二次根式的乘法运算

二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。

表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。

乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。

非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。

除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。

二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。

根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。

计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。

根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。

化简$sqrt{18}$。

首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。

典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。

如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。

不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。

二次根式加减乘除混合运算考点与解析1．计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心．2．计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．4．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．5．计算：（1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1（2）（1+）÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：（1）原式=﹣﹣﹣2=﹣2；（2）原式=•=x．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算．6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．解答：解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．=1+3=（1+2+3）=6+0=6点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．化简：（1）（2）（3）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）、（2）利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；（3）根据平方差公式计算．解答：解：（1）原式=4；（2）原式=；（3）原式=（﹣）（+）=3﹣2=1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．计算：（1）（2）﹣5+6（3）×﹣（4）﹣π（精确到0.01）．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）把≈1.414，π=3.142代入原式进行近似计算即可．解答：解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=4﹣+=3；（3）原式=﹣=20﹣3=17；（4）原式≈0.5+1.414﹣3.142≈﹣1.23．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．计算：（）﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣（2﹣1）+=3﹣2+1+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．11．计算：+（﹣）+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．12．计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．计算：（2﹣）2+﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．14．计算（1）（2）．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．（1）计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1（2）化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；（2）根据分式的混合运算法则求解．解答：解：（1）原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；（2）原式=•﹣=﹣=．点评：本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．16．计算：（1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3|（2）÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进行加减运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．解答：解：（1）原式=3+1﹣2+3=5；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．17．计算（1）÷+﹣3（2）（+）（﹣）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解答：解：（1）原式=+2﹣3=0；（2）原式==a﹣2b．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（1）（2）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，然后进行减法运算；（2）先去括号，然后合并即可．解答：解：（1）原式=4+4×（﹣）=4﹣3=1；（2）原式=2+2﹣=2+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算题：（1）+﹣；（2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先进行二次根式的化简，然后合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：（1）原式=3+﹣=4﹣；（2）原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．20．计算（1）+（3+）（2）（﹣）×2（3）先化简，再求值．（a+）﹣（﹣b），其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：（1）原式=3+3+2=8；（2）原式=2﹣2=4﹣；（3）原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的化简求值．。

全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。

二次根式乘除法计算题
正文:
二次根式乘除法是数学中的一个重要概念。

在解题过程中，我们需要将二次根式进行乘法或除法运算，以求得最简形式的结果。

在进行乘法运算时，我们需要使用乘法公式。

具体来说，如果有两个二次根式a√b和c√d相乘，那么它们的乘积可以表示为(ac)√(bd)。

需要注意的是，乘法公式只适用于根号下的数相同的情况。

如果根号下的数不同，则无法进行简化。

举个例子，我们来计算(3√5)(2√5)的乘积。

根据乘法公式，我们可以将这两个二次根式相乘，得到(3*2)√(5*5)，即6√25。

最后，我们可以进一步简化这个结果，得到6*5=30。

因此，(3√5)(2√5)=30。

在进行除法运算时，我们需要将被除数和除数分别进行有理化。

具体来说，如果有两个二次根式a√b和c√d相除，我们可以将它们分别乘以分式c√d/c√d，然后进行简化。

这样，我们可以消去根号下的分母，得到最简形式的结果。

举个例子，我们来计算(4√3)/(2√2)的结果。

首先，我们将被除数和除数分别乘以分式2√2/2√2，得到(4√3*2√2)/(2√2*2√2)。

通过简化，我们可以得到(8√(3*2))/(2*2√(2*2))=(8√6)/(4√4)。

继续简化，我们可以得到(8√6)/(4*2)=(8√6)/8=√6。

因此，(4√3)/(2√2)=√6。

通过以上的例子，我们可以看到，在二次根式乘除法计算题中，我们需要运用乘法公式和有理化的方法，以求得最简形式的结果。

这些方法是解决二次根式乘除法问题的关键，希望对大家的学习有所帮助。

教学过程：预设问题：1、二次根式乘法的法则是什么？2、二次根式的乘法如何计算？3、二次根式乘法在计算时应该注意什么？ 一、创设情境，导入新课 计算，并认真观察你有什么发现？__________94=⨯ ， __________94=⨯__________254=⨯ ， __________254=⨯__________169=⨯ ， __________169=⨯。

你发现有什么规律：二次根式的乘法法则：)0,0(≥≥=∙b a ab b a用语言描述：两个非负数的算术平方根的乘积等于这两个数的乘积的算术平方根。

二、自探合探结合法则看书上55页例1，完成下面的计算。

计算： （1）53⨯ （2）2731⨯ （3）y xy 224⨯三、学生展示与评价：注意：1、讲清运算步骤2、计算结果ab 中ab 要是含有平方数一定要开出来。

四、再探1、利用()0,0≥≥⋅=b a b a ab 及()02≥=a a a 进行化简 自学教材55页例2，完成下面的化简。

化简：（1）8116⨯ (2)324b a (3)()()2235-⨯-(4)()()4916-⨯- （5）22817-2、二次根式乘法的逆用：()0,0≥≥=⋅b a ab b a 计算：（1）714⨯ （2）10253⨯ （3）xy x 313∙3、灵活运用公式：把下列各式中根号外的因式移到根号里面 （1）212 （2）1.010 （3）()01〉a a a （4）估计53介于哪两个连续的整数之间。

五：教师点拨精讲总结： 二次根式的被开方数不含开得尽方的因数或因式。

运用公式()02≥=a a a 和()0,0≥≥⋅=b a b a ab 进行解答时注意符号问题。

六、课堂检测：一、选择题：1.化简二次根式()()=⨯-352A 35-B 35C 35±D 752.下列计算正确的是（） A ()()69494-=-⨯-=-⨯- B 188142712=⨯=⨯ C 624416416=+=+=+ D1212414414=⨯=⨯= 3.化简()()1214916-⨯⨯-得（）A 22B ±22C ±308D 3084.如果6424102-∙-=+-m m m m ，则实数m 的取值范围是（） A m ≥4 B m ≥6 C 4≤m ≤6 D m 一切实数取二、填空题5.计算：=⨯65 =∙31a a =y x 450 =90316.已知一个三角形的底边长为42cm,底边上的高为30cm ，则此三角形的面积为：三、解答题8.计算：（1）351223⨯ (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-6722447 (3)144262⨯⨯ (4)2249-9.已知菱形的两条对角线长分别为142和214，求此菱形的面积和周长七、作业设计：数学书56页练习的1——3题。

二次根式的运算二次根式是指具有2次方根号的数学表达式，它在数学中有着广泛的应用。

在数学运算中，我们常常需要对二次根式进行加减乘除以及化简等操作。

本文将介绍二次根式的运算方法，以帮助读者更好地理解和应用二次根式。

一、二次根式的加减运算对于具有相同根指数的二次根式，我们可以通过合并系数进行加减运算。

例如：√2 + √3 = √2 + √3 （无法合并）√2 + √2 = √2 + √2 = 2√2当根指数或根数不同的时候，我们无法进行直接相加或相减。

例如：√2 + √3 （无法直接相加）这种情况下，我们可以使用有理化的方法将根式的根指数或根数相同，然后再进行加减操作。

有理化的方法有以下两种常见形式：1. 乘法有理化：a√n + b√n = (a + b)√n （其中 a 和 b 为任意实数）2. 共轭有理化：a√n + b√m = (a√n + b√m)×(√n - √m) / (√n - √m) = (a√n√n - b√m√n +b√m√n - b√m√m) / (√n - √m)二、二次根式的乘除运算1. 乘法运算：a√n × b√m = ab√n√m （其中 a 和 b 为任意实数）2. 除法运算：(a√n) ÷ (b√m) = (a√n) / (b√m) = (a / b) × (√n / √m) = (a / b) × (√n√m / √m√m) = (a / b) × (√nm / m)三、二次根式的化简当根式中的根数是平方数的倍数时，我们可以将其化简为整数形式。

例如：√4 = 2√9 = 3当根式中存在约数时，我们可以将其提出并化简。

例如：√18 = √9 × √2 = 3√2对于复杂的二次根式，我们可以应用上述的运算规则进行多次化简，直至得到最简形式。

总结：通过本文的介绍，我们了解了二次根式的运算方法，包括加减乘除和化简。

二次根式的运算知识点及经典试题知识点一：二次根式的乘法法则：ab b a =⋅（0≥a ，0≥b ），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：（1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；（2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如416=. 知识点二、积的算术平方根的性质：b a ab ⋅=（0≥a ，0≥b ），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：（1）在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足0≥a ，0≥b 才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； （2） 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有2a 形式的a 移到根号外面. （3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即：()()⨯2②利用积的算术平方根的性质b a ab ⋅=（0≥a ，0≥b ）；③利用⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a （一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外；（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简知识点三、二次根式的除法法则：baba =（0≥a ，0>b ），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质bab a =（0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0. （2）步骤：①利用商的算术平方根的性质：bab a =（0≥a ，0>b ） ② 分别对a ，b 利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化，即a a =2)(（0≥a ） （3） 被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式. 要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的带分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数； (2)被开方数是多项式的要进行因式分解； (3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外； (5)化去分母中的根号； (6)约分.3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.知识点与讲义3二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； (3)合并同类二次根式. 知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次 式之和或差，或是有理 式. 规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减. (1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算 (1)×； (2)×； (3)×； (4)×.解：(1)×=； (2)×==；(3)×==9； (4)×==.2、计算：(1)； (2)； (3)； (4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2； (2)==×2=2；(3)===2； (4)===2.3、化简(1)； (2)； (3)； (4)； (5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12； (2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy (5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)； (2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确改正：×=×===＝4.4、化简：(1)； (2)； (3)； (4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=(2)=(3)=；(4)=.举一反三知识点与讲义5【变式1】已知，且x 为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x ≤9，∵x 为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m ＞0，n ＞0)； (2)-3÷()× (a ＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)； (2)； (3)； (4)； (5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( ) A. B. C.D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.知识点与讲义7总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a 、b 的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；• 事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b ．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算 9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三 【变式1】计算(1)3-9+3； (2)(+)+(-)；(3)； (4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15； (2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01)解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)× (2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).（3）()()200020013232______________-+=思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.（3）略类型六、化简求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：4x2+y2-4x-6y+10=04x2-4x+1+y2-6y+9=0∴(2x-1)2+(y-3)2=0∴x=，y=3知识点与讲义9原式=+y2-x 2+5x=2x +-x +5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x +)-(4y +)，其中x=，y=27．解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】.已知x=2+1，求（22121x x x x x x +---+）÷1x 的值．类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？ 解：设底面正方形铁桶的底面边长为x ，则x 2×10=30×30×20，x 2=30×30×2， x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出： a=_______(a＞0)，并验证你的结论．解：a=验证：a====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.【变式1】对于题目“化简求值：1a+2212aa+-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同．甲的解答是：1a+2212aa+-=1a+21()aa-=1a+1a－a=2495aa-=知识点与讲义11乙的解答是：1a +2212a a+-=1a +21()a a -=1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？跟踪练习21.1 二次根式： 1. 使式子4x -有意义的条件是 。

二次根式的运算第1课时1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立．②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根． ③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4× 3.6；(2)545×3223. 分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法． 解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230. 2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a ≥0，b ≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．②公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)可以推广为abc ＝a ·b ·c (a ≥0，b ≥0，c ≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简： (1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a 3b 6(a ＞0，b ＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)进行化简． 解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a 3b 6＝42·6·a 2·a ·(b 3)2＝4ab 36a .3．二次根式的除法法则 对于两个二次根式a ，b ，如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b .②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a ≥0，b ＞0与二次根式乘法的条件a ≥0，b ≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝m na b (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用：(1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b ； (2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握)【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内．(1)535； (2)－2a 12a； (3)－a －1a ； (4)x y x(x ＜0，y ＜0)． 分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15. (2)∵12a＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a＝－(2a )2·12a＝－2a . (3)∵－1a＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a)＝－a . (4)∵x ＜0，y ＜0，∴x y x ＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋b b 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2. 所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算(1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用．(3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件；②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上；④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式．【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a)． 分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除． 解：(1)9145÷(3235)×12223 ＝(9÷32×12)145÷35×83＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12ab a 2b ·a b·a ＝－12ab a 4 ＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式． a 与a ；a ＋b 与a －b ；a ＋b 与a －b ；a b ＋c d 与a b －c d .③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab ＜0时，化简ab 2，得__________．(2)把代数式x －1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________． (3)把－x 3(x －1)2化成最简二次根式是__________． (4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是( )． A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙的解法都正确D ．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab 2中，因为ab 2≥0，所以ab ·b ≥0.因为ab ＜0，b ≠0，所以b ＜0，a ＞0.原式＝b 2·a ＝－b a .(2)因为－1x ≥0，又由分式的定义x ≠0，得x ＜0.所以原式＝－(－x )－1x＝－(－x )2(－1x)＝－－x . (3)化简时，需知道x ，x －1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出． ∵(x －1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x 3≥0，即x ≤0,1－x ＞0. 故原式＝(－x )2·(－x )(1－x )2＝－x 1－x－x . (4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a (2)－－x(3)－x 1－x－x (4)C 8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用．如：借助于计算器可以求得42＋32＝__________，442＋332＝__________，4442＋3332＝__________，4 4442＋3 3332＝__________，……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55，4442＋3332＝308 025＝555，4 4442＋3 3332＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－x x －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值． 分析：式子a b ＝a b，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x －6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6. ∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8.∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1) ＝(1＋x )x －4x ＋1 ＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6.【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38. 验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23； 338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38. (1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用． 解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415. (2)猜想：n n n 2－1＝n ＋n n 2－1(n ≥2，n 为正整数)． 证明：因为n n n 2－1＝n 3n 2－1＝n 3－n ＋n n 2－1＝n (n 2－1)＋n n 2－1＝n ＋n n 2－1，所以nn n 2－1＝n ＋n n 2－1.。

二次根式的运算二次根式是数学中的一个重要概念，是指具有根号的算式。

二次根式的运算是我们在解决数学问题中经常会遇到的一个基本操作。

本文将为您详细介绍二次根式的运算方法和相关的数学知识。

一、二次根式简介二次根式由一个或多个根号组成，其中根号下的数称为被开方数，例如√2、2√3等。

在二次根式的运算中，我们常常需要将二次根式进行加减乘除、化简、分解等操作。

接下来，我们将分别介绍这些运算方法。

二、加减运算1. 同类项相加减：对于同类项的二次根式，可以直接进行相加或相减。

例如√2 + √3 = √5，2√3 - √3 = √3。

2. 非同类项相加减：对于非同类项的二次根式，我们需要先将它们化为同类项，然后再进行运算。

例如√2 + 2√3，我们可以将√2写为2√2/√2，然后进行化简得到2√6/√2 + 2√3 = 2√6 + 2√6 = 4√6。

三、乘法运算二次根式的乘法运算遵循以下规律：1. 根号相乘：对于根号相乘的情况，可以直接将根号下的数相乘。

例如√2 * √3 = √6。

2. 同类项相乘：对于同类项相乘的情况，直接相乘即可。

例如2√2* 3√3 = 6√6。

3. 非同类项相乘：对于非同类项相乘的情况，我们可以将它们进行合并，然后进行化简。

例如(2√2)(3√5)，我们可以将2√2看作一个整体x，化简得到3x√5 = 6√10。

四、除法运算二次根式的除法运算遵循以下规律：1. 根号相除：对于根号相除的情况，可以直接将根号下的数相除。

例如√6 / √2 = √3。

2. 同类项相除：对于同类项相除的情况，直接相除即可。

例如2√6 / √2 = 2√3。

3. 非同类项相除：对于非同类项相除的情况，我们可以将它们进行合并，然后进行化简。

例如(6√10) / (2√2)，我们可以将6√10看作一个整体x，化简得到3x√2 = 3√20。

五、化简与分解1. 化简：对于二次根式的化简，我们要尽量将根号下的数化简为最简形式。

二次根式的四则运算知识梳理一、二次根式的乘除（1）积的算术平方根性质： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （2）二次根式的乘法法则： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （3）商的算术平方根的性质：bab a =（a ≥0，b ＞0） （4）二次根式的除法法则：b aba = （a ≥0，b ＞0） 二、分母有理化分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 三、同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 四、二次根式的（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 五、二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例题讲解例1.计算：（1）52⨯ （2）3221⨯ （3）8326⨯- （4）1052⨯⨯ 例2.化简（1）54⨯ （2）24 （3）()()4936-⨯- （4）()0,0424>>y x y x例3.计算下列各题 （1）312 （2）8123÷ （3）()72214-÷（4）531513÷（5）xyy 24针对练习1.已知()22-=-•a a a a 成立，则a 的取值范围是 .2.能使88-=-x xx x成立，则x 的取值范围是 . 3.化简下列二次根式：=90 =5.2=29 =3127a b ()=-≤++41682a a a 4.计算并化简（1）2863⨯ （2）6331227⨯⨯（3）322214÷- （4）()0113>÷a a bb a b a5.计算（1）6122÷⨯ （2）27121331⨯÷（3）32223513459⨯÷ （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷b a b b a 16.若a =5，b =17，则85.0的值用a ，b 可以表示为 . 7．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b 使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样（）2+（）2＝m ，•＝，那么便有＝()2ba ±＝±（a ＞b ）例如：化简解：首先把化为，这里m ＝7，n ＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝()234+＝2+由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）．例题讲解例4.计算 （1）2324+ （2）12273+-（3）x x x x 1246932-+ （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6813225.024例5.计算（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12814482 （2）()6342221⨯-例6.计算 （1）()62322+- （2）()()22322232---针对练习1．若最简二次根式与可以合并，则a＝．2．计算：2+++3﹣+（+5）﹣﹣+（+）（﹣）（）（2﹣3）÷（﹣）（+）+2 （）2﹣（2）（2）（1+）（）﹣（2）2 （）×﹣（）（）3.计算（1）()()322122-+ （2）()()201920182525+•-4.先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xy y x x xy y x y x 364363，其中23=x ，27=y .5.已知()3521+=a ，()3521-=b ，求22b ab a ++ .。

二次根式的乘除（第1课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（1＝，；（2＝，；（3，；【要点梳理】)0,0a b=≥≥即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．例1计算下列各题：（1（2；（3（4（5）；（6）．【课堂操练】1.计算下列各题：（1）（2（3；（4；（5；（62．等式=成立的条件是.【要点梳理】2．积的算术平方根的性质：)0,0a b=≥≥即：两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．例2化简：（1）；（2；（3；（4【课堂操练】１. 化简：（1（2；（3（4【要点梳理】例3化简：（1；（2（3；（4（5）(--．【课堂操练】1．化简：（1；（2（3；（4（5例4比较大小①例5.已知梯形的上底a=,下底b=高h=求面积S.【课后盘点】1.等式=成立的条件是．2＝＝3．＝4．比较大小：-5．把根号-外的因式移到根号内得62=，那么必须满足的条件是（）A．a取全体实数B．0a≥C．a＞０D．a＜０7．计算10253⋅的结果应该是（）A．300B．C．D8．下列计算准确的是( )A==B==C541==-=D==9．在下列运算：=-==()3515==-⨯-=5===中，准确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．已知为正实数，下列等式中，一定成立的是（）A=B22a b=+C．2a b=+D a b=-11．化简：（1；（2（3；（4(5) ；(6) ；(7) ．12．填空（1=（2=（3=（4=（5=（6= （7= （8= （9=（10= （11）×= （12= 13．判断下列各式是否准确，不准确的请改正： （1（2=4×=414．若直角三角形两条直角边的边长分别为，•那么此直角三角形斜边长是 （ ） A ．cm B ．cm C ．9cm D ．27cm15．化简（ ） ABC ．D ．16．等式1112-=-⋅+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-117．下列各等式成立的是 （ ） A ．8B ．C ．D ．=18． 自由落体的公式为S=12gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是_________． 19．计算下列各式:(2) (--(3)(4) -(5)(6)20．大家都知道当0a ≥时,a =,实质上当0a ≤时,a =-.这是因为a ==-．这个性质反过来同样成立，请使用上述结论，将下列根号外的因式移至根号内．(1) ;(2) -.21．cm,这边上的求此三角形的面积.22.已知矩形的宽为,长为, 求矩形的面积.23．一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？(设计人:周海燕)二次根式的乘除（第2课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？（1＝；（2＝，．【要点梳理】1.二次根式的除法法则：=0a≥,b>0）即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．例1 计算下列各题：（1；（2；（3；（4）；【课堂操练】1．计算下列各式：（1；（2（3；（4（52.商的算术平方根的性质：=（0a≥，b＞０）例2 化简：；练习：化简下列各式:(1)(2)(3)(4)(5) ；(6) ．例3 观察下列各式及其验证过程:=:(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想;（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且2n≥)表示的等式，并证明它成立.2．最简二次根式满足下列条件：(1) 被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式.例4下列二次根式中哪些是最简二次根式，哪些不是?，，(8)a>b)【课后盘点】1）A．27B．27CD2．阅读下列运算过程：====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，（）A．2 B．6 C．13D3.如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）A（y>0）By>0）C（y>0）D．以上都不对4．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）A B．D．5．在下列各式中，化简正确的是（）A B±12C D．6的结果是（）A．－3B．C．－3D．7．分母有理化: (1)66=_________；(2) ；(3) =______．8．已知x=3，y=4，z=5，最后结果是_______．9．（x ≥0）10．化简二次根式号后的结果是___ ．11分母有理化为.12=成立的条件是a b=ab的代数式表示为．14.·（-）÷（m>0，n>0）15.-3÷（）×（a>0）16.若y且x、y为实数，17.=，且x为偶数，求（1+x）的值．18.先化简,再求值.32322222b b ab ba b a a b ab a b+-÷--+-，其中a=，b=19.先将2x-,然后自选一个x合适的值,代入化简后的式子求值.20.已知x为奇数,且=求.21．已知a阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：解：-aa-a·1a=（a-122. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．23.在直角坐标系中,一次函数y kx b=+经过点(和(-,求原点o到该直线的距离.24．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=--1，32=-=-，同理可得：，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++……））的值．（设计人:周海燕)BAC。

二次根式的运算法则归纳与总结二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数运算中扮演着重要的角色。

为了能够更好地进行二次根式的运算，我们需要归纳和总结相应的运算法则。

本文将带领读者一起来探索二次根式的运算法则及其应用。

一、加减运算法则对于形如√a ± √b的二次根式，可以应用以下加减运算法则：1. 当根内无理数部分相同时，即a = b，可进行如下加减运算：√a ± √b = √2a（±1）例如：√5 + √5 = 2√52. 当根内无理数部分不同时，即a ≠ b，需将二次根式化简后再进行加减运算：√a ± √b = √(a ± b ± 2√ab)例如：√7 + √3 = √(7 + 3 + 2√(7 × 3)) = √10 + √21二、乘法运算法则对于形如√a × √b的二次根式，可以应用以下乘法运算法则：√a × √b = √(ab)例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6三、除法运算法则对于形如√a ÷ √b的二次根式，可以应用以下除法运算法则：√a ÷ √b = √(a ÷ b)例如：√8 ÷ √2 = √(8÷ 2) = √4 = 2四、合并同类项法则对于形如k√a ± m√b的二次根式，其中k和m为常数，a和b为非负实数，可以应用以下合并同类项法则进行化简：k√a ± m√b = √(ka) ± √(mb)例如：3√2 + 2√3 = √(3 × 2) + √(2 × 3) = √6 + √6 = 2√6五、有理化分母法则当二次根式的分母是二次根式时，我们需要进行有理化分母操作，具体步骤如下：1. 分母乘以其共轭形式，即将分母中二次根式的正负号取反；2. 分子分母同时化简；3. 化简后的二次根式无分母，得到最终结果。

二次根式的乘法运算
二次根式的乘法是√a·√b=√ab(a≥0，b≥0) 。

二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0。

例题：
√4×√9等于多少？我们知道√4=2，√9=3，他俩相乘不就等于6么。

而√（4×9）等于√36，也等于6.因此√4×√9就等于√（4×9）都等于6了。

二次根式的应用主要体现在两个方面：
（1）利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；
（2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。

这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

16.2二次根式乘法一、学习目标a ≥0，b ≥0）a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简二、学习重点、难点重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

三、学习过程（一）课前准备1．填空：（1）×=____，=____；（2=____=___；（3．根据上面的计算结果，你发现了什么？ ×_____，×_____，能用语言表达你的发现吗？（二）合作交流（小组互助）1、 学生交流活动总结规律．2、你发现的规律可以用字母为：（二次根式的乘法法则）例1、计算（1（2（3）× （4（5）5·a 3·b 313、把二次根式乘法法则反过来，就得到 （称为积的算术平方根的性质）利用它可以对二次根式进行化简。

（如何进行化简？）例2、化简（1） （2） （3） （4） （5）4949⨯4949⨯16251625⨯916⨯1681⨯81100⨯229x y 54思考：两个表达式中条件可以不要吗？小结：巩固练习（1）计算： ①②55×215 ③312a ·（2）化简: ; ; ; ;（三）展示提升（质疑点拨）判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2=4×展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243 后再进行计算，你有什么好办法？注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。

2、被开方数是带分数是先要化成假分数3、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解。

（2）分解后把能开尽方的开出来。

201824542212a b =（四）达标检测 A 组1、选择题（1）等式1112-=-∙+x x x 成立的条件是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1（2）下列各等式成立的是（ ）．A ．45×25=85B ．53×42=205C ．43×32=75D ．53×42=206（3）二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（ ）A ．26B ．-26C ．6D ．122、化简与计算：（1）360； （2）432x ； （3）3018⨯； （4）7523⨯B 组1、选择题（1）若04144222=+-++++-c c b b a ，则c a b ∙∙2=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．1（2）下列各式的计算中，不正确的是（ ）A ．64)6()4(-⨯-=-⨯-=（-2）×（-4）=8 B ．2222442)(244a a a a =⨯=⨯=C ．5251694322==+=+ D ．12512131213)1213)(1213(121322⨯=-⨯+=-+=-2、计算：（1）68×（-26）； （2）386ab ab ⨯；3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。