《计算机数学基础(下)》数值分析部分辅导(1).

计算机数学基础（二）教学辅导_01辅导日期：2002年8月28日（星期三）辅导提纲：1.《数值分析》课程主要内容介绍，重点掌握的内容概要。

2.教材内容：第9章数值分析中的误差（全部讲完）。

辅导内容一.《数值分析》与《离散数学》教材体系的不同特点1.《离散数学》是计算机数学基础上册的内容，教材体系的特点是概念多，定义多，知识点多。

但都比较好理解，各章之间的联系不是十分紧密。

学习的困难之处，不在于知识的深度，而在于知识的广度和对基本概念掌握的准确程度。

2.《数值分析》是计算机数学基础下册的主要内容，教材体系的特点是知识点集中，不是太多，但每个知识点的难度都较大，掌握起来都不是很轻松。

对同一个数值计算的问题，从不同的角度来解决，就产生了不同的计算方法。

这些方法总是和程序设计的流程相对应的。

3.学习策略的应变：加强对同一数值分析问题的各种不同的算法设计原理和计算方法的理解，注意它们相互之间的区别与联系。

有条件的话，最好能编程来实现之。

二.《数值分析》课程的主要知识点1.数值分析中的误差（第9章）(1)基本概念：绝对误差、绝对误差限；相对误差、相对误差限；近似数的有效数字。

(2)分析原理：数值计算中误差的传播及在数值计算中的若干准则。

(3)主要运算①给定近似值和有效数字的位数，求其相对误差限；②结定近似值和相对误差限，求它应当有几位有效数字。

2.线性方程组的数值解法（第10章）(1)高斯顺序消去法(2)列主元消去法(3)雅可比迭代法(4)高斯——赛德尔迭代法(5)迭代法的收敛性。

3.函数插值与最小二乘拟合（第11章）(1)从测试样点值决定函数曲线的基本原理(2)通过n+1个样点的拉格朗日n次插值多项式(3)通过n+1个样点的牛顿n次插值多项式(4)分段线性插值(5)三次样条插值(6)用最小二乘曲线拟合法从测试样点值求函数曲线的基本原理(7)直线拟合(8)多项式拟合(9)指数拟合。

28208272.doc 第1 页共2 页打印：203/28/201328208272.doc 第 2 页 共 2 页 打印：203/28/2013 4. 数值积分与微分（第12章）(1) 代数精度(2) 牛顿——科茨系数与牛顿——科茨公式(3) 高斯求积公式(4) 数值微分的二点求导公式与三点求导公式5. 方程求根（第13章）(1) 二分法求根(2) 迭代法求根：一般迭代法与牛顿迭代法(3) 弦截法求根6. 常微分方程的数值解法（第14章）(1) 欧拉法与改进的欧拉法(2) 二阶、三阶、四阶龙格——库塔法三. 第9章 数值分析中的误差(一) 知识点1. 基本概念： x ——近似值； *x ——精确值(1) 绝对误差：e = x - *x （注意：近似值在先，精确值在后。

数值分析试题（卷）与答案解析数值分析试题一、填空题（2 0×2′）1.322A1, X23设 x=0.231 是精确值 x*=0.229 的近似值，则 x 有 2 位有效数字。

2. 若 f(x)=x7－ x3＋ 1 ，则 f[20 ,21,2 2,23 ,24,25,26,2 7]= 1 ，f[2 0,2 1,22,23 ,24,25 ,26 ,27,28 ]= 0 。

3.设，‖A‖∞＝ ___5 ____，‖X‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤ 15_ __ 。

4.非线性方程 f x)=0的迭代函数 x x 在有解区间满足’x)| <1，则使用该迭(=( ) | (代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5.区间 [a,b]上的三次样条插值函数 S(x)在[a,b]上具有直到 2 阶的连续导数。

6.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。

7.拉格朗日插值公式中f(xi)的系数 ai(x)的特点是：a i ( x)1；所以i当系数 ai(x)满足ai(x)>1 ，计算时不会放大f(xi)的误差。

8.要使 20 的近似值的相对误差小于0.1% ，至少要取 4 位有效数字。

9.对任意初始向量(0) 及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+ (=0,1, ?)X g k收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)<1 。

10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5y=f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.2511.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)| 。

12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri ( i=0,1, ? ,n)来实现的，其中的残差r ＝ (b -a x-a x-? -a x )/aii， (i=0,1,,n)。

《计算机数学基础(2)》辅导第9章 数值分析中的误差 (2002级(秋季)用) 中央电大 冯 泰 《计算机数学基础》是中央广播电视大学开放本科教育计算机科学与技术专业教学中重要的核心基础课程，它是学习专业理论不可少的数学工具. 通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法以及计算机上常用数值分析的构造思想和计算方法. 同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力.本学期讲授数值分析部分，包括数值分析中的误差、线性方程组的数值解法、函数插值和最小二乘拟合、数值积分与微分、方程求根和常微分方程的数值解法. 通过本课程的学习，使学生熟悉数值计算方法的基本原理，掌握常见数值计算的方法. 依据教学大纲，我们对本学期的教学内容，逐章进行辅导，供师生学习参考.第9章 数值分析中的误差一、重点内容绝对误差－设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差). 绝对误差限―绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界，即ε≤-=*x x e . 相对误差e r ―绝对误差e 与精确值x *的比值，***-==xx x xe e r .常用xe e r =计算.相对误差限r ε―相对误差e r 绝对值的一个上界，r r e ≥ε，常用xε计算.绝对误差限的估计式：)()()(2121x x x x εεε+=±)()()(122121x x x x x x εεε+≈22122121+=x x x x x x x )()()(εεε相对误差限的估计式：⎪⎪⎭⎫⎝⎛≠-±±≤±21212212121121)()()(x x x x x x x x x x x x x x r r r 时εεε112221)()()(x x x x x x r r r εεε+≤，221121)()()(x x x x x x r r r εεε+≤有效数字―如果近似值x 的绝对误差限ε是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字.关于有效数字的结论有： (1)设精确值x *的近似值x ，若mn a a a x 10.021⨯±=a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0，n l x x l m ≤≤110⨯50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字.(2)设近似值mn a a a x 10.021⨯±= 有l 位有效数字，则其相对误差限111021+-⨯≤l r a ε(3) 设近似值m n a a a x 10.021⨯±= 的相对误差限不大于1110)1(21+-⨯+l a则它至少有l 位有效数字.(4) 要求精确到10－k(k 为正整数)，则该数的近似值应保留k 位小数. 二、实例例1 设x *= π=3.1415926…，求x *的近似值及有效数字.解 若取x *的近似值x =3.14＝0.314×101, 即m =1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有31105.06592001.0-*⨯≤=- x x ，即l =3，故近似值x =3.14有3位有效数字．或x ＝3.14的绝对误差限0.005，它是x *的小数后第2位的半个单位，故近似值x =3.14准确到小数点后第2位，有3位有效数字． 若取近似值x =3.1416，绝对误差是0.0000074…，有5-1*10⨯50≤00000740=-.. x x ，即m =1,l ＝5，故近似值x =3.1416有5位有效数字．或x ＝3.1416的绝对误差限0.00005，它是x *的小数后第4位的半个单位，故近似值x =3.1416准确到小数点后第4位，亦即有4位有效数字．若取近似值x =3.1415，绝对误差是0.0000926…，有 0000926.0=-*x x 41105.0-⨯≤，即m =1,l ＝4，故近似值x =3.1415只有4位有效数字．或x ＝3.1415的绝对误差限0.0005，它是x *的小数后第3位的半个单位，故近似值x =3.1415准确到小数点后第3位．注意：这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字．若末位数不是四舍五入得到的，那末它就不一定有s 位有效数字，必须用其绝对误差限来确定．绝对误差限是哪一位的半个单位，也就是精确到该位，从而确定有效数字． 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00解 因为x 1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×101―5，即m =1,l =5,故x =2.000 4有5位有效数字. a 1=2，相对误差限025000.01021511=⨯⨯=-a r εx 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，l =3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr =3110221-⨯⨯=0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, l =4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝4110921-⨯＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，l =6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝6110921-⨯＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解 精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.693例4 数值x *＝2.197224577…的六位有效数字的近似值x =2.19722，而不是2.19723．注意：取一个数的近似数，若取5位有效数字，则只看该数第6位数，采取四舍五入的方法处理．与第7位，第8位的数值大小无关．本例取6位有效数字，左起第6个数是2，而第7个数是4，故应舍去，得到x=2.19722．本例第8个数，第9个数都是大于或等于5的数，再入上去，就得到x=2.19723，是不对的． 我们计算一下它们的误差． 取x=2.19722，e=x －x*=－0.000 004 577…，∣e ∣=∣x －x*∣=0.000 004 577…<0.000 005=0.5×101－6取x=2.19723，e=x －x*=0.000 005 423…，∣e ∣=∣x －x*∣=0.000 005 423…<0.000 05=0.5×101－5 即x=2.19723只有五位有效数字． 例5 设近似值x 1,x 2满足ε(x 1)=0.05，ε(x 2)=0.005，那么ε(x 1x 2)=？解 已知x 1,x 2的绝对误差限，求x 1x 2的绝对误差限．由绝对误差限的传播公式)()()(211221x x x x x x εεε+=＝1221005.005.0)(x x x x +=ε注：该传播公式也可以用于多个数的积， 213312321321)()()()(x x x x x x x x x x x x εεεε++=)(3)(),(2)(232x x x x x x εεεε==等．三、练习题1.下列各数中，绝对误差限为0.000 05的有效近似数是( B ) (A)－2.180 (B) 2.1200 (C) －123.000 (D) 2.120 2. 数8.000033的5位有效数字的近似值是多少？ 答案：8.000 03. 若误差限为0.5×10－5，那么近似数0.003400有( B )位有效数字. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 64. 若近似值x 的绝对误差限为ε＝0.5×10－2，那么以下有4位有效数字的x 值是( B ).(A) 0.934 4 (B) 9.344 (C) 93.44 (D)934.4 5. 已知准确值x *与其有t 位有效数字的近似值x ＝0.0a 1a 2…a n ×10s (a 1≠0)的绝对误差∣x *－x ∣≤( A )． (A) 0.5×10 s －1－t (B) 0.5×10 s －t (C) 0.5×10s ＋1－t (D) 0.5×10 s ＋t6. 已知x *1=x 1±0.5×10－3，x *2=x 2±0.5×10－2，那么近似值x 1，x 2之差的误差限是多少？答案：0.55×10－2． 7. 设近似值x =－9.73421的相对误差限是0.0005，则x 至少有几位有效数字． 答案：38. 用四舍五入的方法得到近似值x =0.0514，那么x 的绝对误差限和相对误差限各是几？ 答案：0.000 05，0.0019. 设近似值x 1,x 2满足ε(x 1)=0.05，ε(x 2)=0.005，那么ε(x 1+x 2)=？ 答案：0.05510. 设近似值x =±0.a 1a 2…a n ×10m ，具有l 位有效数字，则其相对误差限为( B )．(A) 1110121+-⨯+l a (B)1110)1(21+-⨯+l a(C)111021+-⨯l a (D) la -⨯1021111. 测量长度为x =10m 的正方形，若ε(x )＝0.05m ，则该正方形的面积S 的绝对误差限是多少？答案：1(m)12.数值x*＝2.197224577…的六位有效数字的近似值x=( B ).(A) 2.19723 (B) 2.19722 (C) 2.19720 (D) 2.19722513. 将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差. (1) 2.1514 (2) －392.85 (3) 0.00392214. 已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：(1) 13267 e r=0.1% (2) 0.896 e r=10%四、练习题答案1. B2. 8.000 03. B4. B .5. A6. 0.55×10－2．7. 38. 0.000 05，0.0019. 0.05510. B11. 1(m)12. B13. (1)2.15, e=－0.001 4, e r=－0.000 65；(2) －393 , e=－0.15, e r=－0.00038；(3)0.00392, e=－0.000 002, e r=0.0005114. (1) e=0.13×102 (2) 0.9×10－1。

计算方法教案新疆医科大学数学教研室张利萍一、课程基本信息1、课程英文名称：Numerical Analysis2、课程类别：专业基础课程3、课程学时：总学时544、学分：45、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《Matlab 语言》二、课程的目的与任务：计算方法是信息管理与信息系统专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。

其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。

通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。

三、课程的基本要求：1．掌握计算方法的常用的基本的数值计算方法2．掌握计算方法的基本理论、分析方法和原理3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力4．了解科学计算的发展方向和应用前景四、教学内容、要求及学时分配：(一) 理论教学：引论（2学时）第一讲（1-2节）1．教学内容：计算方法(数值分析)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。

数值计算中应注意的一些问题。

2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。

数值计算中应注意的一些问题。

3．教学目标：了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。

学会选用相对较好的数值计算方法。

A 算法B 误差第二讲典型例题第二章线性方程组的直接法（4学时）第三讲1．教学内容：线性方程组的消去法、Gauss消去法及其Gauss列主元素消去法的计算过程；三种消去法的程序设计。

2．重点难点：约当消去法，Gauss消去法，Gauss列主元素消去法3．教学目标：了解线性方程组的解法；掌握约当消去法、Gauss消去法、Gauss列主元素消去的基本思想；能利用这三种消去法对线性方程组进行求解，并编制相应的应用程序。

计算机数学基础-数值分析与组合数学第二版下册教学设计一、教学目标本教材是计算机数学基础的一部分，主要介绍数值分析与组合数学的相关知识。

通过本课程的学习，学生应该能够：1.掌握数值分析的基本原理和方法；2.熟练应用常用数值分析算法，如牛顿迭代法、二分法等；3.熟悉组合数学的基本概念和方法；4.掌握排列、组合、多重集合等概念，并能够应用到实际问题中。

二、教学内容与进度安排1. 数值分析第1章引言第2章非线性方程的数值解法第3章线性方程组的数值解法第4章差分法第5章插值法第6章数值微积分第7章数值积分第8章常微分方程的初值问题2. 组合数学第1章引言第2章排列、组合与离散概率第3章二项式系数第4章多重集合第5章递推关系与生成函数第6章偏序与格3. 实践环节在课程中，我们将通过各种实例和案例让学生更好地理解和掌握所学知识。

同时，实践环节也是促进学生思考和创新的一个重要机会。

三、教学方法与评价方法1. 教学方法本课程主要采用“讲授+实践”的教学模式。

具体包括：1.讲授：由教师进行讲述和解释；2.实践：通过项目、应用案例等实践环节，让学生积累实际经验，加深自己的理解；3.评价：通过每次课程作业和期末考试等多个环节对学生进行评价和反馈。

2. 评价方法对于学生的学习成果，我们将主要采用以下方法进行评价：1.课程作业：每周布置一定量的作业，检验学生掌握情况；2.课堂测试：随时进行小测验，帮助学生巩固所学知识；3.期末考试：检验学生对整个课程的综合掌握情况。

四、参考书目1.《数值分析》（第2版），北京：高等教育出版社，2014年；2.《组合数学》（第2版），北京：高等教育出版社，2011年；3.《计算机数学基础》（第3版），北京：清华大学出版社，2015年。

五、教学团队本课程由清华大学计算机科学与技术系教师组成的团队授课，教师有多年数值分析和组合数学的教学和研究经验，充分保证了教学质量和水平。