北师大版2020版新一线高考文科数学一轮复习教学案：第2章第6节对数与对数函数含答案

学案8 对数与对数函数导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．对数的定义如果________________，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a ≠1)①Na a log ＝____； ②1log a ＝____；③N a a log ＝____；④a a log ＝____.(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝________________(a ，b 均大于零且不等于1)； ②b a log ＝ab log 1，推广d c b c b a log log log ∙∙＝________.(3)对数的运算法则如果a>0且a ≠1，M>0，N>0，那么①log a (MN)＝___________________________；②log a MN ＝______________________；③log a M n＝__________(n ∈R )； ④na M m log ＝n mlog a M . 34.反函数指数函数y ＝a x与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称． 自我检测1．(2010·四川)2log 510＋log 50.25的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．42．(2010·辽宁)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 的值为( ) A.10B ．10C ．20D ．100 3．(2009·辽宁)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x＋1)．则f (2＋log 23)的值为 ( )A.124B.112C.18D.384．(2010·安庆模拟)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足)(log 81x f >0的x 的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞)C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12)5．(2011·台州期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是______.探究点一 对数式的化简与求值 例1 计算：(1))32(log 32--；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (3)已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，求yx )223(log -.变式迁移1 计算：(1)log 2748＋log 212－12log 242－1；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.探究点二 含对数式的大小比较 例2 (1)比较下列各组数的大小．①log 323与log 565；②log 1.10.7与log 1.20.7.(2)已知log 12b <log 12a <log 12c ，比较2b,2a,2c的大小关系．变式迁移2 (1)(2009·全国Ⅱ)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a(2)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝a 21log ，(12)b ＝b 21log ，(12)c ＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <a0C ．c <a <bD ．b <a <c探究点三 对数函数的图象与性质例3 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．变式迁移3 (2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)分类讨论思想的应用例 (12分)已知函数f (x )＝log a (1－a x)(a >0，a ≠1)．(1)解关于x 的不等式：log a (1－a x)>f (1)；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f (x )图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于0.【答题模板】(1)解 ∵f (x )＝log a (1－a x)，∴f (1)＝log a (1－a )．∴1－a >0.∴0<a <1.∴不等式可化为log a (1－a x)>log a (1－a )．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a x >0，1－a x<1－a .，即⎩⎪⎨⎪⎧a x<1，a x >a .∴0<x <1. ∴不等式的解集为(0,1)．[4分](2)证明 设x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝)1(log 2x a a -－)1(log 1x a a -＝1211log x x a a a --.∵1－a x>0，∴a x<1.∴a >1时，f (x )的定义域为(－∞，0)；[6分]0<a <1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)．当0<a <1时，∵x 2>x 1>0，∴2x a <1xa .∴1211x x a a -->1.∴1211log x x a aa --<0. ∴f (x 2)<f (x 1)，即y 2<y 1.同理可证，当a >1时，也有y 2<y 1.[10分]综上：y 2<y 1，即y 2－y 1<0.∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0.∴直线AB 的斜率小于0.[12分] 【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a 的分类讨论，即a >1或0<a <1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．1．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤： (1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．2．用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较例如，比较log a f (x )与log a g (x )的大小， 其中a >0且a ≠1.①若a >1，则log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0. ②若0<a <1，则log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )． (2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c <d <1<a <b . 3．常见对数方程式或对数不等式的解法(1)形如log a f (x )＝log a g (x )(a >0且a ≠1)等价于f (x )＝g (x )，但要注意验根．对于log a f (x )>log a g (x )等价于0<a <1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>>);()(,0)(,0)(x g x f x g x f a >1时，⎪⎩⎪⎨⎧>>>).()(,0)(,0)(x g x f x g x f(2)形如F (log a x )＝0、F (log a x )>0或F (log a x )<0，一般采用换元法求解．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·北京市丰台区高三一调)设M ＝{y |y ＝(12)x，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于 ( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0,1)2．(2010·全国Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a3．(2010·天津)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 4．(2011·济南模拟)设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有 ( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)5．(2011·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为 ( )A.12B.14 C ．2 D ．46．2lg 5＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝________.7．(2011·湖南师大附中检测)已知函数f (x )＝lg ax ＋a －2x在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是____________．8．已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝________. 三、解答题(共38分)9．(12分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．10．(12分)(2011·北京东城1月检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．11．(14分)(2011·郑州模拟)已知函数f (x )＝lg(a x －b x)(a >1>b >0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．答案 自主梳理1．a x＝N(a >0，且a ≠1) x ＝log a N a N 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)①log a N log a b②log a d (3)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③nlog a M 3.(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y >0 y <0 (5)y <0 y >0 (6)增 (7)减 4.y ＝log a x y ＝x自我检测 1．C 2.A3．A [因为3<2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又3＋log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·13＝124.]4．B [由题意可得：f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，f (|log 18x |)>f (13)，f (x )在[0，＋∞)上递增，于是|log 18x |>13，解得x 的取值范围是(0，12)∪(2，＋∞)．]5．m >n解析 ∵m <0，n <0，∵m n＝log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n .课堂活动区例1 解题导引 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解 (1)方法一 利用对数定义求值：设)32(log )32(-+＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方法二 利用对数的运算性质求解：)32(log )32(-+＝)32(1log )32(++＝1)32()32(log -++＝－1.(2)原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 812＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12lg (2×5)＝12lg 10＝12. (3)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy ，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y)2－6(x y )＋1＝0.∴x y＝3±2 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x >0，y >0，∴xy >1，∴x y＝3＋22，∴log (3－22)xy＝log (3－22)(3＋22)＝log－2213－22＝－1.变式迁移1 解 (1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22－32＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25 ＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．解 (1)①∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.②方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log 0.71.1>log 0.71.2.∴1log 0.71.1<1log 0.71.2， 由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二 作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7.(2)∵y ＝log 12x 为减函数，且log 12b <log 12a <log 12c ，∴b >a >c .而y ＝2x 是增函数，∴2b >2a >2c.变式迁移2 (1)A [a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12<b <1，c ＝12log 32<12，∴a >b >c .](2)A [∵a ，b ，c 均为正，∴log 12a ＝2a>1，log 12b ＝(12)b ∈(0,1)，log 2c ＝(12)c∈(0,1)．∴0<a <12，12<b <1,1<c <2.故a <b <c .]例3 解题导引 本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[13，2]时，|f (x )|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a 为参数，需对a 分类讨论．解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图示，可使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．变式迁移3 C[画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示．∵0<a <b ，f (a )＝f (b )，∴0<a <1，b >1，∴lg a <0，lg b >0.由f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1.∴b ＝1a ，∴a ＋2b ＝a ＋2a ，又0<a <1，函数t ＝a ＋2a在(0,1)上是减函数，∴a ＋2a >1＋21＝3，即a ＋2b >3.]课后练习区1．C [∵x ≥0，∴y ＝(12)x∈(0,1]，∴M ＝(0,1]．当0<x ≤1时，y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]． ∴M ∪N ＝(－∞，1]．]2．C [∵1a ＝log 23>1，1b＝log 2e>1，log 23>log 2e.∴1a >1b>1，∴0<a <b <1.∵a ＝log 32>log 33＝12，∴a >12.b ＝ln 2>ln e ＝12，∴b >12.c ＝5－12＝15<12，∴c <a <b .]3．C [①当a >0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝a 21log ，f (a )>f (－a )，即log 2a >a 21log ＝log 21a，∴a >1a，解得a >1.②当a <0时，f (a )＝)(log 21a -，f (－a )＝log 2(－a )，f (a )>f (－a )，即)(log 21a ->log 2(－a )＝a-1log 21， ∴－a <1－a，解得－1<a <0，由①②得－1<a <0或a >1.]4．C [由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．]5．C [当x >0时，函数a x ，log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x＋log a x 是(0，＋∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2＋a ＋log a 2，由题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．]6．3 7．(1,2)解析 因为f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a －2x 在区间[1,2]上是增函数，所以g (x )＝a ＋a －2x在区间[1,2]上是增函数，且g (1)>0，于是a －2<0，且2a －2>0，即1<a <2. 8．2 008解析 令3x＝t ，f (t )＝4log 2t ＋233，∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.9．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.……(4分)∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，(8分)∴6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取最大值13.………………………………………(12分)10．解 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．………………………………………………………………(8分)(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．…………………………………(12分)11．解 (1)由a x －b x>0，得(a b)x>1，且a >1>b >0，得a b>1，所以x >0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．…………………………………………………………………………………………(4分)(2)任取x 1>x 2>0，a >1>b >0，则1xa >2xa >0，21x x b b<，所以11x x b a ->22x x b a ->0，即)lg(11xxb a ->)lg(22xxb a -．故f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)假设函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．…………(10分)(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)。

2019-2020学年高考数学一轮复习 2.5对数函数教案教学目标：知识与技能：理解对数的概念及其运算，了解对数在简化运算中的作用，理解对数函数的概念及其函数的单调性，掌握对数函数图象的性质，了解对数与指数互为反函数。

过程与方法：通过对数的运算，了解对数与指数的互换，通过图象掌握对数函数的单调性与图象所过的定点，从而知道对数是一类重要的函数模型。

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形解题。

教学重点：对数函数的单调性教学难点： 利用图象的研究函数教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.对数的定义(1)对数的定义：①请根据下图的提示填写与对数有关的概念：②其中a 的取值范围是：a ＞0,且a ≠1(2)两种常见对数：lg N 与ln N2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)性质：(其中a ＞0,且a ≠1)①log 1a =0②log a a =1③ =N (2)换底公式:①基本公式：log b a =______(a,c 均大于0且不等于1，b ＞0)；②推广公式：log b a ·log c b ·log d c =log da (a,b,c 均大于0且不等于1，d ＞0).3)运算性质:如果a ＞0,且a ≠1,M ＞0,N ＞0，那么： a log Na①loga(M ·N)=____________；② =____________； ③log n m a =nlog ma (n ∈R).3.对数函数的定义、图象与性质定义：函数y=log x a (a ＞0,且a ≠1)叫做对数函数图象 a>1 0<a<1定义域：(0，+∞)值域: R过定点: (1,0)单调性：a>1时，在(0，+∞)上是增函数，0<a<1时，在(0，+∞)上是减函数4.反函数指数函数y=a x(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y=log x a (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称二例题讲解 【典例1】(1)计算：(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n.【思路点拨】(1)根据乘法公式和对数的运算性质进行计算.(2)将对数式化为指数式或直接代入求解. 【规范解答】(1)原式a M log N()266661log 3log 2log 18.log 4-+⋅()()266666612log 3log 3log log 633log 4-++⨯=()()()26666612log 3log 31log 31log 3log 4-++-+=()()22666612log 3log 31log 3log 4-++-=(2)方法一：∵loga2=m,loga3=n, ∴a m =2,a n =3,∴a2m+n=(am)2·an=22×3=12.方法二：∵loga2=m,loga3=n,∴a2m+n=(am)2·an【小结】对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 【提醒】在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.【变式训练】计算 答案：-20 【典例2】(1)已知函数 若a,b,c 互不相等，且 f(a)=f(b)=f(c)，则abc 的取值范围是( )(A)(1,10) (B)(5,6) (C)(10,12) (D)(20,24)【思路点拨】(1)画出f(x)的图象,确定abc 的范围.【规范解答】选C.作出f(x)的大致图象.不妨设a<b<c ，因为a ，b ，c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，由函数的图象可知10<c<12，且|lg a|=|lg b|，因为a ≠b ，所以lg a=-lg b ，可得ab=1，所以abc=c ∈(10,12)，故选 C.【小结】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.()666666621log 3log 6log 3log 2 1.2log 2log 2log 2--====121(lg lg 25)100________.4--÷=()lg x ,0x 10,f x 1x 6,x 10,2⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【变式训练】(1)已知函数f(x)=ln x ，g(x)=lg x ，h(x)=log5x,直线y=a(a ＜0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )(A)x2＜x3＜x1 (B)x1＜x3＜x2 (C)x1＜x2＜x3 (D)x2＜x1＜x3【解析】选A.在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线y=a(a ＜0)，易知x1＞x3＞x2,故选A.(2)函数y=log2|x+1|的单调递减区间为________，单调递增区间为_________.答案：(-∞,-1) (-1,+∞)【典例3】已知函数(1)求函数f(x)的定义域.(2)若函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性.【思路点拨】(1)利用真数大于0构建不等式，但要注意分类讨论.(2)先由条件求出a 的值，再讨论函数的奇偶性和单调性.【规范解答】(1) ⇒［x-(3a-1)］［x-(-2a-1)］＞0,所以，当3a-1≥-2a-1,即a ≥0时，定义域为(-∞,-2a-1)∪(3a-1,+∞)；当3a-1＜-2a-1,即a ＜0时，定义域为(-∞,3a-1)∪(-2a-1,+∞).(2)函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，当且仅当-2a-1=-(3a-1)⇒a=2,此时， 对于定义域D=(-∞,-5)∪(5,+∞)内任意x,-x ∈D,f(-x)所以f(x)为奇函数；当x ∈(5,+∞)时,对任意5＜x1＜x2,有f(x1)-f(x2)而(x1+5)(x2-5)-(x1-5)(x2+5)=10(x2-x1)＞0,所以f(x1)-f(x2)＞0,∴f(x)在(5,+∞)内单调递减； ()2x 2a 1f x log .x 3a 1++=-+x 2a 10x 3a 1++-+＞()2x 5f x log .x 5+=-()2x 5f x log .x 5+=-2x 5log x 5-+=--()2x 5log f x ,x 5+=-=--由于f(x)为奇函数，所以f(x)在(-∞,-5)内单调递减.【互动探究】将本例中函数改为“ ”，求f(x)的定义域和值域. 【解析】∵ ∴(x+1)(x-1)＞0, ∴x ＞1或x ＜-1，∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1，+∞).∴函数f(x)是奇函数.当x ＞1时，又y=log2x 在(0，+∞)上为增函数，即当x ＞1时，f(x)＞0，由函数f(x)是奇函数知，当x ＜-1时，f(x)＜0，因此函数f(x)的值域是(-∞，0)∪(0，+∞).【小结】1.利用对数函数的性质比较对数值的大小(1)同底数对数值的大小比较可直接利用其单调性进行判断.(2)既不同底数，又不同真数的对数值的比较，先引入中间量(如-1，0，1等)，再利用对数函数的性质进行比较.(3)底数不同，真数相同的对数值的比较大小，可利用函数图象或比较其倒数大小来进行.2.利用对数函数的性质研究对数型函数的性质求解方法与一般函数性质的求解方法一致，但要注意三方面的问题，一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.【变式训练】已知f(x)=loga(ax-1)(a ＞0,且a ≠1).(1)求f(x)的定义域.(2)求函数f(x)的单调性.【解析】(1)由ax-1＞0,得ax ＞1，当a ＞1时，x ＞0；当0＜a ＜1时，x ＜0.所以当a ＞1时，f(x)的定义域为(0，+∞)；当0＜a ＜1时，f(x)的定义域为(-∞，0).(2)当a ＞1时，设0＜x1＜x2,则 故∴∴f(x1)＜f(x2). x 1211x 1x 1+=+--＞，()22x 1f x log log 10,x 1+∴==-＞12x x 1a a ,＜＜12x x 0a 1a 1,--＜＜12x x a a log a 1log (a 1),--（）＜()2x 1f x log x 1+=-x 10,x 1+-＞()()222x 1x 1x 1f x log log log f x x 1x 1x 1-+-+-===-=---+-，故当a＞1时，f(x)在(0，+∞)上是增函数，同理，当0＜a＜1 时，f(x)在(-∞，0)上也是增函数.三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固。

§2.5对数与对数函数考纲解读分析解读 1.对数函数是函数中的重要内容,也是高考的常考内容.2.考查对数运算(例:2015浙江12题),对数函数的定义和图象以及主要性质(例:2016浙江12题).3.预计2019年高考试题中,对数运算和对数函数仍是考查的重点之一.考查仍会集中在对数运算,对数函数的定义与图象以及主要性质上,复习时应引起高度重视.五年高考考点对数与对数函数1.(2016浙江文,5,5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1.若log a b>1,则( )A.(a-1)(b-1)<0B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0D.(b-1)(b-a)>0答案 D2.(2017北京文,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093答案 D3.(2016四川,5,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年答案 B4.(2015陕西,10,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f ,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( )A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案 C5.(2014辽宁,3,5分)已知a=,b=log2,c=lo,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a答案 C6.(2014天津,4,5分)函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)答案 D7.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若log a b+log b a=,a b=b a,则a= ,b= .答案4;28.(2015浙江文,9,6分)计算:log2= ,= .答案-;39.(2015福建,14,4分)若函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是.答案(1,2]10.(2014重庆,12,5分)函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为.答案-教师用书专用(11—14)11.(2013课标全国Ⅱ,8,5分)设a=log36,b=log510,c=log714,则( )A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c答案 D12.(2014福建,4,5分)若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )答案 B13.(2013湖南,5,5分)函数f(x)=2ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为( )A.3B.2C.1D.0答案 B14.(2013山东,16,4分)定义“正对数”:ln+x=现有四个命题:①若a>0,b>0,则ln+(a b)=bln+a;②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;③若a>0,b>0,则ln+≥ln+a-ln+b;④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)答案①③④三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点对数与对数函数1.(2018浙江嵊州高级中学期中,2)已知log5[log3(log2x)]=0,那么x=( )A.5B.3C.8D.1答案 C2.(2017浙江镇海中学模拟卷三,5)设x是实数,则“ln x+x>0”是“ln(ln x)+x>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B3.(2016浙江新高考研究卷二(慈溪中学),2)为了得到函数y=lo x的图象,只需将函数y=log2的图象( )A.向右平移1个单位,再向下平移1个单位B.向左平移1个单位,再向下平移1个单位C.向右平移1个单位,再向上平移1个单位D.向左平移1个单位,再向上平移1个单位答案 A4.(2018浙江9+1高中联盟期中,11)16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即a b=N⇔b=log a N.现在已知2a=3,3b=4,则ab= .答案 25.(2017浙江名校协作体期初,12)已知4a-3a b=16,log2a=,则a= ,b= .答案3;log3166.(2017浙江柯桥区质量检测(5月),14)若正数a,b满足3+log2a=1+log4b=log8(a+b),则a= ,b= .答案;7.(2017浙江名校协作体,11)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则xy的最大值是.答案8.(2016浙江宁波一模,9)已知log a2=m,log a3=n,a>0且a≠1,则a2m+n= ;若用m,n表示log46,则log46= .答案12;B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,3)设a>0,b>0,则“log2a+log2b≥log2(a+b)”是“ab≥4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A2.(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,6)已知函数f(x)=的定义域与函数g(x)=ln(x2-ax+1)的值域均为R,则实数a的取值范围是( )A.[1,2]B.(-∞,-2)C.[-2,1]D.[2,+∞)答案 D3.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,7)已知实数x,y>0,且(x+1)y=16,则log4x+log2y的最大值是( )A.2B.C.3D.4答案 C二、填空题4.(2018浙江嵊州高级中学期中,2)已知函数f(x)=则f= ;若f(x0)=-2,则x0= .答案-1;5.(2018浙江萧山九中12月月考,11)若函数f(x)=+lg x,则f(x)的定义域为;不等式f(x)>1的解集是.答案;(1,+∞)6.(2017浙江杭州质检,11)lg 2+lg 5= ;-= .答案1;17.(2017浙江台州质量评估,11)已知函数f(x)=则f(0)= ,f(f(0))= .答案1;08.(2017浙江镇海中学模拟卷一,12)已知函数f(x)=则f(x)的值域是;若方程f(x)-a=0恰有一个实根,则实数a的取值范围是.答案[0,+∞);{0}∪[2,+∞)9.(2016浙江金丽衢十二校第一次联考,18(改编))已知函数f(x)=log a(a2x+t),其中a>0且a≠1,若存在实数m,n(m<n),使得x∈[m,n]时,函数f(x)的值域也为[m,n],则t的取值范围是.答案C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 关于对数概念及运算的解题策略1.(2016浙江模拟训练卷(一),13)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)+f(x)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则f(lo125)= .答案2.(2017浙江台州4月调研卷(一模),14)已知a=2x,b=,则log2b= ,满足log a b≤1的实数x的取值范围是.答案;(-∞,0)∪方法2 对数函数的图象和性质的应用的解题策略3.(2017浙江镇海中学模拟卷(六),17)函数f(x)=若a,b,c,d互不相同,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围是.答案(32,34)。

一、对数与对数函数知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页）1、对数与对数的运算性质（1）、一般地，如果(a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x=,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。

（2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN.（3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系：（4）、零和负数没有对数；=1；=0；=N（5）、对数的运算性质：如果，M>0,N>0，那么=+==n（n）另外我们还经常用换底公式=2、对数函数与对数函数的性质（1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。

（2）、对数函数的图象及性质图象的性质主要指①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a 1 与a<1两种情况。

3、反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。

原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x对称。

二、题型探究探究二：对数函数及其性质例3：求函数y=的最小值例4：已知，若函数y=的定义域为R，函数恒为正数，求实数a的取值范围。

探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题例5：已知，，且<1,则x的取值范围是。

三、方法提升：1、 处理对数函数问题时要特别注意函数的定义域问题，尤其在大题中，一定要首先考虑函数的定义域，然后 在定义域中研究问题，以避免忘记定义域造成麻烦。

2、 在高考小题中，考察主要是针对对数的大小比较、指数与对数的关系 、对数方程及不等式、对数函数与其它函数复合或运算后的函数的图象变换问题等，在解决问题时，抓住对数函数的性质（主要是单调性）和函数图象的变换即可。

四、反思感悟五、 课时作业对数与对数函数一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．[2014·辽宁卷]3． 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析]3．D 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .2．[2014·重庆卷] 9． 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3C ．6＋4 3 D ．7＋4 3[解析]9．D 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，则4a ＋3b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ·3a b ＝7＋4 3，当且仅当4b a ＝3a b ，即a ＝4＋2 3，b ＝2 3＋3时等号成立，故其最小值是7＋4 3.3．函数f (x )＝log 2x 23的图象的大致形状是( )解析：先化简函数解析式，再根据解析式研究函数性质进行判断．由于f (x )＝log 2x ＝23log 2|x |，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x >0时，f (x )＝23log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，又函数是偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，因此选D.评析：像这样“给式选图”题一般是通过解析式研究函数的性质(例如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性)，及其在函数图象上的特征进行选择．4．(2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)解析：不妨设0<a <1<b ，由f (a )＝f (b )得－lg a ＝lg b ，lg a ＋lg b ＝0，ab ＝1，因此，a ＋b ＝a ＋1a>2，故选C.5．(2010·全国Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝5－12，则()A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a解析：a ＝log 32＝ln2ln3<ln2＝b ，又c ＝5－12＝15<12，a ＝log 32>log 33＝12，因此c <a <b ，故选C.6．(2010·浙江)设函数的集合P ＝{f (x )＝log 2(x ＋a )＋b |a ＝－12，0，12，1；b ＝－1,0,1}，平面上点的集合Q ＝{(x ，y )|x ＝－12，0，12，1；y ＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P 中函数f (x )的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：集合P 中的元素共12个．当a ＝－12时，f 1(x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x －12－1，f 2(x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x －12，f 3(x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x －12＋1，当x ＝1时，这三个函数都不可能经过集合Q 中的两个点；当a ＝0时，f 4(x )＝log 2x －1，f 5(x )＝log 2x ，f 6(x )＝log 2x ＋1，此时只有后面两个函数恰好经过集合Q 中的两个点；当a ＝12时，f 7(x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋12－1，f 8(x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋12，f 9(x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1，此时只有后面两个函数经过集合Q 中的两个点；当a ＝1时，f 10(x )＝log 2(x ＋1)－1，f 11(x )＝log 2(x ＋1)，f 12(x )＝log 2(x ＋1)＋1，此时f 10(x )经过集合Q 中的两个点(0，－1)，(1,0)，f 11(x )经过集合Q 中的三个点⎝⎛⎭⎫－12，－1，(0,0)，(1,1)，函数f 12(x )经过集合Q 中的点⎝⎛⎭⎫－12，0，(0,1)．综上可知集合P 中只有6个元素满足题意．答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．函数y ＝log 0.5(4x 2－3x )的定义域是________．解析：由题意知，log 0.5(4x 2－3x )≥0＝log 0.51，由于0<0.5<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－3x >0，4x 2－3x ≤1. 从而可得函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－14，0∪⎝⎛⎦⎤34，1.8．[2014·安徽卷] 11．⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.[解析] 11.278 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－3＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278.9．已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)的值等于________．解析：∵f (3x )＝4x log 23＋233＝4log 23x ＋233，∴f (2)＋f (4)＋…＋f (28)＝4(1＋2＋…＋8)＋233×8＝2008.10．[2014·江苏卷]13．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．[解析]13.⎝⎛⎭⎫0，12 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0，3]上的图像，再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间[－3，4]内，即得f (x )在区间[－3，4]上的图像如下图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图像与直线三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知f (x )＝log 4(2x ＋3－x 2)，(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )的最大值，并求取得最大值时的x 的值． 解：(1)单调递增区间为(－1,1]，递减区间为[1,3) (2)因为μ＝－(x －1)2＋4≤4，所以y ＝log 4μ≤log 44＝1， 所以当x ＝1时，f (x )取最大值1.评析：在研究函数的性质时，要在定义域内研究问题，定义域“优先”在对数函数中体现的更明确．12．已知a >0，a ≠1，f (log a x )＝a (x 2－1)x (a 2－1).试判断f (x )在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？若不是，请说明理由．解：用换元法求出f (x )的解析式，由于其中含有字母，故需讨论． 设t ＝log a x ，则x ＝a t ，∵f (t )＝a a 2－1·a 2t－1a t 即f (t )＝a a 2－1(a t －a －t )．∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )．f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a a 2－1[(ax 1－a －x 1)－(ax 2－a －x 2)]＝a a 2－1·(ax 1－ax 2)(1＋ax 1ax 2)ax 1ax 2.∵a >0，a ≠1，∴ax 1ax 2>0,1＋ax 1ax 2>0.若0<a <1，则ax 1>ax 2，ax 1－ax 2>0.。

第6讲对数与对数函数一、知识梳理1．对数概念如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么b叫作以a为底N的对数，记作b＝log a__N．其中a叫作对数的底数，N叫作真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a__N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)2.对数函数的图像与性质a>10<a<1图像性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．换底公式的三个重要结论 ①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n mlog a b ；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y ＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．二、教材衍化1． (log 29)·(log 34)＝________．解析：(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.答案：42．若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________． 解析：由题意知f (x )＝log 2x ， 所以f (2)＝log 22＝1. 答案：13．函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1)4．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.所以c >a >b .答案：c >a >b一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________． 解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(自主练透)1．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：22．若lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，则log 32xy 的值为________．解析：依题意，可得lg(xy )＝lg(2x －3y )2， 即xy ＝4x 2－12xy ＋9y 2，整理得：4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94. 因为x >0，y >0，2x －3y >0，所以x y ＝94，所以log 32xy＝2.答案：23．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于________．解析：由2a ＝5b＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 所以1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10. 答案：104．已知log 23＝a ，3b＝7，则log 37221的值为________．解析：由题意3b＝7，所以log 37＝b . 所以log 37221＝log6384＝log 284log 263＝log 2（22×3×7）log 2（32×7）＝2＋log 23＋log 23·log 372log 23＋log 23·log 37＝2＋a ＋ab2a ＋ab.答案：2＋a ＋ab 2a ＋ab对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数函数的图象及应用(师生共研)(1)(2019·高考某某卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜313x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a ，b ，c ，d ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中d ＞c ＞b ＞a ＞0，则abcd 的取值X 围________．【解析】 (1)对于函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当y ＝0时，有x ＋12＝1，得x ＝12，即y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，排除选项A 、C ；函数y ＝1a x 与y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12在各自定义域上单调性相反，排除选项B ，故选D.(2)由题意可得－log 3a ＝log 3b ＝13c 2－103c ＋8＝13d 2－103d ＋8，可得log 3(ab )＝0，故ab ＝1.结合函数f (x )的图象，在区间[3，＋∞)上， 令f (x )＝1可得c ＝3、d ＝7、cd ＝21. 令f (x )＝0可得c ＝4、d ＝6、cd ＝24. 故有21＜abcd ＜24.【答案】 (1)D (2)(21，24)对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析：选D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a <1，0<c <1.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)对数函数的性质及应用(多维探究) 角度一 比较大小已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b【解析】 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c >a .因为b ＝ln 2＝1log 2e<1<log 2e ＝a ， 所以a >b . 所以c >a >b . 【答案】 D比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型 解题方法底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母 需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1，0等中间量进行比较角度二 解简单对数不等式已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值X 围是________．【解析】 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12求解对数不等式的两种类型及方法类型 方法log a x >log a b借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论log a x >b需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解[提醒] 注意对数式的真数大于零，且不等于1. 角度三 与对数函数有关的综合问题已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)因为a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立． 所以3－2a >0.所以a <32.又a >0且a ≠1，所以a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，因为a >0， 所以函数t (x )为减函数．因为f (x )在区间[1，2]上为减函数， 所以y ＝log a t 为增函数，所以a >1，当x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2019·高考某某卷)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A.a ＝log 52<log 55＝12，而c ＝0.50.2>0.51＝12，故a <c ；b ＝log 0.50.2>log 0.50.25＝2，而c ＝0.50.2<0.50＝1，故c <b .所以a <c <b .2．若定义在区间(－1，0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A.因为－1<x <0，所以0<x ＋1<1.又因为f (x )>0，所以0<2a <1，所以0<a <12.3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上是增函数，则a 的取值X 围是________．解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上递增， 则y ＝ax 2－x 在[3，4]上递增， 且y ＝ax 2－x >0恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞数形结合法在对数函数问题中的应用设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<1【解析】作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1<0，x2<0.不妨令x1<x2，则x1<－1<x2<0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此时10x1<10x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)<0，所以0<x1x2<1，故选D.【答案】 D一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，需转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值X围是________．解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以ab ＝1，0<c<lg 10＝1，所以abc的取值X围是(0，1)．答案：(0，1)[基础题组练]1．函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是( ) A ．[1，2] B ．[1，2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）≥log 313，x >12，解得x ≥23.2．(2020·吕梁模拟)已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <c <bD ．a <b <c解析：选A.1<a ＝log 35＝12log 325<12log 327＝1.5，b ＝1.51.5>1.5，c ＝ln 2<1，所以c <a <b ，故选A.3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D.由log 12x <log 12y <0，得log 12x <log 12y <log 121，所以x >y >1.4．函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )解析：选 C.函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值X 围是 ( ) A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析：选C.当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以2>a >1.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.6．已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．解析：由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋a log 312＝18－a log 32＝18＋2log 32×log 32＝178. 答案：1787．已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．解析：由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2. 答案：7 28．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得n m＝9.答案：99．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域； (3)在(2)的条件下，求g (x )的减区间．解：(1)函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)， 可得log a 4＝2，解得a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)， 由1－x ＞0且1＋x ＞0，解得－1＜x ＜1， 可得g (x )的定义域为(－1，1)． (3)g (x )＝log 2(1－x 2)，由t ＝1－x 2在(－1，0)上是增加的，(0，1)上是减少的， 且y ＝log 2t 在(0，＋∞)上是增加的， 可得函数g (x )的减区间为(0，1)．[综合题组练]1．若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5zD ．5z ＜2x ＜3y解析：选B.设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1, x ＝2t,y ＝3t,z ＝5t,因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1. 又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝xt ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x .2．(2020·某某模拟)已知x 1＝log 132，x 2＝2－12，x 3满足⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＝log 3x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 1<x 2解析：选A.由题意可知x 3是函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3x 的图象，如图所示，由图象可知x 3>1，而x 1＝log 132<0，0<x 2＝2－12<1，所以x 3>x 2>x 1.故选A.3．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是减少的，则a 的取值X 围为________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，因为f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞) 是减少的， 所以函数g (x )在区间[2，＋∞)内是增加的，且恒大于0， 所以12a ≤2且g (2)＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4. 答案：(－4，4]4．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图所示，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：235．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．。

第六节 对数与对数函数[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数2.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．[常用结论]1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log am b n ＝nm log a b .其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ，n ∈R. 2．对数函数的图像与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x ． ( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0．( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同． ( ) (4)对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图像不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log1213＞log1212＝1，∴c ＞a ＞b .]3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图像如图所示，则下列结论成立的是()A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图像可知y ＝log a (x ＋c )的图像是由y ＝log a x 的图像向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．]5．计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________.23 [2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝3.]1．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.2 [原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋2lg 5＝2.] 2．2log 23＋log 43＝________.33 [原式＝2log 23·2log 43＝3·2log 23＝3 3.]3．log 23·log 38＋(3)log 34＝________.5 [原式＝3log 23·log 32＋3log 32＝3＋2＝5.]4．设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________. 10 [∵ 2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m ＝10.]【例1】 (1)(2019·大连模拟)函数y ＝lg|x －1|的图像是( )A B C D(2)(2019·厦门模拟)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫0，22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)(3)函数y ＝log a (x －2)＋2恒过定点P ，则点P 的坐标为________．(1)A (2)B (3)(3,2) [(1)函数y ＝lg|x －1|的图像可由函数y ＝lg|x |的图像向右平移1个单位得到，故选A ．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，要使0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，只需f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图像在g (x )的图像下方即可．当a ＞1时不满足条件；当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图像，可知只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.(3)由x －2＝1得x ＝3，当x ＝3时，y ＝2，则点P 的坐标为(3,2)．]aA B C D(2)函数y ＝log 2(x ＋1)的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为________．(3)若不等式(x －1)2＜log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________． (1)A (2)(0,0) (3)(1,2] [(1)由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图像关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x ＞0时，g (x )的图像，然后根据g (x )的图像关于y 轴对称画出x ＜0时g (x )的图像，最后由函数g (x )的图像向上整体平移一个单位即得f (x )的图像，结合图像知选A ．(2)由x＋1＝1得x＝0，当x＝0时，y＝0，则点P的坐标为(0,0)．(3)设f 1(x)＝(x－1)2，f 2(x)＝log a x，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜log a x恒成立，只需f 1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f 2(x)＝log a x图像的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图所示，要使x∈(1,2)时，f 1(x)＝(x－1)2的图像在f 2(x)＝log a x的图像下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a2，log a2≥1，所以1＜a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]．]►考法1比较对数值的大小【例2】(1)已知a＝log29－log23，b＝1＋log27，c＝12＋log213，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．c＞b＞a(2)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a(1)B(2)A[(1)a＝log29－log23＝log233，b＝1＋log27＝log227，c＝12＋log213＝log226，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且27＞33＞26，所以b＞a＞c，故选B．(2)b＝log23＝12log23＞12，c＝log32＝12log32＜12，则b＞c，又a＝log3π＞log33＝1，b＝log23＜log22＝1，因此a＞b＞c，故选A．►考法2解对数不等式【例3】(1)(2018·江苏高考)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(1)[2，＋∞) (2)(－1,0)∪(1，＋∞) [(1)由题意知，log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22. 解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)． (2)由题意，得⎩⎨⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，即⎩⎨⎧ a ＞0，log 2a ＞0或⎩⎨⎧a ＜0，log 2(－a )＜0，解得a ＞1或－1＜a ＜0.] ►考法3 复合函数的单调性、值域或最值【例4】 函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)的递增区间为_____，值域为________．(2,5) [2log123，＋∞) [由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝log12(－x 2＋4x ＋5)的递增区间为(2,5)．又－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9≤9，所以f (x )≥log129＝2log123，即函数f (x )的值域为[2log123，＋∞)．](1)(2018·天津高考)已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)(3)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)(1)D (2)D (3)A [(1)c ＝log1315＝log 35，则log 35＞log 372＞log 33＝1，又⎝ ⎛⎭⎪⎫1413＜⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，因此c ＞a ＞b ，故选D.(2)当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x ＞1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x ＞1.综上可知x ≥0.(3)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧ g (1)＞0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)．]1．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( ) A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b cD ．c a ＞c bB[∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，log a c＞log b c，A项错误；∵0＜c＜1，∴y＝log c x在(0，＋∞)上是减少的，又a＞b＞0，∴log c a＜log c b，B项正确；∵0＜c＜1，∴函数y＝x c在(0，＋∞)上是增加的，又∵a＞b＞0，∴a c＞b c，C项错误；∵0＜c＜1，∴y＝c x在(0，＋∞)上是减少的，又∵a＞b＞0，∴c a＜c b，D项错误．]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.－7[由f(3)＝1得log 2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.]。

2019-2020学年高考数学一轮复习 对数函数导学案【学习目标】1、理解对数的概念，掌握对数的运算性质；2、能运用对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；3、理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索理解对数函数的性质；【重难点】运用对数函数的图像与性质解决有关对数型函数模型问题【活动过程】一、自学质疑1．对数的定义：如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ．2．对数的性质与运算及换底公式①log a 1＝ ；②log a a ＝ ；③logaN a ＝ . log a b ＝log c b log c a(a ，c 均大于0且不等于1，b >0)． (3)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (M ·N )＝ ，②log a M N ＝ ，③log a M n＝ (n ∈R )．3a >1当<11、求值：（1）log (84)⨯=___ __；（2）(lg 2)3lg 2lg5(lg5)+⋅+=____ _； （3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____ ____．2、已知函数f(x)=log (01)a x a a >,≠,如果对于任意[x ∈3,+∞)都有|f(x)|1≥成立,则a 的取值范围为 .3．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图像经过定点A ，则A 点坐标是________4.函数)16(log 24≥+=x x y 的值域为 .5.已知函数)(log 2a x y +=的图象经过)3,1(，则函数)2(log a x y a +=的取值大于0时，x 的取值范围是 .二、互动质疑：问题1.（1）计算：8log 9log 5.12lg 85lg 21lg278⋅-+-. （2）已知：518,9log 18==b a ，用b a ,表示45log 36.问题2、比较下列各组的大小：（1）30.3，2log 0.3，0.32，； （2）0.1log 0.4，12log 0.4，3log 0.4，lg 0.4．问题3. （1）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是_________．（2）设函数2()lg()f x x ax a =+-，给出下列命题则其中正确命题的序号是__________．①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ；③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a ．问题4.已知函数()log a x b f x x b+=-(0,1,0)a a b >≠>． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性，并证明．三、检测反馈1．已知函数,lg )(x x f =若1)(=ab f ，则=+)()(22b f a f .2．已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＝4，则f (2 014)的值为________． 3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．。