下载文档原格式
三维Arnold映射的周期及在图像加密中的应用李用江;张睿哲;葛建华;孙志林【摘要】The Arnold mapping with chaotic has achieved good results inthe image scrambling and secure communication, however, the Arnold transformation matrix is periodic so that finding the cycle of the transformation matrix is the important basis of scrambling transformation. In order to study the periodicity of the 3-Arnold transform matrix, the new concept of the twin Fibonacci sequence is introduced and four related periodicity theorems are given. And then we prove that the molding cycleof 3-Arnold transform matrix is half of the molding cycle of the twin Fibonacci sequence. Accordingly, a new method to determine the molding cycle of the transformation matrix is formed. At last, a new several-rounds double-scrambling encryption algorithm based on the 3-Arnold mappingis proposed. Simulation results show the proposed algorithm outperforms the 2-Arnold mapping algorithm.%具有混沌特性的Arnold映射在图像置乱、保密通信等方面都取得了很好的效果，但Arnold变换矩阵具有周期性，因此确定变换矩阵的周期是置乱变换的重要基础。
一种基于Arnold变换的彩色图像加密算法一种基于Arnold变换的彩色图像加密算法摘要：随着信息技术的发展，图像已经成为信息表达的一种重要方式，人们对图像信息安全的要求也越来越高，图像的安全问题已成为信息安全的一个极其重要的研究领域。
为保证图像信息的安全传送，需要对图像做加密和解密处理，其中，基于Arnold变换的空间域置乱加密技术是比较成熟的加密技术，由于彩色图像具有三个分量，通过对彩色图像的三个分量分别进行不同参数的置乱，合成后可得到加密后的彩色图像。
实验结果表明，该算法实现简单，加密效果好。
Abstract：Along with the information technology development，the image has become an important way of information expression and security requirements are increasingly high，so image security has become a very important research field of the information security. In order to ensure the image information security transmission，image encryption and decryption are needed，and space domain scrambling and encryption technology based on Arnold transform is relatively mature. Because the color image has three components，by the scrambling of the differentparameters of the three components，it can obtain color image after encryption through synthesis. Experimental results show that the algorithm is simple to implement and the encryption effect is good.关键词：Arnold变换；空域置乱；彩色图像；加密Key words：Arnold transformation；spatial scrambling；color image；encryption中图分类号：TP309.7 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2016）13-0171-030 引言随着计算机和网络技术的发展，图像的安全问题已成为信息安全的一个极其重要的研究领域。
㊀第２９卷㊀第５期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀陇东学院学报Ｖｏｌ.２９㊀Ｎｏ.５２０１８年９月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｊｏｕｒｎａｌ㊀ｏｆ㊀Ｌｏｎｇｄｏｎｇ㊀ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＳｅｐ.２０１８文章编号:１６７４￣１７３０(２０１８)０５￣０００９￣０４基于高维猫映射的图像加密算法韩㊀蕊(陇东学院信息工程学院ꎬ甘肃庆阳７４５０００)收稿日期:２０１８￣０３￣３０作者简介:韩㊀蕊(１９９０ )ꎬ女ꎬ甘肃庆阳人ꎬ助教ꎬ硕士ꎬ主要从事信息安全研究ꎮ摘㊀要:为了改进图像的加密效果ꎬ提出了一种基于高维猫映射的图像加密算法ꎬ先应用二维猫映射对图像的像素位置进行置乱操作ꎬ再采用三维猫映射生成的混沌序列对图像进行灰度置换和扩散操作ꎮ实验结果表明ꎬ该算法具有良好的安全性和加密效果ꎮ关键词:图像加密ꎻ混沌系统ꎻＡｒｎｏｌｄ映射中图分类号:ＴＮ９１６文献标识码:ＡＩｍａｇｅＥｎｃｒｙｐｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍＢａｓｅｄｏｎＨｉｇｈＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＣａｔＭａｐＨＡＮＲｕｉ(ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬＬｏｎｇｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＱｉｎｇｙａｎｇ７４５０００ꎬＧａｎｓｕ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎｅｆｆｅｃｔｏｆｉｍａｇｅꎬａｎｉｍａｇｅｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｂａｓｅｄｏｎｈｉｇｈｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｃａｔｍａｐ.Ｆｉｒｓｔｌｙꎬｔｈｅｔｗｏｄｉｍｅｎｓｉｏｎｃａｔｍａｐｉｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｔｈｅｓｃｒａｍｂｌｉｎｇｏｐｅｒ￣ａｔｉｏｎｏｎｔｈｅｐｉｘｅｌｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｉｍａｇｅ.Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｉｓꎬｔｈｅｃｈａｏｔｉｃｓｅｑｕｅｎｃｅｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙｔｈｅｔｈｒｅｅｄｉｍｅｎ￣ｓｉｏｎｃａｔｍａｐｉｓｕｓｅｄｔｏｇｒａｙｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎａｎｄｄｉｆｆｕｓｉｏｎｏｐｅｒａｔｉｏｎ.Ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｈａｓｇｏｏｄｓｅｃｕｒｉｔｙａｎｄｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎｅｆｆｅｃｔ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｉｍａｇｅｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎꎻｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍꎻｃａｔｍａｐ㊀㊀现代通信技术日新月异ꎬ计算机网络技术已成为新时代必备品ꎬ音频㊁视频和图像等包含大量信息的多媒体数据通过互联网等方式在世界范围内广泛传输ꎮ在这个大数据时代ꎬ图像作为有效信息给人们带来便利的同时ꎬ信息保密㊁传播安全的隐患也引起了更多人的关注ꎬ如何加强和改进图像信息的保密性一时间引起了很多学者的探索和研究[１]ꎮ混沌 作为一种异常的自然现象ꎬ在２０世纪６０年代初被研究学者们发掘ꎬ如今被大家所熟知ꎮ混沌系统是一种繁杂的动力学形态ꎬ其呈现出良好的伪随机性㊁初值敏感性和遍历性等优点ꎬ基于这些独特的优点也引起了愈来愈多的学者关注ꎮ近年来ꎬ混沌系统被普遍运用于密码学技术ꎬ其中最热门的研究点之一就是基于混沌系统的图像加密算法ꎮ在２０世纪８０年代末ꎬ来自英国科学家Ｍａｔｔｈｅｗｓ初次给出把离散混沌理论运用在加密算法上[２]ꎬ并且提出了一种一维混沌系统ꎬ然后把此混沌系统运用在一次一密的加密技术中ꎬ得到的算法加密效果好㊁实现容易ꎬ因此此算法受到普遍运用ꎮ采用一维混沌系统的图像加密技术ꎬ拥有简易的加密结构ꎬ省时的运算过程ꎬ但密钥空间的狭小性使得其不可以很好地抵抗外来的攻击ꎬ进而容易使图像恢复成原始形态ꎬ呈现出很差的安全性ꎮ本文在高维猫映射的基础上给出了一种图像加密算法ꎬ并对此方法进行了安全性分析ꎮ１㊀Ａｒｎｏｌｄ映射前苏联著名数学学家Ｖ.Ｉ.Ａｒｎｏｌｄ基于对自同态在环面上的探究方面首次给出Ａｒｎｏｌｄ映射的概念[３]ꎬＡｒｎｏｌｄ映射是一种二维的混沌系统ꎬ且可逆ꎬ其数字表达式可以为:ｘｎ＋１＝(ｘｎ＋ｙｎ)ｍｏｄ１ｙｎ＋１＝(ｘｎ＋２ｙｎ)ｍｏｄ１{(１)将式(１)习惯写成矩阵的形式ꎬ即为:ｘｎ＋１ｙｎ＋１[]＝１１１２[]ｘｎｙｎ[](２)㊀㊀其中运算ｍｏｄ１的定义为仅仅对任何一个实数的小数部分进行选取ꎬ即ｘｍｏｄ１＝ｘ－ ｘɑꎬ所以(ｘｎꎬｙｎ)的相空间在单位正方形内被锁定ꎮ由式(２)可以得出系数矩阵的Ｃ＝１１１２[]值为１ꎬ所以猫映射为一种可逆的混沌系统ꎬ且保面积和无吸引子ꎮ在状态空间里ꎬ猫映射会出现一种与拉伸折叠相似的情况ꎬ对矩阵做乘法运算后单位正方形增大的称为拉伸ꎬ取模又缩回到单位正方形内的称为折叠ꎬ相邻的点之间由于拉伸折叠的存在导致其按照指数形式分离开来ꎬ最终体现出对初始值的敏感度极高ꎬ这两种情况作为产生混沌现象的典型要素ꎮ然而执行离散操作后得到的二维Ａｒｎｏｌｄ会存在一个问题ꎬ即迭代限定次数以后会表现出重复的状况ꎬ我们把这种情形定义为庞加莱回复性ꎮ文献[４]给出了解决此问题的有效措施ꎬ就是将二维猫映射推广至三维猫映射ꎬ最终的数学形式可以为:ｘｎ＋１ｙｎ＋１ｚｎ＋１éëêêêùûúúú＝Ａｘｎｙｎｚｎéëêêêùûúúúｍｏｄ１(３)㊀㊀其中运算ｍｏｄ１的定义为仅仅对任何一个实数的小数部分进行选取ꎬ即ｘｍｏｄ１＝ｘ－ ｘɑꎬ所以(ｘｎꎬｙｎ)的相空间在单位正方体内被锁定ꎮ分别对三个平面ｙｚꎬｘｚꎬｘｙ实现二维猫映射ꎬ得到的三个系数矩阵做乘法运算就是所谓的Ａꎮ在本文中取系数矩阵为:Ａ１＝１１１１２２１２３éëêêêùûúúúꎬＡ２＝２１３３２５２１４éëêêêùûúúú(４)㊀㊀分别取Ａ１和Ａ２作为系数矩阵时ꎬ图１为相应得到的三维Ａｒｎｏｌｄ混沌序列分布图及其随机性分析ꎮ图１㊀三维Ａｒｎｏｌｄ混沌序列随机性分析㊀㊀由图１可知ꎬ由三维猫映射混沌系统产生的序列呈现出较好的随机性和平均分布的特点ꎬ且由三个坐标量构成的一维序列也呈现良好的随机性ꎬ同时在高维混沌系统里的密钥参数比二维的更多ꎬ在密码学范畴需要的就是这种伪随机序列ꎮ２ 算法原理步骤１:输入原始图像文件ꎬ用矩阵表示原始图像ꎬ记为Ｉｍˑｎꎻ步骤２:根据式(２)对原始图像的像素位置进行置乱ꎬ得到的置乱图像记为Ｈｍˑｎꎻ步骤３:利用文献[５]给出的第三种区域划分方法生成的混沌序列ꎬ从ｘｋ(１<ｋ<１０００)开始截取长为ｍˑｎ的混沌序列ꎬ序列中的每一个元素的小数点的前三位构成的整数作为该元素的最终结果ꎬ并将此序列按照列的顺序进行排列得到矩阵Ａｍˑｎꎬ对Ｈｍˑｎ位置为(ｉꎬｊ)上的像素值ｎｉｊ进行替换得到相应的像素值ｎᶄｉｊꎬ替换公式为ｎᶄｉｊ＝ｎｉｊ＋Ａｉｊｉ＋ｊｍｏｄ２５６(５)㊀㊀利用这个公式得到的图像为灰度替换后的图像ꎬ记为Ｎᶄｍˑｎꎬ其中矩阵中的第ｉ行第ｊ列的元素用(ｉꎬｊ)表示ꎮ步骤４:利用文献[５]给出的第二种区域划分方法生成的混沌序列ꎬ从ｘᶄｋ(１<ｋᶄ<１０００)开始截取长为ｍˑｎ的混沌序列ꎬ序列中的每一个元素的小数点的前三位构成的整数作为该元素的最终结果ꎬ并将此序列按照列的顺序进行排列ꎬ得到矩阵Ｂｍˑｎꎬ按照公式ｎᶄｉｊ＝ｎｉｊ＋Ｂｉｊｎᶄｉᶄｊᶄｍｏｄ２５６(６)执行灰度扩散ꎬ得到扩散后的图像ꎬ记为Ｌｍˑｎꎬ其中ｎᶄｉᶄｊᶄ为要处理的像素灰度ꎬＢｉｊ为矩阵Ｂ的第ｉ行第ｊ０１陇东学院学报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第２９卷㊀列的元素ꎮ步骤５:循环步骤２至５的操作ꎬ得到加密后的最终图像ꎮ图像加密算法的流程图如图２所示ꎮ对加密后图像解密的整个过程就是对原始图像加密的整个过程的逆运算ꎬ在这里不再做详细的介绍ꎮ图２㊀图像加密算法流程３㊀实验仿真本文给出的图像加密算法利用ＭＡＴＬＡＢ软件来加以实现ꎬ使用尺寸为２５６ˑ２５６的图片Ｌｅｎａ㊁Ｇｉｒｌ和Ｆｌｏｗｅｒ作为原始图像ꎬ实验结果如图３所示ꎮ图３㊀原始图像和加密后的图像４㊀安全性分析４.１㊀密钥空间分析一种加密算法安全性能的高低与密钥空间的大小成正比ꎬ也就是说ꎬ密钥空间越大ꎬ安全性能就越好ꎬ那么就可以更好地抵御穷举攻击[６]ꎮ本文的加密算法密钥空间范围由８个参数组成ꎬ并且这几个参数的精度都可以达到１０－１６ꎬ因此本文给出的加密方法密钥空间较大ꎬ能够很好地抵挡穷举攻击ꎮ４.２㊀初值敏感性分析在对图像进行解密的过程中ꎬ如果把密钥中的一个参数进行很微小的调整ꎬ那么就不能正确地得到原始图像[７]ꎮ保持其他参数不变ꎬ即仅仅把三维Ａｒｎｏｌｄ映射的ｘ０改成ｘ０＋１０－８ꎬ分别执行对原始图像的解密操作ꎬ如图４所示的图像即相应的解密图像ꎮ图４㊀初始值为ｘ０和ｘ０＋１０－８的解密图像由图４可知ꎬ只要参数产生细小的改变ꎬ对解密后图像的结果就会发生翻天覆地的变化ꎮ因此本文所给出的图像加密方法呈现出对初始值的敏感度很高ꎮ４.３㊀灰度直方图分析就图像而言ꎬ像素的亮度情况是如何分布通过图像的直方图来体现的[８]ꎬ图５分别为原始图像和加密后的图像的直方图ꎮ图５㊀原始图像和加密后的图像的直方图由图５可知ꎬ原始图像表现出分布不均匀的统计特性ꎬ加密后得到的图像均匀地遍布在直方图上ꎬ这样我们不能发现原始图像里的有用信息ꎮ因此本文给出的图像加密算法亦可对统计攻击有较好的抵御能力ꎮ１１㊀第５期韩㊀蕊:基于高维猫映射的图像加密算法４.４㊀相邻像素相关性分析一般来说ꎬ表示图像的信息用的曲线来表示是不间断的ꎬ那么图像相邻像素点之间的相关性就很大ꎬ其值在１左右[９]ꎮ图像相邻像素的相关系数可以由下式计算得到:ｒｘｙ＝ｃｏｖ(ｘꎬｙ)Ｄ(ｘ)Ｄ(ｙ)(７)其中ꎬｃｏｖ(ｘꎬｙ)＝１ＮðＮｉ＝１(ｘｉ￣Ｅ(ｘ))(ｙｉ￣Ｅ(ｙ))ꎬＤ(ｘ)＝１ＮðＮｉ＝１(ｘｉ￣Ｅ(ｘ))２ꎬＥ(ｘ)＝１ＮðＮｉ＝１ｘｉꎬ相邻像素点的灰度值用ｘ和ｙ表示ꎬ像素点对记为Ｎꎮ本文首先随机抽取的相邻像素点对数为１０００ꎬ接着分别从表１的这三个方向得到相应的相关系数值ꎮ原始图像和加密后图像的相关系数值的结果如表１所示ꎮ表１㊀原始图像和加密后图像的相关系数值方向Ｇｉｒｌ原始图像加密图像水平０.９８６５０.００２３垂直０.９７３６０.００１２对角线０.９７５８－０.００４５㊀㊀原始和加密后的图像中的两个相邻像素间的相关性在水平方向上的结果如图６所示ꎮ图６㊀水平方向相邻像素相关性㊀㊀由图６可知ꎬ图像被加密后ꎬ其相邻像素点之间几乎没什么相关性ꎬ因此本文的图像加密算法具有很好的扩散性ꎮ５㊀结语本文在三维猫映射混沌系统的基础上提出了一种安全的图像加密算法ꎬ此算法密钥参数较多ꎬ能够对穷举攻击有很好的抵抗力ꎮ在图像加密过程中ꎬ密钥参数的安全性很大程度上取决于混沌系统对初始值敏感性的高低ꎬ本文所用的三维Ａｒｎｏｌｄ映射对初始值的敏感性很高ꎮ仿真实验结果和算法安全性分析表明ꎬ本文所采用的图像加密算法密钥空间范围很大ꎬ并且加密效果快速ꎬ因而图像的安全性得到了一定的保障ꎮ参考文献:[１]潘芳.基于信息安全的现代信息加密技术研究[Ｊ].信息安全与技术ꎬ２０１１(１０):３６－３８.[２]ＭａｔｔｈｅｗｓＲ.Ｏｎｔｈｅｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｏｆａ ｃｈａｏｔｉｃ ｅｎｃｒｙｐ￣ｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ[Ｊ].Ｃｒｙｐｔｏｌｏｇｉａꎬ１９８９ꎬ１３(１):２９－４２.[３]ＷＥＩＳＳＴＥＩＮＥＷ.Ａｒｎｏｌｄ ｓｃａｔｍａｐ[ＥＢ/ＯＬ].(１９９９－１２)[２００５－１２－３０].ｈｔｔｐ://ｍａｔｈｗｏｒｌｄ.ｗｏｆｆｒａｍ.ｃｏｍ/ＡｒｎｏｌｄｓａｔＭａｐ.Ｈｔｍｌ.[４]何晔ꎬ王磊ꎬ夏晖.基于三维Ｌｏｒｅｎｚ混沌的彩色视频加密[Ｊ].计算机科学ꎬ２０１３ꎬ４０(０６Ａ):３６５－３６７.[５]韩蕊ꎬ张雪锋.基于高维猫映射的伪随机序列生成方法[Ｊ].计算机工程与应用ꎬ２０１６ꎬ５２(１０):９１－９９.[６]陈秋琼ꎬ张振娟ꎬ魏旭.基于超混沌系统的彩色图像加密新算法[Ｊ].微电子学与计算机ꎬ２０１２ꎬ２９(００４):４１－４４.[７]Ｎ.Ｋ.ＰａｒｅｅｋꎬＶｉｎｏｄＰａｔｉｄａｒａｎｄＫ.Ｋ.Ｓｕｄ.Ｉｍａｇｅｅｎ￣ｃｒｙｐｔｉｏｎｕｓｉｎｇｃｈａｏｔｉｃｌｏｇｉｓｔｉｃｍａｐ[Ｊ].ＩｍａｇｅａｎｄＶｉ￣ｓｉｏｎＣｏｍＰｕｔｉｎｇꎬ２００６ꎬ２４(９):９２６－９３４.[８]郭晓丛ꎬ向菲ꎬ刘伟.一种基于多混沌映射的图像加密算法[Ｊ].计算机工程ꎬ２０１２ꎬ３８(２０):９３－９６.[９]ＷａｎｇＹꎬＷｏｎｇＫＷꎬＬｉａｏＸꎬｅｔａｌ.Ａｎｅｗｃｈａｏｓ￣ｂａｓｅｄｆａｓｔｉｍａｇｅｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ[Ｊ].ＡｐｐｌｉｅｄＳｏｆｔＣｏｍｐｕｔｉｎｇꎬ２０１１ꎬ１１(１):５１４－５２２.ʌ责任编辑㊀朱世广ɔ２１陇东学院学报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第２９卷㊀。
