chapter_1_应力分析

1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
2
(1-7)
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。 坐标系： － 圆 半 应力圆 心： 轴上点 径：
1 ( 1 2 ) 2
1 ( 1 2 ) 2
单 向 拉 伸 时 轴 与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
即：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
1 cos2 2 sin 2
(1-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
任一截面上 的 和 确定方法：
取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和
弹性与塑性力学基础
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第 一 章
应 力 分 析
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
1.1.1 应力定义
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➢ 最大剪应力(maximun shear s3
则有最大剪应力：
max1
3
2
或者： 其中：
且有：
maxmax1{2,23,31}
12122,23223,31321 1223310
§1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
这组截面的方向余弦为：
度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
➢ 主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材） ➢ 主应力的图示
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
➢ 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零） 平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。
1MPa=106 N/m2
➢ 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力不同。
➢ 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
➢ 应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx 、 xz ……
（便于计算机应用）
i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外
§1.2 点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量 §1.2.2 主剪应力和最大剪应力 §1.2.3 八面体应力与等效应力
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程：
3I12I2I30 (3I12I2I30)
(1)(2)(3)0
'
'
22
'
'
33

9. 平均应力：(σ1+σ2+σ3)/3＝σ 。
10. 偏应力
σ1′＝σ1－σ
σ2 ′＝σ2－σ
σ3 ′＝σ3－σ
地壳深部一般应力状态：σ1＝σ2＝σ3＝ρgh，接近于静岩应力状态。
1. 应力场：受力物体内部各点瞬时应力状态的组合
均匀应力场：各点应力状态相同（可以按点应力方法处理）
5. 主应变和应变主方向
在均匀变形条件下，变形物体内部总是可以截取这样一个立方体，其三个相互垂直的截面上只有线应变而无剪应变，这三个线应变称为主应变，这三个主平面称为主应变面。
最大伸长方向：最大应变主方向(λ1)或最大主应变轴(X or A)
最大压缩方向：最小应变主方向(λ3)或最小主应变轴(Z or C)
3. 均匀变形和非均匀变形
均匀变形：各部分的变形性质、方向、大小均相同。特征：
变形前的平面、直线变形后仍保持平面和直线；
变形前相互平行的平面和直线变形后仍保持平行
非均匀变形：物体内部各部分变形的方向、大小和性质不一致。
非均匀连续变形可以分解成若干部分，按均匀变形的方法加以研究。
1.应力状态:过物体中某一点的各个不同方向截面上的应力情况(18个)。
弹性力学(剪应力互等定理)证明：任何受力 主平面（主应力面）：
主应力所作用的截面：S1, S2, S3
3. 主应力：
σ1(最大)，σ2 (中间) ，σ3 (最小) ；?1- ?3 之值称为应力差。
4. 主应力轴：σ1，σ2，σ3每对主应力的方向线
5. 应力椭球：以物体内一点主应力s1， s2 ， s3为主轴的椭球体。
直观表达物体内该点受力状况。
6. 应力椭圆：应力椭球的三个主切面

第一章：应力分析*任意斜截面应力分析图1 图2 下图为一个直角三棱柱立体图形。

图三∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。

作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。

同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。

因此斜截面的法线方向与三个轴之间的夹角分别为HPA,HPB,HPC 。

易得：HPC=PDC,斜截面的ABC 的面积与PAB 的面积之比，为PD/CD,即角PDC 的余弦值与法线跟轴之间角的余弦相等。

设l=cos(N,x) m=cos(N,y) n=cos(N,z) ，斜截面的面积为S 。

则各直角面的面积为：OAB=nS OBC=lS OAC=mS1222=++nml在图二中：对x 方向受力分析，同理可得其他方向的受力平衡方程现在已知斜截面上应力的各个分量，那么2222zy x p p p p ++=主矢量在斜截面法向方向的投影就可以通过向量表达式之间的向量积表示。

主矢量的向量表达式：kp j p i p p z y x++= 法线方向的向量表达式：kn j m i l N++=则p 在n 方向上的投影表示如下：nlmn lm n m l N p zx yzxy z yxτττσσσσ222222+++++=⋅= 垂直于法线方向的切向应力：22στ-=p*等倾面上的应力（八面体应力）此时31===n m l ，且只包含正应力321σσσ，，，其它均为零。

则）（3210831σσσσσ++==113/1σσ==l p x223/1σσ==m p y333/1σσ==n p z)(312322212222σσσ++=++=z y x p p p p则：23212322212822891-31-p ）（）（σσσσσσστ++++==最后化简得：()()()213232221831σσσσσστ-+-+-=将斜截面上的三个分力投影到等倾面上，则投影到面上的力的大小为？？援引图三即图中PA 投影到面ABC 上，AH 的长度。