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中国陶瓷的发展史中国是瓷器的故乡，中国瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，在英文中"瓷器["(china)一词也有"中国"的意思。
大约在公元前16世纪的商代中期，中国就出现了早期的瓷器。
因为其无论在胎体上，还是在釉层的烧制工艺上都尚显粗糙，烧制温度也较低，表现出原始性和过渡性，所以一般称其为"原始瓷"。
瓷器脱胎于陶器，它的发明是中国古代先民在烧制白陶器和印纹硬陶器的经验中，逐步探索出来的。
烧制瓷器必须同时具备三个条件：一是制瓷原料必须是富含石英和绢云母等矿物质的瓷石、瓷土或高岭土；二是烧成温度须在1200℃以上；三是在器表施有高温下烧成的釉面。
原始瓷作为陶器向瓷器过渡时期的产物，与各种陶器相比，具有胎质致密、经久耐用、便于清洗、外观华美等特点，因此发展前景广阔。
原始瓷烧造工艺水平和产量的不断提高，为后来瓷器逐渐取代陶器，成为中国人日常生活的主要用器奠定了基础。
中国瓷器是从陶器发展演变而成的，原始瓷器起源于3000多年前。
至宋代时，名瓷名窑已遍及大半个中国，是瓷业最为繁荣的时期。
当时的钧窑、哥窑、官窑、汝窑和定窑并称为五大名窑。
被称为瓷都的江西景德镇在元代出产的青花瓷已成为瓷器的代表。
青花瓷釉质透明如水，胎体质薄轻巧，洁白的瓷体上敷以蓝色纹饰，素雅清新，充满生机。
青花瓷一经出现便风靡一时，成为景德镇的传统名瓷之冠。
与青花瓷共同并称四大名瓷的还有青花玲珑瓷（如图1）、粉彩瓷（如图2）和颜色釉瓷（如图3）。
另外，还有雕塑瓷、薄胎瓷、五彩胎瓷等，均精美非常， 各有特色。
中国的科技发展史上，除了“四大发明”，最引人注目的莫过于陶瓷了。
陶瓷的发明是人类文明的重要进程－－是人类第一次利用天然物，按照自己的意志创造出来的一种崭新的东西。
中国的英文名称，就由此而来。
但大多数并不了解陶瓷。
在他们眼里，陶瓷一体，事实上，陶和瓷是完全不同的两种器物。
陶产生在先，用粘土制坯；瓷产生在后，用瓷土制坯，而且两者烧制的窑温度也不相同。
2022-2023学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设直线y＝2x+1的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（）A．k=−12，b＝1B．k＝2，b＝1C．k=−12，b=12D．k＝﹣2，b=122．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（）A．8√3B．2√3C．4√3D．43．若圆x2+y2﹣2ax+3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b＝0一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知从点（﹣5，3）发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x﹣3y+1＝0B．2x﹣3y﹣1＝0C．3x﹣2y+1＝0D．3x﹣2y﹣1＝05．直线ax+by＝1与圆x2+y2＝1相交，则P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能6．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A．1.35m B．2.05m C．2.7m D．5.4m7．已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．148．如图，已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，PF 1⊥PF 2，直线F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是（ ）A ．√2B ．√3C ．2√2D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：3x ﹣4y +m ＝0．圆C 上恰有3个点到直线l 的距离为3．则m 的值为（ ） A ．﹣13B ．﹣8C ．12D ．1710．将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ） A ．x 28+y 24=1 B ．x 23+y 25=1C ．x 26+y 23=1D ．x 26+y 29=111．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右支与直线x ＝0，y ＝﹣2，y ＝4围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为10√33，下底外直径为2√393，双曲线C 与坐标轴交于D ，E ，则（ ）A ．双曲线C 的方程为x 23−y 29=1B ．双曲线y 23−x 2=1与双曲线C 共渐近线C ．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C 有两个交点D ．存在无数个点，使它与D ，E 两点的连线的斜率之积为312．抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两动点，P （2，2）是平面内一定点，下列说法正确的有（ ）A ．准线方程为x ＝﹣1B ．若|AF |+|BF |＝8，则线段AB 中点到x 轴为3C ．△APF 的周长的最小值为√5+3D ．以线段AB 为直径的圆与准线相切三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆x 26+y 2b 2=1的蒙日圆为x 2+y 2＝10，则该椭圆的离心率为 ．14．如果A （1，2），B （3，m ），C （7，m +2）三点共线，则m 的值为 ． 15．已知AB 为圆O ：x 2+y 2＝1的直径，点P 为椭圆x 24+y 23=1上一动点，则PA →•PB →的最小值为 ．16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 为C 上两点，点M （﹣2，1）为弦PQ 的中点，且PQ ∥BF ，记双曲线的离心率为e ，则e 2＝ ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知双曲线C 的焦点坐标为F 1(−√5，0)，F 2(√5，0)，实轴长为4． （1）求双曲线C 标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得PF 1⊥PF 2，求△PF 1F 2的面积． 18．已知直线mx +y ﹣3m ﹣1＝0恒过定点A ．（Ⅰ）若直线l 经过点A 且与直线2x +y ﹣5＝0垂直，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程． 19．已知圆E 经过点A （0，0），B （1，1），从下列3个条件选取一个：①过点C （2，0）；②圆E 恒被直线mx ﹣y ﹣m ＝0（m ∈R ）平分；③与y 轴相切． （1）求圆E 的方程；（2）过点P （3，0）的直线l 与圆E 相交于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （0，1）和B(1，√32)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）经过点M （2，﹣1）的直线l 与C 相交于P ，Q 两点（l 不经过点A ），设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，试问k 1+k 2是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由．21．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 长为10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E 处放置一个机器人，机器人行走速度为v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点． （1）求在这个矩形场地内为成功点M 的轨迹方程；（2）P 为矩形场地AD 边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP 的距离为23，且直线FP 与点M 的轨迹没有公共点，求P 点横坐标的取值范围．22．如图，已知点F （1，0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2． （Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程； （Ⅱ）求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．2022-2023学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设直线y＝2x+1的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（）A．k=−12，b＝1B．k＝2，b＝1C．k=−12，b=12D．k＝﹣2，b=12解：根据题意，直线y＝2x+1，则该直线的斜率k＝2，在y轴上的截距为b＝1；故选：B．2．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（）A．8√3B．2√3C．4√3D．4解：根据椭圆的定义，得到：2a＝8，解得a＝4，2b＝4，解得b＝2所以c=√42−22=2√3，所以焦距2c＝4√3．故选：C．3．若圆x2+y2﹣2ax+3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b＝0一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵圆x2+y2﹣2ax+3by＝0的圆心为（a，−3b2）∴圆心位于第三象限，得a＜0且−3b2＜0，解得a＜0且b＞0又∵直线x+ay+b＝0，在x轴的截距为﹣b＜0，在y轴的截距为−ba＞0∴直线x+ay+b＝0经过x轴负半轴一点和y轴正半轴一点由此可得直线经过一、二、三象限，不经过第四象限4．已知从点（﹣5，3）发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝5的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ） A ．2x ﹣3y +1＝0B ．2x ﹣3y ﹣1＝0C ．3x ﹣2y +1＝0D ．3x ﹣2y ﹣1＝0解：点（﹣5，3）关于x 轴的对称点为（﹣5，﹣3）， 由题意知，反射光线经过圆的圆心（1，1）， 而反射光线的反向延长线经过点（﹣5，﹣3）， 所以反射光线所在直线的斜率为1+31+5=23，其方程为y ﹣1=23（x ﹣1），即2x ﹣3y +1＝0， 故选：A ．5．直线ax +by ＝1与圆x 2+y 2＝1相交，则P （a ，b ）的位置是（ ） A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．都有可能解：由圆x 2+y 2＝1得到圆心坐标为（0，0），半径为1，因为直线与圆相交， 所以圆心到该直线的距离d =|−1|√a 2+b1，即a 2+b 2＞1即P 点到原点的距离大于半径，所以P 在圆外． 故选：B ．6．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m ，深度为0.6m ，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）A ．1.35mB ．2.05mC ．2.7mD ．5.4m解：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为：y 2＝2px ，p ＞0，由题意可得|AB |＝3.6，则A 的纵坐标为1.8，再由深度为0.6，可得A 的横坐标为0.6，即A （0.6，1.8），将A 的坐标代入抛物线的方程可得：1.82＝2p ×0.6，所以抛物线的方程为：y 2＝5.4x ， 所以抛物线的焦点到顶点的距离为p2=2.72=1.35，故选：A ．7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14解：由题意可知：A （﹣a ，0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 直线AP 的方程为：y =√36（x +a ），由∠F 1F 2P ＝120°，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，则P （2c ，√3c ）， 代入直线AP ：√3c =√36（2c +a ），整理得：a ＝4c ，∴题意的离心率e =ca =14． 故选：D ．8．如图，已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，PF 1⊥PF 2，直线F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是（ ）A ．√2B ．√3C ．2√2D ．2解：∵PF 1⊥PF 2，△APF 1的内切圆半径为1， 在直角三角形APF 1中，∠APF 1＝90°， 可得1=12（|PF 1|+|P A |﹣|AF 1|）， 由双曲线的定义可得|PF 1|＝2a +|PF 2|， ∴|PF 2|+2a +|P A |﹣|AF 1|＝2， ∴|AF 2|﹣|AF 1|＝2﹣2a ，∵由图形的对称性知：|AF 2|＝|AF 1|， ∴a ＝1． ∵|F 1F 2|＝4， ∴c ＝2， ∴e =ca =2． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：3x ﹣4y +m ＝0．圆C 上恰有3个点到直线l 的距离为3．则m 的值为（ ） A ．﹣13B ．﹣8C ．12D ．17解：圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝25的圆心为C （2，2），半径r ＝5， 因为圆C 上恰有3个点到直线l 的距离为3． 所以圆心C 到直线l 的距离为r ﹣3＝2， 所以√32+42=2，整理得|m ﹣2|＝10，解得m ＝12或m ＝﹣8． 故选：BC ．10．将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ） A ．x 28+y 24=1 B ．x 23+y 25=1C ．x 26+y 23=1D ．x 26+y 29=1解：∵椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点， ∴2b ＝2c ，即2b ＝2c ，对于A ，a 2＝8，b 2＝4，故c 2＝a 2﹣b 2＝4，故b ＝c ，故A 正确， 对于B ，a 2＝5，b 2＝3，故c 2＝a 2﹣b 2＝2，故b ≠c ，故B 错误， 对于C ，a 2＝6，b 2＝3，故c 2＝a 2﹣b 2＝3，故b ＝c ，故C 正确， 对于D ，a 2＝9，b 2＝6，故c 2＝a 2﹣b 2＝3，故b ≠c ，故D 错误． 故选：AC ．11．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右支与直线x ＝0，y ＝﹣2，y ＝4围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为10√33，下底外直径为2√393，双曲线C 与坐标轴交于D ，E ，则（ ）A ．双曲线C 的方程为x 23−y 29=1B ．双曲线y 23−x 2=1与双曲线C 共渐近线C ．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C 有两个交点D ．存在无数个点，使它与D ，E 两点的连线的斜率之积为3 解：该金杯主体部分的上口外直径为10√33，下底外直径为2√393， 则M(5√33，4)，N(√393，−2)， 将M 、N 代入双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，∴{ (5√33)2a 2−16b 2=1(√393)2a 2−4b2=1，即{253a 2−16b 2=1133a 2−4b 2=1，解得a 2＝3，b 2＝9，对于A ：双曲线方程为x 23−y 29=1，故A 正确；对于B ：双曲线x 23−y 29=1的渐近线方程为y =±√3x ，又双曲线y 23−x 2=1的渐近线方程为y =±√3x ，故B 正确，对于C ：由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，此时与双曲线有一个交点，故不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C 有两个交点，故C 错误； 对于D ：x 23−y 29=1，则D(−√3，0)，E(√3，0)，设P(x 0，y 0)(x 0≠±√3)为双曲线上任意一点，则x 023−y 029=1，即y 02=3x 02−9，∴k PD ⋅k PE=0x 0+√30x 0−√3=y 02x 02−3=3(x 02−3)x 02−3=3，∴双曲线C 上存在无数个点（不与D 、E 重合），使它与D ，E 两点的连线的斜率之积为3，故D 正确， 故选：ABD ．12．抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两动点，P （2，2）是平面内一定点，下列说法正确的有（ ）A ．准线方程为x ＝﹣1B ．若|AF |+|BF |＝8，则线段AB 中点到x 轴为3C ．△APF 的周长的最小值为√5+3D ．以线段AB 为直径的圆与准线相切解：抛物线x 2＝4y 的焦点为F （0，1），准线方程为y ＝﹣1，故A 错误；设A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，可得|AF |+|BF |＝y 1+y 2+2＝8，即y 1+y 2＝6，则A ，B 的中点的纵坐标为3，即线段AB 的中点到x 轴的距离为3，故B 正确；设A '为A 在准线上的射影，由抛物线的定义可得|AF |＝|AA '|，则|AP |+|AF |≥|P A '|≥3，当且仅当P ，A ，A '三点共线时，取得等号， 所以△APF 的周长的最小值为|PF |+|P A '|=√5+3，故C 正确；因为点A ，B 没有任何条件限制条件，可以是抛物线上任意两点，所以以线段AB 为直径的圆与准线不一定相切，故D 错误．故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆x 26+y 2b 2=1的蒙日圆为x 2+y 2＝10，则该椭圆的离心率为 √33 ． 解：∵椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为（0，b ），（√6，0），则两条切线分别是x =√6，y ＝b ，则两条直线的交点为P （√6，b ），而P 在蒙日圆上，∴（√6）2+b 2＝10，解得b ＝2，而e =c a =√1−b 2a 2=√1−46=√33． 故答案为：√33． 14．如果A （1，2），B （3，m ），C （7，m +2）三点共线，则m 的值为 3 ．解：由A （1，2），B （3，m ），C （7，m +2）三点共线，可得：k AB ＝k AC ，∴m−23−1=m+2−27−1，解得m ＝3．故答案为：3．15．已知AB 为圆O ：x 2+y 2＝1的直径，点P 为椭圆x 24+y 23=1上一动点，则PA →•PB →的最小值为 2 ． 解：依据对称性，不妨设直径AB 在x 轴上，P （2cos x ，√3sin x ），A （﹣1，0），B （1，0）．从而PA →•PB →=（2cos x ﹣1）（2cos x +1）+3sin 2x ＝2+cos 2x ≥2．故答案为：2．方法二：PA →•PB →=(PA →+PB →)2−(PA →−PB →)24=4PO →2−44=PO →2﹣1＝|PO |2﹣1， 而|PO |min =√3，则答案为2．故答案为：2．16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 为C 上两点，点M （﹣2，1）为弦PQ 的中点，且PQ ∥BF ，记双曲线的离心率为e ，则e 2＝√2+12 ． 解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F （c ，0），虚轴的上端点为B （0，b ），点P ，Q 为C 上两点，且PQ ∥BF ，可得k PQ ＝k BF =−b c ，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则{x 12a 2−y 12b 2=1x 22a 2−y 22b 2=1， 两式相减可得：y 1−y 2x 1−x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)，点M （﹣2，1）为弦PQ 的中点，所以−4b 22a 2=−b c ，整理可得：a 2＝2bc ， 可得4e 4﹣4e 2﹣1＝0，e ＞1，解得e 2=√2+12．故答案为：√2+12． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知双曲线C 的焦点坐标为F 1(−√5，0)，F 2(√5，0)，实轴长为4．（1）求双曲线C 标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得PF 1⊥PF 2，求△PF 1F 2的面积．解：（1）由条件c =√5，2a ＝4，∴b ＝1，双曲线方程为x 24−y 2＝1，（2）．由双曲线定义|PF 1|﹣|PF 2|＝±4，∵|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2＝20，∴|PF 1|•|PF 2|＝2，∴△PF 1F 2的面积S =12|PF 1|•|PF 2|=12×2＝118．已知直线mx +y ﹣3m ﹣1＝0恒过定点A ．（Ⅰ）若直线l 经过点A 且与直线2x +y ﹣5＝0垂直，求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）∵直线mx +y ﹣3m ﹣1＝0恒过定点A ．∴（x ﹣3）m +y ﹣1＝0，由{x −3=0y −1=0，得A （3，1）， 设与直线2x +y ﹣5＝0垂直的直线方程为x ﹣2y +a ＝0，把A （3，1）代入，得：3﹣2+a ＝0，解得a ＝﹣1，∴直线l 的方程为x ﹣2y ﹣1＝0．（Ⅱ）直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，成立；当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为y ﹣1＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k +1＝0，原点O （0，0）到直线l 的距离d =√k +1=3， 解得k =−43，直线l 的方程为：y −1=−43(x −3)，即4x +3y ﹣15＝0．综上，直线l 的方程为x ＝3或4x +3y ﹣15＝0．19．已知圆E 经过点A （0，0），B （1，1），从下列3个条件选取一个：①过点C （2，0）；②圆E 恒被直线mx ﹣y ﹣m ＝0（m ∈R ）平分；③与y 轴相切．（1）求圆E 的方程；（2）过点P （3，0）的直线l 与圆E 相交于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程．解：（1）若选①：不妨设圆E 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，所以{F =01+1+D +E +F =04+2D +F =0⇒{D =−2E =0F =0，故圆E 的方程为：x 2+y 2﹣2x ＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝1．若选②：由直线方程mx ﹣y ﹣m ＝0（m ∈R ）可知，y ＝m （x ﹣1），故直线mx ﹣y ﹣m ＝0（m ∈R ）恒过点（1，0），因为圆E 恒被直线mx ﹣y ﹣m ＝0（m ∈R ）平分，所以圆E 的圆心为（1，0），因为A （0，0）在圆上，故圆E 的半径r ＝1，从而圆E 的方程为：（x ﹣1）2+y 2＝1．若选③：不妨设圆E 的圆心为（a ，b ），半径为r ，此时r ＝|a |，故圆E 的方程为：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝a 2，分别将A （0，0），B （1，1）代入上式可得，{b =0(1−a)2+(1−b)2=a 2⇒{a =1b =0， 故圆E 的方程为：（x ﹣1）2+y 2＝1．（2）因为M 为AB 中点，E 为圆心，根据垂径定理，得EM ⊥AB ，所以点M 落在以EP 为直径的圆上，且点M 在圆E 的内部，即点M 的轨迹为以EP 为直径的圆落在圆E 内的一段弧．因为E （1，0），P （3，0），所以以EP 为直径的圆的方程为：（x ﹣1）2+y 2＝1，由{(x −1)2+y 2=1(x −2)2+y 2=1⇒x =32， 所以M 的轨迹方程为：（x ﹣2）2+y 2＝1，x ＜32．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （0，1）和B(1，√32)． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）经过点M （2，﹣1）的直线l 与C 相交于P ，Q 两点（l 不经过点A ），设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，试问k 1+k 2是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意，b ＝1，且1a 2+34=1，得a 2＝4． ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）点M （2，﹣1）在椭圆C 外部，经过点M （2，﹣1）的直线l 与C 相交于P ，Q 两点， 则直线l 的斜率存在，设为k ，则直线方程为y ＝k （x ﹣2）﹣1．联立{y =k(x −2)−1x 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2﹣8k （2k +1）x +16k 2+16k ＝0． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=8k(2k+1)1+4k 2，x 1x 2=16(k 2+k)1+4k 2，k 1=y 1−1x 1，k 2=y 2−1x 2， 则k 1+k 2=y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2y 1−x 2+x 1y 2−x 1x 1x 2=2kx 1x 2−(2k+2)(x 1+x 2)x 1x 2 ＝2k −(2k+2)(x 1+x 2)x 1x 2=2k −8k(2k+2)(2k+1)16(k 2+k)=2k −(2k+1)(2k+2)2(k+1)=−1． ∴k 1+k 2是定值﹣1．21．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 长为10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E 处放置一个机器人，机器人行走速度为v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点．（1）求在这个矩形场地内为成功点M 的轨迹方程；（2）P 为矩形场地AD 边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP 的距离为23，且直线FP 与点M 的轨迹没有公共点，求P 点横坐标的取值范围．解：（1）设M （x ，y ），由题意可得|FM |＝2|EM |，且E （0，2），F （0，4），据此可得√x 2+(y −4)2=2√x 2+(y −2)2，两边平方整理可得x 2+y 2−83y =0，故点M 的轨迹方程为x 2+y 2−83y =0(x ≥0，y ≥0)．（2）点M 的轨迹方程即x 2+(y −43)2=169(x ≥0，y ≥0)，它表示以点(0，43)为圆心，43为半径的右侧半圆， 考查满足题意的临界情况：临界情况1：圆心到直线的距离为23+43=2，设P （m ，0）（m ＞0），则PF 的方程为x m +y 4=1，即4x +my ﹣4m ＝0， 据此可得|43m−4m|√16+m 2=2，解得m =127√7（负值m =−127√7舍去），临界情况2：圆上的点(0，83)到直线的距离为23，设P （m ，0）（m ＞0），则PF 的方程为x m +y 4=1，即4x +my ﹣4m ＝0， 据此可得|83m−4m|√16+m 2=23，解得m =43√3（负值m =−43√3舍去）， 据此可得m 的取值范围是[43√3，127√7)． 22．如图，已知点F （1，0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2． （Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：p2=1， ∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝﹣1；（Ⅱ）设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），C （x C ，y C ），重心G （x G ，y G ），令y A ＝2t ，t ≠0，则x A =t 2，由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为x =t 2−12t y +1，代入y 2＝4x ，得：y 2−2(t 2−1)t y −4=0， ∴2ty B ＝﹣4，即y B =−2t ，∴B （1t 2，−2t ），又x G =13（x A +x B +x C ），y G =13（y A +y B +y C ），重心在x 轴上， ∴2t −2t +y C =0，∴C （（1t −t ）2，2（1t −t ）），G （2t 4−2t 2+23t 2，0），∴直线AC 的方程为y ﹣2t ＝2t （x ﹣t 2），得Q （t 2﹣1，0）， ∵Q 在焦点F 的右侧，∴t 2＞2，∴S 1S 2=12|FG|⋅|y A |12|QG|⋅|y C |=|2t 4−5t 2+23t 2|⋅|2t||t 2−1−2t 4−2t 2+23t 2|⋅|2t −2t|=2t 4−t 2t 4−1=2−t 2−2t 4−1， 令m ＝t 2﹣2，则m ＞0，S 1S 2=2−m m 2+4m+3=2−1m+3m +4≥22√m⋅3m+4=1+√32， ∴当m =√3时，S 1S 2取得最小值为1+√32，此时G （2，0）．。
2023年上海市杨浦区兰生复旦中学中考化学二模试卷1. 石头纸是以碳酸钙粉末为主要原料，加少量聚乙烯和胶合剂制成。
下列关于“石头纸”的说法中错误的是( )A. 石头纸不宜在高温条件下生产B. 利用稀盐酸可以区别石头纸和木浆纸C. 石头纸不易燃烧，易溶于水D. 使用石头纸，有利于保护森林，且环保2. 下列各组中物质的俗称、学名与化学式表示同一种物质的是( )A. 氯化氢、盐酸、HClB. 苛性钠、氢氧化钠、NaOHC.胆矾、硫酸铜、 D. 苏打、碳酸氢钠、3. 磁性陶瓷对电子产业有重要作用，某种磁性陶瓷的主要成分，下列关于叙述正确的是( )A. 属于氧化物B. 中铁元素的化合价为C. 含有7个原子D. 铁、氧两种元素质量比为1：24. 已知偏二甲肼是“神舟号”系列火箭使用的一种燃料，其化学式为，燃料燃烧时发生的化学方程式为：，则X的化学式是( )A. NOB.C.D.5. 图为物质的分类关系图，①与②是并列关系，③包含在②中，若②是纯净物，则③不可能是( )A. 硫酸镁B. 液态氧C. 天然气D. 干冰6. 将二氧化碳通入滴有紫色石蕊试液的试管中，再充分加热，溶液的颜色会( )A. 先变红后变紫B. 先褪色后变红C. 先变红后褪色D. 先变蓝后变紫7. 1个二氧化碳分子质量单位：克的计算表达式为( )A. B.C. D.8. 逻辑推理是化学学习常用的思维方法。
下列推理正确的是( )A. 酸溶液的pH都小于7，所以pH小于7的溶液都是酸溶液B. 有机化合物都含碳元素，所以含碳元素的化合物都是有机化合物C. 二氧化碳、三氧化硫都是酸性氧化物，所以非金属氧化物都能使酚酞变红D. 氢氧化钠、氢氧化钙溶液都能使酚酞变红，所以碱溶液都能使酚酞变红9. A、B、C、D四种金属相互转化关系如图所示，其中金属活动性最弱的是( )A. AB. BC. CD. D10. 以下物质之间的转化不能一步实现的是( )A. 酸碱B. 有机物无机物C. 金属单质非金属单质D. 盐氧化物11. 实验小组用如图所示装置进行空气中氧气含量测定实验。
