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课时规范训练A 组 基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋ 3C ．4 D.433解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4. 法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70° ＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70° ＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝( ) A.43B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35B.45C.74D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋742， 又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35， ∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0，∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2 ＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2 ＝－2cos θ2cos θ. 故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310. B 组 能力突破1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴s in 2α＝－12.因此1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为( ) A ．4 3 B.833 C ．4 D ．8 解析：选D.∵f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋cos x sin x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x ＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8.3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________． 解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0. 所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α ＝2cos α(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝516. (2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。
天天练14 三角函数的性质一、选择题1．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 2．已知f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )A ．0 B.π6 C.π4 D.π33．(2017·长沙一模)函数y ＝sin(π3－12x )，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A ．[－π3，5π3]B ．[－2π，－π3]C ．[5π3，2π]D ．[－2π，－π3]和[5π3，2π]4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )A ．2π B.3π2C ．π D.π2 5．(2017·广西五市5月联考)已知函数f (x )＝cos ωx －sin ωx (ω＞0)在(－π2，π2)上单调递减，则ω的取值不可能为( )A.15B.14C.12D.346．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π47．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，则( )A ．α＋β>πB ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π8．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3 二、填空题 9．(2017·云南二检)若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．10．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.11．(2017·新疆二检)已知函数f (x )＝|sin x |·cos x ，给出下列五个结论：①f (2014π3)＝－34；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间[－π4，π4]上单调递增； ④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点(π2，0)成中心对称．其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)． 三、解答题12．(2017·西工大附中训练)已知函数f (x )＝cos 2(x ＋π12)，g (x )＝1＋12sin2x .(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的最小正周期和值域．1．B 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 2．B 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．3．D 依题意得y ＝－sin(12x －π3)，当2k π＋π2≤12x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即4k π＋5π3≤x ≤4k π＋11π3(k ∈Z )时，函数y ＝－sin(12x －π3)是单调递增函数．又x ∈[－2π，2π]，因此函数y ＝－sin(12x －π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－2π，－π3]和[5π3，2π]，选D.易错点拨：在处理此类三角函数的相关问题时，如果相关的自变量的系数为负，建议应用诱导公式将其转化为正数，这样能够有效避免出错．4．A 依题意，得f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.故最小正周期为2π.5．D 依题意，f (x )＝2cos(ωx ＋π4)，令2k π≤ωx ＋π4≤π＋2k π(k∈Z )，解得－π4ω＋2k πω≤x ≤3π4ω＋2k πω(k ∈Z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≤－π23π4ω≥π2，又ω＞0，∴0＜ω≤12，观察可知选D.6．A 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4.7．A ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π， ∴π－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β.∵y ＝sin x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递增， ∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β)⇔α>π－β⇔α＋β>π.8．B 要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6.∴ω的最小值为32，故选B.9．±35解析：因为f (x )＝8sin(5ax －π3)，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3.又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35.10．3解析：周期公式1.5T ＝π.即：32·2πω＝π ω＝3. 11．①⑤解析：①f (2014π3)＝|sin 2014π3|·cos 2014π3＝32×(－12)＝－34，∴①正确；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则|12sin2x 1|＝|12sin2x 2|，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确；③∵当x ∈[－π4，π4]时，f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x ＜012sin2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在[－π4，π4]上不是单调函数，∴③不正确；④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π＜x ＜2k π12sin2x ，2k π≤x ＜π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点(π2，0)成中心对称， ∴⑤正确．12．解：(1)由题设知f (x )＝12[1＋cos(2x ＋π6)]．令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，所以函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2－π12(k ∈Z ) (2)h (x )＝f (x )＋g (x ) ＝12[1＋cos(2x ＋π6)]＋1＋12sin2x ＝12[cos(2x ＋π6)＋sin2x ]＋32 ＝12(32cos2x ＋12sin2x )＋32 ＝12sin(2x ＋π3)＋32.所以函数h (x )的最小正周期T ＝π，值域为[1,2]．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。
2018高考数学(文 )第三章三角函数、解三角形一轮复习
题有解析
5 c 05限时规范特训
A级基础达标
1．[2018 诸城月考]集合{α|π＋π4≤α≤π＋π2，∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析当＝2n时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当＝2n＋1时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．答案c
2．[2018 福州质检]下列三角函数值的符号判断错误的是( )
A．sin165° 0 B．cs280° 0
c．tan170° 0 D．tan310° 0
解析165°是第二象限角，因此sin165° 0正确；280°是第四象限角，因此cs280° 0正确；170°是第二象限角，因此tan170° 0，故c错误；310°是第四象限角，因此tan310° 0正确．答案c
3．给出下列命题
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若csθ 0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
c．3 D．4
解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；。
课时分层训练(二十三)正弦定理、余弦定理应用举例A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图379所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A 在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )【导学号：31222135】图379A．a km B.3a kmC.2a km D．2a kmB2．如图3710，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )图3710A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°D3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ) 【导学号：31222136】A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里A4．如图3711，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为 ( )图3711A．8 km/h B．6 2 km/hC．234 km/h D．10 km/hB5．如图3712，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ( )图3712A．30° B．45°C．60°D．75°B二、填空题6．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．【导学号：31222137】167．如图3713，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC ＝45°，则塔AB的高是________米. 【导学号：31222138】图371310 68．如图3714所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．图371463三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)图3715在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°，∠ABD ＝45°， ∴∠ADB ＝45°，∴AD ＝AB ＝80，∴BD ＝80 2.3分 在△ABC 中，BC sin 30°＝ABsin 45°，∴BC ＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2.6分在△DBC 中，DC 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 60° ＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9 600.∴DC ＝406，航模的速度v ＝40620＝26米/秒. 12分10．如图3716，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．图3716(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．(1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.3分 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28. 所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/小时.7分(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，9分 即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.12分 B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m 到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( ) 【导学号：31222139】A．50 m B．100 mC．120 m D．150 mA2．(2014·全国卷Ⅰ)如图3717，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.图37171503．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．图3718在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝1003，连接QM(图略)，在△PQM中，∠QPM＝60°，3分又PQ＝1003，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100 3.6分在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，∴BQ＝1005，cos θ＝55.9分在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米.12分。
课时作业20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan2α＝( ) A.247B.2425C ．－2425D ．－247解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案：D2．(2016·新课标全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45解析：由tan θ＝－13，得sin θ＝－1010，cos θ＝31010或sin θ＝1010，cos θ＝－31010，所以cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝45，故选D.答案：D3．已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β＝( )A ．－6365B ．－3365C.3365D.6365解析：∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－513<0，∴π2<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45.又cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.答案：C4．(2017·广东汕头质量检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－2π3的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－2π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79，故选D.答案：D5．已知α、β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β等于( ) A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析：由α、β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4.故选A. 答案：A6．(2017·河北石家庄质检)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．[－2，1]B ．[－1，2]C ．[－1,1]D ．[1，2]解析：∵sin αcos β－cos αsin β＝1⇒sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，⇒π2≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤54π， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即取值范围是[－1,1]，故选C. 答案：C 二、填空题7．sin15°＋sin75°的值是________．解析：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2×32＝62. 答案：628．(2017·吉林东北师大附中等三校联考)函数f (x )＝cos2x －2sin x 的值域为________．解析：f (x )＝cos2x －2sin x ＝1－2sin 2x －2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋32，又sin x ∈[－1,1]，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.答案：[－3，32]9．(2017·河北衡水中学一调)若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为________．解析：∵tan α＋1tan α＝103，∴(tan α－3)(3tan α－1)＝0，∴tan α＝3或13.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α>1，∴tan α＝3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝22sin2α＋22cos2α＋2＋cos2α2＝22(sin2α＋2cos2α＋1)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α1＋tan 2α＋21－tan 2α1＋tan 2α＋1 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫610－1610＋1＝0. 答案：010．(2017·广东广州五校联考)函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R )的最大值为________．解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2. 答案：2 三、解答题11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋12(sin2x ＋cos2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α.又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45＝10＋32－4620.12．已知0<α<π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解：(1)解法1：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin2β＝29， ∴sin2β＝－79.解法2：sin2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.1．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A2．(2017·成都一诊)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4解析：因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，故cos2α＝－255.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， 故cos(β－α)＝－31010.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)] ＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α) ＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22， 且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4.答案：A3．(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：解法1：因为sin(θ＋π4)＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin(θ＋π4)＝35，因为θ为第四象限角，所以－π2＋2k π<θ<2k π，k ∈Z ，所以－3π4＋2k π<θ－π4<2k π－π4，k ∈Z ，所以sin(θ－π4)＝－1－352＝－45，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝θ－π4θ－π4＝－43.解法2：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos(θ＋π4)＝45，所以tan(θ－π4)＝θ－π4θ－π4＝－cos[π2＋θ－π4sin[π2＋θ－π4＝－θ＋π4θ＋π4＝－43.答案：－434．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π12(ω>0)的最小正周期T ＝4π. (1)求ω；(2)设x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，求|f (x 1)－f (x 2)|的最大值． 解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋7π12， ∵函数f (x )的最小正周期T ＝4π，且ω>0，∴ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋7π12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，12x ＋7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，56π，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. ∴当x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (x )max －f (x )min ＝1－12＝12.。
第六节 正弦定理和余弦定理———————————————————————————————— 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若A ＞B ，则必有sin A ＞sin B ．( ) (2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 为锐角三角形．( )(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝45°或135°.( )(4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( )(1)正确．A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .(2)错误．由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．(3)错误．由b ＜a 知，B ＜A .(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确． (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定C3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3D4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.π3或2π35．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 2 3在△ABC 中，∠BAC ＝4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD的长．【导学号：31222129】设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×co s 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310.6分 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010， 由题设知0＜B ＜π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010.9分 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ， 故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B π－2B ＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.12分1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．(1)(2017·郑州模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， 且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cosC ＝513，a ＝1，则b ＝________.(1)A (2)2113(1)(2017·东北三省四市二联)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)(2016·安徽安庆二模)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B ＜C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (1)D (2)A1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形B(2015·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sinA sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .2分 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.5分(2)由(1)知b 2＝2ac .7分因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2， 故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2.9分 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.12分三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． (2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．(1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，3分 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.5分(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.9分由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.12分1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解． 在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：2.课时分层训练(二十二)正弦定理和余弦定理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )【导学号：31222130】A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )【导学号：31222131】A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定C3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( ) A．1 B．2C．3 D．4A4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝3，则△ABC的面积为( )A.34B.34C.32D.32B5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310 B.1010 C.55D.31010D 二、填空题6．(2017·郴州模拟)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝__________. 637．(2016·青岛模拟)如图361所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图36138．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________. 【导学号：31222132】32三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35. 【导学号：31222133】(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．(1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.5分(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，7分由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，所以sin C ＝41717.12分10．(2017·云南二次统一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(sinB,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直．(1)求sin A 的值；(2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．(1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sin C ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0，即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝6sinB sinC 5.3分根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc 5， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.∵A 是△ABC 的内角， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝45.6分(2)由(1)知b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，∴6bc 5＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2.8分 又∵a ＝22，∴bc ≤10.∵△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2bc5≤4，∴△ABC 的面积S 的最大值为4.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4 B.π3 C.π4D.π6C2．如图362，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上的点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为________．图3625623．在△ABC 中，cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根． (1)求角C ；(2)当a ＋b ＝10时，求△ABC 周长的最小值． (1)因为2x 2－3x －2＝0，所以x 1＝2，x 2＝－12.2分又因为cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根， 所以cos C ＝－12，所以C ＝2π3.5分(2)由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(a ＋b )2－ab ，7分则c 2＝100－a (10－a )＝(a －5)2＋75，当a ＝5时，c 最小且c ＝75＝53，此时a ＋b ＋c ＝10＋53， 所以△ABC 周长的最小值为10＋5 3.12分。
课时分层训练(十八)同角三角函数的基本关系与诱导公式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于( ) 【导学号：31222109】A ．－24B.24C ．－2 2D ．2 2C2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D 3.cos 350°－2sin 160°－＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3D4．(2016·山东实验中学二诊)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13 D ．－13B5．(2016·浙江杭州五校联盟高三一诊)已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( )A.103 B ．－103C.1013D ．－1013C 二、填空题6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________. 【导学号：31222110】137．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.－438．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 【导学号：31222111】0 三、解答题9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°3分＝－si n 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°6分 ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°9分 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12×12＋1＝2.12分 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.由已知得sin α＝2cos α.2分 (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.7分(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则sin x ＝( )A.－1±52 B.3＋12 C.5－12D.3－12C2．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.【导学号：31222112】44．53．已知f (α)＝π－απ－α⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－π－α.(1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．(1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.5分(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15，7分又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.12分。
课时作业19同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．tan(－1 410°)的值为( )A.33B．－33C. 3 D．－ 3解析：tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan30°＝33.答案：A2．已知△ABC中，tan A＝－512，则cos A＝( )A.1213B.513C．－513D．－1213解析：在△ABC中，由tan A＝－512<0知，A为钝角，所以cos A<0.又1＋tan2A＝sin2A＋cos2Acos2A＝1cos2A＝169144，所以cos A＝－1213.答案：D3．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sinα＝－35，则cos(－α)的值为( )A．－45B.45C.35D．－35解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sinα＝－35，所以cosα＝45，所以cos(－α)＝45. 答案：B4．已知f(α)＝π－απ－α－π－απ－α，则f⎝⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( ) A.12B.13C.32D.22解析：∵f (α)＝sin αcos α－cos α－tan α＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 答案：A5．(2017·福建模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝m (|m |<1)，π2<α<π，那么tan(π＋α)＝( )A.m1－m2B ．－m1－m2C ．±m1－m2D ．±1－m2m解析：由题意，知sin α＝m >0，且cos α<0，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－m 2，所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－m1－m2，故选B. 答案：B6．(2017·广东惠州一调)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13 D ．－13解析：因为sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，两边平方可得1＋2sin θ·cos θ＝169，即sin θ·cos θ＝718，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29.又因为0<θ<π4，所以sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－23，故应选B. 答案：B 二、填空题7．已知sin(3π＋θ)＝14，则π＋θcos θπ＋θ－1]＋θ－2πθ＋2ππ＋θ＋－θ＝________.解析：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ， ∴sin θ＝－14，则原式＝－cos θcos θ－cos θ－＋cos θcos θ－cos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝32. 答案：328．已知角α终边上一点P (－4,3)，则π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值为________．解析：∵tan α＝y x ＝－34，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.答案：－349．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)＝________.解析：因为sin15°＝cos75°，所以f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－32. 答案：－3210．已知cos(75°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(15°－α)＝________.解析：由－180°<α<－90°，得－105°<75°＋α<－15°，又cos(75°＋α)>0可知75°＋α是第四象限角，所以cos(15°－α)＝sin(75°＋α) ＝－1－cos2＋α＝－223.答案：－223三、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α·cos α和sin α－cos α的值．解：(1)f (α)＝sin α－sin α·＋cos α21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)方法1：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425.∴sin α·cos α＝－1225，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.方法2：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.∵－π2<α<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45.∴sin α·cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.1．(2017·福建龙岩质检)若sin2θ＝23，则tan θ＋1tan θ＝( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝2sin2θ＝3.故选D.答案：D2．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在解析：由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.答案：D3．(2017·福建漳州一模)已知θ是三角形的一个内角，且sin θ、cos θ是关于x 的方程4x 2＋px －2＝0的两根，则θ等于________．解析：由题意知sin θ·cos θ＝－12，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ·cos θ＝－12，得sin θ＝±22，又θ为三角形的一个内角，∴sin θ＝22，则cos θ＝－22，∴θ＝3π4. 答案：3π44．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x＝________. 解析：因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ，f ′(x )＝2f (x )，所以cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )， 所以tan x ＝3，所以1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195. 答案：－195课时作业30 数系的扩充与复数的引入一、选择题1．若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1} B ．{1} C ．{1，－1}D ．∅解析：因为A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}＝{i ，－1，－i ，1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{－1,1}． 答案：C2．(2016·山东卷)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：易知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，选B. 答案：B3．(2016·新课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i解析：易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 答案：C4．若复数m (3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为( )A ．m >1B ．m >23C ．m <23或m >1D.23<m <1 解析：m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0，解得23<m <1.答案：D5．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( )A ．－25B ．－25iC.25D.25i 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i ＋1－＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：A6．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0解析：z ＝1＋2i 1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 015＝－z 2 0161－z＝1－i 2 0161－i ＝1－i4×5041－i＝0. 答案：D7．(2017·芜湖一模)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋32i ，z 2＝a －32i ，若z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝( )A.32B ．－32C.32或－32D ．0解析：z 1z 2＝a ＋32i a －32i ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32i 2⎝⎛⎭⎪⎫a －32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34＋3a i a 2＋34是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－34＝0，3a ≠0，解得a ＝±32. 答案：C8．在复平面内，复数11＋i ，11－i(i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ．1 C.12i D ．i解析：∵11＋i＝1－i －＋＝12－12i ，11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，则A (12，－12)，B (12，12)，∴线段AB 的中点C (12，0)，故点C 对应的复数为12，选A. 答案：A 二、填空题9．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：复数z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i ，其实部是5. 答案：510．(2016·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，a b＝2. 答案：2 11．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.解析：因为a ＋2ii＝b ＋i ，所以2－a i ＝b ＋i.由复数相等的充要条件得b ＝2，a ＝－1，故a ＋b ＝1.答案：112．在复平面上，复数3－2对应的点到原点的距离为________．解析：解法1：由题意可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－2＝3|2－i|2＝35. 解法2：3－2＝34－4i ＋i 2＝33－4i＝＋－＋＝9＋12i 25＝925＋1225i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪925＋1225i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12252＝35.答案：351．(2017·河北衡水一模)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3解析：z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1＋z 2＝－2，故选A. 答案：A2．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为复数z 对应点的坐标为A (3,1)，所以点A 位于第一象限，所以逆时针旋转π2后对应的点B 在第二象限．答案：B3．已知i 为虚数单位，(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 1·z 2∈R ，则|z 2|＝( ) A ．4 B ．20 C. 5D ．2 5解析：z 1＝2＋1－i 1＋i＝2＋－2＋－＝2－i ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝2a ＋2＋(4－a )i ，若z 1·z 2∈R ，则a ＝4，|z 2|＝25，选D.答案：D4．已知复数z 1＝cos15°＋sin15°i 和复数z 2＝cos45°＋sin45°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°sin45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos60°＋sin60°i＝12＋32i. 答案：12＋32i 5．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0141＋i，则复数z 在复平面内对应的点为________． 解析：∵i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而 2 013＝4×503＋1,2 014＝4×503＋2，∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0141＋i＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i＝－1＋－＋－＝2i 2＝i ， 对应的点为(0,1)．答案：(0,1)。
课时作业18 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．将－300°化为弧度为( ) A ．－43πB ．－53πC ．－76πD ．－74π解析：－300×π180＝－53π.答案：B2．tan 8π3的值为( )A.33B ．－33 C. 3 D ．－ 3解析：tan 8π3＝tan(2π＋2π3)＝tan 2π3＝－ 3.答案：D3．若tan α>0，则( ) A ．sin2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos2α>0解析：∵tan α>0，∴角α终边落在第一或第三象限，故B ，C 错；sin2α＝2sin αcos α>0，A 正确；同理D 错，故选A.答案：A4．已知sin α＝45，cos α＝35，则角2α的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由sin α＝45，cos α＝35，知2k π＋π4<α<2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π＋π2<2α<4k π＋π，k ∈Z ，∴角2α的终边所在的象限是第二象限．故选B.答案：B5．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32C.12D.32 解析：由点P (－8m ，－6sin30°)在角α的终边上，且cos α＝－45，知角α的终边在第三象限，则m >0，又cos α＝－8m－8m 2＋9＝－45，所以m ＝12. 答案：C6．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．答案：C7．(2017·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2解析：因为r ＝2＋－2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos2.答案：D8．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由于θ是第三象限角，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z )；又|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ2≤0，从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π2，(k ∈Z )，综上可知2k π＋π2<θ2<2k π＋3π4，(k ∈Z )，即θ2是第二象限角．答案：B 二、填空题9．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°－(180°＋k ·360°)<180°－α<180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°<180°－α<90°－k ·360°(k ∈Z )，所以180°－α是第一象限的角．答案：一10．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：因为sin θ＝y42＋y2＝－255， 所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 答案：－811．设P 是角α终边上一点，且|OP |＝1，若点P 关于原点的对称点为Q ，则Q 点的坐标是________．解析：点P 的坐标为(cos α，sin α)， 则Q 点坐标为(－cos α，－sin α)． 答案：(－cos α，－sin α)12．设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP <OM <0；②OM <0<MP ；③OM <MP <0；④MP <0<OM . 其中正确的是________．解析：sin 17π18＝MP >0，cos 17π18＝OM <0.答案：②1．已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( ) A ．大于0 B ．大于等于0 C ．小于0D ．小于等于0解析：∵θ是第四象限角，∴sin θ∈(－1,0)．令sin θ＝α，当－1<α<0时，sin α<0.故sin(sin θ)<0.答案：C2．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.答案：D3．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心为坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB ，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A. 2B.32C ．1D.12解析：设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)，故所求最大值为1. 答案：C4．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A (3,4)，将向量OA →绕点O 按逆时针方向旋转2π3后得向量OB →，则点B 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋23，－2－323B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－23，－2＋323C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋23，－2＋323D ．(－4,3)解析：设OA →与x 轴正半轴所成的角为θ，则sin θ＝45，cos θ＝35.设点B (x ，y )，则x＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＝5×⎣⎢⎡⎦⎥⎤35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－45×32＝－32－23，y ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＝5×⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋35×32＝－2＋332. 答案：B5．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． 解析：设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin60°＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r .又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，∴S 扇πr 2＝7＋439.答案：(7＋43)9。
