(精校版)2013年高考真题——文科数学(湖北卷)Word版含答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，，则A． B． C． D．2．已知，则双曲线：与：的A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等D．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A．∨ B．∨ C．∧ D．∨4．四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且；② y与x负相关且；③ y与x正相关且；④ y与x正相关且.其中一定不正确的结论的序号是A．①② B．②③ C．③④ D．①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是距学校的距离距学校的距离距学校的距离ABCD时间时间时间时间OOOO距学校的距离6．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是A． B． C． D．7．已知点、、、，则向量在方向上的投影为A． B． C． D．8．x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数9．某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆．则租金最少为A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元10．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是A． B． C． D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则.否输入开始结束是输出第13题图12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为 .13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入的值为2，则输出的结果 .已知圆：，直线：（）.设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则.15．在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则 .16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点的坐标，均为整数，则称点为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为. 例如图中△是格点三角形，对应的，，.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的，，则（用数值作答）.第17题图三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△的面积，，求的值.19．（本小题满分13分）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为．（Ⅰ）证明：中截面是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算. 已知，试判断与V的大小关系，并加以证明.第20题图21．（本小题满分13分）设，，已知函数.（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，称为、关于的加权平均数.（i）判断, ,是否成等比数列，并证明；（ii）、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数，记为H.若，求的取值范围.22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记，△和△的面积分别为和.（Ⅰ）当直线与轴重合时，若，求的值；（Ⅱ）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由．第22题图2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．B二、填空题：11． 12．（Ⅰ）7 （Ⅱ）2 13．414．4 15．3 16．3 17．（Ⅰ）3, 1, 6 （Ⅱ）79三、解答题：18．（Ⅰ）由，得,即，解得或（舍去）.因为，所以. （Ⅱ）由得. 又，知.由余弦定理得故.又由正弦定理得.19．（Ⅰ）设数列的公比为，则，. 由题意得即　解得故数列的通项公式为. （Ⅱ）由（Ⅰ）有 .若存在，使得，则，即当为偶数时，，上式不成立；当为奇数时，，即，则.综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为.20．（Ⅰ）依题意平面，平面，平面，所以A1A2∥B1B2∥C1C2. 又，，，且 .因此四边形、均是梯形.由∥平面，平面，且平面平面，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE. 同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG.又、分别为、的中点，则、、、分别为、、、 的中点，即、分别为梯形、的中位线.因此 ，，而，故，所以中截面是梯形.（Ⅱ）. 证明如下：由平面，平面，可得.而EM∥A1A2，所以，同理可得.由是△的中位线，可得即为梯形的高，因此，即.又，所以.于是.由，得，，故.（Ⅰ）的定义域为，.当时，，函数在，上单调递增；当时，，函数在，上单调递减.（Ⅱ）（i）计算得，，.故, 即. ①所以成等比数列.因，即. 由①得.（ii）由（i）知，.故由，得. ②当时，.这时，的取值范围为；当时，，从而，由在上单调递增与②式， 得，即的取值范围为；当时，，从而，由在上单调递减与②式， 得，即的取值范围为.依题意可设椭圆和的方程分别为：，：. 其中，（Ⅰ）解法1：如图1，若直线与轴重合，即直线的方程为，则，，所以.在C1和C2的方程中分别令，可得，，，于是.若，则，化简得. 由，可解得.故当直线与轴重合时，若，则.解法2：如图1，若直线与轴重合，则，；，.所以.若，则，化简得. 由，可解得.故当直线与轴重合时，若，则.第22题解答图1第22题解答图2（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，，则因为，，所以.又，，所以，即.由对称性可知，所以，，于是. ①将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得，.根据对称性可知，，于是. ②从而由①和②式可得. ③令，则由，可得，于是由③可解得.因为，所以. 于是③式关于有解，当且仅当，等价于. 由，可解得，即，由，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，，则因为，，所以.又，，所以.因为，所以.由点，分别在C1，C2上，可得，，两式相减可得，依题意，所以. 所以由上式解得.因为，所以由，可解得.从而，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，集合，，则A ．B ．C ．D ．2．已知，则双曲线：与：的 A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．∨ B ．∨ C ．∧ D ．∨4．四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且； ② y 与x 负相关且； ③ y 与x 正相关且； ④ y 与x 正相关且. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③C ．③④D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是6．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．B ．C ．D ．7．已知点、、、，则向量在方向上的投影为A ． BC ．D ． 8．x 为实数，表示不超过x 的最大整数，则函数在上为 A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数9．某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆．则租金最少为A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元 10．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 A ． B ．C ．D ．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则 .12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 .13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入的值为2，则输出的结果 .14．已知圆：，直线：（）.设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .15．在区间上随机地取一个数x ，若x 满足的概率为，则 .16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸. （注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点的坐标，均为整数，则称点为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为. 例如图中△是格点三角形，对应的，，. （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的分别是 ；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为第13题图，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的，，则（用数值作答）.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△的面积，，求的值.19．（本小题满分13分）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算. 已知，试判断V估与V的大小关系，并加以证明.21．（本小题满分13分）设，，已知函数.（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，称为、关于的加权平均数.（i）判断, ,是否成等比数列，并证明；（ii）、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数，记为H.若，求的取值范围.22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别第20题图第17题图为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记，△和△的面积分别为和.（Ⅰ）当直线与轴重合时，若，求的值；（Ⅱ）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由．2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．B 二、填空题：11．12．（Ⅰ）7 （Ⅱ）2 13．414．4 15．3 16．3 17．（Ⅰ）3, 1, 6 （Ⅱ）79 三、解答题：18．（Ⅰ）由，得,即，解得或（舍去）.因为，所以.（Ⅱ）由得. 又，知.由余弦定理得故.又由正弦定理得.19．（Ⅰ）设数列的公比为，则，. 由题意得即解得故数列的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）有.若存在，使得，则，即当为偶数时，，上式不成立；当为奇数时，，即，则.综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为.20．（Ⅰ）依题意平面，平面，平面，所以A1A2∥B1B2∥C1C2. 又，，，且 .因此四边形、均是梯形.由∥平面，平面，且平面平面，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE. 同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG.又、分别为、的中点，则、、、分别为、、、的中点，即、分别为梯形、的中位线. 因此 ，，而，故，所以中截面是梯形. （Ⅱ）. 证明如下： 由平面，平面，可得.而EM ∥A1A2，所以，同理可得.由是△的中位线，可得即为梯形的高， 因此， 即.又，所以. 于是. 由，得，，故. 21．（Ⅰ）的定义域为，. 当时，，函数在，上单调递增； 当时，，函数在，上单调递减. （Ⅱ）（i ）计算得，，. 故, 即. ① 所以成等比数列.因2a b+≥. 由①得. （ii ）由（i ）知，.故由，得. ② 当时，.这时，的取值范围为； 当时，，从而，由在上单调递增与②式，得，即的取值范围为,ba⎡⎢⎣；当时，1b a >，从而，由在上单调递减与②式，得，即的取值范围为.22．依题意可设椭圆和的方程分别为 ：，：. 其中，（Ⅰ）解法1：如图1，若直线与轴重合，即直线的方程为，则 ，，所以.在C1和C2的方程中分别令，可得，，， 于是. 若12S S λ=，则，化简得. 由，可解得.故当直线与轴重合时，若，则. 解法2：如图1，若直线与轴重合，则 ，； ，. 所以. 若12S S λ=，则，化简得. 由，可解得.故当直线与轴重合时，若，则.（Ⅱ）解法1不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，，则 因为，，所以. 又，，所以，即.由对称性可知，所以， ，于是 ||1||1AD BC λλ+=-. ①将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得 ，.根据对称性可知，，于是 . ② 从而由①和②式可得. ③ 令，则由，可得，于是由③可解得.因为，所以. 于是③式关于有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于. 由，可解得，即，由，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得； 当时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得. 根据对称性， 不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，，则 因为，，所以.第22题解答图1 第22题解答图2又，，所以.因为，所以.由点，分别在C1，C2上，可得，，两式相减可得，依题意，所以. 所以由上式解得.因为，所以由，可解得.从而，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得.温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =ðA ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}2．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③C ．③④D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是6．将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π67．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为ABC． D． 8．x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数9．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为 A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元10．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = . 12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 .13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2， 则输出的结果i = .14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点第13题图的个数为k ，则k = .15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = . 16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =. （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数. 若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=.（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． （Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f, f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.第20题图22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别 为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．第22题图2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．B U BA =ð}.4,3{}5,4,3{}4,3,2{= 2．D 在双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=中，都有1cos sin 222=+=θθc ，即焦距相等3．A 因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝ . 4．D 在○1中，y 与x 不是负相关；○1一定不正确；同理○4也一定不正确.5．C 可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A 是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段，由此可以排除D ；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B. 故选C.6．B因为sin ()y x x x =+∈R 可化为)6cos(2π-=x y （x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称.7．A AB =（2,1），CD =（5,5），则向量AB 在向量CD 方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==θ. 8．D 函数()[]f x x x =-表示实数x 的小数部分，有)(][]1[1)1(x f x x x x x f =-=+-+=+ ，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数.9．C 根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>>≤-≤+,9006036,0,0,7,21y x y x x y y x 画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为A(7，14)，B(5，12)，C(15，6），目标函数（租金）为y x k 24001600+=，如图所示.将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为：3680012240051600=⨯+⨯=k （元）.10．B ax x x f 21ln )('-+=，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得0)('=x f 有两个不等的实数解，即12ln -=ax x 有两个实数解，从而直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点. 过点（0，－1）作x y ln =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =，切线方程为11-=x x y . 切点在切线上，则0100=-=x x y ，又切点在曲线x y ln =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0）.切线方程为1-=x y . 再由直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点.，知直线12-=ax y 位于两直线0=y 和1-=x y 之间，如图所示，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得0＜a ＜21.二、填空题：11． 23i -+ 复数123i z =-在复平面内的对应点Z 1（2，－3），它关于原点的对称点Z 2为（－2,3），所对应的复数为322+-=z i. 12． （Ⅰ）7 （Ⅱ）2 （Ⅰ）7()747109459787101=+++++++++； （Ⅱ）2 []222222)74(2)75()77(3)78()79(2)710(101-+-+-+-+-+-=s =21040=. 13． 4 初始值m =2，A =1，B=1,i =0，第一次执行程序，得 i=1，A=2，B=1，因为A <B 不成立，则第二次执行程序，得i=2，A =2×2=4，B =1×2=2，还是A <B 不成立，第三次执行程序，得 i=3，A=4×2=8，B=2×3=6，仍是A<B 不成立，第四次执行程序，得i =4，A =8×2=16，B =×4=24，有A <B 成立，输出i=4. 14． 4 这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线l 的距离为1sin cos 122=+θθ，所以圆O 上到直线l的距离等于1的点有4个，如图A 、B 、C 、D 所示.15． 3 因为区间[2,4]-的长度为6，不等式||x m ≤的解区间为[－m ，m ] ，其区间长度为2m. 那么在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，要使x 满足||x m ≤的概率为56，m 将区间 [2,4]-分为[－2，m]和[m ，4] ，且两区间的长度比为5:1，所以m =3.16． 3 如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为()ππ19631061069322⨯=⨯++⨯=V （立方寸），盆口面积S =196π（平方寸），所以，平地降雨量为=⨯）（寸寸23196)(19633（寸）.17． （Ⅰ）3, 1, 6 （Ⅱ）79（Ⅰ）3, 1, 6 S=S △DFG +S △DEF =1+2=3 ，N=1，L =6；（Ⅱ）79 根据题设△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =，有 14=+c b ， ○1 由（Ⅰ）有36=++c b a ， ○2再由格点△DEF 中，S=2，N=0，L=6，得26=+c b ， ○3 联立○1○2○3，解得.1,1,21=-==a cb 所以当71N =，18L =时， S =791182171=-⨯+. 三、解答题：18．（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π3A =.（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.19． （Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠. 由题意得 2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）有 3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----. 若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤- 当n 为偶数时，(2)0n ->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N . 20． （Ⅰ）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =，122B B d =，123C C d =，且123d d d << . 因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B 平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG .又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11AC 的中点， 即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形. （Ⅱ）V V <估. 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥. 而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥. 由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高， 因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形， 即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中. 又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估.由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估.21． （Ⅰ）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++.当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减. （Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =.故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+, 即2(1)())]b f f f a =. ①所以(1),()bf f f a成等比数列.因2a b+≥(1)f f ≥.由①得()b f f a ≤. （ii ）由（i ）知()bf H a =，f G =.故由()H f x G ≤≤，得()()b f f x f a ≤≤. ②当a b =时，()()b f f x f a a ===.这时，x 的取值范围为(0,)+∞； 当a b >时，01ba<<，从而b a <()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得bx a≤≤x的取值范围为,b a ⎡⎢⎣； 当a b <时，1ba>，从而b a >()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a ≤，即x的取值范围为b a ⎤⎥⎦. 22． 依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n+=. 其中0a m n >>>， 1.m n λ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则 111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x == ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，第22题解答图1第22题解答图2等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a mλ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABx x λ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则A. B. C. D.2.已知，则双曲线：与：的A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.∨B.∨C.∧D.∨4.四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y与x负相关且; ② y与x负相关且;③ y与x正相关且; ④ y与x正相关且.其中一定不正确的结论的序号是A.①②B.②③C.③④D. ①④5.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是6.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是A. B. C. D.7.已知点、、、，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.8.x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为A.奇函数B.偶函数C.增函数D. 周期函数9.某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆.则租金最少为A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元10.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则 .12.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则(Ⅰ)平均命中环数为 ;(Ⅱ)命中环数的标准差为 .13.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入的值为2，则输出的结果 .14.已知圆：，直线：().设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .15.在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则 .16.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)17.在平面直角坐标系中，若点的坐标，均为整数，则称点为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为. 例如图中△是格点三角形，对应的，，.(Ⅰ)图中格点四边形DEFG对应的分别是 ;(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的，，则 (用数值作答).三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若△的面积，，求的值.19.(本小题满分13分)已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)是否存在正整数，使得?若存在，求出符合条件的所有的集合;若不存在，说明理由.20.(本小题满分13分)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为.(Ⅰ)证明：中截面是梯形;(Ⅱ)在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时，可用近似公式来估算. 已知，试判断与V的大小关系，并加以证明.21.(本小题满分13分)设，，已知函数.(Ⅰ)当时，讨论函数的单调性;(Ⅱ)当时，称为、关于的加权平均数.(i)判断, ,是否成等比数列，并证明;(ii)、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数，记为H.若，求的取值范围.22.(本小题满分14分)如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记，△和△的面积分别为和.(Ⅰ)当直线与轴重合时，若，求的值;(Ⅱ)当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得?并说明理由.。

2013年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B ∩∁A=（）∪A．{2}B．{3，4}C．{1，4，5}D．{2，3，4，5}2．（5分）已知，则双曲线C1：与C2：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q 4．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648；③y与x正相关且=5.437x+8.493；④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578．其中一定不正确的结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④5．（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．8．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R 上为（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数9．（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元10．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2﹣3i，则z2=．12．（5分）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为．13．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i=．14．（5分）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O 上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k=．15．（5分）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=．16．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=（用数值作答）．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．19．（13分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．20．（13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中•h来估算．已知V=（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．21．（13分）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=．（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．（i）判断f（1），f（），f（）是否成等比数列，并证明f（）≤f（）；（ii）a、b的几何平均数记为G．称为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．22．（14分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN 的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．2013年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B A=（）∩∁∪A．{2}B．{3，4}C．{1，4，5}D．{2，3，4，5}【分析】根据全集U和集合A先求出集合A的补集，然后求出集合A的补集与集合B的交集即可【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则C U A={3，4，5}，又因为B={2，3，4}，则（C U A）∩B={3，4}．故选：B．【点评】此题考查了补集及交集的运算，是一道基础题，学生在求补集时应注意全集的范围．2．（5分）已知，则双曲线C1：与C2：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【分析】通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论．【解答】解：双曲线C1：可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；双曲线C2：可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；所以两条双曲线的焦距相等．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选：A．【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648；③y与x正相关且=5.437x+8.493；④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578．其中一定不正确的结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【分析】由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项．【解答】解：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；②y与x负相关且；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；③y与x正相关且；此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；④y与x正相关且．此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．综上判断知，①④是一定不正确的故选：D．【点评】本题考查线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键，本题是记忆性的基础知识考查题，较易5．（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C．D．【分析】解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项【解答】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选：C．【点评】本题考查函数的表示方法﹣﹣图象法，正确解答本题关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征6．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选：B．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选：A．【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．8．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R 上为（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【分析】依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案．【解答】解：∵f（x）=x﹣[x]，∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．故选：D．【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题．9．（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元【分析】设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，总租金为z元．可得目标函数z=1600x+2400y，结合题意建立关于x、y的不等式组，计算A、B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低．由此设计方案并代入约束条件与目标函数验证，可得当x=5、y=12时，z达到最小值36800．【解答】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z 元，则z=1600x+2400y，其中x、y满足不等式组，（x、y∈N）∵A型车租金为1600元，可载客36人，∴A型车的人均租金是≈44.4元，同理可得B型车的人均租金是=40元，由此可得，租用B型车的成本比租用A型车的成本低因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低由此进行验证，可得当x=5、y=12时，可载客36×5+60×12=900人，符合要求且此时的总租金z=1600×5+2400×12=36800，达到最小值故选：C．【点评】题给出实际应用问题，要求我们建立目标函数和线性约束条件，并求目标函数的最小值，着重考查了简单的线性规划的应用的知识，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2﹣3i，则z2=﹣2+3i．【分析】直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数z2．【解答】解：设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，复数z1，z2的实部相反，虚部相反，z1=2﹣3i，所以z2=﹣2+3i．故答案为：﹣2+3i．【点评】本题考查复数的几何意义，对称点的坐标的求法，基本知识的应用．12．（5分）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为7；（Ⅱ）命中环数的标准差为2．【分析】根据题中的数据，结合平均数、方差的计算公式，不难算出学员在一次射击测试中射击命中环数的平均数和方差，从而得到答案．【解答】解：（I）根据条件中的数据，得学员在一次射击测试中命中环数的平均数是=（7+8+7+9+5+4+9+10+7+4）=7，（II）可得学员在一次射击测试中命中环数的方差是s2=[（7﹣7）2+（8﹣7）2+…+（4﹣7）2]=4．故答案为：7，2．【点评】本题以求两人射击命中环数的平均数和方差为载体，考查了样本平均数、方差的计算公式和对特征数的处理等知识，属于基础题．13．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i=4．【分析】框图输入m的值后，根据对A，B，i的赋值执行运算i=i+1，A=A×m，B=B×i，然后判断A＜B是否成立不成立继续执行循环，成立则跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给累积变量A，B赋值1，1，给循环变量i赋值0．若输入m的值为2，执行i=1+1，A=1×2=2，B=1×1=1；判断2＜1不成立，执行i=1+1=2，A=2×2=4，B=1×2=2；判断4＜2不成立，执行i=2+1=3，A=4×2=8，B=2×3=6；判断8＜6不成立，执行i=3+1=4，A=8×2=16，B=6×4=24；判断16＜24成立，跳出循环，输出i的值为4．故答案为4．【点评】本题考查了循环结构中的直到型结构，即先执行后判断，不满足条件执行循环，直到满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．14．（5分）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O 上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k=4．【分析】找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d，根据d与r的大小关系及r﹣d的值，即可作出判断．【解答】解：由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=，∵圆心O到直线l的距离d==1＜，且r﹣d=﹣1＞1=d，∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k=4．故答案为：4【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键．15．（5分）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=3．【分析】画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．【解答】解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．故答案为：3．【点评】本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键．16．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是3寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为寸．则盆中水的体积为（立方寸）．所以则平地降雨量等于（寸）．故答案为3．【点评】本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是基础题．17．（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是3，1，6；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=79（用数值作答）．【分析】（Ⅰ）利用新定义，观察图形，即可求得结论；（Ⅱ）根据格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b，c即可求得S．【解答】解：（Ⅰ）观察图形，可得S=3，N=1，L=6；（Ⅱ）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=2，N=0，L=6∵格点多边形的面积S=aN+bL+c，∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得∴，∴S=N+﹣1将N=71，L=18代入可得S=79．故答案为：（Ⅰ）3，1，6；（Ⅱ）79．【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是关键．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．19．（13分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，依题意，列出关于其首项a1与公办q的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，可求得1﹣（﹣2）n≥2013，对n的奇偶性分类讨论，即可求得答案．【解答】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，显然q≠1，由题意得，由，解得q=﹣2，a3=12，故数列{a n}的通项公式为a n=a3•q n﹣3=12×（﹣2）n﹣3=3×（﹣2）n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）有a n=（﹣）×（﹣2）n．若存在正整数n，使得S n≥2013，则S n==1﹣（﹣2）n，即1﹣（﹣2）n≥2013，当n为偶数时，2n≤﹣2012，上式不成立；当n为奇数时，1+2n≥2013，即2n≥2012，则n≥11．综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的求和，考查分类讨论思想与方程思想，考查综合分析与推理运算能力，属于难题．20．（13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中•h来估算．已知V=（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．【分析】（Ⅰ）首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形DEFG 的一组对边相互平行，然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等，则可证明中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）由题意可证得MN是中截面梯形DEFG的高，根据四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形，利用梯形的中位线公式吧DE，FG用d1，d2，d3表示，这样就能把V估用含有a，h，d1，d2，d3的代数式表示，把V=（d1+d2+d3）S与V估作差后利用d1，d2，d3的大小关系可以判断出差的符号，及能判断V估与V的大小关系．【解答】（Ⅰ）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2，又A1A2=d1，B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形．由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE．同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG．又M，N分别为AB，AC的中点，则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线．因此DE=，FG=，而d1＜d2＜d3，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）V估＜V．证明：由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN．而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN．由MN是△ABC的中位线，可得MN=BC=a，即为梯形DEFG的高，因此，即．又S=ah，所以．于是=．由d1＜d20，d3﹣d1＞0，故V估＜V．【点评】本题考查直三棱柱的性质，体积，线面关系及空间想象能力，解答该题的关键是要有较强的空间想象能力，避免将各线面间的关系弄错，此题是中高档题．21．（13分）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=．（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．（i）判断f（1），f（），f（）是否成等比数列，并证明f（）≤f（）；（ii）a、b的几何平均数记为G．称为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．【分析】（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f（x）的单调性；（Ⅱ）（i）利用函数解析式，求出f（1），f（），f（），根据等比数列的定义，即可得到结论；（ii）利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为{x|x≠﹣1}，∴当a＞b＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增；当0＜a＜b时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递减．（Ⅱ）（i）计算得f（1）=，f（）=，f（）=．∵∴f（1），f（），f（）成等比数列，∵a＞0，b＞0，∴≤∴f（）≤f（）；（ii）由（i）知f（）=，f（）=，故由H≤f（x）≤G，得f（）≤f（x）≤f（）．当a=b时，f（）=f（x）=f（）=f（1）=a，此时x的取值范围是（0，+∞），当a＞b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，这时有≤x≤，即x的取值范围为≤x≤；当a＜b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，这时有≤x≤，即x的取值范围为≤x≤．【点评】本题考查函数的单调性，考查等比数列，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（14分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN 的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．【分析】（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值；（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．【解答】解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，．其中a＞m＞n＞0，＞1．（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得y A=m，y B=n，y D=﹣m，于是．若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k＞0），点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2．又，所以，即|BD|=λ|AB|．由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知x C=﹣x B，x D=﹣x A，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．【点评】本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法．。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。

考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。

答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B C A =I （ ） A. {2} B. {3,4} C. {1,4,5} D. {2,3,4,5} 答案：B考点：集合的运算分析：先算出U C A ，再算U B C A I .解答：{3,4,5}U C A =，{2,3,4}{3,4,5}{3,4}U B C A = I ð.故答案为B. 备注：考点：集合的运算.难度A.2.已知04< ，则双曲线22122:1sin cos x y C 与22222:1cos sin y x C的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等答案：D考点：双曲线的性质.分析：分别表示出双曲线1C 和2C 的实轴，虚轴，离心率和焦距，最后比较即可.解答：双曲线1C 的实轴长为2sin ，虚轴长为2cos ，焦距为2 ，离心率为1sin；双曲线2C 的实轴长为2cos ，虚轴长为2sin ，焦距为2 ，离心率为1cos，故只有焦距相等.故答案为D.备注：考点：双曲线的性质.难度A.3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙 降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A.()()p q B. ()p q C. ()()p q D. p q答案：A考点：命题，逻辑联结词.分析：分析“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含的情况.便可选出答案. 解答：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”，“甲没有降落在指定范围，乙降落在指定范围”， “甲没有降落在指定范 围，乙没有降落在指定范围”三种情况.故答案为A.备注：考点：命题，逻辑联结词.难度A.4.四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且 2.347 6.423y x = ；②y 与x 负相关且 3.476 5.648y x = ； ③y 与x 正相关且 5.4788.493y x = ；④y 与x 正相关且 4.326 4.578y x = ； 其中一定不正确的结论的序号是（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④ 答案：D考点：回归直线方程.分析：回归直线的一次项系数为正，则正相关，为负，则负相关.解答：回归直线的一次项系数为正，则正相关，为负，则负相关.故错误的有①④.故答案为D.备注：考点：回归直线方程.难度:A.5.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上时间吻合得最好的图象是（ ）答案：C考点：函数的图象的实际应用.分析：分析骑车过程中的速度变化便可选出答案.解答：骑车的速度变化有三个阶段，第一阶段速度较小，第二阶段速度为0，第三阶段速度较大，故答案为C.备注：考点：函数的图象的实际应用.难度A.6. 将函数sin ()y x x x R = +的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.12B.6C.3D.56答案：B考点：三角函数的图象.分析：先将函数sin ()y x x x R = +化简，在进行计算.解答：sin 2sin()3y x x x=+，其向左平移6个单位后得到函数2sin(2sin(2cos 362y x x x=++，其图象关于y 轴对称.故答案为B.备注：考点：三角函数的图象.难度A.7. 已知点)1,1( A 、)2,1(B 、)1,2( C 、)4,3(D ，则向量AB 在方向的投影为（ ）A.223 B. 2153 C. 223 D. 2153 答案： A考点：向量的投影。

2013年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D画板，全开放的几何教课软件，功能强盛，好用适用一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．已知全集U {1,2,3,4,5}，会合A{1,2}，B{2,3,4}，则BIeAUA．{2}B．{3,4}C．{1,4,5}D．{2,3,4,5} 22222．已知0π，则双曲线C1：x2y21与C2：y2x21的4sin cos cos sinA．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲下降在指定范围”，q是“乙下降在指定范围”，则命题“起码有一位学员没有下降在指定范围”可表示为A．(p)∨(q)B．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q4．四名同学依据各自的样本数据研究变量x,y之间的有关关系，并求得回归直线方程，分别获得以下四个结论：①y与x负有关且$x；$；y②y与x负有关且y③y与x正有关且$；$x. y④y与x正有关且y此中必定不正确的结论的序号是．．．A．①②B．②③C．③④D．①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通拥塞逗留了一段时间，后为了赶时间加迅速度行驶.与以上事件符合得最好的图象是距学校的距离距学校的距离O时间O 时间A B距学校的距离距学校的距离O时间O时间C D6．将函数y3cosx sinx(x R)的图象向左平移m(m 0)个单位长度后，所获得的图象对于y轴对称，则m的最小值是A．πB．πC．πD．5π1263uuur67．已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2,uuur1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为3231532D．315A．2B．C．2 228．x为实数，[x]表示不超出x的最大整数，则函数f(x)x[x]在R上为A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数9．某旅游社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅游，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅游社要求租车总数不超出21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元10．已知函数f(x)x(lnx ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是A．(,0)B．(0,1C．(0,1)D．(0,) )2二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的地点上.答错地点，．．．．．．．书写不清，含糊其词均不得分.11．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点对于原点对称，若z123i，则z2. 12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数以下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）均匀命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为.13．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序.若输入m的值为2，则输出的结果i.开始输入mA1,B1,i0ii1A AmBBi否A B?是输出i结束第13题图14．已知圆O：x2y25，直线l：xcosysin1（0π）.设圆O上到直线l的距离等于1的点2的个数为k，则k.15．在区间[2,4]上随机地取一个数x，若x知足|x|m的概率为5，则m.616．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平川降雨量是寸.（注：①平川降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点P(x,y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点.若一个多边形的极点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，界限上的格点数记为L.比如图中△ABC是格点三角形，对应的S 1，N0，L4.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c，此中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的N 71，L 18，则S（用数值作答）.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A 3cos(B C) 1.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S 53，b5，求sinBsinC的值.19．（本小题满分13分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）能否存在正整数n，使得S n 2013？若存在，求出切合条件的全部n的会合；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平川面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再持续下钻到A2处后下边已无矿，进而获得在A处正下方的矿层厚度为A1A2d1．相同可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2d2，C1C2d3，且d1d2d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一此中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记BCa，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC地区内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估S中h来估量.已知1(d1d2d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明.V3第20题图21．（本小题满分13分）设a0，b0，已知函数f(x)ax b.x 1（Ⅰ）当a b时，议论函数f(x)的单一性；（Ⅱ）当x 0时，称f(x)为a、b对于x的加权均匀数.（i）判断f(1),f(b), a f(b)能否成等比数列，并证明af(b)af(b)a；（ii）a、b的几何均匀数记为G.称2ab为a、b的调解均匀数，记为H.若H f(x)G，求xa b的取值范围.22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在座标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n(m n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小挨次为A，B，C，D．记m，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2. n（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1S2，求的值；（Ⅱ）当变化时，能否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1S2？并说明原因．第yABM O NxCD22题图2013年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）试题参照答案 一、选择题：1．B BIe U A {2,3,4}{3,4,5}{3,4}.x 2 22 22．D 在双曲线C 1：y1与C 2：yx1中，都有c 2sin 22 1，即焦sin 2222coscoscossin距相等3．A 由于p 是“甲下降在指定范围”，q 是“乙下降在指定范围”，则p 是“没有下降在指定范围”，q是“乙没有下降在指定范围” ，所以命题“起码有一位学员没有下降在指定范围”可表示为 ( p)∨(q).4．D 在○1中，y 与x 不是负有关； ○1必定不正确；同理○4也必定不正确.5．C 能够将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数， 所对应的函数图象是一条直线段， 由此能够判断 A 是错误的；第二段因交通 拥挤逗留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变， 即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数， 所对应的函数图象是平行于 x 轴的一条线段，由此能够清除 D ；第三段小明为了赶时间加迅速度行驶，即小 明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，进而清除B.应选C.6．B由于y3cosxsinx(xR)可化为y2cos(x )（x ∈R ），将它向左平移 π个单位得66y2cos(x)2cosx ，其图像对于y 轴对称.6 67．AAB =（2,1），CD =（5,5），则向量AB 在向量CD 方向上的射影为ABCD(2,1)(5,5)25 15 32ABcos52 525 2.CD28．D函数f(x)x[x]表示实数x 的小数部分，有f(x1)x1[x1]x[x]f(x)，所以函数f(x) x [x]是以1为周期的周期函数.9．C依据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则依据题设，有x y 21,y x 7, 画出可行域，求出三个极点的坐标分别为A(7，14)，B(5，12)，C(15，6），目标函数（租x 0,y0,36x60y900,金）为k1600x 2400y ，以下图.将点B 的坐标代入此中，即得租金的最小值为：k 1600 5 24001236800（元）.10．B f'(x)lnx1 2ax ，由f(x)x(lnxax)由两个极值点，得f'(x)0有两个不等的实数解，即lnx2ax1 有两个实数解，进而直线y 2ax 1与曲线y lnx 有两个交点.过点（0，－1）作ylnx的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率k1 ，切线方程为 y1x1.切点在切线上，则x 0x 0x 0y 0 10，又切点在曲线ylnx 上，则lnx 00x 01，即切点为（1，0）.切线方程为yx1.x 0再由直线y2ax 1与曲线y lnx 有两个交点.，知直线y 2ax1位于两直线y 0和yx1之间，以下图，其斜率2a 知足：0＜2a ＜1，解得0＜a ＜1.2二、填空题：11．23i 复数z2 3i在复平面内的对应点12为（－2,3），所1Z （2，－3），它对于原点的对称点 Z对应的复数为z 22 3i.12．（Ⅰ）7（Ⅱ）2（Ⅰ）71 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 7；10（Ⅱ）2s17) 22(9 7) 2(8 7)23(7 7)2(57)22(47) 2=40 2.(10101013．4 初始值m=2，A=1，B=1,i=0，第一次履行程序，得 i=1，A=2，B=1，由于A<B 不建立，则第二次履行程序，得i=2，A=2×2=4，B=1×2=2，还是A<B 不建立，第三次履行程序， 得i=3，A=4×2=8，B=2×3=6，还是A<B 不建立，第四次履行程序， 得i=4，A=8×2=16，B=×4=24，有A<B 建立，输出i=4.14．4这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线l 的距离为11，所以圆O 上到直线lcos 2sin 2的距离等于1的点有4个，如图A、B、C、D所示.15．3由于区间[2,4]的长度为6，不等式|x|m的解区间为[－m，m]，其区间长度为2m.那么在区间[2,4]上随机地取一个数x，要使x知足|x|m的概率为5，m将区间[2,4]分为[－2，m]和[m，4]，6且两区间的长度比为5:1，所以m=3.16．3如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为V9621026103196（立3方寸），盆口面积S=196π（平方寸），所以，平川降雨量为3196(寸3)3（寸）.（寸2）19617．（Ⅰ）3,1,6（Ⅱ）79（Ⅰ）3,1,6S=S△DFG+S△DEF=1+2=3，N=1，L=6；（Ⅱ）79依据题设△ABC是格点三角形，对应的S1，N0，L4，有4bc1，○1由（Ⅰ）有a6b c3○，2再由格点△DEF中，S=2，N=0，L=6，得6b c2，○3○○○1,c1,a1.联立123，解得b2所以当N71，L18时，S118179. 712三、解答题：18．（Ⅰ）由cos2A3cos(B C)2A3cosA20, 1，得2cos即(2cosA1)(cosA2)0，解得cosA1或cosA2（舍去）.2由于0Aππ，所以A.31 bcsinA 1bc33bc53,得bc20.又b5，知c4.（Ⅱ）由S2242由余弦定理得a 2 b 2 c 22bccosA 25 1620 21, 故 a 21 .又由正弦定理得sinBsinCb c sinA bc 2 A20 3 5.sinA a 2sin 214 7a a19．（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，则a 1 0 ，q0.由题意得S 2 S 4S 3S 2,即a 1q 2 a 1q 3 a 1q 2,a 2 a 3 a 4 18,a 1q(1 qq 2)18,解得a 1 3,q2.故数列{a n }的通项公式为a n 3(2)n1.（Ⅱ）由（Ⅰ）有S n 3 [1 ( 2)n ] 1 ( 2)n.1 ( 2)若存在n ，使得S n 2013，则1 (2)n2013，即(2)n2012.当n 为偶数时，( 2)n0，上式不建立；当n 为奇数时，(2)n 2n 2012，即2n2012，则n 11.综上，存在切合条件的正整数n ，且全部这样的n 的会合为{nn2k 1,k N,k5}.20．（Ⅰ）依题意A 1A 2 平面ABC ，B 1B 2平面ABC ，C 1C 2平面ABC ，所以A 12 12 12 . 又 AAd 1， BBdCC2dd 1 d2dA ∥BB ∥CC 12 12 2， 1 3，且3.所以四边形A 1A 2B 2B 1、A 1A 2C 2C 1 均是梯形.由AA 2∥平面MEFN ，AA 2平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2BI 平面MEFNME ，可得AA 2∥ME ，即A 1 A 2∥DE.同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG.又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为A 1B 1、A 2B 2、A 2C 2、A 1C 1的中点，即DE 、FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1、A 1A 2C 2C 1的中位线.所以DE1B 1B 2)1d 2)，FG1C 1C 2)1(d 1 d 3)，(A 1A 2(d 1(A 1A 222 2 2而d 1 d 2d 3，故DE FG ，所以中截面 DEFG 是梯形.（Ⅱ）V 估V.证明以下：由A 1A 2平面ABC ，MN 平面ABC ，可得A 1A 2MN.而EM ∥A 1A 2 ，所以EM MN ，同理可得FNMN .由MN 是△ABC 的中位线，可得MN1BC1a 即为梯形DEFG 的高，22所以S 中 S 梯形DEFG1 (d 1 d 2d 1 d 3) aa(2d 1 d 2 d 3)，222 2 8即V 估S 中hah(2d 1d 2d 3).8又S11(d 1 d 2 d 3)Sah(d 1d 2d 3).ah ，所以V236于是VV 估ahd 2ah d 2 d 3)ahd 1)(d 3d 1)]. (d 1d 3) 8 (2d 1[(d 2624由d 1 d 2d 3，得d 2d 10，d 3 d 1 0，故V 估V.21．（Ⅰ）a(x 当 f(x)ab 时， ab 时，f(x)的定义域为(,1)U(1,)，1) (ax b)ab(x 2(x2.1) 1)f (x) 0，函数f (x)在( ,1)，(1, )上单一递加； f (x) 0 ，函数f(x)在(,1)，(1, )上单一递减.（Ⅱ）（i ）计算得f(1)ab 0，f(b) 2ab 0，f(b ) ab0.2 aa ba故f(1)f(b)a b 2ab ab [f(b)]2,即a2 a b af(1)f(b )[f(b)]2.①aa所以f(1),f(b), f(b)成等比数列.aa因 a bab ，即f(1)f( b f(bf(b2).由①得 )).aaa（ii ）由（i ）知f (b)Hb G.故由Hf(x)G ，得，f()aaf (b)f ( )f ( b ) .②axa当ab 时，f(b)f(x) f(b)a.aa这时，x 的取值范围为(0, )；当ab 时，0 b 1，进而bb，由f(x)在(0,)上单一递加与②式，aaa得bxb，即x 的取值范围为b , b ；aaa a当ab 时，b1，进而bb ，由f(x)在(0,)上单一递减与②式，aaa得 b x b，即x 的取值范围为b ,b.aaa a22．依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为221，C 2：x2 2C 1：x2 y 2 2y 2 1.此中amn0，m 1.a m a nn（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线 l 的方程为x0，则S 1 11a|BD|，S 21|ON|1S 1 |BD||BD||OM| 2|AB|a|AB|，所以 .222S 2 |AB|在C 1 和C 2 的方程中分别令 x 0，可得y A m ，y B n ，y Dm ，于是|BD||y By D | m n 1.|AB||y Ay B |mn1若S 1，则1 ，化简得221 0.由1，可解得21.S 21故当直线l与y轴重合时，若S1S2，则2 1.解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则|BD||OB||OD|mn ，|AB||OA||OB|m n ；S 11 |BD||OM|11 1a|AB|.2a|BD|，S 22 |AB||ON|22所以S 1 |BD|m n1|AB|m n.S 2 1若S 1 ，则1 ，化简得 2210.由1，可解得21.S 21故当直线l 与y 轴重合时，若S 1S 2，则 21 .yA yA BBM N xMN xOOCCD D第22题解答图1第22题解答图2（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得S 1S 2.依据对称性，不如设直线l ：y kx(k 0)，点M( a,0)，N(a, 0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则由于d 1|ak 0|ak，d 2|ak 0|ak ，所以d 1d 2.1k 21k 21k 21k 2又S 1 1 ，S 21|AB|d 2，所以 S 1|BD| ，即|BD||AB|.|BD|d 1 2S 2 |AB|2由对称性可知|AB| |CD|，所以|BC||BD||AB| (1)|AB|，|AD| |BD| |AB| ( 1)|AB|，于是|AD|1 .①|BC|1将l 的方程分别与 C 1，C 2 的方程联立，可求得x Aam， x Ban.a2k 2m 2a 2k 2 n 2依据对称性可知 x C x B ，x D x A ，于是|AD| 2x D |2x A ma 2k 2n21k|x A|BC|2x C |2x B na2k 2m 2.②1k|x B进而由①和②式可得a 2k 2 n 21③a 2k 2m 2 ( .1)令t(1 ，则由m n ，可得t1，于是由③可解得 k 2n 2( 2t 2 1) .1)a 2(1 t 2)由于k 0，所以k 20 .于是③式对于k 有解，当且仅当n 2( 2t 2 1) 0，a 2(1t 2)等价于 21)(t 210. 由 1，可解得1t1，(t 2)即1(1 1 ，由1，解得12，所以1)当1 12时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1 S 2；当1 2时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得S 1S 2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得S 1S 2 .依据对称性，不如设直线l ：y kx(k 0)，点M( a,0)，N(a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则由于d 1 | ak0| ak ，d 2|ak0|ak ，所以d 1d 2.1k21k21k21k2又S 1 11 S 1 |BD|.|BD|d 1，S 2|AB|d 2，所以 S 2|AB|22由于 |BD|1k 2|x Bx D |x Ax Bx A1.2，所以|AB|x B | x Ax Bx B11k|x A由点 (, kx A) ，B(x B ,kx B )分别在 1 2上，可得Ax A C ，Cx A 2 k 2x A 2 x B 2 k 2x B 2 1，两式相减可得 x A 2 x B 2 k 2(x A 2 2x B 2)，a 2 m 2 1， a 2 n 2 a 2 m 22 22m 2(x2 x2)依题意x A x B0 ，所以x A x B .所以由上式解得k22A2B2.( xxaB)A2m 2(x 2 x 2)x由于k0 ，所以由AB0 ，可解得1A.2xx 2)xa 2(2BAB进而11，解得12，所以1当112时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1 S 2；当1 2时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得 S 1S 2.。

2013年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B ∩∁∪A=（ ）A ．{2}B ．{3，4}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4，5}2．（5分）已知，则双曲线C 1：与C 2：的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A ．（￢p ）∨（￢q ）B ．p ∨（￢q ）C ．（￢p ）∧（￢q ）D ．p ∨q4．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且=2.347x ﹣6.423； ②y 与x 负相关且=﹣3.476x+5.648； ③y 与x 正相关且=5.437x+8.493； ④y 与x 正相关且=﹣4.326x ﹣4.578． 其中一定不正确的结论的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）A．B．C． D．6．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．8．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R 上为（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数9．（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元10．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1=2﹣3i，则z2= ．12．（5分）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为．13．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i= ．14．（5分）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k= ．15．（5分）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m= ．16．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S= （用数值作答）．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos （B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．19．（13分）已知Sn 是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．20．（13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C 1C2=d3，且d1＜d2＜d3．过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A 1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中•h来估算．已知V=（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．21．（13分）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=．（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．（i）判断f（1），f（），f（）是否成等比数列，并证明f（）≤f（）；（ii）a、b的几何平均数记为G．称为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．22．（14分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．2013年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B ∩∁∪A=（ ）A ．{2}B ．{3，4}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4，5}【分析】根据全集U 和集合A 先求出集合A 的补集，然后求出集合A 的补集与集合B 的交集即可【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}， 则C U A={3，4，5}， 又因为B={2，3，4}， 则（C U A ）∩B={3，4}． 故选：B ．【点评】此题考查了补集及交集的运算，是一道基础题，学生在求补集时应注意全集的范围．2．（5分）已知，则双曲线C 1：与C 2：的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【分析】通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论．【解答】解：双曲线C 1：可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2（sin 2θ+cos 2θ）=2；双曲线C：可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）2=2；所以两条双曲线的焦距相等．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选：A．【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648；③y与x正相关且=5.437x+8.493；④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578．其中一定不正确的结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【分析】由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项．【解答】解：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；②y与x负相关且；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；③y与x正相关且；此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；④y与x正相关且．此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．综上判断知，①④是一定不正确的故选：D．【点评】本题考查线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键，本题是记忆性的基础知识考查题，较易5．（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C． D．【分析】解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项【解答】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选：C．【点评】本题考查函数的表示方法﹣﹣图象法，正确解答本题关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征6．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选：B．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选：A．【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．8．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R 上为（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【分析】依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案．【解答】解：∵f（x）=x﹣[x]，∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．故选：D．【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题．9．（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元【分析】设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，总租金为z元．可得目标函数z=1600x+2400y，结合题意建立关于x、y的不等式组，计算A、B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低．由此设计方案并代入约束条件与目标函数验证，可得当x=5、y=12时，z达到最小值36800．【解答】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z 元，则z=1600x+2400y，其中x、y满足不等式组，（x、y∈N）∵A型车租金为1600元，可载客36人，∴A型车的人均租金是≈44.4元，同理可得B型车的人均租金是=40元，由此可得，租用B型车的成本比租用A型车的成本低因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低由此进行验证，可得当x=5、y=12时，可载客36×5+60×12=900人，符合要求且此时的总租金z=1600×5+2400×12=36800，达到最小值故选：C．【点评】题给出实际应用问题，要求我们建立目标函数和线性约束条件，并求目标函数的最小值，着重考查了简单的线性规划的应用的知识，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx ﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1=2﹣3i，则z2= ﹣2+3i ．【分析】直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数z2．【解答】解：设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，复数z1，z2的实部相反，虚部相反，z1=2﹣3i，所以z2=﹣2+3i．故答案为：﹣2+3i．【点评】本题考查复数的几何意义，对称点的坐标的求法，基本知识的应用．12．（5分）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为7 ；（Ⅱ）命中环数的标准差为 2 ．【分析】根据题中的数据，结合平均数、方差的计算公式，不难算出学员在一次射击测试中射击命中环数的平均数和方差，从而得到答案．【解答】解：（I）根据条件中的数据，得学员在一次射击测试中命中环数的平均数是=（7+8+7+9+5+4+9+10+7+4）=7，（II）可得学员在一次射击测试中命中环数的方差是s2=[（7﹣7）2+（8﹣7）2+…+（4﹣7）2]=4．故答案为：7，2．【点评】本题以求两人射击命中环数的平均数和方差为载体，考查了样本平均数、方差的计算公式和对特征数的处理等知识，属于基础题．13．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i= 4 ．【分析】框图输入m的值后，根据对A，B，i的赋值执行运算i=i+1，A=A×m，B=B×i，然后判断A＜B是否成立不成立继续执行循环，成立则跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给累积变量A，B赋值1，1，给循环变量i赋值0．若输入m的值为2，执行i=1+1，A=1×2=2，B=1×1=1；判断2＜1不成立，执行i=1+1=2，A=2×2=4，B=1×2=2；判断4＜2不成立，执行i=2+1=3，A=4×2=8，B=2×3=6；判断8＜6不成立，执行i=3+1=4，A=8×2=16，B=6×4=24；判断16＜24成立，跳出循环，输出i的值为4．故答案为4．【点评】本题考查了循环结构中的直到型结构，即先执行后判断，不满足条件执行循环，直到满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．14．（5分）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k= 4 ．【分析】找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d，根据d与r的大小关系及r﹣d的值，即可作出判断．【解答】解：由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=，∵圆心O到直线l的距离d==1＜，且r﹣d=﹣1＞1=d，∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k=4．故答案为：4【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键．15．（5分）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m= 3 ．【分析】画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．【解答】解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．故答案为：3．【点评】本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键．16．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 3 寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为寸．则盆中水的体积为（立方寸）．所以则平地降雨量等于（寸）．故答案为3．【点评】本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是基础题．17．（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是3，1，6 ；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S= 79 （用数值作答）．【分析】（Ⅰ）利用新定义，观察图形，即可求得结论；（Ⅱ）根据格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b，c即可求得S．【解答】解：（Ⅰ）观察图形，可得S=3，N=1，L=6；（Ⅱ）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=2，N=0，L=6∵格点多边形的面积S=aN+bL+c，∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得∴，∴S=N+﹣1将N=71，L=18代入可得S=79．故答案为：（Ⅰ）3，1，6；（Ⅱ）79．【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是关键．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos （B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．19．（13分）已知Sn 是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）设数列{an }的公比为q，依题意，列出关于其首项a1与公办q的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）依题意，可求得1﹣（﹣2）n≥2013，对n的奇偶性分类讨论，即可求得答案．【解答】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得，由，解得q=﹣2，a3=12，故数列{an }的通项公式为an=a3•q n﹣3=12×（﹣2）n﹣3=3×（﹣2）n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）有an =（﹣）×（﹣2）n．若存在正整数n，使得Sn≥2013，则Sn==1﹣（﹣2）n，即1﹣（﹣2）n≥2013，当n为偶数时，2n≤﹣2012，上式不成立；当n为奇数时，1+2n≥2013，即2n≥2012，则n≥11．综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的求和，考查分类讨论思想与方程思想，考查综合分析与推理运算能力，属于难题．20．（13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C 1C2=d3，且d1＜d2＜d3．过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A 1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中•h来估算．已知V=（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．【分析】（Ⅰ）首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形DEFG 的一组对边相互平行，然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等，则可证明中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）由题意可证得MN是中截面梯形DEFG的高，根据四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形，利用梯形的中位线公式吧DE，FG用d1，d2，d3表示，这样就能把V估用含有a，h，d1，d2，d3的代数式表示，把V=（d1+d2+d3）S与V估作差后利用d 1，d2，d3的大小关系可以判断出差的符号，及能判断V估与V的大小关系．【解答】（Ⅰ）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2，又A1A2=d1，B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形．由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE．同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG．又M，N分别为AB，AC的中点，则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线．因此DE=，FG=，而d1＜d2＜d3，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）V估＜V．证明：由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN．而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN．由MN是△ABC的中位线，可得MN=BC=a，即为梯形DEFG的高，因此，即．又S=ah，所以．于是=．由d1＜d20，d3﹣d1＞0，故V估＜V．【点评】本题考查直三棱柱的性质，体积，线面关系及空间想象能力，解答该题的关键是要有较强的空间想象能力，避免将各线面间的关系弄错，此题是中高档题．21．（13分）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=．（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．（i）判断f（1），f（），f（）是否成等比数列，并证明f（）≤f（）；（ii）a、b的几何平均数记为G．称为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．【分析】（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f（x）的单调性；（Ⅱ）（i）利用函数解析式，求出f（1），f（），f（），根据等比数列的定义，即可得到结论；（ii）利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为{x|x≠﹣1}，∴当a＞b＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增；当0＜a＜b时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递减．（Ⅱ）（i）计算得f（1）=，f（）=，f（）=．∵∴f（1），f（），f（）成等比数列，∵a＞0，b＞0，∴≤∴f（）≤f（）；（ii）由（i）知f（）=，f（）=，故由H≤f（x）≤G，得f（）≤f（x）≤f（）．当a=b时，f（）=f（x）=f（）=f（1）=a，此时x的取值范围是（0，+∞），当a＞b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，这时有≤x≤，即x的取值范围为≤x≤；当a＜b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，这时有≤x≤，即x的取值范围为≤x≤．【点评】本题考查函数的单调性，考查等比数列，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（14分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．【分析】（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值；（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．【解答】解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，．其中a＞m＞n＞0，＞1．（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，于是．若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k＞0），点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2．又，所以，即|BD|=λ|AB|．由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知xC =﹣xB，xD=﹣xA，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．【点评】本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法．。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则A. B. C. D.2.已知，则双曲线：与：的A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.∨B.∨C.∧D.∨4.四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y与x负相关且; ② y与x负相关且;③ y与x正相关且; ④ y与x正相关且.其中一定不正确的结论的序号是A.①②B.②③C.③④D. ①④5.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是6.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是A. B. C. D.7.已知点、、、，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.8.x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为A.奇函数B.偶函数C.增函数D. 周期函数9.某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆.则租金最少为A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元10.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则 .12.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则(Ⅰ)平均命中环数为 ;(Ⅱ)命中环数的标准差为 .13.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入的值为2，则输出的结果 .14.已知圆：，直线：().设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .15.在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则 .16.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)17.在平面直角坐标系中，若点的坐标，均为整数，则称点为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为. 例如图中△是格点三角形，对应的，，.(Ⅰ)图中格点四边形DEFG对应的分别是 ;(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的，，则 (用数值作答).三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若△的面积，，求的值.19.(本小题满分13分)已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)是否存在正整数，使得?若存在，求出符合条件的所有的集合;若不存在，说明理由.20.(本小题满分13分)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为.(Ⅰ)证明：中截面是梯形;(Ⅱ)在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时，可用近似公式来估算. 已知，试判断与V的大小关系，并加以证明.21.(本小题满分13分)设，，已知函数.(Ⅰ)当时，讨论函数的单调性;(Ⅱ)当时，称为、关于的加权平均数.(i)判断, ,是否成等比数列，并证明;(ii)、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数，记为H.若，求的取值范围.22.(本小题满分14分)如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记，△和△的面积分别为和.(Ⅰ)当直线与轴重合时，若，求的值;(Ⅱ)当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得?并说明理由.。

2013年湖北高考数学试题及答案(文科)一、选择题1． 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则B ∩(∁U A)＝( )A ．{2}B ．{3，4}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4，5}1．B [解析] ∁U A ＝{3，4，5}，B ∩(∁U A)＝{3，4}．2． 已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2．D [解析] c 1＝c 2＝sin 2 θ＋cos 2 θ＝1，故焦距相等． 3． 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳 一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q3．A [解析] “至少一位学员没降落在指定区域”即为“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.4． 四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ︿＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ︿＝－3.476x ＋5.648；③y 与x正相关且y ︿＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ︿＝－4.326x －4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④4．D [解析] r 为正时正相关，r 为负时负相关，r 与k 符号相同，故k>0时正相关，k<0时负相关．5． 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )图1－15．C [解析] 由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x 轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C 项符合，故选C.6． 将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈)的图像向左平移m(m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π66．B [解析] 结合选项，将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B.7． 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.3 22B.3 152C ．－3 22D ．－3 1527．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22.8． x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f(x)＝x －[x]在上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．周期函数 8．D [解析] 作出函数f(x)＝x －[x]的大致图像如下：观察图像，易知函数f(x)＝x －[x]是周期函数．9． 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元9．C [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧36A ＋60B ≥900，A ＋B ≤21，B －A ≤7，其可行域如图中阴影部分，令z ＝1 600A ＋2400BB ＝－23A ＋z2 400，过点M(5，12)时，z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800.10． 已知函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，1) D ．(0，＋∞)10．B [解析] f′(x)＝ln x －ax ＋x(1x－a)＝ln x －2ax ＋1，函数f(x)有两个极值点等价于方程ln x －2ax ＋1＝0有两个大于零的不相等的实数根．令y 1＝ln x ，y 2＝2ax －1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a ≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y ′1＝1x ，故曲线y ＝ln x 上的点(x 0，ln x 0)处的切线方程是y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x 0＝－1，解得x 0＝1，故过点(0，－1)的曲线y ＝ln x的切线斜率是1，故2a ＝1，即a ＝12，所以a 的取值范围是(0，12)．11． i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________．11．－2＋3i [解析] 由z 2与z 1对应的点关于原点对称知：z 2＝－2＋3i. 12． 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7，8，7，9，5，4，9，10，7，4 则(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．12．(1)7 (2)2 [解析] x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7，标准差σ＝110[（7－7）2＋（8－7）2＋…＋（4－7）2]＝2. 13． 阅读如图1－2所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝________．图1－213．4 [解析] 逐次运行结果是i ＝1，A ＝2，B ＝1；i ＝2，A ＝4，B ＝2；i ＝3，A ＝8，B ＝6；i ＝4，A ＝16，B ＝24，此时A<B 成立，故输出i ＝4.14． 已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2.设圆O 上到直线l的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．14．4 [解析] 圆心到直线的距离d ＝1，r ＝5，r －d>d ，所以圆O 上共有4个点到直线的距离为1，k ＝4.15． 在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为56，则m ＝________．15．3 [解析] 由题意知m>0，当0<m<2时，－m ≤x ≤m ，此时所求概率为m －（－m ）4－（－2）＝56，得m ＝52(舍去)；当2≤m<4时，所求概率为m －（－2）4－（－2）＝56，得m ＝3；当m ≥4时，概率为1，不合题意，故m ＝3.16． 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)16．3 [解析] 积水深度为盆深的一半，故此时积水部分的圆台上底面直径为二尺，圆台的高为九寸，故此时积水的体积是13π(102＋62＋10×6)×9＝196×3π(立方寸)，盆口的面积是π×142＝196π，所以平均降雨量是196×3π196π＝3寸．图1－317． 在平面直角坐标系中，若点P(x ，y)的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L.例如图1－3中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数，若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．17．(1)3，1，6 (2)79 [解析] (1)把四边形面积分割，其中四个面积为12的三角形，一个面积为1的正方形，故其面积为S ＝3；四边形内部只有一个格点；边界上有6个格点，故答案为3，6，1.(2)根据图中的格点三角形和四边形可得1＝4b ＋c ，3＝a ＋6b ＋c ，再选顶点为(0，0)，(2，0)，(2，2)，(0，2)的格点正方形可得4＝a ＋8b ＋c ，由上述三个方程组解得a ＝1，b ＝12，c ＝－1，所以S ＝N ＋12L －1，将已知数据代入得S ＝71＋9－1＝79.18． 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sinB sin C 的值．18．解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理得sin Bsin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.19． 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18， 即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q （1＋q ＋q 2）＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－（－2）n ]1－（－2）＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013， 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n ＞0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n|n ＝2k ＋1，k ∈，k ≥5}． 20． 如图1－4所示，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A 1A 2＝d 1.同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1＜d 2＜d 3.过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线AA 2平行的平面截多面体A 1B 1C 1－A 2B 2C 2所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．(1)证明：中截面DEFG 是梯形；(2)在△ABC 中，记BC ＝a ，BC 边上的高为h ，面积为S.在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体A 1B 1C 1－A 2B 2C 2的体积V)时，可用近似公式V 估＝S 中·h 来估算，已知V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．图1－420．解：(1)证明：依题意A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ，C 1C 2⊥平面ABC ， 所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2.又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1＜d 2＜d 3， 因此四边形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1均是梯形，由AA 2∥平面MEFN ，AA 2平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE.同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又M ，N 分别为AB ，AC 的中点．则D ，E ，F ，G 分别为A 1B 1，A 2B 2，A 2C 2，A 1C 1的中点， 即DE ，FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1的中位线．因此DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝12(d 1＋d 2)，FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝12(d 1＋d 3)，而d 1<d 2<d 3，故DE<FG ，所以中截面DEFG 是梯形． (2)V 估<V ，证明如下：由A 1A 2⊥平面ABC ，MN 平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN. 而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ，同理可得FN ⊥MN.由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝12BC ＝12a 即为梯形DEFG 的高，因此S 中＝S 梯形DEFG ＝12⎝⎛⎭⎫d 1＋d 22＋d 1＋d 32·a 2＝a8(2d 1＋d 2＋d 3)．即V 估＝S 中h ＝ah8(2d 1＋d 2＋d 3)，又S ＝12ah ，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝ah6(d 1＋d 2＋d 3)．于是V －V 估＝ah 6(d 1＋d 2＋d 3)－ah 8(2d 1＋d 2＋d 3)＝ah24[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]．由d 1<d 2<d 3，得d 2－d 1>0，d 3－d 1>0，故V －V 估>0，即V 估<V .21．， 设a>0，b>0，已知函数f(x)＝ax ＋bx ＋1.(1)当a ≠b 时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x>0时，称f(x)为a ，b 关于x 的加权平均数．(i)判断f(1)，f(b a )，f(b a )是否成等比数列，并证明f(b a )≤f(ba)；(ii)a ，b 的几何平均数记为G ，称2aba ＋b为a ，b 的调和平均数，记为H.若H ≤f(x)≤G ，求x 的取值范围．21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x)＝a （x ＋1）－（ax ＋b ）（x ＋1）2＝a －b（x ＋1）2.当a ＞b 时，f ′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增； 当a ＜b 时，f ′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．(2)(i)计算得f(1)＝a ＋b 2＞0，f ⎝⎛⎭⎫b a ＝2aba ＋b ＞0， f ⎝⎛⎭⎫b a ＝ab ＞0. 故f(1)f ⎝⎛⎭⎫b a ＝a ＋b 2·2ab a ＋b ＝ab ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫b a 2，即f(1)f ⎝⎛⎭⎫b a ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫b a 2.①所以f(1)，f ⎝⎛⎭⎫b a ，f ⎝⎛⎭⎫b a 成等比数列．因a ＋b 2≥ab ，即f(1)≥f ⎝⎛⎭⎫b a ，结合①得f ⎝⎛⎭⎫b a ≤f ⎝⎛⎭⎫b a . (ii)由(i)知f(b a )＝H ，f(ba)＝G ，故由H ≤f(x)≤G ，得f ⎝⎛⎭⎫b a ≤f(x)≤f ⎝⎛⎭⎫b a .② 当a ＝b 时，f ⎝⎛⎭⎫b a ＝f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫b a ＝a. 这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a ＞b 时，0＜b a ＜1，从而b a ＜b a ，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与②式，得b a ≤x ≤ba ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b a，b a ；当a ＜b 时，b a ＞1，从而b a ＞ba，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与②式，得b a ≤x ≤b a ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b a ，b a .22．， 如图1－5所示，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n(m>n)，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.记λ＝mn，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．图1－522．解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1，C 2：x 2a 2＋y 2n 2＝1，其中a>m>n>0，λ＝m n>1.(1)方法一：如图①，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0.则S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|，所以S 1S 2＝|BD||AB|. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是|BD||AB|＝|y B －y D ||y A －y B |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ＝2＋1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.方法二：如图①，若直线l 与y 轴重合，则|BD|＝|OB|＋|OD|＝m ＋n ，|AB|＝|OA|－|OB|＝m －n.S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|.所以S 1S 2＝|BD||AB|＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝2＋1. 故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.(2)方法一：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ，即|BD|＝λ|AB|.由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|，|AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，于是|AD||BC|＝λ＋1λ－1，①将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得x A ＝am a 2k 2＋m 2，x B＝ana 2k 2＋n 2. 根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是|AD||BC|＝1＋k 2|x A －x D |1＋k 2|x B －x C |＝2x A 2x B ＝m n a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2.②从而由①和②式可得a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2＝λ＋1λ（λ－1）.③令t ＝λ＋1λ（λ－1），则由m>n ，可得t ≠1，于是由③可解得k 2＝n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）. 因为k ≠0，所以k 2>0，于是③式关于k 有解，当且仅当n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）>0，等价于(t 2－1)(t 2－1λ2)<0.由λ>1，可解得1λ<t<1，即1λ<λ＋1λ（λ－1）<1，由λ>1，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.方法二：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak1＋k 2，所以d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ.因为|BD||AB|＝1＋k 2|x B －x D |1＋k 2|x A －x B |＝x A ＋x B x A －x B＝λ，所以x A x B ＝λ＋1λ－1.由点A(x A ，kx A )，B(x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得x 2A a 2＋k 2x 2A m 2＝1，x 2B a 2＋k 2x 2Bn2＝1，两式相减可得x 2A －x 2B a 2＋k 2（x 2A －λ2x 2B ）m 2＝0，依题意x A >x B >0，所以x 2A >x 2B ，所以由上式解得k 2＝m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）.因为k 2>0，所以由m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）>0，可解得1<x A x B <λ. 从而1<λ＋1λ－1<λ，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.。