2021-2022年高三(上)12月联考数学试卷(文科)

2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣804．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3 C ．20√5π3D ．64√2π36．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．27．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．68．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π311．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9＝S 17，则下列说法正确的是（ ） A ．a 8＝0B ．a 9＝0C ．a 1＝S 16D ．S 8＞S 1012．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ ．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ ．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 ．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{1a 2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD =√2，BC ＝2√2，P A ＝1． （1）求证：AB ⊥PC ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}【解答】解：∵集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：C ．2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i【解答】解：∵z ＝1﹣i ，∴z(z +2i)=（1+i ）（1﹣i +2i ）＝（1+i ）2＝2i ． 故选：D ．3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣80【解答】解：由于二项式(2x −√x)5展开式的通项公式为T r +1＝C 5r •（2x ）5﹣r(−√x)r =（﹣1）r •25﹣r C 5r x 5−r2，令5−r2=3，解得r ＝4，∴展开式中x 3的系数是（﹣1）4•25﹣4C 54＝10．故选：A ．4．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种【解答】解：这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的3名同学，有A 33种排法，出现4个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A 33A 43＝144种排法， 故选：B ．5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3C ．20√5π3D ．64√2π3【解答】解：圆柱的轴截面是边长为2的正方形，其外接圆的半径为√2， 则圆柱的外接球的半径为√2，可得该圆柱的外接球的体积为V =43π×(√2)3=8√2π3． 故选：B ．6．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．2【解答】解：∵tan α＝3，则1+cos2αsin2α=2cos 2α2sinαcosα=cosαsinα=1tanα=13，故选：B ．7．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6【解答】解：由题意知，点P 在右支上，则|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，又e =ca =√3，∴|F 1F 2|=2c =2√3a ，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=9a 2+a 2−12a 22⋅3a⋅a =−13， ∴sin ∠F 1PF 2=2√23，故S △PF 1F 2=12⋅a ⋅3a ⋅2√23=4√2，解得a ＝2， ∴实轴长为2a ＝4， 故选：C ．8．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1【解答】解：当x ＞0时，f （x ）=lnx x ，∴f '（x ）=1−lnx x 2， 令f '（x ）＝0，得x ＝e ，∴当x ∈（0，e ）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈（e ，+∞）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 又f （e ）=lne e =1e ，当x ≤0时，f （x ）＝1﹣x 2单调递增，画出函数f （x ）的图像，如图所示，∵函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，即方程f （x ）﹣k ＝0有三个不等实根， ∴函数y ＝f （x ）与y ＝k 有三个交点， 由图像可知，0＜k ＜1e， 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →【解答】解：由图知，四边形OABC 为菱形，选项A ，由平行四边形加法法则知，OB →=OA →+OC →，即A 正确；选项B ，|OA →|＝|OC →|=√17，|OB →|=√34，所以不满足|OA →|＝|OC →|=12|OB →|，即B 错误；选项C ，AC →=OC →−OA →=OC →−（OB →+BA →）=OC →−（OB →−OC →）=−OB →+2OC →，即C 错误；选项D ，因为四边形OABC 为菱形，所以∠AOB ＝∠COB ，且|OA →|＝|OC →|，由平面向量数量积的运算法则知，OA →•OB →=OC →•OB →成立，即D 正确． 故选：AD ．10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π3【解答】解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象， 可得A ＝2，14×2πω=2π3−5π12，∴ω＝2．结合五点法作图，可得2×5π12+φ＝π，∴φ=π6，故f （x ）＝2sin （2x +π6）．令x =−π12，求得f （x ）＝0，可得函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称，故A 正确； 令x =π2，求得f （x ）＝﹣1，不是最值，故函数f （x ）的图象关不于x =π2直线对称，故B 错误；在区间[−π3，π6]上，2x +π6∈[−π2，π2]，函数f （x ）单调递增，故C 正确；当x∈[−π12，23π12]，2x+π6∈[0，4π]，直线y＝1与图象y=f(x)(−π12≤x≤23π12)的4个交点关于直线2x+π6=3π2对称．设这4个交点的横坐标分别为a、b、c、d，a＜b＜c＜d，则（2a+π6）+（2d+π6）＝2×3π2，（2b+π6）+（2c+π6）＝2×3π2，故所有交点的横坐标之和为a+b+c+d=8π3，故D正确，故选：ACD．11．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，则下列说法正确的是（）A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10【解答】解：由{a n}是等比数列，得S17=172（a1+a17）＝17a9，又a9＝S17，得a9＝17a9，解得a9＝0，所以选项B正确；由于a8＝a9﹣d，且d≠0，所以a8≠0，选项A错误；由a9＝a1+8d＝0，得a1＝﹣8d，则S16＝16a1+16×152d＝16×（﹣8d）+15×8d＝﹣8d＝a1，所以选项C正确；若该数列a1＜0，d＞0，则当n≤8时，a n＜0，当n＝9时，a n＝0，当n≥10时，a n＞0，此时S8＜S10＝S8+a9+a10，选项D错误；故选：BC．12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，下列说法正确的是（）A．对任意点P，DP∥平面AB1D1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3【解答】解：连接DB ，由BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1， 得四边形DD 1B 1B 为平行四边形，∴DB ∥D 1B 1，由DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1， 得BD ∥平面AB 1D 1，同理DC 1∥平面AB 1D 1，又BD ∩DC 1＝D ，可得平面DBC 1∥平面AB 1D 1， ∴对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确； V P−A 1DD 1=V C 1−A 1DD 1=13×12×1×1×1=16，故B 正确； 当P 为BC 1中点时，DP ⊥BC 1，此时线段DP 长度的最小值为12+(√22)2=√62，故C正确；当P 在线段BC 1上运动时，DP 长度的最小值为√62，最大值为√2， 则PC 长度的范围为[√22，1]，而P 到平面ADD 1A 1的距离为定值1， 则DP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值∈[√22，1]． 最大值小于√3，则不存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ 3 ．【解答】解：令n ＝3时，则随机变量X ～B （3，13），E （X ）=3×13=1∈N ∗， 故n ＝3，符合题意． 故答案为：3．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ 1 ．【解答】解：函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，则g （﹣x ）+g （x ）＝f （﹣x ）+2+f （x ）+2＝[f （﹣x ）+f （x ）]+4＝0+4＝4， 所以g （﹣1）＝4﹣g （1）＝4﹣3＝1． 故答案为：1．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 (0，π6) ． 【解答】解：函数f(x)=1+12x +cosx ，可得f ′（x ）=12−sin x ，令12−sin x ＞0，因为x ∈(0，π2)，所以，解得x ∈(0，π6)， 故答案为：(0，π6)．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 8 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771） 【解答】解：第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为23•13，第三次操作去掉的线段长度之和为23•23•13，……第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1•13，由题意知，(23)n−1•13≥160，则(23)n ≥130， 则nlg 23≥−lg 30＝﹣1﹣lg 3，所以n （lg 2﹣lg 3）≥﹣1﹣lg 3，即n ≤1+lg3lg3−lg2， 又lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771， 可得n ≤8，故n 的最大值为8． 故答案为：8．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{1a2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．【解答】解：（1）当n ＝1时，2S 1＝4，∴a 1＝2，当n ≥2时，2S n−1=(n −1)2+3(n −1)，又2S n =n 2+3n ， 两式相减得2a n ＝2n +2，所以a n ＝n +1， 故{a n }的通项公式为a n =n +1(n ∈N ∗)． （2）由（1）知1a 2n−1a 2n+1=12n(2n+2)=14×1n(n+1)=14(1n−1n+1)，∴T n =14[(11−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)=n 4n+4． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长． 【解答】解：（1）因为a sin B cos C +c sin B cos A =12b ， 由正弦定理得sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =12sin B ，因为sin B ≠0，整理得sin A cos C +sin C cos A =12，即sin （A +C ）=12，得sin B =12，又a ≥b ，所以0＜B ＜π2，可得B =π6．（2）由（1）知B =π6，若A =π6，可得C =2π3， 则S △ABC =12ab sin C =12a 2sin2π3=4√3，所以a ＝4，a ＝﹣4（舍），又在△AMC 中，AM 2＝AC 2+MC 2﹣2AC •MC cos 2π3，所以AM 2＝AC 2+（12AC ）2﹣2AC •12AC cos2π3=42+22﹣2×4×2×（−12）＝28，所以AM ＝2√7．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ， “该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ， 则P （A ）=34P （B ）=45所以P （C ）=34⋅C 21⋅45⋅15=625；（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X＝0）=(1−34)⋅C20⋅(45)0⋅(15)2=1100，P（X＝1）=(1−34)⋅C21⋅45⋅15=8100，P（X＝2）=34⋅C20⋅(45)0⋅(15)2+14⋅C22⋅(45)2=19100，P（X＝3）=34⋅C21⋅45⋅15=24100，P（X＝4）=34⋅C22⋅(45)2=48100，所以X的分布列为：X01234P11008100191002410048100故E（X）＝0×1100+1×8100+2×19100+3×24100+4×48100=3.1，则该同学得分的数学期望是3.1分．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD ＝CD=√2，BC＝2√2，P A＝1．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD=CD=√2，BC=2√2，可得AB＝AC＝2，故△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又P A∩AC＝A，∴AB⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴AB⊥PC．（2）解：取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），C(√2，√2，0)，D(0，√2，0)，P （0，0，1）， B(√2，−√2，0)，PD →=(0，√2，−1)，AC →=(√2，√2，0)， 设PM →=tPD →(0≤t ≤1)， 则点M 为(0，√2t ，1−t)， 所以AM →=(0，√2t ，1−t)，设平面MAC 的法向量是n →=(x ，y ，z)， {AC →⋅n →=√2x +√2y =0AM →⋅n →=√2ty +(1−t)z =0， 令x ＝1，n →=(1，−1，√2t1−t )，又m →=(0，0，1)是平面ACD 的一个法向量，∴|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=|√2t 1−t |√2+(√2t 1−t)=cos45°=√22，解得t =12，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC 的一个法向量可取n →=(1，−1，√2)，BM →=(−√2，2√2，12)， 设BM 与平面MAC 所成的角为θ， 则sinθ=|cos〈n →，BM →〉|=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=2√69， ∴BM 与平面MAC 所成角的正弦值为2√69．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 【解答】解：（1）∵直线x +y −√3=0与x 轴的交点为(√3，0)，∴c =√3． 又∵e =ca =√32，∴a ＝2， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝1． ∴椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0）．由题知过点N （﹣1，0）的斜率不为0，故设直线的方程为x ＝my ﹣1， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．联立{x =my −1x 24+y 2=1，整理，得（4+m 2）y 2﹣2my ﹣3＝0，Δ＝4m 2+12（4+m 2）＞0，∴y 1+y 2=2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2． 设直线AC 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 的方程为y =y2x 2−2(x −2)， 联立两条直线方程，解得x =2⋅y 1(x 2−2)+y 2(x 1+2)y 2(x 1+2)−y 1(x 2−2)①， 将x 1＝my 1﹣1，x 2＝my 2﹣1代入①，得x =2⋅2my 1y 2+(y 1+y 2)−4y 1(y 1+y 2)+2y 1②， 将y 1+y 2=m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2代入②，得x ＝2.−4(m4+m 2+y 1)2(m 4+m 2+y 1)=−4，∴直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值﹣4． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．【解答】解：（1）因为f ′（x ）=1x +a （x ＞0）， 当a ≥0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，若x ∈（0，−1a）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 若x ∈（−1a，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（0，−1a ）上单调递增，f （x ）在（−1a ，+∞）上单调递减． （2）证明：因为lnx +x ≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立， 所以b ≥lnx +x ﹣k （x +1）在（0，+∞）上恒成立， 设g （x ）＝lnx +x ﹣k （x +1）， 所以g ′（x ）=1x +1﹣k （x ＞0），当k ≤1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 此时b ≥g （x ）不恒成立， 当k ＞1时，若x ∈（0，1k−1）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，若x ∈（1k−1，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g （x ）max ＝g （1k−1）＝ln1k−1+1k−1−k （1k−1+1）＝﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1，所以b ≥﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1， 又因为2k+b−2k−1=2+bk−1≥2+−ln(k−1)−k−1k−1=1−ln(k−1)+2k−1， 令t ＝k ﹣1＞0， h （t ）＝1−lnt+2t， 所以h ′（t ）=lnt+1t 2， 当t ∈（0，1e）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减， 当t ∈（1e ，+∞）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，所以h （t ）min ＝h （1e）＝﹣e +1，所以2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．。

2021-2022学年河南省信阳市罗山县高三（上）第一次调研数学试卷（文科）一、单选题（共12道小题，每小题5分，共60分）1．设集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}2．函数y＝sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π3．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是（）A．B．e a＞e b C．a b＞b a D．lna＞lnb＞0 4．已知a＝log20.3，b＝log23，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减D．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增6．若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log7107．设命题p：∀x，x．若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（﹣∞，D．（﹣∞，2]8．函数f（x）＝（x2﹣2x）e x的图象可能是（）A．B．C．D．9．将函数y＝2cos（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝（）A．B．C．D．10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x＝R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝，则函数y＝[f （x）]的值域为（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1} 11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（2﹣x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则（）A．f（2021）＝0B．2是f（x）的一个周期C．当x∈（1，3）时，f（x）＝（1﹣x）3D．f（x）＞0的解集为（4k，4k+2）（k∈Z）12．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝e x和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），现给出下述结论：①x1+x2＝2；②；③x1lnx2+x2lnx1＜0；④，则其中正确的结论个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若α满足tan（α+）＝，则sin2α＝．14．已知函数f（x）＝，若f（t）+f（﹣1）＝0，则t＝．15．若点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（），sin（））关于y轴对称，则绝对值最小的θ值为．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．三、解答题17．（1）设集合A＝{x∈R|x2﹣2x﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．A∩B＝A，求实数a的取值集合；（2）设A＝{x|x2﹣（a+1）x+a＜0}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，若A⊆B，求实数a的取值范围．18．设a∈R，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的取值范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．19．已知函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求k的值；（2）当﹣1≤x≤1时，f（x）≥4，求实数k的取值范围．20．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．21．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．22．已知函数f（x）＝ax a lnx（a＞0）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；（2）若f（x）≤xe x对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．参考答案一、单选题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．设集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}【分析】先利用绝对值不等式的解法求出集合A，再由集合交集的定义求解即可．解：因为集合A＝{x||x﹣1|＜3}＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝{2，3}．故选：B．2．函数y＝sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据ω值，可得函数的周期．解：∵函数y＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵ω＝2，∴T＝π，故选：C．3．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是（）A．B．e a＞e b C．a b＞b a D．lna＞lnb＞0【分析】求不等式a＞b＞0成立的一个充分不必要条件，首先分清条件和结论，求的是条件，已知的是结论；根据充分不必要条件的定义，再看条件能推出结论，但结论推不出条件的即满足．解：对于A，推不出a＞b＞0；但a＞b＞0能推出，故是a＞b＞0的必要不充分条件；对于B，e a＞e b推不出a＞b＞0；但a＞b＞0能推出e a＞e b，故e a＞e b是a＞b＞0的必要不充分条件；对于C，当a＝3，b＝﹣1时，a b＝＞b a＝﹣1，故a b＞b a推不出a＞b＞0；反之，当a ＝4，b＝2时，a b＝b a，故a＞b＞0推不出a b＞b a，故a b＞b a是a＞b＞0成立的既不充分也不必要条件；对于D，lna＞lnb＞0⇔a＞b＞1，由于a＞b＞1⇒a＞b＞0，但a＞b＞0推不出a＞b＞1，所以lna＞lnb＞0是a＞b＞0的充分不必要条件；故D正确．故选：D．4．已知a＝log20.3，b＝log23，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．解：∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝log23＞log22＝1，0＝log0.21＜c＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：B．5．指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减D．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增【分析】根据指数函数f（x）的单调性判定a的取值范围，从而结合二次函数的单调性，得出正确选项．解：∵指数函数f（x）＝a x在R上是减函数，∴0＜a＜1，∴﹣2＜a﹣2＜﹣1，函数y＝在（﹣∞，0）上递增，在区间（0，+∞）上递减；∴g（x）在区间（﹣∞，0）上递减，在区间（0，+∞）上递增；故选：C．6．若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log710【分析】对已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，故选：C．7．设命题p：∀x，x．若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（﹣∞，D．（﹣∞，2]【分析】据所给的全称命题写出它的否定，根据命题否定是真命题，利用基本不等式求解不等式的最小值，即可得到a的范围．解：由题意可得，命题p：∀x，x．若￢p是∃x，x，是真命题，因为：∀x，x+≥2，当且仅当x＝1时，取得最小值，由命题否定是真命题，可知a≥2，故选：B．8．函数f（x）＝（x2﹣2x）e x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．解：由f（x）＝0，解得x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）＝（x2﹣2）e x，由f'（x）＝（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）＝（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x＝﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．9．将函数y＝2cos（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝（）A．B．C．D．【分析】可先计算出平移后的函数解析式，再根据三角函数的性质进行求解即可．解：函数y＝2cos（2x+）的图象向右平移个单位长度得，令，解得，当k＝0时，，所以与y轴最近的对称轴方程是，故选：C．10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x＝R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝，则函数y＝[f （x）]的值域为（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1}【分析】先化简f（x）的解析式，利用不等式的性质，求出函数f（x）的值域，可得函数y＝[f（x）]的值域．解：∵f（x）＝＝﹣＝﹣，e x∈（0，+∞），∴∈（0，2），f（x）∈（﹣，），故函数y＝[f（x）]的值域为{﹣2，﹣1，0}，故选：C．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（2﹣x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则（）A．f（2021）＝0B．2是f（x）的一个周期C．当x∈（1，3）时，f（x）＝（1﹣x）3D．f（x）＞0的解集为（4k，4k+2）（k∈Z）【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性分析f（x）的周期，可得B错误，再利用周期和解析式求出f（2021）的值，可得A错误，进而求出f（x）在区间[﹣1，3]上的解析式，可得C错误，利用周期性分析f（x）＞0的解集，可得D正确，即可得答案．解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），又由f（2﹣x）＝f（x），则f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），变形可得f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，B错误，又由x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则f（2021）＝f（1+4×505）＝f（1）＝1，A错误，当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，则有f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x3，则在区间[﹣1，1]上，f（x）＝x3，当x∈[1，3]时，2﹣x∈[﹣1，1]，则f（2﹣x）＝（2﹣x）3，又由f（2﹣x）＝f（x），则f（x）＝f（2﹣x）＝（2﹣x）3，C错误，综合可得：f（x）＝，在区间[﹣1，3]上，若f（x）＞0，必有0＜x＜2，又由f（x）是周期为4的周期函数，则f（x）＞0的解集为（4k，4k+2），D正确，故选：D．12．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝e x和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），现给出下述结论：①x1+x2＝2；②；③x1lnx2+x2lnx1＜0；④，则其中正确的结论个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据函数y＝e x和y＝lnx的图象关于y＝x对称，直线y＝﹣x+2与y＝x垂直，可得A（x1，y1）、B（x2，y2），关于y＝x对称，即可判断①；利用基本不等式即可判断②，构造y＝，判断其单调性，即可判断③，由x1•x2＝x1•，判断其单调性，即可判断④．解：由题意直线y＝﹣x+2与y＝x垂直，函数y＝e x和y＝lnx的图象关于y＝x对称，∴A（x1，y1）、B（x2，y2），关于y＝x对称，则x1+x2＝2；∴①正确；对于②：由，因为x1≠x2，则；∴②正确；对于③：构造函数g（x）＝（x＞0）；则g（x）′＝，当g（x）′＞0时，可得x∈（0，e），∴函数g（x）在（0，e）单调递增；当g（x）′＜0时，可得x∈（e，+∞），∴函数g（x）在（e，+∞）单调递减；∵0＜x1＜，1＜x2＜2，那么：∴③正确；对于④：x1•x2＝x1•∵0＜x1＜，令函数h（x）＝x•e x则h′（x）＝e x（1+x）当h（x）＜′0时，可得x∈（﹣∞，﹣1），∴函数h（x）在（0，e）单调递减；当h（x）′＞0时，可得x∈（﹣1，+∞），∴函数h（x）在（﹣1，+∞）单调递增；∴h（x）max＜h（）＝∴不对，即④不对．故选：B．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若α满足tan（α+）＝，则sin2α＝﹣．【分析】先利用两角和的正切公式求得tanα的值，再结合二倍角公式，以及“同除余弦可化切”的思想，即可得解．解：因为tan（α+）＝＝，所以tanα＝﹣，所以sin2α＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）＝，若f（t）+f（﹣1）＝0，则t＝．【分析】根据题意，求出f（﹣1）的值，计算可得f（t）＝﹣2，结合函数的解析式分t ≤0与t＞0两种情况讨论，求出t的值，综合可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣1）＝21＝2，若f（t）+f（﹣1）＝0，则f（t）＝﹣2，若t≤0，则f（t）＝2﹣t≥1，f（t）＝﹣2无解，若t＞0，则f（t）＝log2t＝﹣2，则t＝，综合可得：t＝，故答案为：．15．若点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（），sin（））关于y轴对称，则绝对值最小的θ值为．【分析】由题意利用两个点关于y轴对称的性质，可得cosθ＝﹣cos（），sinθ＝sin（），再利用诱导公式可得θ＝kπ+，k∈Z，从而得出结论．解：∵点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（），sin（））关于y轴对称，∴cosθ＝﹣cos（），sinθ＝sin（），∴θ＝2kπ+π﹣（θ+），即θ＝kπ+，k∈Z，则绝对值最小的θ值为，故答案为：．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（1，1+）．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性变化情况，作出函数f（x）的图象，由已知方程得f（x）＝1或f（x）＝m﹣1，利用函数图象交点的个数与方程根的个数得m的范围．解：化简得f（x）＝，当x≥0时，f（x）≥0，，若0＜x＜1时，f′（x）＞0，若x＞1时，f′（x）＜0，所以当x＝1时，函数f（x）有极大值f（1）＝，当x＜0时，＜0，f（x）为减函数，作出函数f（x）的图象如图所示，由方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0得，（f（x）﹣（m﹣1））（f（x）﹣1）＝0，所以f（x）＝1或f（x）＝m﹣1，由图象知方程f（x）＝1有1个解，要使关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0恰好有4个不相等的实数根，则f（x）＝m﹣1要有三个解，由函数图象知0＜m﹣1＜，所以1＜m＜1+．故答案为：（1，1+）三、解答题17．（1）设集合A＝{x∈R|x2﹣2x﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．A∩B＝A，求实数a的取值集合；（2）设A＝{x|x2﹣（a+1）x+a＜0}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，若A⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（2）由A∩B＝A，得A⊆B，则A＝B，即可求实数a的取值范围．（2）由题意可得B＝（﹣1，4），分a＞1，a＝1，a＜1三种情况讨论，并取其并集，即可求解．解：（1）∵A＝{x∈R|x2﹣2x﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．A∩B＝A，得A⊆B，而B集合为一元二次方程的解集，A集合也是一元二次方程的解集且A集合有两个元素，又因为A⊆B，所以B集合里必有两个元素，所以必有A＝B，即，得a＝﹣2．（2）由题意可得B＝（﹣1，4），∵x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时，A＝（1，a），∵A⊆B，∴1＜a≤4，当a＝1时，A＝∅，满足条件，当a＜1时，A＝（a，1），∵A⊆B，∴﹣1≤a＜1，综上所述，a∈[﹣1，4]．18．设a∈R，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的取值范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．【分析】（1）根据题意，p∧q是真命题，即p真q真，求出不等式的交集即可；（2）由（￢p）∧q为假，（﹣p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，分情况讨论，最后求出并集．解：（1）p真，则，或得；q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，∴p∧q真，故a的取值范围为；（2）由（￢p）∧q为假，（﹣p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，若p假q假，则，得a≤﹣2；若p真q真，则，所以，；综上a≤﹣2或．故a的取值范围是．19．已知函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求k的值；（2）当﹣1≤x≤1时，f（x）≥4，求实数k的取值范围．【分析】（1）解法一、利用奇函数的定义f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出k的值；解法二、由f（0）＝0求得k的值，再根据奇函数的定义验证即可；（2）不等式化为k﹣1≥﹣对任意的x∈[﹣1，1]恒成立；利用换元法求出右边函数的最大值，即可求得实数k的取值范围．解：（1）解法一、函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x）对任意的x∈R恒成立，即（k﹣1）2﹣x+2x＝﹣（k﹣1）2x﹣2﹣x对任意的x∈R恒成立；整理得k（22x+1）＝0对任意的x∈R恒成立，所以k＝0．解法二、由奇函数的定义知，f（0）＝0，即（k﹣1）20+20＝0，解得k＝0，此时f（x）＝2﹣x﹣2x，x∈R；因为f（﹣x）＝2x﹣2﹣x＝﹣（2﹣x﹣2x）＝﹣f（x），所以f（x）是定义域R上的奇函数；综上知，k＝0．（2）当﹣1≤x≤1时，f（x）≥4，即不等式（k﹣1）•2x+2﹣x≥4对任意的x∈[﹣1，1]恒成立；也即不等式k﹣1≥﹣对任意的x∈[﹣1，1]恒成立；设＝t，则t∈[，2]，得函数g（t）＝﹣t2+4t，t∈[，2]；所以k﹣1≥g（t）max；由函数g（t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4在t∈[，2]上单调递增，所以g（t）max＝g（2）＝4，即k﹣1≥4，解得k≥5；所以实数k的取值范围是[5，+∞）．20．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．【分析】（Ⅰ）由y＝[f（x+）]2，可得y＝1﹣sin2x，然后利用周期公式求出周期；（Ⅱ）y＝f（x）f（x﹣）＝sin（2x﹣）+，由x∈[0，]，得到的取值范围，再利用整体法求出y＝f（x）f（x﹣）的最大值．解：函数f（x）＝sin x+cos x＝，（Ⅰ）函数y＝[f（x+）]2＝[2＝2cos2（x+）＝1+cos[2（x+）]＝1+cos（2x+）＝1﹣sin2x，则最小正周期为T ＝；（Ⅱ）函数y＝f（x）f（x ﹣）＝＝sin x+cos x）sin x ＝＝＝sin（2x ﹣）+，因为x，所以2x ﹣，所以当2x ﹣，即x ＝时，f（x）max＝1+．21．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．【分析】（Ⅰ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），则h′（x ）＝，利用当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况可得当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立；（Ⅱ）当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），则＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．通过对x变化时，m′（x），m（x）的变化情况的分析，可得答案．解：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），所以h′（x）＝2x ﹣＝，令h′（x ）＝＝0，解得x ＝，当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）h′（x），﹣0+h（x），减极小值增所以在（0，+∞）的最小值为h （）＝﹣aln ＝﹣ln，令h （）＞0，解得0＜a＜2e，所以当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立．（Ⅱ）可作出2条切线．理由如下：当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），g′（x0）＝，即＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．当x变化时，m′（x），m（x）的变化情况如下表：x（0，e）e（e，+∞）m′（x）﹣0+m（x）减极小值增所以m（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，且m （）＝ln ﹣+1＝﹣+1＞0，m（e）＝elne﹣2e+1＝﹣e+1＜0，m（e2）＝e2lne2﹣2e2+1＝1＞0，所以m（x ）在（，e）和（e，e2）上各有一个零点，即xlnx﹣2x+1＝0有两个不同的解，所以过点（1，1）可以作出2条切线．22．已知函数f（x）＝ax a lnx（a＞0）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；（2）若f（x）≤xe x对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．【分析】（1）由求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率k＝f′（e），利用点斜式方程求出切线的方程；（2）将不等式转化为x a lnx a≤e x•lne x，构造函数g（x）＝xlnx，利用导数求得g（x）单调递增，从而不等式等价于x a≤e x对于任意的x＞1都成立，即a≤对于任意的x＞1都成立，令h（x）＝，利用导数求得h（x）的最小值，从而可得a的取值范围，即可得解．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx，得f′（x）＝lnx+1，则f（e）＝e，f′（e）＝2，所以y＝f（x）在x＝e处的切线方程为y＝2x﹣e．（2）当a＞0且x＞1时，由于f（x）≤xe x⇔ax a lnx≤xe x⇔x a lnx a≤xe x⇔x a lnx a≤e x•lne x，构造函数g（x）＝xlnx，得g′（x）＝lnx+1＞0（x＞1），所以g（x）＝xlnx在（1，+∞）上单调递增，f（x）≤xe x⇔x a lnx a≤e x•lne x⇔g（x a）≤g（e x），f（x）≤xe x对于任意的x＞1都成立，又x a＞1，e x＞1，再结合g（x）的单调性可知，x a≤e x对于任意的x＞1都成立，即a≤对于任意的x＞1都成立，令h（x）＝，则h′（x）＝，h′（x）＞0⇒x＞e，h′（x）＜0⇒1＜x＜e，则h（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，故h（x）min＝h（e）＝e，故a≤e，所以a的最大值为e．。

2021-2022学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，4，5，6}，B={1，3，5}，则集合A∩B=( )A．{1，3，5} B．{1，5} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5.6}2．i 是虚数单位，复数=( )A ．B ．C ．D ．3．命题“对∀∈R，x2﹣3x+5≤0”的否定是( )A．∃x0∈R，x02﹣3x0+5≤0 B．∃x0∈R，x02﹣3x0+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5≤0 D．∀x0∈R，x02﹣3x0+5＞04．某程序框图如图所示，则输出的结果S等于( )A．26 B．57 C．60 D．615．设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是( )A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．已知=（1，2），=（0，1），=（k，﹣2），若（+2）⊥，则k=( )A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣87．将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=8．如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=θ，点D为BC 的三等分点．则的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，3}，则A∩（∁U B）=__________．10．计算的值为__________．11．计算：log525+lg=__________．12．在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则△ABC的面积等于__________．13．设函数f（x）=，则f（f（﹣4））的值是__________．14．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=3，BD=4则线段AF的长为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，B={x|2a＜x＜a2+1}．（Ⅰ）当a=﹣2时，求A∪B；（Ⅱ）求使B⊆A的实数a的取值范围．16．（13分）在等差数列{a n}中，已知a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{a n}的前9项和S9；（Ⅲ）若，求数列{c n}的前n项和T n．17．（13分）已知cosθ=，（Ⅰ）求sin2θ的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．18．（13分）已知函数f（x）=sin2ωx+cos2ωx．（ω＞0）的最小正周期为4π，（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在上的最大值和最小值．19．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．20．（14分）已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．2021-2022学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，4，5，6}，B={1，3，5}，则集合A∩B=( )A．{1，3，5} B．{1，5} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5.6}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，4，5，6}，B={1，3，5}，∴A∩B={1，5}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．2．i 是虚数单位，复数=( )A ．B ．C ．D ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理力量与计算力量，属于基础题．3．命题“对∀∈R，x2﹣3x+5≤0”的否定是( )A．∃x0∈R，x02﹣3x0+5≤0 B．∃x0∈R，x02﹣3x0+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5≤0 D．∀x0∈R，x02﹣3x0+5＞0【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易规律．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：由于全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对∀∈R，x2﹣3x+5≤0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣3x0+5＞0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4．某程序框图如图所示，则输出的结果S等于( ) A．26 B．57 C．60 D．61【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类争辩；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：k S 是否连续循环循环前1 1/第一圈2 4 是其次圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故最终的输出结果为：57故选：B．【点评】依据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．5．设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是( )A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log0.32＜0，0＜b=log32＜1，c=20.3＞1，∴c＞b＞a．故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．6．已知=（1，2），=（0，1），=（k，﹣2），若（+2）⊥，则k=( )A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【考点】数量积推断两个平面对量的垂直关系．【专题】平面对量及应用．【分析】由向量的坐标运算易得的坐标，进而由可得它们的数量积为0，可得关于k的方程，解之可得答案．【解答】解：∵=（1，2），=（0，1），∴=（1，4），又由于，所以=k﹣8=0，解得k=8，故选C【点评】本题考查平面对量数量积和向量的垂直关系，属基础题．7．将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】依据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（2x+）的图象，再向右平移个单位，那么所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x ﹣）+]=sin（2x ﹣）=﹣cos2x，故最终所得函数的图象的一条对称轴方程为2x=kπ，即x=，k∈z，结合所给的选项可得只有B满足条件，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．8．如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=θ，点D为BC 的三等分点．则的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．【考点】平面对量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面对量及应用．【分析】直接利用向量的运算法则和数量积运算把化为2cos，然后由﹣1＜cosθ＜1求得答案．【解答】解：∵====，∴=（）•（）=﹣==2cos．∵﹣1＜cosθ＜1，∴﹣＜2cosθ+＜．∴∈（﹣）．故选：D．【点评】本题考查平面对量的数量积运算，娴熟把握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键，是中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，3}，则A∩（∁U B）={1，5}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】进行集合的补集、交集运算即可．【解答】解：∁U B={1，4，5，6}；∴A∩（∁U B）={1，5}．故答案为：{1，5}．【点评】考查列举法表示集合，全集的概念，以及补集、交集的运算．10．计算的值为﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，娴熟把握诱导公式是解本题的关键．11．计算：log525+lg =．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log525+lg=2﹣2++1=故答案为：．【点评】本题考查导数的运算法则的应用，考查计算力量．12．在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则△ABC 的面积等于．【考点】余弦定理；三角形的面积公式．【专题】计算题；解三角形．【分析】通过余弦定理求出AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：设AB=c，在△ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即7=c2+4﹣2×2×c×cos60°，c2﹣2c﹣3=0，又c＞0，∴c=3．S△ABC =AB•BCsinB=BC•h可知S△ABC ==．故答案为：【点评】本题考查三角形的面积求法，余弦定理的应用，考查计算力量．13．设函数f（x）=，则f（f（﹣4））的值是4．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（f（﹣4））=f（16）=log216=4．故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算力量．14．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB 的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=3，BD=4则线段AF的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】综合题；选作题；转化思想；综合法．【分析】由切割线定理得到AE2=EB•ED=EB（EB+BD），求出EB=5，由已知条件推导出四边形AEBC 是平行四边形，从而得到AC=AB=BE=5，BC=AE=3，由△AFC∽△DFB，能求出CF的长．【解答】解：∵AB=AC，AE=3，BD=4，梯形ABCD中，AC∥BD，BD=4，由切割线定理可知：AE2=EB•ED=EB（EB+BD），即45=BE（BE+4），解得EB=5，∵AC∥BD，∴AC∥BE，∵过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，∴∠BAE=∠C，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，∴四边形AEBC 是平行四边形，∴EB=AC ，∴AC=AB=BE=5，∴BC=AE=3，∵△AFC∽△DFB，∴=，即=，解得CF=．故答案为：．【点评】本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意切割线定理的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，B={x|2a＜x＜a2+1}．（Ⅰ）当a=﹣2时，求A∪B；（Ⅱ）求使B⊆A的实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系推断及应用；并集及其运算．【专题】分类争辩；分类法；集合．【分析】由已知中集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，集合B={x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，我们先对a 进行分类争辩后，求出集合A，B，再由B⊆A，我们易构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到实数a的取值范围【解答】（Ⅰ）解：当a=﹣2时，A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣4＜x＜5}，∴A∪B={x|﹣5＜x＜5}．（Ⅱ）∵B={x|2a＜x＜a2+1}当时，2＞3a+1，A={x|3a+1＜x＜2}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣要使B⊆A必需此时a=﹣1，当时，A=ϕ，使B⊆A的a不存在；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时，2＜3a+1，A={x|2＜x＜3a+1}要使B⊆A必需，故1≤a≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上可知，使的实数a的取值范围为[1，3]∪{﹣1}．﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题考查集合的基本运算，集合关系中的参数取值问题，考查计算力量，分类争辩思想的应用16．（13分）在等差数列{a n}中，已知a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{a n}的前9项和S9；（Ⅲ）若，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出；（II）利用等差数列的前n项和公式即可得出；（III）利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，得，解得a1=﹣3，d=2，∴a n=2n﹣5．（Ⅱ）S9=9a1+36d=9×（﹣3）+36×2=45．（Ⅲ）由（Ⅰ），∴{c n}是首项c1=1，公比q=4的等比数列，∴．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．17．（13分）已知cosθ=，（Ⅰ）求sin2θ的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数关系式可求sinθ的值，依据二倍角的正弦函数公式即可求值．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论及两角和的余弦函数公式即可求值得解．（Ⅲ）利用同角三角函数关系式可求tanθ的值，依据两角和的正切函数公式即可求值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式，结论1分）﹣﹣﹣﹣∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式，结论1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∴=cosθcos﹣sin ==．﹣﹣﹣﹣（公式，函数值，结论1分）﹣﹣（Ⅲ）∵，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式1分）∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式，结论1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的正弦函数公式、余弦函数公式、正切函数公式的应用，考查了计算力量，属于基础题．18．（13分）已知函数f（x）=sin2ωx+cos2ωx．（ω＞0）的最小正周期为4π，（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数y=f（x ）的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x ）在上的最大值和最小值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式化简可得解析式：f（x）=sin（2ωx+），由周期公式可求ω，解得函数解析式，由，k∈Z*，即可解得f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得解析式，由正弦函数的图象和性质，即可求得函数g（x ）在上的最大值和最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由于，（公式2分）又由于，所以；（公式，结论1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得：．当，k∈Z*，函数f（x）单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数f（x ）的单调递减区间为k∈Z*．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）将函数y=f（x ）的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣g（x ）在上单调递增，在上单调递减，，，所以g（x ）在上最大值为，最小值为．（单调性，结论各1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，周期公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．19．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；转化思想；解题方法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式．（Ⅱ）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值．（Ⅲ）利用g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，又f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1得2ax+a+b=2x﹣1，故解得：a=1，b=﹣2，所以f（x）=x2﹣2x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（a，b，c各，解析式1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，对称轴为x=1∈[﹣1，2]，故f min（x）=f（1）=1，又f（﹣1）=5，f（2）=2，所以f max（x）=f（﹣1）=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，则满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算力量．20．（14分）已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【考点】利用导数争辩曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的导数值等于切线的斜率为﹣6，即可求实数a；（Ⅱ）通过a=1，利用导函数为0，推断导数符号，即可求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，利用导函数的单调性，通过f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，即可求出a，然后求f（x）在该区间上的最大值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由于f′（x）=﹣x2+x+2a，曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率k=f′（2）=2a﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣依题意：2a﹣2=﹣6，a=﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a=1时，，f′（x）=﹣x2+x+2=﹣（x+1）（x﹣2）﹣﹣﹣﹣x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，2） 2 （2，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调减单调增单调减所以，f（x）的极大值为，f（x）的微小值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）令f′（x）=0，得，，f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2），f（4）＜f（1），所以f（x）在[1，4]上的最小值为，解得：a=1，x2=2．故f（x）在[1，4]上的最大值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查导数的综合应用，切线方程以及极值的求法，函数的单调性与函数的最值的关系，考查转化思想以及计算力量．。

2021-2022学年河南省高三（上）段考数学试卷（文科）（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜5，x∈N}，B＝{0，2，3，5}，则A∪B＝（）A．{0，2，3}B．{﹣1，0，1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{﹣1，0，1，2，3，4，5}2．“x2+x﹣2＝0”是“x＝﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若幂函数在（0，+∞）上单调递增，则a＝（）A．1B．6C．2D．﹣14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a7＝14，则S9＝（）A．20B．35C．45D．635．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝xe x﹣x2﹣2x﹣1的极大值为（）A．﹣1B．C．ln2D．﹣（ln2）2﹣1 7．设函数则不等式f（x）≤2的解集为（）A．[0，3]B．（﹣∞，3]C．[0，+∞）D．[0，1]∪[3，+∞）8．设p：∀x∈[2，3]，kx＞1，q：∃x∈R，x2+x+k≤0．若p或q为真，p且q为假，则k的取值范围为（）A．B．C．D．9．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；…．如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”．第三次操作后，从左到右第六个区间为（）A．B．C．D．10．O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．重心C．外心D．垂心11．已知偶函数f（x）的定义域为R，f（1）＝2021，当x≥0时，f′（x）≥6x恒成立，则不等式f（x）＞3x2+2018的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．设a＝ln1.2，b＝2ln1.1，c＝﹣1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（﹣4，x），＝（3，2）．若⊥，则||＝．14．已知x，y满足，则z＝3x﹣y的最大值为．15．已知函数图象的一条对称轴方程为x＝，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为，则φ＝．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin A＝，a＝5，则△ABC的面积为，其内切圆的半径为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＜b＜c，cos B＝，cos（2A+C）＝﹣．（1）求sin（A+C）的值；（2）求sin2A的值．18．已知数列{a n}满足a1＝4，a n+1＝2a n+2n+1（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n．（1）证明：数列是等差数列．（2）求S n．19．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1.5万件．已知生产该产品的固定年投入为10万元，每生产1万件该产品需要再投入25万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少？20．已知函数f（x）＝（x＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时，求曲线y＝f（x）过点（2，0）的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AC＝2，∠BAC＝，．（1）求cos∠PBC．（2）若点M在线段PB上，记△ACM的周长为l，证明：l＞5．22．已知函数f（x）＝（ax﹣1）lnx﹣（2a﹣）x+ea．（1）当a＞0时，证明：f（x）≥0；（2）若f（x）在（e，e2）上单调递增，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2021年高三（上）第三次联考数学试卷 Word版含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）集合{0，1，2}的所有子集个数为8 ．考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：根据题意，易得集合M中有3个元素，由集合的元素数目与其子集数目的关系，可得答案．解答：解：集合{0，1，2}中有3个元素，则其子集有23=8个，故答案为8．点评：本题考查集合的元素数目与其子集数目的关系，牢记若一个集合有n个元素，则其有2n个子集．2．（5分）设（2+i）z=5i（i为虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：计算题．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法运算化简，最后利用求复数模的公式求模．解解：∵复数z满足（2+i）z=5i （i为虚数单位），答：∴z====1+2i．则|z|==．故答案为．点评：本题考查复数的模的定义，考查了复数的乘除法运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）（2011•徐州模拟）在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的，则中间一组的频数为50．考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：由已知中频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的，根据这9个小正方形的面积（频率）和为1，进而求出该组的频率，进而根据频数=频率×样本容量，即可得到中间一组的频数．解答：解：由于中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的，这9个长方形的面积和为1故中间一个小长方形的面积等于即中间一组的频率为双有样本容量为300故中间一组的频数为300×=50故答案为：50点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据已知条件结合频率分布直方图中各矩形面积的和为1，求出中间一组的频率，是解答本题的关键．4．（5分）（2011•南通一模）根据如图的算法，输出的结果是55．考点：伪代码．专题：阅读型．分析：先读懂程序的算法，再据算法规则依次算出结果．可以看出这是一个for循环结构，循环执行10此，依其特点求解即可．解答：解：程序是一个循环结构，步长是1，每循环一次就加进i，初始i=1，可循环十次，故S=0+1+2+3+…+10=55故答案为：55．点评：本题主要考查算法语言的结构，此类题的做法通常是把值代入，根据其运算过程求出值，属于基础题．5．（5分）（2011•西安模拟）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值﹣8．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8解答：解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y 为将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为﹣，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值z min=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣8点评：本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键．6．（5分）（2011•江苏模拟）已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．分直线和平面垂直，平面和平面垂直的判定，二者的关系搞清楚，析：解答：解：由平面与平面垂直的判定定理知，m为平面α内的一条直线，如果m⊥β，则α⊥β；反过来m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”可能有m∥β，m∩β=p，可能有m⊥β三种情况．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分点评：考查定理的理解，分析问题时：考虑要全面，有时可以借助实物，动手动脑，简化问题．7．（5分）（2011•江苏二模）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n 作为点P的坐标，共有6×6种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况共有8种结果，求比值得到结果．解答：解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果，根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：点评：本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件．8．（5分）已知，则tanα=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把已知，直接代入tanα=tan[（α+β）﹣β]，利用两角差的正切公式运算求得结果．解答：解：已知，则tanα=tan[（α+β）﹣β]===．故答案为：．点评：本题主要考查两角差的正切公式的应用以及角的变换，属于基础题．9．（5分）（2011•扬州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线的左、右焦点，△ABC的顶点C在双曲线的右支上，则的值是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：首先由正弦定理，可得=，进而根据双曲线的几何性质，可得|AB|=2c=4，|CB|﹣|CA|=﹣2a=﹣2；代入中，可得答案．解答：解：根据正弦定理：在△ABC中，有=；又由题意A、B分别是双曲线的左、右焦点，则|AB|=2c=4，且△ABC的顶点C在双曲线的右支上，又可得|CB|﹣|CA|=﹣2a=﹣2；故则===﹣；故答案为：﹣．点评：本题考查双曲线的几何性质，注意点C在双曲线的右支上，则有|CA|＞|CB|，即|CB|﹣|CA|=﹣2a，这是一个易错点．10．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D为BC边上的点，且•=0，=2，则=1．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°，且易求得AD=1，，而==代入可得结果．解答：解：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°故在直角三角形ABD中可求得AD=1，，∴====1．故答案为：1点评：本题为向量的数量积的运算，把向量适当转化时解决问题的关键，属基础题．11．（5分）已知，若对任意两个不等的正实数m，n都有＞3恒成立，则实数a的取值范围是a≥．考函数的单调性与导数的关系．点：专题：导数的概念及应用．分析：由题意易得f′（x）＞3恒成立，求导数，分离a，只需求x（3﹣x）的最小值即可．解答：解：因为对任意两个不等的正实数m，n都有＞3恒成立，所以函数f（x）图象上每点切线的斜率＞3恒成立，故f′（x）＞3恒成立，又已知，定义域为（0，+∞）求导数可得，故＞3恒成立，所以a＞x（3﹣x）恒成立，只需求x（3﹣x）的最小值，而当x=时，[x（3﹣x）]min=，故答案为：a≥点评：本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及恒成立问题，属中档题．12．（5分）设，a＞0，函数f（θ）=的最小值为25，则实数a=16．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得cosθ＞0，＞0，函数f（θ）=[]•[cosθ+（1﹣cosθ）]=1+a++，利用基本不等式求得最小值为1+a+2=25，由此求得实数a 的值．解答：解：∵，a＞0，∴cosθ＞0，＞0，∴函数f（θ）==[]•[cosθ+（1﹣cosθ）]=1+a++≥1+a+2，当且仅当=时，取等号，故函数的最小值为1+a+2=25，解得a=16，故答案为16．点评：本题主要考查基本不等式的应用，求函数的最值，属于中档题．13．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则的值是xx．考点：数列的求和．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：先求出b2的值，然后分别判定数列{a n}，{b n}的特征，然后利用求和公式分别求出两数列的和，将xx代入求出所求即可．解答：解：∵对任意的正整数m，n，p，q，当m+n=p+q时，都有a m+b n=a p+b q，∴a2+b1=a1+b2，将a1=1，a2=2，b1=2，代入可得b2=3∵1+（n+1）=2+n∴a1+b n+1=a2+b n，即b n+1﹣b n=1∴数列{b n}是等差数列首项为1，公差为1，则T n=∵（n+1）+1=n+2∴a n+1+b1=a n+b2则a n+1﹣a n=1∴数列{a n}是等差数列首项为2，公差为1，则S n=∴=Sxx+Txx=（1006×xx+1006+xx）=xx故答案为：xx点评：本题主要考查了数列的求和，以及数列的判定，同时考查了计算能力，属于中档题14．（5分）（2011•延安模拟）我们把形如的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a=1，b=1时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为3π．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；新定义．分析：根据已知中关于“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的定义，根据a=1，b=1我们易求出“囧点”坐标，并设出“囧圆”的方程，根据求出圆心到“囧函数”图象上的最小距离后，即可得到结论．解答：解：当a=1，b=1时，则函数与Y轴交于（0，﹣1）点则“囧点”坐标为（0，1）令“囧圆”的标准方程为x2+（y﹣1）2=r2，令“囧圆”与函数图象的左右两支相切则切点坐标为（±，±）此时r=；令“囧圆”与函数图象的下支相切则切点坐标为（0，﹣1）此时r=2；故所有的“囧圆”中，面积的最小值为3π故答案为：3π点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中根据“囧圆”的圆心坐标及“囧函数”的解析式，求出“囧圆”的圆心到函数图象距离的最小值是解答本题的关键，属中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（xx•台州二模）已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）已知f（α）=3，且α∈（0，π），求α的值．考点：正弦函数的单调性；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：先把函数进行化简，f（x）=2sin（）+2（1），解不等式可求（2）把已知代入可得，求解即可．解答：解：（1）=．由；得；．∴函数f（x）的单调增区间为．（2）由f（α）=3，得．∴．∴，或（k1，k2∈Z），即α=k1π或（k1，k2∈Z）．∵α∈（0，π），∴．点评：本题考查了三角函数的性质：单调性，还考查了三角公式中的二倍角及和差角公式的综合运用，在处理三角函数的单调区间的问题时，常用整体思想，类比正（余）弦函数的性质．16．（14分）（xx•南京二模）如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC．（1）求证：平面AEC⊥平面ABE；（2）点F在BE上．若DE∥平面ACF，求的值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据平面ABCD⊥平面BCE，利用面面垂直的性质可得AB⊥平面BCE，从而可得CE⊥AB，由CE⊥BE，根据线面垂直的判定可得CE⊥平面ABE，从而可得平面AEC⊥平面ABE；（2）连接BD交AC于点O，连接OF．根据DE∥平面ACF，可得DE∥OF，根据O为BD中点，可得F为BE中点，从而可得结论．解答：（1）证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC．因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面BCE．…（3分）因为CE⊂平面BCE，所以CE⊥AB．因为CE⊥BE，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，AB∩BE=B，所以CE⊥平面ABE．…（6分）因为CE⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE．…（8分）（2）解：连接BD交AC于点O，连接OF．因为DE∥平面ACF，DE⊂平面BDE，平面ACF∩平面BDE=OF，所以DE∥OF．…（12分）又因为矩形ABCD中，O为BD中点，所以F为BE中点，即=．…（14分）点评：本题考查线面、面面垂直的判定与性质，考查线面平行，掌握线面、面面垂直的判定与性质是关键．17．（14分）如图，某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，其中AB长为定值a，BD长可根据需要进行调节（BC足够长）．现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值称为“草花比y”．（Ⅰ）设∠DAB=θ，将y表示成θ的函数关系式；（Ⅱ）当BE为多长时，y有最小值，最小值是多少．考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．专题：综合题；函数思想．分析：（1）由于题目中“设∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知识解决“草花比y”；（2）由于式子“”括号中两式的积是定值，故利用二元不等式求其最小值．解答：解：（Ⅰ）因为BD=atanθ，所△ABD的面积为a2tanθ（）（2分）设正方形BEFG的边长为t，则由，得，（4分）解得，则（5分）所以a2tanθ﹣S2，则（8分）（Ⅱ）因为tanθ∈（0，+∞），所以（10分）当且仅当tanθ=1，时取等号，此时BE=．所以当BE长为时，y有最小值1．（12分）点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用、解三角形以及利用二元不等式求函数最值的方法，解决实际问题通常有几个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果，其中关键是建立数学模型．18．（16分）（2011•重庆模拟）已知椭圆E：+=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得=？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：（1）由题易知圆C的圆心为（）而a=，b=2可求出圆心为（﹣4，0）又圆C恰好经过坐标原点O故半径为4所以圆C的方程为（x+4）2+y2=16（2）可利用直线FG与直线l联立求出t点坐标再利用中点坐标公式求出G（﹣3，y G）再代入圆C的方程求出y G进而求出FG的方程为y=（x+2），然后利用圆心到直线的距离公式求出C（﹣4，0）到FG的距离d=再利用勾股定理即可求出弦长的一半进而求解．（3）假设存在P（s，t），G（x0，y0）使得=成立利用两点间的距离公式化简可得方程3（x02+y02）+（16+2s）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0再结G（x0，y0）在圆C即x02+y02+8x0=o可得（2s﹣8）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0对所有的x0，y0．成立故2s﹣8=0，2t=0，16﹣s2﹣t2=0所以s=4，t=0即存在p（4，0）满足题意．解答：解：（1）∵a=，b=2∴c=2∴左准线方程为x==﹣4∴圆心为（﹣4，0）∵圆C恰好经过坐标原点O故半径为4∴圆C的方程为（x+4）2+y2=16（2）由题意知，得G（﹣3，y G），代入（x+4）2+y2=16，得y= 所以FG的斜率为K=y=，FG的方程为y=（x+2）所以C（﹣4，0）到FG的距离d=，直线FG被圆C截得弦长为2=7故直线FG被圆C截得弦长为7．（3）设P（s，t），G（x0，y0），则由，得，整理得3（x02+y02）+（16+2s）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0①又G（x0，y0）在圆C：（x+4）2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=o②②代入①得（2s ﹣8）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0又G（x0，y0）为圆C上任意一点可知，2s﹣8=0，2t=0，16﹣s2﹣t2=0解得s=4，t=0．所以在平面上存在一点p，其坐标为（4，0）．点评：此题第一问主要考查了利用椭圆的有关知识求圆的方程关键是要知道椭圆的左准线方程是x=．第二问考查了利用圆心到直线的距离公式求出d再利用半径，d，弦长的一半构成直角三角形再采用勾股定理即可求解．对于第三问较难但思路较简单即假设存在P（s，t），G（x0，y0）使得=成立，关键是得出（2s﹣8）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0后怎么办是难点！实质上这是恒成立的问题只需系数和常数项为0即可求出s，t．19．（16分）（xx•江苏模拟）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；（3）令g（x）=f（x）﹣nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，AB中点为C（x0，0），求证：g′（x0）≠0．考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）由切线方程得函数在x=2处的切线斜率为﹣3，即f′（2）=﹣3，由函数f（x）=alnx﹣bx2得其导函数，进而得f′（2），由f′（2）=﹣3得关于a、b的方程，又切点在函数图象上，也在切线上，当x=2时分别代入两个函数方程，函数值相等，得第二个关于a、b的方程，求解方程组，得a，b的值；（2）设h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，求h′（x），令h′（x）＞0，h′（x）＜0，得函数h（x）的单调区间，得出h（x）的图象的大致走向，得出满足题意的不等式组，解得实数m的取值范围；（3）由点A（x1，0），B（x2，0）在g（x）图象上，把点的坐标代入g（x）的解析式得方程组，两式相减得关于x1、x2、n的方程，假设g′（x）=0成立，求导，得关于x0、n的方程，由中点坐标公式转化关于x1、x2、n的方程，两方程消去n，得关于x1、x2的方程，整理此方程，分子分母同除以x2，整理方程，右边为0，设t=，左边得关于t的函数，求此函数的导数，得函数的单调性，得函数值恒小于0，所以方程不成立，所以假设不成立，所以g′（x0）≠0．解答：解：（1），所以，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2，解得a=2，b=1．（2）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则=，令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当时，h'（x）＞0，所以h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，所以h（x）是减函数则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是即1＜m≤e2﹣2．（3）．假设结论成立，则有，（1）﹣（2），得．所以．由（4）得，所以，即，即=，令．则，所以u（t）在0＜t＜1上是增函数，u（t）＜u（1）=0，所以（5）式不成立，与假设矛盾，所以g'（x0）≠0．点评：此题考查函数与方程的综合运用，求未知数的值，几个未知数需几个方程构成方程组求解；注意把方程解的个数问题转化为对应函数图象的交点个数问题，可使问题直观易懂；也可把函数图象的交点个数问题转化为方程组得各量之间的关系，把未知量转化为一种形式，令一边为0，另一边再转化为函数，利用函数单调性解题；用反证法证明问题时，先假设结论不正确，得出与假设相反的结论，从而结论是正确的．20．（16分）已知数列．（I）试证数列是等比数列，并求数列{b n}的通项公式；（II）在数列{b n}是，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．（III）试证在数列{b n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b1，b r，b s成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系．考点：函数与方程的综合运用；数列的应用；等比关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）由a n+a n+1=2n，得a n+1=2n﹣a n，从而可证=﹣1，即可证得数列是等比数列，并可求数列{b n}的通项公式；（II）解：假设在数列{b n}中，存在连续三项b k﹣1，b k，b k+1（k∈N*，k≥2）成等差数列，则b k﹣1+b k+1=2b k，即2k﹣1=4（﹣1）k﹣1．分类讨论，可得在数列{b n}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列；（III）证明：要使b1，b r，b s成等差数列，只需b1+b s=2b r，即2s﹣2r+1=（﹣1）s ﹣2（﹣1）r﹣3，（﹡），分类讨论，可知存在不小于4的正偶数s，且s=r+1，使得b1，b r，b s成等差数列．解答：（I）证明：由a n+a n+1=2n，得a n+1=2n﹣a n，所以==﹣1又因为a1﹣=，所以数列{a n﹣×2n}是首项为，公比为﹣1的等比数列．所以a n﹣×2n=×（﹣1）n﹣1，即a n=[2n﹣（﹣1）n]，所以b n=2n﹣（﹣1）n．（5分）（II）解：假设在数列{b n}中，存在连续三项b k﹣1，b k，b k+1（k∈N*，k≥2）成等差数列，则b k﹣1+b k+1=2b k，即[2k﹣1﹣（﹣1）k﹣1]+[2k+1﹣（﹣1）k+1]=2[2k﹣（﹣1）k]，即2k﹣1=4（﹣1）k﹣1．①若k为偶数，则2k﹣1＞0，4（﹣1）k﹣1=﹣4＜0，所以，不存在偶数k，使得b k﹣1，b k，b k+1成等差数列．（7分）②若k为奇数，则当k≥3时，2k﹣1≥4，而4（﹣1）k﹣1=4，所以，当且仅当k=3时，b k﹣1，b k，b k+1成等差数列．综上所述，在数列{b n}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列．（9分）（III）证明：要使b1，b r，b s成等差数列，只需b1+b s=2b r，即3+2s﹣（﹣1）s=2[2r﹣（﹣1）r]，即2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3，（﹡）（10分）①若s=r+1，在（﹡）式中，左端2s﹣2r+1=0，右端（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3=（﹣1）s+2（﹣1）s﹣3=3（﹣1）s﹣3，要使（﹡）式成立，当且仅当s为偶数时．又s＞r＞1，且s，r为正整数，所以当s为不小于4的正偶数，且s=r+1时，b1，b r，b s成等差数列．（12分）②若s≥r+2时，在（﹡）式中，左端2s﹣2r+1≥2r+2﹣2r+1=2r+1，由（II）可知，r≥3，所以r+1≥4，所以左端2s﹣2r+1≥16（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“=”）；右端（﹣1）s﹣2（﹣1）s﹣3≤0．所以当s≥r+2时，b1，b r，b s不成等差数列．综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s=r+1，使得b1，b r，b s成等差数列．（14分）点评：本题主要考查等比数列的判定和等差数列的应用，考查函数与方程，分类讨论思想，考查推理论证能力．24795 60DB 惛25072 61F0 懰!38998 9856 顖21947 55BB 喻,35342 8A0E 討3O21500 53FC 叼40169 9CE9 鳩35426 8A62 詢26050 65C2 旂S39445 9A15 騕。

2021-2022学年广东省深圳高级中学等九校联考高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则z（+i）＝（）A．﹣1+i B．3+i C．1﹣i D．3﹣i2．设集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（）A．{（2，4）}B．{（﹣3，9）}C．{（2，4），（﹣3，9）}D．∅3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则•＝（）A．9B．16C．12D．115．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象如图所示，且经过点A（，），则（）A．f（x）关于点（，0）对称B．f（x）关于直线x＝对称C．f（x+）为偶函数D．f（x+）为奇函数6．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝﹣2，a n+1＝S n，那么a6＝（）A．﹣64B．﹣32C．﹣16D．﹣87．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（）A．B．C．D．18．已知a，b，c∈（0，1），且a2﹣2lna﹣1＝，b2﹣2lnb﹣1＝，c2﹣2lnc﹣1＝，则（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元10．设正实数x，y满足2x+y＝1，则（）A．x∈（0，）B．xy的最大值为C．x2+y2的最小值为D．4x+2y的最小值为411．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，AD，B1C1的中点，以下说法正确的是（）A．三棱锥C﹣EFG的体积为2B．A1C⊥平面EFGC．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为D．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是312．已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f（x）＝，设g （x）＝f（x）+f（x+1），则（）A．g（2022）＝﹣1B．函数y＝g（x）为周期函数C．函数y＝g（x）的最大值为2D．函数y＝g（x）的图象既有对称轴又有对称中心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知多项式（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝．14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则a≥2b的概率为．15．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是．16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边ω（cm）和厚度x（cm）有关系：n≤log2．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为；该矩形纸最多能对折次．（参考数值：lg2≈0.3，lg3≈0.48．）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是等差数列，a1＝2，a2+a3+a4＝18．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝|（）﹣1000|，求数列{b n}的前15项和T15．18．某工厂购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.19．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．（1）若△ABC的面积为2，求AC；（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为AB的中点，N为B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．（1）证明：A1C⊥BC1；（2）在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且k PM•k PN＝﹣，求证：直线MN过定点．22．已知函数f（x）＝ax+lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点．证明：（ⅰ）x1+x2＞﹣；（ⅱ）x2﹣x1＞﹣．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则z（+i）＝（）A．﹣1+i B．3+i C．1﹣i D．3﹣i【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．解：∵z＝1﹣i，∴，∴z（+i）＝（1﹣i）（1+2i）＝3+i．故选：B．2．设集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（）A．{（2，4）}B．{（﹣3，9）}C．{（2，4），（﹣3，9）}D．∅【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（2，4），（﹣3，9）}．故选：C．3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件分别进行判断即可．运用定义来做题目．解：由＜1，可得a＞1或a＜0，故，由a＞1，能够推出＜1，故，a＞1，是＜1的充分条件，由＜1，不能够推出a＞1，故，a＞1，是＜1的不必要条件，综上所述，a＞1，是＜1的充分不必要条件，故选：A．4．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则•＝（）A．9B．16C．12D．11【分析】把都用来表示，即可求．解：设AB边的中点为D，则，同理，所以．故选：D．5．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象如图所示，且经过点A（，），则（）A．f（x）关于点（，0）对称B．f（x）关于直线x＝对称C．f（x+）为偶函数D．f（x+）为奇函数【分析】由定点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象和性质，得出结论．解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象，可令φ∈（0，），∵它的经过点A（，），∴sin（+φ）＝cosφ＝，∴φ＝，故f（x）＝sin（2x+）．令x＝，求得f（x）＝，不是最值，故A、B都错误；由于f（x+）＝sin（2x+）＝cos2x，故f（x+）是偶函数，故C正确，由于f（x+）＝sin（2x+），故f（x+）不是奇函数，故D错误．故选：C．6．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝﹣2，a n+1＝S n，那么a6＝（）A．﹣64B．﹣32C．﹣16D．﹣8【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．解：∵a n+1＝S n，∴n≥2时，a n＝S n﹣1，相减可得：a n+1＝2a n．n＝1时，a2＝S1＝﹣2≠2a1，∴数列{a n}从第二项开始为等比数列，∴a6＝a2×24＝﹣2×24＝﹣32．故选：B．7．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（）A．B．C．D．1【分析】题意可得sin∠AF1F2，进而求出tan∠AF1F2，即可得到直线AF1的斜率．解：由题意如图所示：|AF1|＝|F1F2|，D为AF2的中点，椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，所以a＝2c，sin∠AF1F2＝＝，所以∠AF1F2＝，直线AF1的斜率为tan∠AF1F2＝tan＝，故选：B．8．已知a，b，c∈（0，1），且a2﹣2lna﹣1＝，b2﹣2lnb﹣1＝，c2﹣2lnc﹣1＝，则（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b【分析】构造函数f（x）＝x2﹣2lnx﹣1，g（x）＝，f（a）＝a2﹣2lna﹣1，f（b）＝b2﹣2lnb﹣1，f（c）＝c2﹣2lnc﹣1，g（3）＝，g（e）＝，g（π）＝，求导判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小即可．解：令g（x）＝，则g′（x）＝，故当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，故g（x）在（e，+∞）上单调递减，而g（3）＝，g（e）＝，g（π）＝，故g（e）＞g（3）＞g（π），令f（x）＝x2﹣2lnx﹣1，则f′（x）＝2x﹣＝，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）上单调递减，而f（a）＝a2﹣2lna﹣1，f（b）＝b2﹣2lnb﹣1，f（c）＝c2﹣2lnc﹣1，故f（a）＝g（3），f（b）＝g（e），f（c）＝g（π），故f（b）＞f（a）＞f（c），故b＜a＜c，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元【分析】对于ABC，通过求解对应的频率，即可依次判断，对于D，结合平均值的计算公式，即可求解．解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为（0.02+0.04）×1＝6%，故A正确，对于B，家庭年收入介于2.5万元至7.5万元之间的频率为0.02+0.04+0.1+0.14+0.2＝0.5，故该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元，故B正确，对于C，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.1+0.14+0.2+0.2＝0.64＞0.5，故C正确，对于D，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5，故D错误．故选：ABC．10．设正实数x，y满足2x+y＝1，则（）A．x∈（0，）B．xy的最大值为C．x2+y2的最小值为D．4x+2y的最小值为4【分析】A．根据正实数x，y满足2x+y＝1，可得0＜2x＝1﹣y＜1，解得x范围即可判断出正误；B．由正实数x，y满足2x+y＝1，利用基本不等式即可判断出正误；C．由正实数x，y满足2x+y＝1，可得y＝1﹣2x，x∈（0，），代入x2+y2，利用二次函数的单调性即可判断出正误；D．由正实数x，y满足2x+y＝1，可得4x+2y＝22x+2y，结合基本不等式即可判断出正误．解：A．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴0＜2x＝1﹣y＜1，解得0＜x＜，即x∈（0，），因此正确；B．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴1≥2，解得xy≤，当且仅当2x＝y＝时取等号，因此不正确；C．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，x∈（0，），∴x2+y2＝x2+（1﹣2x）2＝5+≥，x＝时取等号，因此正确；D．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴4x+2y＝22x+2y≥2＝2＝2，当且仅当2x＝y＝时取等号，因此不正确．故选：AC．11．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，AD，B1C1的中点，以下说法正确的是（）A．三棱锥C﹣EFG的体积为2B．A1C⊥平面EFGC．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为D．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是3【分析】A三棱锥C﹣EFG的体积＝＝．B由正方体的性质可得：A1C⊥EF，A1C⊥FK，EF∩FK＝F．即可判断出结论．C如图所示，建立空间直角坐标系．对于C利用cos＜，＞＝，即可得出异面直线EF与AG所成的角的余弦值；②过点E、F、G作正方体的截面为正六边形EFKNGM，K，N，M分别为棱的中点，可得的截面的面积S为以EF为一边的等边三角形面积的6倍．解：对于A、三棱锥C﹣EFG的体积＝＝＝1，故A错误；对于B、由正方体的性质可得：A1C⊥EF，A1C⊥FK，EF∩FK＝F，∴A1C⊥平面EFG；故B正确；对于C、如图所示建立空间直角坐标系．则F（1，0，0），E（2，1，0），A（2，0，0），G（1，2，2），＝（﹣1，﹣1，0），＝（﹣1，2，2），∴cos＜，＞＝＝﹣＝﹣．∴异面直线EF与AG所成的角的余弦值为，故C正确；对于D、过点E、F、G作正方体的截面为正六边形EFKNGM，K，N，M分别为棱的中点，所得的截面的面积S＝＝3≠4，因此D错误；故选：BC．12．已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f（x）＝，设g （x）＝f（x）+f（x+1），则（）A．g（2022）＝﹣1B．函数y＝g（x）为周期函数C．函数y＝g（x）的最大值为2D．函数y＝g（x）的图象既有对称轴又有对称中心【分析】根据周期的定义证得函数y＝g（x）是以4为周期的周期函数，即可判断B选项；进而求出g（2022）的函数值，即可判断A选项；然后求出g（x）的在[0，4]上的值域，进而求出在R的值域即可判断C选项；求出对称轴与对称中心即可判断D选项．解：因为f（x）是周期为4的奇函数，所以f（x+4）＝f（x），所以g（x+4）＝f（x+4）+f（x+5）＝f（x）+f（x+l）＝g（x），所以函数y＝g（x）是以4为周期的周期函数，故B正确；因此g（2022）＝g（2）＝f（2）+f（3）＝f（2）+f（﹣1）＝f（2）﹣f（1）＝2﹣2﹣1＝﹣1，故A正确；对于C，当x∈（0，1）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝x+2﹣（x+l）＝x+2﹣x﹣l＝1，当x∈（1，2）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝f（x）+f（x﹣3）＝f（x）﹣f（3﹣x）＝2﹣x﹣[2﹣（3﹣x）]＝﹣2x+3，所以g（x）单调递减，故g（x）∈（﹣l，1），当x∈（2，3）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝﹣f（4﹣x）﹣f（3﹣x）＝﹣[2﹣（4﹣x）]当x∈（3，4）时，g（x）＝f（x）+f（x+l）＝﹣f（4﹣x）+f（x﹣3）＝﹣（4﹣x）﹣（x ﹣3）＝﹣1，且g（0）＝f（0）+f（1）＝0+1＝1，g（1）＝f（l）+f（2）＝1+0＝1，g（2）＝f（2）+f（3）＝0+f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，g（3）＝f（3）+f（4）＝f（﹣1）+f（0）＝﹣f（1）＝﹣1，g（4）＝g（0）＝1，所以x∈[0，4]时，g（x）∈[﹣1，1]，由于g（x）周期为4，故g（x）的最大值为1，故C错误；对于D，因为f（x）是周期为4的奇函数，所以f（x+2）＝﹣f（x），f（x﹣2）＝﹣f（x），f（x﹣1）＝﹣f（x+l），又g（1﹣x）＝f（1﹣x）+f（2﹣x）＝﹣f（x﹣1）﹣f（x﹣2）＝f（x）+f（x+1）＝g（x），所以函数g（x）关于x＝对称，即函数y＝g（x）的图象有对称轴，因为g（x）+g（3﹣x）＝f（x）+f（x+l）+f（3﹣x）+f（4﹣x）＝f（x）+f（x+1）+f（﹣1﹣x）+f（﹣x）＝f（x）+f（x+1）﹣f（1+x）﹣f（x）＝0．所以函数g（x）关于（，0）对称，即函数y＝g（x）的图象有对称中心，故D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知多项式（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝﹣3．【分析】直接利用二项展开式的应用求出结果．解：＝x3+3x2+3x+1；①同理：+＝x4①+②得：（x+1）3+（x﹣1）4＝x4﹣3x3+9x2﹣x+2，由于（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，所以a1＝﹣3．故答案为：﹣3．14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则a≥2b的概率为．【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．解：由题意可得，抛掷两次骰子出现的总可能数为6×6＝36种，其中满足a≥2b的有（2，1），（4，1），（4，2），（6，1），（6，2），（6，3），共6种，故所求的概率P＝．故答案为：．15．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是3x﹣y+2＝0．【分析】由已知求得x＜0时的函数解析式，求其导函数，得到函数在x＝﹣1处的导数，再求得f（﹣1），然后利用直线方程的点斜式得答案．解：设x＜0，则﹣x＞0，∵f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣ln（﹣x）﹣x2，则f′（x）＝﹣2x﹣（x＜0），∴则f′（﹣1）＝3，又f（﹣1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是y+1＝3（x+1），即3x﹣y+2＝0．故答案为：3x﹣y+2＝0．16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边ω（cm）和厚度x（cm）有关系：n≤log2．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为64；该矩形纸最多能对折6次．（参考数值：lg2≈0.3，lg3≈0.48．）【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．解：∵n≤log2，∴当对折完4次时，≥4，即，∴，∴的最小值为64，∵＝＝＝≈，∴矩形纸最多能对折6次．故答案为：64，6．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是等差数列，a1＝2，a2+a3+a4＝18．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝|（）﹣1000|，求数列{b n}的前15项和T15．【分析】（1）求得等差数列{a n}的公差，利用等差数列的通项公式可求得{a n}的通项公式；（2）b n＝|2n﹣1000|＝，利用分组求和及等比数列的求和公式可求得数列{b n}的前15项和T15．解：（1）∵{a n}是等差数列，a2+a3+a4＝18，∴a3＝6，又a1＝2，∴公差d＝＝2，∴a n＝2n；（2）∵a n＝2n，∴b n＝|（）﹣1000|＝|2n﹣1000|＝，∴数列{b n}的前15项和T15＝（1000﹣21）+...+（1000﹣29）+（210﹣1000）+（211﹣1000）+...+（215﹣1000）＝（9000﹣6000）﹣（21+22+...+29）+（210+211+ (215)＝3000﹣+210•＝3000+4+61×210＝65468．18．某工厂购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.【分析】（1）由题意写出方案一，二的解析式即可；（2）由条形图分别求出概率，再列出分布列，求期望，判断哪个方案更省钱，更合适．解：（1）由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为y＝10x+60，x∈N，方案二中的日收费y与x的函数关系式为y＝（2）设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为X190200210220230P0.10.40.10.20.2所以E（X）＝190×0.1+200×0.4+210×0.1+220×0.2+230×0.2＝210（元）．方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为X200220240P0.60.20.2E（Y）＝200×0.6+220×0.2+240×0.2＝212（元）．所以从节约成本的角度考虑，选择方案一．19．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．（1）若△ABC的面积为2，求AC；（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．【分析】（1）由S＝AB•BC•sin∠ABC，可得AB的值，再在△ABC中，利用余弦定理，即可得解；（2）设∠ACD＝α，用含α的式子表示出∠ACB和∠BAC，先在Rt△ACD中，利用三角函数表示出AC，再在△ABC中，由正弦定理，即可得解．解：（1）由S＝AB•BC•sin∠ABC，知2＝AB•4•sin，所以AB＝2，在△ABC中，由余弦定理知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC＝4+16﹣2×2×4×＝12，所以AC＝2．（2）设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD+＝α+，∠BAC＝π﹣（∠ABC+∠ACB）＝﹣α，在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，所以AC＝＝，在△ABC中，由正弦定理知，＝，所以＝，即3cosα＝2sinα，所以tanα＝＝，所以tan∠ACD＝．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为AB的中点，N为B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．（1）证明：A1C⊥BC1；（2）在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由线面垂直的判断和性质，可得证明；（2）在线段A1N上存在点Q，且A1Q＝A1N．建立空间坐标系，求出平面A1CM的法向量，证明⊥，即可得出PQ∥平面A1CM．解：（1）由△A1B1C1中，A1B1＝B1C1，N为B1C1的中点，可得A1N⊥B1C1，又B1B⊥平面A1B1C1，A1N⊂平面A1B1C1，可得B1B⊥A1N，而B1B∩B1C1＝B1，所以A1N⊥平面B1BCC1，即有A1N⊥BC1，连接CN，由tan∠C1CN＝＝，tan∠CC1B＝＝＝，则tan∠C1CN•tan∠CC1B＝1，可得∠C1CN+∠CC1B＝90°，即有BC1⊥CN，而CN∩A1N＝N，所以BC1⊥平面A1CN，则A1C⊥BC1；（2）以A为原点，以AC，AB，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A1（0，0，2），C（2，0，0），M（0，1，0），N（1，1，2），P（1，1，1），所以＝（1，1，0），＝（1，1，﹣1），＝（﹣2，1，0），＝（﹣2，0，2），设平面A1CM的法向量为＝（x，y，z），则令y＝2，可得＝（1，2，1），设＝m＝（m，m，0），则＝﹣＝（m﹣1，m﹣1，1），所以•＝m﹣1+2（m﹣1）+1＝3m﹣2，当⊥时，可得PQ∥平面A1CM，所以3m﹣2＝0，即m＝．所以在线段A1N上存在点Q，且A1Q＝A1N．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且k PM•k PN＝﹣，求证：直线MN过定点．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得p的方程，求出p，即可得到抛物线的方程；（2）设M（，y1），N（，y2），由直线的斜率公式可得直线MN的斜率，再由k PM•k PN＝﹣，可得y1，y2的关系式，求得直线MN的方程，再确定定点即可．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，由抛物线的定义可得|PF|＝1+＝2，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，P（1，2）；（2）证明：设M（，y1），N（，y2），则k MN＝＝，所以k PM•k PN＝•＝＝﹣，所以y1y2+2（y1+y2）＝﹣36，即y1y2＝﹣2（y1+y2）﹣36，则直线MN的方程为y﹣y1＝（x﹣），所以y＝x+，所以y＝x﹣﹣2，即y+2＝（x﹣9），所以直线MN恒过定点（9，﹣2）．22．已知函数f（x）＝ax+lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点．证明：（ⅰ）x1+x2＞﹣；（ⅱ）x2﹣x1＞﹣．【分析】（1）求出f'（x），分a≥0和a＜0两种情况，利用导数的正负判断函数的单调性即可；（2）（i）将问题转化为证明，令t＝，设，转化为证明g（t）＞0，然后利用导数研究函数g（t）的单调性，确定g（t）的取值范围，即可证明结论；（ii）设h（x）＝，由导数确定h（x）的单调性，得到﹣a＝h（x）有两个不相等的实数根，确定a的取值范围且1＜x1＜e＜x2，lnx＜1﹣x对于x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，则对于x∈（0，1）恒成立，转化为，得到，结合（i）中的结论，即可证明．解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝ax+lnx，所以f'（x）＝，当a≥0时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，当0＜x＜时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，当x＞时，f'（x）＜0，则f'（x）单调递减．综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）证明：（i）原不等式等价于，因为﹣ax1＝lnx1①，﹣ax2＝lnx2②，由②﹣①，可得﹣a（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，故，则等价于，因为x2＞x1＞0，所以lnx2﹣lnx1＞0，即证明③，等价于证明，令t＝，设，即证明g（t）＞0，因为，则g（t）在（1，+∞）上单调递增，且g（t）＞g（1）＝0，因此x1+x2＞﹣；（ii）设h（x）＝，则h'（x）＝，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，因为﹣a＝h（x）有两个不相等的实数根，且h（e）＝，则且1＜x1＜e＜x2，因为lnx＜1﹣x对于x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，则对于x∈（0，1）恒成立，所以，因为x1＞0，所以，又因为a＜0，△＝4+4ae＞0，所以或，因为0＜x1＜e且，所以，因为，所以，所以．。

2021-2022学年贵州省毕节市高三（上）诊断性数学试卷（文科）（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =ln(1−2x)}，B ={x|y =√x +2}，则A ∩B =( )A. [−2,12)B. [−2,12]C. [0,12)D. [0,12]2. 若复数z 满足(1+i)2z =1−i(i 是虚数单位)，则z =( )A. −12+12iB. −12−12iC. 12−12iD. 12+12i3. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(1,−2)，c ⃗ =(x,−1)，若c ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )，则x =( )A. 1B. 2C. −2D. −14. 某商场为了解销售活动中某商品销售量y 与活动时间x 之间的关系，随机统计了某5次销售活动中的商品销传量与活动时间，并制作了如表：由表中数据，销售量y 与活动时间x 之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为y ̂=b ̂x +6.25，则b ^的值为( )A. 10.75B. 10.25C. 9.75D. 9.255. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S20212021=S 20202020+1且a 1=3，则( )A. a n =2n +1B. a n =n +1C. S n =2n 2+nD. S n =4n 2−n6. 函数f(x)=xlnx −2在x =1处的切线方程为( )A. 2x +y =0B. 2x −y −4=0C. x −y −3=0D. x +y +1=07. 已知函数f(x)=sin(2x +π6)，若将f(x)的图象向右平移π6个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则( )A. g(x)=sin(4x −π6) B. g(x)=sin4x C. g(x)=sinxD. g(x)=sin(x −π6)8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 36B. 24C. 12D. 69.我国古代的《易经》中有两类最基本的符号：“─”和“--”，其中“─”在二进制中记作“1”，“--”在二进制中记作“0”.如符号“”对应二进制数1100(2)，化为十进制数计算如下：1100(2)=1×23+1×22+0×21+0×20=12.若从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放，则得到的二进制数所对应的十进制数小于6的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 2310.酒驾是严近危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车，假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，他至少经过t小时才能驾驶机动车，则整数t的值为()(lg2≈0.301,lg3≈0.477)A. 14B. 15C. 16D. 1711.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A是C的左顶点，过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，O为坐标原点，且PO平分∠APM，则C的离心率为()A. 2B. √2C. 3D. √312.已知f(x)=m+√x−2，若存在实数a，b(a<b)，使得f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，则实数m的取值范围是()A. (74,+∞) B. [74,+∞) C. [74,2) D. (74,2]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列{a n}中，a5⋅a6⋅a7=8，a3=14，则公比q=______．14.已知M(x0,y0)是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，若点P(−1,0)满足MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，则x0的取值范围是______．15. 已知三棱锥P −ABC 中，PC ⊥平面ABC ，∠PBC =45°，PC =AC =2，AB =2√3，这个三棱锥的外接球的表面积为______．16. 函数y =f(x)的图象关于点M(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y =f(x +a)−b 为奇函数，给出下列四个结论： ①f(x)=x +3x−2−1图象的对称中心是(2,1)；②f(x)=x +3x−2−1图象的对称中心是(2,−1)；③类比可得函数y =f(x)的图象关于直线x =a 成轴对称图形的充要条件是y =f(x +a)为偶函数：④类比可得函数y =f(x)的图象关于直线x =a 成轴对称图形的充要条件是y =f(x −a)为偶函数．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，比知bcosC +√32c =a ，a =√3c.(1)求角C 的大小：(2)再从①acosB =32，②a +c =1+√3，③asinA =32，这三个条件任选一个作为已知条件，求△ABC 的面积．18. 2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽收了100人进行分析，得到下表(单位：人)：(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？(2)现从抽取的女性入群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“天文爱好者”的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．19.如图1，正方形ABCD中，DM=12MA=1，CN=12NB=1，将四边形CDMN沿MN折起到四边形PQMN的位置，使得∠QMA=60°(如图2)．(1)证明：平面MNPQ⊥平面ABPQ；(2)若E，F分别为AM，BN的中点，求三棱锥F−QEB的体积．20.已知F是椭圆C：x22+y2=1的右焦点，过点F作圆x2+y2=12的倾斜角为锐角的切线l，且l与C交于M，N两点．(1)求|MN|；(2)求过点M，N且与直线x=2相切的圆的圆心坐标．21.设函数f(x)=x−ae x(a∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)的极值：(Ⅱ)若f(x)≤ax在x∈[0,+∞)时恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2√3sinθ．(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程和参数方程；(2)设点A 的直角坐标为(0,2)，M 为C 上的动点，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．23. 已知函数f(x)=2|x +1|−|x −2|．(1)求不等式f(x)<1的解集；(2)对∀x ≥0，∃m ∈[12,2]，使得f(x)≥2m 2−am +1成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由1−2x>0得x<12，∴A={x|x<12}，由x+2≥0得x≥−2，∴B={x|x≥−2}，∴A∩B={x|−2≤x<12}，故选：A．先求出集合A，B，再利用并集运算的定义求解．本题主要考查了集合间的基本运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：z(1+i)2=1−i，∴2zi=1−i，∴−2z=i(1−i)=1+i，∴z=−12−12i，故选：B．根据复数的运算即可得结果．本题考查复数的运算，考查学生的运算能力，属于容易题．3.【答案】D【解析】解：由题意可得a⃗+2b⃗ =(3,−3)．又因为c⃗⊥(a⃗+2b⃗ )，所以有c⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=3x+(−1)×(−3)=0，解得x=−1，故选：D．先由a⃗,b⃗ 的坐标求得a⃗+2b⃗ 的坐标，再根据c⃗⊥(a⃗+2b⃗ )，可得c⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=0，代人坐标求解即可．本题考查向量垂直，数量积的坐标运算，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由表可得，x −=2+4+5+6+85=5，y −=25+40+60+70+805=55，∵线性回归方程为y ̂=b ̂x +6.25，∴55=b ̂×5+6.25，解得b ̂=9.75． 故选：C ．根据已知条件，求出x ，y 的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解． 本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S20212021=S 20202020+1且a 1=3，∴S 20212021−S 20202020=20202d −20192d =1，∴d =2，∴a n =3+(n −1)×2=2n +1.故A 正确，B 错误； S n =3n +n(n−1)2×2=n 2+2n ，故C ，D 错误．故选：A ．由等差数列前n 项和公式得S 20212021−S 20202020=20202d −20192d =1，从而d =2，由此能求出结果．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由f(x)=xlnx −2，得f′(x)=lnx +1， ∴f′(1)=lnx +1=1，又f(1)=−2，∴函数f(x)=xlnx−2在x=1处的切线方程为y+2=1×(x−1)，即x−y−3=0．故选：C．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再求出f(1)的值，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．7.【答案】D【解析】解：∵f(x)=sin(2x+π6)，∴将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得f(x−π6)=sin[2(x−π6)+π6]=sin(2x−π6)，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)=sin(x−π6)，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律解决即可．本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，熟练掌握其图象变化规律是解决问题的关键，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的三棱锥，且PA⊥底面ABC，如图所示；AC=6，PA=3，AB=5，BC=5，结合图中数据，计算该三棱锥的体积为V=13S△ABCℎ=13×12×6×4×3=12．故选：C．根据三视图知该几何体是三棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是中档题．9.【答案】B【解析】解：从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放，可组成的二进制数为1100(2)，1010(2)，0011(2)，0101(2)，0110(2)，1001(2)，共6个，1100(2)=12，1010(2)=1×23+0×22+1×21+0×20=10，0011(2)=0×23+0×22+1×21+1×20=3，0101(2)=0×23+1×22+0×21+1×20=5，0110(2)=0×23+1×22+1×21+0×20=6，1001(2)=1×23+0×22+0×21+1×20=9，所以小于6的数有2个，所以P=26=13．故选：B．可组成的二进制数为1100(2)，1010(2)，0011(2)，0101(2)，0110(2)，1001(2)，共6个，再将其分别转换为十进制数后，即可得解．本题考查古典概型，二进制与十进制的转换，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意得，100×(1−10%)t<20，即t>log0.90.2，即t>lg0.2lg0.9=lg2−12log3−1≈15.3，故整数t的值为16，故选：C．由题意得100×(1−10%)t<20，由指数与对数的互化知t>log0.90.2，从而利用换底公式求值．本题考查了指数运算及对数运算，同时考查了函数在实际问题中的应用，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：如图所示，取双曲线的渐近线y =ba x ，可得直线F 2P 的方程为：y =−ab (x −c)，联立{bx −ay =0ax +by −ac =0，解得P(a 2c ,ab c ). ∴直线AP 的方程为：y =abc −0a 2c−(−a)(x +a)，化为：bx −(a +c)y +ab =0．∵PO 平分∠APM ，∴点O 到直线PM ，PA 的距离相等， ∴a 2c=ab √b 2+(a+c)2，化为：c 2−ac −2a 2=0，即e 2−e −2=0， ∵e >1，解得e =2． 故选：A ．如图所示，取双曲线的渐近线y =ba x ，可得直线F 2P 的方程，联立解得P 坐标．根据PO 平分∠APM ，可得点O 到直线PM ，PA 的距离相等，即可得出离心率．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、角平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：函数f(x)=m +√x −2在定义域[2,+∞)上单调递增， 要使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，则{f(a)=m +√a −2=af(b)=m +√b −2=b，即{√a −2=a −m √b −2=b −m， ∴问题转化为函数y =√x −2与y =x −m 在[2,+∞)上有两个交点， 即方程x −m =√x −2在[2,+∞)上有两个根， 令√x −2=t ≥0，则x =t 2+2，则方程t 2+2−m =t(t ≥0)有两个根，即方程t 2−t +2=m(t ≥0)有两个根，令g(t)=t 2−t +2，t ≥0，则函数y =g(t)与y =m 在t ≥0时有两个交点， g(t)的对称轴为t =12，g(12)=14−12+2=74，g(0)=2，画出图像，如图所示，由函数y =g(x)的图形可得74<m ≤2， 即实数m 的取值范围是(74,2]， 故选：C ．先判断函数的单调性，根据定义域和值域列出方程组，由方程组将问题转化为两个函数的交点个数问题，再利用数形结合法即可求出m 的取值范围．本题主要考查了函数的定义域和值域，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，是中档题．13.【答案】2【解析】解：∵等比数列{a n }中，a 5⋅a 6⋅a 7=8，a 3=14， ∴{a 1q 4⋅a 1q 5⋅a 1q 6=8a 1q 2=14， 解得公比q =2． 故答案为：2．由等比数列通项公式列出方程组，能求出公比q ．本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】[0,√5−2)【解析】解：∵F 是抛物线y 2=4x 的焦点，∴F(1,0)． ∵MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，∴(1−x 0,−y 0)⋅(−1−x 0,−y 0)=x 02−1+y 02<0， 又y 02=4x 0， ∴x 02+4x 0−1<0，解得−2−√5<x0<√5−2，又x0≥0，∴0≤x0<√5−2，∴x0的取值范围是[0,√5−2)，故答案为：[0,√5−2)．利用数量积运算性质、抛物线的标准方程、不等式的解法即可得出．本题考查了数量积运算性质、抛物线的标准方程、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】20π【解析】解：根据题意，如图：PC⊥平面ABC，∠PBC=45°，PC=2，则CB=2，又由AC=2，AB=2√3，故△ABC为等腰三角形，且cos∠ACB=AC2+BC2−AB22AC⋅BC =−12，则∠ACB=120°，取AB的中点E，连接CE并延长到点D，使ED=CE，易得CE=12BC=1，则有DC=DA=DB=2，故D为△ABC的外心，过点D作DO//CP，使O与P在平面ABC的同侧，且OD=12PC=1，则有OP=OC=OB=OA=√1+4=√5，则O为三棱锥P−ABC的外接球的球心，且其外接球半径R=OP=√5，故其外接球的表面积S=4πR2=20π；故答案为：20π．根据题意，求解△ABC可得△ABC为等腰三角形，且∠ACB=120°，分析其外接圆圆心，进而可得三棱锥P−ABC的外接球的球心，求出其半径，由球的表面积公式计算可得答案．本题考查多面体外接球的表面积与体积，关键是确定球的球心，属于中档题．16.【答案】①③【解析】解：函数y=x+3x 是奇函数，对称中心为(0,0)，将y=x+3x图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位可得f(x)=x−2+3x−2+1=x+3x−2−1的图象，所以f(x)=x+3x−2−1图象的对称中心是(2,1)，故①正确，②错误，若函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形，图象向左平移|a|个单位长度可得y=f(x+a)关于x=0即y轴对称，所以y=f(x+a)为偶函数，故③正确，④错误，所以所有正确结论的序号是①③，故答案为：①③．根据y=x+3x 是奇函数，对称中心为(0,0)，由图象的平移变换可得f(x)=x+3x−2−1的对称中心，可判断①②，将y=f(x)的图象向左平移|a|个单位长度可得y=f(x+a)，可判断③④，进而可得正确答案．本题主要考查了函数图象的对称性，考查了函数图象的变换，是基础题．17.【答案】解：(1)由题可知，bcosC+√32c=a，由正弦定理得：sinBcosC+√32sinC=sinA，又因为在△ABC中，sinA=sin(B+C)，所以sinBcosC+√32sinC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，则√32sinC=cosBsinC，又sinC>0，所以cosB=√32，而0<B<π，所以B=π6．因为a=√3c，由正弦定理得sinA=√3sinC，则sin(B+C)=sin(π6+C)=√3sinC，所以12cosC+√32sinC=√3sinC，即cosC=√3sinC，所以tanC=sinCcosC =√33，而0<C<π，所以C=π6．(2)由(1)得B=π6，C=π6，则A=2π3，若选①，acosB=32，则acosπ6=√32a=32，解得：a=√3，由正弦定理asinA =bsinB，可得√3√32=b12，解得：b=1，所以△ABC的面积为：S=12absinC=12×√3×1×12=√34；若选②，a+c=1+√3，由正弦定理asinA =csinC，可得√32=c12，所以a=√3c，所以a+c=√3c+c=1+√3，解得：c=1，故a=√3，所以△ABC的面积为：S=12acsinB=12×√3×1×12=√34；若选③，asinA=32，则asin2π3=√32a=32，解得：a=√3，由正弦定理asinA =bsinB，可得√3√32=b12，解得b=1，所以△ABC的面积为：S=12absinC=12×√3×1×12=√34．【解析】(1)根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式进行化简可得出B=π6，由正弦定理、两角和的正弦公式以及同角三角函数关系可求出tanC=√33，从而可得出角C的大小；(2)由(1)得B=π6，C=π6，则A=2π3，若选①：可得出a=√3，再根据正弦定理求出b，最后根据三角形的面积公式S=12absinC即可求出△ABC的面积；若选②：先根据正弦定理求得a=√3c，结合条件即可求出a，c，最后根据S=12acsinB 即可求出△ABC的面积；若选③：可得出a=√3，再根据正弦定理求出b，最后根据三角形的面积公式S=12absinC即可求出△ABC的面积．本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)2×2列联表如下：∵K 2=100×(20×15−30×35)250×50×55×45≈9.091>7.879，∴能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关．(2)从抽取的女性入群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，则5人中“天文爱好者”为5×2020+30=2人，“非天文爱好者”为5×3020+30=3人 故其中至少有1人是“天文爱好者”的概率P =C 21C 31+C 22C 52=710．【解析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．(2)根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解． 本题主要考查独立性检验公式的应用，以及分层抽样的定义，属于基础题．19.【答案】(1)证明：因为在正方形ABCD 中，DM =12MA =1，CN =12NB =1，所以QM ⊥QP ，QM =1，AM =2， 又因为∠AMQ =60°，所以在△AMQ 中，由余弦定理得AQ 2=AM 2+QM 2−2AM ⋅QM ⋅cos∠AMQ =4+1−2×1×2×12=3，所以AQ 2+QM 2=AM 2， 所以AQ ⊥QM ， 又因为AQ ∩QP =Q ， AQ ，QP ⊂平面ABPQ ， 所以QM ⊥平面ABPQ ，又QM⊂平面MNPQ，所以平面MNPQ⊥平面ABPQ；(2)解：由(1)知，AQ⊥QM，QM⊥QP，因为在正方形ABCD中，DM=12MA=1，CN=12NB=1，所以四边形CDMN为矩形，所以MN⊥MQ，MN⊥DM，所以MN⊥MQ，MN⊥MA，因为MQ∩MA=M，MQ，MA⊂平面AMQ，所以MN⊥平面AMQ，因为MN⊂平面ABNM，所以平面ABNM⊥平面AMQ，过Q作QH⊥AM于H，则QH⊥平面ABNM，即QH⊥平面BEF，QH=QMsin60°=√32，所以V F−QEB=V Q−BEF=13⋅S△BEF⋅QH=13×(12×3×1)×√32=√34，即三棱锥F−QEB的体积为√34．【解析】(1)证明QM⊥AQ和QM⊥QP结合线面垂直、面面垂直的判定即可得证；(2)根据几何关系，利用等体积法，由锥体体积公式即可得解．本题考查了面面垂直的证明，三棱锥的体积的计算，属于中档题．20.【答案】解：(1)由椭圆C：x22+y2=1，可得半焦距c=√2−1=1，∴右焦点F(1,0)，设切线l的斜率为k>0，则l的方程为：y=k(x−1)，∴√k 2+1=√22，k >0，解得k =1．∴l 的方程为：y =x −1． 联立{y =x −1x 22+y 2=1，化为：3x 2−4x =0，解得x =0或43，由x =0，代入y =x −1，解得y =−1； 由x =43，代入y =x −1，解得y =13． 不妨设M(0,−1)，N(43,13). ∴|MN|=√(0−43)2+(−1−13)2=4√23．(2)由M(0,−1)，N(43,13)，可得线段MN 的中点Q(23,−13)， 设过点M ，N 且与直线x =2相切的圆的圆心坐标为(a,b)． 则−13−b23−a ×1=−1，√a 2+(b +1)2=|2−a|，联立解得：a =−2+2√63，b =3+2√63；a =−2+2√63，b =3−2√63． ∴圆心坐标为(−2+2√63,3+2√63)，(−2+2√63,3−2√63).【解析】(1)由椭圆C ：x 22+y 2=1，可得右焦点，设切线l 的斜率为k >0，可得l 的方程，根据圆的切线性质，可得斜率k.l 的方程与椭圆方程联立解得M ，N 坐标．利用两点间的距离公式可得即可得出|MN|．(2)由M(0,−1)，N(43,13)，可得线段MN 的中点Q(23,−13)，设过点M ，N 且与直线x =2相切的圆的圆心坐标为(a,b)，根据相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质即可得出圆心坐标．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、两点间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题可知f′(x)=1−ae x ，①当a ≤0，f′(x)≥0，f(x)在R 上单调递增，∴f(x)没有极值； ②当a >0，f′(x)=0时，x =ln 1a ．当x ∈(−∞,ln 1a )时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(ln 1a ,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； ∴f(x)在x =ln 1a 时取得极大值ln 1a −1，没有极小值﹒ 综上所述，当a ≤0时，f(x)无极值；当a >0时，f(x)有极大值ln 1a −1，无极小值； (Ⅱ)f(x)≤ax ⇒x ≤ax +ae x ⇒x ≤a(x +e x ) ∵x ∈[0,+∞)，∴a ⩾xx+e x ，令g(x)=xx+e x ,x ⩾0，则原问题⇔a ≥g(x)max ，x ∈[0,+∞)， ∵g′(x)=x+e x −x(1+e x )(x+e x )2=e x (1−x)(x+e x )2，1−x >0⇒x <1，∴x ∈[0,1)，g′(x)>0，g(x)单调递增；x ∈(1,+∞)，g′(x)<0，g(x)单调递减； ∴g(x)max =g(1)=11+e ，∴a ⩾11+e ﹒ ∴a 的取值范围为[11+e ,+∞)．【解析】(Ⅰ)求出f′(x)，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令f′(x)>0求得x 的范围，可得函数f(x)增区间，f′(x)<0求得x 的范围，可得函数f(x)的减区间；根据单调性即可求得f(x)的极值﹒(Ⅱ)参变分离，将问题转化为用导数求函数的最值问题﹒本题主要考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究不等式恒成立问题等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=2√3sinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2√3y ，整理得x 2+(y −√3)2=3， 转换为参数方程为{x =√3cosθy =√3+√3sinθ(θ为参数)；(2)设点A 的直角坐标为(0,2)，M 为C 上的动点，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设点P(x,y)， 根据AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −2)=√3⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3(√3cosθ,√3+√3sinθ−2)， 整理得{x =3cosθy =5−2√3+3sinθ(θ为参数)；故C 1的参数方程为{x =3cosθy =5−2√3+3sinθ(θ为参数)；圆心坐标为(0,5−2√3)，所以两圆心距为3√3−5，两圆的半径为√3和3， 故3√3−5<3−√3，故两圆相内含，故没有公共点．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用两圆的位置关系的应用判断有没有公共点．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两圆的位置关系的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)=2|x +1|−|x −2|={−x −4,x ≤−13x,−1<x <1x +4,x ≥1，∵f(x)<1， ∴{−x −4<1x ≤−1或{3x <1−1<x <1或{x +4<1x ≥1，解得−5<x ≤−1或−1<x <13， 即不等式的解集为{x|−5<x <13}；(2)∀x ≥0，f(x)={3x,0≤x <1x +4 ,x ≥1，为增函数，∴f(x)min =0，∵∃m ∈[12,2]，使得f(x)≥2m 2−am +1成立，∴∃m ∈[12,2]，使得2m 2−am +1≤0成立， ∴∃m ∈[12,2]，使得a ≥2m +1m ， 令y =2m +1m ，m ∈[12,2]，∵y =2m +1m ≥2√2，当且仅当m =√22时取等号，∴a ≥2√2，故a 的取值范围为[2√2,+∞)．【解析】(1)化绝对值函数为分段函数，再解不等式即可；(2)先求出函数f(x)的最小值，则原不等式转化为得a ≥2m +1m ，利用基本不等式求出2m+1的最小值即可．m本题考查了绝对值不等式的解法和存在性问题以及基本不等式的应用，属于中档题．第21页，共21页。

2021-2022学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合P＝{x|x＞﹣1}，集合Q＝{x|x2＜4}，则P∩Q＝（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|﹣2＜x＜﹣1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2} 2．已知集合M⊆{4，7，8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．“|x﹣1|＜1”是”log2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知p，q是两个命题，若（￢p）∨q是假命题，那么（）A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题D．p是假命题且q是假命题5．已知函数，则f（f（﹣3））等于（）A．1B．2C．3D．46．已知a＝π﹣2，b＝﹣log25，c＝log2，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c7．若函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2] 8．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足5f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈（0，1]时，f （x）＝log2（x+1），则f（2021）等于（）A．1B．﹣1C．0D．log2310．已知函数，且f（a2）+f（3a﹣4）＞2，则实数a的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．（﹣1，4）11．已知f（x）＝（x2+ax+b）•lnx，（a，b∈R），当x＞0时，f（x）≥0，则实数a的取值范围为（）A．﹣2≤a＜0B．a≥﹣1C．﹣1＜a≤0D．0≤a≤112．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A＝{x|2＜x≤11}，B＝{x|2x﹣a＞0}．若A⊆B，则实数a的取值范围为．14．若函数f（x）＝（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）＝log a（x+m）的单调增区间为．15．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么实数a的取值范围是．16．在下列命题中，正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．①函数的最小值为；②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），则f（x）一定为偶函数；③定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）+f（4）+f（7）＝0；④已知函数f（x）＝x﹣sin x，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣2＜x+1＜3}，集合B为整数集，令C＝A∩B．（1）求集合C；（2）若集合D＝{1，a}，C∪D＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，求实数a的值．18．函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）＝2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）已知命题p：m∈A，命题q：m∈B，若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）解关于x的不等式f（x）＜3．20．设二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1）．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）＝f（e x）在x∈[0，1]的最大值是1，求实数c的值．21．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．22．若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）•f（x2）＝1成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数g（x）＝2x是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域[m，n]（m，n∈N，且m＞1）上为“依赖函数”，求m+n的取值范围．（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的t∈R，有不等式f（x）≥﹣t2+（s﹣t）x+8都成立，求实数s的取值范围．参考答案一、选择题1．设集合P＝{x|x＞﹣1}，集合Q＝{x|x2＜4}，则P∩Q＝（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|﹣2＜x＜﹣1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}解：∵P＝{x|x＞﹣1}，Q＝{x|﹣2＜x＜2}，∴P∩Q＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：D．2．已知集合M⊆{4，7，8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个解：由题意：M＝∅，{7}，{4，7}，{7，8}，{4}，{8}，六个故选：D．3．“|x﹣1|＜1”是”log2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵|x﹣1|＜1⇒0＜x＜2．log2x＜1⇒0＜x＜2，∴“|x﹣1|＜1”是”log2x＜1”的充要条件．故选：C．4．已知p，q是两个命题，若（￢p）∨q是假命题，那么（）A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题D．p是假命题且q是假命题解：结合复合命题的真假关系，由（￢p）∨q是假命题可知￢p为假，q是假，故p真q假，故选：A．5．已知函数，则f（f（﹣3））等于（）A．1B．2C．3D．4解：∵函数，∴依题意得f（﹣3）＝1，f（f（﹣3））＝f（1）＝log2（3+1）＝2．故选：B．6．已知a＝π﹣2，b＝﹣log25，c＝log2，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 解：∵a＝π﹣2＝，∴0＜a＜1，∵b＝﹣log25＝log2，c＝log2，＜，∴log2＜log2，即b＜c＜0．∴a＞c＞b，故选：C．7．若函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]解：根据题意，函数y＝x2+2mx+1为开口向上的抛物线，对称轴为x＝﹣m，函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则﹣m≤2，解得m≥﹣2，即m的取值范围为[﹣2，+∞）；故选：A．8．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（x）＞0恒成立，排除C，D，当x＞0时，f（x）＝＝xe x，当x→0，f（x）→0，排除B，故选：A．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足5f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈（0，1]时，f （x）＝log2（x+1），则f（2021）等于（）A．1B．﹣1C．0D．log23解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（1﹣x）＝f（1+x），所以f（1+x）＝f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），则f（2+x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x+2）＝f（x），故f（x）的周期为4，则f（2021）＝f（505×4+1）＝f（1），而当x∈（0，1]时，f（x）＝log2（x+1），所以f（1）＝log2（1+1）＝1，则f（2021）＝1．故选：A．10．已知函数，且f（a2）+f（3a﹣4）＞2，则实数a的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．（﹣1，4）解：令g（x）＝，则f（x）＝g（x）+1，∵f（a2）+f（3a﹣4）＞2，∴g（a2）+g（3a﹣4）＞0，∵g（﹣x）＝＝﹣（），∴g（x）是R上的奇函数，∴g（a2）+g（3a﹣4）＞0可化为g（a2）＞g（4﹣3a），又∵g（x）＝＝1﹣+3x，g′（x）＝，所以g（x）在R上是增函数，∴a2＞4﹣3a，解得，a＜﹣4或a＞1，故选：B．11．已知f（x）＝（x2+ax+b）•lnx，（a，b∈R），当x＞0时，f（x）≥0，则实数a的取值范围为（）A．﹣2≤a＜0B．a≥﹣1C．﹣1＜a≤0D．0≤a≤1解：设g（x）＝x2+ax+b，h（x）＝lnx，则h（x）在（0，+∞）上为增函数，且h（1）＝0，若当x＞0时f（x）≥0，则满足当x＞1时，g（x）≥0，当0＜x＜1时，g（x）≤0，即g（x）必需过点（1，0）点，则g（1）＝1+a+b＝0，即b＝﹣1﹣a，此时函数g（x）与h（x）满足如图所示：此时g（x）＝x2+ax﹣1﹣a＝（x﹣1）[x+（a+1）]，则满足函数g（0）＝﹣a﹣1≤0，即a≥﹣1，故选：B．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）解：设m＝f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m＝f（x）有两个根，当m＜1时，m＝f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t＝0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t＝0有2个不同的实根，且m≥1或m＜1，当m＝1时，t＝﹣2，此时由m2+m﹣2＝0得m＝1或m＝﹣2，满足f（x）＝1有两个根，f（x）＝﹣2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）＝m2+m+t，则h（1）＜0即可，即1+1+t＜0，则t＜﹣2，综上t≤﹣2，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A＝{x|2＜x≤11}，B＝{x|2x﹣a＞0}．若A⊆B，则实数a的取值范围为（﹣∞，4]．解：由已知可得，因为A⊆B，所以，即a≤4，故答案为：（﹣∞，4]．14．若函数f（x）＝（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）＝log a（x+m）的单调增区间为（1，+∞）．解：∵函数f（x）＝（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），∴m+2＝1，且2α＝4，求得m＝﹣1，α＝2，可得f（x）＝x2，则函数g（x）＝log a（x+m）＝log2（x﹣1）的单调增区间为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．15．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么实数a的取值范围是[，）．解：∵f（x）是减函数，∴函数在（﹣∞，1）和[1，+∞）上都是减函数，且满足条件，得，得≤a＜，即实数a的取值范围是[，）．故答案为：[，）．16．在下列命题中，正确命题的序号为②③④（写出所有正确命题的序号）．①函数的最小值为；②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），则f（x）一定为偶函数；③定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）+f（4）+f（7）＝0；④已知函数f（x）＝x﹣sin x，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．解：①，函数f（x）＝x+（x＞0）中，当a≤0时，在f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，不存在最小值，故①错误；②，∵f（2﹣x）＝f（2+x），∴f（4﹣x）＝f（x），又f（x）为定义在R上周期为4的函数，∴f（x）＝f（4﹣x）＝f（﹣x），∴f（x）为偶函数，故②正确；③，∵定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，∴f（4）＝f（0）＝0；f（7）＝f（8﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1），∴f（1）+f（4）+f（7）＝f（1）+0﹣f（1）＝0，故③正确；④，∵f（x）＝x﹣sin x，∴f′（x）＝1﹣cos x≥0，∴f（x）＝x﹣sin x为R上的增函数，又f（﹣x）＝﹣x+sin x＝﹣（x﹣sin x）＝﹣f（x），∴f（x）＝x﹣sin x为R上的奇函数；∴若a+b＞0，即a＞﹣b时，f（a）＞f（﹣b＝﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0，故④正确．综上所述，正确的命题序号为：②③④．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣2＜x+1＜3}，集合B为整数集，令C＝A∩B．（1）求集合C；（2）若集合D＝{1，a}，C∪D＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，求实数a的值．解：（1）∵A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝Z，∴C＝A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}；（2）∵C＝{﹣2，﹣1，0，1}，D＝{1，a}，C∪D＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴a＝2．18．函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）＝2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）已知命题p：m∈A，命题q：m∈B，若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|（x﹣3）（x+1）＞0}＝{x|x＜﹣1，或x＞3}，B＝{y|y＝2x﹣a，x≤2}＝{y|﹣a＜y≤4﹣a}．（Ⅱ）∵¬p是¬q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴B⊆A，∴4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，∴a≤﹣3或a＞5，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（5，+∞）．19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）解关于x的不等式f（x）＜3．解：（1）由题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x，由f（x）是定义在R上的奇函数，得f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2+2x，且f（0）＝0，综上：．（2）（i）当x＞0时，﹣x2+2x＜3恒成立；（ii）当x＝0时，0＜3显然成立；（iii）当x＜0时，x2+2x＜3，即x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1，此时﹣3＜x＜0，综上x＞﹣3，综上：不等式的解集为（﹣3，+∞）．20．设二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1）．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）＝f（e x）在x∈[0，1]的最大值是1，求实数c的值．解：（1）根据题意，二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1），则二次函数f（x）开口向下，其对称轴为x＝1，则有﹣＝1，解可得a＝﹣1；（2）函数g（x）＝f（e x），设t＝e x，若x∈[0，1]，则1≤t≤e，函数g（x）＝f（e x）在x∈[0，1]的最大值是1，且∀x∈R，f（x）≤f（1）．则x＝0时，g（x）取得最大值1，即g（0）＝f（1）＝﹣1+2+c＝1，解可得c＝0；故c＝0，21．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．解：（1）函数y＝ka x（k＞0，a＞1）与在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y＝ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1）符合要求．根据题意可知x＝2时，y＝24；x＝3时，y＝36，∴，解得．故该函数模型的解析式为，1≤x≤12，x∈N*；（2）当x＝0时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是m2，由＞10•，得＞10，∴x＞＝≈5.9，∵x∈N*，∴x≥6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．22．若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）•f（x2）＝1成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数g（x）＝2x是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域[m，n]（m，n∈N，且m＞1）上为“依赖函数”，求m+n的取值范围．（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的t∈R，有不等式f（x）≥﹣t2+（s﹣t）x+8都成立，求实数s的取值范围．解：（1）对于函数g（x）＝2x的定义域R内任意的x1，取x2＝﹣x1，则g（x1）g（x2）＝1，且由g（x）＝2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g（x）＝2x是“依赖函数”；（2）因为m＞1，f（x）＝（x﹣1）2在[m，n]递增，故f（m）f（n）＝1，即（m﹣1）2•（n﹣1）2＝1，由n＞m＞1，得（m﹣1）（n﹣1）＝2，故n＝，故m+n＝m+＝m﹣1++2≥2+2＝2（+1），（当且仅当m＝1+时“＝”成立），故m+n的取值范围是[2（+1），+∞）；（3）因a＜，故f（x）＝（x﹣a）2在[，4]上单调递增，从而f（）•f（4）＝1，即（﹣a）2（4﹣a）2＝1，进而（﹣a）（4﹣a）＝1，解得a＝1或a＝（舍），从而存在x∈[，4]，使得对任意的t∈R，有不等式（x﹣1）2≥﹣t2+（s﹣t）x+8都成立，即t2+xt+x2﹣（2+s）x﹣7≥0恒成立，由△＝x2﹣4（x2﹣（2+s）x﹣7）≤0恒成立，故2+s≤（x﹣）max，x∈[，4]，由y＝x﹣在[，4]递增，故x＝4时，y取最大值，y的最大值是，故2+s≤，故s≤﹣，即s的取值范围是（﹣∞，﹣]．。

2021年高三上学期12月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题（每小题5分，共计50分）1．设i是虚数单位，复数( )A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若C R A⊆B，则实数a的取值范围是( ) A．（﹣∞，4] B．[0，4] C．（﹣∞，4）D．（0，4）3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a4．下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )A．[，]B．[﹣，﹣]C．[，3] D．[﹣3，﹣]6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．12 B．24 C．36 D．487．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )A．B．C．D．8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )A． B． C． D．10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）二、解答题（每小题5分共计25分）11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=__________．12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=__________．13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是__________．14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为__________．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．其中的真命题是__________．（写出所有真命题的编号）三、解答题：16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．17．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC 交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．（I）求证：AE∥平面BCF；（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．xx山东省潍坊市寿光五中高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共计50分）1．设i是虚数单位，复数( )A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===3﹣2i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若C R A⊆B，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，4]B．[0，4]C．（﹣∞，4）D．（0，4）【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】根据集合的补集关系进行求解即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣a≥0}={x|x2≥a}，∴C R A={x|x2≤a}，若a＜0，则C R A=∅，满足C R A⊆B，若a≥0，则C R A={x|x2＜a}={x|﹣＜x＜}，若C R A⊆B，则≤2，解得0≤a≤4，综上a≤4，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，注意分类讨论．3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5＞20=1，0＜b=log32＜log33=1，c=log20.1＜log21=0．∴c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．4．下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型；探究型；构造法；导数的概念及应用；简易逻辑．【分析】令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定，可判断④．【解答】解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正确；命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误；“命题p或q为真”时，“命题p且q为真”不一定成立，“命题p且q为真”时，“命题p或q为真”成立，故“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的必要不充分条件，故③错误；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故正确．其中正确结论的个数是2个，故选：B【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，四种命题，复合命题，函数的单调性，难度中档．5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )A．[，]B．[﹣，﹣]C．[，3] D．[﹣3，﹣]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：即直线x+my+1=0过定点D（﹣1，0）作出不等式组对应的平面区域如图：当m=0时，直线为x=﹣1，此时直线和平面区域没有公共点，故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程为y=x，斜率k=，要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1=0的斜率k＞0，即k=＞0，即m＜0，满足k CD≤k＜k AB，此时AB的斜率k AB=2，由解得，即C（2，1），CD的斜率k CD==，由，解得，即A（2，4），AD的斜率k AD==，即≤k≤，则≤≤，解得﹣3≤m≤﹣，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．12 B．24 C．36 D．48【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长4、3的矩形，高为3的棱锥，高所在棱垂直底面矩形的一个得到，所以棱锥的体积为：=12．故选：A．【点评】本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．7．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用0＜a＜1，判断a x，x＞0时的范围，以及x＜0时的范围，然后求解a x﹣1的范围，倒数的范围，即可判断函数的图象．【解答】解：因为0＜a＜1，x＞0时，0＜a x＜1，﹣1＜a x﹣1＜0，＜﹣1，x＜0时，a x＞1，a x﹣1＞0，＞0，观察函数的图象可知：B满足题意．故选：B．【点评】本题考查指数函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意函数的值域以及指数函数的性质．8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、诱导公式可得函数f（x）=sin2x，g（x）=sin2（x+），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由题意可得函数f（x）=•=（2sinxcosx）=sin2x，g（x）=2+2﹣=sin2x+1+4cos2x﹣=3cos2x﹣=cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）的图象向右平移个单位长度，可得f（x）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )A． B． C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．再由f （x0）=3求出sin（x0+ ）的值，可得cos（x0+ ）的值，再由两角差的正弦公式求得sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]的值．【解答】解：由函数的图象可得A=5，且=，解得ω=1再由五点法作图可得1•+φ=，解得φ=．故函数的解析式为f（x）=5sin（x+ ）．再由f （x0）=3，x0∈（，），可得5sin（1•x0+ ）=3，解得sin（x0+ ）=，故有cos（x0+ ）=﹣，sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]=sin（x0+ ）cos﹣cos（x0+ ）sin=﹣（﹣）=．故选A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，画出函数f（x）=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，3]上有三个零点，进行判断．【解答】解：函数f（x）=|lnx|的图象如图示：当a≤0时，显然，不合乎题意，当a＞0时，如图示，当x∈（0，1]时，存在一个零点，当x＞1时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx﹣ax，（x∈（1，3]）g′（x）==，若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，此时f（x）必须在[1，3]上有两个零点，∴解得，，在区间（0，3]上有三个零点时，，故选D．【点评】本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等．二、解答题（每小题5分共计25分）11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=﹣1．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】已知等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（α﹣）的值为1，由α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，即可求出tanα的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=1，∵α∈（0，π），∴α﹣=，即α=，则tanα=﹣1．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=（﹣4，7）．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，求出m的值，则2+3的答案可求．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，∴﹣2+2m=0，解得m=1，则2+3=2×（1，2）+3×（﹣2，1）=（﹣4，7）．故答案为：（﹣4，7）．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量的坐标运算，是基础题．13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是[log23，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，∴x≥log23，即函数的定义域为[log23，+∞），故答案为：[log23，+∞）【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由=，得=，由它们的侧面积相等，得=，由此能求出．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，∵=，∴=，∵它们的侧面积相等，∴=1，∴=，∴==（）2×=．故答案为：．【点评】本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．其中的真命题是①④．（写出所有真命题的编号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①利用命题的否定即可判断出；②由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，另一方面由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，即可判断出；③在△ABC中，A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，可得sinA＞sinB．④利用偶函数的性质即可得出．【解答】解：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”，正确；②a、b、c是空间中的三条直线，由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，因此“a⊥c且b⊥c”是a∥b的既不充分也不必要条件，因此②不正确；③在△ABC中，由A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，因此sinA＞sinB．可知逆命题为真命题，因此不正确；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），可知函数f（x）是偶函数．由当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．正确．综上可知：只有①④正确．故答案为：①④．【点评】本题综合考查了空间中的线线位置关系、三角形的边角关系、函数的奇偶性单调性、简易逻辑等基础知识与基本技能方法，属于基础题．三、解答题：16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f （x ）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，即ω=1，则f （x ）=sin （2x ﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2k π≤2x ﹣≤+2k π，k ∈Z ，得到﹣+k π≤x ≤k π+，k ∈Z ，则函数f （x ）的单调递增区间为[﹣+k π，k π+]，k ∈Z ；（Ⅱ）由f （C ）=0，得到f （C ）=sin （2C ﹣）﹣1=0，即sin （2x ﹣）=1，∴2C ﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA 代入得：b=3a ，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a 2﹣7=3a 2，解得：a=1，则b=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．17．已知数列{a n }前n 项和S n 满足：2S n +a n =1（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I ）利用递推式可得：．再利用等比数列的通项公式即可得出；（II ）由（I ）可得b n ==，；利用“裂项求和”即可得出数列{b n }的前n 项和为T n ，进而得到证明．【解答】（I ）解：∵2S n +a n =1，∴当n ≥2时，2S n ﹣1+a n ﹣1=1，∴2a n +a n ﹣a n ﹣1=0，化为．当n=1时，2a 1+a 1=1，∴a 1=．∴数列{a n }是等比数列，首项与公比都为．∴．（II ）证明：b n = ===，∴数列{b n }的前n 项和为T n =++…+=．∴T n ＜．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角函数的倍角公式和诱导公式化简函数f（x），然后直接由周期公式求周期；（2）通过函数的图象的平移求解函数g（x）的解析式为g（x）=，由x的范围求出的范围，从而求得函数g（x）的最值，并得到相应的x的值．【解答】解：（1）由，得==．∴f（x）的最小正周期为π；（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴=．∵x∈[0，）时，，∴当，即时，g（x）取得最大值2；当，即x=0时，g（x）取得最小值．【点评】本题考查了三角函数的倍角公式及诱导公式，考查了三角函数的图象平移，训练了三角函数的最值得求法，是中档题．19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC 交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．（I）求证：AE∥平面BCF；（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）利用正方形，平行四边形的性质可得AD∥BC，DE∥BF，可证平面ADE∥平面BCF，即可证明AE∥平面BCF…5分（Ⅱ）由已知可证AC2=AF2+CF2，由勾股定理可得CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，可得FO⊥BD，又AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AFC，结合EF∥BD，即可证明EF⊥CF，从而可证CF⊥平面AEF．【解答】证明：（I）∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF是平行四边形，∴AD∥BC，DE∥BF，∵AD∩DE=D，BC∩BF=B，∴平面ADE∥平面BCF，又∵AE⊂平面ADE，∴AE∥平面BCF…5分（Ⅱ）∵正方形ABCD边长为2，∴对角线AC=4，又∵O为GC中点，∴AO=3，OC=1又∵FO⊥平面ABCD，且FO=，∴AF2=AO2+OF2=9+3=12，CF2=OC2+OF2=1+3=4，又AC2=16，∴AC2=AF2+CF2，∴CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FO⊥BD又∵AC⊥BD∴BD⊥平面AFC，又∵EF∥BD，∴EF⊥平面AFC∴EF⊥CF，又EF∩AF=F∴CF⊥平面AEF…12分【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先对原函数求导数，然后通过解导数大于零或小于零的不等式得到原函数的单调区间；（2）先将原不等式归零化简，然后通过求函数的最值解决问题，只需利用导数研究函数的单调性即可，注意分类讨论．【解答】解：由题意可得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．（1）当m≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得．所以当m≤0时，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调减区间为（）．（2）因为在[1，+∞）上恒成立．即在[1，+∞）上恒成立，令g（x）=，则，（1）当，即时，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即g（x）≥0在[1，+∞）上不恒成立；（2）当，即时，若x＞1，则g′（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，即，故当x≥1时，f（x）恒成立．综上所述，所求的正实数m的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的思路，以及不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解的基本思想．21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（1）由题意知，，将代入化简得：（0≤x≤a）．…（2），当且仅当，即x=1时，上式取等号．…当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a＜1时，在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．…【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．。

南京市2021—2022学年第一学期12月六校联合调研试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．1．若复数z 满足 z －·i ＝2+i,其中i 为虚数单位，则z =A ．1+2iB ．1－2iC ．－1+2iD ．－1－2i2．记A ＝{x |log 2(x －1)<2}，A ∩N ＝B ，则B 的元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．53．已知cos θ＝13 ，则sin(2θ＋π2)＝A ．－79B ．79C ．23D ．－234．设a ，b 为非零向量，则“存在负数λ，使得a=λb ”是“a ·b <0”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和1名学生组成，若教师A 与学生B 要安排在同一地点，则不同的安排方案共有A ．72种B ．36种C ．24种D ．12种6．国务院新闻办公室8月12日发表《全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章》白皮书指出：2020年，全国万元国内生产总值二氧化碳排放较2005年下降48.4%，提前完成比2005年下降40%-45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：时）之间的函数关系为P =P 0·e －kt (k 为正常数，P 0为原污染物数量）.该工厂某次过滤废气时，若前3个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤 A ．6小时B ．3小时C ．1.5小时D ．59小时7．设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是椭圆E 准线上一点，∠F 1MF 2的最大值为60°，则椭圆E 的离心率为A ．2124B ． 32C ． 22D ．2848．已知a ＝sin 13，b ＝13，c ＝1π则A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7在这次射击中，下列说法正确的是 A ．甲成绩的极差比乙成绩的极差大B ．甲成绩的众数比乙成绩的众数大C ．甲的成绩没有乙的成绩稳定D ．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大10．已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x [1，＋∞)时，f (x )＝x 3，则 A ．f (0)＝0B ．对任意的正实数a ，都有f (a +4a )≥f (4)C ．f (1＋x )为偶函数D ．不等式f (x+1)<f (3)的解集为(-1,3)11．在平面直角坐标系中，三点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，7)，动点P 满足P A=2PB ，则 A ．点P 的轨迹方程为(x －3)2+y 2=8 B ．△PAB 面积最大时P A=26 C ．∠P AB 最大时，P A=26 D ．P 到直线AC 距离最小值为42512．在底面棱长为2侧棱长为23的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E 为AC 1的中点，BD →=λBC →(0≤λ≤1),则以下结论正确的是A ．当λ=12时，A 1D →=12AB →+ 12AC →－AA 1→ B ．当λ=12时，AB 1//平面A 1C 1DC ．存在λ使得DE ⊥平面A 1B 1CD ．四面体E －ABC 外接球的半径为153三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．已知(x ＋ay )3的展开式中含x 2y 项的系数为6．则实数a 的值为 ▲ ．14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为4，则a = ▲ ．15．若一个等差数列{a n }满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项，写出一个满足条件的数列的通项公式a n ＝ ▲ ． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3(tanA+tanB)=tanA cosB +tanB cosA ，则a +bc= ▲ ；c =4，D 为AB 的中点且CD =33 ，则△ABC 的面积为 ▲ ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的t (t ＞0)倍，得到y ＝g(x )的图象．若π4为函数y ＝g(x )的一个零点，求t 的最大值．Ox y 第17题2π3 5π618．（本题满分12分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．某农户计划于2021年初开始种植新型农作物．根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：该农作物亩产量（kg）9001200概率0.50.5该农作物市场价格（元/kg）3040概率0.40.6（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的收入为X元，求X的分布列；（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的收入超过30000元的概率．19.（本题满分12分）在①6S n=a n2+3a n－4；①a n=2a n-1－3n+5;两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项等差数列{a n}和等比数列{b n}，数列{a n}前n项和为S n，满足a2＝2b2－1．a3=b3＋2，_______.（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{a n}和{b n}中的所有项分别构成集合A，B，将A①B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c n}，求数列{c n}的前70项和.20．（本题满分12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值为33，求三棱锥M﹣ACB体积．21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝4x，点M(a，0) (a＞0)，直线l过点M且与抛物线C相交于A，B两点．（1）若a＝2，直线l的斜率为2，求AB的长；第20题（2）在x 轴上是否存在异于点M 的点N ，对任意的直线l ，都满足AN BN ＝AMBM ? 若存在，指出点N 的位置并证明，若不存在请说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x +a +b sin x －1的图象在原点处的切线方程为y =2x ． (1)求函数y ＝f (x )的解析式． (2)证明：f (x )≥2x ．。