1.5.2三角形全等的判定

第十二章 全等三角形一、知识要点1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的判定和性质3、证题的思路：(A S A )(A A S )⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS)(HL)(SSS) (AAS)(SAS)(ASA)(AAS) 4、应注意的问题（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；（2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； （4）要正确区分判定三角形全等的结论的不同含义；（5）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等．5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 6、全等三角形问题中常见的辅助线的作法 （1）连接法（连接公共边构造三角形全等）； （2）延长法（延长至相交、倍长中线）（3）截长补短法（适合于证明线段的和、差等问题）（4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 二、考点解密（1）常见全等的判定和性质考察1、已知△ABD ≌△CDB ，AB 与CD 是对应边，那么AD= ，∠A= ；2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE=2cm ，BE=1.5cm ，∠A=25°∠B=48°；那么DE= cm ，EC= cm ，∠C= 度；∠D= 度；CBAFE DC B A第2小题 第3小题 第4小题3、如图，△ABC ≌△DBC ，∠A=800，∠ABC=300，则∠DCB= 度； 4、如图，已知，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“SAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ；（2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为 ；（3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ；5．已知△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE =9 cm ，EF =12 cm 则AB =____________，BC =____________，AC =____________．6．一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x +y =__________．7．下列命题中正确的是（ ）①全等三角形对应边相等； ②三个角对应相等的两个三角形全等； ③三边对应相等的两三角形全等；④有两边对应相等的两三角形全等。

1.5三角形全等的判断（4）义务教育教科书（浙教版）八年级下册衢州市兴华中学周永霞【授课目的】1.掌握三角形全等的判判定理及证明过程.2.掌握角均分线的性质定理及证明过程.3.会运用全等三角形的性质及角均分线的性质判断两条线段相等.4.领悟转变、数形结合等数学思想 .【授课重点和难点】1.两个三角形全等的判判定理（两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等）是本节授课重点 .2. 当图形中没有现成的全等三角形时，需要经过增加辅助线构造全等是本节授课难点.【授课过程】一．学习准备思虑：（ 1）我们已经学过哪几种判断三角形全等的方法？（2）要推出两个三角形全等需要几个条件?（3）若是给出三个条件推出全等，你能说出哪几种可能的情况？（4）请猜想还能够用来判断两个三角形全等的方法可能是什么？（设计妄图：经过复习三角形全等的判断方法，让学生猜想还有哪几种可能的方法，为新的方法埋下伏笔，从中浸透分类谈论的数学思想.）二．课本导学（一）阅读与思虑一『课前预习』三角形全等的判判定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.试一试写出证明过程.（设计妄图：本节课内容很多，45 分钟显得时间紧张，而判判定理的证明其实不难，学生经过预习基本能够掌握，课堂上只需交流证明方法，能够提升课堂效率.）『思虑一』1.根据已学的三角形全等的判定方法，证明这个命题的关键是求证____________=__________2.证明过程中用到了怎样的数学思想？3.三角形全等判判定理的几何语言怎样描述？『练习一』书本 35 页课内练习 1 改编1. 已知：如图，AD均分∠ BAC， _________.求证：BD=CD.（请在横线上增加一个条件，使得结论成立）（先独立完成，尔后小组交流）『概括』1.判断两个三角形全等有哪几种思路？2.判断两条线段相等的方法是什么？3.全等三角形还有怎样的应用？（设计妄图：组织学生分小组进行谈论交流，突出学生的主体地位，培养主动参加的意识，学生在交流的过程中能够扬长避短，一方面使自己的方法更加完满，另一方面能够及时复习三角形全等判断的各种不同样方法.）（二）阅读与思虑二『课前预习』先试一试自己完成课本34 页例 6，再看课本解答 .『思虑二』1.什么叫点到直线的距离？2.点 P 到角两边的距离指的是哪两条线段的长？3. 若是在角均分线上任意取一点，结论可否同样成立？若是点P 与点 A 重合呢？4.你能用一句话概括题中的结论吗？5.角均分线性质定理的几何语言怎样描述？（设计妄图：本例题有着双重作用，第一是对 AAS 判断全等方法的牢固，其次是为了得出角均分线的性质定理 .例题的证明其实不难，所以让学生课前预习；难点是角均分线性质定理的概括，所以设计了一系列的思虑题，让学生在问题的引领下概括结论，提升了学生的思维.）（三）阅读与思虑三『课内阅读』试一试独立完成书本35 页例 7『思虑三』1.从已知条件解析：（1）由AB∥CD，能够推出什么？（2）由AD⊥AB，能够推出什么？（3）点P是∠ABC的均分线上的点，那么 PA应等于什么？我们能够怎样添辅助线？（4）点P是∠DCB的均分线上的点，那么 PD应等于什么？3.当图形中没有现成的全等三角形时，怎么办？（设计妄图：本例题是本节课的难点，宜用综合法来进行解析，即从已知条件出发，利用已经学过的定义、定理以及基本事实，渐渐向前推进，直到问题解决.本例题采用师生共同交流的形式，一步步引领学生打破难点.同时让学生掌握当图形中没有现成的全等三角形时，要经过增加辅助线构造全等. ）『练习二』书本 35 页课内练习22.已知：如图， AD垂直均分 BC， D为垂足. DM⊥AC， DN⊥AB， M， N分别为垂足 . 求证：DM=DN.（先独立完成，尔后小组交流）『概括』1.证明两条线段相等有哪些方法？当题中出现全等三角形的时候，能够利用___________________________________;当题中出现角均分线的时候，能够利用____________________________________;当题中拥有面积相等的三角形时，能够_____________________________________.2.碰到几何题，我们能够怎样进行解析？从_________和 __________ 两个角度进行解析 .（设计妄图：两条线段相等是几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系，很多其他问题最后都化归为两条线段相等来证明，经过练习.让学生概括出证明两条线段相等最常用的方法就是搜寻全等，其他角均分线的性质，线段中垂线的性质等经常用到. ）三．盘点收获经过这节课的学习，谈谈收获和迷惑.（设计妄图：学生先谈收获，教师再有条理地进行总结，再次把本节课的重点内容清楚地体现在学生眼前 .）四．部署作业必做题：作业实情应作业选做题：书本35 页第 5 题很多其他问题最后都化归为两条线段相等是几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系，两条线段相等来证明，。

三角形全等的判定---“HL ”一、自主探究情境导入：舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.（1）你能帮他想个办法吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS)⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？下面我们来验证一下吧。

探索练习：（动手操作）：已知线段a ，c (a<c) 和一个直角α 利用尺规作一个Rt △ABC ，使∠C=∠α，AB=c ，CB= a1、按步骤作图： a c① 作∠MCN=∠α=90°，② 在射线 CM 上截取线段CB=a ，③以B 为圆心，C 为半径画弧，交射线CN 于点A ， α④连结AB2、与同桌重叠比较，是否重合？3、从中你发现了什么？斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）二、尝试应用：（例题）如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由答：理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）在Rt △ 和Rt △ 中⎩⎨⎧==_______________________________ ∴ ≌ （ ）∴∠ = ∠ （ ）∴ （内错角相等，两直线平行）1、 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）（A ） 两条直角边对应相等 （B ）斜边和一锐角对应相等（C ）斜边和一条直角边对应相等 （D ）两个锐角对应相等3、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB 与DE 是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。

1.5 三角形全等的判定（2）教学目标：1.探索并掌握判定两个三角形全等的基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）2.会运用“SAS”判定两个三角形全等。

3.掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

重点：本节教学的重点是两个三角形全等的基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等难点：线段垂直平分线性质定理的证明涉及分类讨论，是本节教学的难点书中学道——学习程序：课前独立预习课本第4——5页，完成“书中学道”。

课内先组内群学，再进行概念重点小展示，由学生点评和打分，最后教师补充，时间15分钟。

航标1：理解两边及其夹角对应相等的两个三角形全等1、回顾与思考：复习SSS的文字及几何表述2、判断引发思考(1) 有三个角对应相等的两个三角形(2) 有三条边对应相等的两个三角形(3) 有两边一角对应相等的两个三角形3、动画演示4、探究合作用量角器和刻度尺画△ABC,AB=4cm,BC=6cm,∠ABC=60°将你画出的三角形和其他同学画的三角形进行比较，它们互相重合吗？由此，你得到了什么结论？全等三角形的判定公理2:___________________________________的两个三角形______________。

这个定理可简写成___________________________。

几何表述：航标2：理解线段中垂线的性质1.线段的垂直平分线的概念： 于一条线段，并且 这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.2.直线MN 是线段AB 的中垂线，垂足为O ，P 是直线L 上的任意一点，则PA 与PB 相等吗？______________3.在直线L 上能找到__________个点到线段AB 两个端点的 距离相等。

航标3：会运用“SAS ”的判定方法判定两个三角形是否全等1. 以2.5cm ，3.5cm 为三角形的两边，长度为2.5cm 的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？结论：两边及一角对应相等，两个三角形不一定全等2、星期天，小刚在家玩蓝球，不小心将一块三角形玻璃摔坏了（如图所示）。