2020年浙江省台州市温岭中学高考数学模拟试卷(3月份)

2020年台州市温岭中学高考数学模拟试卷(二)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U = {1,2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A = {2,4，6，7}，B = {3,5，6，7，8}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A. {1,9}B. {2,3，4，5，6，7，8}C. {1,2，3，4，5，8，9}D. {1,6，7，9} 2. 已知i 是虚数单位，若z 1−i =i ，则|z|=( )A. √2B. 2C. √3D. 33. 公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 2、a 3、a 6依次成等比数列，则公比等于( )A. 12B. 13C. 2D. 34. “x <2”是“ln(x −1)<0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. m//α，n//α，则m//nB. m//n ，m//α，则n//αC. m ⊥α，m ⊥β，则α//βD. α⊥γ，β⊥γ，则α//β6. 已知a ，b 均为正实数，且2a +3b =4，则3a +2b 的最小值为( )A. 3B. 6C. 9D. 127. 在平行四边形ABCD 中，∠DAB =120°，|AB|=2，|AD|=1，若E 为线段AB 中点，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 12B. 1C. 32D. 28. 某单位安排甲、乙、丙三入从周一至周六值班，每入值班两天，已知甲不值周一，乙不值周六，那么可以排出不同的值班表共( )A. 42种B. 60种C. 84种D. 90种 9. 已知双曲线C ：x 216−y 2b 2=1(b >0)，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，过F 2的直线l 交C 的左、右支分别于A ，B ，且|AF 1|=|BF 1|，则|AB|=( )A. 4B. 8C. 16D. 3210.已知函数，则下列结论中正确的是()A. 函数f(x)的定义域是B. 函数y=f(x−1)是偶函数C. 函数f(x)在区间上是减函数D. 函数f(x)的图象关于直线x=1轴对称二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.若实数x，y满足约束条件{x+y−1≥0x−3y+3≥0x≤3，则z=2x−y的最大值为______．12.已知在(1−2x)n的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则(1+2x)n(1−2x2)的展开式中，x4项的系数是__________．13.已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个．设ξ表示取到红球的个数，则Eξ=______，Dξ=______．14.某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为______．15.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若a=7，A=60°，△ABC的面积为10√3，则△ABC的周长为______ ．16.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(0,m)，B(0,−m)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m取值范围是______ ．17.一个边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，x的值应为__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=2√3sinx⋅cosx+sin2x−cos2x(1)求函数的最小正周期及对称中心；(2)若x∈[0,π]，求函数f(x)最小值以及取最小值时x的值；(3)若f(α2)=12，α∈(0,π)，求cosα．19.如图①，在五边形ABCDE中，ED=EA，AB//CD，CD=2AB，∠EDC=150°，将△EAD沿AD折起到△PAD的位置，得到如图②所示的四棱锥P−ABCD，M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．(1)求证：BM//平面PAD．(2)若直线PC与AB所成角的正切值为12，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，并且满足a1=2，na n+1=S n+n(n+1)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令T n=S n2n，当n≥3时，求证：T n>T n+1．21.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，抛物线上一点P点横坐标为2，|PF|=3．(1)求抛物线的方程；(2)过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．22.已知函数f(x)=lnx−ax+1．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a∈(0,1)，求证：f(x)<e x−ax−a(e为自然对数的底数)．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查集合运算，属基础题．根据补集，交集定义运算即可．解：因为全集U={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={2,4，6，7}，B={3,5，6，7，8}，所以∁U A={1,3,5,8,9}，∁U B={1,2,4,9}，所以(∁U A)∩(∁U B)={1,9}，故选A．2.答案：A解析：本题考查复数的运算法则、模的计算公式，考查计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：∵z1−i=i，z=i(1−i)=i+1，则|z|=√12+12=√2．故选A．3.答案：D解析：本题考查等差数列和等比数列的性质和通项公式，属基础题．解：设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，由题意可得(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，解得a1=−12d，故a 2=a 1+d=12d，a 3=a 1+2d=32d，故公比为a3a2=32d12d=3．故选D．4.答案：B解析：解：由ln(x−1)<0，得：0<x−1<1，解得：1<x<2，故x<2是1<x<2的必要不充分条件，故选：B．根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可．本题考查了乘法不要条件，考查对数函数的性质，是一道基础题．5.答案：C解析：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，是基础题．对每个选项，利用线面平行的关系判断线线平行，线面平行，面面平行的判定方法，可得结论．解：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；对于B，m//n，m//α，则n//α或n⊂α，故B不正确；对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．故选C．6.答案：B解析：本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三相等，考查运算能力，属于基础题．解：∵2a+3b=4，∴由基本不等式可得3a +2b=14(3a+2b)(2a+3b)=14(12+9ba+4ab)≥14(12+2√9ba×4ab)=6，当且仅当9ba =4ab，且2a+3b=4，即a=1,b=23时，等号成立，故3a +2b 的最小值为6，故选B ． 7.答案：C解析：本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，画出图形，建立坐标，求出相关点的坐标，通过向量的数量积求解即可． 解： 在平行四边形ABCD 中，∠DAB =120°，|AB|=2，|AD|=1，E 为线段AB 中点， 建立如图所示的坐标系，则B(1,√3)，A(0,0)，D(−1,0)，则E(12,√32)，可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,√32)， 则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3×√32=32． 故选C ．8.答案：A解析：解：根据题意分两种情况讨论：①、当甲排在星期六，有C 41C 42=24种排法； ②、当甲不排在星期六，有C 42C 32=18种排法； ∴值班方案种数为24+18=42种；故选：A ．根据题意，分为两类情况讨论：甲排在星期六，有C 41C 42种排法，甲不排在星期六，则甲从星期二到星期五之间选一天，有C 42种选法，再排乙，不能安排在星期六，所以从剩下的3天中选2天，有C 32种选法，最后排丙，再把两类相加即可．本题考查了计数原理、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：C解析：本题考查双曲线的定义和方程，属于基础题．求得双曲线的a=4，设|AF1|=|BF1|=m，运用双曲线的定义可得|AB|=4a，即可得到所求值．解：由双曲线C：x216−y2b2=1(b>0)可得a=4，设|AF1|=|BF1|=m，由双曲线的定义可得|AF2|=|AF1|+2a=2a+m，|BF2|=|BF1|−2a=m−2a，可得|AB|=|AF2|−|BF2|=2a+m−(m−2a)=4a=16．故选：C．10.答案：B解析：本题考查对数函数的图象和性质，主要是定义域、奇偶性和单调性、对称性，考查化简变形能力和运算能力，属于基础题．由对数的运算性质及真数大于0，可判断A，由偶函数的定义可判断B，由函数的单调性可判断C，由f(2−x)与f(x)的关系可判断D．解：函数f(x)=log12(2−x)−1og2(x+4)=−log2(2−x)−log2(x+4)=−log2(2−x)(4+x)，由2−x>0，x+4>0，可得−4<x<2，即函数f(x)的定义域为(−4,2)，故A错误；由y =f(x −1)=−log 2(3−x)(3+x)=−log 2(3−x 2)，定义域为(−3,3)，且f(−x −1)=f(x −1)，即y =f(x −1)为偶函数，故B 正确；由x ∈[−1,2)，f(−1)=−log 29，f(0)=−log 28，即f(−1)<f(0)，故C 错误；由f(2−x)=−log 2x(6−x)≠f(x)，可得f(x)的图象不关于直线x =1对称，故D 错误．故选B ．11.答案：8解析：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z =2x −y 的最大值． 解：由z =2x −y ，得y =2x −z ，作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −3y +3≥0x ≤3对应的可行域(阴影部分)，平移直线y =2x −z ，由平移可知当直线y =2x −z 经过点A 时，直线y =2x −z 的截距最小，此时z 取得最大值，由{x =3x +y −1=0，解得A(3,−2)， 将C 的坐标代入z =2x −y ，得z =8，即目标函数z =2x −y 的最大值为8．故答案为：8．12.答案：120解析：2n =64，所以n =6．T r+1=C 6r (2x)r =C 6r 2r ⋅x r ，令r =4，则T 5=C 6424⋅x 4=240x 4，令r =2，则T 3=C 6222x 2=60x 2，x 4项为240x 4×1−60x 2×2x 2=120x 4，故x 4项的系数为120．13.答案：23；29 解析： ξ表示取出的2个球中红球的个数，则ξ的所有可能取值为0、1，得到概率，然后求出期望与方差． 解：ξ可取0、1，且P(ξ=0)=13，P(ξ=1)=23，所以Eξ=0×13+1×23=23．Dξ=(0−23)2×13+(1−23)2×23=29．故答案为：23；29． 14.答案：12+4√2解析：解：根据三视图作出该三棱柱的直观图，其中底面是直角边长为2的等腰直角三角形，故该三棱柱的表面积S =12×2×2×2+2×2×2+2×2√2=12+4√2．故答案为：12+4√2．由已知得到几何体为平放的三棱柱，根据图中数据计算表面积．本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体． 15.答案：20解析：解：∵S△ABC=12bcsinA=12bcsin60°=10√3，∴bc=40，由余弦定理知：a2=b2+c2−2bccosA，从而有49=b2+c2−bc，解得b2+c2=89，∴(b+c)2=b2+c2+2bc=89+80=169，从而解得b+c=13．∴△ABC的周长为：13+7=20．故答案为：20．由S△ABC=12bcsinA=12bcsin60°=10√3，可解得bc=40，由余弦定理知：a2=b2+c2−2bccosA，从而解得b2+c2=89，从而(b+c)2=b2+c2+2bc=169，从而解得b+c=13，即可求得周长．解决三角形问题，正、余弦定理是我们常用的定理，利用余弦定理，通常需知道三角形的两边及其夹角或已知三边，本题属于基本知识的考查．16.答案：[4,6]解析：解：圆C：(x−3)2+(y−4)2=1的圆心C(3,4)，半径为1，∵圆心C到O(0,0)的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=12AB=m，故4≤m≤6，∴m取值范围是[4,6]．故答案为：[4,6]．根据圆心C到O(0,0)的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，可得PO=12AB=m，从而得到实数m的取值范围．本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查数形结合思想，是中档题．17.答案：解析：由题意，方盒的高xcm，长、宽都是(12−2x)cm，∴V=(12−2x)2×x=4(6−x)2×x，∵2x+(6−x)+(6−x)≥3√2x(6−x)23，∴(6−x)2×x≤32(当且仅当6−x=2x，即x=2时取等号)，时，方盒的容积最大．18.答案：解：(1)∵f(x)=2√3sinx⋅cosx+sin2x−cos2x=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，∴函数的最小正周期T=2π2=π，令2x−π6=kπ，k∈Z，解得x=12kπ+π12，k∈Z，∴函数的对称中心为(12kπ+π12,0)，k∈Z．(2)∵x∈[0,π]，∴2x−π6∈[−π6,11π6]，∴sin(2x−π6)∈[−1,1]，∴f(x)=2sin(2x−π6)∈[−2,2]，可得函数f(x)最小值为−2，取最小值时x的值为；(3)∵f(α2)=12，α∈(0,π)，∴2sin(α−π6)=12，可得sin(α−π6)=14∈(0,12)，∵α−π6∈(−π6,5π6)，∴α−π6∈(0,π6)，可得cos(α−π6)=√1−sin2(α−π6)=√154，∴cosα=cos[(α−π6)+π6]=cos(α−π6)cosπ6−sin(α−π6)sinπ6=√154×√32−14×12=3√5−18．解析：(1)由二倍角公式，两角差的正弦函数公式化简可得函数解析式f(x)=2sin(2x−π6)，利用正弦函数的性质可求函数的最小正周期，函数的对称中心．(2)由x∈[0,π]，可求范围2x−π6∈[−π6,11π6]，利用正弦函数的性质可求f(x)最小值以及取最小值时x的值．(3)由已知可求sin(α−π6)=14∈(0,12)，可得范围α−π6∈(0,π6)，利用同角三角函数基本关系式可得cos(α−π6)的值，利用两角和的余弦函数公式即可求解cosα的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.答案：解：(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN．又M 为PC 的中点，所以MN//CD ，MN =12CD ． 又AB//CD ，AB =12CD ，所以MN//AB ，MN =AB ． 则四边形ABMN 为平行四边形，所以AN//BM ． 因为BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， 所以BM//平面PAD ．(2)解：因为BM ⊥平面PCD ，AN//BM ， 所以AN ⊥平面PCD ，所以AN ⊥PD ，AN ⊥CD ．由ED =EA ，即PD =PA 及N 为PD 的中点，可得△PAD 为等边三角形，所以∠PDA =60°． 又∠EDC =150°，所以∠CDA =90°，即CD ⊥AD ．因为AD ⊂平面PAD ，AN ⊂平面PAD ，AD ∩AN =A ，所以CD ⊥平面PAD ． 又CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ． 因为AB//CD ，所以∠PCD 即为直线PC 与AB 所成的角， 所以tan∠PCD =PDCD =12，所以CD =2PD ． 设PD =1，则CD =2，PA =AD =AB =1．取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作OF//AB 交BC 于点F ，则PO ，OF ，OA 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ，OF ，OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．则D(−12,0，0)，B(12,1，0)，C(−12,2，0)，P(0,0，√32)，所以M(−14,1，√34).所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1，−√32)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−34,0，√34). 设平面PDB 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y =012x +y −√32z =0， 令x =3，则n ⃗ =(3,−3,−√3).因为cos <n ⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21×√32=−2√77． 所以直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值为2√77．解析：(1)取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，可证四边形ABMN 为平行四边形，从而应用线面平行的判定定理证得结果；(2)设PD =1，取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线，建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面PBD 的法向量n ⃗ ，计算法向量与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出结论．该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，应用向量法求线面角的正弦值的问题，属于中档题目．20.答案：(1)解：∵na n+1=S n +n(n +1)，a n+1=S n+1−S n ，∴nS n+1−(n +1)S n =n(n +1)，两边同时除以n(n +1)，得：Sn+1n+1−S n n=1，∵S 11=a 11=2，∴{Sn n }为等差数列，公差d =1，首项为2，∴S n n=2+n −1=n +1，∴S n =n(n +1)∴a n =S n −S n−1=[n(n +1)]−((n −1)n]=2n,把n =1代入验证，满足，∴a n =2n ． (2)证明：∵T n =Sn 2n=n 2+n 2n，∴T n −T n+1=n 2+n 2n −(n +1)2+(n +1)2n+1=2n 2+2n 2n+1−n 2+3n +22n+1 =n 2−n −22n+1=(n−12)2−942n+1，由(n −12)2−94≥0，得n ≥2， ∴当n ≥2时，T n ≥T n+1, 则当n ≥3时，也满足T n >T n+1．解析：(1)由已知条件推导出nS n+1−(n +1)S n =n(n +1)，两边同时除以n(n +1)，得：Sn+1n+1−S n n=1，从而得到S n =n(n +1)，由此能求出a n =2n ． (2)由T n =Sn 2n =n 2+n 2n，得到T n −T n+1=n 2+n 2n −(n+1)2+(n+1)2n+1=(n−12)2−942n+1，由此能证明当n ≥3时，T n >T n+1．本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意作差法比较大小的合理运用．21.答案：解：(1)由抛物线定义可知，|PF|=2+p2=3，∴p=2．∴抛物线的方程为y2=4x．(2)由p2=1，得F(1,0)．∵倾斜角为30°，∴直线AB的斜率为√33．∴过A，B的直线方程为y=√33(x−1)，联立y2=4x得y2−4√3y−4=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4√3，y1·y2=−4．∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=12|y1−y2|=12√48+16=4．解析：本题考查抛物线定义的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，属于中档题．(1)先求抛物线y2=2px(p>0)的准线方程，根据抛物线的定义，将抛物线y2=2px上横坐标为2的点到焦点的距离等于3，转化为点到准线的距离为3，即可求得结论．(2)由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB 的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．22.答案：(1)解：f′(x)=1x −a=1−axx(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)=lnx−ax+1在(0,+∞)单调递增，当a>0时，x∈(0,1a)时，f′(x)>0，x∈(1a,+∞)时f′(x)<0，f(x)=lnx−ax+1在(0,1a )单调递增，在(1a,+∞)单调递减．综上所述，当a≤0时，f(x)只有增区间为(0,+∞)．当a>0时，f(x)的增区间为(0,1a )，减区间为(1a,+∞)．(2)证明：f(x)<e x−ax−a等价于e x−lnx−a−1>0．令g(x)=e x−lnx−a−1，而g′(x)=e x−1x在(0,+∞)单调递增，且g′(1)=e−1>0，g′(12)=e12−2<0．令g′(t)=0，即e t=1t(0<t<1)，lnt=−t，则x∈(0,t)时，g′(x)<g′(t)=0，x∈(t,+∞)时，g′(x)>g′(t)=0，故g(x)在(0,t)单调递减，在(t,+∞)单调递增，所以g(x)≥g(t)=e t−lnt−a−1=1t+t−a−1≥2−a−1=1−a，因为a∈(0,1)，所以1−a>0，即g(x)>0，即f(x)<e x−ax−a．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力、属于较难题．(1)写出函数f(x)的定义域，求出f′(x)，分a≤0，a>0两种情况讨论，通过解不等式f′(x)>0，f′(x)<0可得单调区间；(2)f(x)<e x−ax−a等价于e x−lnx−a−1>0，构造函数g(x)=e x−lnx−a−1，求导，可得g(x)≥g(t)=e t−lnt−a−1，即可证明．。

浙江省台州市温岭中学2020届高三下学期数学3月模拟测试试卷一、单选题（共10题；共20分）1.设集合，，，则（）A. B. C. D.2.已知x,y是非零实数，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则C的离心率为（）A. B. C. D.4.如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积（）A. B. C. D.5.若x，y满足叫，且，则的最小值为（）A. B. C. D.6.若函数是奇函数，则使的x的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知，随机变量，n的分布列如表所示，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，8.如图，在直角梯形中，，，，为中点，M，N分别为，的中点，将沿折起，使点D到，M到，在翻折过程中，有下列命题：① 的最小值为；② 平面；③存在某个位置，使；④无论位于何位置，均有.其中正确命题的个数为（）A. B. C. D.9.已知，，是等差数列中的三项，同时，，是公比为的等比数列中的三项，则q的最大值为（）A. B. C. D. 无法确定10.已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、双空题（共4题；共4分）11.已知若复数( 为虚数单位).若Z是纯虛数，则以为焦点的抛物线的标准方程为________；若，则m=________.12.已知，，动点M满足，则点M的轨迹方程是________；又若，此时的面积为________.13.在二项式的展开式中，所有项系数和为________，展开式中含的项是________.14.记A，B，C为的内角，①若，则________；②若，是方程的两根，则________.三、填空题（共3题；共3分）15.已知正实数满足，的值为________.16.已知P，Q是椭圆上的两点(点Q在第一象限)，若，且直线PM，QM的斜率互为相反数，且，则直线QM的斜率为________.17.已知A，B，C，D，E为半径为1的圆上相异的5点(没有任何两点重合)，这5个点两两相连可得到10条线段，则这10条线段长度平方和的最大值为________.四、解答题（共5题；共55分）18.已知函数.（1）若，，求得值；（2）在中，角，，的对边分别为，，且满足，求的取值范围.19.四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD为正三角形，，E为AD 的中点.（1）证明：平面平面ABCD；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.数列中，，，且.（1）令，将用表示，并求通项公式；（2）令，求证：.21.如图，已知抛物线的焦点为F.（1）若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：.（2）A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点( 不与轴平行)，且.过y轴上一点E作直线轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.22.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若在，处导数相等，证明：.（3）若对于任意，直线与函数图象都有唯一公共点，求实数b的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】B二、双空题11.【答案】；12.【答案】；13.【答案】128；14.【答案】；三、填空题15.【答案】16.【答案】117.【答案】25四、解答题18.【答案】（1）解：，由，，可得，所以，，所以（2）解：因为，由正弦定理可得，，从而可得，，即，因为，所以，，所以，所以19.【答案】（1）证明：侧面为正三角形，为的中点，，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形，，为的中点.，，，，，平面，平面，平面平面（2）解：以为原点，为轴，过作的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：20.【答案】（1）解：数列中，，，且..时，.，可得.时成立.（2）解证明：时，..，时也成立.综上可得：21.【答案】（1）证明：由抛物线的方程可得，准线方程：，设，由抛物线的方程可得，所以在处的切线的斜率为：，所以在处的切线方程为：，令，可得，即，所以，而到准线的距离，由抛物线的性质可得所以，，可证得：（2）解：设直线的方程为：，，，直线与抛物线联立，整理可得：，，即，，，，所以AB的中点坐标为：，所以线段AB的中垂线方程为：，由题意中垂线过，所以，即，①由抛物线的性质可得：，所以，即，②设，，的中点的纵坐标为，所以以AD为直径的圆与直线m的相交弦长的平方为：，要使以AD为直径的圆截得的弦长为定值则可得，时相交弦长的平方为定值，即所以E到直线AB的距离为：，而弦长，所以，将①代入可得，设为偶函数，只看的情况即可，令，当，，单调递增；当，，单调递减，所以且上，为最大值，所以的最大值为：22.【答案】（1）解：，所以，所以函数在处的切线方程为：，即（2）解：根据题意得，，即，为方程的根，，解得，所以，，所以，令，，，，，当时，，单调递增.当时，，单调递减.所以，所以，所以（3）解：根据题意得，方程只有一个根，即，只有一个根，令，有唯一零点，当趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，下面证明恒成立，若存在，使得，所以存在，，使得，，，则与至少有两个交点，矛盾.由对于任意，只有一个解，得为上的增函数，所以，得，令，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，，得11 / 11。

2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月模拟考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一､选择题1.设集合{}1,2,3,4,5,6A =,{}2,3,4B =,{}|13C x R x =∈-<≤,则()A C B =（ ）A. {}2,3B. {}2,3,4C. {}1,2,3,4D. {}2,3,4,5【答案】C【解析】求出集合,直接计算即可.【详解】解：集合{}1,2,3,4,5,6A =,{}2,3,4B =, {}|13C x R x =∈-<≤,则(){}{}{}1,2,32,3,41,2,3,4A C B ⋂⋃=⋃=,故选：C.2.已知,x y 是非零实数,则“x y >”是“11x y <”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】 因为11x y <,所以00x y x y xy xy >⎧->⇒⎨>⎩或0x y xy <⎧⎨<⎩ ,所以x y >是“11x y <”的既不充分也不必要条件,选D点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合,例如“p ⇒q ”为真,则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ,q ⇒p 与非p ⇒非q ,p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ,则A 是B 的充要条件．3.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为110︒,则C 的离心率为（ ） A. 2sin 20︒B. 2cos20︒C. 1sin 20︒D. 1cos 20︒【答案】C【解析】由双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为110︒,得tan110b a -=︒,所以tan 70b a =︒,C 的离心率222c a b e a a +==代入求值即可. 【详解】解：双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为110︒,所以tan 70b a=︒, ∴C 的离心率222211tan 70sin 20c a b e a a +===+︒=︒. 故选：C.4.如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形,则该多面体的体积（ ）A. 23B. 1C. 2D. 3。

2020年浙江省台州市温岭中学高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,3，4}，C ={x ∈R|−1<x ≤3}，则(A ∩C)∪B =( )A. {2,3}B. {2,3，4}C. {1,2，3，4}D. {2,3，4，5} 2. 已知x ，y 是非零实数，则“x >y ”是“1x <1y ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为110°，则C 的离心率为( )A. 2sin 20°B. 2cos20°C. 1sin20∘D. 1cos20∘4. 如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积( )A. 23 B. 1 C. 2 D. 35. 若x ，y 满足|y|≤2−x ，且|x|≤1，则2x +y 的最小值为( )A. −7B. −5C. 1D. 4 6. 若函数f(x)=ln(21−x +a)是奇函数，则使f(x)<1的x 的取值范围为( )A. (−1,e−1e+1) B. (0,e−1e+1)C. (e−1e+1,1)D. (−1,e−1e+1)∪(1,+∞)7. ( )η 4 3 2 P a b c ξ 2 3 4 PabcEξ>Eη，Dξ<Dη B. Eξ>Eη，Dξ=Dη C. Eξ>Eη，Dξ>Dη D. Eξ<Eη，Dξ=Dη8. 如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥CD ，AB =BC =2，CD =4，E 为CD 中点，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，将△ADE 沿AE 折起，使点D 到D 1，M 到M 1，在翻折过程中，有下列命题：①|M 1N|的最小值为1；②M 1N//平面CD 1E③存在某个位置，使M 1E ⊥DE④无论M 1位于何位置，均有M 1N ⊥AE.其中正确命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知a 1=1919，a k =1949，a l =2019是等差数列{a n }中的三项，同时b 1=1919，b k =1949，b 1=2019是公比为q 的等比数列{b n }中的三项，则q 的最大值为( )A. 20191949B. (20191949)17C. (20191949)107D. 无法确定10. 已知函数f(x)=x 2+ax +b(a,b ∈R)在区间[2,3]上有零点，则a 2+ab 的取值范围是( )A. (−∞,4]B. (−∞,818]C. [4,818]D. [818,+∞)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 已知若复数z =m+i 2−i(i 为虚数单位).若z 是纯虚数，则以F(0,m)为焦点的抛物线的标准方程为______；若|z|=√2，则m =______．12. 已知A(−2,0)，B(2,0)，动点M 满足|MA|=2|MB|，则点M 的轨迹方程是______；又若MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，此时△MAB 的面积为______． 13. 在二项式(3x −√x 23)7的展开式中，所有项系数和为______，展开式中含x 2的项是______．14. 已知正实数a 满足a a =(8a)9a ，log a (2a)的值为______． 15. 记A ，B ，C 为△ABC 的内角，①若1+sinA cosA=3，则1+cosA sinA=______；②若cos B ，cos C 是方程5x 2−3x −1=0的两根，则sinB ⋅sinC =______． 16. 已知P ，Q 是椭圆x 23+y 2=1上的两点(点Q 在第一象限)，若M(1,0)，且直线pM ，QM 的斜率互为相反数，且|PM|=2|QM|，则直线QM 的斜率为______．17. 已知A ，B ，C ，D ，E 为半径为1的圆上相异的5点(没有任何两点重合)，这5个点两两相连可得到10条线段，则这10条线段长度平方和的最大值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f(x)=√3sin x2cos x2−cos 2x2+1．(Ⅰ)若x ∈[0,π2],f(x)=56，求cos x 的值；(Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2bcosA ≤2c −√3a ，求f(B)的取值范围．19. 四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 为正三角形，SC =2√2，E为AD 的中点．(Ⅰ)证明：平面SAD ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求直线SB 与平面SEC 所成角的正弦值．20. 数列{a n }中，a 1=1，a 2=14，且a n+1a n=n−1n−a n(n ∈N ∗,n ≥2)．(Ⅰ)令f(n)=1nan+1−1(n−1)a n(n ∈N ∗,n ≥2)，将f(n)用n 表示，并求{a n }通项公式；(Ⅱ)令T n =a 12+a 22+⋯+a n 2，求证：T n <76．21. 如图，已知抛物线y =14x 2的焦点为F ．(Ⅰ)若点P 为抛物线上异于原点的任一点，过点P 作抛物线的切线交y 轴于点Q ，证明：∠PFy =2∠PQF ；(Ⅱ)A ，B 是抛物线上两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点D(0,4)(AB 不与X 轴平行)，且|AF|+|BF|=6.过y 轴上一点E 作直线m//x 轴，且m 被以AD 为直径的圆截得的弦长为定值，求△ABE 面积的最大值．−3lnx．22.已知函数f(x)=2x−1x(Ⅰ)求函数y=f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)若y=f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)≥3ln2．(Ⅲ)若对于任意k∈(−∞,2)，直线y=kx+b与函数y=f(x)图象都有唯一公共点，求实数b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,3，4}， C ={x ∈R|−1<x ≤3}，则(A ∩C)∪B ={1,2，3}∪B ={1，2，3，4}， 故选：C ．求出集合，直接计算．考查集合的交集，并集运算，基础题． 2.答案：D解析：解：由x >y ，不能推出1x <1y ，如x =3，y =−2； 反之，由1x <1y ，也不一定有x >y ，如x =−1，y =2． ∴“x >y ”是“1x <1y ”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．举例说明由x >y ，不能推出1x <1y ，由1x <1y ，也不一定有x >y ，则答案可求． 本题考查充分必要条件的判定方法，是基础题． 3.答案：C解析：解：∵双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为110°， ∴−ba=tan110°，所以ba=tan70°，∴C 的离心率e =c a=√a 2+b 2a 2=√1+tan 270°=1sin20∘．故选：C ．由双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为110°，得−ba =tan110°，所以ba =tan70°，C 的离心率e =ca =√a 2+b 2a 2.代入求值即可．本题主要考查了双曲线的性质，是基础题．4.答案：B解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，PA ⊥底面ABCD ，且PA =1，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，AD//BC ，AB =AD =2，BC =1． ∴该多面体的体积V =13×12(1+2)×2×1=1．故选：B ．由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，PA ⊥底面ABCD ，且PA =1，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，AD//BC ，AB =AD =2，BC =1，再由棱锥体积公式求解． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5.答案：B解析：解：作出x ，y 满足|y|≤2−x ，且|x|≤1，对应的平面区域如图：由z =2x +y 得y =−2x +z 平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点A 时，直线的截距最小， 此时z 最小，由{−y =2−x x =−1，解得A(−1,−3)，此时z =2×(−1)+(−3)=−5，则2x +y 的最小值为：−5． 故选：B ．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 6.答案：A解析：解：根据题意，函数f(x)=ln(21−x +a)是奇函数，则f(−x)+f(x)=0， 即ln(21+x +a)+ln(21−x +a)=0，变形可得(2+a+ax 1+x)(2+a−ax 1−x)=1，分析可得：a =−1，则f(x)=ln(21−x −1)=ln(1+x1−x )，有1+x1−x >0，解可得−1<x <1，即函数的定义域为(−1,1)， 设t =1+x1−x ，则y =lnt ，t =1+x1−x =−2x−1−1，则t 在(−1,1)上为增函数，而y =lnt 在(0,+∞)上为增函数， 则f(x)在(−1,1)上为增函数，若f(x)=1，即1+x1−x =e ，解可得x =e−1e+1， 则f(x)<1⇒f(x)<f(e−1e+1)⇒x <e−1e+1， 又由−1<x <1，则有−1<x <e−1e+1， 即x 的取值范围为(−1,e−1e+1)； 故选：A ．根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)+f(x)=0，即ln(21+x +a)+ln(21−x +a)=0，变形可得a 的值，即可得函数的解析式，由复合函数的单调性判断方法可得f(x)在(−1,1)上为增函数，求出满足f(x)=1的x 的值，据此分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，关键是求出a的值，属于基础题．7.答案：B解析：解：Eξ=2a+3b+4c，Eη=4a+3b+2c，Eξ−Eη=2(c−a)>0，由ξ+η=6，所以Dξ=D(6−η)=Dη，故选：B．求出数学期望，作差比较大小，和利用方差的性质，得到结论．考查数学期望和方差的性质及其应用，中档题．8.答案：D解析：解：在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=4，E为CD中点，M，N分别为AD，BC的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到D1，M到M1，在翻折过程中，当D1与C重合时，|M1N|的最小值为1；所以①正确；连接MN交AE于F连接M1F，可以证明平面FM1N//平面CD1E，所以M1N//平面CD1E，所以②正确；当D1E⊥平面ABCD时，M1E⊥DE，所以③正确；因为AE⊥FN，AE⊥M1F，所以直线AE⊥平面FM1E，所以无论M1位于何位置，均有M1N⊥AE.所以④正确；故选：D．通过连接直线DN等直线，结合直线与平面的平行与垂直，转化判断4个命题的真假即可．本题考查命题的直接的判断与应用，涉及空间几何体直线与平面的位置关系的综合应用，是中档题．9.答案：B解析：解：由题意，数列{b n}不是常数列．由a1=1919，a k=1949，a l=2019是等差数列{a n}中的三项，得d=a k−a1k−1=a l−a1l−1，即1949−1919k−1=2019−1919l−1，得l=10k−73．由b1=1919，b k=1949，b1=2019是公比为q的等比数列{b n}中的三项，得q l−k=a l ak =20191949>1，则q=(20191949)1l−k，要使q最大，则l−k最小，由3l=10k−7，得k=1，l=1(舍)；k=4，l=11；k=7，l=21；k=10，l=31；…；由上可知，当k与l均增加时，由于l的系数小于k的系数，则要使等式3l=10k−7成立，l比k增加要快．∴l−k的最小值为7．则q的最大值为(20191949)17．故选：B ．由题意可得3l =10k −7，q =(20191949)1l−k ，要使q 最大，则l −k 最小，结合等式3l =10k −7求得l −k 的最小值，则q 的最大值可求．本题考查等差数列与等比数列的性质，考查数列的函数特性，是中档题． 10.答案：B解析：解：不妨设x 1，x 2为函数f(x)的两个零点，其中x 1∈[2,3]，x 2∈R ， 则x 1+x 2=−a ，x 1x 2=b ．则a 2+ab =(x 1+x 2)2−(x 1+x 2)⋅x 1x 2=(1−x 1)x 22+(2x 1−x 12)x 2+x 12， 由1−x 1<0，x 2∈R ，所以(1−x 1)x 22+(2x 1−x 12)x 2+x 12≤4(1−x 1)x 12−(2x 1−x 12)24(1−x 1)=x 144(x1−1)，可令g(x 1)=x 144(x 1−1)，g′(x 1)=x 13(3x 1−4)4(x 1−1)，当x 1∈[2,3]，g′(x 1)>0恒成立，所以g(x 1)∈[g(2),g(3)]=[4,818]. 则g(x 1)的最大值为818，此时x 1=3，还应满足x 2=−2x 1−x 122(1−x 1)=−34，显然x 1=3，x 2=−34时，a =b =−94，a 2+ab =818．故选：B ．不妨设x 1，x 2为函数f(x)的两个零点，其中x 1∈[2,3]，x 2∈R ，运用韦达定理和主元法、二次函数的最值，构造函数g(x 1)，求得导数，判断单调性，可得所求范围．本题考查函数的零点问题，注意函数方程的转化、韦达定理的运用和构造函数法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题． 11.答案：x 2=2y ±3解析：解：∵z =m+i 2−i=(m+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2m−15+m+25i 为纯虚数，则2m −1=0，即m =12，则F(0,12)，∴以F(0,12)为焦点的抛物线的标准方程为x 2=2y ； 由|z|=√2，得|m+i 2−i|=|m+i||2−i|=√m 2+1√5=√2，解得m =±3．故答案为：x 2=2y ；±3．利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得m ，可得抛物线的方程；再由复数模的计算公式列式求m 值．本题考查抛物线的方程的求法，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．12.答案：3x 2+3y 2−20x +12=0 165解析：解：A(−2,0)，B(2,0)，设M(x,y)，由|MA|=2|MB|，得√(x +2)2+y 2=2√(x −2)2+y 2， 整理得：3x 2+3y 2−20x +12=0； 以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4， 联立{3x 2+3y 2−20x +12=0x 2+y 2=4，解得|y|=85． 即M 点的纵坐标的绝对值为85． ∴此时△MAB 的面积为S =12×4×85=165．故答案为：3x 2+3y 2−20x +12=0；165．设M(x,y)，由|MA|=2|MB|列式可得点M 的轨迹方程，再写出以AB 为直径的圆的方程，与M 的轨迹联立求得M 的纵坐标，再由三角形面积公式求解．本题考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题． 13.答案：128 −2835x 2解析：解：∵二项式(3x −√x 23)7的展开式中，令x =1，可得所有项系数和为(3−1)7=128．二项式(3x −√x23)7的展开式中，通项公式为T r+1=C 7r ⋅(−1)r ⋅37−r ⋅x 7−5r3，令7−5r 3=2，求得r =3，可得展开式中含x 2的项是−C 73⋅34⋅x 2=−2835x 2，故答案为：128；−2835x 2．令x =1，可得所有项系数和．再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x 2的项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.答案：1927解析：解：∵正实数a 满足a a =(8a)9a ， ∴a =9alog a 8a ，由log a 8a =19，得log a 8=−89， ∴log a 2=−827，∴log a (2a)=log a 2+1=−827+1=1927． 故答案为：1927．推导出a =9alog a 8a ，由log a 8a =19，得log a 8=−89，从而log a 2=−827，由此能求出log a (2a)的值． 本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15.答案：2 √75解析：解：①由已知得1+sinA =3cosA >0，再由sin 2A +cos 2A =1，联立化简cosA =35,sinA =45，则1+cosA sinA=2故应填2；②由题知cosB +cosC =35 ① cosBcosC =−15 ②将①式平方得 cos 2B +2cosBcosC +cos 2C =925 得cos 2B +cos 2C =925+2×15=1925sinBsinC =√1−cos 2B √1−cos 2C =√1−(cos 2B +cos 2C)+cos 2Bcos 2C =√1−1925+125=√75故应填√75①由已知得1+sinA =3cosA ，再利用sin 2A +cos 2A =1，即可得出sin A ，cos A ，代入即可； ②由题知cosB +cosC =35 ①cosBcosC =−15 ②，将①平方得出cos 2B +cos 2C ，再由sinBsinC =√1−cos 2B√1−cos 2C ，乘进去代入即可得出结果本题主要考查的是三角函数的恒等变换及化简求值，注意sin 2A +cos 2A =1的隐含条件，是道综合题16.答案：1解析：解：延长PM 交椭圆于N ，由对称性可知|QM|=|MN|， 设直线PM 的斜率为k ，则直线PM 的方程为y =k(x −1)(k <0)，联立方程组{y =k(x −1)x 2+3y 2=3，消元得：(1k 2+3)y 2+2yk −2=0， 设P(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−2k1+3k 2， ∵|PM|=2|QM|，∴y 1=−2y 2． ∴y 1+y 2=−y 2=−2k1+3k 2， 即y 2=2k1+3k 2，∴x 2=21+3k 2+1，把N(21+3k 2+1,2k1+3k 2)代入椭圆方程得：(21+3k 2+1)2+3(2k1+3k 2)2=3，解得k 2=1，∴k =−1， ∴直线QM 的斜率为−k =1． 故答案为：1．设直线PM 斜率为k ，得出直线PM 的方程，联立方程组消元，得出N 点坐标，代入椭圆方程计算k 的值即可得出OM 的斜率−k ．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 17.答案：25解析：解：不妨设圆心为O ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，……，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)−2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =20−[(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)]=25−(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )2≤25，当且仅当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 时取等号． 故答案为：25．由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，……，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再相加即可求得答案．本题考查数量积的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．18.答案：解：(I)f(x)=√3sin x 2cos x 2−cos 2x 2+1=√32sinx −1+cosx 2+1，=√32sinx −12cosx +12=sin(x −π6)+12，由x ∈[0,π2],f(x)=56可得sin(x −π6)+12=56，所以sin(x −π6)=13，cos(x −π6)=2√23，所以cosx =cos[(x −π6)+π6]=√32×2√23−13×12=2√6−16． (II)因为2bcosA ≤2c −√3a ，由正弦定理可得，2sinBcosA ≤2sinC −√3sinA ，从而可得，2sinBcosA ≤2sinAcosB +2sinBcosA −√3sinA ， 即cosB ≥√32，因为0<B <π，所以0<B ≤π6，−π6<B −π6≤0， 所以−12<sin(B −π6)≤0，所以f(B)=sin(B −π6)+12∈(0,12]．解析：(I)先利用二倍角公式，辅助角公式先对已知函数进行化简，然后结合两角和的余弦公式展开即可求解；(II)由已知结合正弦定理进行化简可求cos B 的范围，进而可求B 的范围，代入f(B)后结合余弦函数的性质即可求解．本题考查了三角公式在化简中的应用及三角函数性质的应用，属于中档试题．19.答案：解：(Ⅰ)证明：∵侧面SAD 为正三角形，E 为AD 的中点，∴SE ⊥AD ，∵底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 为正三角形，SC =2√2，E 为AD 的中点．∴SE =√4−1=√3，CE =√4+1=√5，∴SE 2+CE 2=SC 2，∴SE ⊥CE ， ∵AD ∩CE =E ，∴SE ⊥平面ABCD ， ∵SE ⊂平面SAD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)解：以E 为原点，EA 为x 轴，过E 作AB 的平行线为y 轴，ES 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则S(0,0，√3)，B(1,2，0)，E(0,0，0)，C(−1,2，0)， SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，√3)，ES ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，√3)，EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，0)， 设平面SEC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n⃗ ⋅ES ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3z =0n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0，取y =1，得n⃗ =(2,1，0)， 设直线SB 与平面SEC 所成角为θ，则直线SB 与平面SEC 所成角的正弦值为： sinθ=|SB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||SB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=4√8⋅√5=√105．解析：(Ⅰ)推导出SE ⊥AD ，SE ⊥CE ，从而SE ⊥平面ABCD ，由此能证明平面SAD ⊥平面ABCD ． (Ⅱ)以E 为原点，EA 为x 轴，过E 作AB 的平行线为y 轴，ES 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线SB 与平面SEC 所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(I)∵数列{a n }中，a 1=1，a 2=14，且a n+1a n=n−1n−a n(n ∈N ∗,n ≥2)．∴f(n)=1n⋅(n−1)a n n−a n−1(n−1)a n=1n(n−1)=1n−1−1n． n ≥2时，1na n+1−1a 2=1−12+12−13+⋯…+1n−1−1n =1−1n．∴a n+1=15n−1，可得a n =15n−6.n =2时成立． ∴a n ={1,n =115n−6,n ≥2． (II)证明：n ≥3时，a n2=1(5n−6)2<1(5n−11)(5n−6)=15(15n−11−15n−6). ∴T n <1+116+15(14−19+19−114+⋯…+15n−11−15n−6)=1+116+120<76． n =1，2时也成立． 综上可得：T n <76．解析：(I)由数列{a n }中，a 1=1，a 2=14，且a n+1a n=n−1n−an(n ∈N ∗,n ≥2).可得f(n)=1n⋅(n−1)a n n−a n−1(n−1)a n =1n(n−1)=1n−1−1n.利用累加求和方法可得a n+1，可得a n ．(II)n ≥3时，a n2=1(5n−6)2<1(5n−11)(5n−6)=15(15n−11−15n−6).即可证明． 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、累加求和方法、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)由抛物线的方程可得F(0,1)，准线方程：y =−1，设P(x 0,x 024)，由抛物线的方程可得y′=x2，所以在P 处的切线的斜率k =x 02，所以在P 处的切线方程为：y −x 024=x 02(x −x 0)令x =0可得y =−x 024，即Q(0,−x 024)，所以FQ =1+x 024，而P 到准线的距离d =x 024+1，由抛物线的性质可得PF =d所以PF =FQ ，∠PQF =∠QPF ，可证得：∠PFy =2∠PQF ；(Ⅱ)设直线AB 的方程为：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线与抛物线联立{y =kx +mx 2=4y 整理可得：x 2−4kx −4m =0，△=16k 2+16m >0，即k 2+m >0，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4m ，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =4k 2+2m ， 所以AB 的中点坐标为：(2k,2k 2+m)，所以线段AB 的中垂线方程为：y −(2k 2+m)=−1k (x −2k)，由题意中垂线过D(0,4)，所以2k 2+m +2=4，即2k 2+m =2，①由抛物线的性质可得：|AF|+|BF|=y 1+y 2+2=6，所以4k 2+2m +2=6，即2k 2+m =2②设E(0,b)，AD 2=x 12+(y 1−4)2，AD 的中点的纵坐标为4+y 12，所以以AD 为直径的圆与直线m 的相交弦长的平方为：4[AD 24−(b −4+y 12)2]=4[x 124+(y 1−4)24−b 2−(y 1+4)24+b(y 1+4)]=4[y 1−b 2+4b −4y 1+by 1]=4[(b −3)y 1+4b −b 2]，要使以AD 为直径的圆截得的弦长为定值则可得b =3，时相交弦长的平方为定值12，即E(0,3)， 所以E 到直线AB 的距离为：d =√1+k 2，而弦长|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√1+k 2√k 2+m ， 所以S △EAB =12|AB|⋅d =2√1+k 24√1+k 2⋅√k 2+m =2|3−m|√m +k 2，将①代入可得S △ABE =2|3−2+2k 2|√2−2k 2+k 2=2|1+2k 2|√2−k 2=2√−4k 6+4k 4+7k 2+2设f(k)=−4k 6+4k 4+7k 2+2，为偶函数，只看√2>k >0的情况即可，f′(k)=−24k 5+16k 3+14k =−2k(12k 4−6k 2−7=−2k(2k 2+1)(6k 2−7) 令f′(k)=0，k =√426当0<k <√426，f′(k)>0，f(k)单调递增；当√426<k <√2，f′(k)<0，f(k)单调递减所以k ∈(−√2,√2)且k ≠0，上，f(√426)=f(−√426)为最大值10√309所以S △ABE 的最大值为：2|1+2×4236|√2−4236=10√309．解析：(Ⅰ)设P 的坐标，求出在P 处的导数，进而求出在P 处的切线的方程，令x =0求出Q 的坐标，进而求出FQ 的值，P 到准线的距离为PF 的值可得PF =FQ ，进而可得结论； (Ⅱ)设直线AB 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，再求线段AB 的中点坐标，求出AB 的中垂线的方程，将D 点代入中垂线的方程可得参数的关系，设E 的坐标，由以AD 为直径的圆圆直线m 的弦长为定值可得E 的坐标，进而求出E 到直线AB 的距离，代入面积公式可得关于直线AB 斜率的表达式，令函数求导可得函数的最大值，即求出面积的最大值． 考查过抛物线的一点求切线方程，面积公式及直线与抛物线的综合应用，属于中难题．22.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=2+1x 2−3x =2x 2−3x+1x 2所以f′(1)=0，所以函数f(x)在x =1处的切线方程为： y −f(1)=f′(1)(x −1)， 即y =1．(Ⅱ)根据题意得，f′(x 1)=f′(x 2)=m ，即x 1，x 2为方程(2−m)x 2−3x +1=0的根，{2−m >0△=9−4(2−m)>0x =−−32(2−m)>0，解得−14<m <2， 所以x 1+x 2=32−m ，x 1x 2=12−m ，所以f(x 1)+f(x 2)=2(x 1+x 2)−(1x 1+1x 2)−3(lnx 1+lnx 2)=2(x 1+x 2)−(x 2+x 1x 1x 2)−3ln(x 1x 2) =2×3−32−m 12−m−3ln 1=62−m−3−3ln12−m ，令t =12−m ，(t >49)g(t)=6t −3−3lnt ，(t >49)， g′(t)=6−3t =6t−3t，当t ∈(12,+∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增． 当t ∈(49,12)时，g′(t)<0，g(t)单调递减． 所以g(t)min =g(12)=3ln2，所以g(t)≥3ln2，所以f(x 1)+f(x 2)≥3ln2．(Ⅲ)根据题意得，方程f(x)=kx +b 只有一个根， 即k =2x−1x−3lnx−bx只有一个根， 令ℎ(x)=2x−1x −3lnx−bx，有唯一零点，当x →0+时，ℎ(x)→−∞，x →+∞时，ℎ(x)→2， 下面证明ℎ(x)<2恒成立，若存在x 0∈(0,+∞)，使得ℎ(x 0)≥1，所以存在x 1∈(0,x 0)，x 2∈(x 0,+∞)，使得ℎ(x 1)<1，ℎ(x 2)<1，k =max{ℎ(x 1),ℎ(x 2)}<2，则y =k 与y =ℎ(x)至少有两个交点，矛盾．由对于任意k ∈(−∞,2)，ℎ(x)=k 只有一个解，得ℎ(x)为(0,+∞)上的增函数， 所以ℎ′(x)=2x+3lnx+b−3x 2≥0，得b ≥−2x −3lnx +3，令m(x)=−2x −3lnx +3，(x >0)，则m′(x)=2x 2−3x =2−3x x 2，所以m(x)在(0,23)上单调递增，在(23,+∞)上单调递减， m(x)max =m(23)=−3ln 23．得b ≥m(x)max =m(23)=−3ln 23．解析：(Ⅰ)先求导得f′(1)，函数f(x)在x =1处的切线方程为：y −f(1)=f′(1)(x −1)，代入化简即可得结论．(Ⅱ)根据y =f(x)在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，即x 1，x 2为方程(2−m)x 2−3x +1=0的根，{2−m >0△=9−4(2−m)>0x =−−32(2−m)>0，解得−14<m <2，由韦达定理x 1+x 2，x 1x 2，所以f(x 1)+f(x 2)=2(x 1+x 2)−(1x 1+1x 2)−3(lnx 1+lnx 2)=62−m−3−3ln12−m，钩爪函数求导可证．(Ⅲ)将问题转化为ℎ(x)=2x−1x−3lnx−bx有唯一零点，再利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性得函数草图，根据草图可得．本题考查导数的综合应用，属于中档题．。

2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月第二次高考模拟数学试题一、单选题(★) 1 . 已知全集.集合.则（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知是虚数单位，则（）A．1B．C．D．2(★) 3 . 已知是公比不为1的等比数列，且依次构成等差数列，则公比为（）A．B．2C．D．(★) 4 . 已知实数满足则“ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★) 5 . 设是三个互不重合的平面，是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则(★) 6 . 若正实数，满足，则的最小值为（）A．2B．C．5D．(★★) 7 . 是边的中点，、是线段上两动点，且.则的最小值是（）A．B．C．1D．(★) 8 . 安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（）A．13B．18C．22D．28(★★) 9 . 双曲线分别为左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线同一支相交于两点.若，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2(★★★★) 10 . 函数，则下列结论中不正确的是（）A．曲线存在对称中心B．曲线存在对称轴C．函数的最大值为D．二、双空题(★) 11 . 已知实数、满足条件，则的最小值为__________，最大值为__________.(★) 12 . 展开式中的系数是15，则展开式的常数项为__________，展开式中有理项的二项式系数和为__________.(★) 13 . 盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为__________，__________.(★★) 14 . 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________.三、填空题(★★) 15 . 中，内角的对边分别为，已知的面积为，则的周长为__________.(★★) 16 . 已知圆、为圆上两个动点，满足为线段的中点，.当在圆上运动时，存在某个位置使为钝角，则实数的取值范围是__________.(★★★★) 17 . 设函数，若对任意的负实数和实数，总有使得，则实数的取值范围是__________.四、解答题(★★) 18 . 已知函数在时取到最大值2.（1）求函数的解析式；（2）若，求的值.(★★) 19 . 在直角三角形中，、分别在线段、上，.沿着将折至如图，使.（1）若是线段的中点，试在线段上确定点的位置，使面；（2）在（1）条件下，求与平面所成角的正弦值.(★★) 20 . 已知数列满足：.（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）记、分别为数列、的前项和.求证：对任意.(★★★★) 21 . 点是抛物线内一点，是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，且已知的最小值为2.（1）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点处的切线与斜率为常数的动直线相交于，且直线与抛物线相交于、两点.问是否有常数使？(★★★★) 22 . 已知函数.（1）求证：当时，；（2）记，若有唯一零点，求实数的取值范围.。

2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．124．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．76．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣28．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0] 10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．12．设函数，，则函数的最小值为；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是，含x2项的系数是．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，作出二面角B﹣PA﹣C的平面角，设PE＝a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的长度，再由余弦定理得答案．解：如图，在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC内过E 作EG⊥PA交PC于G，连接GF，设PE＝a，在Rt△PEG中，∵∠EPG＝60°，∴PG＝2a，GE＝a，同理求得PF＝2a，EF＝a，则GF＝2a，在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG＝＝．故选：C．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．12【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S＝×（2+4）×2＝6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝6．故选：C．4．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．7【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，由解得A（2，1）当直线z＝3x﹣y过点A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故选：C．6．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．【分析】先求得x的值，然后计算出EX，再利用方差公式求解即可．解：根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4+0.3+2.5＝3.2，DX＝2.22×0.4+0.22×0.1+1.82×0.5＝3.56，故选：A．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，注意a＞b，从而得到a+b的值．解：∵P（a，b）点在双曲线上，∴有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．∵A（a，b）到直线y＝x的距离为，∴d＝＝，∴|a﹣b|＝2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b＝2．∴a+b＝，故选：B．8．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】首先利用关系式的两边取对数求出数列的通项公式，进一步得到数列为等差数列，最后求出结果．解：数列{a n}满足，两边取对数得到，整理得a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}是以2为公差的等差数列．则a2+a4+a6＝3a4＝9，整理得a4＝3，所以a7＝a4+2（7﹣4）＝3+6＝9，故a5+a7+a9＝3a7＝27，所以．故选：C．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0]【分析】可设n≤x＜n+1，从而得出[x]＝n，先可得出﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n，从而可求出[x]﹣x的范围，即得出f（x）的值域．解：设n≤x＜n+1，则[x]＝n；∴﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n；∴﹣1＜[x]﹣x≤0；∴f（x）的值域为（﹣1，0]．故选：D．10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．【分析】利用余弦定理可得AC，cos B，再利用三角形面积计算公式即可得出．解：AC2＝32+42﹣2×3×4cos D＝52+62﹣2×5×6cos B，cos B+cos D＝0．∴AC2＝，∴cos B＝，可得sin B＝＝．∴△ABC的面积S＝×＝．故答案为：．12．设函数，，则函数的最小值为2；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【分析】由已知结合基本不等式可求函数的最小值；由，使得a2﹣a≥f （x）成立，可得a2﹣a≥f（x）min，然后解不等式可求．解：∵，由基本不等式可得，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得最小值2，∵，使得a2﹣a≥f（x）成立，∴a2﹣a≥f（x）min，∴a2﹣a≥2，解不等式可得，a≥2或a≤﹣1，故a的范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．故答案为：2；（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是64，含x2项的系数是240．【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，再利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数．解：在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是2n＝26＝64，而通项公式为T r+1＝•（﹣1）r 26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得含x2项的系数是•24＝240，故答案为：64；240．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【分析】建立坐标系，设A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则||+2||＝CD+2BC，构造相似三角形，设E（1，），可得△AEC∽△ACD，所以||+2||＝CD+2BC＝2（BC+CE）≥2BE＝．解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【分析】先根据导数和函数的最值得关系，以及f（x）≥1恒成立，可得当a＞0时，b ≥alna﹣a+1，代入≥＝lna+﹣2，构造函数g（a）＝lna+﹣2，a＞0，利用导数求出函数的最值即可解：∵f（x）＝e x﹣ax+b，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为6π；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．【分析】设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，然后求解球O的表面积推出最值；四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），利用函数的导数，求解PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解即可．解：设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，所以AB⊥PD，又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球心O的表面积为：＝3π[（x﹣1）2+2]≥6π．四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），则V′＝﹣x2+2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，V′＜0，所以V max＝V（2）此时AD＝CD＝2，PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．∵DH＝＝，∴tan∠AHD＝＝．故答案为：6π；．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．【分析】（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），不等式化为m≥﹣2sin2x+sin x；求出g（x）＝﹣2sin2x+sin x，在x∈[0，]的最大值即可；（2）根据三角函数的图象与性质，结合题意列方程和不等式，即可求出ω的最大值．解：（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），则y＝f（x﹣）+f（2x+）＝sin[（x﹣）+]+sin[（2x+）+]＝sin x+cos2x ＝1﹣2sin2x+sin x；不等式f（x﹣）+f（2x+）﹣m≤1，可化为m≥﹣2sin2x+sin x；设g（x）＝﹣2sin2x+sin x，x∈[0，]，则g（x）＝﹣2+，且x∈[0，]时，sin x∈[0，]，所以sin x＝时，g（x）取得最大值是，所以实数m的取值范围是m≥；（2）若，则x＝是f（x）的对称轴，即ω•+φ＝kπ+，k∈Z；又，则﹣ω+φ＝kπ，k∈Z；所以φ＝，ω＝6k+，k∈Z；又f（x）在单调递增，则，解得ω≤2；综上知，ω的最大值是．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．【分析】（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AE ∥FB1，DE∥B1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF＝B1E，∴四边形AFB1E是平行四边形，∴AE∥FB1，…（1分）∵AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴AE∥平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴DE∥B1C，…∵ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ED∥平面B1FC；…∵AE∩DE＝E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴平面B1FC∥平面EAD．…（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥面ABC，又∵AD⊂面ABC，∴C1C⊥AD．…又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…而C1C∩BC＝C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵四边形BCC1B1是菱形，∴BC1⊥B1C，…而DE∥B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE＝D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013＝0，可得a1007＝0，a1008＝d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k ＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴＝0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013＝，∴1006d+d＝，即d＝，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d＝（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n＝，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）当|PF|＝2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．解：（1）设P（x，y），则y+1＝2，∴y＝1，∴x＝±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1＝0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|＝•|2+2﹣2+2|＝8．平行于直线l：x﹣y+1＝0的直线设为x﹣y+c＝0，与抛物线C：x2＝4y联立，可得x2﹣4x﹣4c＝0，∴△＝16+16c＝0，∴c＝﹣1，两条平行线间的距离为＝，∴△PAB的面积的最大值为＝4．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数来求出函数的单调区间．（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，利用导数，求出h（x）的最大值，问题得以解决．解：（1）f（x）＝﹣x3+x2+x+a，f'（x）＝﹣3x2+2x+1，．．．（2）由（1）可知，当时，函数f（x）取得极小值，函数的极小值为当x＝1时，函数f（x）取得极大值，函数的极大值为f（1）＝a+1，（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，即对于任意x∈[0，1]，不等式a≥x2+x恒成立，设h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，则h'（x）＝2x+1，∵x∈[0，1]，∴h'（x）＝2x+1＞0恒成立，∴h（x）＝x2+x在区间[0，1]上单调递增，∴[h（x）]max＝h（1）＝2∴a≥2，∴a的取值范围是[2，+∞）。

函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={l,2，3，4，5，6}，集合A ={l,2，4，6}，集合B ={l,3，5}，则A ∪(∁U B)=( )A. {l,2，3，4，5，6}B. {1,2，4，6}C. {2,4，6}D. {2,3，4，5，6}2. 把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当B 、D 两点距离为a 时，二面角B −AC −D 的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为( )A. 4√3B. 4√33C. 8√3D. 8√334. 已知函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，若关于x 的方程f(f(x))=m 有两个不同的实数根x 1，x 2，则x 1+x 2的取值范围为( )A. [2,3)B. (2,3)C. [2ln2,4)D. (2ln2,4)5. 已知实数x ，y 满足条件{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，那么2x −y 的最大值为( )A. −3B. −2C. 1D. 26. 已知随机变量X 的分布列如表，则D(X)=( )X 0 1 3P 0.2 0.2 yA. 0.4B. 1.2C. 1.6D. 27. 若双曲线x 2−y 2=2右支上一点(s,t)到直线y =x 的距离为2，则s −t 的值等于( )A. 2B. 2√2C. −2D. −2√28.已知数列{a n}满足a1=32，a n+1=3a na n+3，则a2019=()A. 32020B. 20203C. 20193D. 202139.已知[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)=√1−log2[x]的定义域为()A. (0,3]B. [0,3)C. (1,3]D. [1,3)10.“α≠β”是“cosα≠cosβ”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11.在ΔABC中，已知AB=√3，AC=1，A=30∘，则ΔABC的面积为________________．12.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=8，|b⃗ |=12，则|a⃗+b⃗ |的最小值是__________．13.若函数f(x)，g(x)满足：∀x∈(0,+∞)，均有f(x)>x，g(x)<x成立，则称“f(x)与g(x)关于y=x分离”.已知函数f(x)=a x与g(x)=log a x(a>0，且a≠1)关于y=x分离，则a的取值范围是______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.已知a,b为正实数，且a+b=2，则2a +1b+1的最小值为(1)，(a2+3)(b2+3)的最小值为(2)．15.在二项式(x−√x )7的展开式中，所有项系数之和为，含x4的项的系数是．16.已知定义域为R的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=−(x−1)2+1． ①当x∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是(1); ②当函数f(x)的图像在直线y=x的下方时，x的取值范围是(2)．17.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45∘，则棱AA1的长为；二面角B−DD1−C的大小为．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.知函数f(x)=x2+2xsinθ−1,x∈[−√32,12],θ∈[0,2π)．(1)当θ=π6时，求f(x)的最值；(2)若f(x)是单调函数，求θ的取值范围．19.如下图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．(1)求证：平面AD1E//平面BGF．(2)求证：D1E⊥AC．20.在等差数列{a n}中，a4+a7+a10=17，a4+a5+⋯+a14=77，求此数列的通项公式．若a k=13，求k的值．21.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，求点P的坐标．(a∈R).22.已知函数f(x)=ax+(1−a)lnx+1x(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)当a<0时，求f(x)的单调区间．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,2，4，6}，集合B={1,3，5}，∴∁U B={2,4，6}，则A∪(∁U B)={1,2，4，6}．故选：B．根据全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：解：如图，连接AC，BD交于O，则DO⊥AC，BO⊥AC，∴∠BOD为二面角B−AC−D的平面角，∵正方形ABCD的边长为a，则BO=DO=√2a，2a，BD=a，可得BO2+OD2=BD2，在△BOD中，由BO=DO=√22则∠BOD=90°．∴二面角B−AC−D的大小为90°．故选：D．由题意画出图形，求出二面角B−AC−D的平面角，解三角形得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3.答案：B解析：本题是基础题，考查三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，常考题型．依据三视图的数据，求出几何体的体积．解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥， 所以三棱锥的体积为：13×12×2×2√3×2=4√33． 故选：B ． 4.答案：A解析：解：函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象如下：当m ≥1时，f(t)=m ，有两个解t 1，t 2，其中t 1≤0，t 2≥2，f(x)=t 1有一个解，f(x)=t 2有两个解，不符合题意．当m <0时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈(0,1)，f(x)=t 有一个解，不符合题意．当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意． 可得1−x 1=log 2x 2=t ，且t ∈[1,2)，x 1+x 2=2t −t +1，令g(t)=2t −t +1，g′(t)=2t lnt −1>0，故g(t)在[1,2)单调递增，∴g(t)∈[2,3)．故选：A ．画出函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象，可求得当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意．可得1−x1=log2x=t，且t∈[1,2)，x1+x2=2t−t+1，令g(t)=2t−t+1，利用导数求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．5.答案：C解析：解：由约束条件作出图形：易知可行域为一个三角形，验证当直线过点A(0,−1)时，z取得最大值z=2×0−(−1)=1，故选：C．先根据约束条件画出可行域，z=2x−y表示斜率为2的直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题是考查线性规划问题，准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题．6.答案：C解析：解：由题意0.2+0.2+y=1，所以y=0.6所以E(X)=1×0.2+3×0.6=2所以D(X)=4×0.2+1×0.2+1×0.6=1.6故选C．利用概率和为1，确定y的值，计算出期望，即可求得方差．本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，考查学生的计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵双曲线x2−y2=2右支上一点(s,t)到直线y=x的距离为2，∴d=√2=2，∴|s−t|=2√2．又P点在右支上，则有s>t，∴s−t=2√2．故选B．根据点到直线的距离公式能够求出s−t的值．本题考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用．8.答案：A解析：本题考查了数列的通项公式与数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．运用数列的递推公式可得数列{1an }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，进而由等差数列的通项公式可求出a2019．解：∵a n+1=3a na n+3⇒1a n+1=13+1a n⇒1a n+1−1a n=13，∴数列{1a n }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，∴1a2019=23+(2019−1)×13=20203，∴a2019=32020．故选A．9.答案：D解析：本题主要考查函数定义域的求解，结合根式和对数的性质建立不等式关系是解决本题的关键，属基础题．根据函数表达式建立不等式，结合[x]的定义进行求解即可．解：要使函数有意义，则1−log2[x]≥0，即log2[x]≤1且[x]>0得0<[x]≤2，则1≤x<3，即函数的定义域为[1,3)，故选：D．10.答案：B解析：解：若“α≠β”则“cosα≠cosβ”的逆否命题是：若“cosα=cosβ”则“α=β”，∵α=β⇒cosα=cosβ，又当cosα=cosβ时，α=±β+2kπ，k∈Z，∴cosα=cosβ推不出α=β，∴“cosα=cosβ”是“α=β”的必要非充分条件，即“α≠β”是“cosα≠cosβ”的必要不充分条件．故选：B．根据充分必要条件的定义结合三角函数的性质判断即可．本题考查必要条件、充分条件和充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．11.答案：√34解析：本题考查三角面积公式，根据题意利用三角形面积公式SΔABC=12AB·AC·sinA，即可求得结果．解：S△ABC=12AB·ACsinA=12×√3×1×sin30°=√34，故答案为√34．12.答案：4解析：本题考查了平面向量数量积中模长公式的应用问题，属于基础题．设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，利用|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，得出θ=π时，|a⃗+b⃗ |取得最小值．解：设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，∵|a⃗|=8，|b⃗ |=12，∴|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，即4≤|a⃗+b⃗ |≤20，∴θ=π时，|a⃗+b⃗ |的最小值为4．故答案为4．13.答案：(e1e,+∞)解析：解：由题意，a>1．故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立．构造函数f(x)=a x−x，则f′(x)=a x lna−1，由f′(x)=0，得x=log a(log a e)，x>log a(log a e)时，f′(x)>0，f(x)递增；0<x<log a(log a e)，f′(x)<0，f(x)递减．则x=log a(log a e)时，函数f(x)取到最小值，故有a log a(log a e)−log a(log a e)>0，解得a>e1e．故答案为：(e1e,+∞)．由题意可得y=a x与y=log a x互为反函数，a>1，故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立，利用导数进行解决．本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．14.答案：3+2√2316解析：本题考查了利用基本不等式求最值，构造13(a+b+1)=1，由“1”的用法利用基本不等式得2a+1b+1的最小值，由a2+b2=4−2ab可得(a2+3)(b2+3)=(ab−3)2+12，由2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，即可得出最小值．解：由a+b=2，则13(a+b+1)=1，所以2a +1b+1=13(a+b+1)(2a+1b+1)=13[3+2(b+1)a+ab+1]≥13(3+2√2(b+1)a·ab+1)=3+2√23，当且仅当2(b+1)a =ab+1时等号成立，由a+b=2得a2+b2=4−2ab，所以(a2+3)(b2+3)=a2b2+3(a2+b2)+9=a2b2+3(4−2ab)+9=(ab−3)2+12，由a+b=2得2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，当且仅当a=b=1等号成立，所以当ab=1时，(ab−3)2+12取得最小值为16，即(a2+3)(b2+3)的最小值为16，故答案为3+2√23；16．15.答案：−184解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，赋值法求所有项的系数和，属于基础题．赋值法求出所有项的系数之和，写出二项展开式的通项公式，令7−32r=4，得r=2，再代入公式中即可求出含x4项的系数．解：二项式(x−√x )7的展开式中，令x=1，所有项的项式系数之和为(1−2)7=−1，二项展开式的通项公式T r+1=C7r(x)7−rx)r=C7r·(−2)r·x7−32r，由7−32r=4，得r=2，∴含x4项的系数为C72·(−2)2 =21×4=84．故答案为−1；84．16.答案：[−1,0](−1,0)∪(1,+∞)解析：本题考查函数的奇偶性的应用，二次函数的图像以及性质的应用，属于中档题．①由函数的奇偶性，以及二次函数在x ∈[0,1]时的值域即可求得在x ∈[−1,0]时的值域； ②由函数的图像可得x 的取值范围．解：①当x >0时，f(x)=−(x −1)2+1，∴当x ∈[0,1]时，f (x )∈[0,1]，因为f(x)为奇函数，∴当x ∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是[−1,0]；②函数f(x)的图像如图所示，当函数f(x)的图像在直线y =x 的下方时，得x 的取值范围是(−1,0)∪(1,+∞).故答案为①[−1,0] ；② (−1,0)∪(1,+∞).17.答案：√245∘解析：(1)由D 1B 与平面ABCD 所成的角为45∘可知∠D 1BD =45∘，又易知在等腰直角三角形DD 1B 中，DD 1=DB =√2，所以AA 1=√2.(2)BD ⊥DD 1，CD ⊥DD 1，∠BDC 即为所求二面角的平面角，为45∘． 18.答案：解：(1)当θ=π6时，f(x)=x 2+x −1=(x +12)2−54，又x ∈[−√32,12]， 所以当x =−12时，f(x)min =−54；x =12时，f(x)max =−14；(2)因为f(x)=x 2+2xsinθ−1的对称轴为x =−sinθ，又欲使f(x)在x ∈[−√32,12]上单调，则−sinθ≤−√32或−sinθ≥12，又θ∈[0,2π)，所以θ∈[π3,2π3]∪[7π6,11π6]．解析：本题主要考查三角函数性质的应用，熟悉三角函数求最值的方法是解答本题的关键，属于中档题，(1)由题意得，直接运用三角函数和二次函数的性质即可求解；(2)由题意得，直接运用三角函数的图像与性质即可求解．19.答案：证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F=BE，且D1F//BE，∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E//BF．∵D1E不在平面BGF内，BF⊂平面BGF，∴D1E//平面BGF．∵FG是△DAD1的中位线，∴FG//AD1．又AD1不在平面BGF内，FG⊂平面BGF，∴AD1//平面BGF．∵AD1∩D1E=D1，∴平面AD1E//平面BGF.(2)如图，连接BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD．∵D1D⊥AC，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1B1．∵D1E⊂平面BDD1B1，∴ D 1E ⊥AC.解析：(1)由于E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点可证得D 1E//BF 再由线面平行的性质定理得到D 1E//平面BGF.同理证得FG//AD 1再由线面平行的性质定理得到AD 1//平面BGF ，再由面面平行的性质定理得到平面AD 1E//平面BGF.(2)由已知可证得AC ⊥平面BDD 1B 1.再由线面垂直的性质定理得到D 1E ⊥AC.20.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77．∴3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，化为{3a 1+18d =17a 1+8d =7，解得a 1=53，d =23． ∴a n =53+23(n −1)=2n+33．(2)∵13=a k =2k+33，解得k =18．解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77.可得3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，联立解出即可．(2)由(1)可得：13=a k=2k+33，解得k．21.答案：解：设p(x,y)由抛物线的焦半径公式知|PF|=x+p2，又p=1，所以10=x+1，解得x=9，又P在y2=4x上，解出y=±6．所以P(9,6)或(9,−6)解析：本题考察抛物线的焦半径公式，利用焦半径公式|PF|=x+p2求出P的横坐标，然后P在抛物线上，求出纵坐标。

浙江省台州市温岭市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．若集合A={x|3x＜1}，B={x|0≤x≤1}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]2．已知函数f（x）=ax+b（x∈[0，1]），则“a+3b＞0”是“f（x）＞0恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．（24+2π）cm3B．（24+π）cm3C．（8+6π）cm3D．（（3+）+2π）cm34．点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，l是准线，A是抛物线在第一象限内的点，直线AF的倾斜角为60°，AB⊥l于B，△ABF的面积为，则p的值为（）A． B．1C． D．35．设集合P={（x，y）||x|+|y|≤1，x∈R，y∈R}，Q={（x，y）|x2+y2≤1，x∈R，y∈R}，R={（x，y）|x4+y2≤1，x∈R，y∈R}则下列判断正确的是（）A．P⊈Q⊈RB．P⊈R⊈QC．Q⊈P⊈RD．R⊈P⊈Q6．已知数列{a n}为等差数列， +=1，S n为{a n}的前n项和，则S5的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣5，5]C．[﹣10，10]D．[﹣5，5]7．已知实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，则y（x+8）的最小值是（）A．33B．26C．25D．218．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=1，∠BAD=60°，E为线段CD（端点C、D除外）上一动点，将△ADE沿直线AE翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（+1，+∞）D．（+1，+∞）二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，l1⊥l2，则a=；l1∥l2，则a=．10．设f（x）=则f（f（2））的值为；若f（x）=a 有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为．11．已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为，目标函数4x2+y2的最小值为．12．函数f（x）=sin4x+cos4x的最小正周期是；单调递增区间是．13．{a n}满足a n+1=a n+a n（n∈N*，n≥2），S n是{a n}前n项和，a5=1，则﹣1S6=．14．已知四个点A，B，C，D满足•=1，•=2，则•=．15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且•=0，△F1PF2的内切圆半径r=2a，则双曲线的离心率e=．三、解答题（共5小题，满分74分）16．△ABC，满足bcosC+bsinC﹣a﹣c=0（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．（Ⅰ）证明：AC⊥BP；（Ⅱ）求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．18．定义在（0，+∞）上的函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（a∈R）．（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥x对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l过点S（4，0），与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P′，P′与Q两点的连线交x轴于点T，当△PQT的面积最大时，求直线l的方程．20．已知数列{a n}满足0＜a n＜1，且a n+1+=2a n+（n∈N*）．（1）证明：a n+1＜a n；（2）若a1=，设数列{a n}的前n项和为S n，证明：﹣＜S n＜﹣2．浙江省台州市温岭市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．若集合A={x|3x＜1}，B={x|0≤x≤1}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据指数函数的单调性即可得出A=（﹣∞，0），并且B=[0，1]，从而进行补集和交集的运算便可求出（∁R A）∩B．【解答】解：解3x＜1得，x＜0；∴A=（﹣∞，0），且B=[0，1]；∴∁R A=[0，+∞）；∴（∁R A）∩B=[0，1]．故选D．2．已知函数f（x）=ax+b（x∈[0，1]），则“a+3b＞0”是“f（x）＞0恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若f（x）＞0恒成立，则取x=，可得＞0，a+3b＞0．反之不成立，例如取f（x）=x﹣．【解答】解：若f（x）＞0恒成立，则取x=，可得=+b＞0，∴a+3b＞0．反之不成立，例如取f（x）=x﹣，满足a+3b=1﹣=＞0，但是＜0．∴“a+3b＞0”是“f（x）＞0恒成立”的必要不充分条件．故选：B．3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．（24+2π）cm3B．（24+π）cm3C．（8+6π）cm3D．（（3+）+2π）cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：上面是一个底面直径与高都为2的圆柱，下面是一个横放的直棱柱，底面是一个上下底边分别为2，4，高为2的直角梯形，高为2．【解答】解：由三视图可知：上面是一个底面直径与高都为2的圆柱，下面是一个横放的直棱柱，底面是一个上下底边分别为2，4，高为2的直角梯形，高为2．∴该几何体的体积是=×2+π×12×2=24+2π（cm3）．故选：A．4．点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，l是准线，A是抛物线在第一象限内的点，直线AF的倾斜角为60°，AB⊥l于B，△ABF的面积为，则p的值为（）A． B．1C． D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用条件，结合抛物线的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：设A（x，y），则∵直线AF的倾斜角为60°，∴y=（x﹣）①，∴△ABF的面积为，∴=②，∵A是抛物线在第一象限内的点，∴y2=2px③，∴由①②③可得p=1，x=，y=．故选：B．5．设集合P={（x，y）||x|+|y|≤1，x∈R，y∈R}，Q={（x，y）|x2+y2≤1，x∈R，y∈R}，R={（x，y）|x4+y2≤1，x∈R，y∈R}则下列判断正确的是（）A．P⊈Q⊈RB．P⊈R⊈QC．Q⊈P⊈RD．R⊈P⊈Q【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先确定P⊈Q，排除C，D，再确定Q⊈R，即可得出结论．【解答】解：集合P={（x，y）||x|+|y|≤1，x∈R，y∈R}表示以（±1，0），（0，±1）为顶点的正方形，Q={（x，y）|x2+y2≤1，x∈R，y∈R}表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆的边界），所以P⊈Q，排除C，D；x4+y2≤1中，以代替x，可得x2+y2≤1，∴Q⊆R．x=，由x2+y2≤1，可得﹣≤y≤，由x4+y2≤1可得﹣≤y≤，∴Q⊈R∴P⊈Q⊈R，故选：A．6．已知数列{a n}为等差数列， +=1，S n为{a n}的前n项和，则S5的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣5，5]C．[﹣10，10]D．[﹣5，5]【考点】等差数列的前n项和．【分析】设a1=cosθ，a2=sinθ，公差d=sinθ﹣cosθ，可得S5=5sin（θ﹣φ），其中tanφ=，由三角函数的知识可得．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列， +=1，∴可设a1=cosθ，a2=sinθ，公差d=sinθ﹣cosθ，则S5=5cosθ+（sinθ﹣cosθ）=10sinθ﹣5cosθ=5sin（θ﹣φ），其中tanφ=，∴由三角函数可知S5的取值范围是[﹣5，5]，故选：B．7．已知实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，则y（x+8）的最小值是（）A．33B．26C．25D．21【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意可得y=，则y（x+8）=，运用换元法，令t=x﹣1（t＞0），转化为t的式子，由基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，可得y=，则y（x+8）=，令t=x﹣1（t＞0），即有x=t+1，则y（x+8）==t++13≥2+13=12+13=25，当且仅当t=6，即x=7时，取得最小值25．故选：C．8．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=1，∠BAD=60°，E为线段CD（端点C、D除外）上一动点，将△ADE沿直线AE翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（+1，+∞）D．（+1，+∞）【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】本题从AD与BC垂直入手，转化为AD与AD′垂直，从何转化为△AED′与△AED铺在一个平面内后，∠D′AD≥90°．【解答】解：设翻折前的D记为D′，∵AD⊥BC，BC∥AD′，则在翻折过程中，存在某个位置使得直线AD与BC垂直，只需保证∠DAD′=900，∵∠D′AE=∠DAE，由极限位置知，只需保证∠D′AE≥45°即可．在△D′AE中，AD′=1，∠D′AE=45°，∠AD′E=120°，则∠D′EA=15°，由正弦定理知，，则D′E=．因为E为线段CD（端点C，D除外）上的一动点，则a＞，故选：D．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，l1⊥l2，则a=﹣；l1∥l2，则a=1或﹣2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】直线的一般方程与直线垂直和平行的条件是什么，由此列出方程求出a的值即可，对于两直线平行，需要验证是否重合．【解答】解：∵l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，当l1⊥l2时，a+2（a+1）=0，解得a=﹣；当l1∥l2时，a（a+1）﹣2=0，解得a=1或a=﹣2；验证a=1时，两直线分别为x+2y+6=0和x+2y=0，平行；a=﹣2时，两直线分别为x﹣y﹣3=0和x﹣y+3=0，平行；所以a=1或﹣2．故答案为：﹣，1或﹣2．10．设f（x）=则f（f（2））的值为2；若f（x）=a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为[1，2e）．【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可得到结论．【解答】解：由分段函数得f（2）=log33=1，f（1）=2e1﹣1=2e0=2，作出函数f（x）的图象如图：当x≥2时，函数f（x）=log3（x2﹣1）为增函数，则f（x）≥f（2）=1，当x＜2时，f（x）=2e x﹣1，为增函数，则0＜f（x）＜2e，∴要使f（x）=a有两个不等的实数根，则1≤a＜2e，故答案为：2，[1，2e）11．已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为10，目标函数4x2+y2的最小值为8．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合直线平移以及构造椭圆，利用直线和椭圆的相切关系即可求最值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（，5），代入目标函数z=2x+y得z=2×+5=5+5=10．即目标函数z=2x+y的最大值为10．设4x2+y2=m，则m＞0，即+=1，表示焦点在y轴的椭圆，要使m最小，则只需要椭圆和直线BC：2x+y﹣4=0，相切即可，由2x+y﹣4=0得y=﹣2x+4代入4x2+y2=m，得4x2+（﹣2x+4）2=m，即8x2﹣16x+16﹣m=0，则判别式△=162﹣4×8（16﹣m）=0，得8=16﹣m，则m=8，即目标函数4x2+y2的最小值为8，故答案为：10，8．12．函数f（x）=sin4x+cos4x的最小正周期是；单调递增区间是[﹣+，]．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】化简函数f（x），根据余弦函数的图象与性质即可求出函数f（x）的最小正周期与单调递增区间．【解答】解：函数f（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣sin22x=1﹣×=cos4x+，∴函数f（x）的最小正周期为T==；又函数y=cos4x的增区间为2kπ﹣π≤4x≤2kπ，即﹣+≤x≤，∴函数f（x）=sin4x+cos4x的单调递增区间是[﹣+，]（k∈Z）．故答案为：；[﹣+，]（k∈Z）．13．{a n}满足a n+1=a n+a n（n∈N*，n≥2），S n是{a n}前n项和，a5=1，则S6=4．﹣1【考点】数列递推式．【分析】设a4=k，结合数列递推式及a5=1求得其它项，作和求得S6 ．，得a3=a5﹣a4=1﹣k，【解答】解：设a4=k，由a n+1=a n+a n﹣1a2=a4﹣a3=k﹣（1﹣k）=2k﹣1，a1=a3﹣a2=（1﹣k）﹣（2k﹣1）=2﹣3k，a6=a5+a4=1+k，∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=（2﹣3k）+（2k﹣1）+（1﹣k）+k+1+（1+k）=4．故答案为：4．14．已知四个点A，B，C，D满足•=1，•=2，则•=3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出各向量，将两式展开后相加即可得出答案．【解答】解：∵•=（）=﹣=1，•=（）=﹣=2，两式相加得：﹣=3，即（）=3，∴=3．故答案为：3．15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且•=0，△F1PF2的内切圆半径r=2a，则双曲线的离心率e=5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】可设P为第一象限的点，由双曲线的定义和勾股定理，可得|PF1|•|PF2|=2b2，得到|PF1|+|PF2|=，由等积法和离心率公式，化简整理即可得到所求值．【解答】解：可设P为第一象限的点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①•=0，可得PF1⊥PF2，由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2，即有|PF1|+|PF2|=，由三角形的面积公式可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=|PF1|•|PF2|，即为2a（+2c）=2b2，即有c+2a=，两边平方可得c2+4a2+4ac=c2+b2=c2+c2﹣a2，即c2﹣4ac﹣5a2=0，解得c=5a（c=﹣a舍去），即有e==5．故答案为：5．三、解答题（共5小题，满分74分）16．△ABC，满足bcosC+bsinC﹣a﹣c=0（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知条件，利用正弦定理，结合辅助角公式，即可求角B的值；（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，建立关于c的方程，利用三角形的面积公式求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知条件得：…∴…即．∵sinC＞0得，∴…又，∴，∴…（II）由已知得： +=2，平方得： 2+2+2•=42，…即c2+a2+2cacos=84，又a=2，∴c2+2c﹣80=0解得：c=8或c=﹣2（舍去）…∴S△ABC=﹣=4．…17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．（Ⅰ）证明：AC⊥BP；（Ⅱ）求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质即可得到AC⊥PD，而由条件AC⊥BD，这样根据线面垂直的判定定理便可得出AC⊥平面PBD，进而便可证出AC⊥BP；（Ⅱ）可设AC与BD交于点O，这样由条件便可分别以OD，OA为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，从而可以求出点O，D，A，P四点的坐标，进而得出向量的坐标，可设平面ACP的法向量，平面ADP的法向量，这样根据便可得出法向量的坐标，同理便可得出法向量的坐标，从而便可求出的值，即得出二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD；∴AC⊥PD；又AC⊥BD，BD∩PD=D；∴AC⊥平面PBD，BP⊂平面PBD；∴AC⊥BP；（Ⅱ）设AC∩BD=O，以O为坐标原点，OD，OA为x，y轴建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz，则：O（0，0，0），D（，0，0），A（0，1，0），P（，0，1）；∴，，；设平面ACP的法向量，平面ADP的法向量；由得，，取x1=1，则；同理，由得，；∴；∴二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值为．18．定义在（0，+∞）上的函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（a∈R）．（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥x对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求出a=时，讨论当x≥1时，当0＜x＜1时，去掉绝对值，求得导数，判断符号，即可得到所求单调区间；（Ⅱ）由f（x）≥x可得a（x2+1）﹣|x2﹣1|≥x2，讨论当0＜x＜1时，当x≥1时，运用参数分离和函数的单调性可得最值，进而得到a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，f（x）=，当x≥1时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=﹣﹣＜0；当0＜x＜1时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=+＞0；所以f（x）的单调递增区间是（0，1]，单调递减区间是[1，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≥x得a（x+）﹣|x﹣|≥x，x＞0，可得a（x2+1）﹣|x2﹣1|≥x2，①当0＜x＜1时，a（x2+1）+（x2﹣1）≥x2，即有a≥，由=﹣∈（，1）可得a≥1；②当x≥1时，a（x2+1）﹣（x2﹣1）≥x2，可得a≥由=﹣∈[，）可得a≥．综上所述，a的取值范围是[，+∞）．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l过点S（4，0），与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P′，P′与Q两点的连线交x轴于点T，当△PQT的面积最大时，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，以及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），则P'（x1，﹣y1），联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得直线PQ的方程，令y=0，可得T的横坐标，化简可得T（1，0），由S△PQT=S△SQT﹣S△SPT=|y1﹣y2|，运用韦达定理，由换元法化简整理运用基本不等式可得最大值，以及此时直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，可得c=1，b==．即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），则P'（x1，﹣y1），联立得（4+3m2）y2+24my+36=0，则△=（24m）2﹣144（4+3m2）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4．又y1+y2=﹣，y1y2=，直线PQ的方程为y=（x﹣x1）﹣y1则x T====+4=1，则T（1，0），故|ST|=3所以S△PQT=S△SQT﹣S△SPT=|y1﹣y2|=•=，令t=＞0，则S△PQT==≤=，当且仅当t2=即m2=即m=±时取到“=”，故所求直线l的方程为x=±y+4．20．已知数列{a n}满足0＜a n＜1，且a n+1+=2a n+（n∈N*）．（1）证明：a n+1＜a n；（2）若a1=，设数列{a n}的前n项和为S n，证明：﹣＜S n＜﹣2．【考点】数列的求和；数列的函数特性．【分析】（1）把已知数列递推式变形，可得，结合0＜a n＜1，得到a n+1﹣a n=＜0，即a n+1＜a n；（2）由已知数列递推式得，利用累加法得到S n==a n+1+．把已知递推式两边平方可得，利用放缩法得到，即2n，进一步得到，然后利用不等式的可加性证得﹣＜S n＜﹣2．【解答】证明：（1）由a n+1+=2a n+，得，即，∴，则，又0＜a n＜1，∴，即a n+1＜a n；（2）由a n+1+=2a n+，得．∴S n=a1+a2+…+a n=+…+=．又∵a n+1+=2a n+，∴，∴．由0＜a n+1＜a n，可知，即，∴2n，∴，，∵．∴．∴﹣＜S n＜﹣2．7月21日。

专题12 圆锥曲线中的三角形问题一、题型选讲题型一 、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．9例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ）A ．5B ．5C ．2413D ．1913例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点，且椭圆C，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时2F AB 周长为8. （△）求椭圆C 的标准方程；（△）若0OA OB ⋅=，是否存在定圆222x y r +=，使得动直线l 与之相切，若存在写出圆的方程，并求出OAB 的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，若C 是抛物线上一点，且AC EF ⊥.（1）证明：直线BE 经过AC 的中点M ；（2）求ABC ∆面积的最小值及此时直线AC 的方程.二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____.2、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．43、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E ：24y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______.4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)P s t 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，F 是抛物线的焦点，当1s =时，54PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作圆M ：22(2)1x y -+=的切线1l ，2l ，分别交抛物线C 于点,A B ．当1t >时，求PAB △面积的最小值．5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O ，(2,0)E ，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F为线段OE 中点.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点E 的直线交抛物线C 于, A B 两点，4AB AM =，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN y ⊥轴，求ABN 面积的最小值.6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线214y x =的焦点为F .()1若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：2∠=∠.PFy PQF ()2A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点()D(AB不与x轴平行)，且0,4+=.过y轴上一点E作直线//6AF BFm x轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE△面积的最大值.一、题型选讲题型一、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．9【答案】C 【解析】设准线与x 轴的交点为T ，直线l 与准线交于R ，||||3||3NF EF MF a ===，则||||3NF EF a ==，||MF a =，过M ，N 分别作准线的垂线，垂足分别为,P Q ，如图，由抛物线定义知，||MP a =，||3NQ a =，因为MP ∥NQ ，所以||||||||PM RM QN RN =， 即||3||4a RM a RM a=+，解得||2RM a =，同理||||||||FT RF QN RN =，即||336FT aa a=，解得 3||2FT a =，又||FT p =，所以32a p =，23a p =，过M 作NQ 的垂线，垂足为G ，则||MG ===，所以1||||2MNES EF MG =⋅=△ 132a ⨯⨯=2a =，故332p a ==. 故选：C.例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．【答案】12【解析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S 21'BOF B OF S =，则有11275A B y S S y ==，所以175A B y y =-． 将直线AB 1方程4x c =-，代入椭圆方程后，222241x y c x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣b 2cy +8b 4＝0，由韦达定理解得12228A B cy y b a+=+，142288A B b y y b a -=+， 三式联立，可解得离心率12c e a ==． 故答案为：12． 例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ） A．5B．5C ．2413D ．1913【答案】D 【解析】如图，先固定直线AB ，设()BM f M AM =，则()()()f C f D f P ==，其中()BPf P AP=为定值， 故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式， 由()2,2AP BP r BP BQ r AP AQ AP AP AQ BP ⋅+==+=+，解得111r AP BP=-， 同理，当BP AP <时有，111r BP AP=-， 综上，111r AP BP=-； 当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP ==，则1912r =； 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为()12y k x -=-，即21y kx k =-+， 与椭圆方程联立可得()()()22224548129610k x k k x k k ++-+--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则由根与系数的关系有，()()12221224821245961245k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩，211112r AP BP x ∴=-=-，注意到12x -与22x -异号，故1119r ===，设125t k =+，则11121226131919192419r ==≤⋅=，，当15169t =，即1695t =，此时125k =，故1913r ≥，又19191213>，综上外接圆半径的最小值为1913. 故选：D ．例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==.所以△AMN的面积的最大值：1182⨯=. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）169. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169．例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点，且椭圆C，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时2F AB 周长为8. （△）求椭圆C 的标准方程；（△）若0OA OB ⋅=，是否存在定圆222x y r +=，使得动直线l 与之相切，若存在写出圆的方程，并求出OAB 的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（△）223144x y +=；（△）221x y +=，⎡⎢⎣⎦.【解析】（△）由题意可得，22||48F A F B AB a ++==， 故2a =，又有3c e a ==，∴c = 椭圆的标准方程为223144x y +=；（△）法1：设||OA m =，||OB n =，∵0OA OB ⋅=，∴OA OB ⊥， 设点(cos ,sin )A m m θθ，点(sin ,cos )B n n θθ-，22222222cos 3sin 144cos 3sin 144m m n n θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相加得22131144m n +=+， 2222m n m n +=⋅，222AB OA OB =⋅，∴1r =，442222222111||1111n n AB m n n n n n -+=+===++---，24,43n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴AB ⎡∈⎢⎣⎦，OABS ⎡∈⎢⎣⎦△． 法2：()2222234136340x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， ()()22222236434131248160k m m k m k ∆=--+=-++>，1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++222444013m k k--==+， ∴221m k =+，∴1r ===，122||13AB xk=-==+当0k=时，||2AB=，当0k≠时，||AB=≤213k=时取到等号，此时243m=符合>0∆∴1,3OABS⎡∈⎢⎣⎦△．例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线24y x=的焦点为F，准线为l，过点F 的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是抛物线上一点，且AC EF⊥.（1）证明：直线BE经过AC的中点M；（2）求ABC∆面积的最小值及此时直线AC的方程.【答案】（1）详见解析；（2）面积最小值为16，此时直线方程为30x y±-=.【解析】（1）由题意得抛物线24y x=的焦点()1,0F，准线方程为1x=-，设()2,2B t t，直线AB：1x my=+，则()1,2E t-，联立1x my=+和24y x=，可得244y my=+，显然40A By y+=，可得212,At t⎛⎫-⎪⎝⎭，因为EFk t=-，AB EF⊥，所以1AC k t=， 故直线AC ：2211y x t t t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 由224120y xx ty t ⎧=⎪⎨---=⎪⎩， 得224480y ty t---=. ∴4A C y y t +=，248A C y y t =--， 所以AC 的中点M 的纵坐标2M y t =，即M B y y =， 所以直线BE 经过AC 的中点M .（2）所以A C y A C =-== 设点B 到直线AC 的距离为d ，则2212t d ++==.所以1162ABCS AC d ∆=⋅=≥=，当且仅当41t =，即1t =±，1t =时，直线AD 的方程为：30x y --=，1t =-时，直线AD 的方程为：30x y +-=.另解：2221112222ABC A C S BM y y t t t ∆=⋅-=++-3222122t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____. 【答案】[]0,1【解析】依题意，122F F =，所以120122PF F S y ∆=⨯=0y =，而2200214x y m +=，所以2200224124144y x m m m ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭.由于02m <<，204m <<，根据二次函数的性质可知：()(]22424240,4m m m -=--+∈，所以241234m m -≤--，所以22412414x m m =-≤-，解得[]00,1x ∈.故答案为：[]0,12、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线3y x =和3y x =-联立，求得M，3(,22N -，所以||3MN ==，故选B ． 3、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E ：24y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______. 【答案】258π【解析】设三个切点分别为222(,),(,),(,)444a b c A a B b C c ，若在点A 处的切线斜率存在，设方程为2()4a y a k x -=-与24y x =联立，得，222440,164(4)0ky y a k a k a k a --+=∆=--+=， 即222440,a k ak k a-+=∴=， 所以切线PA 方程为2202a x ay -+= ①若在点A 的切线斜率不存在，则(0,0)A ， 切线方程为0x =满足①方程，同理切线,PB MN 的方程分别为2202b x by -+=，2202c x cy -+=，联立,PA PB 方程，22202202a x ay b x by ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得42ab x a b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即,42ab a b P +⎛⎫ ⎪⎝⎭同理,,,4242ac a c bc b c M N ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),42a c b c b PM --⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()(),,,4242b c a c a c b a b a PN MN ----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设PMN ∆外接圆半径为R ，|||||||||PM b c PN a c MN a b =-=-=-，11||||sin ||||22PMN S PM PN MPN PM PN ∆=∠=21||||()2||||PM PN PM PN ===||||||1||||||1622a b b c a c MN PM PN R---==，||||||4PM PN MN R S ⋅⋅==08c =≥时取等号，点P在直线40,4,8422ab a b ab x y a b +-+=∴+=∴+=+，8R =∴≥8==4≥=， 当且仅当1,6,0a b c =-==或6,1,0a b c ==-=时等号成立， 此时PMN ∆外接圆面积最小为258π. 故答案为:258π.4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)P s t 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，F 是抛物线的焦点，当1s =时，54PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作圆M ：22(2)1x y -+=的切线1l ，2l ，分别交抛物线C 于点,A B ．当1t >时，求PAB △面积的最小值．【答案】（1）2y x =（2）最小值 【解析】（1）当1s =时，5||24p PF s =+=， 所以12p =，故所求抛物线方程为2y x =. （2）点(),P s t 为抛物线2y x =上的动点，则2s t =，设过点2(,)P t t 的切线为2()x m y t t =-+， 21=， 得22222(1)2(2)(2)10(*)t m t t m t -+-+--=， 12,m m 是方程（*）式的两个根， 所以21222(2)1t t m m t -+=-，2123m m t =-， 设()()221122,,,A y y B y y ，因直线2:()l x m y t t =-+，与抛物线2:C y x =交于点A ，则212()x m y t t y x⎧=-+⎨=⎩得22110y m y m t t -+-=， 所以211ty m t t =-，即11y m t =-，同理22y m t =-，设直线()1212:AB x y y y y y =+-，则12||||AB y y =-，d =，又12122221t y y m m t t -+=+-=-， 2121223()()1t y y m t m t t -=--=-， 所以212121211|||||()|22PAB S AB d y y t t y y y y ==--++22222311t t t t t --=-⨯+--=令210u t=->，4(PAB S u u =++当且仅当2u =，即t =时，PAB S 取得最小值5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O ，(2,0)E ，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F为线段OE 中点.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点E 的直线交抛物线C 于, A B 两点，4AB AM =，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN y ⊥轴，求ABN 面积的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）【解析】（1）由已知得焦点F 的坐标为(1, 0)， 2p ∴=，∴抛物线C 的方程为：24y x =；（2）设直线AB 的方程为：2x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，联立方程224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2480y my --=， 216320m ∴∆=+>，124y y m +=，128y y =-，设直线l 方程为：()11y y k x x -=-，联立方程()1124y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩，消去x 得：2114440y y y x k k-+-=， 由相切得：112164440k k y x ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，112110y x k k ∴-+=， 又2114y x =，21121104y y k k ∴-+=， 21102y k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，12k y ∴=， ∴直线l 的方程为：11220x y y x -+=，由4AB AM →→=，得12034x x x +=，12034y y y +=， 将12034y y y +=代入直线l 方程，解得221121888N yy y y x +-==， 所以01212ABN N S x x y y =-⨯-△212112138248x x yy y +-=-⨯-2212121632y y y y ++=⨯-31232y y -=311832y y +=，又118y y +≥ 所以42ABN S △，当且仅当1y =±时，取到等号，所以ABN面积的最小值为6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线214y x =的焦点为F .()1若点P 为抛物线上异于原点的任一点，过点P 作抛物线的切线交y 轴于点Q ，证明：2PFy PQF ∠=∠. ()2A ，B 是抛物线上两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点()0,4D (AB 不与x 轴平行)，且6AF BF +=.过y 轴上一点E 作直线//m x 轴，且m 被以AD 为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE △面积的最大值.【答案】()1证明见解析； ()2 【解析】()1由抛物线的方程可得()0,1F ，准线方程：1y =-，设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线的方程可得2x y '=，所以在P 处的切线的斜率为：02x k =， 所以在P 处的切线方程为：()200042x x y x x -=-， 令0x =，可得204x y =-， 即2040,Q x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭， 所以2014x FQ =+，而P 到准线的距离2014x d =+，由抛物线的性质可得PF d = 所以PF FQ =，PQF QPF ∠=∠，可证得：2PFy PQF ∠=∠.()2设直线AB 的方程为：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线与抛物线联立24y kx mx y =+⎧⎨=⎩，整理可得：2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，即20k m +>，124x x k +=，124x x m =-，()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点坐标为：()22,2k k m +，所以线段AB 的中垂线方程为：()212(2)y k m x k k -+=--，由题意中垂线过()0,4D ，所以2224k m ++=，即222k m +=，① 由抛物线的性质可得：1226AF BF y y +=++=，所以24226k m ++=，即222k m +=，②设()0,E b ，()222114AD x y =+-，AD 的中点的纵坐标为142y +，所以以AD 为直径的圆与直线m 的相交弦长的平方为：2214442y AD b ⎡⎤+⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222112114444444y y x b b y ⎡⎤-+=+--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()221111444434y b b y by b y b b ⎡⎤-+-+=-+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦，要使以AD 为直径的圆截得的弦长为定值则可得3b =，时相交弦长的平方为定值12，即()0,3E所以E 到直线AB的距离为：d = 而弦长AB ==，所以1232EAB S AB d =⋅==-将①代入可得2322212ABE S k k =-+=+=设()6424472f k k k k =-+++为偶函数，0k >>的情况即可，()()()()5342222416142126722167f k k k k k k k k k k ++=---=-+=--' 令()0f k '=，6k =当06k <<，()0f k '>，()f k 单调递增；当k 6<<()0f k '<，()f k 单调递减，所以(k ∈且0k ≠上，66f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值9，所以ABE S的最大值为：212+=。

2020年高考数学（3月份）模拟试卷一、选择题1．设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|﹣1＜x≤3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2，3}B．{2，3，4}C．{1，2，3，4}D．{2，3，4，5} 2．已知x，y是非零实数，则“x＞y”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为110°，则C的离心率为（）A．2sin 20°B．2cos20°C．D．4．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积（）A．B．1C．2D．35．若x，y满足|y|≤2﹣x，且|x|≤1，则2x+y的最小值为（）A．﹣7B．﹣5C．1D．46．若函数是奇函数，则使f（x）＜1的x的取值范围为（）A．B．C．D．7．已知c＞a，随机变量ξ，n的分布列如表所示，则（）η432P a b cξ234P a b cA．Eξ＞Eη，Dξ＜DηB．Eξ＞Eη，Dξ＝DηC．Eξ＞Eη，Dξ＞DηD．Eξ＜Eη，Dξ＝Dη8．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，M，N 分别为AD，BC的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到D1，M到M1，在翻折过程中，有下列命题：①|M1N|的最小值为1；②M1N∥平面CD1E③存在某个位置，使M1E⊥DE④无论M1位于何位置，均有M1N⊥AE．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知a1＝1919，a k＝1949，a l＝2019是等差数列{a n}中的三项，同时b1＝1919，b k＝1949，b1＝2019是公比为q的等比数列{b n}中的三项，则q的最大值为（）A．B．C．D．无法确定10．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）在区间[2，3]上有零点，则a2+ab的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．C．[4，]D．二、填空题11．已知若复数z＝（i为虚数单位）．若z是纯虚数，则以F（0，m）为焦点的抛物线的标准方程为；若|z|＝，则m＝．12．已知A（﹣2，0），B（2，0），动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是；又若，此时△MAB的面积为．13．在二项式的展开式中，所有项系数和为，展开式中含x2的项是．14．已知正实数a满足a a＝（8a）9a，log a（2a）的值为．15．记A，B，C为△ABC的内角，①若，则＝；②若cos B，cos C是方程5x2﹣3x﹣1＝0的两根，则sin B•sin C＝．16．已知P，Q是椭圆上的两点（点Q在第一象限），若M（1，0），且直线pM，QM的斜率互为相反数，且|PM|＝2|QM|，则直线QM的斜率为．17．已知A，B，C，D，E为半径为1的圆上相异的5点（没有任何两点重合），这5个点两两相连可得到10条线段，则这10条线段长度平方和的最大值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数f（x）＝sin cos﹣cos2+1．（Ⅰ）若x，求cos x的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2b cos A≤2c﹣a，求f（B）的取值范围．19．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD为正三角形，，E为AD的中点．（Ⅰ）证明：平面SAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线SB与平面SEC所成角的正弦值．20．数列{a n}中，a1＝1，a2＝，且．（Ⅰ）令f（n）＝，n≥2），将f（n）用n表示，并求{a n}通项公式；（Ⅱ）令T n＝a12+a22+…+a n2，求证：T n＜．21．如图，已知抛物线的焦点为F．（Ⅰ）若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：∠PFy＝2∠PQF；（Ⅱ）A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点D（0，4）（AB不与X轴平行），且|AF|+|BF|＝6．过y轴上一点E作直线m∥x轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求△ABE面积的最大值．22．已知函数．（Ⅰ）求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）若y＝f（x）在x＝x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）≥3ln2．（Ⅲ）若对于任意k∈（﹣∞，2），直线y＝kx+b与函数y＝f（x）图象都有唯一公共点，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|﹣1＜x≤3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2，3}B．{2，3，4}C．{1，2，3，4}D．{2，3，4，5}【分析】求出集合，直接计算．解：集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|﹣1＜x≤3}，则（A∩C）∪B＝{1，2，3}∪B＝{1，2，3，4}，故选：C．2．已知x，y是非零实数，则“x＞y”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】举例说明由x＞y，不能推出，由，也不一定有x＞y，则答案可求．解：由x＞y，不能推出，如x＝3，y＝﹣2；反之，由，也不一定有x＞y，如x＝﹣1，y＝2．∴“x＞y”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．3．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为110°，则C的离心率为（）A．2sin 20°B．2cos20°C．D．【分析】由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为110°，得﹣＝tan110°，所以＝tan70°，C的离心率e＝＝．代入求值即可．解：∵双曲线C的一条渐近线的倾斜角为110°，∴﹣＝tan110°，所以＝tan70°，∴C的离心率e＝＝＝＝．故选：C．4．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积（）A．B．1C．2D．3【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，且PA＝1，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝1，再由棱锥体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，且PA＝1，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝1．∴该多面体的体积V＝．故选：B．5．若x，y满足|y|≤2﹣x，且|x|≤1，则2x+y的最小值为（）A．﹣7B．﹣5C．1D．4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解：作出x，y满足|y|≤2﹣x，且|x|≤1，对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得A（﹣1，﹣3），此时z＝2×（﹣1）+（﹣3）＝﹣5，则2x+y的最小值为：﹣5．故选：B．6．若函数是奇函数，则使f（x）＜1的x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）+f（x）＝0，即ln（+a）+ln（+a）＝0，变形可得a的值，即可得函数的解析式，由复合函数的单调性判断方法可得f（x）在（﹣1，1）上为增函数，求出满足f（x）＝1的x的值，据此分析可得答案．解：根据题意，函数是奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝0，即ln（+a）+ln（+a）＝0，变形可得（）（）＝1，分析可得：a＝﹣1，则f（x）＝ln（﹣1）＝ln（），有＞0，解可得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），设t＝，则y＝lnt，t＝＝﹣﹣1，则t在（﹣1，1）上为增函数，而y＝lnt在（0，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣1，1）上为增函数，若f（x）＝1，即＝e，解可得x＝，则f（x）＜1⇒f（x）＜f（）⇒x＜，又由﹣1＜x＜1，则有﹣1＜x＜，即x的取值范围为（﹣1，）；故选：A．7．已知c＞a，随机变量ξ，n的分布列如表所示，则（）η432P a b cξ234P a b cA．Eξ＞Eη，Dξ＜DηB．Eξ＞Eη，Dξ＝DηC．Eξ＞Eη，Dξ＞DηD．Eξ＜Eη，Dξ＝Dη【分析】求出数学期望，作差比较大小，和利用方差的性质，得到结论．解：Eξ＝2a+3b+4c，Eη＝4a+3b+2c，Eξ﹣Eη＝2（c﹣a）＞0，由ξ+η＝6，所以Dξ＝D（6﹣η）＝Dη，故选：B．8．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，M，N 分别为AD，BC的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到D1，M到M1，在翻折过程中，有下列命题：①|M1N|的最小值为1；②M1N∥平面CD1E③存在某个位置，使M1E⊥DE④无论M1位于何位置，均有M1N⊥AE．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】通过连接直线DN等直线，结合直线与平面的平行与垂直，转化判断4个命题的真假即可．解：在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，M，N分别为AD，BC的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到D1，M到M1，在翻折过程中，当D1与C重合时，|M1N|的最小值为1；所以①正确；连接MN交AE于F连接M1F，可以证明平面FM1N∥平面CD1E，所以M1N∥平面CD1E，所以②正确；当D1E⊥平面ABCD时，M1E⊥DE，所以③正确；因为AE⊥FN，AE⊥M1F，所以直线AE⊥平面FM1E，所以无论M1位于何位置，均有M1N⊥AE．所以④正确；故选：D．9．已知a1＝1919，a k＝1949，a l＝2019是等差数列{a n}中的三项，同时b1＝1919，b k＝1949，b1＝2019是公比为q的等比数列{b n}中的三项，则q的最大值为（）A．B．C．D．无法确定【分析】由题意可得3l＝10k﹣7，，要使q最大，则l﹣k最小，结合等式3l＝10k﹣7求得l﹣k的最小值，则q的最大值可求．解：由题意，数列{b n}不是常数列．由a1＝1919，a k＝1949，a l＝2019是等差数列{a n}中的三项，得d＝，即，得．由b1＝1919，b k＝1949，b1＝2019是公比为q的等比数列{b n}中的三项，得＞1，则，要使q最大，则l﹣k最小，由3l＝10k﹣7，得k＝1，l＝1（舍）；k＝4，l＝11；k＝7，l＝21；k＝10，l＝31；…；由上可知，当k与l均增加时，由于l的系数小于k的系数，则要使等式3l＝10k﹣7成立，l比k增加要快．∴l﹣k的最小值为7．则q的最大值为．故选：B．10．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）在区间[2，3]上有零点，则a2+ab的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．C．[4，]D．【分析】不妨设x1，x2为函数f（x）的两个零点，其中x1∈[2，3]，x2∈R，运用韦达定理和主元法、二次函数的最值，构造函数g（x1），求得导数，判断单调性，可得所求范围．解：不妨设x1，x2为函数f（x）的两个零点，其中x1∈[2，3]，x2∈R，则x1+x2＝﹣a，x1x2＝b．则a2+ab＝（x1+x2）2﹣（x1+x2）•x1x2＝（1﹣x1）x22+（2x1﹣x12）x2+x12，由1﹣x1＜0，x2∈R，所以（1﹣x1）x22+（2x1﹣x12）x2+x12≤＝，可令g（x1）＝，g′（x1）＝，当x1∈[2，3]，g′（x1）＞0恒成立，所以g（x1）∈[g（2），g（3）]＝[4，]．则g（x1）的最大值为，此时x1＝3，还应满足x2＝﹣＝﹣，显然x1＝3，x2＝﹣时，a＝b＝﹣，a2+ab＝．故选：B．二、填空题：共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．已知若复数z＝（i为虚数单位）．若z是纯虚数，则以F（0，m）为焦点的抛物线的标准方程为x2＝2y；若|z|＝，则m＝±3．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得m，可得抛物线的方程；再由复数模的计算公式列式求m值．解：∵z＝＝为纯虚数，则2m﹣1＝0，即m＝，则F（0，），∴以F（0，）为焦点的抛物线的标准方程为x2＝2y；由|z|＝，得＝＝，解得m＝±3．故答案为：x2＝2y；±3．12．已知A（﹣2，0），B（2，0），动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是3x2+3y2﹣20x+12＝0；又若，此时△MAB的面积为．【分析】设M（x，y），由|MA|＝2|MB|列式可得点M的轨迹方程，再写出以AB为直径的圆的方程，与M的轨迹联立求得M的纵坐标，再由三角形面积公式求解．解：A（﹣2，0），B（2，0），设M（x，y），由|MA|＝2|MB|，得，整理得：3x2+3y2﹣20x+12＝0；以AB为直径的圆的方程为x2+y2＝4，联立，解得|y|＝．即M点的纵坐标的绝对值为．∴此时△MAB的面积为S＝．故答案为：3x2+3y2﹣20x+12＝0；．13．在二项式的展开式中，所有项系数和为128，展开式中含x2的项是﹣2835x2．【分析】令x＝1，可得所有项系数和．再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x2的项．解：∵二项式的展开式中，令x＝1，可得所有项系数和为（3﹣1）7＝128．二项式的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•37﹣r•，令7﹣＝2，求得r＝3，可得展开式中含x2的项是﹣•34•x2＝﹣2835x2，故答案为：128；﹣2835x2．14．已知正实数a满足a a＝（8a）9a，log a（2a）的值为．【分析】推导出a＝9a log a8a，由log a8a＝，得log a8＝﹣，从而log a2＝﹣，由此能求出log a（2a）的值．解：∵正实数a满足a a＝（8a）9a，∴a＝9a log a8a，由log a8a＝，得log a8＝﹣，∴log a2＝﹣，∴log a（2a）＝log a2+1＝﹣＝．故答案为：．15．记A，B，C为△ABC的内角，①若，则＝2；②若cos B，cos C是方程5x2﹣3x﹣1＝0的两根，则sin B•sin C＝．【分析】①由已知得1+sin A＝3cos A，再利用sin2A+cos2A＝1，即可得出sin A，cos A，代入即可；②由题知cos B+cos C＝①cos B cos C＝②，将①平方得出cos2B+cos2C，再由，乘进去代入即可得出结果解：①由已知得1+sin A＝3cos A＞0，再由sin2A+cos2A＝1，联立化简，则故应填2；②由题知cos B+cos C＝①cos B cos C＝②将①式平方得得＝＝故应填16．已知P，Q是椭圆上的两点（点Q在第一象限），若M（1，0），且直线pM，QM的斜率互为相反数，且|PM|＝2|QM|，则直线QM的斜率为1．【分析】设直线PM斜率为k，得出直线PM的方程，联立方程组消元，得出N点坐标，代入椭圆方程计算k的值即可得出OM的斜率﹣k．解：延长PM交椭圆于N，由对称性可知|QM|＝|MN|，设直线PM的斜率为k，则直线PM的方程为y＝k（x﹣1）（k＜0），联立方程组，消元得：（+3）y2+﹣2＝0，设P（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2＝，∵|PM|＝2|QM|，∴y1＝﹣2y2．∴y1+y2＝﹣y2＝，即y2＝，∴x2＝+1，把N（+1，）代入椭圆方程得：（+1）2+3（）2＝3，解得k2＝1，∴k＝﹣1，∴直线QM的斜率为﹣k＝1．故答案为：1．17．已知A，B，C，D，E为半径为1的圆上相异的5点（没有任何两点重合），这5个点两两相连可得到10条线段，则这10条线段长度平方和的最大值为25．【分析】由，……，，再相加即可求得答案．解：不妨设圆心为O，则，……，，∴＝＝＝，当且仅当时取等号．故答案为：25．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数f（x）＝sin cos﹣cos2+1．（Ⅰ）若x，求cos x的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2b cos A≤2c﹣a，求f（B）的取值范围．【分析】（I）先利用二倍角公式，辅助角公式先对已知函数进行化简，然后结合两角和的余弦公式展开即可求解；（II）由已知结合正弦定理进行化简可求cos B的范围，进而可求B的范围，代入f（B）后结合余弦函数的性质即可求解．解：（I）f（x）＝sin cos﹣cos2+1＝，＝＝sin（x﹣）+，由x可得sin（x﹣）+＝，所以sin（x﹣）＝，cos（x﹣）＝，所以cos x＝cos[（x﹣）+]＝＝．（II）因为2b cos A≤2c﹣a，由正弦定理可得，2sin B cos A≤2sin C﹣sin A，从而可得，2sin B cos A≤2sin A cos B+2sin B cos A﹣sin A，即cos B，因为0＜B＜π，所以0＜B，，所以，所以f（B）＝sin（B﹣）+．19．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD为正三角形，，E为AD的中点．（Ⅰ）证明：平面SAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线SB与平面SEC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）推导出SE⊥AD，SE⊥CE，从而SE⊥平面ABCD，由此能证明平面SAD ⊥平面ABCD．（Ⅱ）以E为原点，EA为x轴，过E作AB的平行线为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线SB与平面SEC所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：∵侧面SAD为正三角形，E为AD的中点，∴SE⊥AD，∵底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD为正三角形，，E为AD的中点．∴SE＝，CE＝＝，∴SE2+CE2＝SC2，∴SE⊥CE，∵AD∩CE＝E，∴SE⊥平面ABCD，∵SE⊂平面SAD，∴平面SAD⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：以E为原点，EA为x轴，过E作AB的平行线为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系，则S（0，0，），B（1，2，0），E（0，0，0），C（﹣1，2，0），＝（1，2，），＝（0，0，），＝（﹣1，2，0），设平面SEC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（2，1，0），设直线SB与平面SEC所成角为θ，则直线SB与平面SEC所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．20．数列{a n}中，a1＝1，a2＝，且．（Ⅰ）令f（n）＝，n≥2），将f（n）用n表示，并求{a n}通项公式；（Ⅱ）令T n＝a12+a22+…+a n2，求证：T n＜．【分析】（I）由数列{a n}中，a1＝1，a2＝，且．可得f（n）＝﹣＝＝﹣．利用累加求和方法可得a n+1，可得a n．（II）n≥3时，＝＜＝（﹣）．即可证明．解：（I）∵数列{a n}中，a1＝1，a2＝，且．∴f（n）＝﹣＝＝﹣．n≥2时，﹣＝1﹣++……+﹣＝1﹣．∴a n+1＝，可得a n＝．n＝2时成立．∴a n＝．（II）证明：n≥3时，＝＜＝（﹣）．∴T n＜1++（﹣+﹣+……+﹣）＝1++＜．n＝1，2时也成立．综上可得：T n＜．21．如图，已知抛物线的焦点为F．（Ⅰ）若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：∠PFy＝2∠PQF；（Ⅱ）A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点D（0，4）（AB不与X轴平行），且|AF|+|BF|＝6．过y轴上一点E作直线m∥x轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求△ABE面积的最大值．【分析】（Ⅰ）设P的坐标，求出在P处的导数，进而求出在P处的切线的方程，令x ＝0求出Q的坐标，进而求出FQ的值，P到准线的距离为PF的值可得PF＝FQ，进而可得结论；（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB，再求线段AB的中点坐标，求出AB的中垂线的方程，将D点代入中垂线的方程可得参数的关系，设E的坐标，由以AD为直径的圆圆直线m的弦长为定值可得E的坐标，进而求出E到直线AB的距离，代入面积公式可得关于直线AB斜率的表达式，令函数求导可得函数的最大值，即求出面积的最大值．解：（Ⅰ）由抛物线的方程可得F（0，1），准线方程：y＝﹣1，设P（x0，），由抛物线的方程可得y'＝，所以在P处的切线的斜率k＝，所以在P处的切线方程为：y﹣＝（x﹣x0）令x＝0可得y＝﹣，即Q（0，﹣），所以FQ＝1+，而P到准线的距离d＝+1，由抛物线的性质可得PF＝d所以PF＝FQ，∠PQF＝∠QPF，可证得：∠PFy＝2∠PQF；（Ⅱ）设直线AB的方程为：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），直线与抛物线联立整理可得：x2﹣4kx﹣4m＝0，△＝16k2+16m＞0，即k2+m＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4m，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝4k2+2m，所以AB的中点坐标为：（2k，2k2+m），所以线段AB的中垂线方程为：y﹣（2k2+m）＝﹣（x﹣2k），由题意中垂线过D（0，4），所以2k2+m+2＝4，即2k2+m＝2，①由抛物线的性质可得：|AF|+|BF|＝y1+y2+2＝6，所以4k2+2m+2＝6，即2k2+m＝2②设E（0，b），AD2＝x12+（y1﹣4）2，AD的中点的纵坐标为，所以以AD为直径的圆与直线m的相交弦长的平方为：4[﹣（b﹣）2]＝4[﹣b2﹣+b（y1+4）]＝4[y1﹣b2+4b﹣4y1+by1]＝4[（b﹣3）y1+4b﹣b2]，要使以AD为直径的圆截得的弦长为定值则可得b＝3，时相交弦长的平方为定值12，即E（0，3），所以E到直线AB的距离为：d＝，而弦长|AB|＝＝4，所以S△EAB＝•d＝＝2|3﹣m|，将①代入可得S△ABE＝2|3﹣2+2k2|＝2|1+2k2|＝2设f（k）＝﹣4k6+4k4+7k2+2，为偶函数，只看k＞0的情况即可，f'（k）＝﹣24k5+16k3+14k＝﹣2k（12k4﹣6k2﹣7＝﹣2k（2k2+1）（6k2﹣7）令f'（k）＝0，k＝当0＜k，f'（k）＞0，f（k）单调递增；当，f'（k）＜0，f（k）单调递减所以k∈（﹣，）且k≠0，上，f（）＝f（﹣）为最大值所以S△ABE的最大值为：2|1+2×|＝．22．已知函数．（Ⅰ）求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）若y＝f（x）在x＝x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）≥3ln2．（Ⅲ）若对于任意k∈（﹣∞，2），直线y＝kx+b与函数y＝f（x）图象都有唯一公共点，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求导得f′（1），函数f（x）在x＝1处的切线方程为：y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1），代入化简即可得结论．（Ⅱ）根据y＝f（x）在x＝x1，x2（x1≠x2）处导数相等，即x1，x2为方程（2﹣m）x2﹣3x+1＝0的根，，解得﹣，由韦达定理x1+x2，x1x2，所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣（+）﹣3（lnx1+lnx2）＝﹣3﹣3ln，钩爪函数求导可证．（Ⅲ）将问题转化为h（x）＝有唯一零点，再利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性得函数草图，根据草图可得．解：（Ⅰ）f′（x）＝2+﹣＝所以f′（1）＝0，所以函数f（x）在x＝1处的切线方程为：y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1），即y＝1．（Ⅱ）根据题意得，f′（x1）＝f′（x2）＝m，即x1，x2为方程（2﹣m）x2﹣3x+1＝0的根，，解得﹣，所以x1+x2＝，x1x2＝，所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣（+）﹣3（lnx1+lnx2）＝2（x1+x2）﹣（）﹣3ln（x1x2）＝2×﹣﹣3ln＝﹣3﹣3ln，令t＝，（t＞）g（t）＝6t﹣3﹣3lnt，（t＞），g′（t）＝6﹣＝，当t∈（，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增．当t∈（，）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减．所以g（t）min＝g（）＝3ln2，所以g（t）≥3ln2，所以f（x1）+f（x2）≥3ln2．（Ⅲ）根据题意得，方程f（x）＝kx+b只有一个根，即k＝只有一个根，令h（x）＝，有唯一零点，当x→0+时，h（x）→﹣∞，x→+∞时，h（x）→2，下面证明h（x）＜2恒成立，若存在x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥1，所以存在x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），使得h（x1）＜1，h（x2）＜1，k＝max{h（x1），h（x2）}＜2，则y＝k与y＝h（x）至少有两个交点，矛盾．由对于任意k∈（﹣∞，2），h（x）＝k只有一个解，得h（x）为（0，+∞）上的增函数，所以h′（x）＝≥0，得b≥﹣﹣3lnx+3，令m（x）＝﹣﹣3lnx+3，（x＞0），则m′（x）＝﹣＝，所以m（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，m（x）max＝m（）＝﹣3ln．得b≥m（x）max＝m（）＝﹣3ln．。

2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月模拟测试数学试题一、单选题(★) 1 . 设集合，，，则（）A．B．C．D．(★★) 2 . 已知是非零实数，则“ ”是“ ”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★) 3 . 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（）A．B．C．D．(★★) 4 . 如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积（）A．B．C．D．(★★) 5 . 若，满足叫，且，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．(★) 6 . 若函数 是奇函数，则使 的 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．(★★) 7 . 已知 ，随机变量 ， 的分布列如表所示，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，(★★) 8 . 如图，在直角梯形中，，， ， 为 中点， ，分别为，的中点，将沿 折起，使点到，到，在翻折过程中，有下列命题： ① 的最小值为 ； ② 平面；③存在某个位置，使；④无论位于何位置，均有.其中正确命题的个数为（）A．B．C．D．(★★) 9 . 已知，，是等差数列中的三项，同时，，是公比为的等比数列中的三项，则的最大值为（）A．B．C．D．无法确定(★★★★★) 10 . 已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、双空题(★) 11 . 已知若复数( 为虚数单位).若是纯虛数，则以为焦点的抛物线的标准方程为___________；若，则___________.(★★) 12 . 已知，，动点满足，则点的轨迹方程是___________；又若，此时的面积为___________.(★) 13 . 在二项式的展开式中，所有项系数和为____________，展开式中含的项是____________.三、填空题(★★) 14 . 已知正实数满足，的值为____________.四、双空题(★★) 15 . 记，，为的内角，①若，则____________；②若，是方程的两根，则____________.五、填空题(★★) 16 . 已知，是椭圆上的两点(点在第一象限)，若，且直线，的斜率互为相反数，且，则直线的斜率为____________.(★★) 17 . 已知，，，，为半径为的圆上相异的点(没有任何两点重合)，这个点两两相连可得到条线段，则这条线段长度平方和的最大值为____________.六、解答题(★★) 18 . 已知函数.若，，求得值；在中，角，，的对边分别为，，且满足，求的取值范围.(★★★★)19 . 四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形，，为的中点.证明：平面平面；求直线与平面所成角的正弦值.(★★★★) 20 . 数列中，，，且.令，将用表示，并求通项公式；令，求证：.(★★★★★) 21 . 如图，已知抛物线的焦点为.若点为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交轴于点，证明：.，是抛物线上两点，线段的垂直平分线交轴于点 ( 不与轴平行)，且.过轴上一点作直线轴，且被以为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.(★★★★★) 22 . 已知函数.求函数在处的切线方程；若在，处导数相等，证明：.若对于任意，直线与函数图象都有唯一公共点，求实数的取值范围.。

2020年浙江省台州市温岭中学高考数学模拟试卷（3月份）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知全集{1U =，2，3，5，8}．集合{1A =，3，5}，{1B =，2，5，8}．则()(U A B =⋂ð) A ．{3} B ．{1，5}C ．{1，3，8}D ．{1，2，3，5}2．（4分）已知21iz i=+，i 是虚数单位，则||(z = )A ．1BC D ．23．（4分）已知{}n a 是公比不为1的等比数列，且4a ，2a ，3a 依次构成等差数列，则公比为( ) A ．12B ．2C ．12-D ．2-4．（4分）已知实数x ，y 满足01x <<，0y >则“x y <”是“log 1x y <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（4分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是( )A ．若//m α，//m β，则//αβB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若a γ⊥，βγ⊥，则//αβ6．（4分）若正实数a ，b ，满足1a b +=，则33b a b +的最小值为( )A ．2B ．C ．5D ．7．（4分）Rt ABC ∆，90C ∠=︒，60A ∠=︒，2CA =，D 是边BC 的中点，E 、F 是线段AB 上两动点，且1EF =．则DE DF u u u r u u u rg 的最小值是( )A ．13B ．12C ．1D ．328．（4分）安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有( ) A ．13B ．18C ．22D ．289．（4分）双曲线22122:1(0,0),x y C a b F a b -=>>，2F 分别为左、右焦点，过右焦点2F 的直线l 与双曲线同一支相交于A ，B 两点．若224||5||AF BF =，且221||BF a b =+，则该双曲线的离心率e 为( ) A ．54B ．119C ．3127D ．210．（4分）函数2sin2()23x f x x x π=-+，则下列结论中不正确的是( ) A ．曲线()y f x =存在对称中心 B ．曲线()y f x =存在对称轴 C ．函数()f x 的最大值为12D ．|()|||f x x „二.填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上.11．（6分）已知实数x 、y 满足条件0220y y xx y ⎧⎪⎨⎪+-⎩…„„，则2x y -的最小值为 ，最大值为 ． 12．（6分）6(2)x x+展开式中3x 的系数是15，则展开式的常数项为 ，展开式中有理项的二项式系数和为 ．13．（6分）盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，(4)P ξ== ，()E ξ= ． 14．（6分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．15．（4分）ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 3sin cos b A a B =，2b =，ABC ∆3ABC ∆的周长为 ．16．（4分）已知圆22:4O x y +=，A 、B 为圆O 上两个动点，满足||3AB =D 为线段AB 的中点，(3,)E m ，(3,5)F m +．当A 、B 在圆上运动时，存在某个位置使EDF ∠为钝角，则实数m 的取值范围是 ．17．（4分）设函数2()|3|f x ax bx =-+，若对任意的负实数a 和实数b ，总有0[1x ∈，2]使得00()f x mx …，则实数m 的取值范围是 ．三.解答题：本大题共5小题，共74分，其中第18题14分，其余均为15分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）已知函数()sin cos (0f x m x x m ωω=+>，0)πω>>在6x π=时取到最大值2．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若4()65f πα-=，233ππα<<，求cos2α的值．19．（15分）在直角三角形ABC 中，90,3,3C AC BC ∠=︒==M 、N 分别在线段AC 、AB 上，//MN BC ，2AM MC =．沿着MN 将AMN ∆折至如图，使3A C '=．（1）若P 是线段A C '的中点，试在线段NB 上确定点Q 的位置，使//PQ 面A MN '； （2）在（1）条件下，求CQ 与平面A MN '所成角的正弦值．20．（15分）已知数列{}{}n n a b >满足：1111321,2,22n n n n n n a a a b b ++++=-==g ．（1）求证：{}n b 是等比数列，并求n b 的通项公式；（2）记n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和．求证：对任意*1,nn n nS n N a T T +∈+…． 21．（15分）点(1,1)A 是抛物线2:2C x py =内一点，F 是抛物线C 的焦点，Q 是抛物线C 上任意一点，且已知||||QA QF +的最小值为2． （1）求抛物线C 的方程；（2）抛物线C 上一点(2,)B b 处的切线与斜率为常数k 的动直线l 相交于P ，且直线l 与抛物线C 相交于M 、N 两点．问是否有常数λ使2||||||PB PM PN λ=g？ 22．（15分）已知函数2()1f x ax x xlnx =-++，()2g x ax =． （1）求证：当1a =时，()0f x >；（2）记()()()h x f x g x =-，若()h x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．。

2020年高考数学第二次（3月份）模拟试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，5，8}．集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2，5，8}．则A∩（∁U B）＝（）A．{3}B．{1，5}C．{1，3，8}D．{1，2，3，5} 2．已知，i是虚数单位，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．已知{a n}是公比不为1的等比数列，且a4，a2，a3依次构成等差数列，则公比为（）A．B．2C．﹣D．﹣24．已知实数x，y满足0＜x＜1，y＞0则“x＜y”是“log x y＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β6．若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．2C．5D．47．Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝60°，CA＝2，D是边BC的中点，E、F是线段AB上两动点，且EF＝1．则的最小值是（）A．B．C．1D．8．安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（）A．13B．18C．22D．289．双曲线C：，F2分别为左、右焦点，过右焦点F2的直线l与双曲线同一支相交于A，B两点．若4|AF2|＝5|BF2|，且|BF1|＝2，则该双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．210．函数f（x）＝，则下列结论中不正确的是（）A．曲线y＝f（x）存在对称中心B．曲线y＝f（x）存在对称轴C．函数f（x）的最大值为D．|f（x）|≤|x|二.填空题：共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上.11．已知实数x、y满足条件，则x﹣2y的最小值为，最大值为．12．（+2x）6展开式中x3的系数是15，则展开式的常数项为，展开式中有理项的二项式系数和为．13．盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，P（ξ＝4）＝，E（ξ）＝．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．15．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b sin A＝a cos B，b＝2，△ABC 的面积为，则△ABC的周长为．16．已知圆O：x2+y2＝4，A、B为圆O上两个动点，满足，D为线段AB的中点，E（3，m），F（3，m+5）．当A、B在圆上运动时，存在某个位置使∠EDF为钝角，则实数m的取值范围是．17．设函数f（x）＝|ax2﹣bx+3|，若对任意的负实数a和实数b，总有x0∈[1，2]使得f（x0）≥mx0，则实数m的取值范围是．三.解答题：共5小题，共74分，其中第18题14分，其余均为15分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝m sinωx+cosωx（m＞0，π＞ω＞0）在x＝时取到最大值2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（）＝，＜α＜，求cos2α的值．19．在直角三角形ABC中，∠，M、N分别在线段AC、AB上，MN∥BC，AM＝2MC．沿着MN将△AMN折至如图，使．（1）若P是线段A′C的中点，试在线段NB上确定点Q的位置，使PQ∥面A′MN；（2）在（1）条件下，求CQ与平面A′MN所成角的正弦值．20．已知数列{a n}＞{b n}满足：．（1）求证：{b n}是等比数列，并求b n的通项公式；（2）记S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和．求证：对任意．21．点A（1，1）是抛物线C：x2＝2py内一点，F是抛物线C的焦点，Q是抛物线C上任意一点，且已知|QA|+|QF|的最小值为2．（1）求抛物线C的方程；（2）抛物线C上一点B（2，b）处的切线与斜率为常数k的动直线l相交于P，且直线l与抛物线C相交于M、N两点．问是否有常数λ使|PB|2＝λ|PM|•|PN|？22．已知函数f（x）＝ax2﹣x+xlnx+1，g（x）＝2ax．（1）求证：当a＝1时，f（x）＞0；（2）记h（x）＝f（x）﹣g（x），若h（x）有唯一零点，求实数a的取值范围．参考答案一.选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，5，8}．集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2，5，8}．则A∩（∁U B）＝（）A．{3}B．{1，5}C．{1，3，8}D．{1，2，3，5}【分析】先求补集，再求交集．解：∵全集U＝{1，2，3，5，8}．集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2，5，8}．∴∁u B＝{3}，∴A∩（∁U B）＝{3}，故选：A．2．已知，i是虚数单位，则|z|＝（）A．1B．C．D．2【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z为1+i，由此求得|z|．解：∵已知＝＝i（1﹣i）＝1+i，∴|z|＝，故选：B．3．已知{a n}是公比不为1的等比数列，且a4，a2，a3依次构成等差数列，则公比为（）A．B．2C．﹣D．﹣2【分析】本题先设等比数列{a n}的公比为q（q≠1），然后根据等差中项的性质列出关系式2a2＝a4+a3，根据等比数列通项公式代入可转化为关于q的方程，解出q的值即可得到正确选项．解：由题意，设等比数列{a n}的公比为q（q≠1），则a4＝a2q2，a3＝a2q．∵a4，a2，a3依次构成等差数列，∴2a2＝a4+a3，即2a2＝a2q2+a2q，整理，得q2+q﹣2＝0，解得q＝1（舍去），或q＝﹣2．∴q＝﹣2．故选：D．4．已知实数x，y满足0＜x＜1，y＞0则“x＜y”是“log x y＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由对数的性质分析可得“若x＜y，则log x y＜log x x＝1”和“若log x y ＜1，即log x y＜log x x＝1，必有x＜y”，结合充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，实数x，y满足0＜x＜1，y＞0，若x＜y，则log x y＜log x x＝1，则“x＜y”是“log x y＜1”的充分条件，反之若log x y＜1，即log x y＜log x x＝1，必有x＜y，则“x＜y”是“log x y＜1”的必要条件，故“x＜y”是“log x y＜1”的充要条件；故选：C．5．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β【分析】根据空间直线，平面直线平行或垂直的判定定理和性质定理进行判断即可．解：A．同时平行于一条直线的两个平面不一定垂平行，可能平行也可能相交，故A错误，B．若m∥α，n∥α，则m，n关系不确定，可能平行也可能相交，也可能异面，故B错误，C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，成立，D．若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故D错误，故选：C．6．若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．2C．5D．4【分析】根据题意，分析可得+＝+＝++3，结合基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，若正实数a，b，满足a+b＝1，则+＝+＝++3≥2×+3＝5，当且仅当b＝3a＝时等号成立，即+的最小值为5；故选：C．7．Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝60°，CA＝2，D是边BC的中点，E、F是线段AB上两动点，且EF＝1．则的最小值是（）A．B．C．1D．【分析】建立平面直角坐标系，设AE＝t，求出相关点的坐标，求出，的向量坐标，则•可表示为t的函数，利用函数的性质得出最小值．解：建立如图所示的坐标系，可得A（2，0），B（0，2），D（0，），设AE＝t，t∈[0，3]，则E（2﹣t，），F（，），则＝（2﹣t，﹣）•（，﹣）＝t2﹣4t+＝（t﹣2）2+．的最小值是：．故选：B．8．安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（）A．13B．18C．22D．28【分析】根据题意，分两类，第一类，乙安排在周二，第二类，乙不安排在周二，根据分类计数原理可得．解：第一类，乙安排在周二，则有2＝12种，第二类，乙不安排在周二，则从两位2人中选2人，安排在周二，把甲乙安排在周三周四或周四周五，其余人任意排，故有＝16种，根据分类计数原理可得，共有12+16＝28种，故选：D．9．双曲线C：，F2分别为左、右焦点，过右焦点F2的直线l与双曲线同一支相交于A，B两点．若4|AF2|＝5|BF2|，且|BF1|＝2，则该双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．2【分析】可得|BF2|＝2c﹣2a，|AF2|＝，|A1|＝．由cos∠F1F2B+cos∠F1F2A＝0．可得9c2﹣20ac+11a2＝0．即可求解．解：∵4|AF2|＝5|BF2|，且|BF1|＝2＝2c，则|BF2|＝2c﹣2a，|AF2|＝，则|A1|＝．∵cos∠F1F2B+cos∠F1F2A＝0．∴+＝0．整理可得：9c2﹣20ac+11a2＝0．（9c﹣11a）（c﹣a）＝0．∴9c＝11a，∴则该双曲线的离心率e为．故选：B．10．函数f（x）＝，则下列结论中不正确的是（）A．曲线y＝f（x）存在对称中心B．曲线y＝f（x）存在对称轴C．函数f（x）的最大值为D．|f（x）|≤|x|【分析】由＝f（x），可判定B；当x＝1时，分母x2﹣2x+3取得最小值2，此时分子刚好取得最大值1，故函数f（x）的最大值为，可判定C．由|f（x）|，可判定D，排除B，C，D，即可以选A．解：∵＝f（x），故曲线y＝f（x）关于x＝1对称，故B正确；当x＝1时，分母x2﹣2x+3取得最小值2，此时分子刚好取得最大值1，故函数f（x）的最大值为，故C正确．|f（x）|，故D正确．故选：A．二.填空题：共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上.11．已知实数x、y满足条件，则x﹣2y的最小值为，最大值为2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由实数x、y满足条件作出可行域如图，化目标函数z＝x﹣2y为y＝，由图可知，当直线y＝过B时直线在y轴上的截距最小，z有最大值，等于2﹣2×0＝2．由，解得A（，）当直线y＝过A时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于﹣2×＝．故答案为：；2．12．（+2x）6展开式中x3的系数是15，则展开式的常数项为，展开式中有理项的二项式系数和为32．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数，再根据x3的系数为15，求得a的值；在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于整数，求出r的值，即可求展开式中有理项的二项式系数和．解：（+2x）6的展开式的通项公式为T r+1＝2r••a6﹣r•x，令＝3，求得r＝4，可得x3的系数为：24••a2＝15，∴a＝±．令＝0，求得r＝2，可得常数项的值为：22••a4＝，当r＝0，2，4，6时，为整数；所以其有理项的二项式系数和为：++＝32．故答案为：；32．13．盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，P（ξ＝4）＝，E（ξ）＝．【分析】ξ的所有可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出P（ξ＝4），E（ξ）．解：盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，则ξ的所有可能取值为3，4，5，6，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝P（ξ＝6）＝＝，E（ξ）＝＝．故答案为：，．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为7+．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用分割法求出几何体的体积和表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由长方体ABCD﹣EFGH，切去两个三棱锥体K﹣EFH和M﹣BCD构成．如图所示：所以该几何体的体积为V＝＝2﹣．该几何体的表面积为S＝＝7+．故答案为：①，②．15．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b sin A＝a cos B，b＝2，△ABC 的面积为，则△ABC的周长为4+2．．【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求B，然后结合三角形的面积公式可求ac，再由余弦定理可求a+c，进而可求三角形的周长．解：因为b sin A＝a cos B，由正弦定理可得，sin B sin A＝sin A cos B，因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，即tan B＝所以B＝30°，则△ABC的面积S＝＝＝，则ac＝4，由余弦定理可得，cos B＝＝，解可得，a+c＝2+2，所以△ABC的周长a+b+c＝4+2．故答案为：4+2．16．已知圆O：x2+y2＝4，A、B为圆O上两个动点，满足，D为线段AB的中点，E（3，m），F（3，m+5）．当A、B在圆上运动时，存在某个位置使∠EDF为钝角，则实数m的取值范围是（﹣，）．【分析】利用弦心距，半弦长，半径所成的直角三角形可求得OD＝1，故D在圆上，设EF的中点为M，利用当A、B在圆上运动时，存在某个位置使∠EDF为钝角，可得D 的轨迹与以M为圆心以为半径的圆相交，再由圆心距与半径间的关系列式求解．解：由题意得|OD|＝＝1，∴D在以O为圆心，以1为半径的圆O′上，设EF的中点为M，则M（3，m+），且|EF|＝5，当A、B在圆上运动时，存在某个位置使∠EDF为钝角，∴圆O′与以M为圆心以为半径的圆相交，∴＜，解得﹣＜m＜，∴实数m的取值范围为（﹣，，故答案为：（﹣，）．17．设函数f（x）＝|ax2﹣bx+3|，若对任意的负实数a和实数b，总有x0∈[1，2]使得f（x0）≥mx0，则实数m的取值范围是（﹣∞，]．【分析】由题意可得m≤在[1，2]有解，设＝|ax+﹣b|（1≤x≤2），运用绝对值不等式的解法和函数的单调性，求得最值，结合对于负数a恒成立，由不等式的性质，可得m的范围．解：对任意的负实数a和实数b，总有x0∈[1，2]使得f（x0）≥mx0，可得m≤在[1，2]有解，设＝|ax+﹣b|（1≤x≤2），由|ax+﹣b|≥m可得ax+﹣b≥m，或ax+﹣b≤﹣m，即ax+≥b+m，或ax+≤b﹣m，可令g（x）＝ax+，可得g（x）在[1，2]递减，即g（x）的最小值为g（2）＝2a+，g（x）的最大值为g（1）＝a+3，由题意可得b+m≤3+a，b﹣m≥2a+，即m﹣b≤﹣2a﹣，由于对于任意的a＜0，不等式成立，可得2m≤﹣a+，而﹣a+＞，可得2m≤，即m≤，则m的取值范围是（﹣∞，]，故答案为：（﹣∞，]．三.解答题：共5小题，共74分，其中第18题14分，其余均为15分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝m sinωx+cosωx（m＞0，π＞ω＞0）在x＝时取到最大值2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（）＝，＜α＜，求cos2α的值．【分析】（1）依题意，可求得m＝，ω＝1，继而可求得f（x）的解析式，（2）根据同角的三角函数的关系，和两角和的余弦公式即可求出．解：（1）函数f（x）＝m sinωx+cosωx＝sin（ωx+φ），其中tanφ＝，∵f（x）在x＝时取到最大值2，∴＝2，ω+φ＝，∴m＝，∴tanφ＝，∴φ＝，∴ω+＝，解得ω＝2，∴f（x）＝sin2x+cos2x；（2）由（1）可得f（x）＝2sin（2x+）∵f（）＝，∴2sin（2α﹣+）＝2sin（2α﹣）＝，∴sin（2α﹣）＝∵＜α＜，∴＜2α﹣＜，∴cos（2α﹣）＝﹣，∴cos2α＝cos（2α﹣+）＝cos（2α﹣）cos﹣sin（2α﹣）sin＝﹣×﹣×＝﹣．19．在直角三角形ABC中，∠，M、N分别在线段AC、AB上，MN∥BC，AM＝2MC．沿着MN将△AMN折至如图，使．（1）若P是线段A′C的中点，试在线段NB上确定点Q的位置，使PQ∥面A′MN；（2）在（1）条件下，求CQ与平面A′MN所成角的正弦值．【分析】（1）利用面面平行切入，不防取MC的中点L，连接PL，QL，容易证明面PQL ∥面A′MN，问题可证出；（2）可以以C为原点，CM，CB，CA′所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，给出点、向量坐标、求出平面的法向量，套用公式即可．解：（1）取CM的中点L，连接PL，QL，因为MN∥BC，设NQ＝QB，则QL是梯形BCMN的中位线，故QL∥MN，因为QL⊄面A′MN，MN⊂面A′MN 所以QL∥面A′MN，同理可证PL∥面A′MN，又PL，QL⊂面PQL，PL∩QL＝L，所以面PQL∥面A′MN，所以PQ∥面A′MN，即Q为BN的中点时，PQ∥面A′MN；（2）因为三角形ABC中，∠，MN∥BC，AM＝2MC．所以MC＝1，A′M＝2，由A′C＝，易知A′M2＝MC2+A′C2，所以MC⊥A′C，又MN∥BC，所以BC⊥MC，BC⊥A′C，以C为原点，CM，CB，CA′所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，所以C（0，0，0），B（0，），M（1，0，0），N（1，），A′（0，0，），∴∴又，设平面A′MN的法向量，∴，即，令z＝1，则x＝，y＝0，所求的一个法向量，设直线CQ与平面A′MN所成角为θ，所以，故CQ与平面A′MN所成角的正弦值为．20．已知数列{a n}＞{b n}满足：．（1）求证：{b n}是等比数列，并求b n的通项公式；（2）记S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和．求证：对任意．【分析】（1）由．即可证明数列{b n}是以为首项，公比为的等比数列．（2）证明：要证：对任意⇔，求得，S，可得S n﹣＝＞0，即可证明，对任意．【解答】（1）证明：．b n+1＝a n+1﹣2•2n+1＝＝．∴．∴数列{b n}是以为首项，公比为的等比数列．．（2）证明：要证：对任意．⇔，∵，∴，∴，S．S n﹣＝＞0．所以，对任意．21．点A（1，1）是抛物线C：x2＝2py内一点，F是抛物线C的焦点，Q是抛物线C上任意一点，且已知|QA|+|QF|的最小值为2．（1）求抛物线C的方程；（2）抛物线C上一点B（2，b）处的切线与斜率为常数k的动直线l相交于P，且直线l与抛物线C相交于M、N两点．问是否有常数λ使|PB|2＝λ|PM|•|PN|？【分析】（1）由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，且A，Q，N三点共线时|QA|+|QF|的最小值为2可得p的值．进而求出抛物线的方程．（2）由（1）可得B的坐标，求导可得在B处的切线方程，设动准线l的方程与在B处的切线方程联立求出交点P的坐标，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出|PB|2，|PM|和|PN|的表达式，进而求出|PM||PN|的乘积，假设存在λ满足条件，因为k 为常数，所以可得λ的值．解：（1）抛物线的准线方程为：y＝﹣，因为A点在抛物线内部，过A做AN垂直于准线交于N，抛物线于Q，由抛物线的性质可得|QA|+|QF|＝|QA|+|QN|≥|AN|，当且仅当，A，Q，N三点共线时|QA|+|QF|最小，即|AN|＝2，即1+＝2，解得：p＝2，所以抛物线的方程为：x2＝4y；（2）有题意B在抛物线上，所以22＝4b，所以b＝1，即B（2，1），因为y＝，所以y'＝，所以在B处的斜率为：＝1，所以在B处的切线方程为：y﹣1＝x﹣2，即y＝x﹣1，设直线l的方程：y＝kx+m，且k≠1，联立l与切线方程：，解得：y＝，x＝，即P（，），设M（x1，y1），N（x2，y2），假设存在λ值满足条件，联立直线l与抛物线的方程：，整理可得：x2﹣4kx﹣4m＝0，△＝16k2+16m＞0，即k2+m＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4m，|PB|2＝（﹣2）2+（﹣1）2＝2（）2，|PM|＝＝＝•|x1﹣|，同理可得：|PN|＝•|x2﹣|，所以|PM|•|PN|＝（1+k2）|x1x2﹣（x1+x2）+（）2|＝（1+k2）•|﹣4m﹣+（）2|＝，所以2•（）2＝λ•（1+k2），所以λ＝，所以存在常数λ＝，使得使|PB|2＝λ|PM|•|PN|．22．已知函数f（x）＝ax2﹣x+xlnx+1，g（x）＝2ax．（1）求证：当a＝1时，f（x）＞0；（2）记h（x）＝f（x）﹣g（x），若h（x）有唯一零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求导，利用导数和函数的最值的关系即可证明；（2）若函数f（x）有唯一的零点，等价于a（x2﹣2x）＝x﹣lnx﹣1，有唯一的实根，构造函数p（x）＝a＝，研究函数的最值求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣x+xlnx+1，x＞0，∴f′（x）＝2x﹣1+1+lnx＝2x+lnx，∴f′（x）＝2x+lnx易知函数f′（x）在（0，+∞）上单调递增，设f′（x0）＝2x0+lnx0＝0，①，则f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，f′（）＝1﹣ln2＞0，∴x0∈（0，），f（x）min＝f（x0）＝x02﹣x0+x0lnx0+1，代入①式，∴f（x）min＝x02﹣x0+1＝﹣（x0+）2+＞﹣﹣+1＞0；（2）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax2﹣2ax﹣x+xlnx+1＝0，∴a（x2﹣2x）＝x﹣lnx﹣1，若x＝2，h（2）＝2ln2﹣1≠0，故2不为零点，若x≠2，p（x）＝a＝，∴p′（x）＝，令p′（x）＝0，解得x＝1，∴p（x）在x∈（0，1]单调递减，p（1）＝0，在x∈（1，2），（2，+∞）上单调递增，∵＝＝+∞，＝+∞，＝﹣∞，＝0，渐近线为x＝0，x＝2，y＝0，∴a≤0．。