人教新课标版数学高二-人教选修2-3练习2-2-2事件的独立性

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(2)如果 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B，A 与 B，A 与 B 也都相互独立． (3)如果 A 与 B 相互独立， 那么 P(B|A)＝P(B)， P(A|B) ＝P(A)．
2．相互独立事件与互斥事件的区别 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独 立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率 没有影响，二者不能混淆． 温馨提示 两个互斥事件不可能同时发生， 但相互独 立的两个事件是可以同时发生的， 相互独立事件和互斥事 件之间没有联系．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( A、B 相互独立” 的充要条件．( )
解析：根据相互独立事件的概念知，这三个说法都是 正确的． 答案：(1)√ (2)√ (3)√
第二章
随机变量及其分布
2.2 二项分布及其应用 2．2.2 事件的相互独立性
[学习目标] 1.在具体情境中，了解两个事件相互独 立的概念(重点)． 2.能利用相互独立事件同时发生的概 率公式解决一些简单的实际问题(难点)．
[知识提炼· 梳理] 1．相互独立事件的定义和性质 (1)定义： 设 A， B 为两个事件， 如果 P(AB)＝P(A)P(B)， 那么称事件 A 与事件 B 相互独立．
5 ．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记 “硬币正面向上”为事件 A， “骰子向上的点数是 3”为 事件 B， 则事件 A、 B 中至少有一件发生的概率是_______． 1 1 解析：由题意 P(A)＝ ，P(B)＝ ，事件 A、B 中至少 2 6 1 5 7 有一个发生的概率 P＝1－ × ＝ . 2 6 12 7 答案： 12

2.2.2事件的独立性自主预习·探新知情景引入在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个“臭皮匠”能答对某题目的概率分别为50%,45%,40%，“诸葛亮”能答对该题目的概率为85%，如果将“三个臭皮匠”组成一组与“诸葛亮”进行比赛，各选手独立答题，不得商量，团队中只要有一人答出即为该组获胜．试问：哪方获胜的可能性大？新知导学相互独立事件1．概念(1)设A，B为两个事件，若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即__P(B|A)＝P(B)__，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做__相互独立事件__．(2)对于n个事件A1，A2，…，A n，如果其中任一个事件发生的概率不受__其他事件是否发生__的影响，则称n个事件A1，A2，…，A n相互独立．2．性质(1)如果事件A与B相互独立，那么事件A与__B__，A与__B__，__A__与__B__也都相互独立．(2)若事件A与B相互独立，则P(A|B)＝__P(A)__，P(A∩B)＝__P(A)×P(B)__．(3)若事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于__每个事件发生的概率积__，即P(A1∩A2∩…∩A n)＝P(A1)×P(A2)×…×P(A n)．并且上式中任意多个事件A i换成其对立事件后等式仍成立．预习自测1．(2020·刑台高二检测)甲、乙两人各用篮球投篮一次，若两人投中的概率都是0.7，则恰有一人投中的概率是( A )A ．0.42B ．0.49C ．0.7D ．0.91[解析] 设甲投篮一次投中为事件A ，则P (A )＝0.7， 则甲投篮一次投不中为事件A ，则P (A )＝1－0.7＝0.3， 设乙投篮一次投中为事件B ，则P (B )＝0.7，则乙投篮一次投不中为事件B ，则P (B )＝1－0.7＝0.3， 则甲、乙两人各投篮一次恰有一人投中的概率为：P ＝P (A ∩B )＋P (A ∩B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.7×0.3＋0.7×0.3＝0.42.故选A ． 2．国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是13、14、15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( B )A ．5960B ．35C ．12D ．160[解析] 设甲、乙、丙去北京旅游分别为事件A 、B 、C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，P (A )＝23，P (B )＝34，P (C )＝45，由于A ，B ，C 相互独立，故A ，B ，C 也相互独立，故P (A B C )＝23×34×45＝25，因此甲、乙、丙三人至少有1人去北京旅游的概率P ＝1－P (A B C )＝1－25＝35．3．已知A 、B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A B )＝__16__；P (A B )＝__16__．[解析] ∵A 、B 是相互独立事件， ∴A 与B ，A 与B 也是相互独立事件． 又∵P (A )＝12，P (B )＝23，故P (A )＝12，P (B )＝1－23＝13，∴P (A B )＝P (A )×P (B )＝12×13＝16；P (A B )＝P (A )×P (B )＝12×13＝16．4．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__0.128__．[解析] 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶事件独立性的判断典例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[解析] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}， ∴P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16，∴P (AB )＝P (A )·P (B )， ∴事件A 与B 相互独立．『规律总结』 (1)利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．┃┃跟踪练习1__■一个家庭中有若干个小孩，假设生男孩和生女孩是等可能的，设A ＝{一个家庭中既有男孩，又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}. 对下列两种情况讨论事件A 与B 的独立性．(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．[解析] (1)有两个小孩的家庭，对应的样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，有4个基本事件，每个基本事件的概率均为14，这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B )，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，样本空间为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，每个基本事件的概率均为18，这时A 中有6个基本事件，B 中有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件，于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12.P (A )·P (B )＝38，即P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立，从而事件A 与B 是相互独立的．命题方向❷求相互独立事件的概率典例2 (2020·鹤岗高二检测)小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．[解析] 用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，所以P (A )＝0.2，P (B )＝0.3，P (C )＝0.1．(1)由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (A BC )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．『规律总结』 与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，那么： (1)A ，B 中至少有一个发生为事件A ＋B ； (2)A ，B 都发生为事件AB ； (3)A ，B 都不发生为事件A B ； (4)A ，B 恰有一个发生为事件A B ＋A B ．(5)A ，B 中至多有一个发生为事件A B ＋A B ＋A B ． 它们之间的概率关系如表所示：┃┃跟踪练习2__■(2020·浙江杭州高级中学检测)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲、乙各射击一次均击中目标概率； (2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．[解析] (1)记事件A 表示“甲击中目标”，事件B 表示“乙击中目标”． 依题意知，事件A 和事件B 相互独立，因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×34＝12．(2)记事件A i 表示“甲第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C ，则C ＝A 1A 2A 3A 4∪A 1A 2A 3A 4，且A 1A 2A 3A 4与A 1A 2A 3A 4是互斥事件． 由于A 1，A 2，A 3，A 4之间相互独立，所以A i 与A j (i ，j ＝1,2,3,4，且i ≠j )之间也相互独立． 由于P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (A 4)＝23，故P (C )＝P (A 1A 2A 3A 4∪A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4) ＝(23)3×13＋13×(23)3＝1681． (3)记事件B i 表示“乙第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4)，并记事件D 表示“乙在第4次射击后终止射击”，则D ＝B 1B 2B 3B 4∪B 1B 2B3B 4，且B 1B 2B3B 4与B 1B 2B 3B 4是互斥事件．由于B 1，B 2，B 3，B 4之间相互独立，所以B i 与B j (i ，j ＝1,2,3,4，且i ≠j )之间也相互独立． 由于P (B i )＝34(i ＝1,2,3,4)，故P (D )＝P (B 1B 2B3B 4∪B 1B 2B3B 4)＝P (B 1)P (B 2)P (B 3)P (B 4)＋P (B 1)P (B 2)P (B 3)P (B 4) ＝(34)2×(14)2＋34×(14)3＝364． 命题方向❸相互独立事件的综合应用典例3 (2020·西安高二检测)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； (2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列． [解析] (1)设事件A 表示：观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手． 观众甲选中3号歌手的概率为23，观众乙未选中3号歌手的概率为1－35．所以P (A )＝23×(1－35)＝415．因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为415．(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X 可取0,1,2,3． 观众甲选中3号歌手的概率为23，观众乙、丙选中3号歌手的概率为35．当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X ＝0， P (X ＝0)＝(1－23)×(1－35)2＝475．当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X ＝1，P (X ＝1)＝23×(1－35)2＋(1－23)×35×(1－35)＋(1－23)×(1－35)×35＝8＋6＋675＝2075．当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X ＝2，P (X ＝2)＝23×35×(1－35)＋(1－23)×35×35＋23×(1－35)×35＝12＋9＋1275＝3375．当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X ＝3， P (X ＝3)＝23×(35)2＝1875．X 的分布列如下表：『规律总结』 概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A )＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为互独事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．┃┃跟踪练习3__■某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意记事件的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．[解析] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如图．通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”；则C A 1与C B 1相互独立，C A 2与C B 2相互独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2． P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2)，由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2的频率分别为1620，420，1020，820，故P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P(C B1)＝1020，P(C B2)＝820，所以P(C)＝1020×1620＋820×420＝0.48．学科核心素养正难则反的思想的应用正难则反的思想在求解概率问题中应用广泛，尤其是解概率问题的综合题中，出现“至少”或“至多”等事件的概率求解问题，如果从正面考虑，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁杂，而且容易出错，但如果考虑“至少”或“至多”事件的对立事件往往会简单，其概率很容易求出，此时可逆向分析问题，先求出其对立事件的概率，再利用概率的和或积的互补公式求出原来事件的概率．典例4三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，求乙队连胜四局的概率．[思路分析]乙队每局胜利的事件是相互独立的，可由其公式计算概率．[解析]设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6，第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5，第三局中乙胜甲(A3)，其概率为1－0.4＝0.6，第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62·0.52＝0.09．『规律总结』(1)求复杂事件的概率一般可分三步进行：①列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；②理清各事件之间的关系，列出关系式；③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．(2)直接计算符合条件的事件个数较复杂，可间接地先计算对立事件的个数，求得对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．┃┃跟踪练习4__■在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．[解析]如图所示，分别记这段时间内开关J A，J B，J C能够闭合为事件A，B，C．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027，于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P (A B C )＝1－0.027＝0.973．易混易错警示因混淆独立事件和互斥事件而致错典例5 设事件A 与B 相互独立，两个事件中只有A 发生的概率和只有B 发生的概率都是14，求事件A 和事件B 同时发生的概率．[错解] ∵A 与B 相互独立，且只有A 发生的概率和只有B 发生的概率都是14，∴P (A )＝P (B )＝14，∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝14×14＝116．[正解] 在相互独立事件A 和B 中，只有A 发生即事件A B 发生，只有B 发生即事件A B 发生．∵A 和B 相互独立，∴A 与B ，A 和B 也相互独立．∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝14，① P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )]·P (B )＝14.② ①－②得P (A )＝P (B )．③联立①③可解得P (A )＝P (B )＝12.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝12×12＝14．[误区警示] 在A 与B 中只有A 发生是指A 发生和B 不发生这两个事件同时发生，即事件A B 发生．课堂达标·固基础1．下列事件A ，B 是相互独立事件的是( A )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“一个灯泡能用1 000小时”，B ＝“一个灯泡能用2 000小时”[解析] 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A 是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，其结果具有唯一性，A ，B 应为互斥事件；D 中事件B 受事件A 的影响．故选A ．2．已知A ，B 是两个相互独立事件，P (A )，P (B )分别表示它们发生的概率，则1－P (A )P (B )是下列哪个事件的概率( C )A ．事件A ，B 同时发生B ．事件A ，B 至少有一个发生C ．事件A ，B 至多有一个发生D ．事件A ，B 都不发生[解析] P (A )P (B )是指A ，B 同时发生的概率，1－P (A )P (B )是A ，B 不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是( C )A ．512B ．12C ．712D ．34[解析] 由题意P (A )＝12，P (B )＝16，事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－12×56＝712． 4．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为__12__． [解析] 若都取到白球，P 1＝812×612＝13，若都取到红球，P 2＝412×612＝16， 则所求概率P ＝P 1＋P 2＝13＋16＝12． 5．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13、14.求： (1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有一人译出密码的概率；(4)至多一人译出密码的概率；(5)至少一人译出密码的概率．[解析] 记事件A 为“甲独立地译出密码”，事件B 为“乙独立地译出密码”．(1)两个人都译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112． (2)两个人都译不出密码的概率为P (A B )＝P (A )P (B )＝[1－P (A )][1－P (B )]＝(1－13)(1－14)＝12． (3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出，乙译出甲译不出，即A B ＋A B ，∴P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )P (B )＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512． (4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，∴其概率为1－P (AB )＝1－112＝1112． (5)至少一人译出密码的对立事件为两个都没有译出密码，∴其概率为1－P (A B )＝1－12＝12．。

2．2.2 事件的相互独立性一、基础达标1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2－是 ( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件[答案] A[解析] 由题意可得A 2－表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2－表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2－是相互独立事件．2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34[答案] C[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A －)＝12，P (B －)＝56.又A ，B 为相互独立事件，∴P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512.∴A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A －B －)＝1－512＝712.3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为 ( ) A.116 B.18 C.316D.14[答案] C[解析] 满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316.4．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49B.190C.45D.59[答案] B[解析] 该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.5．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (AB －)＝________；P (A －B －)＝________.[答案] 16 16[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝23，∴P (A －)＝12，P (B －)＝13.∴P (AB －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16， P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． [答案] 35[解析] 设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，∴p ＝35.7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1－A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1－A 2－A 3)＝910×89×18＝110；(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－A 2＋A 1－ A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1－A 2)＋P (A 1－A 2－A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 二、能力提升8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是 ( )A.29B.118C.13D.23[答案] D[解析] 由题意，P (A －)·P (B －)＝19， P (A －)·P (B )＝P (A )·P (B －)． 设P (A )＝x ，P (B )＝y ，则⎩⎨⎧（1－x ）（1－y ）＝19，（1－x ）y ＝x （1－y ）. 即⎩⎨⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， ∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.9．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78[答案] B[解析] 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪ABC －∪AB －C ，且A ，B ，C 相互独立， ABC ，ABC －，AB －C 互斥，所以 P (E )＝P (ABC )∪(ABC －)∪(AB －C ) ＝P (ABC )＋P (ABC －)＋P (AB －C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C ) ＝12×12×12＋12×12×(1－12)＋12×(1－12)×12＝38.10．在一条马路上的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________． [答案] 35192[解析] 由题意P (A )＝2560＝512；P (B )＝3560＝712；P (C )＝4560＝34； 所以所求概率P ＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝512×712×34＝35192.11．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求： (1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率． 解 (1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A ，则A －为选出的3位同学中没有男同学的事件，而P (A －)＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56.(2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A ，女同学甲通过测验的事件为B ，男同学乙通过测验的事件为C ，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A ∩B ∩C ，由条件知A ，B ，C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125.12．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？解 (1)设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k (k ＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－. ∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P (A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－)＝P (A 1－)·P (A 2－)·P (A 3－)·P (A 4－)·P (A 5－)＝(1－0.2)5＝(45)5.∴敌机未被击中的概率为(45)5.(2)至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得： 敌机被击中的概率为1－(45)n ∴令1－(45)n ≥0.9，∴(45)n ≤110 两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3.∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机． 三、探究与创新13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．解 设事件A i (i ＝1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13. (1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P (B )＝P (A 1A 2A 3－)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3－) ＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1－＋A 1A 2－＋A 1A 2A 3－) ＝P (A 1－)＋P (A 1A 2－)＋P (A 1A 2A 3－) ＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12. (3)X 的可能取值为1，2，3，4.P (X ＝1)＝P (A 1－)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1A 2－)＝56×(1－45)＝16，P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3－)＝56×45×(1－34)＝16，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12， 所以，X 的分布列为。

此题你有其他方法吗？
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│课堂互动│
2.2.2 事件的相互独立性
【训练 2】 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车 点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收
【迁移2】 (变换所求)例1条件不变，求2人至多有1人射中目标的概率.
解 “2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为 P＝P(A－ B－)＋P(AB－)＋P(A－B) ＝P(A－)·P(B－)＋P(A)·P(B－)＋P(A－)·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
│新课引入│
2.2.2 事件的相互独立性
引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？所求随机事件的概率是多 少？
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少;
(2)某P同( A学1 A投2 A篮3 )3次 C，33每 (次16命)3 中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
P(
A1
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│新课引入│
引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？
2.2.2 事件的相互独立性
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少; (2)某同学投篮3次，每次命中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
(2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人射中目标”包括两种情况：
①甲射中、乙未射中(事件 A B－发生)，

课后导练基础达标1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有( )A.A 与AB.A 与BC.A 与B D A 与B解析：由定义知，易选A.答案：A2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是( )A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42解析：P=（1-0.3）（1-0.4）=0.42.答案：D3.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1,乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A.P 1P 2B.P 1(1-P 2)+P 2(1-P 1)C.1-P 1P 2D.1-(1-P 1)(1-P 2)解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p 1(1-p 2)+p 2(1-p 1).答案：B4.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）( ) A.94 B.901 C.54 D. 95 解析：P=901516131=⨯⨯. 答案：B.5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____________. 解析：P=2411413221433121433221=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯. 答案：2411. 综合运用6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31，那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_______________.解析：因为这位司机在第一，二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=(1-31)(1-31)×31=274. 答案：274 7.(2006四川高考，18)某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.解析：记“甲理论考核合格”为事件A 1；“乙理论考核合格”为事件A 2；“丙理论考核合格”为事件A 3；记i A 为A i 的对立事件，i=1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件B 1;“乙实验考核合格”为事件B 2；“丙实验考核合格”为事件B 3.（1）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件P （C ）=P （A 1A 23A +A 12A A 3+1A A 2A 3+A 1A 2A 3)=P(A 1A 23A )+P(A 12A A 3)+P(1A A 2A 3)+P(A 1A 2A 3)=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7=0.902(2)记“三人该课程考核都合格”为事件DP （D ）=P[(A 1·B 1)·（A 2·B 2）·（A 3·B 3）]=P （A 1·B 1）·P （A 2·B 2）·P （A 3·B 3）=P （A 1）·P （B 1）·P （A 2）·P （B 2）·P （A 3）·P （B 3)=0.9×0.8×0.7×0.8×0.7×0.90.254 016≈0.254所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.2548.外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.解析：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得一个标有字母B 的球，则A 、B 互斥，且P （A ）=107，P （B ）=103；事件C ：从第二号盒子中取一个红球，事件D ：从第三号盒子中取一个红球，则C 、D 互斥，且P （C ）=21，P （D ）=54108 . 显然，事件A·C 与事件B·D 互斥，且事件A 与C 是相互独立的，B 与D 也是相互独立的.所以试验成功的概率为P=P(A·C+B·D)=P(A·C)+P(B·D)=P(A)·P(C)+P(B)·P(D)=10059. ∴本次试验成功的概率为10059. 9.如图，用A 、B 、C 、D 四类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2.当元件A 、B 、C 、D 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 、B 至少有一个正常工作，且C 、D 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 、D 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90、0.70，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2.解析：N 1正常工作等价于A 、B 、C 、D 都正常工作，N 2正常工作等价于A 、B 中至少一个正常工作，且C 、D 中至少有一个正常工作.且A 、B 、C 、D 正常工作的事件相互独立.分别记元件A 、B 、C 、D 正常工作为事件A 、B 、C 、D ，由已知P （A ）=0.80，P （B ）=0.90，P （C ）=0.90，P （D ）=0.70.(1)P 1=P(A·B·C·D)=P(A)P(B)P(C)·P(D)=0.80×0.90×0.90×0.70=0.453 6.(2)P 2=P(1-A ·B )·P(1-C ·D ) =［1-P(A )·P(B )］［1-P(C )·P(D )］=(1-0.2×0.1)×(1-0.1×0.3)=0.98×0.97=0.950 6.拓展探究10.一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为P ，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率；（2）能进行通讯的概率.解析：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A ，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B. 由题意知P （A ）=p 3,P(B)=p 3, P(A )=1-p 3,P(B )=1-p 3.(1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A·B +A ·B)=P(A·B )+P(A ·B) =p 3(1-p 3)+(1-p 3)p 3=2p 3-2p 6.(2)方法一：两套设备都能正常工作的概率为P(A·B)=P(A)·P(B)=p 6.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为 P(A·B +A ·B)+P(A·B)=2p 3-2p 6+p 6=2p 3-p 6. 方法二：两套设备都不能正常工作的概率为 P(A ·B )=P(A )·P(B )=(1-p 3)2. 至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为1-P(A ·B )=1-P(A )·P(B )=1-(1-p 3)2=2p 3-p 6. 答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3-2p 6,能进行通讯的概率为2p 3-p 6.备选习题11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31,从乙袋内摸出1个红球的概率是21，从两袋内各摸出1个球，则32等于( ) A.2个球不都是红球的概率 B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰好有1个红球的概率 答案：C12.某人有一串8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门，一次该人醉酒回家每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是____________.解析：(87)2×81=51249. 答案：51249 13.下列各对事件（1）运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；（2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；（3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”.（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”. 是互斥事件的有____________；是相互独立事件的有____________.解析：（1）甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件.（2）甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否，对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件.（3）甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件.（4）甲、乙各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能会同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件.答案：（1），（3）；（2）14.现有四个整流二极管可串联或并联组成一个电路系统，已知每个二极管的可靠度为0.8(即正常工作的概率），请你设计一种四个二极管之间的串并联形式的电路系统，使得其可靠度大于0.85.画出你的设计图并说明理由.解析：（1）P=1-(1-0.8)4=0.998 4＞0.85;(2)P=1-(1-0.82)2=0.870 4＞0.85;(3)P=［1-(1-0.8)2］2=0.921 6＞0.85;(4)P=1-(1-0.8)(1-0.83)=0.902 4＞0.85;(5)P=1-(1-0.8)2(1-0.82)=0.985 6＞0.85.以上五种之一均可.15.某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少？（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？解析：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A ,“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B .于是P （A ）=53106=，P （A )=52; P(B)=104=52,P(B )=53. 由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A 与B 是相互独立事件.（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=53·25652=. 答：两人都抽到足球票的概率是256. (2)甲、乙两人均未抽到足球票（事件B A ∙发生）的概率为P （B A ∙）=P （A ）·P （B ）=2565352=∙. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为 P=1-P(B A ∙)=1-256=2519. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519. 16.（2005全国高考卷3，文18）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.DBBCA，CCBCD，BA18.解析：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，则A、B、C相互独立.由题意得P(AB)=P(A)·P(B)=0.05P(AC)=P(A)·P(C)=0.1,P(BC)=P(B)·P(C)= 0.125解得P(A)=0.2;P(B)=0.25;P(C)=0.5所以，甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5 (Ⅱ)∵A、B、C相互独立，∴A、B、C相互独立∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.8×0.75×0.5=0.3∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为p=1-P(A·B·C)=1-0.3=0.7。

(一) 复习引入问题1：三个臭皮匠能顶一个诸葛亮吗？诸葛亮一人组成的团队PK臭皮匠三人组成的团队，他们解决同一个问题的概率分别为：诸葛亮解决问题的概率为0.85；臭皮匠老大解决问题的概率为0.5,老二为0.4,老三为0.3,要求臭皮匠团队成员必须独立解决，三人中至少有一人解决问题就算团队胜出，问臭皮匠团队与诸葛亮团队谁的胜算比较大？臭皮匠团队的亲友团做了如下的解释，设事件A：臭皮匠老大能解决问题；事件B：臭皮匠老二能解决问题；事件C：臭皮匠老三能解决问题；则臭皮匠团队能胜出的概率为P=P（A）+P（B）+P（C）=0.5+0.45+0.4=1.35，所以臭皮匠团队必胜。

你认为这种计算方法合理吗？教师提问，让学生利用已有知识对臭皮匠亲友团的回答做出是否正确的判断。

将我们的俗语改编成题，激发学生学习兴趣，同时引出本节主要内容：事件的独立性。

课题2.2.2 事件的相互独立性课时 1 授课时间主备人：教学目标知识与技能了解相互独立事件的概念，初步掌握用定义判断某些事件是否相互独立，能区分互斥事件与相互独立事件。

了解相互独立事件同时发生的概率的乘法公式，会运用此公式计算一些简单的概率问题。

过程与方法：经历概念的形成及公式的探究、应用过程，培养学生观察、分析、类比、归纳的能力，培养学生自主学习的能力与探究问题的能力。

情感态度与价值观：通过设置恰当而有趣的课前引例，激发学生学习本小节知识的兴趣，通过小组合作学习让学生体会合作学习的乐趣教学准备ppt重点难点教学重点：了解相互独立事件的概念，如何求相互独立事件都发生的概率。

教学难点：公式的推导与应用。

教师活动学生活动设计意图。

把“从乙坛子里摸出 1个 球，得到白球”叫做事件B
甲
没有影响
乙
事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则
称事件A与事件B相互独立.
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生
的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.
显然事件A“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”与
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生 的概率为：
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积.
一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，
那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生
的概率的积，即
P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·… · P（An）
(1)甲同学做错、乙同学做对. (2)甲、乙两同学同时做错. (3)甲、乙两同学中至少有一人做对. (4)甲、乙两同学中至多有一人做对. (5)甲、乙两同学中恰有一人做对.
2.补全下列的表格：
概 率 意 义
相互独立事件同时发生的概率公式： 若A、B是相互独立事件，事件A,B同时发生，将
它记作AB.
(3)解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概
率是
解法2：两人都未击中的概率是
【提升总结】
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时， 要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的，
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
探究点2
求相互独立事件同时发生的概率

i=0 3
= 0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1
= 0.458
课堂小结
1.相互独立的概念
P(AB) = P(A)P(B).
2. 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与B，A与B也都相互独立.
高考链接
1. (2008年辽宁文、理) 4张卡片上分别写有数字1， 2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） C A. 1/3 B. 1/2 C. 2/3 D. 3/4
=1.5
此解明显错误！ 原因呢？
错误原因:
① P=1.5﹥1
这与0≤P≤1矛盾. ② 事件A、B、C并非互斥事件，因为它 们可能同时发生.
思考
问题1 什么是条件概率？ 般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0， 称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条 件概率.
问题2 条件概率公式？
P(AB) P(B | A) = P(A)
解:
若将元件正常工作分别记为事件A，B，C， 则系统正常工作为事件ABC．
根据题意，有P(A)=0.80，P(B)=0.90， P(C)=0.90 ． 因为事件 是相互独立的，所以系统 N正常工作 的概率
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648.
即系统正常工作的概率为 P=0.648.
P(B|A)=P(B), P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).
知识要点
1.相互独立
设A、B为两个事件，若 P(AB)＝P(A)P(B)， 则称事件A与事件B相互独立(mutually independent).

1．设A 与B 是相互独立事件，则下列命题中正确的命题是( )A ．A 与B 是对立事件B ．A 与B 是互斥事件 C.A 与B 不相互独立 D ．A 与B 是相互独立事件 答案 D2．已知P (B )>0，A 1A 2＝∅，则下列成立的是( )A ．P (A 1|B )>0B ．P (A 1∪A 2|B )＝P (A 1|B )＋P (A 2|B )C ．P (A 1A 2)≠0D ．P (A 1 A 2)＝1答案 B解析 由A 1A 2＝∅，可知A 1与A 2互斥．3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．p 1p 2B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)C ．1－p 1p 2D ．1－(1－p 1)(1－p 2)答案 B4．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在考核过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．解析 设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13，(1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P (B )＝P (A 1A 2 A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P (C )＝P (A 1＋A 1 A 2＋A 1A 2 A 3)＝P (A 1)＋P (A 1 A 2)＋P (A 1A 2 A 3)＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12.(3)X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝P (A 1)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1 A 2)＝56×(1－45)＝16，P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×(1－34)＝16，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12，所以，X的分布列为。

选修2-3 第二章 2.2 2.2.21．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作，假定在某段时间内，每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内，(1)开关J A 、J B 恰有一个闭合的概率；(2)线路正常工作的概率．[解析] 分别记在这段时间内开关J A 、J B 、J C 能够闭合为事件A 、B 、C ，则它们的对立事件为A 、B 、C ，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝0.7，P (A )＝P (B )＝P (C )＝1－0.7＝0.3.根据题意，在这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，即事件A 、B 、C 相互独立．(1)在这段时间内“开关J A 、J B 恰有一个闭合”包括两种情况：一种是开关J A 闭合但开关J B 不闭合(事件A B 发生)；一种是开关J A 不闭合但开关J B 闭合(事件A － B 发生)，根据题意这两种情况不可能同时发生，即事件A B 与事件A B 互斥．根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是：P (A B ∪A B )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.7×0.3＋0.3×0.7＝0.42.(2)在这段时间内，线路正常工作，意味着3个开关至少有一个能够闭合，即事件A 、B 、C 至少有一个发生，其对立事件为事件A 、B 、C 同时发生．于是所求的概率为：1－P (A B C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－0.3×0.3×0.3＝1－0.027＝0.973.2．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：(1)两件产品都是正品的概率；(2)恰有一件是正品的概率；(3)至少有一件正品的概率．[解析] 用A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B 表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D 表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则C ＝A B －∪A －B ，D ＝C ∪AB .(1)由题意知，A 与B 是相互独立事件，且P (B )＝1－P (B －)＝1－0.05＝0.95，P (A )＝0.96，所以两件都是正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝0.96×0.95＝0.912.(2)由于事件A B －与A －B 互斥，所以恰有一件是正品的概率为P (C )＝P (A B －∪A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.(3)解法1：由于事件AB 与C 互斥，所以P (D )＝P (AB ∪C )＝P (AB )＋P (C )＝0.912＋0.086＝0.998.解法2：“至少有一件正品”的反面是“全是次品”，故所求概率为1－P (A －)P (B －)＝1－0.04×0.05＝1－0.002＝0.998.。

第二章 随机变量及其散布2.2二项散布及其应用事件的互相独立性A 级基础稳固一、选择题1．有以下 3 个问题：(1)掷一枚骰子一次， 事件 M ：“出现的点数为奇数 ”，事件 N ：“出现的点数为偶数 ”；(2)袋中有 5 红、 5 黄 10 个大小同样的小球，挨次不放回地摸两球，事件 M ：“第 1 次摸到红球 ”，事件 N ：“第 2 次摸到红球 ”；(3)分别投掷 2 枚同样的硬币，事件 M ：“第 1 枚为正面 ”，事件N ：“两枚结果同样 ”．这 3 个问题中，M ，N是互相独立事件的有 ()A ．3个B ．2个C ．1 个D ．0个分析：只有 (1)中的事件 M ，N 是互相独立事件．答案： C2．打靶时， 甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是()14 12 3 3A.25B.25C.4D.5分析： P8 4 7·P14甲 ＝10＝5， P乙＝10，因此 P ＝ P 甲乙＝25.答案： A3．如下图，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在地区的时机均等，那么两个指针同时落在奇数所在地区的概率是( )4 2 2 1A.9B.9C.3D.3分析：设 A 表示 “第一个圆盘的指针落在奇数所在的地区 ”， 则 P(A)＝2，B 表示 “第二个圆盘的指针落在奇数据在的地区 ”，3则 P(B)＝2故P(AB) ＝· ＝2×2＝43.P(A) P(B) 3 3 9.答案： A4．两个实习生每人加工一个部件， 加工为一等品的概率分别为 2 33和4，两个部件能否加工为一等品互相独立，则这两个部件中恰有一个一等品的概率为 ()1 511A.2B.12C.4D.62 1 13 5 2 3 1 1 5 分析：所求概率为 3×4＋3×4＝12或 P ＝1－3×4－3×4＝12. 答案： B5．加工某一部件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次11 1品率分别为 70，69，68，且各道工序互不影响，则加工出来的部件的次品率为 ()A. 1B. 3C. 3D. 535 68 70 69-分析：设加工出来的部件为次品为事件A ，-则 A 为加工出来的部件为正品．因此 P(A)＝ 1－ P(A )＝1－1 1 1 31－70 1－69 1－68 ＝70.答案： C二、填空题6．在甲盒内的 200 个螺杆中有 160 个是 A 型，在乙盒内的 240 个螺母中有 180 个是 A 型．若从甲、乙两盒内各取一个， 则能配成 A 型螺栓的概率为 ________．分析：从甲盒内取一个 A 型螺杆记为事件 M ，从乙盒内取一个 A 型螺母记为事件 N ，因事件 M ，N 互相独立，则能配成 A 型螺栓 (即160一个 A 型螺杆与一个 A 型螺母 )的概率为 P(MN )＝ P(M )P(N)＝200×180 3240＝5.3答案： 57．已知 P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件 A 、B 互相独即刻，P(A ∪B)＝ ________，P(A|B)＝________．分析：因为 A ，B 互相独立，因此 P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A) ·P(B)＝ 0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；P(A|B)＝ P(A)＝0.3.答案： 0.65 0.318．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是2，乙能解1决的概率是 3，2 人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为 ________，问题获得解决的概率为 ________．1 1 12 1分析：都未解决的概率为 1－2 1－3 ＝2×3＝3，问题获得解决1 2就是起码有 1 人能解决问题，因此P＝1－3＝3.1 2答案：3 3三、解答题9．已知电路中有 4 个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率1为2，求灯亮的概率．解：因为 A，B 断开且 C，D 起码有一个断开时，线路才断开，1 1致使灯不亮， P＝ P(AB)[1－P(CD)]＝ P(A)P(B)[1－ P(CD)]＝2×2×1 131－×＝.2216313因此灯亮的概率为 1－16＝16.4 10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲入选的概率为5，乙37，丙入选的概率为10.入选的概率为5(1)求恰有一名同学入选的概率；(2)求至多有两人入选的概率．解：设甲、乙、丙入选的事件分别为A， B，C，437则有 P(A)＝5， P(B)＝5，P(C)＝10.(1)因为 A，B，C 互相独立，因此恰有一名同学入选的概率为— — — — — — — —P(A B C )＋P( A B C )＋P(AB C)＝ P(A)P( B )P(C )＋— — ——4231 3312 P( A )P(B)P( C )＋P( A )P( B)P(C)＝ 5×5×10＋5× 5×10＋ 5×57 47× 10＝250.(2)至多有两人入选的概率为1－P(ABC)＝ 1－P(A)P(B)P(C)＝14 3 783 －××＝.5 5 10 125B 级能力提高11．从甲袋中摸出一个红球的概率是 3，从乙袋中摸出一个红球的1概率是 2，从两袋各摸出一个球，则23等于 ()A ．2 个球不都是红球的概率B ．2 个球都是红球的概率C ．起码有 1 个红球的概率D ．2 个球中恰有 1 个红球的概率分析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则 P(A)1 1— —2＝3，P(B)＝2，因为 A 、B 互相独立，因此 1－ P( A )P( B )＝1－3× 1 22＝3.依据互斥事件可知 C 正确．答案： C2．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这类新药的 4 个病人中起码 3 人被治愈的概率为 ________(用数字作答 )．分析：分状况议论：若共有 3 人被治愈，则 P 1＝C 340.93×(1－0.9)＝ 0.291 6；若共有 4 人被治愈，则 P 2＝0.94＝0.656 1.故起码有 3 人被治愈的概率为 P ＝P 1＋P 2＝0.947 7.答案： 0.947 73．已知 A ，B ，C 为三个独立事件，若事件A 发生的概率是 12，事件 B 发生的概率是 2，事件 C 发生的概率是 3，求以下事件的概率：3 4(1)事件 A 、B 、C 只发生两个；(2)事件 A 、B 、C 至多发生两个．解： (1)记“事件 A ，B ，C 只发生两个 ”为 A 1，则事件 A 1 包含三—— —种相互互斥的状况， AB C ；A B C ； A BC ，由互斥事件概率的加法公式和互相独立事件的概率乘法公式，— ——2 3因此概率为 P(A 1)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( ABC)＝24＋24＋6 1124＝24，11因此事件 A ，B ， C 只发生两个的概率为 24.(2)记“事件 A ，B ，C 至多发生两个 ”为 A 2，则包含相互互斥的三种状况：事件 A ，B ，C 一个也不发生，记为 A 3，事件 A ，B ，C 只发生一个，记为 A 4，事件 A ， B ，C 只发生两个，记为 A 5，故 P(A 2)16 113＝P(A3)＋ P(A 4)＋P(A 5)＝24＋24＋24＝4.3因此事件 A 、B 、 C 至多发生两个的概率为4.。

1个球，它们都是白球的概率
.
另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率
里摸出1个球，得到白球的概率
．显然
，从乙坛子 ．
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概
率的积一般地，如果事件
相互独立，那么这n个事件同时发生
的概率，等于每个事件发生的概率的积，
即
.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究一：事件独立性的概念
重点、难点知识★▲
活动一：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取, 事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B为“最后一名同学抽 到中奖奖券”.事件A的发生会影响事件B 发生的概率吗?
解析：显然无放回时，A的发生影响着B，即是条件概率．而当有放回 地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因 此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B发生的概率．于是P(B|A)=P(B)，代入条件概率 公式得P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
活动二：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑 球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？ 事件A：从甲坛子里摸出1个球，得到白球； 事件B：从乙坛子里摸出1个球，得到白球 问题：事件A、B是否互斥？可以同时发生吗？
（不互斥） （可以） 问题：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率有无影响？
相互独立事件同时发生的概率：
.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别 重点、难点知识★▲

• 答案： A
相互独立事件同时发生的概率
甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13、14， 求：(1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率； (4)至多一人译出密码的概率； (5)至少一人译出密码的概率．
[思路点拨] 把“甲独立破译”记为事件 A，“乙独立破 译”记为事件 B，A 与 B 相互独立， A 与 B 也相互独立．
• [提示] 事件A的发生不会影响事件B发生的 概率．
• 于是：P(B|A)＝P(B)．
• ∵P(AB)＝P(A)P(B|A)，
相互独立事件的概念
• 设A，B为两个事件，如果P(AP(BA)P＝(B_) ________， 则称事件A与事件B相互独立．
相互独立事件的性质
• 1．若事件A与B相互独立，则P(BP(|BA))＝
• (5)事件A，B，C恰有一个发生的概率；
• (6)事件A，B，C恰有两个发生的概率．
• [思路点拨] 解决本题关键是要弄清“发 生”还是“不发生”，发生几个，还要明确事 件之间的关系，是彼此互斥，还是相互独立， 合理运用概率的加法公式和乘法公式求解．
(1)记事件 A1＝“事件 A，B，C 都发生”，因 为 A，B，C 是三个独立事件，
这时 A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)， (女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是 P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12. 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件 A，B 不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形 为 Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男， 男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女， 女)}，

作业：P59A组第2题
( 互斥事件)
求 较 复 杂 事 件 概 率
分类
正向 分步
P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· B)= P(A) ·P (B)
( 互独事件)
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
解题步骤：
2.理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥; 互独; 对立). 关键词 如“至多” “至少” “同时” “恰有”. 求“至多” “至少”事件 概率时,通常考虑它们的对立事件的概率. 3.寻找所求事件与已知事件之间的关系. “所求事件” ： 是分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件) 4.根据公式解答
注：①区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
“第一、第二次都取到红皮蛋”是一个事件， 它的发生就是事件A, B同时发生，将它记作AB. 两个相互独立事件A, B同时发生, 即事件AB发生的 概率为： P( AB) P( A) P( B)
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积.
(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前 两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得这次比 赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而 B ＝ A3·A4 ＋ B3·A4·A5 ＋ A3·B4·A5 ， 由于各局比赛结果相互独立，故 P(B)＝P(A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5) ＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5) =P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5) ＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6 ＝0.648.

4 是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为1 ，甲、丙两台机床加
12 工的零件都是一等品的概率为2 .
9 (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
解析答案
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个 一等品的概率. 解 记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验， 其中至少有一个一等品的事件， 则 P(D)＝1－P( D )＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的 概率为5 .
解析答案
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”. 解 记A：出现偶数点，B：出现3点或6点， 则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}， ∴P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16， ∴P(AB)＝P(A)·P(B)， ∴事件A与B相互独立.
反思与感悟 解析答案
解 记“三个元件T1，T2，T3”正常工作“分别 为事件A1，A2，A3”，
则 P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3)＝34， 不发生故障的事件为(A2∪A3)A1， P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1) ＝[1－P( A 2)·P( A 3)]·P(A1)＝1－14×41×12＝3125.
结论
称事件A与事件B相互独立
答案
知识点二 相互独立的性质
条件
A与B是相互独立事件
结论
A与__B_ A与_A__ _A_与_B_
也相互独立
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 事件独立性的判断 例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中 各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选 出1名女生”； 解 “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生， 对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响， 所以它们是相互独立事件.

数学·选修2－3(人教A 版)2．2 二项分布及其应用 2．2.2 事件的相互独立性一、选择题1．若事件A ，B 相互独立，且P (A )＝P (B )＝35，则P (AB )＝( )A.325B.425C.925D.35解析：因为事件A ，B 相互独立，故P (AB )＝35×35＝925.故选C.答案：C2．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是( )A ．2个球都是白球B ．2个球都不是白球C ．2个球不都是白球随机变量及其分布D ．2个球中恰好有一个白球解析：两个球都是白球的概率为16，故其对立事件2个球不都是白球的概率为1－16＝56.答案：C3．投掷一枚质地均匀硬币和一颗质地均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析：用间接法考虑，事件A ，B 一个都不发生的概率为P (A B )＝P (A )P (B )＝12×56＝512.则所求概率1－P (A B )＝712，故C 正确． 答案：C4．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A 型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A 型螺栓的概率为( )A.120B.1516C.35D.1920解析：设“从甲盒中取一螺杆为A 型螺杆”为事件A ，“从乙盒中取一螺母为A 型螺母”为事件B ，则A 与B 相互独立P (A )＝160200＝45，P (B )＝180240＝34，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A 型螺栓的概率为P ＝P (AB )＝P (A )P (B )＝45×34＝35.故选C.答案：C5．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.23解析：由题意，可得，⎩⎪⎨⎪⎧P (A －)·P (B －)＝19，P (A )P (B －)＝P (A －)P (B )所以⎩⎪⎨⎪⎧[1－P (A )]·[1－P (B )]＝19，P (A )[1－P (B )]＝[1－P (A )]P (B )，所以P (A )＝P (B )＝23.故选D.答案：D二、填空题6．(2013·揭阳高二检测)已知A ，B ，C 为三个彼此互相独立的事件，若事件A 发生的概率为12，事件B 发生的概率为23，事件C 发生的概率为34，则发生其中两个事件的概率为__________．解析：由题意可知，所求事件的概率P ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＋12×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23×34＝1124. 答案： 11247．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为______(用数字作答)．解析：分情况讨论：若共有3人被治愈，则 P 1＝C 340.93×(1－0.9)＝0.291 6；若共有4人被治愈，则P 2＝0.94＝0.656 1.故至少有3人被治愈的概率为P ＝P 1＋P 2＝0.947 7.8．中国古代有田忌赛马的故事，若甲乙两队分别有上，中，下三等马，但甲队实力明显较弱，但若以甲队的下等马对乙队的上等马，甲赢的概率为0.1，以甲队的中等马对乙队的下等马，甲赢的概率为0.8，以甲队的中等马对乙队的下等马，甲赢的概率为0.7，若三局两胜制，则甲赢的概率是________________________________________________________________________．解析：甲赢有三种情况：一、二场赢，第三场输；一、三场赢，第二场输；二、三场赢，第一场输，概率分别是0.1×0.8×0.3,0.1×0.2×0.7,0.9×0.8×0.7，相加得甲赢的概率为0.542.答案：0.542三、解答题9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为12，求灯亮的概率．解析：因为A ，B 断开且C ，D 至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，所以灯不亮的概率为P ＝P (A B )[1－P (CD )] ＝P (A )P (B )[1－P (CD )] ＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316. 所以灯亮的概率为1－316＝1316.10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 4950，求p的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列．解析： (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 P (C )＝1－110p ＝4950 ，解得p ＝15.(2)由题意，P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000，P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎪⎫1102⎝⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎪⎫110⎝⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1100⎝⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量ξ的概率分布列为：。