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《基本不等式》PPT课件

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基本不等式课件(共43张PPT)

基本不等式课件(共43张PPT)

02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。

基本不等式ppt课件

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a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.

基本不等式(共43张)ppt课件

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解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进 行合并，并把未知数移到 不等式的一边，常数移到 另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的 同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等 号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不 等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根 号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式 转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化 后的不等式，得到原无理不等式的 解集。
综合应用举例
例1

《基本不等式》课件

《基本不等式》课件
《基本不等式》PPT课件
欢迎来到《基本不等式》PPT课件！在本次课程中，我们将深入探讨基本不等 式的概述、定义、性质以及证明方法。通过应用实例，我们将进一步理解如 何求最小值和进行定理证明。让我们一起展望本课件带来的新知识和启示！
基本不等式的概述
基本不等式是数学中的重要概念，用于比较两个数或者两个代数式的大小关 系。它是我们学习不等式的基石，掌握基本不等式对于解决更复杂的不等式 问题至关重要。
乘法性
将不等式的两边同时乘以 （或除以）相实数时， 不等式的符号反向。
基本不等式的证明方法
数学归纳法
通过归纳假设和递推关系，逐 步证明基本不等式的成立。
代数证明
将基本不等式转化为代数表达 式，通过代数运算和推导来证 明。
几何证明
借助几何图形和几何关系，通 过几何推理来证明基本不等式。
应用实例1：求最小值
基本不等式在求解数学问题时扮演着重要角色。通过对一些实际问题的分析，我们可以利用基本不等式的性质 来找到函数的最小值，有效地解决各种优化问题。
应用实例2：定理证明
基本不等式被广泛运用于数学定理的证明中。通过灵活应用基本不等式的定 义和性质，我们可以推导出一系列重要的数学结论和定理，拓展数学领域的 边界。
基本不等式的定义
基本不等式指的是一类具有特定形式的不等式，其中常见的包括平均数不等 式、均方根不等式和柯西-施瓦茨不等式。这些定义为我们解决各种数学问题 提供了强大的工具。
基本不等式的性质
单调性
基本不等式满足严格单调性， 即当其中的变量递增（或递 减）时，不等式的符号也相 应地改变。
加法性
将不等式的两边同时加上 （或减去）相同的实数时， 不等式的符号保持不变。
总结和展望

基本不等式课件(共43张PPT)

基本不等式课件(共43张PPT)

重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
立
a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1.
求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：证明：1a＋1b＋
1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋
a＋b＋c c
＝3＋
(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
小结 基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)， 试比较 P、Q、R 的大小．

1 第1课时　基本不等式(共42张PPT)

1 第1课时　基本不等式(共42张PPT)

解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值， 所以 22a＝3， 解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值． 解：因为 x，y 为正实数， 所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等 式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本 不等式 a＋b≥2 ab求得． 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】 对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符 合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C， 忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选 项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．

《基本不等式》PPT课件

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一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的基本步骤
01
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
02
在解不等式的过程中，要确保每一步都是等价变换，不改变不
等式的解集。
解一元一次不等式的实例分析
03
通过具体例子展示解一元一次不等式的详细步骤和注意事项。
一元一次不等式的应用举例
课程目标与要求
知识与技能
掌握不等式的定义、性质及基本 不等式，能够运用所学知识解决
相关问题。
过程与方法
通过探究、归纳、证明等方法， 培养学生的数学思维和解决问题
的能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 认识到数学在解决实际问题中的 重要作用。同时，通过基本不等 式的学习，培养学生的严谨、细
排序不等式的概念与性质
性质 反序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和。
当且仅当$a_i = b_i$（$i = 1, 2, ldots, n$）时，反序和等于顺序和。
切比雪夫不等式的概念与性质
概念：对于任意两个实数序列$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，若它们分别单调不 减和单调不增，则有$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i cdot frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}b_i leq frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_ib_i$。
1 2
一元一次不等式在生活中的应用 例如比较两个数的大小、判断某个数是否满足某 个条件等。
一元一次不等式在数学中的应用 例如在解方程、求函数值域等问题中，经常需要 利用一元一次不等式进行求解。
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∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜
1 3
则1-3x＞0；
可用均值不等式法∵0＜x＜ 1 ，∴1-3x＞0
∴y=x（1-3x）=
1 3

3x（1-3x3）≤1 3
(
3x

1 2

3x
)
2

1 12
当且仅当 3x=1-3x
即x=
1时 6
ymax=
1 12
2. 函数y=
x

x
1
1(x
≥
0)的最小值为____1__,此时x=____0__.
的最大值是（ Ｄ ）
A、40 B、10 C、4 D、2
四、巩固练习
1:求函数
y
x(a

4x)(0

x

a 4
,a

R)的最大值,并求出相应x的值.2、 求函数
的最小值。
1:求函数
y
x(a

4x)(0

x

a 4
,a

R
)
的最大值,
并求出相应x的值. 解： 0 x a , a 4x 0 4
解：
y

x2 4x 5 2x 4

(x 2)2 1 2(x 2)

1 2
( x

2)
x
1
2

≥1
当且仅当 x 2 1 ，即 x 3 时等号成立． x2
1、设 a,b R且a+b=3,求２a＋２b的最小值_4__2。
2、设 x, y满足 x 4y 40，且 x 0, y 0则 lg x lg y
—求函数的最值
一、基本不等式回顾
1、 如果a, b是正数, 那么 a b ab 2
(当且仅当 a＝b 时取“=”号) (均值不等式)
特别地， a＝b =0时也成立
2、公式变形：
a b 2 ab
ab ( a b)2 （当a、b ∈R成立吗？） 2
a b ab 2
(a, b是正数,当且仅当 a＝b 时取“=”号)
x 1
2 (x 1) 9 2 8 x 1
当且仅当 x 1 9 ，即 x 3 时等号成立． x 1
五、课后练习
1、求
的值域。
2、思考：
已知
，且
求
的最小值
六、学习小结
１、应用均值不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，
以满足上述前提，即“一正二定三相等”
２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转 化为“和式”的放缩功能；
创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；
又∵ 4x (a 4x) a
∴ y x(a 4x) 1 4x (a 4x) 2
1 4x (a 4x) a
22
4
a
当且仅当4x=a-4x,即x= 8 时，取等号。
2、求函数
的最小值。
解：y x2 8 (x 1)2 2(x 1) 9
x 1
（1） 已知 x, y 是正数，x y P（定值），
求 xy的最大值；
（2） 已知 x, y 是正数， xy S（定值），
求 x y 的最小值；
一正二定三 相等
和定积最大 积定和最小
二、例题分析
1、已知：0＜x＜
1 3
，求函数y=x（1-3x）的最大值
分析、挖掘隐含条件
配凑成和成 定值
构造积为 定值
解:
y x 1 x1

x 1
1 x1
1≥2-1=1
当且仅当 x 1 1 即x 0 时取“=”号
x1
3、已知 x≥ 5
2
Ａ．最大值 5 2
Ｃ．最大值1
，则
x2 4x 5 f (x)
有（ Ｄ ）
2x 4
Ｂ．最小值 5 4
Ｄ．最小值1 拆分法