立方根练习题1

苏科版2022年数学立方根专项练习及答案1【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.特别说明：：一个数aa是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.特别说明：：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质=a=3a=特别说明：：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660.【典型例题】类型一、立方根概念的理解1．填表：【答案】填表见解析解：试题分析：（1）根据相反数的性质，相反数等于它本身的数只能是0；（2）根据绝对值的性质解答．非负数的绝对值是它本身；（3）根据倒数的定义可知，±1的倒数等于它本身；（4）根据平方的性质解答；（5）根据立方的性质解答；（6）-1没有平方根，1的平方根是±1，0的平方根是0；（7）由于一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，算术平方根等于它本身的数是只能是0和1，由此即可求解；（8）直接利用立方根的性质得出符合题的答案；（9）根据负整数的定义可知；（10）根据绝对值的性质解答，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．试题解析：填表如下【变式1】简答：(1)b3-27|=0,求(a+b)2的值;(2)已知225的算术平方根是a,-512的立方根是b,.【答案】(1)1;(2)6.【分析】（1）根据算术平方根及绝对值的非负性可求出a及b的值，进而可得出答案；（2）首先根据算术平方根和立方根的定义求得a、b的值，然后将a、b的值代入化简即可．解：(1) 由题意知:a3+64=0,b3-27=0,解得a=-4,b=3.∴(a+b)2=(-4+3)2=(-1)2=1.(2) a b,==【点拨】本题主要考查的是算术平方根、立方根的定义.根据算术平方根和立方根的定义求得a 、b 的值是解题的关键．【变式2】已知a b +的平方根是4±，实数13a 的立方根是2-，求1263a b -+的立方根.【分析】利用平方根及立方根定义列出方程组，求出方程组的解得到a 与b 的值，代入原式计算求出立方根即可．解：∵实数a+b 的平方根是±4，实数13a 的立方根是-2， ∴a+b=16，13a =-8， ∴a=-24，b=40， ∴121292(24)4063633a b -+=-⨯-+⨯=∴1263a b -+的立方根是3.【点拨】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．类型二、求一个数的立方根1．正数x 的两个平方根分别为3﹣a 和2a +7． （1）求a 的值；（2）求44﹣x 这个数的立方根．【答案】(1) a ＝﹣10;(2) 4－x 的立方根是﹣5【分析】（1）理解一个正数有几个平方根及其两个平方根间关系：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a 的值；根据a 的值得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，计算出44-x 的值，再根据立方根的定义即可解答.解：解：（1）由题意得：3﹣a ＋2a ＋7＝0，∴a ＝﹣10, （2）由（1）可知x ＝169，则44－x ＝﹣125， ∴44－x 的立方根是-5.【点拨】此题考查了立方根，平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．举一反三：【变式1】计算：()2019211(-+【答案】1-【分析】先算平方根、立方根、乘方和绝对值，再加减．解：()2019211(-+，=1134--+，=1-【点拨】本题考查了乘方、立方根、平方根和绝对值的混合运算，解题关键是熟练应用相关法则，准确进行运算．【变式2】我们知道a ＋b ＝0时，a 3＋b 3＝0也成立，若将a 看成a 3的立方根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；(2)1的值． 【答案】（1）成立；（2）-1 解：【试题分析】举例：8和-8的立方根分别为2和-2. 2和-2互为相反数，则8和-8也互为相反数；（2）根据（1）的结论，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,则=1-2=-1. 【试题解析】（1）8和-8的立方根分别为2和-2；2和-2互为相反数，则8和-8也互为相反数（举例符合题意即可），成立.（2）根据（1）的结论，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,则=1-2=-1.故答案为-1. 【方法点睛】本题目是一道关于立方根的拓展题目，根据立方根互为相反数得到这两个数互为相反数；反之也成立.运用了从特殊的到一般的数学思想.类型三、已知一个数的立方根，求这个数3．已知x+12的算术平方根是13，2x+y﹣6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【答案】（1）x=1，y=12；（2）±6．【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义解答，由算数平方根的定义，可得x2，求解可得到x的值；由立方根的定义，得到2x+y-6=23，将x的值代入2x+y=14，即可得到y的值；（2）先求出3xy的值，再结合平方根的定义即可求出3xy平方根．解：（1）∵x+122x+y﹣6的立方根是2．∴x+12= 2=13，2x+y﹣6=23=8，∴x=1，y=12（2）解：当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6．【点拨】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．举一反三：【变式1】已知x﹣2的平方根是±2，5y+32的立方根是﹣2．（1）求x3+y3的平方根．（2）计算：|2+【答案】（1）无平方根；（2）﹣312．【分析】根据题意可分别得到关于x、y的方程，解方程可求得x、y的值；（1）把上面求得的x、y的值代入x3+y3进行计算后再根据平方根的定义进行求解即可；（2）把x、y的值代入根据绝对值的性质进行化简后再按顺序进行计算即可.解：由题意得：x﹣2=4，5y+32=﹣8，解得：x=6，y=﹣8；（1）x3+y3=216﹣512=﹣296，-296没有平方根，所以x3+y3无平方根；（2）原式=|2|﹣+2|+12﹣2﹣2+12=﹣312． 【点睛】本题考查了平方根与立方根的定义，根据平方根与立方根的定义求出x 、y 的值是解题的关键.【变式2】已知2x +的平方根是±4，432y -的立方根是-2．求229x y -+的平方根． 【答案】±13 【分析】利用平方根、立方根的定义先求出x 与y 的值，再将x ，y 的值代入计算后可进一步得出结果．解：∵x+2的平方根为±4，4y-32的立方根是-2， ∴x+2=16，4y-32=-8， 解得：x=14，y=6， 则x 2-y 2+9=169，∴x 2-y 2+9的平方根是±13．【点拨】此题考查了平方根、立方根的定义，熟练掌握基本概念是解题的关键，注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．类型四、立方根的实际运用4某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t (h)可以用下面的公式来估计:t 2=3900d ,其中d (km)是雷雨区域的直径.(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间?(2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)? 【答案】（1）0.9h （2）9.7km【分析】（1）根据t 2＝3900d ，其中d=9（km ）是雷雨区域的直径，开立方，可得答案；（2）根据t 2＝3900d ，其中t=1h 是雷雨的时间，开立方，可得答案．解：(1)当d ＝9时，则t 2＝3900d ，因此t 0.9.答：如果雷雨区域的直径为9km ，那么这场雷雨大约能持续0.9h.(2)当t ＝1时，则3900d ＝12，因此d答：如果一场雷雨持续了1h ，那么这场雷雨区域的直径大约是9.7km. 【点拨】本题考查了立方根，注意任何数都有立方根． 举一反三：【变式1】小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．【答案】6cm【分析】根据题意列出方程，然后根据立方根的性质进行求解． 解：设第二个纸盒的棱长为acm ，∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大189cm 3，∴a 3-33=189， ∴a 3=189+27=216， a 3=216=63 ∴a=6cm ．【点拨】此题考查立方根的计算, 关键是能根据题意得出方程．． 【变式2】请根据如图所示的对话内容回答下列问题．（1）求该魔方的棱长；（2）求该长方体纸盒的表面积．【答案】（1）魔方的棱长6cm ；（2）长方体纸盒的长为10cm ． 解：试题分析：（1）由正方体的体积公式，再根据立方根，即可解答； （2）根据长方体的体积公式，再根据平方根，即可解答. 试题解析：（1）设魔方的棱长为xcm ， 可得：x 3=216，解得：x=6，答：该魔方的棱长6cm ；（2）设该长方体纸盒的长为ycm ， 6y 2=600， y 2=100， y=10，答：该长方体纸盒的长为10cm ．类型五、算术平方根与立方根的实际应用5已知x +3 的立方根为 2，3x +y -1 的平方根为±4 ，求 3x +5y 的算术平方根． 【答案】5【分析】根据立方根的立方得被开方数和平方根的平方等于被开方数，可得二元一次方程组，根据解方程组，可得 x 、y 的值，再计算 3x+5y 的值，根据算术平方根的定义，可得答案．解：由x +3 的立方根为 2，3x +y -1 的平方根为±4 ，得： 3=831=16x x y +⎧⎨+-⎩52x y =⎧⎨=⎩ ∴3x +5y =15+10=25， ∵25 的算术平方根为 5， ∴3x +5y 的算术平方根为 5【点拨】本题主要考查了立方根，平方根和算术平方根，解题关键是利用立方根的立方和平方根的平方等于被开方数得出二元一次方程组．举一反三：【变式1】已知a 是一64的立方根，b 的算术平方根为2. (1)写出a ，b 的值; (2)求3b 一a 的平方根， 【答案】(1)a=-4,b=4;(2) ±4.【分析】(1)根据立方根、算术平方根的定义即可解答. (2)把a 、b 的值带入求值.解：解（1）因为a 是一64的立方根，b 的算术平方根为2，所以a=-4，b=4 （2）因为a=-4，b=4，所以3a-3b=16. 所以3a-3b 的平方根为士4【点拨】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义和性质.【变式2】已知16的算术平方根是x -2，2x +y +7的立方根是3，求22x y 的平方根.【答案】±10． 【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x-2=4，2x+y+7=27，列方程解出x 、y ，最后代入代数式求解即可．解：∵16的算术平方根是4， ∴x-2=4， ∴x=6，∵2x+y+7的立方根是3， ∴2x+y+7=27， 把x=6代入解得：y=8， ∴x 2+y 2=62+82=100， ∴x 2+y 2的平方根是±10．【点拨】本题主要考查了平方根、立方根的概念，难易程度适中，掌握平方根、立方根的概念是解答此题的关键．。

5.2 立方根练习1第1题. 无限不循环小数叫 ．答案：无理数．第2题. 在1.414，2，3，0，π，227，16，34中，无理数有 个，有理数有 个． 答案：3，5．第3题. 下列说法正确的是（ ）Ａ．无理数不是实数 Ｂ．无理数是带根号的数Ｃ．带根号的数是无理数 Ｄ．无理数是无限小数答案：Ｄ．第4题. 有理数和 统称实数．答案：无理数．第5题.6的相反数是 ． 答案：6-．第6题.4π的绝对值是 ． 答案：4π．第7题. 绝对值是2的数有 ．答案：2±．第8题. 若2x >，则2____x -=． 答案：2x -．第9题.35-的绝对值等于 ．答案：53-．第10题. 215m -=，则____m =．答案：3或2-．第11题. 12____-=，答案：21-．第12题. 33a a -=-，则____3a ．答案：≥．第13题. 3.14____-=π．答案： 3.14-π．第14题. 3.14-π的相反数 ．答案：3.14-π．第15题. 将各数与数轴上点对应起来．2， 1.5-，5，π，3答案： 1.5A -—；2B ―；5C ―；3D ―；E π―．第16题. 实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，且a b =，化简22()2a a b c a c ++---．答案：23a c -+．第17题. 如图，(12)A ，，(2.50)B ，，求AOB S △． 0 4 2- A B C D E ab c 0答案：524．第18题. 2(32)2-+答案：232-．第19题. 3333--答案：0．第20题. 2310.50.0084+-答案：0.8．第21题. 化简2373232-+++-答案：723+．第22题. 若01a <≤，化简1a a +-．答案：1．第23题. 若实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图化简a b c a b c a ---+--．答案：a ．AO B xy1 2 3 1ab c 0第24题. 0m <时，化简323m m m m +++．答案：0．第25题. 若13a -与27b -互为相反数，求ab 的值．答案：9ab =．第26题. 3-π的相反数是 ；3-=____．答案：3-π；3．第27题. 在数轴上和原点距离等于7的点表示的数是 ． 答案：7±．第28题. 若310a b ++-=，则____4a b -=．答案：1-．第29题. 1.42-的绝对值等于 ．答案：2 1.4-．第30题. 立方根等于本身的实数是 ．答案：0，1±．。

1．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；=③3==a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a是非负数，即a≥0a是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．K知识参考答案：1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2A ．－1B ．0C ．1D ．±1 【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例3】下列计算中，错误的是A B 34=-C 112=D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D 故错误，故选D ． 【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，所以-343的立方根是-7．（2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【例5】求下列各式的值：（1；（23）【解析】（1（2（3 二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例6】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例7】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-，x+=-，所以33x=-．所以6三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例8】64的平方根和立方根分别是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．【例10】已知x+122x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12=2=13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12．（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．。

立方根二一、单选题（共15题；共30分）1.﹣27的立方根是（）A. ﹣3B. +3C. ±3D. ±92.﹣64的立方根是（）A. ﹣2B. ﹣3C. ﹣4D. 53.一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（）A. ±4B. 4C. ±2D. 24.有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（）A. 10B. 10(-1)C. 100D. -15.﹣27的立方根是（）A. 3B. -3C. ±3D. -36.下列各式正确的是（）A. B. C. D.7.下列式子正确的是（）A. ± =7B. =﹣C. =±5D. =﹣38.如果（a3）6=86，则a等于（）A. 2B. -2C. ±2D. 以上都不对9.下列说法中，错误的是（）A. 4的算术平方根是2B. 的平方根是±3C. 8的立方根是±2D. ﹣1的立方根等于﹣110.在计算器上按键显示的结果是（）A. ﹣3B. 3C. 17D. 3311.﹣8的立方根与4的平方根的和是（）A. 0B. 0或4C. 4D. 0或﹣412.﹣8的立方根是（）A. ﹣2B. ±2C. 2D. ﹣213.分析下列说法:①实数与数轴上的点一一对应；②没有平方根；③任何实数的立方根有且只有一个；④平方根与立方根相同的数是0和1.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个14.下列语句正确的是（）A. 如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零B. 一个数的立方根不是正数就是负数C. 负数没有立方根D. 一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零15.下列判断：①1的立方根是±1；②只有正数才有平方根；③﹣4是﹣16的平方根；④（）2的平方根是±正确的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题（共15题；共23分）16.4的平方根是________；﹣27的立方根是________．的算术平方根是________17.﹣8的立方根是________，16的算术平方根是________，的平方根为________．18.﹣2006的倒数是________，的立方根是________，﹣2的绝对值是________19.计算：的值是________．20.用计算器计算：-3.142≈________．（结果保留三个有效数字）21.一个数值转换器，原理如图所示.当输入x为512时，输出y的值是________.22.如果，那么x=________．23.已知的平方根是±3，b+2 的立方根是2，则的算术平方根是________24.16的平方根与﹣8的立方根的和是________．25.若一个有理数的平方根与立方根是相等的，则这个有理数一定是________26.已知，，则的值为________.27.一个数的立方根是4，这个数的平方根是________ ．28.的倒数是________相反数是________29.计算：=________，分解因式：9x2﹣6x+1=________．30.如果的平方根是±3，则=________．三、计算题（共10题；共80分）31.求下列各等式中x的值：（1）4x2＝25；（2）3（x﹣4）3﹣24＝0．32.计算题（1）计算：+ ×（﹣）2（2）求x的值：（x﹣2）3=﹣27．33.化简或计算：（1）；（2）34.计算：(-1)2019+ -(-5)-35.计算：2﹣1sin60°+|1 |．36.计算：37.计算：（1）；（2）38.求x的值：（1）；（2）.39.计算．40.求下列各式中的x：（1）2x2－1＝9；（2）(x＋1)3＋27＝0．四、解答题（共5题；共30分）41.已知2a﹣3的平方根是±5，2a+b+4的立方根是3，求a+b的平方根．42.已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根.43.计算下列各题：（1）-32× -（-3）2÷（-1）2（2）44.用计算器求下列各式的值：（1）；（2）±；（3）．（精确到0.01）45.已知的算术平方根是3，的立方根是-2，求的平方根．五、综合题（共5题；共77分）46.解答题。