高考大题-三角函数题型汇总精华(含答案解释)(最新整理)

1．已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC ⋅=,求c 的值； (2)若c=5，求sin ∠A 的值．2 已知函数()sin()(0,0),f x A x A x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。

（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2παβ∈，且312(),(),513f f αβ==求()f αβ-的值 3.已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值;（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 4．设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期． （1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值． 5.已知函数1()2sin(),36f x x x π=-∈R .(1)求(0)f 的值；(2)设10,0,,(3)2213f ππαβα⎡⎤∈+=⎢⎥⎣⎦，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值. 一．选择填空题1.在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 2..在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 3.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）94.设函数（A ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（C ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 4π对称（D ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 2π对称5.）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y=_______.6．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 7．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ二：解答题1.已知函数()4cos sin() 1.6f x x x π=+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。

三角函数题型学霸总结（含答案）阳光老师：祝你学业有成一、选择题（本大题共30小题，共150.0分）1.点在函数的图象上，则m等于A. 0B. 1C.D. 2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数的性质，属于基础题由题意知，求得m 的值．【解答】解：由题意知，所以，所以．2.用五点法画，的图象时，下列哪个点不是关键点A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数图象的作法，属于基础题．熟练掌握五点法作图即可．【解答】解：用“五点法”画，的简图时，横坐标分别为，纵坐标分别为0，1，0，，0，故选A．3.函数y x，x的大致图象是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图像，属于基础题利用“五点法”画出函数图像即可得出答案．【解答】解：“五点法”作图：x0010010121故选B．4.用“五点法”作出函数的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数图象的画法以及余弦函数的性质，属于基础题．分别令，，，，得，3，4，3，2，即可得到五点，再对照选项，即可得到答案．【解答】解：，分别令，，，，得，3，4，3，2，所以五个关键点为，，，，，可知A不属于．故选A．5.已知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则A. B. 0 C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数图象的作法及利用导数求函数图象的切线方程，属于较难题．由三角函数图象及利用导数求函数图象的切线方程可得：切点坐标为，切线方程为：，又切线过点，则，即，得解．【解答】解：由得其图象如图所示，当，，，由图知切点坐标为，切线方程为：，又切线过点，则，即，故选A．6.函数的部分图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断，函数奇偶性的运用，属于基础题．先判断出此函数是奇函数，再根据时，函数值为正即可找出可能的图象．【解答】解：函数是奇函数，故其图象关于原点对称，故排除B；又当时，函数值为正，仅有A满足，故它的图象可能是A中的图．故选A．7.函数恰有两个零点，则m的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的图象及函数零点．考查数形结合以及计算能力，属于中档题．将零点个数问题转化为交点问题，即与的交点个数，作出图象，数形结合可得答案．【解答】解：，的零点个数，就是与的交点个数，作出的图象，如图，由图象可知当或时，函数与有两个交点，故当函数恰有两个零点时，m的取值范围为．故选C．8.下列关于函数的表述正确的是A. 函数的最小正周期是B. 当时，函数取得最大值2C. 函数是奇函数D. 函数的值域为【答案】D【解析】【分析】本题主要考查正弦型函数的图象性质，函数的奇偶性、周期性及值域等，属于基础题．利用正弦型函数的性质，可得奇偶性、周期性及函数的值域，逐项分析，可得正确答案．【解答】解：函数的最小正周期是，故A错误；B.当时，函数，故B错误；C.函数是非奇非偶函数，故C错误；D.因为，故函数的值域为，故D正确．故选D．9.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查正余弦函数，以及三角函数单调性和单调区间和周期性，属于基础题，可直接利用相关定义和正余弦函数单调性以及单调区间进行作答．【解答】解：考虑函数周期为，于是对形如的三角函数，必有，因此排除选C、D，又时，有，又因为正弦函数在区间上单调递减，于是选项A符合题意，余弦函数在区间上单调递增，故选项B错误．故本题选项为A．10.若函数与函数在区间上的单调性相同，则的一个值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的单调性与单调区间、正弦、余弦函数的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：在区间上是单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故排除A．在单调递增，在上单调递减，故排除B．在单调递增，在上单调递减，故排除C．在区间上也是单调递减，故选D．11.已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数的图象A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的性质及函数图象变换，同时考查诱导公式，利用函数的周期性、函象变换规律、诱导公式，求得的解析式，再利用函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以最小正周期为，所以，则把其图象向左平移个单位后得到函数的图象，因为得到的图象关于y轴对称，所以，，又，所以，所以，当时，函数，所以的图象关于点对称．故选A．12.下列函数既是奇函数又在上是增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了诱导公式，正弦、余弦函数的图象与性质，函数的定义域与值域，对数函数及其性质，复合函数的单调性，函数的奇偶性和指数函数及其性质．利用诱导公式和正弦的奇偶性对A进行判断，再利用函数的定义域对B进行判断，再利用对数函数的单调性，结合复合函数的单调性对C进行判断，最后利用指数函数的单调性和复合函数的单调性，结合函数的奇偶性对D进行判断，从而得结论．【解答】解：对于A，因为是上的减函数，所以A不符合题目条件对于B，因为函数在没有定义，所以B不符合题目条件对于C，因为是其定义域内的减函数，所以C不符合题目条件对于D，因为函数是奇函数，且在上是增函数，所以D符合题目条件．故选D．13.已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数的图象，则函数A. 在上是增函数B. 其图象关于直线对称C. 函数是偶函数D. 在区间上的值域为【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角函数图象的变换、三角函数图象的性质及三角函数的值域，属于中档题．由题意，先得到，根据三角函数图象的变换得到，再逐个分析选项即可得解．【解答】解：，因为函数的零点构成一个公差为的等差数列，所以函数的最小正周期，则，即，把函数的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数的图象，则，易得：是在上为减函数，其图象关于直线对称，且函数为奇函数，故选项A，B，C错误，当时，，函数的值域为，故选项D正确，故选：D．14.已知，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的后三项的最大值的求法，涉及圆的参数方程，三角函数的辅助角公式和三角函数的性质，等差数列的性质等，是中档题．根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，由等差数列的性质可得b、c的值，分析可得这个等差数列后三项和为，进而根据，设，，解答表示为角的三角函数形式的表达式，利用辅助角公式化简，利用三角函数性质能求出最大值．【解答】解：根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则有，则，，则这个等差数列后三项和为，又由，设，，则，即这个等差数列后三项和的最大值为；故选：C．15.已知，的最大值为a，最小值为b，的最大值为c，最小值为d，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，，，即，，，，又，．故选：A．本题考查了三角函数的性质的运用和复合函数的值域计算．属于中档题．16.已知直线与函数，其中的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为A. B.C. D.【答案】B【解析】解：与函数，其中的相邻两交点间的距离为，函数的周期，即，得，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故选：B．根据最值点之间的关系求出周期和，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．17.已知函数，下列结论中正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于点对称D. 函数在内是增函数．【答案】D【解析】解：A错，最小正周期为，当时，，B错，当时，，单调递增，D成立，故选：D．利用正弦函数的性质判断即可．考查正弦函数的图象和性质的应用，基础题．18.函数的最小正周期是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：对于，，函数是函数轴上方的图象不动将x轴下方的图象向上对折得到的，如图示，故，故选：C．先求出的周期，再由函数是函数轴上方的图象不动将x 轴下方的图象向上对折得到，故其周期是原来的一半，得到答案．本题主要考查三角函数的最小正周期的求法和加绝对值后周期的变化．对于三角函数不仅要会画简单三角函数的图象还要会画加上绝对值后的图象．19.关于函数，给出下列命题：函数在上是增函数；函数的图象关于点对称；为得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．由时，可得，由的单调性即可判断；由可得，，即可判断；根据函数的图象平行移动规则即可判断．【解答】解：对于，时，，在上不是增函数，故错；对于，由可得，，可得函数的图象关于点对称，故正确；对于，函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度可得，故正确；故选：C．20.已知函数是上的增函数，且满足，则的值组成的集合为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数的性质，解决本题的关键是根据题意得到的值，属于较难题．首先根据函数在上是单调的得到，再结合，函数在上是增函数，从而得到的值，进而求得的值．【解答】解：函数是上的增函数，，，又，或当时，，2，10；当时，，6，．又函数在上是增函数，或，则当时，，当时，，的值组成的集合为故选A．21.函数的定义域为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的定义域，根据题意列出不等式，利用正弦函数的图象与性质解之即可．【解答】解：，，，．故选C．22.函数的值域为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，当时，函数取最大值，当时，函数取最小值，．故选：A．由，可得，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23.函数的值域为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象与性质、辅助角公式，属于中档题由题意，令，去绝对值，再利用辅助角化简，结合正弦函数的性质求解即可．【解答】解：由题意，令，则，因为，所以，所以，即，所以，所以函数的值域为．故选A．24.函数在下面哪个区间内是增函数A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的单调性，属于基础题．求导，利用导函数大于零，解三角不等式，进而求得结果．【解答】解：令，则，可得，结合选项可知B正确，故选B．25.函数的值域是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查求余弦函数在给定区间上的值域，属于基础题．【解答】解：因为在递增，递减，且，所以的值域是．故选D．26.下列函数中，最小正周期为的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【试题解析】解：由于函数不是周期函数，故排除A；由于函数的周期为，故B不正确；由于函数的周期为，故排除C；由于函数的周期为，故D正确，故选：D．由题意利用三角函数的周期性，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．27.下列函数中，最小正周期是且图象关于直线对称的是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角函数的周期与对称性，直接由三角函数的性质求出最小正周期与对称轴即可得到答案．【解答】解：由题意知，当时，y可取得最值，即或．对于A，将代入，可得，故排除A；对于B，将代入，可得，故B正确；对于C，的周期为，故排除C；对于D，将代入，可得，故排除D．故选B．28.函数的图象与直线交点的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数的图象，属于基础题利用“五点作图法”作出函数的图象，确定出与直线只有1个交点．【解答】解：由函数的图象如图所示，可知其与直线只有1个交点．故选B．29.函数的定义域为A. B.C. D. R【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是求函数的定义域和余弦函数的图象与性质，属于基础题．要使函数有意义需满足，再结合余弦函数的性质求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，得，所以，．故选C．30.下列不等式正确的是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查诱导公式，正余弦函数的图像和性质根据诱导公式化简，再由正余弦函数的性质比较大小．【解答】解：在单调递增，，，故此A选项错误；，，所以B正确；对于C，由结合正切函数的单调性，可得，得C正确对于D，，，，此时余弦函数为减函数，，即，故D错误．故选BC．二、不定项选择题（本大题共7小题，共28.0分）31.关于函数，下列选项正确的是A. 是偶函数B. 在区间单调递增C. 在有4个零点D. 的最大值为2【答案】AD【解析】【分析】本题考查三角函数的性质，根据条件结合三角函数的图象和性质逐项判断即可，属于基函数的性质；在当时，，利用零点定义借助奇偶性即可得到答案；利用最值定义即可判断．【解答】解：，故是偶函数，A对；时，，故在区间单调递减，B错；当时，，令得到或，又在是偶函数，故在有3个零点，分别为，C错；，故，又，故的最大值为2，D对．故选AD．32.函数在一个周期内的图象如图所示，则A. 该函数的解析式为B. 该函数的对称中心为C. 该函数的单调递增区间是D. 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到该函数图象【答案】ACD【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦函数的图象与性质，属于中档题目．根据函数图象得出函数解析式，再借助正弦函数的图象与性质得出答案即可．【解答】解：由图可知，函数的周期为，故即，代入最高点有．因为故故A正确．对B，的对称中心：故该函数的对称中心为故B错误．对C，单调递增区间为，解得故C正确．对D，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到故D正确．故选ACD．33.下面选项正确的有A. 存在实数x，使B. 若，是锐角的内角，则C. 函数是偶函数D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象【答案】ABC【解析】【分析】本题考查辅助角公式，正弦函数的性质，诱导公式的运用，考查余弦函数的性质，函数的图象与性质，属于中档题．将各个选项进行逐一分析求解即可．【解答】解：A选项：，则，又，存在x，使得，可知A正确；B 选项：为锐角三角形，，即，，又且在上单调递增，，可知B正确；C选项：，则，则为偶函数，可知C正确；D 选项：向右平移个单位得：，可知D错误．故选A B C．34.以下关于正弦定理或其变形正确的有A. 在中，若，则B. 在中，C. 在中，若，则，若，则都成立D. 在中，【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查正弦定理及其变形，还考查了理解辨析的能力，属于中档题．A.根据内角的范围，由，得或，再边角转化判断B.在中，根据正弦定理得：，再结合正弦函数的值域判断C.根据判断D.根据正弦定理，由判断．【解答】解：在中，若，则或，所以或，故A错误．B.在中，由正弦定理得：，因为所以，故B正确．C.在中，由正弦定理得，所以是充要条件，故C正确．D.在中，由正弦定理得，所以，故D正确．故选：BCD．35.已知函数，下列结论中正确的是A. 函数的周期为的偶函数B. 函数在区间上是单调减函数C. 若函数的定义域为，则值域为D. 函数的图象与的图象重合【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查了余弦函数的图像与性质，函数的奇偶性以及三角函数的定义域及值域，属于中档题．根据三角函数的性质对各选项进行分析，判断正误即可．【解答】解：对于A，由题意可得：，因为，，所以，故A不正确，对于B，当时函数单调减函数，解得，故B正确．对于C，由B可知，是单调增区间，是单调减区间，最大为，下边界为，或者，因为，值域为，故C不正确，对于D，，两图像重合，故D正确，故选BD．36.如图，已知函数其中，，的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，，，则下列说法正确的有．A. 的最小正周期为12B.C. 的最大值为D. 在区间上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，涉及向量的坐标运算，属于中档题．由函数的图象以及，，，，求出A，BC，D坐标，代入解析式，求出，，A的值，再利用正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由题意可得：，，，，，，．，，，，把代入上式可得：，．解得，，可得周期，故A正确．，，解得，故B错误．，，解得．函数，故C正确．时，，，可得：函数在单调递增．综上可得：ACD正确．故选ACD．37.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列判断正确的是A. 曲线关于直线对称B. 曲线关于点对称C. 函数在上单调递增D. 函数在上单调递减【答案】ABC【解析】【分析】本题考查三角函数的图象的变换，函数的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．利用三角函数的图象变换，结合三角函数的简单性质，判断选项的正误即可．【解答】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数的图象，令，得，故曲线关于直线对称，故A正确；令，得，故曲线关于点对称，故B正确；在上，，函数单调递增，故C正确；在上，，函数没有单调性，故D错误，故选：ABC．三、填空题（本大题共7小题，共35.0分）38.设函数，若函数在内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，正余弦函数图象的画法．画出函数的图象，问题转化为和在内恰有4个不同的交点，结合图象读出即可．【解答】解：画出函数在的图象，如图示：若函数在内恰有4个不同的零点，即和在内恰有4个不同的交点，结合图象，．故答案为．39.函数的定义域是__________．【答案】【解析】【试题解析】【分析】本题考查了函数的定义域，根据对数函数的性质可得，然后根据正弦函数的性质解不等式可得答案．【解答】解：由题意可得，函数满足，即．由正弦函数的图象知，在上的解集为，所以在R上的解集为，故函数的定义域为．40.设锐角三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则c的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及正弦函数的性质，属于中档题．根据已知及余弦定理化简可得，结合正弦定理与正弦函数的性质可得c的取值范围．【解答】解：由及余弦定理得，，，又为锐角三角形，，由正弦定理得，，由，得，，，的取值范围为，故答案为．41.若在上是减函数，则a的最大值是________．【答案】【解析】【分析】本题考查辅助角公式，正弦函数的单调性，属于基础题．利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性求得a的最大值．【解答】解：，当，即时，单调递增，单调递减．函数在上是减函数，，，的最大值为．故答案为．42.四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为______．【答案】【解析】【试题解析】【分析】本题考查棱锥体积的求法，考查了线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，考查了运算求解能力，逻辑思维能力，是较难题．由题意可知，平面平面ABCD，过作于，根据线面，面面垂直的判定及性质定理可证平面ABCD，表示出，设，结合勾股定理计算得，通过求解SO的取值范围，从而四棱锥的体积取值范围可求．【解答】解：如图：，，，平面SAB，，则平面平面ABCD，过S作于O，平面SAB，平面平面，则平面ABCD，因为平面ABCD，所以．故，在中，，设，则，，在中，，因此在中，，则有，又，所以，所以，则，四棱锥的体积取值范围为．故答案为．43.如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦、余弦函数的图象与性质，属于一般题．由题意知，，解得，当时，．【解答】解：由题意知，，解得，当时，．44.在区间范围内，函数与函数的图象交点有______个．【答案】1【解析】【试题解析】解：因为“”，故与，在内的图象无交点，又它们都是奇函数，从而与，在内的图象也无交点，所以在区间范围内，函数与函数的图象交点的个数为1个，即坐标原点．故答案为：1通过，以及与的奇偶性，分，求解即可．本题是基础题，考查正切函数，正弦函数的图象及性质；可以在同一坐标系中，作出与，在内的图象，容易误认为3个交点．四、解答题（本大题共8小题，共96.0分）45.已知点，是函数图象上的任意两点，角的终边经过点，且当时，的最小值为．求函数的解析式求函数的单调递增区间当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：角的终边经过点，．，．由时，的最小值为，得，即，，令，，得，函数的单调递增区间为，当时，，，恒成立，等价于恒成立，又，实数m的取值范围是【解析】利用三角函数的定义求出的值，由时，的最小值为，可得函数的周期，从而求出，进而可求得函数的解析式，属于中档题．利用正弦函数的单调区间，可求函数的单调区间．当时，不等式恒成立，等价于，由此可求实数m的取值范围．46.设函数，．已知，函数是偶函数，求的值；求函数的值域．【答案】解：由，得，为偶函数，，，或，，，，，函数的值域为：．【解析】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属中档题．函数是偶函数，则，根据的范围可得结果；化简函数得，然后根据x的范围求值域即可．47.已知函数，．Ⅰ求函数的最小正周期与单调增区间；Ⅱ求函数在上的最大值与最小值．【答案】解：由题意得，，Ⅰ的最小正周期为：，令得，，所以函数的单调增区间是；Ⅱ因为，所以，所以，即，所以，当且仅当时，取最小值，当且仅当时，即时最大值．【解析】根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简，Ⅰ由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间；Ⅱ由x的范围求出求出的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值．本题考查正弦函数的单调性、最值，以及三角恒等变换的公式的应用，考查了整体思想的应用．48.设．Ⅰ求的单调区间；Ⅱ在锐角中，角的对边分别为，若，，求面积的最大值．【答案】解：Ⅰ由题意知：．由，，可得，；由，，可得，．所以的单调递增区间是；单调递减区间是．Ⅱ由，得，由题意知角A为锐角，所以．由余弦定理，可得，即，当且仅当时等号成立．因此，所以面积的最大值为．【解析】本题主要考查了三角恒等变形，三角函数的图象与性质，余弦定理，三角形面积公式以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．Ⅰ利用二倍角公式和诱导公式化简，再利用三角函数的单调性即可求出单调区间；Ⅱ先求出角A，再利用余弦定理和基本不等式求出bc的最大值，即可求出面积的最大值．49.设函数．求的最小正周期和对称中心；当时，求函数的最值．【答案】解：，的最小正周期是，令，，解得，，可得对称中心为，．当时，，可得，可得函数，即函数的最小值为，最大值为．【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，利用三角函数。

三角函数训练题（1）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.命题p :α是第二象限角，命题q:α是钝角，则p 是q 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.集合M ={x |x =42ππ±k ,k ∈Z }与N ={x |x =4πk ,k ∈Z }之间的关系是( )A.M NB.N MC.M =ND.M ∩N=∅4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是( )A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(2)、(4)5.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于( )A.52B.-52C.51D.-51 6.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( )A.-23B.23C.21D.±237.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( )A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos βB.若α、β是第二象限角，则tan α>tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A.2B.1sin 2C.2sin1D.sin29.如果sin x +cos x =51,且0<x <π,那么cot x 的值是( )A.-34 B.-34或-43 C.-43 D.34或-43 10.已知①1+cos α-sin β+sin αsin β=0,②1-cos α-cos β+sin αcos β=0.则sin α的值为( )A.3101- B.351- C.212- D.221-二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.tan300°+cot765°的值是_______.12.已知tan α=3,则sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α的值是______.13.若扇形的中心角为3π,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______.14.若θ满足cos θ>-21,则角θ的取值集合是______.三、解答题(本题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)设一扇形的周长为C (C >0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？16.(本小题满分10分)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P (x ,5),且cos α=42x , 求sin α与tan α的值.17.(本小题满分12分)已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根，求)(cos )2cos()2cos()2(tan )23sin()23sin(22απαπαπαπαππα-⋅+⋅--⋅-⋅--的值.18.(本小题满分12分)已知sin α+cos α=-553,且|sin α|>|cos α|,求cos 3α-sin 3α的值.19.(本小题满分12分) 已知sin(5π-α)=2 cos(27π+β)和3cos(-α)=- 2cos(π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.三角函数训练题（2）参考答案：1．解析：“钝角”用集合表示为{α|90°<α<180°},令集合为A ；“第二象限角”用集合表示为{α|k ²360°+90°<α<k ²360°+180°,k ∈Z },令集合为B .显然A B .答案：B2．解析：由sin αcos α<0知sin α与cos α异号；当cos α-sin α<0,知sin α>cos α.故sin α>0,cos α<0.∴α在第二象限.答案：B 3．解法一：通过对k 的取值，找出M 与N 中角x 的所有的终边进行判断.解法二：∵M ={x |x =4π²(2k ±1),k ∈Z },而2k ±1为奇数，∴M N .答案：A4．解析：787°=2³360°+67°,-957°=-3³360°+123°. -289°=-1³360°+71°,1711°=4³360°+271°. ∴在第一象限的角是(1)、(3). 答案：C5．解析：∵r=a a a 5)4()3(22-=+-.α为第四象限. ∴53cos ,54sin ==-==r x r y αα.故sin α+2cos α=52. 答案：A6．解析：∵cos(π+α)=- 21,∴cos α=21,又∵23π<α<2π. ∴sin α=-23cos 12-=-α.故sin(2π-α)=-sin α=23. 答案：B 7．答案：D8．解析：∵圆的半径r =1sin 2,α=2 ∴弧度l=r ²α=1sin 2. 答案：B9．分析：若把sin x 、cos x 看成两个未知数，仅有sin x +cos x =51是不够的，还要利用sin 2x +cos 2x =1这一恒等式.解析：∵0<x <π,且2sin x cos x =(sin x +cos x )2-1=-2524. ∴cos x <0.故sin x -cos x =57cos sin 4)cos (sin 2=-+x x x x ,结合sin x +cos x =51,可得sin x =54,cos x =-53,故co t x =-43.答案：C10．分析：已知条件复杂，但所求很简单，由方程思想，只要由①、②中消去β即可.解析：由已知可得：sin β=ααsin 1cos 1-+,cos β=ααsin 1cos 1--.以上两式平方相加得：2(1+cos 2α)=1-2sin α+sin 2α.即：3sin 2α-2sin α-3=0.故sin α=3101-或sin α=3101+ (舍). 答案：A11．解析：原式=tan(360°-60°)+cot (2³360°+45°)=-tan60°+cot45°=1-3.答案：1-312．分析：将条件式化为含sin α和cos α的式子，或者将待求式化为仅含tan α的式子.解法一：由tan α=3得sin α=3cos α,∴1-cos 2α=9cos 2α.∴cos 2α=101.故原式=(1-cos 2α)-9cos 2α+4cos 2α=1-6cos 2α=52.解法二：∵sin 2α+cos 2α=1.∴原式=52194991tan 4tan 3tan cos sin cos 4cos sin 3sin 222222=++-=++-=++-ααααααααα 答案：5213．分析：扇形的内切圆是指与扇形的两条半径及弧均相切的圆.解析：设扇形的圆半径为R ，其内切圆的半径为r ,则由扇形中心角为3π知：2r +r =R ,即R =3r .∴S 扇=21αR 2=6πR 2,S 圆=9πR 2.故S 扇∶S 圆=23. 答案：23 14．分析：对于简单的三角不等式，用三角函数线写出它们的解集，是一种直观有效的方法.其过程是：一定终边，二定区域；三写表达式.解析：先作出余弦线OM =-21，过M 作垂直于x 轴的直线交单位圆于P 1、P 2两点，则OP 1、OP 2是cos θ=21时θ的终边.要cos θ>-21,M 点该沿x 轴向哪个方向移动？这是确定区域的关键.当M 点向右移动最后到达单位圆与x 轴正向的交点时，OP 1、OP 2也随之运动，它们扫过的区域就是角θ终边所在区域.从而可写出角θ的集合是{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }.答案：{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }15．解：设扇形的中心角为α，半径为r ,面积为S ，弧长为l,则：l+2r =C ,即l=C -2r .∴16)4()2(212122C C r r r C lr S +--=⋅-==.故当r =4C时，S max =162C ,此时：α=.2422=-=-=CCC rrC r l∴当α=2时，S max =162C .16．解：由三角函数的定义得：cos α=52+x x ,又cos α=42x , ∴34252±=⇒=+x x x x . 由已知可得：x <0,∴x =-3. 故cos α=-46,sin α=410,ta n α=-315. 17．解：∵sin α是方程5x 2-7x -6=0的根. ∴sin α=-53或sin α=2(舍).故sin 2α=259,cos 2α=⇒2516tan 2α=169. ∴原式=169tan cot )sin (sin tan )cos (cos 222==⋅-⋅⋅-⋅ααααααα.18．分析：对于sin α+cos α,sin α-cos α及sin αcos α三个式子，只要已知其中一个就可以求出另外两个，因此本题可先求出sin αcos α,进而求出sin α-cos α,最后得到所求值.解：∵sin α+cos α=-553, ∴两边平方得：1+2sin αcos α=⇒59sin αcos α=52. 故(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=51.由sin α+cos α<0及sin αcos α>0知sin α<0,cos α<0. 又∵|sin α|>|cos α|,∴-sin α>-cos α cos α-sin α>0.∴cos α-sin α=55. 因此，cos 3α-sin 3α=(cos α-sin α)(1+sin αcos α)=55³(1+52)=2557. 评注：本题也可将已知式与sin 2α+cos 2α=1联解，分别求出sin α与cos α的值，然后再代入计算.19．分析：运用诱导公式、同角三角函数的关系及消元法.在三角关系式中，一般都是利用平方关系进行消元.解：由已知得sin α=2sin β ①3cos α=2cos β ② 由①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2. 即：sin 2α+3(1-sin 2α)=2. ∴sin 2α=⇒21sin α=±22,由于0<α<π,所以sin α=22. 故α=4π或43π. 当α=4π时，cos β=23,又0<β<π,∴β=6π, 当α=43π时，cos β=-23,又0<β<π,∴β=65π.综上可得：α=4π,β=6π或α=43π,β=65π.三角函数训练题（2）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.cos24°cos36°-cos66°cos54°的值等于( ) A.0 B.21 C.23 D.-21 2.在△ABC 中，如果sin A =2sin C cos B .那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 3.︒-︒80sin 310sin 1的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.41 4.tan20°+4sin20°的值是( )A.1B.2C.3D.336+ 5.tan θ和tan(4π-θ)是方程x 2+px +q =0的两根，则p 、q 之间的关系是( )A.p +q +1=0B.p -q -1=0C.p +q -1=0D.p -q +1=06.设sin x +sin y =22,则cos x +cos y 的取值范围是( ) A.［0,214］ B.(- 214,0] C.［-214,214］ D.［-21,27］7.M =sin α²tan 2α+cos α,N =tan 8(tan 8ππ+2),则M 与N 的关系是( )A.M >NB.M =NC.M <ND.大小与α有关8.已知sin α+sin β=3 (cos β-cos α),α,β∈(0,2π),那么sin3α+sin3β的值是( )A.1B.23C.21D.09.已知tan α、tan β是方程x 2+33x +4=0的两个根，且α、β∈(-2,2ππ),则α+β的值是( )A.3π B.-32πC. 3π或-32πD.- 3π或32π10.(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)的值是( ) A.16 B.8 C.4 D.2二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知tan x =34(π<x <2π).则cos(2x -3π)cos(3π-x )-sin(2x -3π)sin(3π-x )=______.12.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-3cos(θ+15°)的值等于______.13.log 4cos5π+log 4cos 52π的值等于______.14.已知tan(α+β)=52,tan(β-41)4=π,则sin(α+4π)²sin(4π-α)的值为___.三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)求值：212cos 412csc )312tan 3(2-︒︒-︒.16.(本小题满分10分) 已知cot β=βαsin sin ,5=sin(α+β),求cot(α+β)的值.17.(本小题满分12分)已知tan2θ=-22,x <2θ<2π,求)4sin(21sin 2cos 22πθθθ+--的值.18.(本小题满分12分)是否存在锐角α和β，使得(1)α+β=32π;(2)tan 2αtan β=2-3同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)已知△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，且BC A cos 2cos 1cos 1-=+,求cos 2CA -的值.三角函数训练题（2）参考答案：1．解析：原式=cos24°cos36°-sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=21.答案：B2．解析：∵A +B +C =π,∴A =π-(B +C ).由已知可得：sin(B +C )=2sin C cos B ⇒sin B cos C +cos B sin C =2sin C cos B ⇒sin B cos C -cos B sin C =0⇒sin(B -C )=0. ∴B =C ,故△ABC 为等腰三角形. 答案：C3．解析：原式=︒︒-︒=︒-︒20sin 2110sin 310cos 10cos 310sin 1420sin 70cos 420sin )1060cos(420sin )10sin 2310cos 21(4=︒︒=︒︒+︒=︒︒-︒=.答案：C4．分析：运用三角变形的通法：化弦法、异角化同角.解析：原式=︒︒︒+︒=︒+︒︒20cos 20cos 20sin 420sin 20sin 420cos 20sin.320cos )20sin 20cos 3(20sin 20cos )2060sin(220sin 20cos 40sin 220sin =︒︒-︒+︒=︒︒-︒+︒=︒︒+︒=答案：C5．解析：由根与系数关系得tan θ+tan(4π-θ)=-p ,tan θ²tan(4π-θ)=q .又4π=θ+(4π-θ) ∴tan4π=tan ［θ+( tan-θ)］=qp--1 故p -q +1=0. 答案：D6．解析：设cos x +cos y =t ,又sin x +sin y =22. 两式平方相加得2+2cos(x -y )=t 2+21 即cos(x -y )=4322-t ,由于|cos(x -y )|≤1.故-1≤4322-t ≤1⇒t 2≤21427-⇒≤t ≤214.答案：C7．解析：12s i n212s in 2)2si n 21(2co s 2s i n 22cos2s i n 222=-+=-+⋅=αααααααM .14cos14sin 24cos 124cos 14sin 24cos18cos 4sin8sin )28cos 8sin(8cos8sin22=++-=++-=+=+=πππππππππππππN∴M =N . 答案：B8．分析：先从已知式中求出α与β的关系，然后代入求值. 解析：由已知得：sin α+3cos α=3cos β-sin β.即cos(α-6π)=cos(β+6π) 又α-6π∈(-6π,3π),β+6π∈(6π,32π)故α-6π=β+6π⇒α=β+3π,∴sin3α+sin3β=sin(3β+π)+sin3β=0. 答案：D 9．解析：由韦达定理得：tan α+tan β=-33,tan αtan β=4 ∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα.又∵α、β∈(-2,2ππ),且tan α+tan β<0,tan αtan β>0. ∴tan α<0,tan β<0.故α、β∈(-2π,0)从而α+β∈(-π,0),∴α+β=-32π.答案：B 10．分析：本题中所涉及的角均为非特殊角，但两角之和为45°特殊角，为此，将因式重组来求.解析：∵tan45°=tan(21°+24°)=︒︒-︒+︒24tan 21tan 124tan 21tan∴1-tan21°tan24°=tan21°+tan24° 即1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°=2 即(1+tan21°)(1+tan24°)=2.(同理，由tan45°+tan(22°+23°)可得 (1+tan22°)(1+tan23°)=2.故(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)=4. 答案：C11．解析：原式=cos ［(2x -3π)+(3π-x )］=cos x .∵tan x =34>0且π<x <2π,∴π<x <23π.故cos x <0,从而得cos x =-52.答案：-5312．分析：观察所给角易得θ+75°=(θ+15°)+60°,θ+45°=(θ+15°)+30°.考查两角和的正弦余弦公式及换元法的运用.解析：令θ+15°=α,则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-3cos α=21sin α+23cos α+23cos α-21sin α-3cos α=0.答案：013．解析：∵5sin252cos 5cos 5sin252cos 5cos ππππππ=415sin454sin 5sin 252cos 52sin ===πππππ ∴原式=log 4141log )52cos 5(cos 4-==ππ答案：-114．解析：∵tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)=223,∴原式=sin(α+4π)cos(α+4π)=)4(sin )4(cos )4cos()4sin(22παπαπαπα+++++49366)4(tan 1)4tan(2=+++=παπα. 答案：4936615．分析：本题中函数种类较多，在变换过程中，常用“切割化弦”的基本方法，考查公式的灵活运用.解：原式=)112cos 2(24sin 12cos 312sin 3)112cos 2(212sin 1)312cos 12sin 3(22-︒⋅︒︒-︒=-︒︒⋅-︒︒ ︒⋅︒︒-︒=24cos 24sin )12cos 2312sin 21(323448sin 21)6012sin(32-=︒︒-︒=16．分析：条件式中出现α、β及α+β角，要得到所求三角式的α+β角，显然就需对角α进行变换.即α=(α+β)-β.解：∵βαsin sin =sin(α+β). ∴sin ［(α+β)-β］=sin β²sin(α+β).即sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin βsin(α+β). ∴sin(α+β)cos β=sin β［sin(α+β)+cos(α+β)］ ∴)sin()cos()sin(sin cos βαβαβαββ++++=即cot β=1+cot(α+β) ∴cot(α+β)=cot β-1=5-1.评注：三角变换的基本原则是化异为同，可以从角及函数名称、式子结构等方面分析思考，逐步实行由异向同的转化.17．分析：求三角函数的值，一般先要进行化简，至于化成哪一种函数，可由已知条件来确定.本题中由已知可求得tan θ的值，所以应将所求的式子化成正切函数式.解：原式=)4sin(2)4sin(2)4sin(2sin cos θπθππθθθ+-=+- ∵2)4()4(πθπθπ=++-∴原式=θθθπθπθπtan 1tan 1)4tan()4cos()4sin(+-=-=--.由已知tan2θ=-22得22tan 1tan 22-=-θθ解得tan θ=-22或tan θ=2. ∴π<2θ<2π，∴2π<θ<π,故tan θ=-22.故原式=223221221+=-+. 评注：以上所给解法，似乎有点复杂，但对于提高学生的三角变换能力大有好处.本题也可将所求式化成θθθθsin cos sin cos +-,注意到此时分子、分母均是关于si n θ、cos θ的齐次式.通过同时除以cos θ,即可化成θθtan 1tan 1+-.18．分析：这是一道探索性问题的题目，要求根据(1)、(2)联解，若能求出锐角α和β，则说明存在，否则，不存在.由于条件(2)涉及到2α与β的正切，所以需将条件(1)变成2α+β=3π,然后取正切，再与(2)联立求解.解：由(1)得：2α+β=3π,∴3tan 2tan 1tan 2tan)2tan(=-+=+βαβαβα将(2)代入上式得tan 2α+tan β=3-3. 因此，tan2α与tan β是一元二次方程x 2-(3-3)x +2-3=0的两根，解之得x 1=1,x 2=2-3.若tan2α=1,由于0<2α<4π.所以这样的α不存在； 故只能是tan 2α=2-3,tan β=1.由于α、β均为锐角，所以α=6π,β=4π故存在锐角α=6π,β=4π使(1)、(2)同时成立.19．解法一：依题意得B =3π,设A =3π+α,C =3π-α,则2CA -=α.同时有：3cos2)3cos(1)3cos(1παπαπ-=-++即22sin 3cos 2sin 3cos 2-=++-αααα023cos 2cos 242sin 3cos cos 2222=-+⇒-=-⇒ααααα ∴cos α=22或cos α=-423 (舍去)即cos222=-C A . 解法二：依题意得C C A C C A C A B -=--=-=+=32,232,32,3ππππ,不妨设cos(C -3π)=x .由已知得CC C C CC CA cos )32cos(cos )32cos(cos 1)32cos(1cos 1cos 1-+-=+-=+πππ∵cos(π32-C )+cos C=cos 32πcos C +sin 32πsin C +cos C=21cos C +23sin C =cos(3π-C ). cos(32π-C )cos C =cos 32πcos 2C+sin 32πsin C cos C)3(cos 43]1)3(cos 2[2141)232cos(21412sin 43)2cos 1(4122C C C C C -+-=--+-=-+-=++-=πππ∴22432-=+-x x 即0232242=-+x x∴x =22或x =-423 (舍去).故222cos=-C A . 解法三：依题意得B =3π,由已知得22cos 1cos 1-=+C A即cos A +cos C =-22cos A cos C利用积化和差及和差化积公式，并注意到A +C =32π,可得2cos22cos 2-=-+CA C A ［cos(A +C )+cos(A -C )］ 即22cos 22222cos2+--=-CA C A . 即0232cos 22cos 242=--+-CA C A ∴222cos=-C A 或4232cos -=-C A (舍去). 故222cos=-C A . 评注：解法三运用了和差化积及积化和差公式，这组公式虽不要求记忆，但在给出公式的情况下会运用.(3)1.在半经为2米的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_____（34π）米。

三角函数1.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.2、已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值.3、已知函数()tan(2),4f x x =+π（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα，若()2cos 2,2f =αα求α的大小4、已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=.（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间.5、 设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.6、函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值. 7、设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域（Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求 ω的最大值.8、函数2()6cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形.（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；（Ⅱ）若0()5f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.9、已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A ； （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c .10、在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin B C ．(Ⅰ)求tan C 的值； (Ⅱ)若a ∆ABC 的面积．答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】（Ⅰ）因为()4cos sin()16f x x x π=+-14cos (sin cos )122x x x =+-222cos 1x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+， 所以()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤.于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值－1.2、【解析】 （1）2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--2sin 2coscos 2)34x x x ππ=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==（2）32sin(2)11()4444424x x x f x ππππππ-≤≤⇒-≤+≤⇒-≤+≤⇔-≤≤当2()428x x πππ+==时，()m a xf x ，当2()444x x πππ+=-=-时，m i n ()1f x =-【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.3、【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质；2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值.【精讲精析】（I ）【解析】由2,42+≠+∈x k k Z πππ， 得,82≠+∈k x k Z ππ. 所以()f x 的定义域为{|,}82∈≠+∈k x R x k Z ππ，()f x 的最小正周期为.2π （II ）【解析】由()2cos 2,2f =αα得tan()2cos 2,4+=παα22sin()42(cos sin ),cos()4+=-+παααπα 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin +=+--αααααααα因为(0,)4∈πα，所以sin cos 0.+≠αα因此211(cos sin ),sin 2.22-==ααα即 由(0,)4∈πα，得2(0,)2∈πα.所以2,.612==ππαα即4、解（1）：si n 0()x x k k Z π≠⇔≠∈得：函数()f x 的定义域为{,}x x k k Z π≠∈(sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x xf x x x xx-==-⨯sin 2(1cos 2))14x x x π=-+=--得：)(x f 的最小正周期为22T ππ==；（2）函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈ 则322224288k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇔-≤≤+得：)(x f 的单调递增区间为3[,),(,]()88k k k k k Z ππππππ-+∈5、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力. 【解析】211()co242f x x π=++11sin222x =-， （I ）函数()f x 的最小正周期22T ππ== （II ）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-=当[,0]2x π∈-时，()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩.6、【解析】（1）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=，∴2ω=. 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+.（2）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1sin()62πα-=，∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=.7、解：（1）()14sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤，所以函数()y f x =的值域为1⎡+⎣（2）因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是 32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得16ω≤，故ω的最大值为16. 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想. [解析]（Ⅰ）由已知可得：2()6cos3(0)2xf x x ωωω=->=3cosωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23，则BC=4 所以，函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以，函数]32,32[)(-的值域为x f .……………………6分（Ⅱ）因为，由538)(0=x f （Ⅰ）有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（ 所以，53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos )34([sin 3200⨯+⨯=+++=ππππππx x567=………………………………………………………12分 9..解：（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 42S bc A bc ==⇔=， 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+= 10. 本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cos A ＝23＞0，∴sin A=cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos Acos C ＋23sin C ．整理得：tan C(Ⅱ)由图辅助三角形知：sin C＝．又由正弦定理知：sin sin a cA C =，故c = (1)对角A 运用余弦定理：cos A ＝222223b c a bc +-=． (2)解(1) (2)得：b=or b舍去)．∴∆ABC的面积为：S．。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

三角函数高考大题(一)姓名________日期_________1.（14广东16）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f2.（14湖北17）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？3.（2014•福建）已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间.三角函数高考大题（二）姓名________日期_________ 1.（2014•江西）已知函数f （x ）=sin （x+θ）+acos （x+2θ），其中a ∈R ，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f （x ）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f （）=0，f （π）=1，求a ，θ的值．2.（14天津）（本小题满分13分）已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（14山东本小题满分12分）已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==，函数()f x a b =⋅ ，且()y f x =的图像过点,312π⎛⎫⎪⎝⎭和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭.（I ）求,m n 的值；（II ）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.三角函数高考大题（三）姓名________日期_________1.（2014•四川）已知函数f （x ）=sin （3x+）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f （）=cos （α+）cos2α，求cos α﹣sin α的值．2.（2014•重庆）已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）若f （）=（＜α＜），求cos （α+）的值．(14江苏本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值.三角函数高考大题（四）姓名________日期_________1.（13天津）已知函数.(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值.2.（13江苏）已知向量，。

三角函数类型一：角度的概念、弧长和三角函数的概念1已知角q 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若),4(y P 是角q 终边上的一点，且552sin -=q ，则y的值的值2已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所对的弧长是 3若0cos sin <q q ，则角q 在第在第___________________________象限角。

象限角。

象限角。

4 4 已知已知q 为第二象限角；则2q可能为第可能为第_____________________象限角。

象限角。

象限角。

5已知q 为第二象限角；则24a p +所在的象限是所在的象限是_____________________。

6已知角a 的终边过点)60cos 6,8(--m P ，且54cos -=a ，则m 的值为的值为7在平面直角坐标系中，若角a 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终点经过点)4,3(a a P -)0(<a ，则a a cos sin +的值为的值为8 8 已知角已知角a 的终边经过点)3,4(-，则a cos 等于等于答案：1 -8-8；；21sin 2；3 二或四；4 一或三；5 一或三；6 21；7 51；8 54-。

类型二：同角三角函数的求值与化解（a a a a a cos tan sin ,1cos sin 22×==+）1求300sin =_______=_______。

2已知3cos sin cos sin =-+xx x x ，则x tan 的值是的值是________________________。

3若点)9,(a 在函数xy 3=的图像上，则6tanpa 的值为的值为 4已知a 是第二象限角，135sin =a ，则a cos 的值的值5已知51)25sin(=+a p ，那么a cos 的值的值6已知21tan -=a ，则1cos 22sin 2--a a 等于等于7)1410tan(-的值的值8 8 记记cos(80)k -°=,那么tan100°= 9已知11-tan tan -=a a，则2cos sin sin 2++a a a = 10 已知角)2,0(p Îx ，21cos 22££-x 的解集是_____。

三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =，【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=也是以【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称上单调递减，而8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．B ．C ．D ．1-的部分图象知，【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。

考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。

考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。

此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。

一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。

cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。

3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。

练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。

4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。

练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。

【模拟演练】1、[2014·江西卷16] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值．2、[2014·北京卷16] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．3、[2014·福建卷18] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．4、( 06湖南）如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.（1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若求β的值.BDCαβ A图5、（07福建）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．6、（07浙江）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．7、（07山东）如图,甲船以每小时302海里的速度向正北 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20 海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的 北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距102海里, 问乙船每小时航行多少海里?8、（2013年全国新课标2）在ABC ∆中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，已知B cC b a sin cos +=（1）求B ；（2）若b=2, 求ABC S ∆的最大值。

三角函数正切函数题型总结（含答案）一、单选题（本大题共15小题，共75.0分） 1. 已知sinθ=45，θ∈(π2,3π2)，则tan θ2= A. −2B. −12C. 12D. 2【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的关系以及正弦、余弦的二倍角公式，属于基础题． 因为tan θ2=sinθ2cosθ2=sin θ2cosθ2cos 2θ2=sinθ1+cosθ，所以根据同角三角函数的关系求出cosθ，即可求出tan θ2．【解答】解：∵sinθ=45，θ∈(π2,3π2)，∴cosθ=−√1−sin 2θ=−√1−(45)2=−35，∴tan θ2=sinθ2cosθ2=sin θ2cos θ2cos 2θ2=sinθ1+cosθ=451−35=2．故选D ．2. 已知sinθ=35，且sin2θ<0，则tanθ=( )A. −34B. 34C. −34或34D. 45【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同角三角函数基本关系，属于基础题．由题意易知cosθ<0.然后根据同角三角函数基本关系即可求解． 【解答】解：∵sin 2θ=2sinθcosθ<0， ∵sinθ=35，则cosθ<0， 故cosθ=−√1−sin 2θ=−45，故tan θ=sinθcosθ=−34， 故选A ．3. 已知cos θ=−35，π<θ<2π，则sin θ2等于( )A. 45B. 25√5C. −25√5D. ±25√5【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同角三角函数关系式，二倍角公式及应用，属于较易题． 根据二倍角余弦公式可以得出答案． 【解答】解：因为π<θ<2π，所以π2<θ2<π， 所以sin θ2>0， 所以sin θ2=√1−cosθ2=√1+352=2√55． 故选B ．4. θ∈[0,π]，cosθ=34，则tan θ2=( )A. √7B. √77C. 7D. 17【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用二倍角公式求得cos θ2 和sin θ2的值，再利用同角三角函数的基本关系式求得tan θ2的值．本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题． 【解答】 解：∵cos 2θ2=1+cosθ2=78，又θ2∈[0,π2]，∴cos θ2=√144，∴sin θ2=√1−cos 2θ2=√24，∴tan θ2=sinθ2cosθ2=√77， 故选：B ．5. 已知θ∈(−π2,0)，且3cos2θ+4cosθ+1=0，则sin2θ=( )A. −4√29B. −2√23C. 4√29D. 2√23【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．化简可得3cos 2θ+2cosθ−1=0，解得cosθ的值，再根据同角三角函数的基本关系，可得出sinθ，再根据二倍角公式，可得出sin2θ的值． 【解析】解：因为θ∈(−π2,0)，则cosθ∈(0,1)，由已知得3(2cos 2θ−1)+4cosθ+1=0，即3cos 2θ+2cosθ−1=0， 解得cosθ=13，或cosθ=−1(舍去)， 从而可得sinθ= −√1−cos 2θ=−2√23， 所以sin2θ=2sinθcosθ=−4√29． 故选A ．6. 已知cosθsinθ=53cos (2π−θ)，|θ|<π2，则sin2θ=( )A. 625B. 1225C. 1825D. 2425【答案】D 【解析】 【分析】本题考查诱导公式、同角三角函数之间的关系及二倍角公式，属于基础题．根据题意可得sinθ=35，然后利用同角三角函数之间的关系可得cosθ=√1−sin 2θ=45，进而利用二倍角公式即可求得结果． 【解答】解：由cosθsinθ=53cos(2π−θ)，得cosθsinθ=53cosθ， 则sinθ=35， ∵|θ|<π2，∴cosθ=√1−sin 2θ=45， ∴sin2θ=2sinθcosθ=2425． 故选D ．7. 已知cosθ⋅tanθ=34，则sin (π2−2θ)=( )A. 3√78B. ±√74 C. −12D. −18【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同角间的基本关系式，诱导公式，二倍角公式，先求出sinθ的值，利用诱导公式得sin(π2−2θ)=cos2θ，再利用二倍角公式求解． 属于中档题． 【解答】解：∵cosθ⋅tanθ=sinθ=34，∴sin(π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=1−2×(34)2=−18． 故选D ．8. 若tan α2=12，则sinα=A. 35B. ±45C. −45D. 45【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系及二倍角公式即可得解，本题考查三角函数同角关系，二倍角正弦及三角函数求值等．【解答】解：因为tanα2=12，所以sinα=2sinα2cosα2=2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2=2tanα21+tan2α2=45．故选D．9.已知2π<θ<4π，且sinθ=−35,cosθ<0，则tanθ2的值等于()A. −3B. 3C. −13D. 13【答案】A【解析】【分析】本题考查三角恒等变换公式应用，基础题；利用已知求出cosθ，再利用二倍角公式求解即可，【解答】解：由题意，cosθ=−√1−sin2θ=−45所以tanθ2=sinθ2cosθ2=sinθ2cosθ2cos2θ2=12sinθcosθ+12=sinθcosθ+1=−35−45+1=−3故选：A．10.已知sin2A=−2425,A∈(π,2π)，则cosA=A. 35B. 45C. 35或45D. −35或−45【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式和同角三角函数基本关系．【解答】解：∵sin2A=2sinAcosA=−2425，∵(sinA+cosA)2=1−2425=125，，又∵A∈(π,2π)，sinAcosA=−1225，∴sinA−cosA=−7 5故cosA=35或45．故选C．11.已知θ∈(0,π)，，则tan(π+2θ)=()A. 2√23B. 4√27C. √23D. 2√27【答案】B【解析】【分析】本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，属于基础题．【解答】解：由题意得，则，则．故选B．12.已知θ∈(−π2,0)，sin(π4+θ)=35，则tan2θ的值为()A. −724B. 247C. 724D. −247【答案】A【解析】【分析】本题考查同角三角函数的关系，和差角公式，属于基础题．先由同角三角函数关系，求得tan(θ+π4)=34，再把tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ，结合和差角公式和二倍角公式计算即得．【解答】解：因为θ∈(−π2,0)，所以，又sin (θ+π4)=35，所以cos(θ+π4)=√1−(35)2=45，可得tan(θ+π4)=sin(θ+π4)cos(θ+π4)=34则tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=34，所以tanθ=−17．所以tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×(−17)1−(−17)2=−724．故选A．13.若tanθ=√3，则sin2θ1+cos2θ=()A. √3B. −√3C. √33D. −√33【答案】A【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式及其应用，属于基础题．由同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简可得tan θ，即可得结果．【解答】解：sin2θ1+cos2θ=2sinθcosθ1+2cos2θ−1=tanθ=√3．故选A．14.设θ∈(π4,π2),sin2θ=116，则cosθ−sinθ的值是()A. √154B. −√154C. 34D. −34【答案】B【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，属于基础题．根据sin2θ=2sinθcosθ=116，结合，即可得到答案．【解答】解：∵sin2θ=2sinθcosθ=116，且θ∈(π4,π2)，，∴cosθ−sinθ=−√1−2sinθcosθ=−√154． 故选B ．15. 已知cosθ=35，tanθ<0，则sin(π−2θ)=A. −2425B. −1225C. −45D. 2425【答案】A 【解析】 【分析】此题考查诱导公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题． 利用同角三角函数的基本关系求得sinθ=−√1−cos 2θ=−√1−925=−45，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可． 【解答】解：因为cosθ=35,tanθ<0，则θ为第四象限角， sinθ=−√1−cos 2θ=−√1−925=−45，则sin (π−2θ)=sin2θ=2sinθcosθ=2×(−45)×35=−2425， 故选A ．。

【模拟演练】nn1、［2014 •西卷16］已知函数f(x) = (a+ 2COS2X)COS(2X+ 0 )为奇函数，且f 才=°，其中a€R , 0€ (0，冗).n n(1)求a, 0 的值；(2)若f 才=-5，a ~2， n，求sin a + —的值.n2、［2014北京卷16］函数f(x) = 3S in 2x+ —的部分图像如图所示.(1)写出f(x)的最小正周期及图中X0, y°的值；n n⑵求f(x)在区间—㊁，—12上的最大值和最小值.3、［2014 福建卷18］已知函数f(x) = 2COS x(sin x + COS x).5 n(1)求f —的值；⑵求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.4、( 06 湖南)如图，D是直角△ ABC斜边BC上一点，AB=AD,记/ CAD= , / ABC=(1)证明sin COS2 0;(2)若AC=..3 DC,求的值.1 35、（07福建）在厶ABC 中，聞A 4，tanB 5 -（I）求角C的大小；（n）若△ ABC最大边的边长为.17，求最小边的边长.6、（07 浙江）已知△ ABC 的周长为.2 1,且si nA si nB /2si nC .（I ）求边AB的长；（II ）若△ ABC的面积为^sinC，求角C的度数.67、（07山东）如图，甲船以每小时30「2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A i处时,乙船位于甲船的北偏西105的方向B1处，此时两船相距20 海里•当甲船航行20分钟到达A,处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10.2海里, 问乙船每小时航行多少海里？8、（2013年全国新课标2）在ABC中，角A , B, C所对的边分别为a,b,c，已知a bcosC csin B（1）求B；（2）若b=2,求S ABC的最大值。

9、(2016年北京高考)在ABC中，a2 c2b2、 2ac(1)求角B的大小；(2)求2cosA cosC的最大值。

三角函数高考试题精选一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（)A． B．C．πD．2π2．（2017•天津）设函数f（x)=2sin（ωx+φ）,x∈R，其中ω＞0，|φ｜＜π．若f（)=2,f （）=0，且f（x）的最小正周期大于2π,则( ）A．ω=,φ=B．ω=,φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=3．(2017•新课标Ⅱ)函数f（x）=sin(2x+)的最小正周期为( ）A．4πB．2πC．πD．4．(2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是( ）A．f(x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2:y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长1度，得到曲线C26．(2017•新课标Ⅲ）函数f（x)=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为( )A．B．1 C．D．7．（2016•上海）设a∈R，b∈［0，2π)，若对任意实数x都有sin(3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A． B． C．1 D．9．（2016•新课标Ⅲ)若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．10．(2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f(x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关,但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z) B．x=+(k∈Z）C．x=﹣（k∈Z) D．x=+（k∈Z）12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x)=sin（ωx+φ）（ω＞0,｜φ｜≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为( ）A．11 B．9 C．7 D．513．(2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin(2x+）的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（2x﹣) D．y=2sin(2x﹣）15．（2016•北京）将函数y=sin(2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0)个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上,则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．（2016•四川)为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣) B．y=2sin(2x﹣) C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+) 18．（2016•新课标Ⅱ)函数f（x）=cos2x+6cos(﹣x)的最大值为( ）A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（共9小题）19．(2017•北京）在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=,则sinβ=．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2,则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f(x）=sin2x+cosx﹣(x∈［0，])的最大值是．22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x)=2cosx+sinx的最大值为．23．（2016•上海)设a,b∈R，c∈[0,2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣)=asin（bx+c),则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．24．（2016•江苏）定义在区间［0，3π］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x)的最小正周期；（II)求证:当x∈［﹣，]时,f（x）≥﹣．29．(2016•山东)设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x)的单调递增区间;(Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x）的图象，求g（）的值．30．(2016•北京)已知函数f(x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0)的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2)求f(x)的单调递增区间．三角函数2017高考试题精选（一）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．(2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为( ）A． B．C．πD．2π【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin(2x+），∵ω=2，∴T=π,故选：C2．（2017•天津）设函数f（x)=2sin（ωx+φ),x∈R,其中ω＞0，|φ|＜π．若f(）=2,f()=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（)A．ω=，φ= B．ω=,φ=﹣C．ω=,φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解:由f（x)的最小正周期大于2π，得，又f（)=2，f()=0，得，∴T=3π,则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin(x+φ），由f(）=,得sin（φ+）=1．∴φ+=,k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴,φ=．故选：A．3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x)=sin（2x+）的最小正周期为（)A．4πB．2πC．πD．【解答】解：函数f（x)=sin（2x+)的最小正周期为：=π．故选：C．4．(2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos(x+）,则下列结论错误的是（)A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π)的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【解答】解:A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时,周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称,故B正确，C当x=时，f（+π)=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π)的一个零点为x=，故C 正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜,此时函数f（x）不是单调函数,故D错误，故选：D5．(2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1:y=cosx，C2：y=sin(2x+）,则下面结论正确的是( )A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长B．把C1度，得到曲线C2上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长C．把C1度,得到曲线C2上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长D．把C1度，得到曲线C2上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,得到函数y=cos2x图象，再【解答】解：把C1把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+)，的图象，即曲线C2故选：D．6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解:函数f（x）=sin(x+）+cos（x﹣）=sin(x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）．故选：A．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b）,则满足条件的有序实数对（a，b)的对数为（)A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期相同,若a=3，此时sin（3x﹣)=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣)=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b)=sin(3x﹣b+π)，则﹣=﹣b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组(a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故选：B．8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=,则cos2α+2sin2α=（)A． B． C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选:A．9．(2016•新课标Ⅲ)若ta nθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解:由tanθ=﹣,得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ==．故选：D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（)A．与b有关，且与c有关B．与b有关,但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，∴f（x）图象的纵坐标增加了c,横坐标不变,故周期与c无关,当b=0时，f（x)=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，当b≠0时,f(x)=﹣cos2x+bsinx++c，∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期为2π，故f（x)的最小正周期与b有关，故选：B11．（2016•新课标Ⅱ)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( ）A．x=﹣（k∈Z) B．x=+(k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,得到y=2sin2（x+）=2sin(2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z）,即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ)（ω＞0，｜φ｜≤），x=﹣为f(x）的零点，x=为y=f（x)图象的对称轴，且f(x）在（，)上单调,则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f(x）图象的对称轴,∴,即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调,则﹣=≤，即T=≥，解得:ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z,∵|φ｜≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时,﹣+φ=kπ，k∈Z，∵｜φ|≤，∴φ=，此时f（x)在（，)单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（)A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度,可得函数y=sin2(x﹣)=sin(2x﹣）的图象，故选：D．14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( ）A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+) C．y=2sin（2x﹣) D．y=2sin(2x﹣）【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位,可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin(2x﹣)．故选:D．15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（,t）向左平移s(s＞0）个单位长度得到点P′,若P′位于函数y=sin2x的图象上,则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=,s的最小值为【解答】解：将x=代入得:t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位,得到P′（+s,)点，若P′位于函数y=sin2x的图象上,则sin（+2s）=cos2s=,则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z,由s＞0得：当k=0时，s的最小值为,故选：A．16．(2016•四川）为了得到函数y=sin（x+)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx,平移后函数解析式为:y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin(ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣) B．y=2sin(2x﹣） C．y=2sin（x+）D．y=2sin(x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（,2）代入可得：2sin(+φ）=2，则φ=﹣满足要求,故y=2sin(2x﹣），故选：A．18．(2016•新课标Ⅱ）函数f（x)=cos2x+6cos(﹣x）的最大值为( )A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos(﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx,令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2(t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在［﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选:B．二．填空题（共9小题）19．(2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y 轴对称，若sinα=,则sinβ=．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=，∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．故答案为：．20．（2017•上海）设a 1、a 2∈R ，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1,sin2α2的范围在[﹣1，1]， 要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1． 则：,k 1∈Z ． ，即，k 2∈Z ． 那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π，k 1、k 2∈Z ．∴|10π﹣α1﹣α2|=｜10π﹣（2k 1+k 2）π｜的最小值为．故答案为：．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f （x ）=sin 2x+cosx ﹣（x ∈[0，］)的最大值是 1 ．【解答】解：f(x ）=sin 2x+cosx ﹣=1﹣cos 2x+cosx ﹣，令cosx=t 且t ∈［0，1]， 则y=﹣t 2+t+=﹣(t ﹣）2+1，当t=时，f （t ）max =1，即f （x)的最大值为1， 故答案为：122．（2017•新课标Ⅱ)函数f （x ）=2cosx+sinx 的最大值为 ．【解答】解：函数f(x ）=2cosx+sinx=（cosx+sinx ）=sin(x+θ），其中tanθ=2,可知函数的最大值为：．故答案为:．23．（2016•上海)设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c)，则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为 4 ．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣)=asin(bx+c），∴必有|a｜=2,若a=2，则方程等价为sin（3x﹣)=sin（bx+c），则函数的周期相同,若b=3，此时C=,若b=﹣3,则C=，若a=﹣2,则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c)，若b=﹣3,则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组(a,b，c）为(2，3,），（2，﹣3，）,（﹣2，﹣3，），（﹣2，3,），共有4组,故答案为：4．24．（2016•江苏)定义在区间［0,3π］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7 ．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间［0，3π]上的图象如下：由图可知,共7个交点．故答案为：7．25．（2016•新课标Ⅲ)函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin(x﹣），令f(x）=2sinx，则f(x﹣φ）=2in（x﹣φ）(φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin(x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z),即φ=﹣2kπ+(k∈Z），当k=0时,正数φ=，min故答案为：．26．(2016•新课标Ⅲ)函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin(x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f(x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣(k∈Z）,即φ=﹣2kπ（k∈Z），=,当k=0时,正数φmin故答案为：．27．（2016•江苏)在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是8 ．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin(B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形,则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC,由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=(）2﹣,由t＞1得,﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin(B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC,两边同除以cosBcosC,tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan(B十C)=,∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC,∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2,令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8,或x≤0(舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号,此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4,（或tanB，tanC互换)，此时A，B,C均为锐角．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京)已知函数f（x)=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．(I）求f（x）的最小正周期；（II)求证：当x∈［﹣，]时,f（x)≥﹣．【解答】解：（Ⅰ)f（x)=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x)﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin(2x+）,∴T==π,∴f（x)的最小正周期为π,（Ⅱ）∵x∈［﹣，］，∴2x+∈[﹣，］，∴﹣≤sin（2x+）≤1,∴f(x）≥﹣29．（2016•山东)设f(x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．(Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；（Ⅱ)把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解:（Ⅰ）∵f（x)=2sin（π﹣x)sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+］，k∈Z．（Ⅱ)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin(x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，∴g（)=2sin+﹣1=．30．（2016•北京）已知函数f（x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω＞0）的最小正周期为π．(1)求ω的值;(2）求f（x)的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x)=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1;（2）由(1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．。

2023届全国高考数学真题分类专项（三角函数）汇编解析第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1 ”是“sin cos 0 ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【详细分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解. 【过程解析】当2，0 时，有22sin sin 1 ，但sin cos 0 ， 即22sin sin 1 推不出sin cos 0 ；当sin cos 0 时， 2222sin sin cos sin 1 ，即sin cos 0 能推出22sin sin 1 .综上可知，22sin sin 1 是sin cos 0 成立的必要不充分条件. 故选B.2.（2023北京卷13）已知命题:p 若, 为第一象限角，且 ，则tan tan .能说明p 为假命题的一组, 的值为 ； .【详细分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义详细分析求解.【过程解析】因为 tan f x x 在π0,2上单调递增，若00π02 ，则00tan tan ，取1020122π,2π,,k k k k Z ，则 100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k ，即tan tan ， 令12k k ，则 102012002π2π2πk k k k ， 因为 1200π2π2π,02k k ，则 12003π2π02k k ， 即12k k ，则 . 不妨取1200ππ1,0,,43k k ，即9ππ,43满足题意. 故答案为：9ππ;43.第二节 三角恒等变换1.（2023新高考I 卷6）过点 0,2 与圆22410x y x 相切的两条直线的夹角为 ，则sin （ ）A.1B.4C.4D.4【过程解析】 222241025x y x x y ，所以圆心为 2,0B ， 记 0,2A ，设切点为,M N ，如图所示.因为AB ，BM，故AMcos cos2AM MAB AB，sin 2，sin 2sincos2224.故选B.2.（2023新高考I 卷8）已知 1sin 3，1cos sin 6，则 cos 22 （ ） A.79B.19C.19D.79【过程解析】 1sin sin cos cos sin 3，1cos sin 6， 所以1sin cos 2，所以 112sin sin cos cos sin 263， 2221cos 22cos 212sin 1239.故选B.3.（2023新高考II 卷7）已知 为锐角，1cos 4，则sin 2 （ ）A.38 B.18 C.34 D.14【过程解析】21cos 12sin 24，所以2231sin 284，则1sin24或1sin 24.因为 为锐角，所以sin02，sin2sin 2故选D. 第三节 三角函数的图像与性质1.（2023新高考II 卷16）已知函数 sin f x x ，如图所示，A ，B 是直线12y 与曲线 y f x 的两个交点，若π=6AB ，则 πf _______.【过程解析】sin y x 的图象与直线12y两个相邻交点的最近距离为2π3，占周期2π的13，所以12ππ36，解得4 ，所以 sin 4f x x . 再将2π,03代入 sin 4f x x 得 的一个值为2π3 ，即 2πsin 43f x x.所以 2ππsin 4π32f. 2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知 f x 为函数cos 26y x向左平移6 个单位所得函数，则 y f x 与1122y x交点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【过程解析】因为函数πcos 26y x向左平移π6个单位可得 sin 2.f x x而1122y x 过10,2 与 1,0两点，分别作出 f x 与1122y x 的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x，即3π3π7π,,444x x x 处 f x 与1122y x 的大小关系，结合图像可知有3个交点. 故选C.3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数 sin f x x 在区间2,63单调递增，直线6x和23x 为函数 y f x 的图像的两条对称轴，则512f（ ）A. B.12 C.12 【过程解析】2222362T T，所以 sin 2.f x x又222,32k k Z ，则52,6k k Z .所以5555sin 22sin 121263f k故选D.【评注】本题考查了三角函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列 n a 的公差为23，集合*cos n S a n N ，若 ,S a b ，则ab （ ）A.1B.12C.0D.12【过程解析】解法一（利用三角函数图像与性质） 因为公差为23，所以只考虑123,,a a a ，即一个周期内的情形即可. 依题意， cos ,n S a a b ，即S 中只有2个元素， 则123cos ,cos ,cos a a a 中必有且仅有2个相等.如图所示，设横坐标为123,,a a a 的点对应图像中123,,A A A 点.①当12cos cos a a 时，且2123a a， 所以图像上点的位置必为如图1所示，12,A A 关于x 对称，且1223A A ， 则1233a，2433a，32a . 所以11122ab.②当13cos cos a a 时，3143a a， 所以图像上点的位置必为如图2所示，13,A A 关于x 对称，且1343A A ， 则133a，3533a，2a .图1图2所以 11122ab. 综上所述，12ab .故选B.解法二（代数法） 11113n a a n d a n， 21cos cos 3a a ，31cos cos 3a a， 由于*cos ,n S a n a b N ，故123cos ,cos ,cos a a a 中必有2个相等.①若121111cos cos cos cos 322a a a a a，即113cos 22a a ， 解得11cos 2a 或11cos 2a .若11cos 2a ，则1sin a ，3111113cos cos cos 132244a a a a，若11cos 2a，则1sin a ，3111113cos cos cos 13244a a a a， 故131cos cos 2a a ab .②若131111cos cos cos cos sin 322a a a a a，得113cos 22a a ， 解得11cos 2a 或11cos 2a .当11cos 2a 时，1sin a ，2111113cos cos cos 132244a a a a，当11cos 2a 时，1sin a ，213cos 144a ， 故121cos cos 2a a ab .③若23cos cos a a ，与①类似有121cos cos 2a a ab .综上，故选B.5.（2023北京卷17）已知函数 sin cos cos sin ,0,2f x x x .（1）若 0f ，求 的值； （2）若 f x 在区间2,33上单调递增，且213f，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 f x 存在，求, 的值.条件①：3f；条件②：13f；条件③： f x 在,23上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【详细分析】（1）把0x 代入()f x 的过程解析式求出sin ，再由π||2即可求出 的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的过程解析式化简，根据() f x 在π2π,33上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出 的值；把 的值代入()f x 的过程解析式，由π13f和π||2 即可求出 的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x 处取得最小值1 ，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【过程解析】（1）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x所以 (0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ， 因为π||2，所以π3. （2）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ， 所以 π()sin ,0,||2f x x，所以() f x 的最大值为1，最小值为1 .若选条件①：因为 ()sin f x x 最大值为1，最小值为1，所以π3f无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33上单调递增，且2π13f，π13f， 所以2πππ233T ,所以2πT ,2π1T,所以 ()sin f x x ， 又因为π13f ，所以πsin 13，所以ππ2π,32k k Z ，所以π2π,6k kZ ，因为||2 ，所以π6 .所以1 ，π6； 若选条件③：因为() f x 在π2π,33 上单调递增，在ππ,23上单调递减，所以() f x 在π3x处取得最小值1 ，即π13f. 以下与条件②相同．的故选B.第四节 解三角形1.（2023全国甲卷理科16）在ABC △中，2AB ，60BAC，BC D 为BC 上一点，AD 平分BAC ，则AD .【过程解析】如图所示，记,,,AB c AC b BC a由余弦定理可得22222cos606b b，解得1b （负值舍去）.由ABC ABD ACD S S S △△△可得，1112sin602sin30sin30222b AD AD b ，解得1212AD b . 2.（2023全国甲卷文科17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A.（1）求bc . （2）若cos cos 1a Bb A b，求ABC △面积 .3.（2023全国乙卷理科18）在ABC △中，120BAC ，2AB ，1AC. （1）求sin ABC；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ，求ADC △的面积. 【过程解析】（1）利用余弦定理可得2222cos 14212cos120527BCAC AB AC AB BAC.故BC .又由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC.故sin sin 14AC BAC ABC BC. （2）由（1）可知tan 5ABC， 在Rt BAD △中，tan 2ADAB ABC故11222ABD S AB AD△， 又11sin 21sin120222ABC S AB AC BAC△， 所以ADC ABC ABD S S S△△△. C5.（2023新高考I 卷17）已知在ABC △中，3A B C ， 2sin sin A C B . （1）求sin A ；（2）设=5AB ，求AB 边上的高.【过程解析】（1）解法一 因为3A B C ，所以4A B C C ，所以4C ， 2sin()sin()A C A C2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A Csin cos 3cos sin A C A Ctan 3tan 3sin 10A C A . 解法二 因为3ABC ，所以4A B C C ，所以4C ， 所以4A B ，所以4B A ， 故2sin()sin()4A C A ，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin 4444A A A A ，得sin 3cos A A .又22sin cos 1A A ， 0,A ，得sin 10A. （2） 若||5AB . 如图所示，设AC 边上的高为BG ，AB 边上的高为CH ， ||CH h ，由（1）可得cos 10A ，||||cos ||102AG AB A AB ，||||2BG CG ，所以||AC ，||||2||6||5AC BGCHAB.6.（2023新高考II卷17）记ABC△的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知ABC△的面，D为BC的中点，且1AD .（1）若π3ADC，求tan B；（2）若228b c，求,b c.【过程解析】（1）依题意，122ADC ABCS S△△，1sin242ADCS AD DC ADC DC△，解得2DC ，2BD .如图所示，过点A作AE BC于点E.因为60ADC，所以12DE,2AE ,则15222BE，所以tan5AEBBE.（2）设ABc，ACb，由极化恒等式得2214AB AC AD BC=，即2114b c=b c，化简得22244b c=b c，GHCBA即cos cos 2BAC bc BAC b c =b c ①，又1sin 2ABC S bc BAC △，即sin bc BAC . ②①得tan BAC 0πBAC 得2π3BAC ， 代入①得4bc =，与228b c 联立可得2b c .7.（2023北京卷7）在ABC △中， sin sin sin sin a c A C b A B ，则C （ ） A.6 B.3 C.3 D.6【详细分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【过程解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B ，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b ，即222a c ab b ，则222a b c ab ，故2221cos 222a b c ab C ab ab ， 又0πC ，所以π3C . 故选B.。