二次函数中抛物线形与拱桥问题

专题五：利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题（有答案）➢知识指引拱桥是我们生活中常见的一种建筑物，可以把它近似的看作抛物线，，通过建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质可以解决相关的问题，下面我们来学习一下抛物线型拱桥问题：➢知识要点：解决抛物线型问题的一般步骤：（1）建立合适的平面直角坐标系；（2）把问题中的已知数据与坐标进行联系；(3)用待定系数法求出抛物线对应的解析式；（4）利用二次函数的图象及性质分析并解决问题.➢知识小结：（1）在建构二次函数模型，把实际问题转化为二次函数时，能够将实际距离准确的转化为点的坐标，并选择运算简便的方法进行计算（2）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.➢典型例题：类型一：与拱桥有关的水位升降问题【例1】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？【解析】（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2＋b（a≠0）∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m∴点C（0，2），点B（2，0）代入，得{b=2，4a＋b=0，解得{a＝−12，b＝2，∴拱桥所在抛物线的解析式为y=－12x2＋2（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为－1，由y=－12x2＋2，令y=－1，则－1=－12x2＋2.解得x=±√6.∴水面宽度为√6−(−√6)＝2√6【变式】如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？【解析】（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：设抛物线解析式为y=ax2，点D的坐标为D（5，m），则B（10，m－3），由抛物线经过点D和点B，可得{25a＝m，100a＝m−3，解得{a＝−125，m＝−1，∴抛物线的解析式为y=－125x2；（2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为10.2=5（小时）．∴从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．类型二：与拱桥有关的方案设计选择问题【例2】某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m 加设不锈钢管（如图）做成立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．（1）求该抛物线的解析式（2）计算所需不锈钢管的总长度．【解析】（1）建立如图所示平面直角坐标系，由题意得B（0，0.5）、C（1，0）设抛物线的解析式为：y=ax2＋c，代入得{c=0.5，a+c=0，解得{a=－0.5，c=0.5，故解析式为y=－0.5x2＋0.5；（2）如图：∵当x=0.2时，y=0.48，当x=0.6时，y=0.32，∴B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4=2×（0.48＋0.32）=1.6米∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50=80米．【变式】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，在长度为8m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离为5m.（1）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数解析式；（2）求支柱EF的长度.（3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m 的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于0.3m ），行车道最宽可以铺设多少米？【解析】（1）根据题意，设拱桥抛物线的函数解析式为：y=a x 2+bx ， ∵相邻两支柱间的距离均为5m ，∴OA=4×5m=20m， ∴（20，0），（10，6）两点都在抛物线上，∴400200,10010 6.a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得3,506.5a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴236505y x x =-+． （2）设点F 的坐标为（15，y ），∴236915155052y =-⨯+⨯=．∴EF=8m －92m=72m=3.5m ． （3）当y=3＋0.3=3.3（m ）时，有2363.3505x x -+=， 化简，得220550x x -+=，解得x 1=10+3√5, x 2=10-3√5， ∴x 1− x 2=6√5≈13.4．答：行车道最宽可以铺设13.4米．➢ 跟踪训练：1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为y=－－14x 2，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为（ ）A ．－6mB ．12mC ．16mD ．24m【解析】依题意，设A 点坐标为（－8，y ）， 代入抛物线方程得：y=－14×64=－16，即水面到桥拱顶点O 的距离为16米．故选：C ．2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=－16x 2＋bx ＋c 表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是（ ）A ．2mB ．4mC ．4√2 mD ．4√3m【解析】根据题意，得OA=12，OC=4．所以抛物线的顶点横坐标为6，即－b 2a =b13=6．∴b=2．∵C （0，4），∴c=4．∴抛物线解析式为y=－16x 2＋2x ＋4=－16（x －6）2＋10． 当y=8时，8=－16（x －6）2＋10．解得x 1=6＋2√3，x 2=6－2√3． 则x 1－x 2=4√3．所以两排灯的水平距离最小是4√3． 故选：D ．3.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．水面上升1.5m ，水面宽度为 m ．【解析】建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，由已知可得，点（2，－2）在此抛物线上，则－2=a×22，解得a=－12，∴y=－12x 2，当y=－0.5时，－12x 2=－0.5，解得x=±1，此时水面的宽度为2m ， 故填：2．4.某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？【解析】以C 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，根据题意知，A（－2，－4.4），B（2，－4.4），设这个函数解析式为y=kx2．将A的坐标代入，得y=－1.1x2，∵货车装货的宽度为2.4m，∴E、F两点的横坐标就应该是－1.2和1.2，∴当x=1.2时y=－1.584，∴GH=CH－CG=4.4－1.584=2.816（m），因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m，∵2.8＜2.816，所以该货车能够通过此大门．5.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m．（1）在如图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上，最多涨多少米，不会影响过往船只？【解析】（1）设所求抛物线的解析式为：y=a（x－h）2＋k，∵由AB=20，AB到拱桥顶C的距离为4m，则C（10，4），A（0，0），B（20，0）把A，B，C的坐标分别代入得a=－0.04，h=10，k=4抛物线的解析式为y=－0.04（x－10）2＋4；（2）由题意得可设E （1，y ），把E 点坐标代入抛物线的解析式为y=－0.04（x －10）2＋4， 解得：y=－0.76， ∴DF=0.76m ．6.某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5m 时，水面宽8m ．一木船宽4m ，高2m ，载货后，木船露出水面的部分为34m ．以拱顶O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，A 、B 为抛物线与水面的交点． （1）B 点的坐标为 ； （2）求抛物线解析式；（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？【解析】（1）当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，则点B （4，－5），故答案为（4，－5）；（2）设抛物线的解析式为y=ax 2，将点B 的坐标代入上式得－5=a×42，解得a=－516，∴该抛物线的解析式为y=－516x 2；（3）将x=2代入上式，得y=－516x 2=－54，∵54＋34=2，而1.8＜2， 当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥．7.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m ． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【解析】（1）根据题意可知点F 的坐标为（6，－1.5），可设拱桥侧面所在二次函数解析式为：y 1═a 1x 2．将F （6，－1.5）代入y 1═a 1x 2有：－1.5═36a 1，求得a 1═−124， ∴y 1═−124x 2，当x═12时，y 1═−124×122═－6，∴桥拱顶部离水面高度为6m ．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其解析式为y 2═a 2（x －6）2＋1，将H （0，4）代入其解析式有：4═a 2（0－6）2＋1，求得a 2═112，∴右边钢缆所在抛物线解析式为：y 2═112（x －6）2＋1，左边钢缆所在抛物线解析式为：y 3═112（x ＋6）2＋1②设彩带的长度为Lm ，则L═y 2－y 1═112（x －6）2＋1－（−124x 2）═18x 2−x ＋4═18(x −4)2＋2，∴当x═4时，L 最小值═2， 答：彩带长度的最小值是2m ．。

用二次函数解决抛物线型拱桥问题的教学思考
一、二次函数解决抛物线型拱桥问题
1. 抛物线型拱桥问题具有特殊的形式：抛物线型拱桥系统通常会出现
三维变形，其形态类似抛物线；
2. 二次函数可以用来解决抛物线型拱桥问题，因为它能够描述抛物线
型轮廓和大量的非线性关系；
3. 二次函数可以用来描述抛物线型拱桥的三维变形，可以进行模态变换，也可以完善抛物线型拱桥的结构模型，以便以最佳方式进行设计；
4. 通过使用二次函数，可以快速有效地解决复杂的抛物线型拱桥问题，用以描述拱桥的三维弧形特性，提高拱桥的稳定性；
5. 二次函数还可以与大量的有限元元素节点连接，以便更准确的表达
抛物线型构件的变形过程，便于拱桥本身的研究；
6. 二次函数还可以用来解决拱桥的非连续性，以提高拱桥的稳定性，
并达到最佳的结构性能。

二、二次函数解决抛物线型拱桥问题的步骤
1.首先对拱桥进行可靠的分析，实现拱桥几何图形模型的建立；
2. 建立起相关的参数模型，进行完整的原形映射，并分析拱桥的三维
变形特征；
3. 选择适当的二次函数来拟合抛物线型的拱桥特征，并结合参数模型，使拱桥获得最佳的状态；
4. 将拟合后的二次函数与有限元元素节点进行连接，实现对拱桥变形
过程的分析，以达到拱桥稳定性的最优解；
5. 最后，根据逐次考虑的设计要求，进行系统优化设计，直至抛物线型拱桥有力地满足设计要求，实现最优的结构实现。

三、总结
通过使用二次函数，可以对抛物线型拱桥采取有效的解决方案，在高效的设计过程中，更快更好的满足拱桥的设计要求，以保证拱桥的安全和有效解决拱桥的后续问题。

建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：(1) 根据题意建立适当的 ________________________ ； (2) 把已知条件转化为 __________________ ； (3) 合理设出函数 ___________________ ； (4) 利用 _________________ 法求出函数解析式；(5) 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识点1 :二次函数在桥梁中的应用1. 有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20米，拱顶距离水面4米.在如图所示 的直角坐标系中，该抛物线的解析式为 ________________________ .2.有一座抛物线形的立交桥拱 ，这个桥拱的最大高度为 16 m ,跨度为40 m ,现把它的图形放在坐标系中(如图).若在离跨度中心 M 点5 m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶 ，则这根铁柱的长为 _____ m.3. 如图是一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于 A , B 两点，拱桥最高 点C 到AB 的距离为9 m , AB = 36 m , D , E 为拱桥底部的两点，且DE // AB ，点E 到直线 AB 的距离为7 m ,则DE 的长为 ___________ m .知识点2 :二次函数在隧道中的应用 4. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图如示，以隧道横断面抛物线的顶点16为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则该抛物线的解析式为 知识点3:二次函数在其他建筑问题中的应用5.如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑， 大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为 4.4 米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为 2.4米，该车要想通过此门， 装货 后的高度应小于( ) A. 2.80 米B . 2.816 米C . 2.82 米D. 2.826 米\比米L -4 棊_'6•如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB 的薄壳屋顶.它的拱宽AB 为4 m拱高CO 为0.8 m •建立如图的直角坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的解析式为知识点4 :二次函数在运动中的应用7.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平 面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y = — x 2 + 4x(单位：米)的一部分，则水喷出 的最大高度是( )A . 4米B . 3米C . 2米D .1米----- 6m ----- ►A .第3秒B .第3.5秒C .第4.2秒D .第6.5秒&军事演习在平坦的草原上进行 ，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时间 x(s)的关系满足y = — 5X 2 + 10x.经过 ________ 秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是________ 米，经过 ________ 秒炮弹落到地上爆炸了.9•竖直向上发射的小球的高度 h(m)关于运动时间t(s)的函数解析式为h = at + bt ,其图象如图所示.若小球在发射后第 2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是y(m)与滑行时间x(s)之间的函数关系式是 m 才能停下来.12.如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y = — 3x 1 2+ 3x + 1的一部分.5 (1)求演员弹跳离地面的最大高度；⑵已知人梯高BC = 3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是4米，问这次表 演是否成功？请说明理由.13•如图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三 边AE, ED, DB 组成.已知河底 ED 是水平的，ED = 16米，AE = 8米，抛物线的顶点 C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系. (1) 求抛物线的解析式；(2) 已知从某时刻开始的 40小时内，水面与河底 ED 的距离h(单位：米)随时间t(单位：时) 的变化满足函数关系 h =- ±(t — 19)2+ 8(0 w tw 40),且当水面到顶点 C 的距离不大于5米 时，需禁止船只通行，请过计算说明：在这一时段内 ，需多少小时禁止船只通行？1 当h = 2.6时，求y 与x 的关系式；(不要求写出自变量 x 的取值范围)2 当h = 2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由？10.如图，有一座抛物线形拱桥 水面下降1 m 后，水面宽为( ,当水位线在AB 位置时，拱顶离水面2 m ,水面宽为4 m , ) A . 5 mB . 6 mC/, 6 mD . 2 6m11.某一型号飞机着陆后滑行的距离 1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行 —y = 60x —14.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y = a(x —6)2 + h.已知球网与O 点的水平距离为9 m,高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.4、有座抛物线形拱桥（如图），正常水位时桥下河面宽20m,河面距拱顶4m为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m,求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。

二次函数拱桥问题技巧拱桥是一种古老而又美丽的建筑结构，广泛应用于城市的交通建设中。

在设计和建造拱桥的过程中，我们必须考虑多个因素，包括拱桥的高度、跨度、荷载以及拱线形状等。

在解决这些问题时，二次函数成为了一种能够帮助我们分析和建模的重要工具。

首先，我们需要明确二次函数的定义。

二次函数是一个以$x$的平方项为最高项的多项式函数。

其一般形式可以表示为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常系数。

二次函数图像呈现出一条平滑的曲线，其形状可以是开口向上或开口向下的拱形。

在拱桥问题中，我们常常需要根据已知条件建立二次函数模型，以分析和解决实际问题。

例如，假设我们想要设计一座拱桥，使得桥面的高度达到最大值，同时考虑到桥面的跨度应满足一定的要求。

这时，我们可以利用二次函数来描述桥面的高度，并通过优化方法来求解。

为了建立二次函数模型，我们需要首先确定函数的自变量和因变量。

在拱桥问题中，通常$x$轴表示桥面的宽度或跨度，$y$轴表示桥面的高度。

然后，我们需要考虑到已知条件。

例如，已知拱桥的两个支点之间的距离为$d$，那么我们可以设$x$的取值范围为$[0, d]$。

另外，对于一个平滑的拱形，我们可以假设二次函数在两个支点处的斜率为零。

这一条件可以转化为函数的导数为零的条件。

通过求解这些已知条件，我们可以确定二次函数的参数$a$、$b$和$c$的值。

在确定二次函数模型之后，我们可以利用这个模型来解决具体问题。

例如，我们可以利用二次函数模型来求解桥面的最大高度。

首先，求出二次函数的导函数$f'(x)$，然后令其等于零，解得极值点$x_0$。

接下来，我们计算$f(x_0)$，这就是桥面的最大高度。

除了求解最大高度，我们还可以利用二次函数模型来计算拱桥的其他性质。

例如，可以通过求解二次函数的零点来计算拱桥的支点位置。

在这个过程中，我们将二次函数设为零，并解得$x$的值。

这些值就是拱桥的支点的位置。