2004年全国统一高考数学试卷Ⅰ(文)

第1页（共15页）2003年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）直线2y x =关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．12y x =-B ．12y x =C ．2y x =-D ．2y x =2．（5分）已知(2x π∈-，0)，4cos 5x =，则tan 2x 等于( ) A ．724B ．724-C ．247D ．247-3．（5分）抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为( ) A ．18B ．18-C ．8D ．8-4．（5分）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为( )A ．48B ．49C ．50D ．515．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，12120F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为( ) ABCD6．（5分）设函数12210()0x x f x xx -⎧-⎪=⎨⎪>⎩…若0()1f x >，则0x 的取值范围是( )A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞7．（5分）已知5()f x lgx =，则f （2）(= ) A ．2lgB ．32lgC ．132lgD ．125lg8．（5分）函数sin()(0)y x ϕϕπ=+剟是R 上的偶函数，则(ϕ= ) A ．0B ．4πC ．2π D ．π9．（5分）已知点(a ，2)(0)a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则(a = ) AB．2C1D110．（5分）已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为( )。

200４年全国普通高等学校招生全国统一考试数 学(广东卷)注意事项:1．答卷前,考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校,以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2Ｂ铅笔将试卷类型（Ａ)填涂在答题卡相应位置上.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.３． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效.４．作答选做题时,请先用2Ｂ铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题(共1２小题,每题5分,计60分）１.已知平面向量a ＝（3，１），b ＝(x,–3)，且a b ⊥,则x ＝ ( )Ａ.－3 B.-１ ﻩC ．1 ﻩD ．３ 2．已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x xx =+>=+≤则A B =( ） ﻩＡ．[)(]3,21,2-- Ｂ．(]()3,21,--+∞ Ｃ． (][)3,21,2-- D ．(](],31,2-∞-3．设函数2322,(2)()42(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a=( )ﻩA ．12-Ｂ.14-ﻩＣ.14 D ．134．123212lim 12311n n nn n n n n →∞--+-+-+++++（）的值为 ﻩ( ） ﻩA.-１ ﻩB.0 ﻩC. 12ﻩD ．15.函数f （x ）22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 ﻩ( )图(2)图(1)ﻩＡ.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数 C. 周期为２π的偶函数 D ．．周期为2π的奇函数６．一台Ｘ型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.８00０，有四台这中型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 ﻩ（ ) ﻩA ．0.1536 B ． ０.1８08 C ． 0.56３２ﻩD ． ０.9７２87．在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 （ ） ﻩA.23 ﻩB. 76C.45 ﻩD ． 568．若双曲线2220)x y kk -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2,则k ＝ ﻩ( ） ﻩA. 6 ﻩB ． 8C ． 1D ． 49.当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是 （ ) ﻩA. 4 ﻩB.12Ｃ.2 D.1410.变量x 、y 满足下列条件:212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x ＋２ｙ的值最小的（x,y ）是ﻩ（ ）ﻩＡ． ( 4.5 ,３ )Ｂ. ( 3,6 ) ﻩC ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 )１1．若tan 4f x x π=+（）（），则ﻩﻩﻩ（ ) Ａ．1f -（）>f (0)>f (1)B.f （0）>f (1)>f (-1) C ． 1f （）>f (0)>f (-1)D ． f （0）>f(-1)>f (1) 12．如右下图,定圆半径为 ( b ，ｃ ), 则直线ax+b ｙ＋c=0与直线 x –y+1=0的交点在( )ﻩA ． 第四象限 Ｂ. 第三象限 C ．第二象限 D ． 第一象限二、填空题(共４小题,每题4分,计16分）13．某班委会由４名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长,其中至少有１名女生当选的概率是(用分数作答）１4.已知复数z 与 (z ＋２)２-８ｉ 均是纯虚数,则 z = . 15．由图（1)有面积关系： PA B PAB S PA PB S PA PB ''∆∆''⋅=⋅，则由(2） 有体积关系: P A B C P ABC V V '''--=１6． 函数10)f x In x =>（））（的反函数f 三、解答题(共6小题，７4分)。

2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．47．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．412．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）===﹣故选：B．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．4【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故选：C．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120°，故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n ﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S=4πR2=16π．球故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是①或⑤（写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为，求出直线m与l1的夹角为30°，推出结果．【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，由此能得到{a n}，{b n}的通项公式．【解答】解：设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，解得q=2，d=2∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2n﹣1．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5），（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5）．（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3•A4+B3•B4，由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P （B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）=P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04﹣3x02+6﹣x0（4x03﹣6x0）=0，整理得（x02+1）（x02﹣2）=0，解得或．所以的方程为y=2x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。

2004年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理工农医类)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟． 第I 卷（选择题 共40分） 注意事项：1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式sin cos [sin()sin()]αβαβαβ=++-12cos cos [cos()cos()]αβαβαβ=++-12sin sin [cos()cos()]αβαβαβ=-+--12正棱台、圆台的侧面积公式 S c c l 台侧=+12(')其中c’，c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长球体的表面积公式S R 球=42π其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集是实数集R ，M x x =-≤≤{|}22，N x x =<{|}1，则M N 等于（ ）A ．{|}x x <-2B ．{|}x x -<<21C ．{|}x x <1D ．{|}x x -≤<21 2．满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A ． 一条直线B ． 两条直线C ． 圆D ． 椭圆 3．设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ// 其中正确命题的序号是（ ） A ．①和② B ． ②和③C ． ③和④D ． ①和④4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面BB C C 11内一动点，若P 到直线BC 与 直线C D 11的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）D C 1A CA ．直线B ．圆C ． 双曲线D ． 抛物线5．函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ）A ．a ∈-∞(,]1B ．a ∈+∞[,)2C ．a ∈[,]12D ． (,1][2,)a ∈-∞+∞6．已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 （ ） A ．ab ac > B ． c b a ()-<0C ． cb ab 22<D ． 0)(<-c a ac7．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取 法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则mn等于 （ ）A ．110B ． 15C ． 310D ． 258．函数,(),x x Pf x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定(){|(),}f P y y f x x P ==∈，(){|(),}f M y y f x x M ==∈，给出下列四个判断：①若P M =∅，则()()f P f M =∅ ②若P M ≠∅，则()()f P f M ≠∅ ③若PM R =，则()()f P f M R =④若PM R ≠，则()()f P f M R ≠其中正确判断有 （ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________． 10．方程lg()lg lg 4223xx+=+的解是___________________ ．11．某地球仪上北纬30纬线的长度为12πcm ，该地球仪的半径是__________cm ，表面积是______________cm 2． 12．曲线C ：x y ==-+⎧⎨⎩cos sin θθ1（θ为参数）的普通方程是__________，如果曲线C 与直线x y a ++=0有公共点，那么实数a 的取值范围是_______________．13．在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最______________值（填“大”或“小”），且该值为______________．14．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求tgA 的值和∆ABC 的面积． 16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，AB ＝3，AA 14=，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：（I ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长; （II ）PC 和NC 的长;（III ）平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）1N C B17．（本小题满分14分）如图，过抛物线y px p 220=>()上一定点00(,)P x y （y 00>），作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y （I ）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离 （II ）当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y y y 12+的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数x18．（本小题满分14分）函数f x ()是定义在［0，1］上的增函数，满足f x f x()()=22且f ()11=，在每个区间(,]12121i i -（i =1，2……）上，y f x =()的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分． （I ）求f ()0及f ()12，f ()14的值，并归纳出f i i ()(,,)1212= 的表达式;（II ）设直线x i =12，x i =-121，x 轴及y f x =()的图象围成的矩形的面积为a i （i =1，2……），记S k a a a n n ()lim()=+++→∞12 ，求S k ()的表达式，并写出其定义域和最小值19．（本小题满分12分）某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB =5km ，BC =3km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站．在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．（I ）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差;（II ）若要求列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围． 20．（本小题满分13分）给定有限个正数满足条件T ：每个数都不大于50且总和L ＝1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r 1与所有可能的其他选择相比是最小的，r 1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r 2；如此继续构成第三组（余差为r 3）、第四组（余差为r 4）、……，直至第N 组（余差为r N ）把这些数全部分完为止．（I ）判断r r r N 12,,, 的大小关系，并指出除第N 组外的每组至少含有几个数; （II ）当构成第n （n <N ）组后，指出余下的每个数与r n 的大小关系，并证明r n Ln n ->--11501;（III ）对任何满足条件T 的有限个正数，证明：N ≤11．2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．A 2．C 3．A 4．D 5．D 6．C7．B 8．B二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分． 9．π10．x x 1201==, 11．43 192π12．x y 2211++=() 1212-≤≤+a13．大 -314．3 当n 为偶数时，S n n =52；当n 为奇数时，S n n =-5212三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．满分13分． 解法一：.21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180A <<,.323131)6045(.105,6045--=-+=+=∴==-∴tg tgA A Asin sin sin()sin cos cos sin A ==+=+=+105456045604560264．S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin () 解法二： sin cos A A +=22, （1） .0c o s ,0s i n ,1800,21c o s s i n 2,21)c o s (s i n 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A(sin cos )sin cos A A A A -=-=21232, ∴-=sin cos A A 62, （2） （1）+（2）得：sin A =+264, （1）－（2）得：cos A =-264, ∴==+⨯-=--tgA AAsin cos 26442623． （以下同解法一）16．满分14分．解：（I ）正三棱柱ABC A B C -111的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为949722+=．（II ）如图1，将侧面BB C C 11绕棱CC 1旋转120使其与侧成AA C C 11在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线．B设PC x =，则P C x 1=，在Rt MAP ∆1中，由勾股定理得()322922++=x 求得x =2．.54,52.2111=∴====∴NC A P C P MA NC C P PC（III ）如图2，连结PP 1，则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线，作NH PP ⊥1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得，CH PP ⊥1．A∴∠NHC 就是平面NMP 与平面ABC 所成二面角的平面角（锐角） 在Rt PHC ∆中， ∠=∠=PCH PCP 12601, 12PCCH ∴==． 在Rt NCH ∆中，tg NHC NC CH ∠===45145, 故平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小为arctg 45． 17．满分14分． 解：（1）当y p =2时，x p =8, 又抛物线y px 22=的准线方程为x p=-2．由抛物线定义得，所求距离为p p p8258--=()．（2）设直线P A 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 由y px 1212=，y px 0202=,相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-． 故k y y x x py y x x PA =--=+≠101010102()．同理可得k py y x x PB =+≠22020()．由P A ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =-, 即221020p y y py y +=-+, 所以y y y 1202+=-, 故y y y 1202+=-． 设直线AB 的斜率为k AB由y px 2222=，y px 1212= 相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-, 所以k y y x x py y x x AB =--=+≠212112122()． 将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB =+=-2120，所以k AB 是非零常数．18．满分14分．解：（I ）由f f ()()020=，得f ()00=由f f ()()1212=及f ()11=，得f f ()()1212112==． 同理，f f ()()1412124==1．归纳得f i i i()(,,)121212== ． （II ）当时, f x k x i i ()()=+---121211a k i i i i i i i =++------121212121212121111[()]()=-1=-()(,,)1421221k i i ．所以{}a n 是首项为1214()-k ，公比为14的等比数列,所以S k a a a k k n n ()lim()()()=+++=--=-→∞1212141142314． S k ()的定义域为0<≤k 1，当k =1时取得最小值12．19．满分12分． 解：（I ）列车在B ，C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是 ||3007v -和||48011v-． （II ）由于列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以||||3007480112v v-+-≤． （*） 当03007<≤v 时，（*）式变形为3007480112v v -+-≤,解得393007≤≤v ; 当300748011<≤v 时，（*）式变形为7300480112-+-≤v v,解得300748011<≤v ; 当v >48011时，（*）式变形为700114802-3+-≤v v ,解得480111954<≤v ． 综上所述，v 的取值范围是[39，1954]20．满分13分．解：（I ）r r r N 12≤≤≤ ．除第N 组外的每组至少含有150503=个数 （II ）当第n 组形成后，因为n N <，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差r n ，余下数之和也大于第n 组的余差r n ，即L r r r r n n --+-++->[()()()]150******** , 由此可得r r r n L n 121150+++>-- ．第11页 共11页 因为()n r r r r n n -≥+++--11121 ，所以r n L n n ->--11501． （III ）用反证法证明结论，假设N >11，即第11组形成后，还有数没分完，由（I ）和（II ）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r 11，且r r 1110≥,故余下的每个数>≥>⨯-=r r 111015*********375. ． （*） 因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37531125..⨯=． 此时第11组的余差11150r =-第11组数之和150112.537.5<-=这与（*）式中r 11375>.矛盾，所以N ≤11．。