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基本不等式的应用课件(40张) 高中数学 必修5 苏教版

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苏教版数学必修五3《不等式》ppt课件

苏教版数学必修五3《不等式》ppt课件

值，“2＜3”比“2≤3”更确切．
2．抓住题意中的关键词，明确基本数量关系，类比列 方程的方法，准确表示不等式．
典例解析
栏 目 链
接
题型1 用不等式(组)表示不等关系
例 1 已知某杂志每本原定价 2 元，可发行 5 万本，若每本提价
0.20 元，则发行量将减少 4 000 本，为使销售总收入不少于 9 万元，
(1)若 ac2>bc2，则 a>b；(2)若 a<b<0，则 a2>ab>b2；
栏
(3)若 a>b，1a>1b，则 a>0，b<0.
目 链 接
解析：(1)由 ac2>bc2 知 c≠0，
∴c2>0.∴a>b，故该命题为真命题．
(2) a<b⇒a2>ab；又 a<b⇒ab>b2，
a<0
b<0
∴a2>ab>b2，故该命题为真命题．
将“差”化成“积”；
栏
目
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不
链 接
确定的要分情况讨论)．
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形” 是关键．
►变式迁移
3．已知a，b∈R＋，试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的 大小．
解析：∵a3＋b3－(a2b＋ab2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
栏
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
目 链
接
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当 x＝y＝21且 z＝1 时取等号．

【优质课件】苏教版必修5高二数学第3章《不等式》优秀课件.pptx

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3.二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax ＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数 Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平 面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地， 当C≠0时，常取原点作为特殊点．
利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺 一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取 到最值，可以考虑用函数的单调性求解．
所以f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值；
呈重点、现规律
1.不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等 式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和 运用不等式的八条性质．
4.求目标函数最优解的方法 通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应 的点往往是可行域的顶点． 5.运用基本不等式求最值把握三个条件：①“一正”——各 项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三 相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
例 1 设 不 等 式 x2 － 2ax ＋ a ＋ 2≤0 的 解 集 为 M ， 如 果 M⊆[1,4]，求实数a的取值范围． 解 M⊆[1,4]有两种情况： 其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0， 下面分三种情况计算a的取值范围． 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)， (1)当Δ<0时，－1<a<2，M＝∅⊆[1,4]； (2)当Δ＝0时，a＝－1或2； 当a＝－1时，M＝{－1} [1,4]； 当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]．

基本不等式的应用课件(55张) 高中数学 必修5 苏教版

基本不等式的应用课件(55张) 高中数学 必修5 苏教版

1 1 1 bc≤b＋c ，所以
[学习目标]
1.进一步理解掌握基本不等式，会用基
本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最 值， 能解决一些简单的实际问题.2.培养创新精神和理论与 实践相结合的科学态度，培养对数学的应用意识．
1．如果用 x，y 来分别表示矩形的长和宽，用 l 来表 示矩形的周长，S 来表示矩形的面积，则 l＝2(x＋y)，S ＝xy． 2．在上题中，若面积 S 为定值，则由 x＋y≥2 xy，
预期目标为两企业年利润之和是 1 600 万元， 从 1998 年年初起，问：哪一年两企业获利之和最小？事实上：从 1998 年起， 第 n 年获利为 yn.则
n－ 1
3n－1 2 yn＝320×2 ＋720×3
(n∈N*)．这个函数的最小值问题将如何解决呢？学习
了本节内容后，此问题就能比较简单地解决了．
两个不等式中等号成立的条件都是 a＝b.
(3)运用两个重要不等式解题时，要学会应用它们的
2 2 a ＋ b 变式灵活地解题， 例如 a2＋b2≥2ab 可变形为 ab≤ ， 2 2 a 1 2 2 2 2 b ≥2ab－a ；当 b＞0 时， ＋b≥2a，λ a ＋ b ≥2ab(λ b λ
2 a＋b a＋b a＋b ＞0)等．又如 ≥ ab可变形为 ab≤ ， ≥ 2 2 2
a 命题：函数 f(x)＝x＋x(a＞0)在区间(－∞，－ a]， [ a，＋∞)上为增函数，在区间[－ a，0)和(0， a]上为 减函数． 证明： 设 x1＜x2， 则 1 (x －x2)(x1x2－a)． x1x2 1
1 1 f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋ax －x ＝ 1 2
4 S ． 可知周长有最小值，为_______

高中数学 第一部分 第三章 3.4 第二课时 基本不等式的应用课件 苏教版必修5

高中数学 第一部分 第三章 3.4 第二课时 基本不等式的应用课件 苏教版必修5

的正数，则 lgx＋lgy 的最大值是________． (2)(2011· 华南师大附中模拟)已知 x>0，y>0，且 x＋ 1 1 4y＝1，则x＋ y的最小值为________．
[思路点拨] 根据所给条件， 结合基本不等式可 求其最值．
[精解详析] (1)∵x>0，y>0 ∴4＝2x＋y≥2 2xy. 当且仅当 2x＝y＝2 时取等号． ∴xy≤2. ∴lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg 2.
第 三 章 不 等 式
第 二 课 时 3.4 基本不等式
ab ≤ a ＋b
2 ( a ≥0 ，b ≥0)
理解教 材新知 考点一 考点二 考点三
基 本 不 等 式 的 应 用
把握热 点考向
应用创 新演练
第二课他们比赛谁能更快地到学校，他们约定：同时从家里
出发，甲一半路程跑步，另一半路程步行，乙用一半
时间跑步，用另一半时间步行，并且甲、乙两人跑步 的速度一样快，步行的速度也一样快，
问题1：若甲、乙两人跑步的速度为v1，步行 的速度为v2，家距学校的距离为s，怎样表示他们 由家到学校的时间？
提示：设甲到学校的时间为 t1，乙到学校的时间为 sv1＋v2 s s t2，则 t1＝2v ＋2v ＝ 2v v 1 2 1 2 2s t2＝ v1＋v2
[一点通]
利用基本不等式求最值的关键是获得
定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当 的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本 不等式的条件．
4 1．(2012· 成都高二检测)设 x>0，则函数 y＝x＋ 的最小 x 值是__________．
解析：∵x>0， 4 ∴x＋x≥2 4 x· x＝4.

高中数学 第3章3.4.2基本不等式的应用 配套课件 苏教版必修5

高中数学 第3章3.4.2基本不等式的应用 配套课件 苏教版必修5
∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx.
第十一页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
∵x>0，y>0，∴xy＋9yx≥2 xy·9yx＝6. 当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时，取等号． 又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12. ∴x＝4，y＝12 时，x +y 取最小值 16.
3.4.2
3.4.2 基本不等式的应用
【学习要求】
1．熟练掌握基本不等式及变形的应用． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【学法指导】 1．要善于活用基本不等式，也就是不仅要善于“正用”、“逆
用”，更要善于“变形用”． 2．利用基本不等式求函数的最大值或最小值的基本技巧是“拼
凑”，即要求和的最小值，必须拼凑两个正数，使它们的积 为定值；要求积的最大值，必须拼凑两个正数，使它们的和 为定值.
第三页，共25页。
填一填·知识要点(yàodiǎn)、记下疑难 点
3.4.2
3．下列函数中，最小值为 4 的函数是____③____．
①y＝x＋4x
②y＝sin x＋sin4 x(0<x<π)
③y＝ex＋4e－x ④y＝log3x＋logx81
4．已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为___－_2____．
达 B 市，已知两地铁路线长 400 千米，为了安全，两列货车的 间距不得小于2v02 千米，那么这批货物全部运到 B 市，最快需
要____8____小时．
解析 设这批货物从 A 市全部运到 B 市的时间为 t，则
t＝400＋v162v02＝40v0＋14600v≥2
40v0×1460v0＝8(小时)，

高中数学 3.4《基本不等式》课件 苏教版必修5

高中数学 3.4《基本不等式》课件 苏教版必修5

例5. 如图，教室的墙壁上挂着一块黑 板，它的上、下边缘分别在学生的 水平视线上方a米和b米，问学生距 离墙壁多远时看黑板的视角最大？
例5.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下
边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学 生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？
A
解 : 设学生P距黑板x米,黑板上,下边缘与学生的 水平视线PH的夹角分别为APH ,BPH ,
大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为
定值，则ab≤ M 2 ，等号当且仅当a＝b时
成立.
4
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最 小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定 值，则a＋b≥2 P ，等号当且仅当a＝b
时成立.
讲授新课
例1. (1)用篱笆围成一个面积为100m2的 矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆 是多少？
讲授新课
例1. (1)用篱笆围成一个面积为100m2的 矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆 是多少？
(2)一段长为36m的篱笆围成一个 矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，菜园的面积最大.最大面积 是多少？
讲授新课
例2. 某工厂要建造一个长方形无盖贮水 池，其容积为4800m3，深为3m.如果池 底每平方米的造价为150元，池壁每平 方米的造价为120元，怎样设计能使总 造价最低？最低总造价是多少？
2. 我们称 a b 为正数a, b的算术平均数， 2
称 ab 为正数a, b的几何平均数.
a2 b2 2ab和 a b ab成立的条 2
件是不同的.
复习引入
练习
(1) f ( x) 2 3x 4 最 ___ 值是_______( x 0). x

苏教版高中数学必修五课件3.4《基本不等式(3)》


例4 (1)已知：0< x <2, 求函数 y x 2 x 的最大值, 并求函数取最大值时x的值。
1 (2)已知 0 x , 则函数 y = x (1- 4x) 4
的最大值为_______.
2
(3)函数 y x 4 x 0 x 2 的最大值 是_____, 此时x=____.
3.4 基本不等式（3）
基本不等式:
ab ab (a 0, b 0) 2
变形公式： a b 2 ab
2
ab ab a, b 0 2
（当且仅当a = b时取 “＝”）
例 1 已知 x，y 是正数，求证： （1）如果积 xy 是定值 p， 那么当且仅当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 p 。 （2）如果和 x＋y 是定值 s， 那么当且仅当 x＝y 时，积 xy
1 2 有最大值 用 时应注意三个前提条件： 一正，二定，三相等。
例1 （1） y 2 2 小值为________.
x
x
x R
的最
9 y x 2 有最小值_____. (2) x =____时， x 4 y x (3) x =____ (x>0)时， 有最小值 x 1
2
_____.
(4)设 值为______.
5 x 4
1 ，则 y 1 4 x 的最小 5 4x
5 2 (5)如果 lg x lg y 1 , 则 的最小值 x y
为_______.
x x3 例2 设x>1, 求函数 y 的最小值. x 1
2
注：对分式型的函数，我们可以先进行 “换元”，“分离常数”，然后考虑应 用基本不等式求解。 2 x 3x 1 练习：已知 x> -1, 求函数 y 的 x 1 最小值。 函数 y

高中数学 第3章 不等式 3.4.2 基本不等式的应用课件 苏教版必修5


即 x=1 时,取“=”. 故 f(x)的最大值为-1.
一
二
三
2.若正实数 x,y 满足 +
4 ������
16 =1,则 ������
x+y 的最小值是
.
答案: 36
4 16 ∴x+y=1· (x+y)= + (x+y) ������ ������ 4������ 16������ 4������ 16������ =20+ + ≥20+2 · ������ ������ ������ ������ 4 16 解析: ∵ + =1, ������ ������
2
一
二
三
迁移与应用
1 1 2 2 4 (2)x<3,求 f(x)= +x 的最大值. ������-3 1 解: (1)∵0<x< ,∴1-2x>0. 2 2 1 1 2������+1-2������ y= · 2 x· (1-2x)≤ · 4 4 2 1 1 1 = × = . 4 4 16
1.(1)已知 0<x< ,求 y= x(1-2x)的最大值.
预习交流1 两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗?
������2 有最大值为 . 4
提示: 不一定.如 ������ 2 + 2 + 为定值 1,但当 ������ 2 + 2 =
1 ������2 +2 1 ������2+2
1
������2 +2
中,虽然 ������ 2 + 2与
1
������2 +2
3.4.2 基本不等式的应用

高中数学苏教版必修五《基本不等式的综合运用》课件

(２)如果和x+y是定值p,那么当且仅当__x___y 时,xy有最 大 值是 p2 (简记:和定积最大)
4
若函数f(x)的定义域为D，则当 x D时有： f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_i_n___M_____ f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_a_x____M____
易求得 当t
3 即 x 0 时，函数的最小值为
4 3 1. 3
方法提炼：应用基本不等式时在前两个条件满足
后，“相等”同样不能忽视.否则容易出现错解.
1.函数
f
x
x
4 x
的值域是_____， ____4__ 4，
2.若 x 0
x2
1 x2
___
2 （用不等号连接）
1
3.已知 0 x 1 ，函数 y x1 3x的最大值是 __1__2_
已知 x, y 0,且
1 x
1 y
1
，求
x 2y 的最小值。
分析：本题在于奇妙构造基本不等式求最值
的基本情势。但如果本题选择在条件中应用
基本不等式，然后在结论中再次应用基本不
等式的解法时，等号成立的条件不一定会同
时满足。
典型例题一
解：
x
2y
1 x
1 y
x
2y
2y x
x y
3
又 x, y 0, 2y x 2 2y x 2 2
苏教版 高中数学
基本不等式 的综合应用
1.应用基本不等式时要注意的几个问题 2.利用基本不等式求函数的最值问题 3.利用基本不等式解决恒成立问题
（1）基基本本不不等等式式__a__2_b____a_b__.

【系列课件】数学必修Ⅴ苏教版3.4.2基本不等式的应用(16张)


题型一
题型二
题型三
题型一
1 ������
利用基本不等式证明不等式
1 ������
【例 1】 已知 a,b 都是正数,且 a+b=1, 求证: 1 + 1+ ≥9.
分析:结合条件a+b=1,将不等式左边进行适当变形,然后利用基 本不等式进行证明即可.
题型一
题型二
题型三
证明:因为 a>0,b>0,a+b=1, 所以 同理
������2 +������ ab≤ 2
2
,4ab≤a2+b2+2ab,2(a2+b2)≥(a+b)2 等.
1
2
2.基本不等式
如果 a,b 为正实数,那么 2 ≥ ������������, 当且仅当a=b 时,式中等号成立. 说明: (1)基本不等式反映了两个正数的和与积之间的关系,对它的准确 理解应抓住两点:一是其成立的条件是a,b都是正数;二是“当且仅当 a=b”时等号成立. (2)它还可以描述为: 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6吨,每吨面粉的价格为1 800元,面粉的保管费及其他费用为平均每 吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一 次面粉,才能使平均每天支付的总费用最少?
1 1 1
1
1
1
1
1
1
������
������
������
������
1 ≥9. ������
题型一
题型二
题型三
题型二
实际应用题
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a2＋b2 ＝ 2
3．利用基本不等式求最值时，应注意的问题 (1)各项均为正数,特别是出现对数式、三角函数式等形式时, 要认真判断．
(2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值.
(3)确保等号成立． 以上三个条件缺一不可.可概括为“一正、二定、三相等”. (4)另外，连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时 条件是否一致，若不能同时取等号，则不能求出最值．
不等式．
1 1． (1)已知 0<x< ，求函数 f(x)＝x(1－3x)的最大值． 3 1 (2)设 x＞ 0，求函数 y＝3－3x－ 的最大值． x 1 解：(1)∵0<x< ，∴0<1－3x<1. 3 1 f(x)＝x(1－ 3x)＝ ·(3x)· (1－3x) 3 1 3x＋ 1－3x 2 1 ≤ · ＝ . 3 2 12
1 当且仅当 3x＝1－3x，即 x＝ 时取等号． 6
1 1 所以，当 x＝ 时， f(x)取到最大值 . 6 12 1 1 (2)y＝ 3－3x－ ＝3－3(x＋ )≤3－3×2 x 3x 1 ＝ 3－ 2 3，当且仅当 x＝ 时取等号． 3x 故函数的最大值是 3－ 2 3. 1 3
方法归纳 (1)应用基本不等式需注意三个必要条件：即一正、二定、 三 相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中 获 得 解决,“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却 常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因 此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这 是 解 题成败的关键． (2)常用构造定值条件的技巧变换： ①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本
1．基本不等式与最值 已知 x、 y 都是正数， (1)若 x＋ y＝ s(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最)若 xy＝ p(积为定值)，则当 x＝ y 时，和 x＋ y 取得最小值 2 p ___________ ．
和定积最大，积定和最小 上述命题可归纳为口诀：___________________________.
2．四种形式等号成立的条件都是 a＝b. (2)平方平均数 2 a2＋b2 a ＋b ，算术平均数 ，几何平均数 ab， 2 2 a2＋b2 a＋b 2 ≥ ≥ ab≥ . 2 2 1 1 ＋ a b
调和平均数 的大小顺序为 1 1 ＋ a b
注意：这里 a、b 都为正实数，当且仅当 a＝b 时， a＋b 2 ＝ ab＝ . 2 1 1 ＋ a b
第3章
不等式
3．4.2
基本不等式的应用
第3章
不等式
学习导航
1.了解基本不等式应用的广泛性. 学习 2.理解基本不等式及其变形公式的运用．(难点) 目标 3.掌握运用基本不等式求最大(小)值问题的方法． (重点)
1.要善于活用基本不等式，也就是不仅要善于“正 用”、“逆用”，更要善于“变形用”. 学法 2.利用基本不等式求函数的最大值或最小值的基本技巧 指导 是“拼凑”，即要求和的最小值，必须拼凑两个正数, 使它们的积为定值；要求积的最大值，必须拼凑两个正 数，使它们的和为定值.
9 27y＋ 3 的最小值是 ________ ．
解析： z＝3x＋33y＋3≥ 2 3x·33y＋3＝2 3x
x 3y
＋3y
＋3＝2 32＋3
1 ＝9，当且仅当 3 ＝3 ，即 x＝1，y＝ 时，z 取最小值． 3
4．用长为16 cm的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的
2. 16 最大面积是________cm
1．已知a，b∈(0，＋∞)，如果ab＝1，那么a＋b的最小值为 1 2 ________ ．若a＋b＝1，那么ab的最大值为________ ． 4
解析：a＋b≥2 ab＝2，当且仅当“a＝b”时取等号; a＋b 2 1 b≤ ( ) ＝ ，当且仅当“a＝b”时取等号． 2 4
3 2 (0， ] 2．若 0<x<1，则 x（3－2x）的取值范围是____________ ． 4
解析：设矩形长为 x cm(0<x<8)，则宽为(8－x)cm，面积 S
2 x ＋ 8 － x ＝16， ＝ x(8－x)．由于 x>0， 8－x>0，可得 S≤ 2
当且仅当 x＝8－x，即 x＝4 时， Smax＝ 16.所以矩形的最大 面积是 16 cm2.
利用基本不等式求函数的最值
解析：由 0<x<1 知 3－ 2x>0，故 x（3－2x） 1 1 2x＋（3－2x） 3 2 ＝ · 2x（ 3－ 2x）≤ · ＝ ， 2 4 2 2 3 当且仅当 x＝ 时，上式等号成立． 4 3 2 ∴ 0< x（3－2x）≤ . 4
3．当点(x，y)在直线 x＋ 3y－2＝0 上移动时，函数 z＝3x＋
2
4 8 ＝ ± 时取等号． 2 4 8 1 2 ∴当 x＝ ± 时， y＝2x ＋ 2(x≠ 0)取得最小值 2 2. 2 x (2)∵ 0<x<4，∴x>0，4－x>0， x＋4－x ∴ x（4－x）≤ ＝2. 2 ∴ y＝ x(4－x)≤ 4，当且仅当 x＝4－x，即 x＝ 2∈ (0，4)时取 等号．∴当 x＝2 时， y＝ x(4－ x)(0<x<4)取得最大值 4.
求下列函数的最大值或最小值，并求当函数取得 最值时 x 的值： 1 (1)y＝ 2x ＋ 2(x≠ 0)； x
2
(2)y＝ x(4－ x)(0<x<4)． (链接教材 P102T4)
1 [解 ] (1)∵ x≠ 0，∴ 2x >0， 2>0， x 1 1 1 ∴ y＝2x2＋ 2≥ 2 2x2· 2＝ 2 2，当且仅当 2x2＝ 2，即 x x x x
2．基本不等式的其他形式与拓展 (1)四个重要不等式： ① a2＋b2≥ 2ab； (a， b∈R) a2＋b2 ② ab≤ ； (a，b∈ R) 2 ③ a＋ b≥ 2 ab； a＋b 2 ④ ab≤( ). 2 (a，b∈R ) (a，b∈ R)
＋
注意：1.①②④三种形式的前提条件是 a、b为实数， ③形式 的前提条件是a、b为正实数．