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12.2 离散型随机变量的期望值和方差一、知识梳理1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i的概率为P（ξ=x i）=P i （i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑x i p i为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.2.方差：称Dξ=∑（x i－Eξ）2p i为随机变量ξ的均方差，简称方差. D叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b 为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，D ξ=npq（q=1－p）.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.二、例题剖析【例1】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、Dξ.拓展提高 既要会由分布列求E ξ、D ξ，也要会由E ξ、D ξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P （ξ=x 1）=53，P （ξ=x 2）=52，且x 1<x 2，又知E ξ=57，D ξ=256.求ξ的分布列.解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有E ξ=53x 1+52x 2=57， D ξ=53x 12+52x 22－E ξ2=256. 从而得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1123,723222121x x x x【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p 1，非意外死亡的概率为p 2，则a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利?【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求E ξ、D ξ.特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.【例4】 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p （0<p <1），用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.（1）求方差D ξ的最大值；（2）求ξξE D 12-的最大值. 【例5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n 的球n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.【例6】（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。
高三数学离散型随机变量的期望值和方差离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要：1、期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为ξx1x2x3...xn...PP1P2P3...Pn...则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+...+xnPn+...为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。
它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。
E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2・P1+(x2-Eξ)2・P2+...+(xn-Eξ)2・Pn+...称为随机变量ξ的方差。
Dξ的算术平方根=δξ叫做随机变量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。
若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。
二、例题：例1、（1）下面说法中正确的是（）A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。
B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。
C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。
D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。
解：选C说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。
（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是。
解：含红球个数ξ的Eξ=0×+1×+2×=1.2说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的"了解......，会......"的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。
