特殊数的整除特征

能被特殊数‎整除的特征‎1、能被2整除‎的数的特征‎。

如果一个数‎能被2整除‎，那么这个数‎末尾上的数‎为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。

2、能被3整除‎的数的特征‎。

如果一个数‎能被3整除‎，那么这个数‎所有数位上‎数字的和是‎3的倍数。

例如：225能被‎3整除，因为2+2+5=9,9是3的倍‎数，所以225‎能被3整除‎。

3、能被4整除‎的数的特征‎。

如果一个数‎的末尾两位‎能被4整除‎，这个数就能‎被4整除。

例如：15692‎512能不‎能被4整除‎呢？因为156‎92512‎的末尾两位‎12，能被4整除‎，所以156‎92512‎能被4整除‎。

4、能被5整除‎的数的特征‎。

若一个数的‎末尾是0或‎5则这个数‎能被5整除‎。

5、能被7整除的数的‎特征。

方法一：若一个整数‎的个位数字‎截去，再从余下的‎数中，减去个位数‎的2倍，如果差是7‎的倍数，则原数能被‎7整除。

如果差太大‎或心算不易‎看出是否是‎7的倍数，就需要继续‎上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚‎判断为止。

例如，判断133‎是否是7 的倍数的过‎程如下：13－3×2＝7，所以133‎是7的倍数‎；又例如判断‎6139是‎否7的倍数‎的过程如下‎：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以613‎9是7的倍数‎，以此类推。

方法二：如果一个多‎位数的末三‎位数与末三‎位以前的数‎字所组成的‎数的差，是7的倍数‎，那么这个数‎就能被7整‎除。

例如：28067‎8末三位数‎是678，末三位以前‎数字所组成‎的数是28‎0,679-280=399,399能被‎7整除，因此280‎679也能‎被7整除。

方法三：首位缩小法‎，减少7的倍‎数。

例如，判断452‎669能不‎能被7整除‎，45266‎9-42000‎0=32669‎，只要326‎69能被7‎整除即可。

可对326‎69继续，32669‎-28000‎=4669,4669-4200=469,469-420=49,49当然被‎7整除所以4526‎69能被7‎整除。

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。

能被7,11,13整除的数的特征的原理能被7, 11, 13整除的数的特征的原理解析引言当我们进行数学运算时，我们可能会遇到一些特殊的数，它们能够被7，11和13整除。

这些特殊的数在数论中有着重要的地位，同时也有着一些有趣的特征。

本文将深入探讨这些数的特点及其原理。

1. 数的整除性质•整除定义：当一个数除以另一个数时，如果能够得到一个整数，那么我们称这个数能够被另一个数整除。

•整除特性：如果一个数能够同时被两个或更多个数整除，那么它也能够被这些数的乘积整除。

2. 7的整除特征•规则1：能被7整除的数，其个位数的十进制表示减去2倍的十位数的十进制表示，结果能够被7整除。

–例如，35是7的倍数，35 - (2 * 3) = 29，29被7整除。

•规则2：能被7整除的数，将其个位数的数字去掉，再用去掉的数字减去2倍的余数，结果能够被7整除。

–例如，56是7的倍数，5 - (2 * 6) = -7，-7被7整除。

3. 11的整除特征•规则1：能被11整除的数，将奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和相减，结果能够被11整除。

–例如，121是11的倍数，(1+1) - 2 = 0，0被11整除。

•规则2：能被11整除的数，将数从右往左数每一位数字依次相加或减，结果能够被11整除。

–例如，363是11的倍数，3 - 6 + 3 = 0，0被11整除。

4. 13的整除特征•规则1：能被13整除的数，将个位数的数字乘以4，再将结果与剩余数字相减，结果能够被13整除。

–例如，13是13的倍数，1 * 4 - 3 = 1，1被13整除。

•规则2：能被13整除的数，将数从右往左数每一位数字依次乘以进制的幂次方，并将结果相加或相减，结果能够被13整除。

–例如，169是13的倍数，1 * 13^2 + 6 * 13^1 - 9 = 0，0被13整除。

5. 组合规则如何判断一个数能否被7、11和13整除呢？我们可以将上述规则进行组合使用。

奥数4，8，9整除的数的特征我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

这就证明了（4）。

类似地可以证明（5）。

（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

能被小数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

1、1能整除所有整数2、能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数），那么这个数能被2整除3、能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除4、能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除（即整数的末尾两位数能被4整除），那么这个数能被4整除5、能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除6、能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，（既能被2整除又能被3整除）7、能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；例如，判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

8、能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除（即最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除）。

9、能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除10、能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零的数）11、能被11整除的数，把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”例如：判断491678能不能被11整除。

奇位数字的和9+6+8=23 偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此491678能被11整除。

整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。

2. 与3有同种倍数特征的数据： 9的倍数的特征：一个数的各个数位上的数的和 是9的倍数，这个数就是9的倍数。 例：4536是9的倍数吗？ 解答：（4+5+3+6）÷9=2，是9的倍数， 所以4536是9的倍数。
3. 其他一些数据的倍数的特征：
7的倍数的特征：把一个数的末尾数字割去，从留下的 数中减去所割去的数字的2倍，这样继续 做下去，如果最后的结果是7的倍数，那么 原来这个数就是7的倍数。 例：判断：4151能否被7整除？
判断1884924与2560437， 能否被27或37整除。 能被27（或37）整除的数的特征：对于任何一个 自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若 干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和 能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27 （或37）整除。
判断1884924与2560437，能 否被27或37整除。 解：1884924=1,884,924， 1+884+924=1809。 因为，1809能被27整除，不能被37整除。 所以，1884924能被27整除，但不能被37整除。
所有六位数是：123654、321654
5. 一个整数乘以17后，乘积的后四位数是2002， 这样的整数中最小的是多少？ 解答：用□2002除以17，要求整数中最小的 是多少？这个数字最小就是12002。 12002÷17=706， 符合题目要求的最小的整数是706。
ABC分别是几时，使得七位数A6474BC能分别 被8、9和25整除。 分析：本体可以利用能被8、9和25整除的数的特 征，以及整除的性质3来解决。 ① 能被8整除的数的特征：一个数的末三位能被8整除。 ② 能被9整除的数的特征：一个数各个数位上的数字 之和能被9整除。 ③ 能被25整除的数的特征：一个数的末两位能被25整除。

整除或求余法则
一、末系：
2：末位是0、2、4、6、8的数可以被2整除
5：末位是0或5的数可以被5整除
4：末两位是4的倍数的数可以被4整除
25：末两位是25的倍数的数可以被25整除（00、25、50、75）
8和125：末三位是8（8的整除）的倍数的数可以被8整除；末三位是125（125的整除）的倍数的数可以被125整除
16和625:末四位是16（16的整除）的倍数的数可以被16整除；末四位是625（625的整除）的倍数的数可以被625整除
二、和系：
3：数字和可以被3整除的数，就可以被三整除
9:数字和可以被九整除的数，就可以被九整除
可以用弃九法，将和为九的几个数去掉，再加、除
还有乱切法，有规律地将一个大数切成好多小的数，加、除算余
注：99从末位开始两位断开求和，为99的倍数。

999从末位开始，三位断开求和，为999的倍数。

9999从末位开始，四位断开求和，为9999的倍数。

三、差系：
11:奇位和减偶位和，差求余，不够减加上11
7、11和13：从末位开始三位断开，奇三位减偶三位，求余不够再加7或11或13（别忘
了0也是7、11、13的倍数）
四、拆分系：
一定要拆成因数互质
来源于大牛课堂，励老师讲课。

下一节椅子数特征（较短）。

【数学】能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、17、19、25、125整除的数的特征★★能被2整除的数的特征:个位上是偶数，能被3或9整除的数的特征:所有位数的和是3或9的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍感）能被4或25整除的数的特征：如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与7 5均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数的特征：个位上的数为0或5，能被6整除的数的特征：既能被2整除也能被3整除能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

这种方法叫“割减法”．此法还可简化为：从一个数减去7的10倍、20倍、30倍、……到余下一个100以内的数为止，如果余数能被7整除，那么，这个数就能被7整除．能被8或125整除的数的特征：如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除．例如： 9864＝9×1000+86472375＝72×1000+375由于8与125相乘的积是1000，1000能被8或125整除，那么，1 000的倍数也必然能被8或125整除．因此，如果一个数末三位数能被8或125整除，这个数就一定能被8或125整除．9864的末三位数是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．7 2375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被12 5整除。

数学运算基本技巧之整除特性展开全文今天给大家分享的是，数学运算基本技巧之整除特性，之前分享的几种数学运算方法不知道大家有没有学到呢，还没有掌握的赶紧学起来哦今天继续学习新的运算技巧，请往下看1、几个特殊数字的整除判定基本法则（1）2、4、8的整除判定一个数能被2(或者5)整除，当且仅当末一位数字能被2(或者5)整除；一个数能被4(或者25)整除，当且仅当末两位数字能被4(或者25)整除；一个数能被8(或者125)整除，当且仅当末三位数字能被8(或者125)整除；如：一个数字为12348，这个数字的最后一位8能够被2整除，则这个数字能被2整除；最后两位48能够被4整除，则12348能够被4整除；最后三位348不能被8整除，则这个数字不能被8整除。

（2）3、9的整除判定一个数字能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除；一个数字能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除；如：一个数字为12348，这个数字的各位数字之和为1+2+3+4+8=18，18能够被3、9整除，则12348也能够被3、9整除。

（3）7、11、13的整除判定一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7，11或13整除，则这个数字就能被7、11、13整除。

如：一个数字为1234569，末三位数字为569，之前的数字为1234，1234-569=665，665能够被7整除，则1234569这个7整除。

2、整除判定的应用数量关系的题目中，一般很少考察整除判定的基本法则这些纯理论的知识，整除特性的主要应用在于：当题目中出现了3、7、9、11、13、17这些特殊数字的时候，我们就要想一想，能不能利用这些数字的整除特性，快速解题。

3、例题讲解【例1】某市服务行业举行业务技能大赛，其中东区参赛人数占总人数的1/5，西区参赛人数占总人数的2/5，南区参赛人数占总人数的1/4，其余的是北区的参赛人员。

结果东区参赛人数的1/3获奖，西区参赛人数的1/12获奖，南区参赛人数的1/9获奖。

能被3和9整除的数的特征一、引言在数学中，有一类特殊的数被称为能被3和9整除的数。

这些数具有一些独特的特征，本文将从不同角度展开讨论，探究能被3和9整除的数的特点和性质。

二、能被3整除的数的特征1. 数字和能被3整除能被3整除的数具有一个明显的特点，即它们的各位数字之和能被3整除。

例如，12、15、18都是能被3整除的数，因为1+2=3，1+5=6，1+8=9，都能被3整除。

2. 末位数字规律能被3整除的数的末位数字具有一定的规律性。

例如，3、6、9、12等数的末位数字都是3的倍数，因此它们能被3整除。

三、能被9整除的数的特征1. 数字和能被9整除能被9整除的数的各位数字之和能被9整除。

这是因为9是3的倍数，即9=3*3。

例如，27、36、45等数的各位数字之和都能被9整除。

2. 末位数字规律能被9整除的数的末位数字为0。

这是因为9是10的一个因子，而10的倍数的末位数字为0。

四、能被3和9整除的数的特征1. 数字和能被3和9整除能被3和9整除的数的各位数字之和既能被3整除，又能被9整除。

例如，27、36、45都是能被3和9整除的数，因为它们的各位数字之和都能被3和9整除。

2. 末位数字规律能被3和9整除的数的末位数字为0。

这是因为能被3和9整除的数既能被3整除，又能被9整除，而9是10的一个因子，因此这类数的末位数字为0。

五、能被3和9整除的数的例子1. 30、90、120、150等都是能被3和9整除的数。

它们的各位数字之和都能被3和9整除，且末位数字为0。

六、结论通过对能被3和9整除的数的特征进行分析，我们可以得出以下结论：1. 能被3整除的数的各位数字之和能被3整除，且末位数字为3、6、9。

2. 能被9整除的数的各位数字之和能被9整除，且末位数字为0。

3. 能被3和9整除的数的各位数字之和既能被3整除，又能被9整除，且末位数字为0。

以上是关于能被3和9整除的数的特征的讨论。

这类数在数学中具有一些独特的性质，通过研究它们的特点，可以帮助我们更好地理解数学规律。

第19讲数论综合知识点精讲一、特殊数的整除特征1.尾数判断法1)能被2整除的数的特征：2)能被5整除的数的特征：3)能被4（或25）整除的数的特征：4)能被8（或125）整除的数的特征：2.数字求和法：3.99的整除特性：4.奇偶位求差法：5.三位截断法：特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001二、多位数整除问题技巧：1>目的是使多位数“变短”，途径是结合数的整除特征和整除性质2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。

三、质数合数1.基本定义【质数】——【合数】——注：自然数包括0、1、质数、合数.【质因数】——【分解质因数】——用短除法和分拆相乘法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=a1×a2×a3×……×a n，其中a1、a2、a3……a n都是合数N的质因数，且a1<a2<a3<……<a n。

【互质数】——【偶数】——【奇数】——2.质数重要性质1)100以内有25个质数：2)除了2和5，其余的质数个位数字只能是：3)1既不是质数,也不是合数4)在质数中只有2是偶数,其他质数都是奇数5)最小的质数是2.最小的奇质数是36)有无限多个3.质数的判断：1)定义法：判断整除性2)熟记100以内的质数3)平方判断法：例如：对2011，首先442<2011<452，然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数. 4.合数1)无限多个2)最小的合数是43)每个合数至少有三个约数5.互质数1)什么样的两个数一定是互质数？注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式.因此,要分解的合数应写在等号左边,如：21=3⨯7,不能写成：3⨯7=21.6.偶数和奇数1)0属于偶数2)十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数3)除2外所有的正偶数均为合数4)相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数是他们乘积的一半5)奇±奇=偶偶±偶=偶偶±奇=奇奇×奇=奇偶×奇=偶偶×偶=偶四、约数与倍数1.约数与倍数概念：2.一个数约数的个数：3.平方数与约数个数的关系：4.最大公约数与最小公倍数求法：分解质因数：辗转相除法：5.两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。

数的整除特征★知识要点1、如果一个数的个位数字能被2或5整除，则这个数能被2或5整除。

2、如果一个数的末两位数字能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除。

3、如果一个数的末三位数字能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除。

4、如果一个数的各位数字之和能被3或9整除，则这个数就能被3或9整除。

5、如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除。

6、被7、11、13整除数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除。

★典型例题例1、在□内填上适当的数，使五位数5874□能被2整除，这样的五位数有多少个？例2、在□内填上适当的数，使六位数69547□能被4或25整除。

例3、在□内填上适当的数，使五位数31□26能被3或9整除。

例4、在865后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数值尽可能地大。

例5、在五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又含有因数5？例6、根据被11整除的数的特征，判别下列数中哪几个能被11整除：3434 3443 52019 68868例7、判断2146455311能否被7，11或13整除？课堂练习1、在□内填上适当的数，使四位数139□能被5整除，这样的四位数有哪几个？2、在□内填上适当的数，使七位数7132□20能被8整除。

3、判断下列哪些数能被25整除，哪些能被125整除？能被125整除的数一定能被25整除吗？反之能被25整除的数一定能被125整除吗？750 765 2775 6325 1500 10004、根据被3和9整除的数的特征，用“去三法”或“或九法”判别下列数中哪些数能被3整除，哪些能被9整除。

请仔细观察能被9整除的数一定能被3整除吗？反之能被3整除的数一定能被9整除吗？请牢记这个规律！5646 49257 25341 87203 56142365、在358后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能地小。

数量关系知识点之整除判断法整除判定是数量关系中常用的一种秒杀技巧，一般用于数字计算类，等差数列等题型，以及解方程的过程中。

当题干中出现了分数，比例，倍数，整除等明显特征，此时一定要考虑整除判断。

特殊数字整除判定：2(5)整除：观察数字的末位数字能否被2(5)整除。

4(25)整除：观察数字的末两位能否被4(25)整除。

8(125)整除：观察数字的末三位能否被8(125)整除。

3(9)整除：观察各位数字之和能否被3(9)整除。

例如，283223的各位数字和是20，不能被3整除，所以283223不能被3整除。

普通数字整除判定：普通梳子的整除判定，一般采用分解因式的方法进行快速判断，如判断一个数字能否被6整除，则需要判定该数能否被2和3整除；例如，判定520能否被51整除，可以将520分解为510+10进行判断。

倍数关系：若a：b=m：n(m，n互质)，则a是m的倍数，b是n的倍数。

例题解析：【例1】某单位组织员工旅游，要求每辆汽车坐的人相同，如果每辆车坐20人，还剩下2名员工；如果减少一辆汽车，员工正好可以平均分到每辆汽车。

问该单位共有几名员工？A.244B.242C.220D.224【解析】如果每辆车坐20人，还剩下两名员工，说明员工人数减去2后是20的倍数，选项中只有B项符合要求，因此本体答案选择B选项。

【例2】某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？A.329B.350C.371D.504【解析】本题可以利用整除特性解题。

由题意可得，今年男员工总数是去年的94%=47/50，即今年的男员工=47/50去年的男员工，所以今年的男员工数可被47整除，只有A项满足。

【例3】某公司为客户出售货物，收取3%的服务费，代客户购置设备，收取2%的服务费。

某客户委托该公司出售自产的某种货物并代为购置新设备。

已知公司共收取该客户服务费200元，客户收支刚好平衡，则自产的物品售价是多少元？A.3880B.4080C.3920D.7960【解析】本题题干中有分数特征，收支平衡指的是卖产品所获得的收益=买产品所需的花费，设客户自产的物品售价是x元，购置的新设备是y元。

整除得性质与特征整除问题就是整数内容最基本得问题。

理解掌握整除得概念、性质及某些特殊数得整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子得数感。

一、整除得概念：如果整数ａ除以非0整数b，除得得商正好就是整数而且余数就是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a),记作b/ａ，读作“b整除ａ”或“a能被ｂ整除".a叫做b得倍数，b叫做a得约数（或因数）.整除属于除尽得一种特殊情况.二、整除得五条基本性质:（1)如果a与ｂ都能被c整除，则a+b与ａ-ｂ也能被c整除;（２）如果a能被b整除，c就是任意整数,则积ac也能被b整除；(3）如果a能被b整除,ｂ能被ｃ整除，则积a也能被c整除；（4)如果a能同时被b、c整除,且ｂ与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立;（5)任意整数都能被1整除，即1就是任意整数得约数；０能被任意非０整数整除，即0就是任意非0整数得倍数。

三、一些特殊数得整除特征:根据整除得基本性质,可以推导出某些特殊数得整除特征，为解决整除问题带来方便。

(1)如果一个数就是整十数、整百数、整千数、……得因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数得整除特征。

①若一个整数得个位数字就是2得倍数(0、2、4、6或8)或５得倍数（0、５),则这个数能被２或5整除；②若一个整数得十位与个位数字组成得两位数就是4或２5得倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数得百位、十位与个位数字组成得三位数就是8或125得倍数，则这个数能被8或125整除。

【推理过程】:２、5都就是10得因数,根据整除得基本性质（２）,可知所有整十数都能被１0、２、5整除。

任意一个整数都可以瞧作一个整十数与它得个位数得与,如果一个数得个位数字也能被２或5整除，根据整除得基本性质（1）,则这个数能被２或５整除。

又因为4、25都就是1００得因数,８、１２５都就是100０得因数，根据整除得基本性质(2)，可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、1２5整除.同时，任意一个多位数都可以瞧作一个整百数与它末两位数得与或一个整千数与它得末三位数得与,根据整除得基本性质(1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征.同理可证,若一个数得末四位数能被１６或625整除，则这个数能被16或625整除，依此类推.(2）若一个整数各位上数字与能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。

特殊数的整除特征特殊数是指在一定的条件下具有特殊整除特征的数。

在数学中，各种特殊数都有独特的整除特征，下面介绍几种常见的特殊数及其整除特征。

1.完全数完全数是指一个数恰好等于它所有正因子（除了它本身）的和。

最早完全数的记录出现在古希腊，最小的完全数是6（因子为1、2、3，和为6）。

另外两个较小的完全数是28（因子为1、2、4、7、14，和为28）和496（因子为1、2、4、8、16、31、62、124、248，和为496）。

2.欧拉回文数3.素数素数是指只能被1和它自身整除的正整数。

素数在整数论中起着重要的作用，它们具有特殊的整除特性。

素数的定义简单，但却是数学研究的核心之一、质数的性质导致了很多数论的发展，比如素数定理、哥德巴赫猜想等。

4.斐波那契数列斐波那契数列是指从0和1开始，后面的每一项都是前面两项的和。

例如，斐波那契数列的前几项是0、1、1、2、3、5、8、13、斐波那契数列在数学和自然界中都有很大的应用，在整除特征中，斐波那契数列中的相邻项有特殊的整除关系，即前一项能整除后一项。

5.卡普雷卡数卡普雷卡数是指一个正整数n，它和n的平方数的数字组成的数一样。

例如，5是一个卡普雷卡数，因为5的平方是25，它们的数字组成是一样的。

另外一个例子是49，因为49的平方是2401，它们的数字组成也是一样的。

卡普雷卡数具有一定的特殊性，被广泛研究和应用于数学和密码学中。

特殊数的整除特征能够帮助我们理解和探索数学的奥秘。

通过研究这些特殊数及其整除特征，我们可以发现数学中的规律和性质，推动数学的发展。

同时，特殊数的整除特征也有一定的应用价值，可以在密码学、编码理论等领域中发挥作用。

因此，研究特殊数的整除特征是数学研究中的重要方向之一。

特殊数的整除特征几个重要的整除特征：（1）能被2整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被2整除，这个数就能被2整除。

（2）能被3整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

（3）能被4整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被4整除，这个数就能被4整除。

（4）能被5整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被5整除，这个数就能被5整除。

（5）能被7整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被7整除，这个数就能被7整除。

（6）能被8整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被8整除，这个数就能被8整除。

（7）能被9整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被9整除，这个数就能被9整除。

（8）能被11整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被11整除，这个数就能被11整除；或者一个数的奇数位上数字的和与偶数位上的数字和的差能被11整除，这个数就能被11整除。

（9）能被13整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被13整除，这个数就能被13整除。

（10）能被25整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被25整除，这个数就能被25整除。

（11）能被125整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被125整除，这个数就能被125整除。

例1、在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被4整除，也能被3整除。

练习：1、在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。

这个六位数最小是多少？2、有一个四位数3AA1，它能被9整除。

A代表的数字是几？3、在□内填上合适的数，使六位数8□12□能被125整除，也能被9整除。

例2、有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除。

它们的前四位都是9876，而末位数字不同。

求这两个五位数的和。