下载文档原格式
2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|3−x≤0}，则A∪B=()A. {x|−2≤x≤3}B. {x|x≥−2}C. {x|3≤x≤5}D. {x|x≥−5}2.已知复数z=2+i2018(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览．下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是()A. 2013年以来，每年参观总人次逐年递增B. 2014年比2013年增加的参观人次不超过50万C. 2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多D. 2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万4.若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<b<a5.在等差数列{a n}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是()A. 32B. 39C. 46D. 786.执行如图的程序框图，如果输入的x为3，那么输出的结果是()A. 8B. 6C. 1D. −17.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f(x)的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③f(0)=1；；．其中正确的是()A. ①②③B. ②③④C. ①④⑤D. ②③⑤9.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线和圆x2+y2−4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为()A. 2√33B. 43C. √2D. 210.某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y=a⋅0.5x+b.现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为()A. 1.75万件B. 1.7万件C. 2万件D. 1.8万件11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别为AD,AA1的中点，则以下说法错误的是()A. 平面EFC截正方体所的截面周长为2√5+3√2B. 存在BB1上一点P使得C1P⊥平面EFCC. 三棱锥B−EFC和D−FB1C体积相等D. 存在BB1上一点P使得AP//平面EFC12.若函数f(x)={ln (x+1)−x,x≥0,2x2+2x,x<0,则函数f(x)的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，若a⃗//b⃗ ，则k等于______ ．14.已知直线y=x−1与抛物线y2=4x交于A，B两点，则弦AB的长为__________．15.有个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有个空座位相邻的不同坐法有_________种.(用数字作答)三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知命题1：设x i，a i=(i=1,2)均为正实数，若x1+x2=1，则a1x1+a2x2≤(√a1+√a2)2；命题2：x i，a i(i=1,2，3)均为正实数，若x1+x2+x3=1，则a1x1+a2x2+a3x3≤(√a1+√a2+√a3)2；由上述两个命题可知，设x i，a i(i=1,2，3，…，n)均为正实数，若(1)，则(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+√3bc，acosB=bcosA(1)求角A，B，C的大小；(2)若BC边上的中线AM的长为√7，求△ABC的面积．18.已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球，一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出3个球，将3个球对应的分值相加后记为该局得分，计算完得分后将球放回袋中，当出现第n局得n分(n∈N∗)的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．(1)求在一局游戏中得3分的概率；(2)求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E(X)．19.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD//BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．(1)求AB的长，并证明：AD1⊥B1D；(2)求平面AA1B1与平面ACD1所成角的余弦值．20.已知F1、F2分别是椭圆C：x2+y2=1的左、右焦点．4(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−54，求点P 的坐标；(2)若直线l 与圆O ：x 2+y 2=14相切，交椭圆C 于A 、B 两点，是否存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ？21. 设函数f(x)=lnx −ax 2+ax ，a 为正实数．(1)当a =2时，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：f(1a )≤0；(3)若函数f(x)有且只有1个零点，求a 的值．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2t y =12+√3t (t 为参数)，曲线C 1：{x =2sinφy =2(1+cosφ)(φ为参数)． (1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C2：θ=π3(ρ∈R)与直线l和曲线C1分别交于异于原点的A，B两点，求|AB|的值．23.若a>0，b>0，且12a+b +1b+1=1，求a+2b的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法以及并集的运算．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：A={x|−2≤x≤5}，B={x|x≥3}；∴A∪B={x|x≥−2}．故选：B．2.答案：A解析：解：∵z=2+i 20181+i =2+(i4)504⋅i21+i=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，∴z=12+12i．∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：(12,12)，位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得：在A中，2013年以来，2015年参观总人次比2014年参观人次少，故A错误；在B中，2014年比2013年增加的参观人次超过50万，故B错误；在C中，2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多，故C正确；在D 中，2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160万，故D 错误．故选：C ．由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多．本题考查命题真假的判断，考查折线图的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 4.答案：C解析：a >1，0<b <1，c >1，又a c =log 23log 46=log 2312log 26=2log 63=log 69>1，∴b <c <a ．5.答案：B解析：解：∵等差数列{a n }中，a 3+a 11=6，∴其前13项的和：S 13=132(a 1+a 13)=132×6=39．故选：B ．由等差数列前n 项和公式及通项公式得S 13=132(a 3+a 11)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前13项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6.答案：D解析：本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟程序运行即可求解．解：由程序框图知：程序第一次运行x =3−2=1；第二次运行x =1−2=−1，满足x <0，∴执行y =(−1)3=−1．∴输出−1．故选：D ．7.答案：B解析：解：当x=0时，f(0)=2−11+2=13，当x=1时，f(1)=0，故排除A，由于f(x)≥0恒成立，故排除C，当x→+∞时，f(x)→1，故排除D，故选：B．利用函数值的变化趋势判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数值的变化趋势，考查计算能力．8.答案：C解析：解：由图可得：函数函数y=Asin(ωx+ϕ)的最小值−|A|=−2，令A>0，则A=2，又∵T4=7π12−π3，ω>0∴T=π，ω=2，∴y=2sin(2x+ϕ)将(7π12,−2)代入y=2sin(2x+ϕ)得sin(7π6+ϕ)=−1即7π6+ϕ=3π2+2kπ，k∈Z即ϕ=π3+2kπ，k∈Z∴f(x)=2sin(2x+π3 ).∴f(0)=2sinπ3=√3，f(x+π6)=2sin[2(x+π6)+π3]=2sin(2x+2π3).f(π4)=2sin(π2+π3)=1.对称轴为直线x=kπ2+π12，一个对称中心是(5π6,0)，故②③不正确；根据f(x)=2sin(2x+π3)的图象可知，④f(12π11)<f(14π13)正确；由于f(x)=2sin(2x+π3)的图象关于点(5π6,0)中心对称，故⑤f(x)=−f(5π3−x)正确．综上所述，其中正确的是①④⑤．故选C．9.答案：D解析：本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．根据圆方程，得到圆心坐标C(2,0)，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，说明C到渐近线的距离等于半径1，再根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，算出c=2a，即可得出该双曲线的离心率．解：圆x2+y2−4x+3=0可化为(x−2)2+y2=1∴圆心坐标C(2,0)∵双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为ax±by=0，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，∴C到渐近线的距离为|2a|√a2+b2=1，即c=2a因此该双曲线的离心率为e=ca=2故选：D10.答案：A解析：本题主要考查了函数模型的应用，属于基础题．将x=1，2分别带入y=a⋅0.5x+b，联立解出a，b的值，再将x=3代入方程即可求出三月份的产量．解析：解：由题意可得{1=0.5a+b1.5=0.25a+b，解得a=−2，b=2，所以y=−2×0.5x+2，将x=3代入y=−2×0.5x+2得，y=1.75，故选A．11.答案：B解析：本题考查了线面的位置关系的判断，考查了体积的运算，属于中档题．由面面垂直的判定定理结合正方体ABCD−A1B1C1D1的结构可得答案．解：若存在BB1上一点P使得平面EFC，由C1P⊂面BB1C1C，故可得平面EFC⊥面BB1C1C，然而面BB1C1C⊥面ABCD，面BB1C1C⊥面AA1B1B，面BB1C1C⊥面A1B1C1D1，面BB1C1C⊥面DCC1D1，故平面EFC不可能和面BB1C1C垂直，故可知不存在BB1上一点P使得平面EFC，故选B12.答案：C解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数求出函数单调性进而求出函数零点，属于基础题．解：根据函数可做出如下图像：−1，当x≥0时，f(x)=ln(x+1)−x，f′(x)=1x+1令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒小于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=0，x=0是一个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的一元二次方程，令f(x)=0，解得x=−1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=−1和x=0两个零点，故选C．13.答案：−12解析：解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，a⃗//b⃗ ，∴2k+1=0，．解得k=−12故答案为：−12根据向量平行列方程解出k．本题考查了向量平行与坐标的关系，属于基础题．14.答案：8解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．解：将直线l：x−y−1=0过(1,0)即抛物线方程y2=4x的焦点坐标，联立直线与抛物线方程，消元y，可得x2−6x+1=0∴x1+x2=6，∴弦AB的长为x1+x2+p=6+2=8．故答案为8．15.答案：480解析：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，有A44=24种情况，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，有A52=20种情况，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有24×20=480种；故答案为480．16.答案：x1+x2+x3+⋯+x n=1a1 x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2解析：本题考查归纳推理的应用，属于基础题目．解：由命题①②可归纳为若x1+x2+x3+⋯+x n=1，则a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．故答案为x1+x2+x3+⋯+x n=1；a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．17.答案：解：(1)在△ABC中，∵b2+c2=a2+√3bc，∴b2+c2−a2=√3bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =√32，又A∈(0,π)，∴A=π6．∵acosB=bcosA，∴sinAcosB −sinBcosA =0， 即sin(A −B)=0， ∴A −B =0， ∴B =A =π6． ∴C =π−A −B =2π3．(2)∵A =B ， ∴BC =AC ，设CM =x ，则AC =2x ， 又AM =√7， 在△ACM 中，由余弦定理得：AM 2=CM 2+AC 2−2CM ⋅AC ⋅cos 2π3，∴7=x 2+4x 2−4x 2⋅(−12)，解得x =1． ∴AC =BC =2x =2，∴S △ABC =12AC ⋅BC ⋅sin 2π3=12×2×2×√32=√3．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．(1)根据余弦定理求出A ，利用正弦定理将边化角得出A ，B 的关系求出B ，利用内角和求出C ； (2)设CM =x ，在△ACM 中，利用余弦定理列方程解出CM ，得出AC ，BC ，代入面积公式计算面积．18.答案：解：(1)设“在一局游戏中得3分”为事件A ，则P(A)=C 21C 21C 11C 53=25．(2)X 的所有可能取值为1，2，3，4，在一局游戏中得2分的概率为C 21C 22+C 22C 11C 53=310，P(X =1)=C 22C 21C 53=15，P(X =2)=45×310=625，P(X =3)=45×(1−310)×25=28125， P(X =4)=45×(1−310)×35=42125， ∴X 的分布列为X 12 3 4P156252812542125∴E(X)=1×15+2×625+3×28125+4×42125=337125．解析：本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题． (1)根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值;(2)由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值， 求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．19.答案：解：(1)由题意得AB ，AD ，AA 1两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =t ，则A(0,0，0)，B(t,0，0)，B 1(t,0，3)，C(t,1，0)，C 1(t,1，3)，D(0,3，0)，D 1(0,3，3)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,3，0)， ∵AC ⊥BD ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 2+3+0=0， 解得t =√3或t =−√3(舍去)，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,−3)， ∵AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD 1⊥B 1D . (2)由(1)得AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面ACD 1的一个法向量， 则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3y +3z =0，令x =1，得n ⃗ =(1,−√3,√3)， 平面AA 1B 1的法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=√31×√7=√217． ∴平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值为√217．解析：(1)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量能求出AB 的长，并证明AD 1⊥B 1D .(2)求出平面ACD 1的一个法向量和平面AA 1B 1的法向量，利用向量法能求出平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)由椭圆方程为x 24+y 2=1，可知：a =2，b =1，c =√3，∴F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x,−y)⋅(√3−x,−y)=x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解得：{x =1y =√32,∴P(1,√32)． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=14−1516=−1116≠0，此时OA ⊥OB 不成立．②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ， 则由已知可得√k 2+1=12，即k 2+1=4m 2．由{y =kx +m x 2+4y 2=4，可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1⋅x 2=4(m 2−1)4k 2+1．要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0， 即5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2．∴k 2+1=0，此方程无实解，此时OA ⊥OB 不成立． 综上，不存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解出即可得出．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，此时OA ⊥OB 不成立． ②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，则由已知可得√k 2+1=12.直线方程与椭圆方程联立可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0，把根与系数的关系代入可得5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2.解出即可判断出结论．21.答案：(1)解：当a =2时，f(x)=lnx −2x 2+2x ，f′(x)=1x −4x +2，∴f′(1)=−1， ∵f(1)=0，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y =−x +1； (2)证明：f(1a )=−lna −1a +1(a >0)， 令g(x)=−lnx −1x +1(x >0)，则g′(x)=1−x x 2，∴0<x <1时，g′(x)>0，函数单调递增；x >1时，g′(x)<0，函数单调递减，∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g(x)≤g(1)=0，∴f(1a)≤0；(3)解：由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为1，则f′(1)=0，即1−2a+a=0∴a=1．解析：(1)求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；(2)构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；(3)由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为(1,0)，则f′(1)=0，即可得出结论．本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)直线l的一般方程为√3x−2y+24=0，直线l的极坐标方程为，曲线C1的标准方程为x2+(y−2)2=4，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ．(2)将θ=π3分别代入和ρ=4sinθ得ρA=16√3，ρB=2√3，所以|AB|=|ρA−ρB|=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是中档题．(1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l和曲线C1的极坐标方程，求出A，B的极径，得|AB|=|ρA−ρB|= |16√3−2√3|=14√3．23.答案：解：设a+2b=t，则a=t−2b，因为a>0，b>0，12a+b +1b+1=1，所以12(t−2b)+b +1b+1=1，即12t−3b +1b+1=1，所以12t−3b =1−1b+1=bb+1.从而2t−3b=b+1b =1+1b，即2t=3b+1b +1⩾2√3b×1b+1=2√3+1，当且仅当b=√33时取等号，所以t⩾2√3+12.故a+2b的最小值为2√3+12．解析：本题主要考查了利用基本不等式求最值，为中档题．设a+2b=t，则a=t−2b，代入12a+b +1b+1=1，得到2t=3b+1b+1，利用基本不等式进行求解即可．。
合肥市高三第一次教学质量检测理数试题—附答案合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) (考试时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷 (60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则( ). A. B. C. D.2.设复数满足(为虚数单位)，在复平面内对应的点为(，)，则( ). A. B. C. D. 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自xx年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是xx-xx年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ).A.这五年，xx年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，xx年进口增速最快4.下列不等关系，正确的是( ). A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，，，则的值等于( ). A.21 B.1 C.-42 D.0 6.若执行右图的程序框图，则输出的值等于( ). A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数的图象大致为( ). 8.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是( ). A.的图象关于对称 B.在上有2个零点 C.在区间上单调递减 D.在上的值域为 9.已知双曲线()的左右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线相切，是圆与双曲线的一个交点.若，则双曲线的离心率等于( ). A. B.2 C. D. 10.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ). (注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001) A. B. C. D. 11.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直；④四边形的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为( ). A.①④B.②③C. ①②④D. ①②③④ 12.已知函数，则函数的零点个数为( ) (是自然对数的底数). A.6 B.5 C.4 D.3 第Ⅱ卷 (90分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量(1，1)，，且∥，则的值等于 . 14.直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，弦的长为16，则直线的倾斜角等于 . 15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传 ___新时代 ___社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有种. 16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，则球的体积等于，球的表面积等于 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 在中，内角所对的边分别为，若，. (1)求；(2)若边的中线长为，求的面积. 18.(本小题满分12分) “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X 的分布列与数学期望. 19.(本小题满分12分) 如图，已知三棱柱中，平面平面，，. (1)证明：；(2)设，，求二面角的余弦值. 20.(本小题满分12分) 设椭圆()的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 21.(本小题满分12分) 已知函数(为自然对数的底数). (1)求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；(2)设方程()有两个实数根，，求证：. 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为. (1)求曲线的直角坐标方程；(2)设曲线与直线交于点，点的坐标为(3，1)，求. 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()，不等式的解集为. (1)求的值；(2)若，，，且，求的最大值. 合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.-2 14.或 15.72 16.，(第一空2分，第二空3分) 三、解答题：大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 解：(1)在中，，且，∴，∴，又∵，∴. ∵是三角形的内角，∴. ………………………………5分 (2)在中，，由余弦定理得，∴，∵，∴. 在中，，，，∴的面积. ………………………………12分 18.(本小题满分12分) (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：. ………………………………5分 (2)可能取值为0，1，2，3. 则，，，，∴的分布列为 0 1 2 3 ∴. ……………………………12分或解：∵随机变量服从，∴. ……………………………12分19.(本小题满分12分) (1)连结. ∵，四边形为菱形，∴. ∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. 又∵，∴平面，∴. ∵，∴平面，而平面，∴. …………………………5分 (2)取的中点为，连结. ∵，四边形为菱形，，∴，. 又∵，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设，，，，∴(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，). 由(1)知，平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则，∴. ∵，，∴. 令，得，即 . ∴，∴二面角的余弦值为. ……………………………12分 20.(本小题满分12分) (1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，. 设圆的半径为，则，∴，解得，∴，∴椭圆的方程为. ……………………………5分 (2)∵关于原点对称，，∴. 设，. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由直线和椭圆方程联立得，即，∴. ∵，，∴，∴，，∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切. 当直线的斜率不存在时，依题意得，. 由得，∴，结合得，∴直线到原点O的距离都是，∴直线与圆也相切. 同理可得，直线与圆也相切. ∴直线、与圆相切. …………………………12分 21.(本小题满分12分) (1)由，得，∴函数的零点. ，，. 曲线在处的切线方程为. ，，∴曲线在处的切线方程为.………………………5分 (2). 当时，；当时，. ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. 由(1)知，当或时，；当时，. 下面证明：当时，. 当时， . 易知，在上单调递增，而，∴对恒成立，∴当时，. 由得.记. 不妨设，则，∴. 要证，只要证，即证. 又∵，∴只要证，即. ∵，即证. 令. 当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数. ∴，∴，∴. (12)分 22.(本小题满分10分) (1)曲线的方程，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为：. …………………………5分 (2)把直线代入曲线得，得，. ∵，设为方程的两个实数根，则，，∴为异号，又∵点(3，1)在直线上，∴. …………………………10分 23.(本小题满分10分) 解：(1)∵，∴的解集为，∴，解得，即. …………………………5分 (2)∵，∴. 又∵，，，∴，当且仅当，结合解得，，时，等号成立，∴的最大值为32. …………………………10分模板,内容仅供参考。
黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无．．．．．．．．．．．．效．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．. 4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1. 已知复数z 满足i z i -=⋅+3)1(,则=|z | A. 5B. 3C. 5D. 32. 设U ＝R ，A ＝}|{042<-x x x ，B ＝}|{1≤x x ，则()U A C B I ＝ A ．{}40≤<x xB ．{}41<≤x xC ．{}40<<x xD ．{}41<<x xC x yO xyO xyO xyO 3. 已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则 A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<4. 函数cos sin 2xxy =的大致图象为5. 裴波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列｝｛n a 满足：121==a a ，12+++=n n n a a a ，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是A.41B. 31C. 21D. 326．将向量(1,1)OA =u u u r 绕原点O 顺时针方向旋转75°得到OB uuu r ，则OB uuu r＝A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2226,B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2622,C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2226,D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2622, 7. 已知数列{}n a 满足2*1222...2()n n a a a n n N +++=∈，数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S =A ．20202019B ．20191 C ．20201 D ．201920188. 已知函数()f x 在R 上满足()()x x x f x f 52242+-=-，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是 A ．y x =-B ．4y x =-C ．38y x =-D ．512y x =-9. 函数()06sin >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx y 在⎪⎭⎫⎝⎛-22ππ,内单调递增，且图象关于直线π-=x 对称，则ω的值为A.14B. 35C. 32D. 3110.如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值 为 A ．2B ．4C ．6D ．811.已知函数3()ln 2f x x a x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是 A ．()20e ,B ．()2e,∞-C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛210e ,D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21e 12.如图，1(,0)F c -,2(,0)F c 分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a bΓ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ,设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1||:||:||2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率为A. 5B.2655C. 2623D. 263第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）1A13. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-⎪⎭⎫⎝⎛=,ln2,1212xxxxxfx则()()=-1ff .14. 已知实数yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-14yyxyx，则yxz+-=22的最大值为 . 15. 函数112+-=xy与函数)2(-=xky的图象有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是 .16. 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D-中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界），若1//B P平面1A BM，则1C P长度的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请．在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．.）17.（本小题满分12分）已知在ABC∆中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cabABAC+=--sinsinsinsin, （1）求角C的大小;（2）若3=c,求ba+的取值范围.田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。
2020 年马鞍山市高中毕业班第一次教课质量检测理科数学试题( 答案在后边)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第2 页，第Ⅱ卷第 3 至第4 页．全卷满分150 分，考试时间120 分钟．考生注意事项：1 ．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并仔细查对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与自己姓名、座位号能否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号（四位数字）．2 ．答第Ⅰ卷时，每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．3 ．答第Ⅱ卷时，一定使用0．5 毫米的黑色墨水署名笔在答题．卡．上．．书写，要求字体工整、字迹清楚．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的地点绘出，确认后再用0．5 毫米的黑色墨水署名笔描清楚．一定在题号所指示的答题地区作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，在．试．题．卷．、草．稿．纸．上．答．题．无．效．．4 ．考试结束，务势必试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题，共50 分）一、选择题：本大题共10 个小题，每题 5 分，共50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请在答题卡相应地点将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑．1．设a, b 为实数，若复数1+2i 1 ia bi（此中i 为虚数单位）, 则( ▲)A． a 3,b 1 B．3 1a ,b C．2 21 3a ,b D ． a 1,b 32 22．已知12S x| y log (8 2x x ) ,T x | 02x 3，则S I T = ( ▲)A．x | x 2 B．x | x 3C．x | 3 x 4 D．x |-2 x 33．设a,b 是两条直线，, 是两个平面，则 a b 的一个充足条件是( ▲) A． a ,b / / , B． a ,b , / /C． a ,b , / / D． a ,b/ / ,34．某几何体的三视图及部分数据如下图，3则此几何体的体积是( ▲)3A．B 3．2C．2 D ．3 1正（主）视图俯视图侧（左）视图第4 题图5．若曲线 f (x) x sin x 1在x处的切线与直线ax＋2y＋1＝0 相互垂2直，则实数 a 等于( ▲)A．－2 B ．－1C．1 D ．26．已知 a 0,b 0 ，且知足 2 a 2b 4 ．那么 2 2a b 的取值范围是( ▲)A．(4,16)5 5 B．(4 ,16)5C．(1,16) D ． 16 ( ,4) 57．公比不为 1 的等比数列{a } 的前n 项和为S n ，且3a1, a2 , a3 成等差数列．若a1 1，则nS =( ▲)4A．20 B ．0C．7 D ．408．已知F1 (c,0) ，F2 (c,0) 分别是双曲线 C ：12 2x y2 2 1a b(a 0,b 0) 的两个焦点，双曲线C 和1圆C：22 2 2x y c 的一个交点为P ，且2PF F PF F ，那么双曲线C1 的离心率为1 2 2 1( ▲)A． 52B ． 3C． 2 D ． 3 1u u u r u u u ru u u r9．如图，AB 是圆O 的直径，点C、D 在圆O 上，CBA 60o ，ABD 45o ，CD xOA yBC，D则x y 的值为( ▲)A． 33 B ．13A BOC．23 D ． 3C第9 题图10．用数字0，1，2，3 构成数字能够重复的四位数，此中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( ▲)A．54 B ．72C．90 D ．108第Ⅱ卷（非选择题，共100 分）二、填空题：本大题共 5 个小题，每题 5 分，共25 分．请在答题卡上答题．11．抛物线y2 12 x 上到焦点的距离等于9 的点的横坐标是▲．12．将函数sin(2 )y x 的图象先向左平移3 6个单位，而后将所得图象上全部点的横坐标变成本来的 2 倍（纵坐标不变），则所获得的图象对应的函数分析式为▲．13．某程序框图如下图，则程序运转后输出的S值为▲．14．设10 2 11( x 2)(2 x 3) a a ( x 2) a (x 2) L a ( x 2) ，0 1 2 11则a1 +a3 +a5 +a7 +a9 +a11 = ▲．开始15．已知函数 f ( x) 是定义在R上的奇函数，i＝1，S＝ 0x当x 0 时，( ) ( 1)f x e x ，给出以下命题：i＝i＋1x①当x 0 时，( ) (1 )f x e x ；2S＝S＋ i2S＝S－ i否是②函数 f (x) 有2 个零点；i是奇数?③ f (x) 0 的解集为( 1,0) U (1, ) ；i<5?是否④x1 , x2 R，都有|f (x ) f ( x ) | 2 ．1 2 输出S此中全部正确的命题序号是▲．第13 题图结束三、解答题：本大题共 6 个小题，满分75 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．16．( 此题满分12 分)已知函数 f ( x) 2 3 sin x cos x 3sin 2 x cos2 x 2．（Ⅰ）求 f (x)的最大值；（Ⅱ）若ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b, c ，且知足 b 3a ，sin(2 A C)sin A2 2cos( A C) ，求 f (B) 的值．17．（本小题满分12 分）已知甲盒内有大小同样的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小同样的 2 个红球和 4 个黑球。
安徽六校教育研究会2020 届高三第一次素质测试理科数学试题考试时间：120分钟试卷分值：150 分第Ⅰ卷选择题（共60 分）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）1．设全集U ＝R ，M ＝{x |－1＜x ＜4}，N ＝｛x | log 2(x －2) ＜1＝，则M ∩（C U N ）＝ ( )A ．∅B ．{x | －4＜x ≤2}C ．{x |－4＜x ＜3}D ．{x |－1 ＜x ≤2}2．已知复数z 满足（2－i ）z ＝｜3＋4i ｜，则z ＝（ ）A ．－2 －iB ．2 －iC ．－2＋iD ．2＋i3．等差数列｛a n ｝的前n 项和是S n ，公差d 不等于零，若a 2，a 3，a 6成等比数列，则（ ）4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是F 1、F 2，以F 2为圆心的圆过椭圆的中心，且与 椭圆交于点P ，若直线PF 1 恰好与圆F 2相切于点P ，则椭圆的离心率为( )5．过三点A (1，3)、B (4， 2)、C (1，－7)的圆截直线x ＋ay ＋2＝0所得弦长的最小值等于（ ）A ． 23B ． 43C ． 13D ． 2136．某罐头加工厂库存芒果m （kg ），今年又购进n （kg ）新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头.被加工为罐头的新芒果最多为f 1（kg ），最少为f 2（kg ），则下列坐标图最能准确描述f 1、f 2分别与n 的关系是（ ）7．若函数 f (x ) ＝e x (sin x ＋a )在区间(－2π，2π)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－2，＋∞)8．2019 年5 月22 日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）9．将函数()4cos 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为A 1、A 2、…、A 5，若P 点坐标为（0，3），则｜125...|PA PA PA +++u u u r u u u u r u u u r ＝A ．0B ．2C ．6D ．1010．如图， F 1 、 F 2 是双曲线 C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过 F 2 的直线与双曲线C 交于 A 、B 两点．若｜AB ｜：｜BF 1｜：｜AF 1｜ ＝3：4：5，则双曲线的渐近线方程为（ ）A 、 y =± 3xB ． y =± 2xC ． y 3xD ．y =± 2x11．条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“EAN-13”通用代码，它是由从左到右排列的13 个数字（用a 1，a 2，…， a 13表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码，其中a 13是校验码，用来校验前12 个数字代码的正确性.图（1）是计算第位校验码的程序框图，框图中符号［m ］表示不超过m 的最大整数（例如［365.7］＝365）.现有一条形码如图（2）所示（97 a 37107202551），其中第3 个数被污损，那么这个被污损数字a 3是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．612．如图，已知四面体ABCD为正四面体，AB＝1，E，F 分别是AD，BC 中点。
安徽省合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，则（）A. 5B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得：.本题选择A选项.2. 已知等差数，若，则的前7项的和是（）A. 112B. 51C. 28D. 18【答案】C【解析】由等差数列的通项公式结合题意有：，求解关于首项、公差的方程组可得：，则数列的前7项和为：.本题选择C选项.3. 已知集合是函数的定义域，集合是函数的值域，则（）A. B.C.且D.【答案】B【解析】函数有意义，则：，即，结合二次函数的性质可得函数的值域为，即：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.4. 若双曲线的一条渐近线方程为，该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线的焦点位于轴，则双曲线的渐近线为，结合题意可得：，双曲线的离心率：，本题选择C选项.5. 执行如图程序框图，若输入的等于10，则输出的结果是（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】结合流程图可知程序运行如下：首先初始化数据，此次循环满足，执行：，；此次循环满足，执行：，；此次循环满足，执行：，；此次循环满足，执行：，；此时的值出现循环状态，结合输入的值为，而可知最后一次循环时：执行：，；此次循环不满足，输出.本题选择C选项.6. 已知某公司生产的一种产品的质量 (单位：克)服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在内的产品估计有（）（附：若服从，则，）A. 3413件B. 4772件C. 6826件D. 8185件【答案】D【解析】由题意可得，该正态分布的对称轴为，且，则质量在内的产品的概率为，而质量在内的产品的概率为，结合对称性可知，质量在内的产品估计有，据此估计产品的数量为：件.本题选择D选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意结合辅助角公式有：，将函数的图像先向右平移个单位，所得函数的解析式为：，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，所得函数的解析式为：，而，据此可得：，据此可得：.本题选择D选项.8. 已知数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，两式作差可得：，即，，结合可得：，则数列是首项为，公比为的等比数列，据此有：，.本题选择A选项.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，左右两端为半径为的半球，中间部分为底面半径为，高为的半个圆柱，其中球的表面积，半圆柱的侧面积，半圆柱裸露的面积，半球裸露的面积，综上可得，该几何体的表面积.本题选择C选项.10. 已知直线与曲线相切(其中为自然对数的底数)，则实数的值是（）A. B. 1 C. 2 D.【答案】B【解析】由函数的解析式可得：，则切线的斜率：，令可得：，则函数在点，即处的切线方程为：，整理可得：,结合题中所给的切线的斜率有：.本题选择B选项.11. 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备2小时，设备6小时；生产一件乙产品需用设备3小时，设备1小时.两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）A. 320千元B. 360千元C. 400千元D. 440千元【答案】B【解析】设生产甲、乙两种产品x件,y件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：，原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数的最大值.绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最大值：千元.本题选择B选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．12. 已知函数 (其中为自然对数的底数），若函数有4个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【解析】考查函数，求导可得，..............................函数是定义在上关于轴对称的偶函数，分别对应建立两个平面直角坐标系，第一个坐标系按照我们熟悉的坐标系绘制函数的图像，第二个坐标系以水平方向为轴方向，以竖直方向为轴方向，在第一个坐标系中绘制函数的图像，在第二个坐标系中绘制函数的图像，如图所示的直线位置处可以找到满足题意的方程的四个零点，函数零点的值为点处的横坐标，观察可得，的取值范围为，其中，题中直线为临界条件，临界条件处：，，.结合选项，满足所得结论形式的区间只有D选项.本题选择D选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若平面向量满足，则__________．【答案】【解析】由题意可得：，，两式作差可得：.14. 已知是常数，，且，则__________．【答案】3【解析】所给的等式中，令可得：，令可得：，结合题意有：，求解关于实数的方程可得：.15. 抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过抛物线上一点 (第一象限内．．．．．)作的垂线,垂足为.若四边形的周长为16，则点的坐标为__________．【解析】由抛物线的方程可知焦点坐标为，准线方程为，设点的坐标为，由题意结合抛物线的定义可得：，，，则四边形的周长为,整理可得：，则点的坐标为.16. 在四面体中，，二面角的大小为,则四面体外接球的半径为__________．【答案】【解析】过等边三角形的中心作平面的垂线，取的中点，过点做平面的垂线，设，由几何关系可知：点为四面体外接球的球心，△ABD是边长为2的等边三角形，则,二面角的大小为,则，据此，在中，，四面体外接球的半径为.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角的对边分别为，.（1）求角；（2）若，求的周长的最大值.【答案】(1)（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理边化角可得：，整理计算有，则.（2）由（1）的结论结合余弦定理得，即，结合均值不等式可知(当且仅当时等号成立），则周长的最大值为.试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得：，即，∴，∵，∴，∴，从而.∵，∴.（2）由（1）和余弦定理得，即，∴，即(当且仅当时等号成立）.所以，周长的最大值为.18. 2020年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选考的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.【答案】(1)（2），分布列见解析【解析】试题分析：(1)由题意结合对立事件计算公式可知该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为；(2)由题意可知，随机变量的所有可能取值有0, 1，2，3.计算相应的概率值为,，，，据此可得分布列，然后计算数学期望为.试题解析：（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件，则，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为.（2）随机变量的所有可能取值有0, 1，2，3.因为,，，，所以的分布列为所以.19. 如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，，点为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)见解析（2）【解析】试题分析：（1）连结，交于点，由三角形中位线的性质可得平面,由线面垂直的性质定理可得为平行四边形，则，结合面面平行的判断定理有平面.最后，利用面面平行的判断定理可得平面平面. （2）利用两两垂直建立空间直角坐标系，利用空间几何关系可得平面的一个法向量为，，则直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：连结，交于点，∴为的中点，∴.∵平面，平面，∴平面.∵都垂直底面，∴.∵，∴为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴平面.又∵，∴平面平面.（2）由已知，平面，是正方形.∴两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.设，则，从而，∴，设平面的一个法向量为，由得.令，则，从而.∵，设与平面所成的角为，则，所以，直线与平面所成角的正弦值为.20. 在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点.以为顶点，分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.【答案】(1)（2）当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.【解析】试题分析：（1）由已知可得，椭圆的焦点在轴上.设椭圆的标准方程为，易知，结合椭圆过点，可得椭圆的标准方程为.（2）由题意可知直线的斜率存在.设直线方程为，.联立直线方程与椭圆方程有.直线与椭圆交于不同的两点，则，，由弦长公式可得，而点到直线的距离，据此可得面积函数.换元令，，结合二次函数的性质可得当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.试题解析：（1）由已知可得，椭圆的焦点在轴上.设椭圆的标准方程为，焦距为，则，∴，∴椭圆的标准方程为.又∵椭圆过点，∴，解得.∴椭圆的标准方程为.（2）由于点在椭圆外，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为，则直线，设.由消去得，.由得，从而，∴.∵点到直线的距离，∴的面积为.令，则，∴，当即时，有最大值，，此时.所以，当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求的值.【答案】(1)见解析（2）【解析】试题分析：（1）的定义域为，求导可得.则考查函数的单调性只需考查二次函数的性质可得：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）原问题等价于，恒成立. 构造函数，令，则，，即在时取得最大值..由解得.经检验可得a=1符合题意.故.试题解析：（1）的定义域为，.∵.令，则（a）若，即当时，对任意，恒成立，即当时，恒成立（仅在孤立点处等号成立）.∴在上单调递增.（b）若，即当或时，的对称轴为.①当时，，且.如图，任意，恒成立，即任意时，恒成立，∴在上单调递增.②当时，，且.如图，记的两根为∴当时，；当时，.∴当时，，当时，.∴在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）恒成立等价于，恒成立.令，则恒成立等价于，.要满足式，即在时取得最大值.∵.由解得.当时，，∴当时，；当时，.∴当时，在上单调递增，在上单调递减，从而，符合题意.所以，.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，曲线(为参数)，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线. （1）求曲线的普通方程；（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）的极坐标方程即，利用极坐标方程与普通方程的关系可得曲线的普通方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为1. 设曲线上的动点，由动点在圆上可得：.由三角函数的性质可得，则的最小值为.试题解析：（1）由得：.因为，所以，即曲线的普通方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为1.设曲线上的动点，由动点在圆上可得：.∵当时，，∴.23. 已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由不等式的性质零点分段可得不等式的解集为.（2）原问题等价于结合绝对值三角不等式的性质可得，当且仅当时等号成立，则的取值范围是.试题解析：（1），或或或，所以，原不等式的解集为.（2）由条件知，不等式有解，则即可. 由于，当且仅当，即当时等号成立，故.所以，的取值范围是.。
2020届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--<，{}210B x x =->，则AB =（ ）A ．()1，-+∞ B ．1 12⎛⎫⎪⎝⎭， C ．1 22⎛⎫⎪⎝⎭， D ．1 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【解析】确定出集合,A B 中的元素后，由并集定义计算． 【详解】由题意{|12}a x x =-<<，1{|}2B x x =>，∴{|1}A B x x =>-．故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集运算，确定集合中的元素是解题关键．2．设复数z 满足1i z z -=-（i 为虚数单位），z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（ ） A ．y x =- B ．y x =C ．()()22111x y -+-=D ．()()22111x y +++=【答案】B【解析】设(,)z x yi x y R =+∈，代入已知等式化简即可． 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，∵1i z z -=-，∴1x yi x yi i +-=+-， 即2222(1)(1)x y x y -+=+-，化简得y x =．故选：B. 【点睛】本题考查复数模的运算，直接代入复数的代数形式由模的定义化简即得．也可由模的几何意义求解．3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.下图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是（）A．这五年，2013年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2017年进口增速最快【答案】C【解析】对于选项A：观察五个灰色的条形图的高低即可判断;对于选项B:观察五组条形图,对比每组灰色条形图与黑色条形图的高低及高低悬殊程度即可判断;对于选项C：从图中知,红色的折线图是先上升后下降即可判断;对于选项D：观察这五年所对的蓝色折线图的高低即可判断;【详解】对于选项A：观察五个灰色的条形图,可得2013年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年，2013年出口额最少.故选项A正确;对于选项B:观察五组条形图可得,2013年出口额比进口额稍低,但2014年—2017年都是出口额高于进口额,并且2015年和2016年都是出口额明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多.故选项B正确;对于选项C：从图中可知,红色的折线图是先上升后下降,即2013年到2014年出口增速是上升的.故选项C错误;对于选项D：从图中可知,蓝色的折线图2017年是最高的,即2017年进口增速最快.故选项D正确;故选: C【点睛】本题主要考查统计条形图和折线图的应用;解题的关键是从条形图看出口金额和进口金额,从折线图看出口增速和进口增速;属于基础题. 4．下列不等关系，正确的是（ ） A ．234log 3log 4log 5<< B ．243log 3log 5log 4>> C ．243log 3log 5log 4<< D ．234log 3log 4log 5>>【答案】D【解析】比较log (1)n n +与(1)log (2)n n ++的大小，2,n n ≥∈N ， 【详解】 设2,n n ≥∈N ，log (1)n n +(1)log (2)n n +-+2lg(1)lg(2)lg (1)lg lg(2)lg lg(1)lg lg(1)n n n n n n n n n +++-+=-=++，因为222222lg ln(2)11lg lg(2)()lg (2)lg (21)lg (1)244n n n n n n n n n +++<=+<++=+，所以log (1)n n +(1)log (2)n n +-+0>，即log (1)n n +(1)log (2)n n +>+（2,n n ≥∈N ）． 所以234log 3log 4log 5>>． 故选：D ． 【点睛】本题考查比较对数的大小，本题通过证明数列{log (1)}n n +是递减数列得出结论． 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，47329a a +=，则7S 的值等于（ ） A ．21 B ．1C ．-42D ．0【答案】D【解析】用等差数列的基本量法计算． 【详解】设数列公差为d ，则47111232(3)3(6)5249a a a d a d a d +=+++=+=，因为13a =-，所以1d =，717677(3)21102S a d ⨯=+=⨯-+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，解题方法是基本量法，即求出首项1a 和公差d ，然后直接计算．6．若执行下图的程序框图，则输出i 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】依次写出每次循环得到的,,x y i 的值,当3,64,86i x y ===时,不满足条件x y >,退出循环，输出i 的值为即可.【详解】第一次循环:8,2x y ==，满足x y >，继续循环; 第二次循环:1,16,6i x y ===，满足x y >，继续循环; 第三次循环:2,32,22,i x y ===满足x y >，继续循环;第四次循环:3,64,86i x y ===，不满足x y >，跳出循环，输出3i =. 故选: B 【点睛】本题主要考查程序框图中当型循环,循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累乘等,在循环结构框图中要特别注意条件的应用；属于基础题. 7．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除;故选项:A 【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题. 8．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移116π个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的图象关于12x π=-对称B ．()g x 在[]0π，上有2个零点C ．()g x 在区间5 36ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D ．()g x 在 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】求出()g x 的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断． 【详解】由题意1111()sin 2()sin(2)sin(2)633g x x x x πππ=-=-=+， 1()sin()12632g πππ-=-+=不是函数的最值，12x π=-不是对称轴，A 错；由()sin(2)03g x x π=+=，2()3x k k Z ππ+=∈，26k x ππ=-，其中5,36ππ是[0,]π上的零点，B 正确； 由3222232k x k πππππ+≤+≤+得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，因此()g x 在7(,)312ππ是递减，在75(,)126ππ上递增，C 错；[,0]2x π∈-时，22[,]333x πππ+∈-，()[g x ∈-，D 错． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键．9．已知双曲线C ：22221x y a b-=（00a b >>，）的左右焦点分别为12F F ，，圆2F 与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆2F 与双曲线C 的一个交点.若12=0F M F M ⋅，则双曲线C 的离心率等于（ ） A．B ．2CD【答案】A【解析】求出焦点到渐近线的距离，2MF ，由双曲线定义得1MF ，再由12=0F M F M ⋅可建立,,a b c 的关系，从而求得离心率． 【详解】由题意2(,0)F c ，一条渐近线为by x a =，即0bx ay -=，所以2MF r b ===， M 在双曲线右支上，则1222MF MF a b a =+=+，又12=0F M F M ⋅，则12MF MF ⊥，所以222(2)4b b a c ++=，2222444b ab a c ++=，又222b c a =-，所以242ab b =，2a b =，22224a b c a ==-，225c a =，ce a== 故选：D ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等式．本题利用相切，利用双曲线定义，表示出焦半径，由数量积得垂直从而建立,,a b c 的等式．解法易得，属于中档题．10．射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112C ．0.114D ．0.116【答案】C【解析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C 【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题. 11．已知正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形1BFD E 一定是平行四边形； ③平面α与平面1DBB 不可能垂直； ④四边形1BFD E 的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】根据正方体的性质对每个命题进行判断．结合排除法可选正确结论． 【详解】截面上方几何体分割成四棱锥四棱锥111D A EFC -，四棱锥11B A EFC -，三棱锥111B A BC -，截面下方几何体对称的也是三个棱锥，对应体积相等（特殊位置截面更容易得此结论），①正确，排除B ；由正方体相对两个面平行，根据面面平行的性质定理知四边形1BFD E 的两组对边平行，从而是平行四边形，②正确，排除A ；当E 是1AA 中点，F 是1CC 中点，这时可证EF ⊥平面11BB D D （先证//EF AC ），从而平面α与平面1DBB 垂直，③错误，排除D ， 只有C 可选了．事实上，四边形1BFD E 即有最大值也有最小值．E 与A （或1A ）重合时面积最大，E是1AA 中点时，面积最小．设AE x =，正方体棱长为1，01x ≤≤，21BE x =+，2211(1)22D E x x x =+-=-+，13BD =，在1BED ∆中，2222111221cos 2122D E BE BD x xBED D E BE x x x +--∠==⋅+⋅-+，所以2222112222()222sin 1cos 1(1)(22)(1)(22)x x x x BED BED x x x x x x --+∠=-∠=-=+-++-+，所以1211sin 222BED F S BE D E BED x x =⋅∠=-+2132()22x =-+，所以0x =或1时，1BED F S 取得最大值2．④正确． 故选：C ．【点睛】本题考查正方体的截面的性质．解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系．如果空间想象能力丰富，结论易得，由正方体对称性，①正确，从运动角度考虑，当E 从A 运动到1A 时，截面面积发生变化，这是一个有限的连续过程，其中必有最大值和最小值．④正确，②③易于从面线面关系说明．12．已知函数() 01ln 0x x e x f x xe x x x -⎧-≤=⎨--->⎩，，，则函数()()()()F x f f x ef x =-的零点个数为（ ）（e 是自然对数的底数） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B【解析】利用导数研究函数()f x 的性质，如单调性，函数值的变化趋势和，函数的极值．再研究方程()0f t et -=的解的个数，即直线y et =与函数()y f t =的公共点的的取值，从而利用函数()f x 的性质求得()F x 零点个数． 【详解】0x ≤时，()x f x e -=-是增函数，(0)1f =-，0x >时，()1ln x f x xe x x =---，11()(1)1(1)()x x f x x e x e x x'=+--=+-，显然10x +>，由1xe x=，作出xy e =和1(0)y x x=>的图象，如图，x y e =是增函数，1y x =在0x >是减函数它们有一个交点，设交点横坐标为0x ，易得0011x e x =>，001x <<， 在00x x <<时，1xe x <，()0f x '<，0x x >时，1xe x>，()0f x '>， 所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，0()f x 是()f x 的极小值，也是在0x >时的最小值．001x e x =，001x x e =，0001ln ln x x x ==-，即00ln 0x x +=，00000()1ln 0x f x x e x x =---=，0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞．作出()f x 的大致图象，作直线y ex =，如图，0x >时y ex =与()f x 的图象有两个交点，即()0f x ex -=有两个解12,t t ，120,0t t >>．0x <时，()x f x e -=-，()x f x e '-=，由11()xf x e e -'==得1x =-，而1x =-时，(1)y e e =⨯-=-，(1)f e -=-，所以直线y ex =与()x f x e -=-在(1,)e --处相切．即0x ≤时方程()0f x ex -=有一个解e -．()(())()0F x f f x ef x =-=，令()t f x =，则()()0F x f t et =-=，由上讨论知方程()0f t et -=有三个解：12,,e t t -(120,0t t >>)而()f x e =-有一个解，1()f x t =和2()f x t =都有两个解，所以()0F x =有5个解， 即函数()F x 有5个零点． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的零点个数问题，通过换元法问题转化为()0f t et -=的解及()f x t =的解，为此利用导数研究函数()f x 的性质，研究直线y ex =与函数()y f x =的公共点问题．研究()f x 的图象与直线y t =的公共点个数．本题考查了学生的转化与化归思想．运算求解能力．二、填空题13．已知向量a =（1，1），() 2b m =-，，且a ∥()2a b +，则m 的值等于__________.【解析】计算2a b +，由向量共线的坐标运算可者m ． 【详解】由题意2(12,3)a b m +=+-，因为a ∥()2a b +，所以123m +=-，解得2m =-． 故答案为：2-． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．14．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________. 【答案】3π或23π【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】 由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k = 所以直线AB 的倾斜角为3π或23π． 故答案为：3π或23π． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式． 【答案】72 【解析】【详解】由题意224372A A =．故答案为：72．本题考查排列的综合应用．解题时确定分步完成本事件．插入法是解本题的关键． 16．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________.164n π- 【解析】由正四面体的内切球的半径是高的14可求得1O 的半径，得其体积，把底面向上平移，平移到与内切球相切，这个平面以上的部分仍然是正四面体，而第二个球就是这个正四面体的内切球，此球半径是第一个球半径的一半，依次类推可得第n 个球． 【详解】如图，AO 是三棱锥A BCD -的高，O 是BCD ∆的外心，设BC a =，则OB =，3AO a ==， 1O 是三棱锥A BCD -的外接球和内切球的球心，1O 在AO 上，设外接球半径为R ，内切球半径为1r ，则由22211O B OO BO =+得222))R a R =+-，R R =，所以11r AO AO AO R =-=-==， 114r AO =，1333144()3312216O V r a a πππ====，过AO 中点作与底面BCD 平行的平面与三条棱,,AB AC AD 交于点111,,B C D ，则平面111B C D 与球1O 相切，由题意球2O 是三棱锥111A B C D -的内切球，注意到三棱锥111A B C D -的棱长是三棱锥A BCD -棱长的12，所以有其内切球半径2112r r =，同理球n O 的半径为n r ，则{}n r 是仅比为12的等比数列，所以111()2n n r r -=⨯，即1616()1222n n n r a -=⨯=， 2216644(24n n nn S r πππ-==⨯=． 6π；164n π-． 【点睛】本题考查三四面体的内切球问题，掌握正四面体的性质是解题关键．实质上正四面体的高是h ，其外接㼀半径是34h ，内切球半径是14h ．三、解答题17．在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2a =，cos cos 2cos 0a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若BC 边的中线AM 5ABC ∆的面积. 【答案】（1）34B π=（2）1 【解析】（1）由正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式可求得cos B ，得B 角；（2）在ABM ∆中应用余弦定理求得AB c =，再用三角形面积公式求得面积． 【详解】解：（1）在ABC ∆中，sin sin sin a b cA B C==，且cos cos cos 0a C c A B +=， ∴sin cos sin cos cos 0A C C A B B +=，∴()sin()cos sin cos sin 10A C B B B B B B B +==⋅=，又∵sin 0B ≠，∴cos B =∵B 是三角形的内角，∴34B π=.（2）在ABM ∆中，314BM AM B AB c π====，，， 由余弦定理得()2222cos AM c BM c BM B =+-⋅⋅，∴2512(2c c =+-⨯-．即240c -=，(0c c -+=,∵0c >，∴c =在ABC ∆中，2a =，c =34B π=，∴ABC ∆的面积113sin 21224S ac B π==⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式．解三角形是时，要注意已知条件，根据条件确定选用正弦定理还是余弦定理是解题关键．18．“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（1）18125 （2）分布列见解析，65EX = 【解析】（1）统计数据说明学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15，它们相互独立，两种类型都有学校选择则分为两类：两所学校选“科技体验游”，一所学校选“自然风光游”或者一所学校选“科技体验游”，两所学校选“自然风光游”，由此可计算概率；（2）X 可能取值为0，1，2，3.，依次计算出概率可得概率分布列，由期望公式可计算期望． 【详解】（1）依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：2222332112185555125P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）X 可能取值为0，1，2，3.则()30332705125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3332835125P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为∴2754368601231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查用样本估计总体，考查相互独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列与期望．掌握相互独立事件同时发生的概率是解题关键．19．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，1AA AC =，AC BC ⊥.（1）证明：1A C ⊥1AB ；（2）设2AC CB =，160A AC ∠=，求二面角11C AB B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）34-【解析】（1）连结1AC .由菱形得对角线垂直，再由已知及面面垂直的性质定理得线面垂直BC ⊥平面11AAC C ，11B C ⊥平面11AAC C ，从而111B C AC ⊥，于是证得线面垂直后再得线线垂直；（2）取11A C 的中点为M ，连结CM ，证得CM 与,CA CB 都垂直后，以C 为原点，CA CB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，则法向量夹角得二面角，注意要判断二面角是锐角还是钝角． 【详解】 （1）连结1AC .∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，∴11A C AC ⊥. ∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面11AAC C . 又∵11//BC B C ，∴11B C ⊥平面11AAC C ，∴111B C AC ⊥. ∵1111AC B C C ⋂=，∴1A C ⊥平面11AB C ，而1AB ⊂平面11AB C ， ∴1A C ⊥1AB（2）取11A C 的中点为M ，连结CM .∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，160A AC ∠=，∴11CM AC ⊥，CM AC ⊥. 又由（1）知CM BC ⊥，以C 为原点，CACB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系，如图.设1CB =，22AC CB ==，1AA AC =，160A AC ∠=，∴C （0，0，0），1A （1，0），A （2，0，0），B （0，1，0），1B （-1，1. 由（1）知，平面11C AB的一个法向量为(110CA =，. 设平面1ABB 的法向量为()n x y z =，，，则1 n AB n AB ⊥⊥，，∴10n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩. ∵()2 1 0AB =-，，，(13 1AB =-，，∴2030x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩.令1x =，得23y z ==，，即12n ⎛= ⎝，. ∴1112cos 2CA n CA n CA n⋅<>===⋅⨯，∴二面角11C AB B --的余弦值为-【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角．立体几何中证明垂直时，线线垂直，线面垂直，面面垂直常常是相互转化，判定定理与性质定理要灵活应用．在有垂直的情况下常常建立空间直角坐标系，用向量法求空间角．20．设椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点为12A A ，，上下顶点为12B B ，，菱形1122A B A B 的内切圆C '，椭圆的离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M N ，是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足PM PN =，试判断直线PM PN ，与圆C '的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）22163x y += （2）直线PM 、PN 与圆C '相切，证明见解析 【解析】（1）由离心率得a =，用两种方法表示出菱形1122A B A B 的面积可求得,b a ，得椭圆方程；（2）设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，用韦达定理得1212,x x x x +，利用OP OM ⊥，即12120x x y y +=得,k m 的关系，求出圆心C '到直线PM 的距离可得直线与圆的位置关系．直线PM 的斜率不存在时，直接计算可得，由对称性PN 的结论也可得． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c .知，b c a =，. 设圆C '的半径为r，则r ab ，2=，解得b =∴a =∴椭圆C 的方程为22163x y +=（2）∵M N ，关于原点对称，PM PN =，∴OP MN ⊥. 设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+.由直线和椭圆方程联立得()2226x kx m ++=，即()222124260k x kmx m +++-=，∴12221224212621km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. ∵()11OM x y =，，()22OP x y =，，∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()222322021m k k --==+， ∴22220m k --=，2222m k =+， ∴圆C '的圆心O 到直线PM 的距离为221m r k ==+，∴直线PM 与圆C '相切.当直线PM 的斜率不存在时，依题意得()11,N x y --，()11,P x y -. 由PM PN=得1122x y =，∴2211x y =，结合2211163x y +=得212x =，∴直线PM 到原点O 的距离都是2， ∴直线PM 与圆C '也相切. 同理可得，直线PN 与圆C '也相切. ∴直线PM 、PN 与圆C '相切【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，考查直线与圆的位置关系．直线与椭圆相交，一般采取设而不求思想，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，设直线方程y kx m =+，由直线方程与椭圆方程联立，消元后用韦达定理得1212,x x x x +，把这个结论代入其他条件求解．21．已知函数()21x x f x e-=（e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的零点0x ，以及曲线()y f x =在0x x =处的切线方程；（2）设方程()f x m =（0m >）有两个实数根1x ，2x ，求证：121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）01x =±，()21y x e=-- （2）证明见解析 【解析】（1）由()0f x =求得函数零点，由导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导函数研究出函数的单调性，只有在11x -<<时，()0f x >，因此12,(1,1)x x ∈-，考查（1）中切线，先证明()2(1)f x e x <+（11x -<<），只要构造函数()112x x g x e +-=+在[]1 1x ∈-，上单调递增，易得证，方程2(1)m e x =+的解为112m x e'=-，11x x '<（不妨设12x x <，则12111x x -<<<），要证不等式变形为证明2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-，由2221x x m e -=，222211x x x e -≤-，构造函数，结合导数知识可证．【详解】（1）由()210x x f x e-==，得1x =±，∴函数的零点是±1. ()221x x x f x e --'=，()12f e '-=，()10f -=.曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()21y e x =+.()21f e '=-，()10f =，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()21y x e =-- （2）()221xx x f x e --'=.当(() 112 x ∈-∞++∞，，时，()0f x '>；当(1x ∈时，()0f x '<.∴()f x 的单调递增区间为(() 1 1-∞+∞，，，单调递减区间为(1. 由（1）知，当1x <-或1x >时，()0f x <；当11x -<<时，()0f x >.下面证明：当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 当()1 1x ∈-，时， ()()()21112121002x x x x e x f x e x e e+--+>⇔++>⇔+>. 易知，()112x x g x e +-=+在[]1 1x ∈-，上单调递增， 而()10g -=， ∴()()10g x g >-=对()1 1x ∀∈-，恒成立， ∴当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 由()21y e x y m ⎧=+⎨=⎩得12m x e =-.记112m x e'=-.不妨设12x x <，则12111x x -<<<， ∴121221212m x x x x x x x e ⎛⎫''-<-=-=-- ⎪⎝⎭. 要证121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭，只要证2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-. 又∵2221x x m e -=，∴只要证222211x x x e -≤-，即()()()222110x x e x -⋅-+≤.∵()21x ∈，即证()2210x e x -+≥. 令()()()11x x x e x x e ϕϕ'=-+=-，.当()1 0x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ为单调递减函数；当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ为单调递增函数.∴()()00x ϕϕ≥=，∴()2210x e x -+≥， ∴121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的零点，考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式．本题中不等式的证明中对根12,x x 的处理采取了两种不同的方法，设12x x <，由函数知识得12111x x -<<<<，1x 利用y m =与切线2(1)y e x =+的交点横坐标1x '＝12m e -放缩为证明21(1)2122m x m e e ⎛⎫--<-+ ⎪⎝⎭，2x 直接用y m =与()f x m =的解来表示，再结合函数知识获得证明，转化与化归思想在这里得到进一步的体现．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为31x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点M N ，，点A 的坐标为（3，1），求AM AN +.【答案】（1）()()222313x y -+-=（2）【解析】()1利用极坐标与直角坐标的互化公式:222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===即可求解;()2联立直线l 的方程和曲线C 的方程,整理化简得到关于t 的一元二次方程,由题知点A 在直线l 上,利用参数方程中参数的几何意义及一元二次方程中的韦达定理即可求出AM AN +的值.【详解】()1因为曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==∴2246x y x y +=+，化简得,曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=. （2）把直线3:1x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C得22121322t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.∵(2320∆=-+>，所以方程280t --=有两个不等实根，设12t t ，为方程的两个实数根，由韦达定理可得,12t t +=128t t =-，∴12t t ，为异号，又∵点A （3，1）在直线l 上，由参数方程中参数的几何意义可得,1212AM AN t t t t +=+=-=.所以AM AN +=【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程中参数的几何意义等知识，考查学生的运算能力、推理论证能力；其中正确掌握参数方程中参数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题. 23．已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值.【答案】（1）6m =（2）32【解析】()1利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于m 的方程,求出m 的值即可;()2由()1知6m =可得,212a b c ++=，利用三个正数的基本不等式a b c ++≥,构造和是定值即可求出()()()113a b c ++-的最大值.【详解】（1）∵()2f x x m x =--+，()2222f x x m x ∴-=----+，所以不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，, 即为不等式20x m x ---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥的解集为(] 4-∞，, 即不等式()222x m x --≥的解集为(] 4-∞，， 化简可得,不等式()()2220m m x ++-≥的解集为(] 4-∞，， 所以242m +=,即6m =. （2）∵6m =，∴212a b c ++=.又∵0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-,212a b c ++=等号成立,即3a =，1b =，7c =时，等号成立，∴()()()113a b c ++-的最大值为32.【点睛】 本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a b c ++≥的灵活运用;其中利用212a b c ++=构造出和为定值即()()()1223a b c ++-+-为定值是求解本题的关键;基本不等式a b +≥的条件:一正二定三相等是本题的易错点;属于中档题.。
2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测理科数学试题本试卷4页，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集{|5}U x x =∈≤N ，2{|log 2}A x x =∈<N ，则U A =ðA ．{0,4,5}B ．{4,5}C ．{5}D ．{|45}x x ≤≤2．复数ii 1z =-的虚部为 A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-3．下图是国家统计局给出的2014年至2018年我国城乡就业人员数量的统计图表，结合这张图表，以下说法错误的是A ．2017年就业人员数量是最多的B ．2017年至2018年就业人员数量呈递减状态C ．2016年至2017年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓D ．2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长超过400万人 4．数列{}n a 为等差数列，且27126a a a ++=，则{}n a 的前13项的和为A ．52B ．1043C ．26D ．5235．已知向量a ()1,2=-，b ()4,m =，且⊥a b ，则-=a b就业人员（万人）2014年2015年2016年2017年2018年6．已知奇函数3(0)()()(0)x a x f x h x x ⎧+≥=⎨<⎩，则(2)h -的值为A ．109B ．109-C ．8D ．8-7．已知点F 是抛物线:C 24y x =的焦点，过点F 的直线交抛物线C 于点P ，交y 轴于点Q ，若FP FQ 2=，则点P 的坐标为A．1()2B ．(2,1)±C ．(1,2)± D．1(,28．西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸．203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为 A ．18 B ．36 C ．72 D ．144 9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为A ．163πB ．169πC ．323πD ．329π10．函数2(21)()2x x f x x+=⋅的图像大致为11．已知边长为2的正ABC △所在平面外有一点P ，4=PB ，当三棱锥ABC P -的体积最大时，三棱锥ABC P -外接球的表面积为A ．332πB ． π16C ．364π D ．3256π12．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>）的图象经过点,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),0π，且()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内不单调，则ω的最小值为A ．1B ．3C ．5D ．7x O yx O y xO yxOyA B CD侧视图俯视图正视图二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020年高三第一次六校联考数学(理)试卷 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．参考公式：·如果事件、互斥，那么柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数为纯虚数，若 (为虚数单位)，则实数的值为( )A ．B ．2C ．D ．2．已知正数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-010102y x y x y x ，则的最小值为（ ）A ．116B ．C ．D ．43．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( ) A ．455 B ．355 C ．255 D ．556．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．16B ．32C ．48 D ．1447．设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．8．已知函数， 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9．设分别为直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 531541（为参数）和曲线：上的点，则 的最小值为 ．10．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则(a 5＋a 7＋a 9)的值是 ．11．向平面区域Ω＝{(x ，y )|≤x ≤，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos x 下方的概率是 ．12．在平行四边形中，分别是的中点，，则 ．13．如图，已知P A 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ．若P A ＝23，∠APB ＝30°，则AE ＝________．14．函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是________．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数. （I ）求的单调递增区间；（II）求在上的最大值和最小值．16．（本题满分13分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响．（I）求该同学被淘汰的概率；（II）该同学在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望．17．（本题满分13分）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点．（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使⊥平面？证明你的结论．18．（本题满分13分）已知数列的每一项都是正数，且成等差数列，成等比数列（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数，都有．19．（本题满分14分）已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果过点的直线与椭圆交于两点（点与点不重合），①若是以为底边的等腰三角形，求直线的方程；②在轴上是否存在一点，使得，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（本题满分14分）设函数，，（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）当时，求的单调区间；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中）总能使得成立，则称函数具备性质“L”．试判断函数是否具备性质“L”，并说明理由．xx 高三六校联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分.9．； 10．－5； 11．2π； 12．； 13．1077； 14． 三、解答题15．(Ⅰ) =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x 当时，解得，的单调递增区间为.(Ⅱ)当时，，所以,f (x) 在上的最大值为1，最小值为16．2557251232582511=⨯+⨯+⨯=∴ξE 17．解：法一：（I ）以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，)0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=设 是平面BDE 的一个法向量，则由 ，得 取，得．∵，1,//PA n PA BDE PA BDE ∴⊥⊄∴，又平面平面（II ）由（Ⅰ）知是平面BDE 的一个法向量，又是平面的一个法向量． 设二面角的平面角为，由图可知 ∴故二面角的余弦值为． （Ⅲ）∵)1,1,0(),2,2,2(=-=∴0220,.PB DE PB DE =+-=∴⊥假设棱上存在点，使⊥平面，设，则，(2,2,22)DF DP PF λλλ=+=-由得22442(22)0λλλλ+--= ∴PBPF 31)1,0(31=∈=，此时λ即在棱上存在点，，使得⊥平面．法二：（I ）连接，交于，连接．在中，为中位线，,//平面．（II ）⊥底面, 平面⊥底面，为交线,⊥平面⊥平面，为交线, =，是的中点⊥⊥平面， ⊥ 即为二面角的平面角．设，在中,33cos ,26,,22=∠∴===BEC a BE a BC a CE 故二面角的余弦值为． （Ⅲ）由（II ）可知⊥平面，所以⊥，所以在平面内过作⊥，连EF ，则⊥平面． 在中,，，，．所以在棱上存在点，，使得⊥平面 ．18．19．20．。
安徽省合肥市2020年高三第一次教学质量检测（数学理科）doc 高中数学数学〔理科〕试题〔考试时刻：120分钟，总分值150分〕一．选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只 有一项为哪一项符合题目要求的，〕 1．不等式21x <的解集为A ．{|11}x x -<<B ．{|1}x x <C ．{|1}x x >-D ．{|11}x x x <->或2．复数21iz i=+的共轭复数z = A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -3．曲线2242110x y x y +---=上到直线3450x y ++=距离等于1的点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44．sin 2cos x x =，那么2sin 1x +=A ．65 B ．95 C ．43D ．535．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，100S >同时110S =，假设n k S S ≤对n N *∈恒成立，那么正整数k 构成集合为A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}6．将A ．B ．C ．D ．Ｅ排成一列，要求A ．B ．C 在排列中顺序为〝A ．B ．C 〞或〝C ．B ．A 〞〔能够不相邻〕，如此的排列数有〔 〕种。
A ．12B ．20C ．40D ．607．命题：〝假设120k a k b +=那么120k k ==〞是真命题，那么下面对,a b 的判定正确的选项是A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 一定垂直D ．a 与b正视图侧视图俯视图18．一个空间几何体的三视图及部分数据如下图，那么那个几何体的体积是A ．3B ．52C ．2D ．329．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为３cm ，把一枚半径为１cm 的硬币任意平掷在那个平面，那么硬币不与任何一条平行线相碰的概率是A ．14 B ．13 C ．12D ．2310．曲线1y x =与直线14x x ==、及x 轴所围成的区域的面积是A ．34B ．ln 2C ．2ln 2D ．ln21-11．如图，该程序运行后输出的结果为A ．14B ．16C ．18D ．6412．函数221,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，那么a 的取值范畴是 A．(,(1,2]-∞B．[1)[2,)-+∞C ．D ．)+∞二．填空题：〔本大题共4个小题，每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上〕 13．18(x 展开式中的常数项为___________. 14．写出命题：〝对任意实数m ，关于x 的方程x 2+x+m = 0有实根〞的否定为：___________________15．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，同时通过另一顶点的椭圆的离心率为________. 16．观看下表的第一列，填空三．解答题〔本大题共6个小题，共74分。
2020届安徽省六校教育研究会高三第一次调研考试数学试题（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的虚部为（）A. 5B.C.D. -53.如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以,,,为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C.D.4.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位5.如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知定义在R 上的函数满足：（1）；（2）；（3）时，.则大小关系（ ）A. B. C. D.7.已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F是C 上的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A.（-3，3） B.（-6，6）C.（）D.（）8.函数的图象可能是9.若函数的图象过点，则（ ）A. 点是的一个对称中心 B. 直线是的一条对称轴C. 函数的最小正周期是D. 函数的值域是10.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，线段交左支于点.若，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B.C.D.11.若平面向量，满足，且，，则（ ）A. 5B.C. 18D. 25 12.定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C.D.第II卷非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
绝密★启用前安徽省濉溪县普通高中2020届高三年级上学期第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}ln 0A x x =>，集合{}(1)(5)0B x N x x =∈--≤，则A B =( )A. {}0,1,2,3,4,5B. {}1,2,3,4,5C. {}1,2,3,4D. {}2,3,4,5 【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，正确求解集合,A B ，再根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}{}ln 01A x x x x =>=，集合{}{}(1)(5)01,2,3,4,5B x N x x =∈--≤=， 所以A B ={}2,3,4,5，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中根据对数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.下列函数中,在其定义域内是增函数且是奇函数的是（ ）A. ln ||y x x =B. cos y x x =C. 22x x y -=-D.x x y e e -=+【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的定义以及常见函数的单调性判断即可.【详解】对A, 因为ln ||ln y x x x x =--=-为奇函数,当0x >时ln y x x =,故'ln 1y x =+.故ln ||y x x =不为增函数.故A 错误.对B, 当0x =时0y =,当x π=时y π=-,故cos y x x =不是增函数.故B 正确. 对C, ()22x x y f x -==-,则()22()x x f x f x --=-=-为奇函数.又2x y =为增函数,2x y -=为奇函数.故22x x y -=-为增函数.对D, ()x x y f x e e -==+,则()()x x f x e e f x --=+=为偶函数.故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型.3.设a R ∈,则“sin y ax =周期为2π”是“1a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分与必要条件的判定判断即可.【详解】当1a =时sin y x =周期为2π成立.当sin y ax =周期为2π时,若2a =也满足.故“sin y ax =周期为2π”是“1a =”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查了必要充分条件的判定,属于基础题型.4.在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且1a =,c =6A π=,则B =（ ） A. 6πB. 3πC. 6π或2π D. 3π或。
