2014高考一轮复习平面解析几何专题一-理

FEDCBA 2014年高考数学试题汇编 平面几何选讲一．选择题1 (2014天津)如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBF Ð；②2FB FD FA = ；③AE CE BE DE ? ；④AF BDAB BF ? .则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 【答案】D 【解析】由弦切角定理得FBDEAC BAE ?? ，又BFD AFB ? ，所以BFD D ∽AFB D ，所以BF BDAF AB=，即AF BD AB BF ? ，排除A 、C .又FBD EAC DBC ?? ，排除B .二．填空题1.(2014重庆)过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PB ，PC 分别交圆于B ，C ，若6=PA ，AC =8，BC =9，则AB =________.【答案】4【解析】.4AB ∴4AB 3,PB ,8B6B 9PB 6∴CA B PA B PC A ΔPCA AB Δ=====+==所以相似，与A P A P P P 2(2014湖北)（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB.3 (2014湖南)，已知AB，BC是O的两条弦，AO BC⊥，AB=BC=则O的半径等于________.【答案】3 24 (2014陕西)（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与 5. (2014广东)（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三．解答题1. (2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE .(Ⅰ)证明：∠D=∠E ；（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形.【解析】：.(Ⅰ) 由题设知得A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠D=∠CBE ，由已知得，∠CBE=∠E , 所以∠D=∠……………5分（Ⅱ）设BCN 中点为，连接MN,则由MB=知M N ⊥所以O 在MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故O M ⊥AD ， 即MN ⊥AD ，所以AD//BC,故∠A=∠CBE ， 又∠CBE=∠E ，故∠A=∠由(Ⅰ)（1）知∠D=∠E ， 所以△ADE 为等边三角形． ……………10分2. (2014新课标II)（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB【答案】 (1) 无（2）无（1）EC.BE BE ∠CE ∠BE ∠αBE,∠βαβBE ∠∠DEB ∠PDA ∠∠∠∠∠.AE ∠CE ,∠EB ∠,,,2===+=+∴+===+=+====∠Δ=∴==，所以，即即则连接为等腰三角形。

2014高考数学 解析几何 李远敬1（新课标10.）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 2.（湖北9.）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A.433 B.233C.3D.2 3.（安徽14）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________4.（山东（10））已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为 （A ）20x y ±=（B ）20x y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=5.（天津6）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x6.（新课标2。

10.）设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A. 334B.938 C. 6332 D. 947.（湖北21）（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C.(1)求轨迹为C 的方程(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。

2014年全国高考理科数学试题选编十.平面解析几何试题一.选择题和填空题1.全国课标Ⅰ.4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )． AB ．3 CD ．3m2.全国课标Ⅰ.10．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若4FP FQ =，则|QF |＝( )． A ．72 B ．3 C ．52D ．2 3.(4课标全国Ⅱ.10)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )．ABC ．6332D ．944.(大纲全国.6)已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为3，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B的周长为C 的方程为( )．A ．22=132x y +B ．22=13x y + C ．22=1128x y + D ．22=1124x y + 5.（大纲全国.9)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |， 则cos ∠AF 2F 1＝( )．A ．14 B ．13 CD6.(天津.5)已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )．A ．221520x y -= B ．221205x y -= C ．2233125100x y -= D ．2233110025x y -= 7.(福建9)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和 椭圆22+110xy =上的点，则P ，Q 两点间的 最大距离是( )．A．BC．D．8.(湖北9)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π=3F PF ∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )． A．3 B．3C ．3D ．2 9.(广东4)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线22=1259x y k --与曲线22=1259x y k --的( )． A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等10.(江西9)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是 x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )． A ．4π5 B ．3π4 C．(6π- D ．5π411. (辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )． A ．12 B ．23 C ．34 D ．4312.(山东10)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为22221x y a b +=，双曲线C 2的方程为22221x y a b-=，C 1与C 2的离心率之积为2，则C 2的渐近线方程为( )．A．0x = B0y ±= C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝013.(四川10)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点)，则△ABO与△AFO 面积之和的最小值是( )．A ．2B ．3 C．8D14. (重庆8)设F 1，F 2分别为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则 该双曲线的离心率为( )． A ．43 B ．53 C ．94D ．3 15.(大纲全国.15)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.（陕西.12)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为__．解析：因为(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，所以圆C是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x2＋(y－1)2＝1.17.（全国课标Ⅱ.16)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是__________．18.(湖北12)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.19.(重庆13)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝__________.20.（北京.11)设双曲线C经过点(2,2)，且与2214yx-=具有相同渐近线，则C的方程为__________；渐近线方程为__________．21.（安徽.14)设F1，F2分别是椭圆E：222=1yxb+(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________．22.(江西15)过点M(1,1)作斜率为12-的直线与椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于__________．23.(辽宁15)已知椭圆C：22194x y+=，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__________.24.(湖南15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则ba＝__________.25.(四川14)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是__________．26.(浙江16)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|P A|＝|PB|，则该双曲线的离心率是__________．二.解答题1.(课标全国Ⅰ.20满分12分)已知点A(0，－2)，椭圆E：22221x ya b+=(a＞b＞0)F是椭圆E的右焦点，直线AF，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．2. (课标全国Ⅱ.20满分12分)设F1，F2分别是椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.3. (大纲全国21满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且54Q F P Q=.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．4. (陕西20满分13分)如图，曲线C由上半椭圆C1：22221y xa b+=(a＞b＞0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．5. (北京19满分14分)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与 圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．6. (天津18满分13分)设椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F，F 2，右顶点为A ，上 顶点为B .已知12AB F .(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．7. (安徽19满分13分)如图，已知两条抛物线 E 1：y 2＝2p 1x (p 1＞0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2＞0)， 过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求12S S 的值． 8. (福建19满分13分)已知双曲线E ：22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．9. (湖北21满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程．(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．10. (湖南21满分13分)如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：22221x y a b-=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：22221x ya b-=的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知122e e =，且241F F =.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值． 11. (浙江21满分15分)如图，设椭圆C ：2222=1x ya b+(a ＞b ＞0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直， 证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b . 12. (广东20满分14分)已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的一个焦点为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．13. (江西20满分13分)如图，已知双曲线C ：2221x y a-=(a ＞0)的右焦点为F ，点A ，B分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴， AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l 1：0021x xy y a -=与直线AF 相交于点M ， 与直线32x =相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，||||MF NF 恒为定值，并求此定值．14. (辽宁20满分12分)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：22221x y a b-=过点P(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．15. (山东21满分14分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标； ②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．16. (四川20满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3 上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于 点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标． 17. (重庆21满分12分)如图，设椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，121||||F F DF =△DF 1F 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．十.平面解析几何试题解析一.选择题和填空题1.全国课标Ⅰ.4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )． AB ．3 CD ．3m解析：由题意，可得双曲线C为22=1 33x ym-，则双曲线的半焦距c.不妨取右焦点)，其渐近线方程为y x=，即0x=.所以由点到直线的距离公式得d==故选A.2.全国课标Ⅰ.10．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若4FP FQ=，则|QF|＝()．A．72B．3 C．52D．2解析：如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p＝|FM|＝4.过Q作QH⊥l于H，则|QH|＝|QF|.由题意，得△PHQ∽△PMF，则有||||3||||4HQ PQMF PF==，∴|HQ|＝3.∴|QF|＝3.3.(4课标全国Ⅱ.10)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()．ABC．6332D．94解析：由已知得3,04F⎛⎫⎪⎝⎭，故直线AB的方程为3tan 304y x⎛⎫=︒-⎪⎝⎭，即y x=.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立23,y xy x⎧=⎪⎨⎪=⎩①②将①代入②并整理得21733216x x-+=，∴12212x x+=，∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝21322+＝12.又原点(0,0)到直线AB的距离为38d==.∴1139||122284OABS AB d∆==⨯⨯=.4.(大纲全国.6)已知椭圆C：2222=1x ya b+(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为3，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为C的方程为()．A．22=132x y+B．22=13xy+C．22=1128x y+D．22=1124x y+解析：∵2222=1x ya b+(a＞b＞0)，∴ca=又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为∴4a=，∴a=∴b=22=132x y+，选A.5.（大纲全国.9)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()．A．14B．13C．4D．3解析：∵双曲线的离心率为2，∴2ca=，∴a∶b∶c＝1 2.又∵121222AF AF aF A F A⎧-=⎪⎨=⎪⎩，，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ， ∴|F 1F 2|＝2c ＝4a ，41422161642cos 222212212212212=⨯⨯-+=-+=∠∴a a a a a F F AF AF F F AF F AF 6.(天津.5)已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )．A ．221520x y -= B ．221205x y -= C ．2233125100x y -= D ．2233110025x y -= 解析：由于双曲线焦点在x 轴上，且其中一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，所以c ＝5.又因为一条渐近线与l 平行，因此2ba=，可解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线方程为221520x y -=，故选A ．7.(福建9)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆22+110x y =上的点，则P ，Q 两点间的 最大距离是( )．A．BC．D．解析：设Q (x ，y )，则该点到圆心的距离22210(1)691246d y y y y =-+(-)=--+226x y =+(-)=y ∈[－1,1]，∴当122293y -=-=-⨯(-)时，max d =∴圆上点P 和椭圆上点Q的距离的最大值为max d r +==故选D.8.(湖北9)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π=3F PF ∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )．ABC ．3D ．2 解析：设椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c .由余弦定理4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|πcos3. 而|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2可得222123=4a a c +.令a 1＝2c cos θ，2 a θ，即122cos a a c c θθ+=+＝2cos θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1sin 2θθ⎫+⎪⎪⎝⎭π3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.，故选A. 9.(广东4)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线22=1259x y k --与曲线22=1259x y k --的( )． A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等解析：因为0＜k ＜9，所以方程22=1259x y k--与22=1259x y k --均表示焦点在x 轴上的双曲线．双曲线22=1x y k --中，其实轴长为10，虚轴长为=22=1259x y k --中，其实轴长为，虚轴长为6，焦距为=.因此两曲线的焦距相等，故选A.10.(江西9)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是 x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )． A ．4π5 B ．3π4 C ．(6π- D ．5π4解析：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB的中点，且圆C过原点(0,0)，∵圆C与直线2x＋y－4＝0相切，∴圆C的圆心M到原点(0,0)的距离等于M点到直线2x＋y－4＝0的距离．由抛物线的定义可知，圆C的圆心M的轨迹是以(0,0)为焦点，2x＋y－4＝0为准线的抛物线．如图所示．要使圆C面积最小，则需找出圆C半径的最小值．由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x＋y－4＝0的距离的一半．因此，圆C半径的最小值为min125r==.故圆C面积的最小值为22min4πππ55r⎛=⨯=⎝⎭.11. (辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()．A．12B．23C．34D．43解析：由题意可知准线方程x＝2p-＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.由已知易得过点A与抛物线y2＝8x相切的直线斜率存在，设为k，且k＞0，则可得切线方程为y－3＝k(x＋2)．联立方程23=2,=8,y k xy x-(+)⎧⎨⎩消去x得ky2－8y＋24＋16k＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k(24＋16k)＝0，解得12k=或k＝－2(舍去)，代入(*)解得y＝8，把y＝8代入y2＝8x，得x＝8，即切点B的坐标为(8,8)，又焦点F为(2,0)，故直线BF的斜率为43.12.(山东10)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为22221x ya b+=，双曲线C2的方程为22221x ya b-=，C1与C2C2的渐近线方程为()．A．0x=By±=C．x±2y＝0 D．2x±y＝0解析：由题意，知椭圆C1的离心率1e=，双曲线C2的离心率为2e=因为12e e⋅=，=即2222434a b a ba(-)(+)=，整理可得a=.又双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，所以0bx=，即0x=.13.(四川10)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB⋅=(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()．A．2 B．3 C．8D解析：设AB所在直线方程为x＝my＋t.由2,,x my ty x=+⎧⎨=⎩消去x，得y2－my－t＝0.设211(,)A y y，222(,)B y y(不妨令y1＞0，y2＜0)，故2212y y m+=，y1y2＝－t.而2212122OA OB y y y y⋅=+=.解得y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)．所以－t＝－2，即t＝2.所以直线AB过定点M(2,0)．而S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝12|OM||y1－y2|＝y1－y2，1111111||2248AFOS OF y y y∆=⨯=⨯=，故S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋118y＝198y－y2.由121299()388y y y y-=≥+-，得S△ABO＋S△AFO的最小值为3，故选B.14. (重庆8)设F 1，F 2分别为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则 该双曲线的离心率为( )． A ．43 B ．53 C ．94D ．3 解析：根据双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝2a ， 可得|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2.而由已知可得|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝9b 2， 两式作差可得－4|PF 1||PF 2|＝4a 2－9b 2.又|PF 1||PF 2|＝94ab ，所以有4a 2＋9ab －9b 2＝0， 即(4a －3b )(a ＋3b )＝0，得4a ＝3b ， 平方得16a 2＝9b 2，即16a 2＝9(c 2－a 2)，即25a 2＝9c 2，22259c a =，所以53e =，故选B.15.(大纲全国.15)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．解析：如图所示，设l 1与圆O ：x 2＋y 2＝2相切于点B ，l与圆O ：x 2＋y2＝2相切于点C，则OB =，OA =AB =∴1tan 2OB AB α===. ∴2122tan 42tan tan 211tan 314BAC ααα⨯∠====--.16.（陕西.12)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为__． 解析：因为(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆C 是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋(y －1)2＝1.17.（全国课标Ⅱ.16)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是__________．解析：如图所示，设点A (0,1)关于直线OM 的对称点为P ，则点P 在圆O 上， 且MP 与圆O 相切，而点M 在直线y ＝1上运动，由圆上存在点N 使∠OMN ＝45°，则∠OMN ≤∠OMP ＝∠OMA ， ∴∠OMA ≥45°，∴∠AOM ≤45°. 当∠AOM ＝45°时，x 0＝±1.∴结合图象知，当∠AOM ≤45°时，－1≤x 0≤1， ∴x 0的范围为[－1,1]．18.(湖北12)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单 位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧， 则a 2＋b 2＝________.解析：由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，=cos 452=︒=， 所以a ＝b ＝1，故a 2＋b 2＝2.19.(重庆13)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的 圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点， 且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝__________. 解析：由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ==a 2－8a ＋1＝0，可求得4a =20.（北京.11)设双曲线C 经过点(2,2)，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程 为__________；渐近线方程为__________．解析：双曲线2214y x -=的渐近线方程为 y ＝±2x .设与双曲线2214y x -=有共同渐近线的方程 为224y x λ-=， 又(2,2)在双曲线上，故2222=4λ-， 解得λ＝－3.故所求双曲线方程为2234y x -=-， 即22=1312x y -. 所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .21.（安徽.14)设F 1，F 2分别是椭圆E ：222=1y x b+(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆 E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴， 则椭圆E 的方程为__________．解析：设B 在x 轴上的射影为B 0，由题意得，011212||||33c B F F F ==，得B 0坐标为5,03c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即B 点横坐标为53c-.设直线AB 的斜率为k ，又直线过点F 1(－c,0)，∴直线AB 的方程为y ＝k (x ＋c )．由222(),1y k x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(k 2＋b 2)x 2＋2ck 2x ＋k 2c 2－b 2＝0，其两根为53c-和c ，由韦达定理得2222222252,35,3ck c c k b k c b c c k b ⎧--+=⎪⎪+⎨-⎪-⨯=⎪+⎩解之，得213c =， ∴b 2＝1－223c =.∴椭圆方程为22312x y +=.22.(江西15)过点M (1,1)作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率 等于__________．解析：由题意可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则可得2211222222221(0),1(0).x y a b a b x y a b a b ⎧+=>>⎪⎪⎨⎪+=>>⎪⎩①②①－②，并整理得1212221212x x y ya y yb x x +-=(+)(-).(*) ∵M 是线段AB 的中点，且过点M (1,1)的直线斜率为12-， ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，121212y y k x x -==--.∴(*)式可化为22112a b=， 即a 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2，即2212c a =.∴2c e a ==.23.(辽宁15)已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上， 则|AN |＋|BN |＝__________.解析：如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN |＝2|PF 1|.同理可得可知|BN |＝2|PF 2|． ∴|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|AN |＋|BN |＝12.24.(湖南15)如图，正方形ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为 AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba＝__________.解析：由题意，知,2a C a ⎛⎫-⎪⎝⎭，,2a F b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.又C ，F 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，所以222,22(),2a a p ab p b ⎧=⨯⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①②由②÷①，得222b b aa a+=，即b 2－2ba －a 2＝0，解得1ba =±负值舍去)．故1ba=±25.(四川14)设m ∈R ，过定点A 的动直线 x ＋my ＝0和过定点B 的动直线 mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )， 则|P A |·|PB |的最大值是__________．解析：由题意可知点A 为(0,0)，点B 为(1,3)．又∵直线x ＋my ＝0的斜率11k m=-，直线mx －y －m ＋3＝0的斜率k 2＝m ，∴k 1k 2＝－1. ∴两条动直线互相垂直．又∵圆的性质可知，动点P (x ，y )的轨迹是圆，∴圆的直径为AB ==.∴222||||||=522PA PB AB PA PB +⋅≤=. 当且仅当|P A |＝|PB |∴|P A |·|PB |的最大值是5.26.(浙江16)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分 别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |， 则该双曲线的离心率是__________．解析：由双曲线方程可知，它的渐近线方程为b y x a =与by x a=-，它们分别与x －3y ＋m ＝0联立方程组，解得33am bm A a b a b --⎛⎫⎪--⎝⎭，，33am bm B a b a b -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. 由|P A |＝|PB |知，可设AB 的中点为Q ，则333322am am bm bm a b a b a b a b Q ---⎛⎫++ ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭，， 由PQ ⊥AB ，得k PQ ·k AB ＝－1， 解得2a 2＝8b 2＝8(c 2－a 2)，即225=4c a .故c a 二.解答题1.(课标全国Ⅰ.20满分12分)已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，F 是椭圆E 的右焦点，直线AFO 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．分析：(1)由过A (0，－2)，F (c,0)的直线AF 的或过两点的直线斜率公式可求c ，再由c e a ==，可求a ，由b 2＝a 2－c 2可求b 2，则椭圆E 的方程可求．(2)由题意知动直线l 的斜率存在，故可设其斜 率为k ，写出直线方程，并与椭圆方程联立， 消去y ，整理成关于x 的一元二次方程， 利用弦长公式求出弦PQ 的长|PQ |，利用点到直线的公式求出点O 到直线PQ 的 距离d ，则由12OPQ S PQ d ∆=⋅， 可将S △OPQ 表示成关于k 的函数，转化为求函数f (k )的最大值问题．注意k 应使得一元二次方程的判别式大于0.解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c =得c =又2c a =，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为2214x y +=. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入2214x y +=， 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即234k >时，1,22841k x k ±=+. 从而12241PQ x k =-=+. 又点O 到直线PQ的距离d =，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d PQ ⋅＝241k +t =，则t ＞0，24444OPQ t S t t t∆==++. 因为44t t +≥，当且仅当t ＝2，即k =时等号成立，且满足Δ＞0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为2y x =-或2y x =-.2. (课标全国Ⅱ.20满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2， 且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .分析：在第(1)问中，根据椭圆中a ，b ，c 的关系及题目给出的条件可知点M 的坐标，从而由斜率条件得出a ，c 的关系，再利用离心率公式可求得离心率，注意离心率的取值范围；在第(2)问中，根据题目条件，O 是F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，可得a ，b 之间的一个关系式，再根据条件|MN |＝5|F 1N |，可得|DF 1|与|F 1N |的关系，然后可求出点N 的坐标，代入C 的方程，可得a ，b ，c 的另一关系式，最后利用a ，b ，c 的关系式可求得结论．解：(1)根据c =2,b Mc a⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得12c a =，2ca=- (舍去)． 故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故24b a=， 即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |， 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则112,22,c x c y (--)=⎧⎨-=⎩即113,21,x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入C 的方程，得2229114c a b+=.②将①及c =22941144a a a a(-)+=. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b =3. (大纲全国21满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54Q F P Q =.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程． 分析：(1)设出Q 点坐标，利用54QF PQ =列出关于p 的方程，借助于p 的几何意义及抛物线的性质确定p .(2)通过题设分析判断直线l 与x 轴不垂直．因直线l 过F (1,0)，可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 直线l 与抛物线方程联立，利用韦达定理得到 y 1＋y 2，y 1y 2关于m 的表达式，借助弦长公式得12|||AB y y =-(其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))，同理可得34|||MN y y =-(其中M (x 3，y 3)， N (x 4，y 4))．由题目中的A ，M ，B ，N 四点在同一圆上得到关于m 的方程，进而求出m ，得到直线l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得08x p=. 所以8||PQ p =，08||22p p QF x p =+=+.由题设得85824p p p+=⨯，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ， y 1y 2＝－4.故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，212|||4(1)AB y y m =-=+．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为2123x y m m=-++. 将上式代入y 2＝4x ， 并整理得2244(23)0y y m m+-+=. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则344y y m+=-， y 3y 4＝－4(2m 2＋3)． 故MN 的中点为222223,E m m m ⎛⎫++-⎪⎝⎭，34|||MN y y =-=由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211||||||44AB DE MN +=，即2222222242241214(1)22m m m m m m m (+)(+)⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 4. (陕西20满分13分)如图，曲线C 由上半椭圆C 1：22221y x a b+=(a ＞b ＞0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2 的公共点为A ，B ，其中C 1(1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程． 分析：在第(1)问中，利用公共点A ，B 是椭圆的两个顶点，可求出b 的值，再结合离心率c e a=的值，以及a 2－c 2＝b 2关系式可求得a 的值． 对于第(2)问，结合第(1)问结论，可先设出直线 l 的方程，l 与C 1联立得出P 的坐标，l 与C 2 联立得出Q 的坐标，进而利用AP ⊥AQ ，借助于0AP AQ ⋅=或k AP ·k AQ ＝－1，可列出关于k 的方程，从而求解得出k 值，故可求得直线方程．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1,0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左右顶点． 设C 1的半焦距为c ，由c a =及a 2－c 2＝b 2＝1 得a ＝2.∴a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为22+=14y x (y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方 程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得2244P k x k -=+，从而284P ky k -=+，∴点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 同理，由2(1)(0),1(0),y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴224kAP k =+ (k ，－4)， AQ ＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴0AP AQ ⋅=，即222[4(2)]04k k k k --+=+， ∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0， 解得83k =-.经检验，83k =-符合题意， 故直线l 的方程为8(1)3y x =--．5. (北京19满分14分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与 圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论． 分析：(1)先把方程化为标准方程，分别求出 a ，c ，即可求得离心率e ；(2)分别设出A ，B 两点的坐标，先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系，然后根据A ，B 两点横坐标是否相等分类，分别求出原点O 到直线AB 的距离，将其与置关系．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为22=142x y +. 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c =故椭圆C的离心率2c e a ==. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t,2)， 其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以0OA OB ⋅=，即tx 0＋2y 0＝0，解得002yt x =-.当x 0＝t 时，202t y =-，代入椭圆C 的方程，得t =故直线AB的方程为x =圆心O 到直线AB的距离d ，此时直线AB与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为0022=y y x t---(x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d =.又2200+24x y =，00t x =-，故d 此时直线AB 与圆x ＋y 2＝2相切．6. (天津18满分13分)设椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F，F 2，右顶点为A ，上 顶点为B .已知12AB F .(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．分析：(1)由题知A (a,0)，B (0，b )，|F 1F 2|＝2c ，因此可由已知条件结合b 2＝a 2－c 2，求出离心率． (2)由(1)可设出只含一个参数c 的椭圆标准方程，设出P 点坐标．由以PB 为直径的圆过F 1知PF 1⊥BF 1，得P 点坐标关系．由P 点在椭圆上，得P 点坐标另一关系，由此确定P 点坐标．再根据过原点的直线l 与圆相切，列出斜率k 的方程，即可求出k 值．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由12||||AB F F ，可得a 2＋b 2＝3c 2， 又b 2＝a 2－c 2，则221=2c a .所以椭圆的离心率e =.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为2222=12x y c c+.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )，有100=()F P x c y +，，1=()F B c c ， 由已知，有11=0F P F B ⋅，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①又因为点P 在椭圆上，故220022=12x y c c+. ② 由①和②可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得0=3c y ，即点P 的坐标为433c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则1423==23c x c -+-，12323c cy c +==，进而圆的半径 r ==.设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的 方程为y ＝kx . 由lr ，3， 整理得k 2－8k ＋1＝0，解得4k =所以，直线l 的斜率为4或47. (安徽19满分13分)如图，已知两条抛物线 E 1：y 2＝2p 1x (p 1＞0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2＞0)， 过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求12S S 的值． 分析：(1)先将直线l 1，l 2的方程设出来，再分别与抛物线y 2＝2p 1x 和y 2＝2p 2x 联立求出A 1与A 2的坐标，同理再求得B 1，B 2的坐标，利用向量这一工具，把11A B 与22A B 的坐标求出，由向量共线(平行)条件知A 1B 1∥A 2B 2. (2)由(1)中的结论，得出B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2，进而得出△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，以及△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方从而求解．(1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为 y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由121,2,y k x y p x =⎧⎨=⎩得11121122,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由122,2,y k x y p x =⎧⎨=⎩得22221122,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭.同理可得11122222,p p B k k ⎛⎫⎪⎝⎭，22222222,p p B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以111112122222121212122221111,2,p p p p A B p k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.222222222222121212122221111,2,p p p p A B p k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故111222p A B A B p =， 所以A 1B 1∥A 2B 2. (2)解：由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2.所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2. 因此2111222||||S A B S A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 又由(1)中的111222p A B A B p =知111222||||A B p p A B =. 故211222S p S p =. 8. (福建19满分13分)已知双曲线E ：22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．分析：在第(1)问中，已知渐近线方程，即a 与b 的关系，再结合双曲线本身a ，b ，c 的关系及离心率ce a=，便可求得离心率． (2)首先根据渐近线方程设双曲线方程，然后根据动直线l 的斜率是否存在进行分类讨论．显然斜率不存在时，由直线l 和双曲线有且只有一个公共点可知其方程为x ＝a ，此时只需检验△OAB 的面积是否为8即可；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，首先由△OAB 的面积为8求出k ，m 的关系式，然后根据直线和圆锥曲线有且只有一个公共点，利用判别式的符号判断其存在性．解法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ， 所以2ba=， 所以2=，故c =，从而双曲线E 的离心率ce a==. (2)由(1)知，双曲线E 的方程为222214x y a a -=.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，又因为△OAB 的面积为8，所以1||||82OC AB ⋅=，因此1482a a ⋅=，解得a ＝2， 此时双曲线E 的方程为221416x y -=. 若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为221416x y -=.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k ＞2或k ＜－2，则,0m C k ⎛⎫-⎪⎝⎭.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由,2y kx m y x =+⎧⎨=⎩得122m y k =-，同理得222my k=+，由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|得，1228222m m m k k k-⋅-=-+，即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由22,1416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2＜0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)，又因为m 2＝4(k 2－4)， 所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点． 因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=. 解法二：(1)同解法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为222214x y a a -=. 设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得1122m -<<. 由,2y my t y x=+⎧⎨=⎩得1212t y m =-，同理得2212ty m-=+.设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)．由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8， 得122||821212t t t m m⋅+=-+， 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由2222,14x my t x y a a=+⎧⎪⎨-=⎪⎩得， (4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1＜0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0， 即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0， 即(1－4m 2)(a 2－4)＝0， 所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=. 解法三：(1)同解法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程 为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得k ＞2或k ＜－2.由22,40y kx m x y =+⎧⎨-=⎩得， (4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0，因为4－k 2＜0，Δ＞0，所以21224m x x k -=-，又因为△OAB 的面积为8，所以12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝8， 又易知4sin 5AOB ∠=，8=， 化简得x 1x 2＝4.所以2244m k-=-，即m 2＝4(k 2－4)． 由(1)得双曲线E 的方程为222214x y a a -=， 由2222,14y kx m x y a a=+⎧⎪⎨-=⎪⎩得， (4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0，因为4－k 2＜0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，。

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第8章《平面解析几何》（第8课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2013²潍坊质检)方程(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0表示的曲线是( ) A ．一个圆和一条直线 B ．半个圆和一条直线 C ．一个圆和两条射线 D ．一个圆和一条线段解析：选C.(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0变形为：x 2＋y 2－9＝0或{ x ＋y －2＝x 2＋y 2－9≥0，表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x ＋y －2＝0在圆x 2＋y 2－9＝0外面的两条射线，如图所示：2．(2013²日照质检)若M 、N 为两个定点且|MN |＝6，动点P 满足PM →²PN →＝0，则P 点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选A.以MN 的中点为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，并设M (－3,0)，N (3,0)，P (x ，y )，则PM →²PN →＝(－3－x ，－y )²(3－x ，－y )＝(x 2－9)＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝9，故选A.3．设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线解析：选B.设P (1，t )，Q (x ，y )，由题意知|OP |＝|OQ |， ∴x 2＋y 2＝1＋t 2① 又OP →²OQ →＝0，∴x ＋ty ＝0，∴t ＝－x y，y ≠0.②把②代入①，得(x 2＋y 2)(y 2－1)＝0，即y ＝±1. 所以动点Q 的轨迹是两条平行直线．4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1B.4x 221＋4y 225＝1C.4x 225－4y 221＝1D.4x 225＋4y 221＝1 解析：选D.M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5(5＞|AC |)， 即点M 的轨迹是椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴点M 的轨迹方程为4x 225＋4y221＝1.5．(2013²本溪调研)一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 的轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：选A.∵折痕所在的直线是AQ 的垂直平分线， ∴|PA |＝|PQ |.又∵|PA |＋|OP |＝r ，∴|PQ |＋|OP |＝r >|OQ |. 由椭圆的定义知点P 的轨迹是椭圆． 二、填空题 6．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．解析：设M (x ，y )，则P (2x,2y )，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1，即为所求．答案：x 2－4y 2＝17．已知△ABC 的周长为6，A (－1,0)，B (1,0)，则顶点C 的轨迹方程为________． 解析：∵A (－1,0)，B (1,0)，∴|AB |＝2， 又∵△ABC 的周长为6，∴|CA |＋|CB |＝4>2，∴C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(去掉左、右顶点)．∵2a ＝4，c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝ 3.∴轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．答案：x 24＋y 23＝1(x ≠±2)8．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0.由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．解析：如图，设P (x ，y )，由圆O ′的方程为(x －4)2＋y 2＝6，及已知|AP |＝|BP |，故|OP |2－|AO |2＝|O ′P |2－|O ′B |2，则|OP |2－2＝|O ′P |2－6. ∴x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6.∴x ＝32，故动点P 的轨迹方程是x ＝32.答案：x ＝32三、解答题9．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解：法一：直接法．如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .因OC中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接PM . 故|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围知0＜x ≤1.法二：定义法．∵∠OPC ＝90°，∴动点P 在以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0＜x ≤1)．法三：代入法．设P (x ，y )，Q (x 1，y 1)，则⎩⎨⎧x ＝x 12y ＝y 12⇒{ x 1＝2x ，y 1＝2y .又∵(x 1－1)2＋y 21＝1， ∴(2x －1)2＋(2y )2＝1(0＜x ≤1)．10．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP →＝22PB →，求点P 的轨迹C 的方程．解：设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )，得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1. ∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．在△ABC 中，已知A (1,1)，B (4,1)，C (2,3)，则AB 边上的高的方程是x ＝2B ．方程y ＝x 2(x ≥0)的曲线是抛物线C ．已知平面上两定点A 、B ，动点P 满足|PA |－|PB |＝12|AB |，则P 点的轨迹是双曲线D ．第一、三象限角平分线的方程是y ＝x解析：选D.选项A 符合曲线与方程概念(1)曲线上所有点的坐标均是这个方程的解，不符合(2)以这个方程的解为坐标的点均是曲线上的点．选项B 符合(2)但不符合(1)．选项C 符合(2)但不符合(1)．选项D 符合(1)、(2)．故选D.2．已知定点F 1、F 2和动点P 满足|P F →1－P F →2|＝2，|P F →1＋P F →2|＝4，则点P 的轨迹为( )A ．椭圆B ．圆C ．直线D ．线段解析：选B.以F 1F 2所在直线为x 轴，以F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，∵|P F →1－P F →2|＝|F 2F 1→|＝2， ∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 设P (x ，y )，则P F →1＝(－1－x ，－y )，P F →2＝(1－x ，－y )， ∴P F →1＋P F →2＝(－2x ，－2y )．∴|P F →1＋P F →2|＝4x 2＋4y 2＝4，即x 2＋y 2＝4. ∴点P 的轨迹是圆． 二、填空题3．(2013²烟台质检)已知圆O 的方程为：x 2＋y 2＝4，过圆O 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，则动点Q 的轨迹方程为________．解析：设M 点坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )，则N 点坐标为(0，y 0)， ∵OQ →＝OM →＋ON →，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y2，又∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋y 24＝4(y ≠0)．答案：x 2＋y 24＝4(y ≠0)4．(2013²佛山月考)在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．解析：由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12³|BC |2R ，∴|AB |－|AC |＝12|BC |＜|BC |，∴点A 在以B ，C 为焦点的双曲线上，且为双曲线右支．答案：16x 2a 2－16y23a2＝1(x ＞0且y ≠0)三、解答题5．(2013²苏州质检)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →²RQ →的最小值． 解：(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，－1，∴RP →²RQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k，y 1＋1²⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2k，y 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k＋2k (x 1＋x 2)＋4k2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k＋2k ＋4k2＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8.∵k 2＋1k2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →²RQ →≥4³2＋8＝16，即RP →²RQ →的最小值为16.。

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第8章《平面解析几何》（第3课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2012·高考辽宁卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 解析：选C.要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由题知圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.2．(2013·日照质检)方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示圆方程，则t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，17B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1 D ．(1,2) 解析：选C.由D 2＋E 2－4F ＞0，得7t 2－6t －1＜0，即－17＜t ＜1.3．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点A 的坐标是(1,2)，则直线PQ 的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＋4＝0 D ．2x －y ＝0解析：选B.结合圆的几何性质易知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴均相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B.设圆心为(a ，b )(a ＞0，b ＞0)，依题意有|4a －3b |42＋－2＝b ＝1，∴a ＝2，b ＝1， ∴圆的标准方程(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选B.5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：选B.由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝52，点(3,5)在圆内，且与圆心的距离为1，故最长弦长为直径10，最短弦长为252－12＝46，∴四边形ABC D 的面积S ＝12×10×46＝20 6. 二、填空题6．(2011·高考辽宁卷)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________．解析：设圆心坐标为(a,0)，易知a －2＋－2＝a －2＋－2，解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案：(x －2)2＋y 2＝107．圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离是________．解析：因为圆心坐标为(－1,1)，所以圆心到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离为|－3＋4＋14|32＋42＝3.答案：38．(2013·西安质检)经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程为________．解析：由题干易知：AB 的垂直平分线的方程为2x －y ＋1＝0， 令x ＝0得y ＝1，即所求圆的圆心为C (0,1)．半径为r ＝|AC |＝－1－2＋－2＝10.所以，所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝10 三、解答题9．根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．解：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 将P 、Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36， ④由①、②、④解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2E ＝－4F ＝－8或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(2)设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2， 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，－x 02＋－2－y 02＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210，∴(a ＋1)2＋b 2＝40，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.一、选择题 1．(2012·高考湖北卷)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A.两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.2．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值为( ) A. 5 B ．10 C ．9 D ．5＋2 5解析：选B.设x －2y ＝t ，即x －2y －t ＝0.因为直线与圆有交点，所以圆心(1，－2)到直线的距离为|1＋2×2－t |12＋－2≤5，解得0≤t ≤10，即x －2y 的最大值为10. 二、填空题3．(2013·济南质检)若两直线y ＝x ＋2a 和y ＝2x ＋a ＋1的交点为P ，P 在圆x 2＋y 2＝4的内部，则a 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2ay ＝2x ＋a ＋1，得P (a －1,3a －1)．∴(a －1)2＋(3a －1)2＜4. ∴－15＜a ＜1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)，即圆C 的圆心坐标为(－1,0)．又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，∴圆C 的半径为r ＝|－1＋0＋3|2＝ 2.∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝2 三、解答题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8， ∵直线y ＝x 与圆C 相切于坐标原点O . ∴O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8ba＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2.由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0.∴a ＝－2，b ＝2.∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y 2＝16，x ＋2＋y －2＝8. 解之得x ＝45或x ＝0(舍去)．∴y ＝125.所以存在点Q (45，125)，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．。

1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当|CD |＝2时，求直线CD 的方程．解：(1)设P (2m ，m )，由题可知|MP |＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解之得m ＝0或m ＝45. 故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝⎛⎭⎫85，45.(2)由题意易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22， 所以22＝|－2k －1|1＋k 2，解得，k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆交于E ，F 两点，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；解：(1)由b a ＝33，12a ·b ＝12·32·a 2＋b 2， 得a ＝3，b ＝1，所以椭圆方程是x 23＋y 2＝1. (2)设EF ：x ＝my －1(m >0)，代入x 23＋y 2＝1， 得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2.由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3， 得⎝⎛⎭⎫－2m m 2＋32＝1m 2＋3， ∴m ＝1，m ＝－1(舍去)．直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0.3．(2012·高考课标全国卷)设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p . 由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p .因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42， 即12·2p ·2p ＝42， 解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |， 所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时， 由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得， x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0. 解得b ＝－p 6. 因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3， 所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值也为3. 综上，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.4．(2013·江西省盟校联考)已知椭圆的焦点F 1(1,0)，F 2(－1,0)，过P ⎝⎛⎭⎫0，12作垂直于y 轴的直线被椭圆所截线段长为6，过F 1作直线l 与椭圆交于A ，B 两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在实数t ，使P A →＋PB →＝tPF 1→？若存在，求t 的值和直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题意知点⎝⎛⎭⎫62，12在椭圆上，且a 2＝b 2＋1， ∴64(1＋b 2)＋14b2＝1，解得b 2＝1或b 2＝－14(舍去)， ∴x 22＋y 2＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时，易求得A (1，22)，B (1，－22)，∴P A →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，2－12，PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－2＋12，PF 1→＝⎝⎛⎭⎫1，－12， 由P A →＋PB →＝tPF 1→，得t ＝2，直线l 的方程为x ＝1.②当直线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的斜率为k ，直线l 的方程为y ＝k (x －1)，则P A →＝(x 1，y 1－12)，PB →＝(x 2，y 2－12)，PF 1→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，由P A →＋PB →＝tPF 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝t y 1－12＋y 2－12＝－t 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝t y 1＋y 2＝1－t 2. ∵y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴k ＝－12， 此时，直线l 的方程为y ＝－12(x －1)， 联立方程，得⎩⎨⎧y ＝－12(x －1)x 22＋y 2＝1，消去y ， 可得3x 2－2x －3＝0，则x 1＋x 2＝23，∴t ＝23. 故存在实数t ，使P A →＋PB →＝tPF 1→；t 的值为2或23，直线l 的方程为x ＝1或y ＝－12(x －1)． 5．(2013·深圳调研)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＝2 ∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)易知点M 与点N 关于x 轴对称， 设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0.由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214.(*) 由已知T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →(x 1＋2，－y 1)，∴TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎫x 1＋852－15. 由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值－15. 把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35，故M (－85，35)． 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325.故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3)证明：设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)． 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1， 同理，x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1， 故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.(**) 又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入(**)式，得，x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4. 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．高$考试﹥题库。

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第8章《平面解析几何》（第7课时）（新人教A 版）一、选择题1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y －2＝0，则a 的值是( ) A.18 B ．－18 C ．8 D ．－8解析：选B.将抛物线的方程化为标准形式x 2＝1a y ，其准线方程是y ＝－14a ＝2，得a ＝－18.故选B. 2．(2013²洛阳统考)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D.5－1解析：选D.由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋－2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1. 3．(2012²高考辽宁卷)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：选C.因为P ，Q 两点的横坐标分别为4，－2，且P ，Q 两点都在抛物线y ＝12x 2上，所以P (4,8)，Q (－2,2)．因为y ′＝x ，所以k PA ＝4，k QA ＝－2，则直线PA ，QA 的方程联立得{ y －8＝x －y －2＝－x ＋，即{ y ＝4x －y ＝－2x －2，可得A 点坐标为(1，－4)，故选C.4．(2011²高考课标全国卷)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：选C.不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12³6³12＝36.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：选B.∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px 得y 2＝2py＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.二、填空题6．(2012²高考北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：由题意知直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋ 163＋162＝23(y B ＜0，舍去)，故△OAF 的面积为12³1³23＝ 3.答案： 37．(2013²南京质检)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线方程为________．解析：由于点P 在第三象限．①当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p ＞0)，把点P (－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p ³(－2)，解得p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .②当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p ³(－4)．解得p ＝12.∴抛物线方程为x 2＝－y .综上可知抛物线方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .答案：y 2＝－8x 或x 2＝－y8．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________米．解析：设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ²(－2)，解得2p ＝8，故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2＝－8³(－32)＝12，x＝±2 3.故水面的宽度是43米．答案：4 3 三、解答题 9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 在抛物线上，其横坐标为4，且位于x 轴上方，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线的标准方程为y 2＝4x . (2)由(1)得点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)，∵F (1,0)，∴k FA ＝43.∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.则FA 所在直线的方程为y ＝43(x －1)．MN 所在直线的方程为y －2＝－34x .解方程组⎩⎨⎧y ＝43x －y －2＝－34x，得⎩⎨⎧x ＝85y ＝45.∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.10．(2011²高考福建卷)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A . (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由{ y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4³(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2.将其代入x 2＝4y ，得y ＝1. 故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离， 即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.一、选择题1．(2011²高考辽宁卷)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74 解析：选C.设抛物线的准线为l ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则AB 的中点到y 轴的距离为12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.2．(2012²高考山东卷)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D.双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .二、填空题3．(2012²高考安徽卷)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，焦点为F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋1＝3，所以x 1＝2，所以y 1＝±22，由抛物线关于x 轴对称，假设A (2,22)，由A ，F ，B 三点共线可知直线AB 的方程为y －0＝22(x －1)，代入抛物线方程消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，求得x ＝2或12，所以x 2＝12，故|BF |＝32.答案：324．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比为________．解析：如图所示，设过点M (3，0)的直线方程为y ＝k (x －3)，代入y 2＝2x 并整理，得k 2x 2－(23k 2＋2)x ＋3k 2＝0，则x 1＋x 2＝23k 2＋2k2. 因为BF ＝2，所以BB ′＝2.则点B 的横坐标为x 2＝2－12＝32是方程的一个根，可得k 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32，所以x 1＝2.S △BCF S △ACF ＝12BC ²d12AC ²d ＝BC AC ＝BB ′AA ′＝22＋12＝45.答案：45三、解答题5．(2013²合肥质检)已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的离心率为32，抛物线C 2：x2＝2py (p ＞0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由e ＝c a ＝4－b 22＝32得b 2＝1，∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)， ∴抛物线C 2的焦点为(0,1)，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2.当l 1⊥l 2时，12x 1²12x 2＝－1，即x 1x 2＝－4.由{ y ＝k x ＋x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0， ∴Δ＝(－4k )2－4³(－4k )＞0，解得k ＜－1或k ＞0.① 由x 1x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1，满足①式， ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.。

第1页，共17页江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编14：解析几何一、填空题1 ．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线22x py =和圆222()24p p x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则AB CD的值为 ▲ ． 【答案】1162 ．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）如果圆x 2+y 2-2ax-2ay+2a 2-4=0与圆x 2+y 2=4总相交,则a 的取值范围是___.【答案】00a a -<<<<或3 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）若实数x 、y 满足()222x y x y +=+,则x y +的最大值是_________.【答案】44 ．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）椭圆中有如下结论:椭圆22221x y a b+=上斜率为1的弦的中点在直线0by a x 22=+上,类比上述结论得到正确的结论为:双曲线22221x y a b -=上斜率为1的弦的中点在直线_______________上.【答案】22x ya b -=5 ．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是__________. 【答案】2x 2﹣2y 2=16 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）我们把形如()0,0by a b x a=>>-的函数称为“莫言函数”,并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”,以“莫言点”为圆心,凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆,皆称之为“莫言圆”.当1=a ,1=b 时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小值______. ) 【答案】π3.7 ．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）直线1y kx =+与圆22(3)(2)9x y -+-=相交于A B 、两点,若4AB >,则k 的取值范围是____________________.【答案】1(,2)2-8 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）设F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)右焦点,A 是其右准线与x 轴的交点.若在椭圆上存在一点P ,使线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆离心率的取值范围是 ___________.]【答案】[12,1)第2页，共17页9 ．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于(A)(B)2【答案】A10．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2,则m 的值为 ______. 【答案】311．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为则实数k 的值是________.【答案】812．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，,以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P .若1230PF F ∠=,则该双曲线的离心率为______.【答案】113．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知过点(25)，的直线l 被圆22240C x y x y +--=：截得的弦长为4,则直线l 的方程为______.【答案】20x -=或4370x y -+=14．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ,,且过点(2,3),则曲线C 的方程为________.【答案】225x y -=15．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知P 是直线l :40(0)kx y k ++=>上一动点,PA ,PB 是圆C :2220x y y +-=的两条切线,切点分别为A ,B .若四边形PACB 的最小面积为2,则k =______.【答案】216．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,已知过椭圆的左顶点A(-a,0)作直线1交y 轴于点P,交椭圆于点Q.,若△AOP 是等腰三角形,且,则椭圆的离心率为____。