2016北京西城区高三一模数学文(word答案版)

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2016。

1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若A B B=，则实数a 的取值范围是（ ）(A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D)(,1)-∞-2。

下列函数中,值域为[0,)+∞的偶函数是( )（A)21y x =+ （B)lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x =3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =( ）（A ）AB AC- （B ）AB AC+ （C)1()2AB AC -（D)1()2AB AC +4．设命题p :“若e1x>，则0x >"，命题q :“若a b >，则11a b<"，则（ ） (A ）“p q ∧”为真命题 (B)“p q ∨”为真命题 （C ）“p ⌝”为真命题 （D ）以上都不对5。

一个几何体的三视图如图所示,那么 这个几何体的表面积是（ ) （A)1623+侧(左)视图正(主)视图22(B)16+ （C）20+ （D)20+6。

“0mn <"是“曲线221x y m n +=是焦点在x 轴上的双曲线”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7。

设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ )（A ）32 (B ）32-（C)14(D ）14-8。

某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示,其中x （单位:千米)为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ）（A ）12[]42y x =-+ （B ）12[]52y x =-+ （C)12[]42y x =++ （D)12[]52y x =++ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）2016.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．29n - 16- 11．3 33y x =±12．6 13．21 14．○1○4注：第10，11题第一问2分，第二问3分；第14题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为 sin 3sin B C =， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得 3b c =. ………………3分 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π3A =，7a =， ………………5分 得 227b c bc =+-，所以 222()733b b b +-=，解得 3b =. ………………7分 （Ⅱ）解：由π3A =，得2π3B C =-. 所以 2πsin()3sin 3C C -=. ………………8分 即31cos sin 3sin 22C C C +=， ………………11分 所以35cos sin 22C C =，所以3tan 5C =. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，………………2分 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有30100075040⨯=人. ……4分 （Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件A ， ………………5分由题意，得2325C 37()11C 1010P A =-=-=，因此至少有1人体育成绩在[60,70)的概率是710. ………………9分 （Ⅲ）解：a , b , c 的值分别是为79, 84, 90；或79, 85, 90. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由11CC D D 为矩形，得11//CC DD ，又因为1DD ⊂平面1ADD ，1CC ⊄平面1ADD ，所以1//CC 平面1ADD ， ……………… 2分 同理//BC 平面1ADD ， 又因为1BCCC C =，所以平面1//BCC 平面1ADD , ……………… 3分 又因为1BC ⊂平面1BCC ，所以1//BC 平面1ADD . ……………… 4分 （Ⅱ）解：由平面ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=，得AB BC ⊥，又因为1AB BC ⊥，1BC BC B =，所以AB ⊥平面1BCC ， 所以1AB CC ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，且底面ABCD 中AB 与CD 相交一点， 所以1CC ⊥平面ABCD ， 因为11//CC DD ， 所以1DD ⊥平面ABCD .过D 在底面ABCD 中作DM AD ⊥，所以1,,DA DM DD 两两垂直，以1,,DA DM DD 分 别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分则(0,0,0)D ，(4,0,0)A ，(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,2)C ，1(0,0,2)D ， 所以1(1,2,2)AC =-,1(4,0,2)AD =-. 设平面11AC D 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由10AC ⋅=m ，10AD ⋅=m ，得220,420,x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩令2x =，得(2,3,4)=-m . ………………8分易得平面1ADD 的法向量(0,1,0)=n . 所以329cos ,||||29⋅<>==-m n m n m n . 即平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值为32929. ………………10分 （Ⅲ）结论：直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………11分证明：设1(0)DD m m =>，1((0,1))DP DC λλ=∈， 由(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,)C m ，(0,0,0)D ，ABCDD 1C 1Pyxz得1(1,0,)BC m =-，1(3,2,)DC m =，1(3,2,)DP DC m λλλλ==，(3,2,0)CD =--， (33,22,)CP CD DP m λλλ=+=--. ………………12分 若1BC CP ⊥，则21(33)0BC CP m λλ⋅=--+=，即2(3)3m λ-=-， 因为0λ≠， 所以2330m λ=-+>，解得1λ>，这与01λ<<矛盾.所以直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：对()f x 求导，得1()(1)e e x x f x x a -'=+-， ………………2分 所以(1)2e e f a '=-=，解得e a =. ………………3分 故()e e x x f x x =-，()e x f x x '=. 令()0f x '=，得0x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：x(,0)-∞0 (0,)+∞()f x ' -0 +()f x↘↗所以函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞. ………………5分（Ⅱ）解：方程2()2f x kx =-，即为2(1)e 20x x kx --+=，设函数2()(1)e 2x g x x kx =--+. ………………6分 求导，得()e 2(e 2)x x g x x kx x k '=-=-．由()0g x '=，解得0x =，或ln(2)x k =. ………………7分 所以当(0,)x ∈+∞变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：x (0,ln(2))kln(2)k (ln(2),)k +∞()g x ' -0 +()g x↘↗所以函数()g x 在(0,ln(2))k 单调递减，在(ln(2),)k +∞上单调递增. ………………9分由2k >，得ln(2)ln 41k >>.又因为(1)20g k =-+<， 所以(ln(2))0g k <.不妨设12x x <（其中12,x x 为2()2f x kx =-的两个正实数根），因为函数()g x 在(0,ln 2)k 单调递减，且(0)10g =>，(1)20g k =-+<，所以101x <<. ………………11分 同理根据函数()g x 在(ln 2,)k +∞上单调递增，且(ln(2))0g k <， 可得2ln(2)ln 4x k >>，所以12214||ln 41ln ex x x x -=->-=，即 124||ln ex x ->. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，椭圆C ：221113x y m m+=， ………………1分所以21a m =，213b m=， 故12226a m ==，解得16m =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=. ………………3分因为222c a b =-=， 所以离心率63c e a ==. ………………5分 （Ⅱ）解：设线段AP 的中点为D ，因为||||BA BP =，所以BD AP ⊥， ………………7分 由题意，直线BD 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则点D 的坐标为003(,)22x y +，且直线AP 的斜率003AP y k x =-， ………………8分 所以直线BD 的斜率为031AP x k y --=， 所以直线BD 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-. ………………10分 令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-， 由2200162x y +=，得22063x y =-， 化简，得20023(0,)2y B y --. ………………11分 所以四边形OPAB 的面积OPAB OAP OAB S S S ∆∆=+200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯………………12分 2000233(||||)22y y y --=+ 0033(2||)22||y y =+003322||22||y y ⨯⨯≥ 33=.当且仅当00322y y =，即03[2,2]2y =±∈-时等号成立. 所以四边形OPAB 面积的最小值为33. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离为7. ………………2分 （Ⅱ）解：设1a p =，其中0p ≠，且1p ≠±.由111n n n a a a ++=-，得211p a p +=-，31a p=-，411p a p -=+，5a p =，所以15a a =，因此A 中数列的项周期性重复，且每隔4项重复一次. ………………4分 所以{}n b 中，432k b -=，423k b -=-，4112k b -=-，413k b =（*k ∈N ），所以{}n c 中，433k c -=，422k c -=-，4113k c -=-，412k c =（*k ∈N ）. ……………5分由111||||k ki i i i i i b c b c +==--∑∑≥，得项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大.由417||3i i i b c =-=∑， ………………6分 得34564864117||||86420163i i i ii i b c b c ⨯==-=-=⨯=∑∑.所以当3456m <时，1||2016mi i i b c =-<∑.故m 的最大值为3455. ………………8分 （Ⅲ）证明：假设T 中的元素个数大于或等于17个. 因为数列{}n a 中，0i a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组123,,)(a a a 有且只有8个：,0,0)(0，,0,0)(1，,1,0)(0，,0,1)(0，,1,0)(1，,0,1)(1，,1,1)(0，,1,1)(1.那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的123,,a a a . ………………10分设这三个数列分别为1234567,,,,,,{}n c c c c c c c c ：；1234567,,,,,,{}n d d d d d d d d ：；123456,,,,,,{}n f f f f f f f f ：，其中111d f c ==，222d f c ==，333d f c ==.因为这三个数列中每两个的距离大于或等于3，所以{}n c 与{}n d 中，(4,5,6,7)i i c d i ≠=中至少有3个成立.不妨设445566,,c d c d c d ≠≠≠.由题意，得44,c d 中一个等于0，而另一个等于1.又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立， 同理，得55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立，所以“(4,5,6)i i f c i ==中至少有两个成立”或“(4,5,6)i i f d i ==中至少有两个成立”中必有一个成立.所以71||2i i i f c =-∑≤和71||2i i i f d =-∑≤中必有一个成立.这与题意矛盾，所以T 中的元素个数小于或等于16. ………………13分。

绝密★启用前2016届北京市西城区高三上学期期末考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：152分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、某市乘坐出租车的收费办法如下： 不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0．5千米则不收费，若其大于或等于0．5千米则按1千米收费）； 当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中（单位：千米）为行驶里程，（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x 的最大整数，则图中①处应填（ ）（A）（B）（C）（D）2、设，满足约束条件若的最大值与最小值的差为7，则实数（）A． B． C． D．3、“”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4、一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）ArrayA． B．C． D．5、设命题p：“若，则”，命题q：“若，则”，则（）A．“”为真命题B．“”为真命题C．“”为真命题D．以上都不对6、设是所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．7、下列函数中，值域为的偶函数是（）C． D．8、设集合，集合，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：）满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时．①该食品在的保鲜时间是_____小时；②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______．（填“是”或“否”）10、在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若，，，则____；ABC 的面积为____．11、已知函数的部分图象如图所示，若不等式的解集为，则实数的值为____．12、某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：，，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2．5个小时的有_____人．13、若抛物线的焦点在直线上，则实数____；抛物线C 的准线方程为 ．14、已知复数满足，那么．三、解答题（题型注释）15、已知函数，直线．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由．16、已知椭圆:的离心率为，点在椭圆C 上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆的相交于不在坐标轴上的两点，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．17、甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：（1）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求的值；（2）如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，求的概率；（3）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）18、如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,,分别为的中点，点在线段上．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积．19、已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数的单调增区间．20、已知数列是等比数列，并且是公差为的等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，记为数列的前n项和，证明：．参考答案1、D2、C3、B4、B5、B6、D7、C8、D9、①4 ，②是10、，11、112、913、，14、15、（Ⅰ）极小值，无极大值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点．16、（Ⅰ）；（Ⅱ）当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值．17、（Ⅰ）15；（Ⅱ）；（Ⅲ）的可能取值为，，．18、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）24．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）增区间为，．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．【解析】1、试题分析：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0．5千米则不收费，若其大于或等于0．5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x＞4时，所收费用y=12+[x﹣4+]×2+1=，故选：D考点：程序框图；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．2、试题分析：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（m﹣1，m），化z=x+3y，得．由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：m=．故选：C．考点：简单线性规划．3、试题分析：“曲线是焦点在x轴上的双曲线”，则，，但当时，可能有，此时双曲线的焦点在轴上，因此“”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的必要而不充分条件．故选B．考点：充分必要条件4、试题分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，其底面面积为：×（1+2）×2=3，底面周长为：2+2+1+=5+，高为：2，故四棱柱的表面积S=2×3+（5+）×2=，故选：B考点：由三视图求面积、体积．5、试题分析：命题p：“若，则”是真命题，命题q：“若a＞b，则”，如：a=1，b=﹣1，故命题q是假命题，故p∨q是真命题，故选：B．考点：复合命题的真假．考点：6、试题分析：，又，所以，即．故选D．考点：向量的线性运算．7、试题分析：B，D不是偶函数，A是偶函数，但值域为，C是偶函数，值域也是．故选C．考点：函数的奇偶性与值域．8、试题分析：由，知，所以，故选D．考点：集合的运算，集合的关系．9、试题分析：①∵食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣，∴，当x=8时，t=4，故①该食品在6℃的保鲜时间是4小时；②到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故填是．考点：命题的真假判断与应用．10、试题分析：由已知，又是三角形的内角，所以，所以，则，，．考点：余弦定理，三角形的面积．11、试题分析：由题意，，所以，．考点：函数的单调性．12、试题分析：由直方图知抽取的10人中完成作业的时间多于2．5个小时的有人，因此完成作业的时间小于2．5个小时的有10－1＝9人．考点：频率分布直方图13、试题分析：抛物线的焦点是，由题意的，，准线方程为．考点：抛物线的几何性质．14、试题分析：由z（1+i）=2﹣4i，得．故答案为：﹣1﹣3i．考点：复数代数形式的乘除运算．15、试题分析：（Ⅰ）先求出函数定义域再求导，得令，解得的值，画出当变化时，与的变化情况表所示，可得函数的单调区间，从而得到函数有极小值，无极大值（Ⅱ）对于是否存在问题，先假设存在某个，使得直线与曲线相切，先设出切点，再求，求得切线满足斜率，又由于过点，可得方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意，直线都不是曲线的切线.（Ⅲ）写出“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.由分离系数法得，令，得，其中，且.考察函数，其中，求导得到函数的单调性，从而得到方程根的情况，命题得证试题解析：函数定义域为，求导，得，令，解得．当变化时，与的变化情况如下表所示：所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，所以函数有极小值，无极大值．（Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切，设切点为，又因为，所以切线满足斜率，且过点，所以，即，此方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意，直线都不是曲线的切线.（Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.由方程，得.令，则，其中，且.考察函数，其中，因为时，所以函数在单调递增，且.而方程中，，且.所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.考点：导数的单调性与导数及导数的几何意义.16、试题分析：（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1•k2为定值即可．试题解析：（Ⅰ）由题意，得，a2=b2+c2，又因为点在椭圆C上，所以，解得a=2，b=1，，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5．证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2（r＞0）．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m．由方程组得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以，即m2=4k2+1．由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，则．设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，，设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以，将m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2为定值，则，即r2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值．当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=±2，此时，圆x2+y2=5与l的交点P1，P2也满足．综上，当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值．考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．17、试题分析：（1）由题意，得中至少有一个不小于，由此能得到的值；（2）设“从甲乙的局比赛中随机各选取局，且得分满足”为事件，记甲的局比赛为，各局的得分分别为；乙局的局比赛为，各局的得分分别是，利用列举法能求出的概率；（3）由题设条件能求出的可能的取值为.试题解析：（1）由题意得，即.∵在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，∴至少有一个小于6，又∵，且，∴，∴.（2）设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件，记甲的4局比赛为，各局的得分分别是6,6,9,9；乙的4局比赛为，各局的得分分别是7,9,6,10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，.而事件的结果有8种，它们是：，，，，，，，，∴事件的概率.（3）的所有可能取值为6，7，8.考点：古典概型及其概率的求解．18、试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD，即可说明PA⊥EF，然后证明EF⊥平面PAC．（Ⅱ）证明MF∥PA，然后证明MF∥平面PAB，EF∥平面PAB．即可证明平面MEF∥平面PAB，从而证明ME∥平面PAB．（Ⅲ）四棱锥的底面面积是四边形面积的一半，高为点到平面的距离，实际上有已知得，因此点到平面的距离与点到平面的距离的距离之比为，而到平面的距离的距离就是的长，由此体积易得．试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，所以．由分别为的中点，得，所以．因为侧面底面，且，所以底面．又因为底面，所以．又因为，平面，平面，所以平面．（Ⅱ）证明：因为为的中点，分别为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面．同理，得平面．又因为，平面，平面，所以平面平面．又因为平面，所以平面．（Ⅲ）在中，过作交于点（图略），由，得，又因为，所以，因为底面，所以底面，所以四棱锥的体积．… 14分考点：线面垂直的判断，线面平行的判断，几何体的体积．19、试题分析：（Ⅰ）解决这类问题，要利用三角公式把函数化为形式，本题中首先用二倍角公式化角为，再由两角和的正弦公式化为一个三角函数形式：，由公式可得最小正周期，（Ⅱ）由正弦函数的性质可得所求单调增区间．试题解析：（Ⅰ），所以函数的最小正周期．（Ⅱ）由，，得，所以函数的单调递增区间为，．所以当时，的增区间为，．（注：或者写成增区间为，．）考点：三角函数的周期，单调性．20、试题分析：（Ⅰ）要求等比数列的通项公式，可先求得首项和公比，因此要列出两个方程，这可由是公差为的等差数列得到，解得后可得通项公式；（Ⅱ）数列是由等比数列的偶数项形成的，因此它也是等比数列，公式为，由等比数列前项和公式可得，从而证得题设不等式．试题解析：（Ⅰ）设等比数列的公比为，因为是公差为的等差数列，所以即解得．所以．（Ⅱ）证明：因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以．考点：等比数列的通项公式，等比数列的前项和．。

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若A B B = ，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(,1)-∞-2. 下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x =3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC = ，则AM =（ ）（A ）AB AC - （B ）AB AC + （C ）1()2AB AC - （D ）1()2AB AC +4．设命题p ：“若e 1x >，则0x >”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为真命题（C ）“p ⌝”为真命题 （D ）以上都不对5. 一个几何体的三视图如图所示，那么 这个几何体的表面积是（ ） （A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+侧(左)视图正(主)视图 俯视图6. “0mn <”是“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ） （A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14-8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中1处应填（ ）（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____.11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5,2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.12．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC 的面积为____.14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.1 该食品在8C的保鲜时间是_____小时；2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了a此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，并且123,1,a a a +是公差为3-的等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：163n S <.16．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3)2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠= ,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积.FADPM18．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：甲 6 6 99乙79xy（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x y +的值；（Ⅱ）如果6x =，10y =，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求b a ≥的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）19．（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>，点(1,A 在椭圆C 上，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值.20．（本小题满分13分）已知函数21()2f x x x =+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．6 3x =- 11. 9 12．113．7914．4 是 注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为123,1,a a a +是公差为3-的等差数列，所以213213,(1)3,a a a a +=-⎧⎨=+-⎩………………2分即112114,2,a q a a q a q -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩………………3分解得118,2a q ==. ……………… 5 分所以114118()22n n nn a a q ---==⨯=．……………… 7分 （Ⅱ）证明：因为122214n n n n b a b a ++==， 所以数列{}n b 是以124b a ==为首项，14为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分16116[1()]343n =-<. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =2sin cos 1)x x x =-1sin 222x x=+ ……………… 4分πsin(2)3x =+， (6)分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ……………… 8分（Ⅱ）解：由22ππππ2π+232k k x -+≤≤，k ∈Z ， ……………… 9分得5ππππ+1212k k x -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为[5ππππ+]1212k k -,，k ∈Z . ……………… 11分所以当(0,π)x ∈时，()f x 的增区间为π(0]12,，7π[,π)12. ……………… 13分（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12. ）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以//MF 平面PAB . ………………7分 同理，得//EF 平面PAB .又因为=MF EF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ， 所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………10分（Ⅲ）解：在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略）， 由12PM MD =，得23MN PA =， 又因为6PA =，所以4MN =， ……………… 12分因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ， 所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDF V S MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯= . …… 14分18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得79669944x y ++++++>，即14x y +>. (2)分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零， 所以,x y 中至少有一个小于6， (4)F CADPMB E分又因为10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ，所以15x y +≤， 所以15x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足b a ≥”为事件M ， ……………… 6分记甲的4局比赛为1A ，2A ，3A ，4A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为1B ，2B ，3B ，4B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：11(,)A B ， 12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B . ……………… 7分而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ， ……………… 8分因此事件M 的概率81()162P M ==. ……………… 10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， ……………… 2分又因为点(1,2A 在椭圆C 上， 所以221314a b +=， ……………… 3分解得2a =，1b =，c =所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (5)分（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 易得直线1OP ，2OP 的斜率之积1214k k ⋅=-. …………… 6分当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+. …………… 7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=， ………………8分因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以22(8)4(41kmk m ∆=-+-=，即2241m k =+. ……………… 9分由方程组22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(1)250k x kmx m +++-=， ………………10分设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221kmx x k -+=+，212251m x x k -⋅=+， ……………… 11分所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅=== 222222222252511551m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分将2241m k =+代入上式，得212211444k k k k -+⋅==--. 综上，12k k ⋅为定值14-. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠， ……………… 1分求导，得32()2f x x '=-， ……………… 2分令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，……………… 3分所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值． ……………… 4分（Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切， ……………… 5分设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x'=-， 所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ， 所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分 即2031x =-，此方程显然无解， 所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线. ……………… 8分（Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x +=-的根的个数”.由方程2121x kx x +=-，得3112k x x=++. ……………… 9分 令1t x=，则32k t t =++，其中t ∈R ，且0t ≠. 考察函数3()2h t t t =++，其中t ∈R ， 因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()h t ∈R . ………………11分而方程32k t t =++中， t ∈R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一 根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点. ……………… 13分。

北京市西城区2016年高三一模试卷数 学（文科）2016.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合2{|}4A x x x =≤，集合{1,2,3,4}B =--，则AB =（ ）（A ）{1,2}- （B ）{2,4} （C ）{3,1}-- （D ）{1,2,3,4}--2. 设命题p ：0,sin 21xx x ∃>>-，则⌝p 为（ ）（A ）0,sin 21x x x ∀>-≤ （B ）0,sin 21xx x ∃><- （C ）0,sin 21x x x ∀><- （D ）0,sin 21x x x ∃>-≤3. 如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）（A ）()y x f x =+ （B ）()y xf x = （C ）2()y x f x =+ （D ）2()y x f x =4．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示. 若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）（A ）{2} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{2,3}5. 在平面直角坐标系xOy 中，向量OA ＝(-1, 2)，OB ＝(2, m ) ， 若O , A , B 三点能构成三角形，则（ ）（A ）4m =- （B ）4m ≠- （C ）1m ≠ （D ）m ∈R6. 执行如图所示的程序框图，若输入的,A S 分别为0, 1，则输出的S =（ ） （A ）4 （B ）16 （C ）27 （D ）367. 设函数12()log f x x x a =+-，则“(1,3)a ∈”是 “函数()f x 在(2,8)上存在零点”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件甲队乙队 890 1m82 3（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元. 已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误．．的是（ ） （A ）最多可以购买4份一等奖奖品 （B ）最多可以购买16份二等奖奖品 （C ）购买奖品至少要花费100元 （D ）共有20种不同的购买奖品方案第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在复平面内，复数1z 与2z 对应的点关于虚轴对称，且11i z =-+，则12z z =____.10．在△ABC中，b =3a =，tan C c =_____. 11．若圆22(2)1x y -+=与双曲线C ：2221(0)x y a a-=>的渐近线相切，则a =_____；双曲线C 的渐近线方程是____.12．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____.13. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元.14. 设函数24,41,()log ,04,x f x x x x ⎧+⎪=⎨⎪<<⎩≥ 则(8)f =____；若()()f a f b c ==，()0f b '<，则侧(左)视图正(主)视图俯视图,,a b c 的大小关系是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）设函数2π()sin cos sin ()4f x x x x =--.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数π()6f x -在π[0,]2上的最大值与最小值.16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的公差0d <，2610a a +=，2621a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n a n b =，记数列{}n b 前n 项的乘积．．为n T ，求n T 的最大值.17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1BB ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=，AC BD ⊥. （Ⅰ）求证：1//B C 平面11ADD A ； （Ⅱ）求证：1AC B D ⊥；（Ⅲ）若12AD AA =，判断直线1B D 与平面1ACD 是否垂直？并说明理由.18．（本小题满分13分）D 1D AC 1 A 1 B 1B C某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a b c ，，，且分别在[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中，其中a b c ∈N ，，．当数据a b c ，，的方差2s 最大时，写出a b c ，，的值.（结论不要求证明）（注：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：221(0)3x y m m m+=>的长轴长为O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ） 设动直线l 与y 轴相交于点B ，点(3,0)A 关于直线l 的对称点P 在椭圆C 上，求||OB 的最小值.各分数段人数20．（本小题满分13分）已知函数2()ln 1f x x x ax =+-，且(1)1f '=-. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若对于任意(0,)x ∈+∞，都有1()f x mx --≤，求m 的最小值；（Ⅲ）证明：函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方.北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科）2016.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2- 10．211.y = 12．23313．1464 14．32b ac >≥ 注：第11，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()sin cos sin ()4f x x x x =--π1cos(2)12sin 222x x --=-……………… 4分111πsin 2cos(2)2222x x =-+- 111sin 2sin 2222x x =-+1sin 22x =-. (6)分所以函数()f x 的最小正周期为π. (7)分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得ππ1()sin(2)632f x x -=--. (8)分因为π02x ≤≤，所以ππ2π2333x --≤≤，所以πsin(2)13x -≤.所以1π11sin(2)2322x ---≤≤.……………… 11分且当5π12x =时，π()6f x -取到最大值12； 当0x =时，π()6f x -取到最小值12-.……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）（Ⅰ）解：由题意，得1111()(5)10,()(5)21,a d a d a d a d +++=⎧⎨++=⎩ (3)分解得18,1,a d =⎧⎨=-⎩ 或12,1a d =⎧⎨=⎩（舍）. (5)分所以1(1)9n a a n d n =+-=-． ……………… 7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得92nn b -=.所以12122222n na a a a a a n T +++=⨯⨯⨯=.所以只需求出12n n S a a a =+++的最大值. (9)分由（Ⅰ），得2121(1)17(1)222n n n n n S a a a na n -=+++=+⨯-=-+.因为2117289()228n S n =--+， (11)分所以当8n =，或9n =时，n S 取到最大值8936S S ==.所以n T 的最大值为36892T T ==. (13)分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为//AD BC ，BC ⊄平面11ADD A ，AD ⊂平面11ADD A ， 所以//BC 平面11ADD A . ………… 2分因为11//CC DD ，1CC ⊄平面11ADD A ，1DD ⊂平面11ADD A ， 所以1//CC 平面11ADD A . 又因为1BC CC C =，所以平面11//BCC B 平面11ADD A . ………… 3分 又因为1B C ⊂平面11BCC B ，所以1//B C 平面11ADD A . ……………… 4分（Ⅱ）证明：因为1BB ⊥底面ABCD , AC ⊂底面ABCD ，所以1BB AC ⊥. ……………… 5分又因为AC BD ⊥,1BB BD B =,所以AC ⊥平面1BB D . (7)分又因为1B D ⊂底面1BB D ，所以1AC B D ⊥. ……………… 9分（Ⅲ）结论：直线1B D 与平面1ACD 不垂直. ……………… 10分证明：假设1B D ⊥平面1ACD ，由1AD ⊂平面1ACD ，得11B D AD ⊥. (11)D 1D AC 1 A 1 B 1B C分由棱柱1111ABCD A BC D -中，1BB ⊥底面ABCD ，90BAD ∠= 可得111A B AA ⊥，1111A B A D ⊥，又因为1111AA A D A =，所以11A B ⊥平面11AA D D ，所以111A B AD ⊥. ……………… 12分又因为1111A B B D B =，所以1AD ⊥平面11A B D ，所以11AD A D ⊥. ……………… 13分这与四边形11AA D D 为矩形，且1=2AD AA 矛盾，故直线1B D 与平面1ACD 不垂直. ……………… 14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，………………2分所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有30100075040⨯=人. ……4分（Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件M ， ………………5分记体育成绩在[60,70)的数据为1A ，2A ， 体育成绩在[80,90)的数据为1B ，2B ，3B ， 则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种， 它们是：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ， 21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B . 而事件M 的结果有7种，它们是：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ， 21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ， (7)分因此事件M 的概率7()10P M =. ………………9分（Ⅲ）解： a ，b ，c 的值分别是为70，80，100. ………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为椭圆C ：2213x y m m+=，所以23a m=，2b m=， (1)分故2a =2m =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=. (3)分因为2c ，所以离心率c e a ==. ………………5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则线段AP 的中点D 的坐标为003(,)22x y +， 且直线AP 的斜率003AP y k x =-， ………………7分由点(3,0)A 关于直线l 的对称点为P ，得直线l AP ⊥，故直线l 的斜率为0031AP x k y --=，且过点D ， 所以直线l 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-， ………………9分令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-，由2200162x y +=，得220063x y =-， 化简，得20023(0,)2y B y --. ………………11分所以20023||||2y OB y --= 003||2||y y =+≥= ………………13分当且仅当003||2||y y =，即0[y =时等号成立. 所以||OB……………… 14分20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：对()f x 求导，得()1ln 2f x x ax'=++， (1)分 所以(1)121f a '=+=-，解得1a =-，所以2()ln 1f x x x x =--. …………………3分（Ⅱ）解：由1()f x mx --≤，得20ln x x x mx --≤， 因为(0,)x ∈+∞，所以对于任意(0,)x ∈+∞，都有ln m x x -≤. …………………4分设()ln g x x x =-，则 1()1g x x'=-. 令 ()0g x '=，解得1x =. …………………5分当x 变化时，()g x 与()g x '的变化情况如下表：所以当1x =时，max ()(1)1g x g ==-. …………………7分因为对于任意(0,)x ∈+∞，都有()m g x ≤成立， 所以 1m -≥.所以m 的最小值为1-. …………………8分（Ⅲ）证明：“函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方”等价于“2()e 210x f x x x x -+++<”， 即要证ln e 20x x x x x -+<， 所以只要证ln e 2x x <-.由（Ⅱ），得1()ln g x x x -=-≤，即1ln x x -≤（当且仅当1x =时等号成立）.所以只要证明当(0,)x ∈+∞时，1e 2x x -<-即可. …………………10分 设()(e 2)(1)e 1x x h x x x =---=--，所以()e 1x h x '=-， 令()0h x '=，解得0x =.由()0h x '>，得0x >，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数. 所以()(0)0h x h >=，即1e 2x x -<-.所以ln e 2x x <-.故函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方. …………………13分。

北京市西城区2016 年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科）2016.4 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40分．1．B2．A3．B4．C5．B6．D7．A8．D二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30分．9．-210．211．12．233 13．1464 14．32y = ±3x3 b > a > c注：第11，14 题第一问2 分，第二问3 分．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．15．（本小题满分13 分）33 3 3 ⎪ 【解析】⑴因为 f (x ) = sin x cos x - sin 2 ⎛ x - π ⎫4 ⎪ ⎝ ⎭1 - cos ⎛2x - π ⎫= 1 sin 2x -⎝ 2 ⎭ （4 分）2 2= 1 sin 2x - 1 + 1 cos ⎛ 2x - π ⎫ 2 2 2 2 ⎪⎝ ⎭= 1 sin 2x - 1 + 1sin 2x 2 2 2= sin 2x - 1 ．（6 分） 2所以函数 f ( x ) 的最小正周期为n ． （7 分）⑵由⑴，得 f ⎛ x - π ⎫ = sin ⎛2x - π ⎫ - 1 ．（8 分）6 ⎪ 3 ⎪ 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭因为 0 ≤ x ≤ π．2所以 - π ≤ 2x - π ≤ 2π，333所以 - ≤ sin ⎛2x - π ⎫ ≤1． 2 3 ⎪ ⎝ ⎭所以 - - 1 ≤ sin ⎛2x - π ⎫ - 1 ≤ 1 ．（11 分）2 23 ⎪ 2 2⎝ ⎭且当 x =5π 时， f ⎛ x - π ⎫ 取到最大值 1； 12 6 ⎪ 2⎝ ⎭当 x = 0 时， f ⎛ x - π ⎫取到最小值 - - 1 ．（13 分）6 ⎪ 2 2 ⎝ ⎭16．（本小题满分 13 分）⎧⎪(a 1 + d ) + (a 1 + 5d ) = 10⊂【解析】⑴由题意，得 ⎨⎪⎩(a 1 + d )(a 1 + 5d ) = 21.（3 分）⎩ ⎩ 解得 ⎧a 1 = 8⊂ ⎨d = -1. 或 ⎧a 1 = 2⊂ ⎨d = 1 （舍）． （5 分）所 以 a n = a 1 + (n - 1) d = 9 - n ． （ 7分）⑵由⑴，得 b n = 29-n ．所以 T n = 2a 1⨯ 2a 2⨯… ⨯ 2a n= 2a 1+ a 2+… + a n．所 以 只 需 求 出 S n = a 1 + a 2 +… 分）+ a n 的 最 大 值 ．（ 9由⑴，得 S = a + a +… + a = na n (n -1) n 2 17+ ⨯ (-1) = - + n ．n 1 2n 1 2 2 2因 为 S = - 1 ⎛ n - n 2 17 ⎫ 2 ⎪ + 289 ． （ 118 ⎝⎭ 分）所以当 n = 8 ，或 n = 9 时， S n 取到最大值 S 8 = S 9 = 36 ． 所以 T n 的最大值为 T 8 = T 9 = 2 ．（13 分）17．（本小题满分 14 分）【解析】⑴因为 AD ∥ BC ， BC ⊄ 平面 ADD 1 A 1 ， AD ⊂ 平面 ADD 1 A 1 ,所以 BC ∥平面 ADD 1 A 1 ．（2 分）因为 CC 1 ∥ DD 1 ， CC 1 ⊄ 平面 ADD 1 A 1 ， DD 1 ⊂ 平面 ADD 1 A 1 ， 所以 CC 1 ∥平面 ADD 1 A 1 ． 又因为 BC CC 1 = C ，所 以 平 面 BCC 1B 1 ∥平 面 分）ADD 1 A 1 ． （ 3又因为 B 1C ⊂ 平面 BCC 1B 1 ．2 36A 1D 1B 1DBC所 以 B 1C ∥平 面 分）ADD 1 A 1 ． （ 4⑵因为 BB 1 ⊥底面 ABCD ， AC ⊂ 底面 ABCD ，所 以 BB 1 ⊥ AC ．（ 5分）又因为 AC ⊥ BD ， BB 1 ∩BD = B ，所 以 AC ⊥平 面 分）BB 1D ． （ 7又因为 B 1D ⊂ 底面 BB 1D ．所 以 AC ⊥ B 1D ． （ 9分）⑶直线 B 1D 与平面 ACD 1 不垂直．（10 分）证明：假设 B 1D ⊥平面 ACD 1 ，由 AD 1 ⊂ 分）平 面 ACD 1 ， 得 B 1D ⊥ AD 1 ．（ 11由棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， BB 1 ⊥底面 ABCD ， ∠BAD = 90︒可得 A 1B 1 ⊥ AA 1 ， A 1B 1 ⊥ A 1D 1 ．又因为 AA 1 ∩ A 1D 1 = A 1 ．所以 A 1B 1 ⊥平面 AA 1D 1D ．所 以 A 1B 1 ⊥ AD 1 ．（ 12分）又因为 A 1B 1 ∩B 1D = B 1 ．C 1A所以 AD 1 ⊥平面 A 1B 1D ．所 以 AD 1 ⊥ A 1D ． （ 13分）这与四边形 AA 1D 1D 为矩形，且 AD = 2 A A 1 矛盾．故直线 B 1D 与平面 ACD 1 不垂直． （ 14分）18．（本小题满分 13 分）【解析】⑴由折线图，知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人． （2 分）所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有1000 ⨯ 30= 750 人．40（ 5分）⑵设“至少有 1 人体育成绩在[60⊂ 70) ”为事件 M ．（5 分）记体育成绩在 [60⊂ 70) 的数据为 A 1 ， A 2 ，体育成绩在 [80⊂ 90) 的数据为 B 1 ， B 2 ， B 3 ，则从这两组数据中随机抽取 2 个，所有可能的结果有 10 种，它们 是 ： ( A 1 ⊂ A 2 ) ， ( A 1 ⊂ B 1 ) ， ( A 1 ⊂ B 2 ) ， ( A 1 ⊂ B 3 ) ， ( A 2 ⊂ B 1 ) ， ( A 2 ⊂ B 2 ) ， ( A 2 ⊂ B 3 ) ，(B 1 ⊂ B 2 ) ， (B 1 ⊂ B 3 ) ， (B 2 ⊂ B 3 ) ．而事件 M 的结果有 7 种，它们是： ( A 1 ⊂ A 2 ) ， ( A 1 ⊂ B 1 ) ， ( A 1 ⊂ B 2 ) ， ( A 1 ⊂ B 3 ) ， ( A 2 ⊂ B 1 ) ， ( A 2 ⊂ B 2 ) ， ( A 2 ⊂ B 3 ) ． （ 7分）因 此 事 件 M 的 概 率 P (M ) =分）7．（ 910⑶ a ， b ， c 的值分别是为 70，80，100．（13 分）19．（本小题满分 14 分）【解析】⑴因为椭圆 C ： x y 2 + = 1 ．3m m所 以 a 2 = 3m ， 分）b 2 = m ． （ 123m 6 ⎪故 2a = 2 = 2 ，解得 m = 2 ．所 以 椭 圆 C 的 方 程 为 x 2 y 2+ = 1 ．（ 3分） 因为 c = 6 2= 2 ． 所 以 离 心 率 e = c=a 6 ． （ 53分）⑵由题意，直线 l 的斜率存在，设点 P (x 0 ⊂则线段 AP 的中点 D 的坐标为 ⎛ x 0 + 3⊂ y 0 )( y 0 ≠ 0) ．y 0 ⎫ ．2 2 ⎪⎝ ⎭且 直 线 分）AP 的斜 率 k AP = y0 x 0 - 3 ． （ 7由点 A (3⊂ 0) 关于直线 l 的对称点为 P ，得直线 l ⊥ AP ．故直线 l 的斜率为 -1 k AP= 3 - x 0 ，且过点 D ． y 0所以直线 l 的方程为： y -y 0 = 3 - x 0 ⎛ x - x 0+ 3 ⎫9 分2 y 0 ⎝ 2 ⎭x 2 + y 2 - 9 ⎛ x 2 + y 2 - 9 ⎫ 令 x = 0 ，得 y = 0 0 ，则 B 0 ， 0 0⎪ ，2 y 0 ⎝ 2 y 0 ⎭x 2 y 2 由 0 + 0 = 1 ，得 x 2 = 6 - 3y 2 ，6 20 0⎛ -2 y 2 - 3 ⎫化简，得 B 0 ， ⎝ 0 2 y 0 ⎪ ．11 分⎭-2 y 2- 3所以 OB =2 y 03 = y 0 +≥ 2 a 2 - b 2 2 y 0y ×0 3 2 y 062 y62 6=13 分当且仅当y = 3，即y= ±∈ ⎡- ，2 ⎤ 时等号成立．0 0 2 ⎣⎦所以OB 的最小值为．14 分20．（本小题满分13 分）【解析】⑴对f ( x) 求导，得f '( x) = 1 + ln x + 2ax ， 1 分所以f '(1) = 1 + 2a = -1 ，解得a = -1 ，所以f ( x) = x ln x - x2 - 1． 3 分⑵由f ( x) - mx ≤-1 ，得x ln x - x2 - mx ≤ 0 ，因为x ∈(0 ，+ ∞) ．所以对于任意x ∈(0 ，+ ∞) ，都有ln x - x ≤设g ( x) = ln x - x ，则g'( x) = 1 - 1．xm ． 4 分令g'( x) = 0 ，解得x = 1 ． 5 分当x 变化时，g ( x) 与g'( x) 的变化情况如下表：x(0 ，1) 1 (1，+ ∞)g'( x) + 0 -g ( x) 极大值所以当x = 1时, ( )max() ．…………7分因为对于任意x ∈(0⊂+∞)，都有g(x)≤m成立．所以m ≥-1 ．所以m 的最小值为-1 ．…………8分⑶“函数y = f ( x) - x e x + x2 的图象在直线y = -2x +1 的下方”等价于“f ( x) - x e x + x2 + 2x +1 < 0 ”即要证x ln x - x e x + 2x < 0 ．所以只要证ln x < e x - 2 ．由⑵，得g (x)= ln x -x ≤-1 ，即ln x≤x-1（当且仅当x =1 时等号成立）．所以只要证明当x ∈(0⊂+∞)时，x-1<e x -2即可．…………10 分设h(x)=(e x - 2)-(x-1)= e x -x -1 ．所以h'( x) = e x -1 ．令h'( x) = 0 ，解得x = 0由h'(x)> 0 ，得x>0，所以h(x)在(0⊂+ ∞) 上为增函数．所以h( x) > h(0) = 0 ，即x -1 < e x - 2 ，所以ln x < e x - 2 ．故函数y = f ( x) - x e x + x2 的图象在直线y = -2x -1的下方．…………13分。

西城区高三统一测试数学（文科） 2017.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么U A B =ð（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ），(0, （B ），( （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+ （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A） （B ）6 （C） （D）8．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性 质P ．下列函数中，具有性质P 的是 （A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()f x 的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5 考前预估难度i P0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号 题号123 4 5 1 ×√ √ √ √2 √ √ √ √ ×3 √ √ √ √× 4 √ √ √ ××5 √ √√√ √6 √××√ × 7 ×√√√× 8 √ ×× × × 9 √ √ ××× 10√√√√×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2xf x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）；（Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．1211．(1,1)；212．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =． [ 2分]所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分]从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分]所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分]由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分]所以 1cos 2C =． [ 4分]因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分]（Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A = [ 9分]π)6A +． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以 当π3A =时，sin sin A B +取得最大值． [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度0.80.80.70.70.2[4分]所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题．[ 5分] （Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分]（Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分] 又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分]所以12PF PC =．[ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以 平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行．[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分]所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分]所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -．[ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分]所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分]所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP DF ⊥． [13分]因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-． 所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：全优试卷所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分]设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞， 所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>， 所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增， 所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分]所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =． [13分]。