55A B == 则sin()A B -=A.725-B.725C.925-D.9255.在5()x a +(其中0a ≠)的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为A.2- B.1- C. 1D.26.函数()ln 1f x x x =-+的零点个数是A .1个B .2个 C.3个 D.4个7. 如图，在等腰梯形ABCD 中，8,4,4AB BC CD ===.点P 在线段AD 上运动，则||PA PB +的取值范围是A.[6,4+B.C.D.[6,12]8.直线1:10l ax y a+-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论： ① 11,2AOB a S ∆∀≥=； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥<则所有正确结论的序号是A .①②B .②③C .①③D .①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科） 2016.1阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π()sin()14f x x x =-+[cos )]12x x x =-+ …………………………….1分 2cos (sin cos )1x x x =-+22cos sin 2cos 1x x x =-+ …………………………….5分（两个倍角公式，每个各2分）sin2cos2x x =-π)4x =- …………………………….6分所以函数()f x 的最小正周期2ππ||T ω==. …………………………….7分 （Ⅱ）因为ππ[]126x ∈，，所以ππ2[]63x ∈，，所以πππ(2)[]41212x -∈-，. ………………………….8分当ππ2412x -=-时，函数()f x π)12-; …………………………….10分当ππ2412x -=时，函数()f x π12, …………………………….12分ππ))01212-=, 所以函数()f x 在区间ππ[]126，上的最大值与最小值的和为0. …………………………….13分 16.解：（Ⅰ）设持续i 天为事件,1,2,3,4i A i =，用药持续最多一个周期为事件B ， …………………………….1分 所以2312341121212()()()()()()3333333P A P A P A P A ==⋅=⋅=⋅，，，， …………………………….5分 则123465()(()()()81P B P A P A P A P A =+++=）. …………………………….6分 法二：设用药持续最多一个周期为事件B ，则B 为用药超过一个周期， …………………………….1分 所以4216()()381P B ==, …………………………….3分 所以4265()1()381P B =-=. …………………………….6分（Ⅱ）随机变量η可以取 1,2， …………………………….7分所以 33441211(1)()()3339P C η==+=, 18(2)199P η==-=, …………………………….11分 所以181712999E η=⋅+⋅=. …………………………….13分17．解：（Ⅰ）过点F 作FH AD ，交PA 于H ,连接BH ,因为13PF PD =，所以13HF AD BC ==. …………………………….1分又FHAD ，AD BC ，所以HF BC . …………………………….2分 所以BCFH 为平行四边形, 所以CFBH . …………………………….3分又BH ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB , ………………….4分（一个都没写的，则这1分不给） 所以CF平面PAD . …………………………….5分（Ⅱ）因为梯形ABCD 中，AD BC ，AD AB ⊥, 所以BC AB ⊥.因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB PB BC ⊥⊥，, 如图，以B 为原点，,,BC BA BP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, …………………………….6分所以(1,0,0),(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3)C D A P .设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =，平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =, 因为(3,3,3),(0,0,3),PD BP =-=所以00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩， …………………………….7分取1x =得到(1,1,0)n =-, …………………………….8分 同理可得(0,1,1)m =, …………………………….9分 所以1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-, …………………………….10分因为二面角B PD A --为锐角， 所以二面角B PD A --为π3. …………………………….11分 （Ⅲ）假设存在点M ，设(3,3,3)PM PD λλλλ==-，所以(13,3,33)CM CP PM λλλλ=+=-+-, …………………………….12分 所以93(33)0PA CM λλ⋅=-+-=，解得12λ=, …………………………….13分 H FADCBPPBCDAF y zx所以存在点M ，且12PM PD ==. …………………………….14分18．解：（Ⅰ）因为1()(1)ln f x kx k x x=-+-, 所以22211(1)1'()k kx k x f x k x x x +-++=-+=， …………………………….1分 当12k =时，21(2)(1)2'()x x f x x --=. …………………………….2分 令21(2)(1)2'()0x x f x x --== ， 得 121,2x x ==， …………………………….3分 所以'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：.6分 所以()f x 在1x =处取得极大值1(1)2f =-， 在2x =处取得极小值13(2)ln 222f =-. …………………………….7分 函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(2,)+∞, ()f x 的单调递减区间为(1,2).…………………………….8分 （Ⅱ）证明：不等式()1f x >在区间[1,e]上无解，等价于()1f x ≤在区间[1,e]上恒成立， 即函数()f x 在区间[1,e]上的最大值小于等于1.因为21()(1)'()k x x k f x x --=， 令'()0f x =，得121,1x x k==. …………………………….9分因为01k <<时，所以11k>. 当1e k≥时，'()0f x ≤对[1,e]x ∈成立，函数()f x 在区间[1,e]上单调递减，……………………….10分所以函数()f x 在区间[1,e]上的最大值为(1)11f k =-<,所以不等式()1f x >在区间[1,e]上无解； …………………………….11分 当1e k<时，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在区间[1,e]上的最大值为(1)f 或(e)f . ……………………………….12分 此时(1)11f k =-<, 1(e)e (1)ef k k =-+-， 所以1(e)1e (1)1ef k k -=-+-- 111(e 1)2(e 1)2e 30e e ek =---<---=--< .综上，当01k <<时，关于x 的不等式()1f x >在区间[1,e]上无解. …………………………….13分19．解：（Ⅰ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上，令0y =，得4x =±，所以4a =. …………………………….1分，所以e c a ==，所以c = …………………………….2分 所以2224b a c =-=, …………………………….3分所以W 的方程为221164x y +=.…………………………….4分（Ⅱ）法一：设点1122(,),(,)P x y Q x y ，设直线AP 的方程为(4)y k x =+， …………………………….5分与椭圆方程联立得22(4)1164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简得到2222(14)3264160k x k x k +++-=,…………………………….6分因为4-为上面方程的一个根，所以21232(4)14k x k-+-=+，所以21241614k x k -=+. …………………………….7分所以||AP =. …………………………….8分因为圆心到直线AP的距离为d =， …………………………….9分所以||AQ ==, …………………………….10分 因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， …………………………….11分 代入得到22222||1433113||111PQ k k AP k k k +==-==-+++. …………………………….13分 显然23331k -≠+，所以不存在直线AP，使得||3||PQ AP =. …………………………….14分 法二：设点1122(,),(,)P x y Q x y ，设直线AP 的方程为4x my =-， …………………………….5分与椭圆方程联立得2241164x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得到22(4)80m y my +-=, 由2640m ∆=>得0m ≠. …………………………….6分显然0是上面方程的一个根，所以另一个根，即1284my m =+. …………………………….7分由1||0|AP y =-=， …………………………….8分因为圆心到直线AP的距离为d =， …………………………….9分所以||AQ ===. …………………………….10分 因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， …………………………….11分代入得到222||4311||11PQ m AP m m +=-=-=++, …………………………….13分 若2331m =+，则0m =，与0m ≠矛盾，矛盾， 所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =. …………………………….14分 法三：假设存在点P ，使得||3||PQ AP =，则 ||4||AQ AP =，得||4||Q P y y =. …………………………….5分显然直线AP 的斜率不为零，设直线AP 的方程为4x my =-， …………………………….6分由2241164x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 22(4)80m y my +-=, 由2640m ∆=>得0m ≠， …………………………….7分 所以284P my m =+. …………………………….9分同理可得281Q my m =+，…………………………….11分所以由||4||Q P y y =得22441m m +=+， …………………………….13分则0m =，与0m ≠矛盾， 所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =. …………………………….14分20.解：（Ⅰ）因为{}n a 是P 数列，且10a =， 所以3202||||a a a a =-=，所以43222a a a a a =-=-, 所以221a a -=，解得212a =-, …………………………….1分所以354311,||22a a a a ==-=. …………………………….3分 (Ⅱ) 假设P 数列{}n a 的项都是正数，即120,0,0n n n a a a ++>>>，所以21n n n a a a ++=-，3210n n n n a a a a +++=-=-<，与假设矛盾.故P 数列{}n a 的项不可能全是正数, …………………………….5分 假设P 数列{}n a 的项都是负数，则0,n a <而210n n n a a a ++=->,与假设矛盾, …………………………….7分 故P 数列{}n a 的项不可能全是负数.(Ⅲ)由(Ⅱ)可知P 数列{}n a 中项既有负数也有正数， 且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数.因此存在最小的正整数k 满足10,0k k a a +<>（5k ≤）. 设1,(,0)k k a a a b a b +=-=>，则2345,,,k k k k a b a a a a b a b a ++++=+==-=-.678910,,,,k k k k k a b a b a b a a a a b a a a b +++++=-+=-+=-=-=,故有9k k a a +=, 即数列{}n a 是周期为9的数列 …………………………….9分由上可知18,,,k k k a a a ++⋅⋅⋅这9项中4,k k a a +为负数，5,8k k a a ++这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数. 因为20169224=⨯,所以当1k =时，2243672m =⨯=;当25k ≤≤时，121,,,k a a a -⋅⋅⋅这1k -项中至多有一项为负数，而且负数项只能是1k a -, 记12016,,,k k a a a +⋅⋅⋅这2007k -项中负数项的个数为t ，2016年海淀区高三上期末理科数学答案11 / 11 当2,3,4k =时，若10,k a -< 则11k k k k b a a a a a +-==->=，故8k a +为负数，此时671t =，671+1=672m =；若10,k a ->则11k k k k b a a a a a +-==-<=，故5k a +为负数.此时672t =，672m =，当5k =时，1k a -必须为负数，671t =，672m =, …………………………….12分 综上可知m 的取值集合为{672}. …………………………….13分说明：1. 正确给出m 的值，给1分2. 证明中正确合理地求出数列{}n a 的周期给2分，但是通过特例说明的不给分3. 正确合理说明m 取值情况给2分关注课外100网，及时获得最新教研资料。

理科数学海淀区2016年高三期末试卷理科数学考试时间：____分钟单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。

）1．已知，则的值为（）A.B.C.D.2．抛物线的准线与轴的交点的坐标为（）A.B.C.D.3．如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）A.B.C.D.4．某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为（）A.B.C.D.5．已知数列，其中, 则满足的不同数列一共有（）A. 个B. 个C. 个D. 个6．已知圆, 直线，，若被圆所截得的弦的长度之比为，则的值为（）A.B. 1C.D.7．若满足则的最大值为（）A.B.C.D.8．已知正方体，记过点与三条直线所成角都相等的直线条数为, 过点与三个平面所成角都相等的直线的条数为，则下面结论正确的是（）A.B.C.D.填空题（本大题共6小题，每小题____分，共____分。

）9．已知双曲线的一条渐近线过点,则其离心率为10．在的展开式中，常数项为____．（用数字作答）11．已知等比数列的公比为，若，则12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为13．已知函数若的最小值是，则14．已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）①；②；③．(ii) 若等腰存在“友好”三角形，且其顶角的度数为___．简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。

）15．已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值的和16．已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为。

为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期。

假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关．（Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为，求的期望。

数学（理科） 2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C A C D D 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.题号9 10 11 12 13 14答案②；说明：第9，14题第一空3分，第二空2分三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为…………………………….1分…………………………….5分（两个倍角公式，每个各2分）…………………………….6分所以函数的最小正周期. …………………………….7分（Ⅱ）因为，所以，所以. …………………………. 8分当时，函数取得最小值; …………………………….10分当时，函数取得最大值, …………………………….12分因为,所以函数在区间上的最大值与最小值的和为. …………………………….13分16.解：（Ⅰ）设持续天为事件，用药持续最多一个周期为事件， …………………………….1分 所以， …………………………….5分则. …………………………….6分 法二：设用药持续最多一个周期为事件，则为用药超过一个周期， …………………………….1分 所以, …………………………….3分 所以. …………………………….6分（Ⅱ）随机变量可以取， …………………………….7分所以,, …………………………….11分所以. …………………………….13分17．解： （Ⅰ）过点作，交于,连接,因为，所以. …………………………….1分 又，，所以. …………………………….2分 所以为平行四边形, 所以. …………………………….3分又平面，平面, ………………….4分（一个都没写的，则这1分不给） 所以平面. …………………………….5分 （Ⅱ）因为梯形中，，, 所以.因为平面，所以,如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系, …………………………….6分所以.H FA DCBPPBCDA F y zx设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,因为所以，即，…………………………….7分取得到, …………………………….8分同理可得, …………………………….9分所以, …………………………….10分因为二面角为锐角，所以二面角为. …………………………….11分（Ⅲ）假设存在点，设，所以, …………………………….12分所以，解得, …………………………….13分所以存在点，且. …………………………….14分18．解：（Ⅰ）因为,所以，…………………………….1分当时，. …………………………….2分令，得，…………………………….3分所以随的变化情况如下表：极大值极小值…………………………….6分所以在处取得极大值，在处取得极小值. …………………………….7分函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为.…………………………….8分（Ⅱ）证明：不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，即函数在区间上的最大值小于等于1.因为，令，得.…………………………….9分因为时，所以.当时，对成立，函数在区间上单调递减，……………………….10分所以函数在区间上的最大值为,所以不等式在区间上无解；…………………………….11分当时，随的变化情况如下表：↘极小值↗所以函数在区间上的最大值为或. ……………………………….12分此时, ，所以.综上，当时，关于的不等式在区间上无解. ……………………………. 13分19．解：（Ⅰ）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以.…………………………….1分又离心率为，所以，所以, …………………………….2分所以, …………………………….3分所以的方程为.…………………………….4分（Ⅱ）法一：设点，设直线的方程为，…………………………….5分与椭圆方程联立得,化简得到,…………………………….6分因为为上面方程的一个根，所以，所以. …………………………….7分所以.…………………………….8分因为圆心到直线的距离为，…………………………….9分所以, …………………………….10分因为，…………………………….11分代入得到. (13)分显然，所以不存在直线，使得. …………………………….14分法二：设点，设直线的方程为，…………………………….5分与椭圆方程联立得化简得到, 由得. ..................................6分显然是上面方程的一个根，所以另一个根，即. . (7)分由，…………………………….8分因为圆心到直线的距离为，…………………………….9分所以. …………………………….10分因为，…………………………….11分代入得到, …………………………….13分若，则，与矛盾，矛盾，所以不存在直线，使得. …………………………….14分法三：假设存在点，使得，则，得. (5)分显然直线的斜率不为零，设直线的方程为， (6)分由，得,由得，…………………………….7分所以. …………………………….9分同理可得，…………………………….11分所以由得，…………………………….13分则，与矛盾，所以不存在直线，使得. …………………………….14分20.解：（Ⅰ）因为是数列，且所以，所以,所以，解得, …………………………….1分所以. …………………………….3分(Ⅱ) 假设数列的项都是正数，即，所以，，与假设矛盾.故数列的项不可能全是正数, …………………………….5分假设数列的项都是负数，则而,与假设矛盾, …………………………….7分故数列的项不可能全是负数.(Ⅲ)由(Ⅱ)可知数列中项既有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数.因此存在最小的正整数满足（）.设，则.,故有, 即数列是周期为9的数列…………………………….9分由上可知这9项中为负数，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数.因为,所以当时，;当时，这项中至多有一项为负数，而且负数项只能是, 记这项中负数项的个数为，当时，若则，故为负数，此时，；若则，故为负数.此时，，当时，必须为负数，，, …………………………….12分综上可知的取值集合为. …………………………….13分说明：1. 正确给出的值，给1分2. 证明中正确合理地求出数列的周期给2分，但是通过特例说明的不给分3. 正确合理说明取值情况给2分。

海淀区2017届高三数学查漏补缺题2017.5说明： 个别题目有一定难度 ，个别题目方向有偏差，请谨慎选用！1、 提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题。

2、 教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用。

3、 后期教师要根据自己学校情况, 注意做好保温练习，合理安排学生时间。

4、 因为是按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们及时指出问题，以便及时改正。

【集合与简易逻辑部分 】 向量，三角，函数，不等式， 1.设集合(){}10A x x x =+≤，集合{}21x B x =>，则集合A B 等于A. {}0x x ≥B. {}1x x ≥-C. {}0x x > D . {}1x x >-答案：B2.设全集U =Z ，集合{}(2)3A x x x =∈-≥Z ，则A U =ðA. {}0,1,2,3B. {}-1,0,1,2C.{10123}-，，，，D.{012}，， 答案：D3.在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin "A B >的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ． 既不充分也不必要条件 答案：A4.已知π()2sin()3f x x ω=-，则“x ∀∈R ，(π)()f x f x +=”是“=2ω”的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ． 既不充分也不必要条件 答案：C5.已知直线1:10l ax y ++=，2:2(1)30l x a y +++=，则“1a =”是“1l //2l ”的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ． 既不充分也不必要条件 答案：B6.设,(0,)a b ∈+∞ ，则“a b >”是“log 1a b <”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：D【二项式定理与排列组合（理科）】若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a =________（用数字作答） 答案： -80 【复数】 若ii 1im n +=+，则实数m =_________，实数n =_________. 解：,ii i=i(1+i)i=i 11i m n m n m n m n n n =-⎧+=⇔+⇔+-+⇔⎨=+⎩所以1,1m n =-=.【极坐标系与参数方程（理科）】 1.在极坐标系中，射线π4θ=被圆4sin ρθ=截得的弦长为______．答案：2.在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为sin()4πρθ-x 轴建立直角坐标系，则C 的直角坐标方程为_____. 答案：2y x =+3.若曲线C 的参数方程为2cos ,12sin ,x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），则曲线CA.表示直线B. 表示线段C. 表示圆D.表示半个圆 答案：D 【数列】1.记函数x y e =在(1,2,3,)x n n ==处的切线为n l . 若切线n l 与1n l +的交点坐标为(,)n n A B ，那么 A. 数列{}n A 是等差数列，数列{}n B 是等比数列 B. 数列{}n A 与{}n B 都是等差数列C. 数列{}n A 是等比数列，数列{}n B 是等差数列D. 数列{}n A 与{}n B 都是等比数列 答案：A2.已知数列{}n a 满足：点(),n n a 在直线210x y -+=上，若使1a 、4a 、m a 构成等比数列，则m =_____________ 133.已知数列121321,,,,,n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅是首项为1 ，公差为1的等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a = . 答案：1(1)2n a n n =+4.已知数列{}n a ,22a =,*13,n n a a n n N ++=∈,则24681012a a a a a a +++++=______ 解析: 法一: 通过具体罗列各项34a =,45a =,57a = ,68a =,710a =,811a =,913a =,1014a =,1116a =,1217a =,所以24681012a a a a a a +++++=57法二: 由递推关系进一步可得相邻几项之间的关系13,n n a a n ++=1233,n n a a n +++=+两式相减可得23,n n a a +-=所以数列{}n a 隔项成等差数列，所以24681012,,,,,a a a a a a 是以2为首项，以3为公差，共有6项的等差数列，用求和公式得24681012a a a a a a +++++=65623572⨯⨯+⨯= 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题中，假命题是A.公差d 的最大值为2-B. 70S <C.记n S 的最大值为K ，K 的最大值为30D. 20162017a a > 答案：B6.已知数列n a ｛｝的通项为15,51ln ,54n n n na a n n ⎧+≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若n a ｛｝的最小值为314，则实数a 的取值范围是_________.答案：8ln 6a ≥7（文）. 已知{}n a 是等差数列，满足12a =，414a =，数列{}n b 满足11b =，46b =，且{}n n a b -是等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若*n ∀∈N ，都有n k b b ≤成立，求正整数k 的值. 解: （Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则4143a a d -== 所以2(1)442n a n n =+-⨯=-，故{}n a 的通项公式为42n a n =-（*n ∈N ）. 设n n n c a b =-，则{}n c 为等比数列.111211c a b =-=-=，4441468c a b =-=-=设{}n c 的公比为q ，则3418c q c ==，故2q =. 则12n n c -=，即12n n n a b --= 所以1422n n b n -=--（*n ∈N ）. （Ⅱ）由题意，k b 应为数列{}n b 的最大项.由1114(1)2242242n n n n n b b n n n --+-=+---++=-（*n ∈N ）当3n <时，10n n b b +->，1n n b b +<，即123b b b <<； 当3n =时，10n n b b +-=，即34b b =；当3n >时，10n n b b +-<，1n n b b +>，即456b b b >>>所以数列{}n b 中的最大项为3b 和4b .故存在3k =或4，使*n ∀∈N ，都有n k b b ≤成立.【三角函数部分】1.在ABC ∆中，若1a =，4A π∠== ．2.在ABC ∆中，角B 为钝角，则sinB______sin(A+B).（填“>”或“<”或“=”）答案：>3.设偶函数()sin()f x x ωφ=+，0ω>，若()f x 在区间[]0,π至少存在一个零点，则ω的最小值 为 ．124.已知sin43a ︒=，则a （填""> 或""<）； sin73︒=_____________（用a 表示）答案：<5.在坐标平面xOy 内，O 为原点，点1)2P ，射线OP 逆时针旋转π2，则旋转后的点P 坐标为________________答案：1(2-6.已知42x ππ<<，设sin a x =，cos b x =，tan c x =，则（ B ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<7.已知当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()2sin()-16f x x πω=+(0)ω>有且仅有5个零点，则ω的取值范围是________. 答案：56[16,)3分析：可以将问题转化为研究函数函数()sin()6g x x πω=+(0)ω>与直线12y =有且仅有5个交点. 如图，是满足条件的两个临界状态，由此得到πππ4π466ω+=+，ππ5π4π466ω+=+，计算可得临界态的5616,3ωω==，依据题意可得56[16,)3ω∈.8.已知函数()|sin |cos f x x x =+，现有如下几个命题： ①该函数为偶函数； ②该函数最小正周期为π2；③该函数值域为[-；④若定义区间(,)a b 的长度为b a -，则该函数单调递增区间长度的最大值为3π4. 其中正确命题为 .①③④9.已知函数()|cos |sin f x x x =⋅，给出下列四个说法：①2014()3f π=； ②函数()f x 的周期为π； ③ ()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增； ④ ()f x 的图象关于点(,0)2π-中心对称其中正确说法的序号是（ B ）A. ②③B. ①③C. ①④D. ①③④ 解析：①显然正确；因为5()()44f f ππ≠，所以 ②不成立；当[,]44x ππ∈-时，1()|cos |sin sin 22f x x x x =⋅=，③正确；3()()44f f ππ-≠--，所以④不成立综上，答案为B10.已知函数()()sin f x x ωϕ=-，(0,0)2πωϕ><<的图象经过点4π⎛ ⎝⎭，且相邻两条对称轴的距离为2π． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及其在[]0,π上的单调递增区间；（Ⅱ）在,,ABC a b c ∆中，分别是C B A ,,的对边，若1cos 22A f A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A ∠的大小．解：（Ⅰ）由相邻两条对称轴的距离为2π可得其周期为2π=πT ω=，所以2ω=图像过点4π⎛ ⎝⎭， 且0,02πωϕ><<得=6πϕ()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭222262k x k πππππ-<-<+增区间为π3⎛⎫ ⎪⎝⎭0，和56ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，（Ⅱ）由1cos 22A f A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1sin +cos 62A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则11cos 22A A +=,得1sin +62A π⎛⎫= ⎪⎝⎭由于0A π<<，则7666A πππ<+<π5π=66A +，2=3A π∴ 11.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且2a c b +=，则角B 的取值范围为_____.答案：22222222()3322cos 228a c a c a c ba c ac B acac ac ++-+-+-===62182ac ac ac -≥=当且仅当,a c b ABC ==∆即为等边三角形时，1cos 2B = 又0B π<< (0,]3B π∴∈.12.理科版：已知函数()4sincos 223f x x x ωωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>. （Ⅰ）若3ω=，求()f x 在区间58,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（Ⅱ）若函数()f x 的图象如图所示，求ω的值. 解：（I）()4sincos 223f x x x ωωπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭214sin cos 22222sincos222sin cos )sin π2sin 3x x x x x x x x x x x ωωωωωωωωωωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭=+-=+--=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为3ω=，所以π()2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为5π8π99x ≤≤，所以4ππ7π3333x ≤-≤. 所以，当π3π332x -=，即1118x π=时，函数()f x 的最小值为-2.（II）由已知得，2π()9f =2πsin 93πω⎛⎫-=⎪⎝⎭.2πππ2π22π,9333k k k ωπ-=++∈Z 或 939+9,2k k k Z ω=+∈则或又由图象可知，2π92T <，即4π9T >，所以92ω<.又因为0ω>，所以3ω=.12.文科版：已知函数π()4sin cos 3f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的最小正周期、零点；（Ⅱ）求()f x 在区间π3π,244⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解：（Ⅰ）33cos sin 4)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx x x f214sin cos 22sin cos sin 2cos 2)sin 22π2sin 23x x x x x x x x x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=+-=+--=⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期为π，令π()2sin 203f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π2π,Z 3x k k -=∈ 所以函数)(x f 的零点是ππ,Z 62x k k =+∈ （Ⅱ）因为π3π244x ≤≤，所以ππ7π2436x -≤-≤. 所以，当ππ234x -=-，即π24x =时，函数)(x f 的最小值为2-；当ππ232x -=，即5π12x =时，函数)(x f 的最大值为2.【立体几何部分】1.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，2π3DAB ∠=，O BD AC = ，且PO ⊥平面ABCD ，PO =,F G 分别是线段,PB PD 上的中点，E 在PA 上，且3PA PE =. （Ⅰ）求证://BD 平面EFG ；（Ⅱ）求直线AB 与平面EFG 的成角的正弦值；（Ⅲ）请画出平面EFG 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.解：（Ⅰ）在PBD ∆中，因为点,F G 分别是线段,PB PD 上的中点， 所以//FG BD ，因为BD ⊄平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， 所以//BD 平面EFG .（Ⅱ）因为底面ABCD 是边长为2的菱形，所以OA OB ⊥， 因为PO ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥,OA PO OB ⊥，如图，建立空间直角坐标系，则依题意可得(1,0,0),(1,0,0),(0,A B C D P -,1(3E ，(0,F G ，所以(AB =-u u u r，1(3EF =-，GF =， 设平面EFG 的法向量为(,,)x y z =n ，则由0,0EF GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n可得1030x y ⎧--=⎪⎨⎪=⎩，，令x =可得3(2=-n因为cos ,||,|AB AB AB ⋅<>=n n n|＝ 所以直线AB 与平面EFG 的成角的正弦值为14. （Ⅲ）法1：延长,EF EG 分别交,AB AD 延长线于,M N ，连接,M N ，发现刚好过点C ，连接,CG CF ，则四边形EFCG 为平面EFG 与四棱锥的表面的交线. 法2：记平面EFG 与直线PC 的交点为H ，设PH PC λ=u u u r u uu r，则(0,(1,0,(,FH FP PH λλ=+=+-=-u u u r uu u r u uu r由333(12)(,(0222FH λλλ-⋅=-⋅-=+=n u u u r 可得1λ=.所以H 即为点C .所以连接,CG CF ，则四边形EFCG 为平面EFG 与四棱锥的表面的交线.2. 如图，2AC ED =，//AC 平面EDB ，AC ⊥平面BCD ，平面ACDE ⊥平面ABC . （Ⅰ）求证：//AC ED ； （Ⅱ）求证：DC BC ⊥；（Ⅲ）当1BC CD DE ===时，求二面角A BE D --的余弦值； （Ⅳ）在棱AB 上是否存在点P 满足//EP 平面BDC ； （Ⅴ）设CDk CE=，是否存在k 满足平面ABE ⊥平面CBE ？若存在求出k 值，若不存在说明理由.解：（Ⅰ）因为//AC 平面EDB ，平面ACDE I 平面EDB =ED ，且AC ⊄平面EDB ，所以//AC ED .（Ⅱ）法1：因为AC ⊥平面BCD ，所以AC ⊥CD ，因为平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE I 平面=ABC AC ，CD ⊂平面ACDE ， 所以CD ⊥平面ABC ， 所以CD CB ⊥.（Ⅱ）法2：因为AC ⊥平面BCD ，所以AC ⊥CD ，AC ⊥CB ， 因为平面ACDE I 平面=ABC AC ， 所以DCB ∠为二面角D AC B --的平面角， 又因为平面ACDE ⊥平面ABC ， 所以90DCB ∠=，即CD CB ⊥.（Ⅲ）由（Ⅱ）证明可知AC ⊥CD ，AC ⊥CB ，CD CB ⊥, 所以如图建立空间直角坐标系，因为1BC CD DE ===， 所以(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1)A B D E ，所以(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(2,1,0)DE BD AE AB ==-=-=-设平面BDE 的法向量为(,,)x y z =m ，则 由0,0,DE BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可得(0,1,1)=m . 设平面ABE 的法向量为(',',')x y z =n ，则ABCDE由0,0,AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得(1,2,1)=n .所以cos ,|⋅<>===⋅m n m n |m |n |所以，依据题意可得二面角A BE D --的余弦值为. （Ⅳ）法1：取AC 中点F ，连接EF ，过点F 作//FP BC 交AB 于点P ， 所以P 为AB 中点.因为2,//AC ED AC ED =，所以//ED FC ，所以//EF CD . 所以平面//EFP 平面BCD ， 所以//EP 平面BCD .法2：设AP AB λ=，则(12,,1)EP EA AP λλ=+=--， 由（Ⅱ）证明可知平面BCD 的一个法向量为(1,0,0)=k ， 由0AP ⋅=k 可得1=2λ，所以当P 为AB 中点时，AP 与平面BCD 成角为0， 所以当P 为AB 中点时，//AP 平面BCD .（Ⅴ）设2AC a =，则(2,0,0),(,0,),(0,,0)A a E a ka B b ，则 (,0,),(2,,0)AE a ka AB a b =-=-，设平面CBE 的法向量为111(,,)x y z =m'， 由0,0,CE CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m'm'可得一个法向量(,0,1)k =-m'， 设平面ABE 的法向量222(,,)x y z =n'， 由0,0,AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得一个法向量2(,,1)ak k b =n'，由0⋅=m'n'可得1k =.所以当1k =时，平面ABE ⊥平面CBE .说明：本题可以根据文理科需要分别组合成文科或理科立体几何的解答题。

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()f x =A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 ABCD5．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 BCD ． 2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ== 8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t == ，若a b，则t ＝ _______．10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ；（Ⅱ）若,,62AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科）2016.5 阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．解：（Ⅰ）因为()2sin cos2f x x x =--所以 πππ()2sin cos2444f =--⋅=2分 πππ3()2sin cos26662f =--⋅=-…………………4分 因为 32>-,所以 ππ()()46f f >…………………6分 （Ⅱ）因为 2()2sin (12sin )f x x x =---…………………9分22sin 2sin 1x x =--2132(sin )22x =-- 令 sin ,[1,1]t x t =∈-， 所以2132()22y t =--,…………………11分 因为对称轴12t =, 根据二次函数性质知，当 1t =-时，函数取得最大值3 …………………13分16解: (I)A 型空调前三周的平均销售量111015125x ++==台…………………2分 （Ⅱ）因为C 型空调平均周销售量为10台，所以451051581215c c +=⨯---=…………………4分60 32又222222451[(1510)(810)(1210)(10)(10)]5s c c =-+-+-+-+- 化简得到22411591[2()]522s c =-+…………………5分 因为4c ∈N ，所以当47c =或48c =时，2s 取得最小值所以当4578c c =⎧⎨=⎩ 或4587c c =⎧⎨=⎩时，2s 取得最小值…………………7分 （Ⅲ）依题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2，…………………8分20255(0)304012P X ==⋅=, 1025201511(1)+=3040304024P X ==⋅⋅, 10151(2)30408P X ==⋅=, …………………11分 随机变量X 的分布列为随机变量X 的期望511117()0121224824E X =⨯+⨯+⨯=.…………………13分17解:（Ⅰ）证明：连结NG NE ，.在MCD ∆中，因为,N G 分别是所在边的中点，所以1CD 2NG，…………………1分 又1CD 2EH , 所以 NG EH , …………………2分 所以NEHG 是平行四边形，所以EN GH ,…………………3分又EN ⊂平面DEM ，GH ⊄平面DEM , …………………4分 所以GH 平面DEM . …………………5分（Ⅱ）证明：方法一：在平面EFCD 内，过点H 作DE 的平行线HP ，因为,,DE EM DE EF ⊥⊥,EM EF E =所以DE ⊥平面EFM ,所以HP ⊥平面EFM ，所以HP ⊥EF .又在EMF ∆中，因为EM MF EF ==，所以MH EF ⊥.以H 为原点，,,HM HF HP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系…………………6分所以1(0,1,0),(0,1,2),,1)2E M C N --…………………7分 所以33(3,1,0),(,,1)22EM CN ==--，…………………8分 所以0EM CN ⋅=，所以EM CN ⊥. …………………9分 方法二： 取EM 中点K ，连接,NK FK .又NK 为EMD ∆的中位线，所以NKDE 又DE CF ，所以NK CF ，所以NKFC 在一个平面中. …………………6分 因为EMF ∆是等边三角形，所以EM FK ⊥,又DE EM ⊥，所以NK EM ⊥, …………………7分 且NK FK K =，所以EM ⊥平面NKFC ，…………………8分而CN ⊂平面NKFC ,所以EM CN ⊥. …………………9分 （Ⅲ）因为(0,0,2)CF =-,所以0EM CF ⋅=, 即EM CF ⊥,又CF CN C =, 所以EM ⊥平面NFC ， 所以EM 就是平面NFC 的法向量. …………………11分 又31(,1)22HG =，设GH 与平面NFC 所成的角为θ，则有312sin |cos ,|2||||HG EM HG EM HG EM θ+⋅=<>===13分 所以GH 与平面NFC 所成的角为π4.…………………14分18解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为R .当1a =时，'()e (2)(1)x f x x x =++…………………2分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：…………………4分函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，(1)-+∞，，函数()f x 的单调递减区间为(2,1)--. …………………5分（Ⅱ）解：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解，所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a .因为'()e (2)()x f x x x a =++, 令'()0f x =,得122,x x a =-=-. …………………6分 当2a -≤-时，即2a ≥时，因为'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增，此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a所以22()e ()e a a f a a a a =++≤，解得112a -≤≤，所以此种情形不成立，…………………8分 当2a ->-，即2a <时，若0a ≥, 则'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增， 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a 所以22()e ()e a a f a a a a =++≤，解得112a -≤≤，所以102a ≤≤ . …………………9分 若0a <，则'()0f x <对(,)x a a ∈-成立，'()0f x >对[,)x a ∈-+∞成立.则()f x 在(,)a a -上单调递减，在[,)a -+∞上单调递增，此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a -而22()e ()e 0e a a a f a a a a a -=-+=<≤，所以0a <.…………………11分综上，a 的取值范围是1(,]2-∞…………………12分法二：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解， 所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a ，当0a ≤时，显然0[,)a ∈+∞，而(0)0e a f a =≤≤成立，…………………8分当0a >时,'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增， 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为()f a ，所以有22()e ()e a a f a a a a =++≤， 解得112a -≤≤，所以102a ≤≤.…………………11分 综上，1(,]2a ∈-∞.…………………12分 （Ⅲ）a 的取值范围是2a ≠.…………………14分19解：（Ⅰ）因为(1,0)B ，所以1(1,),A y代入24y x =，得到12y =，…………………1分又||2BC =，所以212x x -=，所以23x =，…………………2分代入24y x =，得到1y =3分所以21211AD y y k x x -===-. …………………5分 （Ⅱ）法一：设直线AD 的方程为y kx m =+. 则1211|()|||.2OMD OMA S S S m x x m ∆∆=-=-=…………………7分由24y kx my x =+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=, 所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………9分 又21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k=+-=+=+++=,…………………11分 又注意到1204km y y =>，所以0,0k m >>， 所以12124S m km S y y ==+，…………………12分 因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<.…………………13分 法二：设直线AD 的方程为y kx m =+.由24y kx my x =+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=, 所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………7分1212|||||AD x x x x =-=-= …………………8分 点O 到直线AD的距离为d =, 所以11||||||2S AD d m m =⋅==………………9分 又21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k=+-=+=+++=, …………………11分 又注意到1204km y y =>，所以0,0k m >>， 所以1212=4S m km S y y ==+，…………………12分 因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<. …………………13分 法三：直线OD 的方程为22y y x x = , …………………6分 所以点A 到直线OD的距离为d =…………………7分又||OD = …………………8分 所以1122111||||22S OD d x y x y ==- 又21221121()()2S y y x x y y =+-=+，…………………9分 所以122111*********||||2()2()x y x y S x y x y S y y y y --==++22122112121212||||442()8()y y y y y y y y y y y y --==++…………………10分 因为21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 所以2221214()8y y x x -=-=…………………11分 代入得到，22112121212221212||||8()8()S y y y y y y y y S y y y y --==++12212()y y y y =+…………………12分因为12y y +≥ 当且仅当12y y =时取等号， 所以112212144S y y S y y <=. …………………13分20解：（Ⅰ）(1,0,0),(1,1,1)Z W ==…………………2分（Ⅱ）对于X n ⊆Ω，考虑元素'X =)1,,1,,1,1(21n i x x x x ---- ， 显然，'n X ∈Ω，',,X Y X ∀，对于任意的{}n i ,,2,1 ∈，i i i x y x -1,,不可能都为1， 可得,'X X 不可能都在好子集S 中…………………4分又因为取定X ，则'X 一定存在且唯一，而且'X X ≠，且由X 的定义知道，,n X Y ∀∈Ω，''X Y X Y =⇔=，…………………6分 这样，集合S 中元素的个数一定小于或等于集合n Ω中元素个数的一半， 而集合n Ω中元素个数为2n ，所以S 中元素个数不超过12n -；…………………8分 （Ⅲ）121(,,,,)n n X x x x x -∀=，121(,,,,)n n n Y y y y y -=∈Ω定义元素,X Y 的乘积为：112211(,,,,)n n n n XY x y x y x y x y --=，显然n XY ∈Ω. 我们证明:“对任意的121(,,,,)n n X x x x x S -=∈，121(,,,,)n n Y y y y y S -=∈，都有XY S ∈.” 假设存在,X Y S ∈, 使得XY S ∉，则由（Ⅱ）知，112211()'(1,1,,1,1)n n n n XY x y x y x y x y S --=----∈ 此时，对于任意的{1,2,...,}k n ∈，,,1k k k k x y x y -不可能同时为1, 矛盾， 所以XY S ∈.因为S 中只有12n -个元素，我们记121(,,,,)n n Z z z z z -=为S 中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道121(,,,,)n n Z z z z z S -=∈，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设1k z =,根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1…………………11分下面再证明k的唯一性：z=,即S中所有元素的t坐标分量都为1,若还有1t2n-个，矛盾.所以此时集合S中元素个数至多为2所以结论成立…………………13分。

2016北京市海淀区高三（一模）数 学（理） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为（ ）A ．［0，＋∞）．［1，＋∞）．（－∞，0］．（－∞，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为（ ）A ．－1B ．1C ．－ID ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（ ）A ．52 B ．3 C ．72D ．4 4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ）A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝_______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．编号 位置 ① ② ③ ④ 山上 5.0 3.8 3.6 3.6 山下3.64.44.43.617．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x)的最小值；（Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g(x)的切线。

数学查漏补缺题说明：查漏补缺题是在海淀的四次统练基础上的补充，题目以中档题为主，部分题目是弥补知识的漏洞，部分是弥补方法的漏洞，还有一些是新的变式题，请老师们根据学生的情况有选择地使用或改编使用.最后阶段的复习，在做好保温工作的前提下，指导学生加强反思，梳理典型问题的方法，站在学科高度建立知识之间的联系，融会贯通，以进一步提升学生的分析、解决问题的能力为重点.1、已知原命题：“若a+b≥2，则a,b中至少有一个不小于1”，则原命题与其否命题的真假情况是（）BD2A. B. C. D.3、若直线3,14,x ty t=⎧⎨=-⎩(t为参数)与圆3cos,3sin,xy bθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则b=（）A 46-或 B 64-或 C 19-或 D 9-或14、若3sin45xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2x的值为（）A.1925B.1625C.1425D．7255、定义在R上的函数()f x满足(1)()f x f x+=-，当x∈（0，1]时，()cosf x x=，设(0.5)a f=b f=c f=，则a，b，c大小关系是（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a6、设集合{(,)}xA x y y a==，{(,)1B x y y x=?或1}y x?+. 若A BÍ，则正实数a的取值范围是A.1[0,]eB.1[,e]eC.2(1,e ]D.[e,)+∞7、函数2()e xf x x =-的图象是 （ ）A. B. C. D.8、若521)(xx -的展开式中不含αx ()αÎR 的项，则α的值可能为（ ） A. 5- B. 1 C. 7 D. 29、函数2sin 2sin sin()3y x x x π=-+的图象的对称轴是 .10、设曲线的极坐标方程为sin 21θ=，则其直角坐标方程为 .11、以原点为顶点，以x 轴正半轴为始边的角α的终边与直线21y x =-垂直，则cos α=_____________.12、 设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中ϕπ<2.若()()()63f f x f ππ-≤≤对任意x ∈R 恒成立，则正数ω的最小值为_________，此时，ϕ=____________.13、在区间[]1,1-上随机的取两个数a ，b ，使得方程0122=++ax bx 有两个实根的概率为_______.14、从54张扑克牌中抽出一张，抽到的扑克牌为梅花的概率为________, 抽到的扑克牌为K 的条件下恰好是梅花的概率为_________.15、已知向量a ，b 满足：||1,||6,()2==⋅-=a b a b a ，则a 与b 的夹角为 ；|2|-=a b ．16、某单位员工按年龄分为老、中、青三组，其人数之比为1:5:3，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为18的样本，已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是281，则该单位员工总数为________人。