第10章 稳恒磁场

第十章 稳恒磁场问题10-1 你能说出一些有关电流元d I l 激发磁场d B 与电荷元d q 激发电场d E 有何异同吗？解 电流元激发的磁场与电荷元激发的电场是两个基元场. 由毕奥—萨伐尔定律定律得电流元d I l 激发的磁场为 0r2d d 4I rμ⨯=πl e B由电荷元电场强度公式得电荷元d q 激发的电场为20d d 4qr ε=πE相同点： 这两个场的大小都与场点到“元”（电流元、电荷元）的距离平方成反比； 这两个场都是矢量场，满足叠加原理.相异点： 电荷元产生的电场呈球对称，其方向与r 的方向相同或相反；电流元产生的磁场不具有球对称性，其方向垂直于d l 与r 组成的平面，遵从右手螺旋法则. 另外，d E 的大小与电荷元的电量d q 成正比，而d B 的大小不仅与d I l 的大小成正比，还与其方向有关.10-2 在球面上铅直和水平的两个圆中通以相等的电流，电流流向如图所示.问球心O 处磁感强度的方向是怎样?解 由右手螺旋法则可知，铅直的圆中电流在O 处产生的磁场方向垂直于铅直面向里；水平圆中电流在O 处产生的磁场方向垂直于水平面向下；并且这两个圆产生的磁感应强度大小相等。

所以球心处总的磁感应强度斜向里，与竖直向上方向的夹角为135.10-3 电流分布如图所示,图中有三个环路1、2和3. 磁感强度沿其中每一个环路的线积分各为多少？解 由安培环路定理0i id lI μ⋅=∑⎰B l 可知环路1 101d l I μ⋅=⎰B l 环路2 202d l I μ⋅=⎰B l 环路3()3012d 2l I I μ⋅=-⎰B lOII10-4 “无限长”载流直导线的磁感强度02IB dμ=π可从毕奥-萨伐尔定律求得.你能否用安培环路定律来求得呢? 如果可以,需要作哪些假设条件呢?解 “无限长”载流直导线周围的磁场分布呈轴对称，距离导线相等处的场点磁感强度大小相等. 取以直导线为中轴线、半径为d 的同心圆为积分路径，积分方向与直导线中电流方向遵从右手螺旋定则. 由安培环路定律可得2ld B d I μ=π=⎰B l ⋅02IB dμ=π在此解法中需要场点距直导线的距离d 为有限.10-5 如图所示,在一个圆形电流的平面内取一个同心的圆形闭合回路,并使这两个圆同轴,且互相平行.由于此闭合回路内不包含电流,所以把安培环路定理用于上述闭合回路可得d 0l⋅=⎰B l由此结果能否说在闭合回路上各点的磁感强度为零?解 不能，d 0l⋅=⎰B l 不仅与磁感强度的大小有关，还与磁感强度与积分路径的夹角θ有关. 当90θ=时，d 0l⋅=⎰B l 也成立.10-6 如图所示,设在水平面内有许多根长直载流导线彼此紧挨着排成一行,每根导线中的电流相同. 你能求出邻近平面中部A 、B 两点的磁感强度吗？A 、B 两点附近的磁场可看作均匀磁场吗？解 由于导线数目甚多，且电流分布均匀，相当于一个无限大带电平面. 由对称性可知，在平面中部附近各点的磁感强度大小相等. 设各导线中的电流为I ，单位长度的导线数目为n . 如图所示，取长为L 的矩形回路abcd ，回路内所包含的电流为nIL ，且使ab 、cd 边与磁场平行，bc 、da 边与磁场垂直，所以由安培环路定律可知0d d d labcdnIL μ=+=⎰⎰⎰B l B l B l ⋅⋅⋅012B nI μ=可见当导线电流、导线分布密度一定时，在平面中部附近的场强可以视为均匀磁场.O I10-7 如果一个电子在通过空间某一区域时，电子运动的路径不发生偏转，我们能否说这个区域没有磁场？解 由洛仑兹力e =-⨯F v B 可知，电子进入磁场是否受力偏转与电子进入磁场时的速度方向有关，若电子进入磁场时初始速度方向与磁场方向平行，即sin 00vB ⨯==v B此时虽然磁感强度不为零，但电子运动路径不会发生偏转.10-8 方程q =⨯F v B 中的三个矢量，哪些矢量始终是正交的？哪些矢量之间可以有任意角度？解 由右手螺旋法则可知 q =⨯F v B 中 ，力F 与粒子速度v ，F 与磁感强度B 始终正交，v 与B 可以有任意角度.10-9 气泡室是借助于小气泡显示在室内通过的带电粒子径迹的装置，如图是气泡室中所摄照片的描绘图，磁感强度B 的方向垂直平面向外，在照片的点P 处有两条曲线，试判断哪一条径迹是电子形成的？哪一条是正电子形成的？解 由q =⨯F v B 可知向右偏离的径迹是正电子形成的, 向左下偏离的径迹是电子形成的.10-10 在磁场中，若穿过某一闭合曲面的磁通量为零，那么，穿过另一非闭合曲面的磁通量是否也为零呢？解 不一定. 磁场为有旋无源场，由磁场中的高斯定理可知，穿过任一闭合曲面的磁通量必为零，即d 0SΦ=⋅=⎰B S ；而穿过一非闭和曲面的磁通量不一定为零，例如处于均匀磁场中的半球面S ，磁感强度的方向与半球面中轴线平行，则穿过此半球面的磁通量为2d 2SR B Φ=⋅=π⎰B S .10-11 安培定律d d I =⨯F l B 中的三个矢量，哪两个矢量始终是哪些矢量始终是正交的？哪些矢量之间可以有任意角度？解 由右手螺旋法则可知d d I =⨯F l B 中, 安培力d F 与d I l 、安培力d F 与磁感强度B 始终是正交的, d I l 与B 之间可以有任意角度.10-12 如图，把一载流线圈放入一永久磁铁的磁场中，在磁场的作用下线圈将发生转动.（1）图（a ）中的线圈怎样转动？（2）图（b ）中的线圈由上往下看是顺时针在转动，问磁铁哪一边是N 极，哪一边是S 极？（3）图（c ）中的线圈由上往下看是反时针在转动，问线圈中电流的流向怎样？解 (1) 图（a ）中的线圈由上往下看是反时针转动. （2）图（b ）中左边磁铁是N 极,右边磁铁是S 极. （3）图（c ）中线圈电流是顺时针.10-13 如均匀磁场的方向铅直向下，一矩形导线回路的平面与水平面一致，试问这个回路上的电流沿哪个方向流动时，它才处于稳定平衡状态？解 载流回路在磁场中会受到磁场的作用. 要矩形导线回路处于平衡状态，则要求整个导线回路所受合力及磁力矩都为零. 由于回路为矩形，无论电流流向如何，它所受合外力均为零. 同时要使回路所受磁力矩也为零，由n IS =⨯M e B 可知，载流线圈的n e 方向必须与磁感强度的方向相同，回路所受的磁力矩才为零，即电流方向与磁感强度方向应遵从右手螺旋定则.10-14 如图所示，有两个圆电流A 和B 平行放置，这两个圆电流间是吸引还是排斥?解 圆电流A 产生的磁场与B 产生的磁场方向相反, 它们之间相互排斥.10-15 若在上题两圆电流A 和B 之间放置一平行的圆电流C （如图），这个圆电流如何运动？解 由各圆电流产生的磁场方向可知,圆电流A和C 相互吸引, 圆电流C 与B 相互排斥,所以圆电流C 向A 移动.INSIS N(a)(b)(c)A1I 2I 3I BC1I 2I AB习题10-1 如图所示，两根长直导线互相平行的放置，导线内电流大小相等均为10A I =，方向相同，求图中M 、N 两点的磁感强度B 的大小和方向（图中00.020m r =）.解 由无限长带电直导线在距离其r 处的磁感强度大小为02IB rμ=π可知，两导线在M 点产生的磁感强度大小相等为12002M M IB B r μ==π由右手螺旋法则可知它们的方向相反，由磁场的叠加可得M 点的磁感强度0M B =同理N 点的磁感强度为120000()cos()4N N N II B B B r r π=+=+4π4π 4001.010T Ir μ-==⨯2π其方向沿水平向左.10-2 已知地球北极地磁场磁感强度B 的大小为56.010T -⨯. 如图所示,如设想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发, 此电流有多大? 流向如何?解 设赤道圆电流为I ，地球半径为66.3710m R =⨯。

由教材可知，圆电流轴线上距圆心R 处（地球北极）的磁感强度()2032222IR B R Rμ==+由上式可知，此电流大小为901.7210A I μ==⨯2M B由于地磁场由南极指向北极，由右手螺旋法则可知，此圆电流的流向应为自西向东.10-3 如图所示,几种载流导线在平面内分布,电流均为I ,它们在O 点的磁感强度各为多少?解 （1）图（a ）中的载流导线可看作两根直导线和一段14圆弧形导线组成。

场点O 在两根直导线的延长线上，有d 0I ⨯=l r ，这两根直导线在O 点产生的磁场为零。

所以此时O 点处磁感强度由14圆弧电流激发，即 08O IB Rμ=由右手定则可知O B 方向垂直纸面向外.（2）O 点磁感强度可看作是一圆电流和长直电流在此处的叠加，圆电流在O 点产生的磁感强度垂直纸面向里，长直电流在O 点产生的磁感强度垂直纸面向外，总的磁感强度为0022O IIB RRμμ=-π方向垂直纸面向里.（3）O 点磁感强度可看作是一半圆电流和两根长直电流在此处的叠加，O 点总的磁感强度为0000044O IIIIIB RRRRRμμμμμ=++=+4π4π2πN(a)(b)(c)O B 方向垂直纸面向外.10-4 如图所示,半径为R 的木球上绕有密集的细导线, 线圈平面彼此平行,且以单层线圈覆盖住半个球面,设线圈的总匝数为N ,通过线圈的电流为I . 求球心处O 的磁感强度.解 如图所示，以球心为原点、半球中轴线为x 轴建立直角坐标系。

由于导线均匀绕在半球面上，我们可以将半球分成一组薄圆盘，每一个圆盘可看作一个圆电流元。

单位弧长上的线圈匝数为12N R ⎛⎫π⎪⎝⎭，每一个圆盘中的电流为 2d d d NI I N I R Rθ==⋅⋅π 它在球心处产生的磁感强度为22232d d 2()y B I x y μ=+考虑到cos x R θ=、sin y R θ=，将上式积分可得球心处总的磁感强度为2000sin d N IN IB RRμμθθπ==π4⎰10-5 如图所示,一宽为b 的薄金属板, 其电流为I ,试求在薄板的平面上,距板的一边为r 的点P 的磁感强度.2RxO解 如图所示，以点P 为原点O ，建立坐标轴Ox 。

我们可以将薄板分成宽度为d x 的长直电流，且d d II x b=，它在点P 处所产生的磁感强度为 d d 2I B xμ0=π由于各长直电流在点P 处产生的磁感强度方向相同，故将上式积分可得总的磁感强度为d ln22b+rrIIb+rB x bxbrμμ00==ππ⎰B 的方向垂直于纸面向里.10-6 如图所示, 载流长直导线的电流为I . 试求通过矩形面积的磁通量.解 以直导线上一点为原点O ，以通过点O 的垂线为Ox 轴. 则载流导线在距其x 处产生的磁感强度为 2IB xμ0=π可见导线周围各点的磁感强度并不相同，我们可以通过积分来求通过矩形面积的磁通量，即2121d d ln22d Sd IIld l x xd μμΦ00=⋅=⋅=ππ⎰⎰B S10-7 如图, 在磁感强度为B 的均匀磁场中,有一半径为R 的半球面, B 与半球面的轴线夹角为α. 求通过该半球面的磁通量.解 取半球面1S 和球面截圆2S 组成的闭合曲面S ，由磁场高斯定理可知d 0S=⎰B S ⋅所以穿过半球面1S 的磁通量为I12212d d cos S S R B α=-=π⎰⎰B S B S ⋅⋅10-8 已知210mm 裸铜线允许通过50A 电流而不致导线过热，电流在导线横截面上均匀分布. 求（1）导线内、外磁感强度的分布；（2）导线表面的磁感强度.解 （1）将导线看作半径210mm R =为长直圆柱体，由于电流在导体内均匀分布，它产生的磁场也呈轴对称，取同心圆环为环路L ，对于半径为r 的环路，由安培环路定理可得2ld B r I μ=π=∑⎰B l ⋅在导线内，半径为r 的圆环内的电流2222I Ir I r R R=π=π∑，则半径为r 的同轴圆柱面上各点的磁感强度为 022IrB Rμ=π在导线外，I I =∑，所以导线外部的磁感强度为02IB rμ=π（2）由上问可知，在导线表面的磁感强度连续，所以表面的磁感强度为 30 5.610T 2IB Rμ-==⨯π10-9 有一同轴电缆，其尺寸如图所示. 两导体中的电流均为I ，但电流的流向相反，导体的磁性可以不考虑. 试计算以下各处的磁感强度：（1）1r R <；（2）12R r R <<；（3）23R r R <<；（4）3r R >. 画出B r -图线.解 由于电缆中电流均匀分布，其产生的磁场也呈轴对称，取不同半径的同心环为积分环路，由安培环路定理有d 2lB r I μ=π=∑⎰B l ⋅当1r R <时 222211I Ir I r R R =π=π∑，磁感强度为301212IrB Rμ=π当12R r R <<时I I =∑，磁感强度为022IB rμ=π当23R r R <<时 ()()2222232rR I I I RR-=--∑，磁感强度为()()2203322322I R r B r R Rμ-=π-当3r R >时0I =∑，磁感强度为40B =其B r -分布曲线如右.10-10 设电流均匀流过无限大导电平面，其电流密度为j . 求导电平面两侧的磁感强度.解 导电平面内电流均匀分布，平面两侧的磁感强度大小相等，方向相反。