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数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。
【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。
语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B我们的队号为：11参赛队员：1. 电子0903 徐路源2. 数学0901 王璐璐3. 数学0901 张乐孝指导教师或指导教师组负责人：数模组日期： 2010 年 8 月 10 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：.数学建模竞赛编号专用页评阅编号：预测机票价格和预定数量限额最优问题摘要本文所要讨论的问题可以归结为一个趋势拟合和基于二项分布求最优决策的问题。
建立了两个模型：分别用来预测机票的未来价格和求机票的预定限额。
首先我们根据所给的2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)数据，通过Matlab 软件用函数去拟合，所得函数即为机票预订价格的数学模型。
可表示为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2) +a5*exp(-((x-b5)/c5)^2) + a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)但在预测中发现，由模型所得参考价格不合实际。
单方面拟合出的模型并不具有实际价值。
之后我们采用趋势外推法中最小二乘法的周期波动模型来解题。
通过与实际价格的比较，发现其误差较小且置信度较高。
所以我们得到的机票预定价格的数学模型即为)122sin(*4632.0)122cos(*9938.0)122sin(0239.58)122cos(*9355.492690.73877.638~xx x x xx ytππππ-+-++=价格随时间呈周期性变化，每过一个周期价格略有上升。
三、（2002年国际数模竞赛B 题）飞机票超额预订问题航空公司通常可以让乘客免费预订机票。
预订了机票的乘客，有可能会因为种种原因，不来乘飞机，这样，当飞机起飞时，就会有一些空位子白白浪费掉。
为了减少损失，航空公司往往采取超额预订飞机票的办法，即：允许乘客预订的机票数超过飞机上的座位数。
但是，这样做，又会发生预订了机票的乘客乘不上飞机，被“挤掉”的情况。
对于被“挤掉”的乘客，航空公司必须给予一定的赔偿。
现在的问题是：航空公司应该采取怎样的超额预订策略，才能使自己损失最小，利润最大？一次飞行的费用，包括飞到目的地的燃料费，机组人员、地勤人员的工资，机场的管理费，飞机的保养费等等，这些几乎都与乘客数无关，因此，作为近似，我们可以假定，每次飞行的费用是一个常数。
由于航空公司的利润等于（扣除赔偿金后）机票费的收入减去飞行费用，当飞行费用为常数时，航空公司的利润要达到最大，可以不必考虑飞行费用，只要（扣除赔偿金后）机票费的收入达到最大就可以了。
设g ——每张机票的价格（作为近似，我们不考虑座位的等级，认为g 是一个常数）。
b ——给每个被“挤掉”的乘客的赔偿金。
M ——飞机上的座位总数。
N ——让乘客预订的机票数（由于是超额预订，所以必有M N ≥）。
ξ——实际来乘飞机的乘客数（ξ是一个随机变量，N ≤≤ξ0）。
η——（扣除赔偿金后）机票费的收入（η与ξ有关，是ξ的函数，也是一个随机变量）。
⎩⎨⎧≤<--≤≤==时当时当N M M b gM M g f ξξξξξη)(0)( 。
设ξ的概率分布为}{k P =ξ，N k ,,2,1,0 =。
这时，可以求出η的数学期望，即航空公司（扣除赔偿金后）机票费的平均收入为)(ξηEf E =∑===Nk k P k f 0}{)(ξ∑∑+===--+==NM k M k k P M k b gMk gkP 1}{)]([}{ξξ。
以每张机票的价格g 为单位计算的（扣除赔偿金后）机票费平均收入为gE η∑∑+===--+==NM k Mk k P M k gb M k kP 10}{)]([}{ξξ。
航空公司超员订票摘要机票超售是航空公司在日趋激烈的竞争环境下采取的使收益最大化的举措。
本文分析了三种模型中，使收益最大的预售票数。
在模型一（抱怨系数模型）中，我们通过ma t h e m a t i c a计算得到最佳售票数为314时，收益最大，且抱怨系数小于最大抱怨系数；在模型二（打折模型）中，我们通过m a t l a b计算得到，对于经济舱座位数n=300，票价为正常时的票价的d倍，d=0.7，乘客不登机的概率为p=0.05，取m=314，若d=0.4，取m=318，可使的收益最大；在模型三（动态分析模型）中，我们得到在超售11%的机票时，收益最大。
关键词抱怨系数打折 Mathematica MATLAB 动态分析超售是航空公司收益管理的一项重要内容。
所谓超售,英文为Overbooking,即航空公司的某一航班实际订座大于飞机客舱内可利用座位,以保证对航班座位百分之百地利用。
合理的设计最佳售票数对航空公司实现利益最大化和座位利用最大化有重要意义。
一、问题重述你备好行装准备去旅行，访问北京的一位挚友。
在检票处登记之后，航空公司职员告诉说，你的航班已经超员订票。
乘客们应当马上登记以便确定他们是否还有一个座位。
航空公司一向清楚，预订一个特定航班的乘客们只有一定的百分比将实际乘坐那个航班。
因而，大多数航空公司超员订票?也就是，他们办理超过飞机定员的订票手续。
而有时，需要乘坐一个航班的乘客是飞机容纳不下的，导致一位或多位乘客被挤出而不能乘坐他们预订的航班。
航空公司安排延误乘客的方式各有不同。
有些得不到任何补偿，有些改订到其他航线的稍后航班，而有些给予某种现金或者机票折扣。
根据当前情况，考虑超员订票问题：航空公司安排较少的从A地到B地航班机场及其外围加强安全性乘客的恐惧航空公司的收入迄今损失达数千万美元建立数学模型，用来检验各种超员订票方案对于航空公司收入的影响，以求找到一个最优订票策略，就是说，航空公司对一个特定的航班订票应当超员的人数，要有妥善处理延误乘客的办法，从而达到最大的利润。
摘要当今是一个经济发展迅猛的时代，做任何事情都要有超前意识，为赢得时间，快速的交通工具成为现代生活的必需品。
飞机成为我们生活当中日益重要的交通工具，订购机票也自然成为我们需要关心的一个问题。
本文基于“航空机票超票订票的问题”运用数学建模所学知识建立数学模型，运用MATLAB软件，通过计算解决以下问题：（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？关键词：航空机票；数学建模；MATLAB软件；最大利润1 概述1.1 问题背景描述随着社会的不断进步，经济的不断发展，人们生活节奏也越来越快，对效率的要求也越来越高，为了出行的效率，飞机成了人们通常的选择。
航空公司会针对社会现象推出相应的营运模式，从而使公司赢得最大的利润。
针对此种现象，航空公司一般都采用超量订票的运营模式，即每班售出票数大于飞机载客数。
按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。
航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。
但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。
为了减少发生持票登机旅客多于座位数的情况，航空公司需要对乘客数量进行统计，从而对机票预售量做出一定估算，从而获得最大的利润。
1.2 问题的提出某航空公司执行两地的飞行任务。
已知飞机的有效载客量为150人。
按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。
航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。
但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。
主讲：薛震中北大学数学系全国大学生数学建模竞赛系列讲座随机因素影响必须考虑,随机模型随机性模型:随机因素可以忽略,或随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现.确定性模型:主要包括概率模型、统计回归模型和马氏链模型.1.概率模型:概率论的基本理论是建立随机性模型的基础,主要思路是在随机变量的概率分布已知或已经被估计出来的情况下,运用相关的定义和性质,计算某些事件的概率,或者得到有用的数字特征,按照研究对象的目的以及客观规律来建立模型.例如:报童的诀窍,随机存储策略等.2.统计回归模型:如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系,建立合乎机理规律的模型,那么通常要搜集大量的数据,通过对数据的统计分析,找出与数据拟合最好的回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型.例如:牙膏的销售量,基金或股票的投资等.3.马氏链模型:随机过程研究客观世界中随机演变过程的规律性.马氏链是时间、状态均为离散的马氏过程,其特点为:①系统在每个时期所处的状态是随机的;②从一时期到下时期的状态按一定概率转移;③时期状态只取决于本时期状态和转移概率.马氏过程是一种特殊的随机过程,建模中应用非常广泛.它在数学例如:健康与疾病,基因遗传等.p =0.9,m =323,max( / f )=0.45/S fmp =1,m =300,max( / f )=0.53p =0.95,m =311,max( / f )=0.493003103203300.350.450.55S S Sb /g =0.2,m =314,max( / f )=0.494b /g =0.5,m =312,max( / f )=0.490b /g =0.8,m =311,max( / f )=0.487/S f m 3000.410.503103203300.45S S S谢谢! NORTH UNIVERSITY OF CHINA大学。
航空公司为什么要超订机票建模示例引导一、问题的提出我们有时会在刊物上看到旅客们抱怨，他们本已订上了某田某次航班的机票，但当到达机场时却被告知：您的航班现已满员，您不得不乘坐下次班机。
这种事情常会引起旅客诸多不便甚至怨愤。
在计算机辅助订票的当今时代，如何设计一个可行的订票系统以降低这种错误出现的概率？本文的目的在于介绍并让大家理解为什么(为了盈利，)航空公司有时订给旅客某次航班的票数要多于那次航班所能容纳的旅客数。
二、变量与记号显然，在建立模型之前，有必要先定义变量，解释所使用的记号。
f——某次班机的固定飞行费用n——飞行中飞机所载的旅客数g——每一旅客所付旅行费(票价)N——飞机载客的容量k——某次班机未到旅客的人数P——k人未到的概率km——某次班机订票的人数S——某次飞行产生的利润;b——留下一名已订票旅客的补偿费p——每一订票旅客到达的概率;q——每一订票旅客未到的概率，p=1q-三、建模过程建模时，我发现通过阶段性建模与查证对理解问题很自然，也很有益。
而在每一阶段，模型特性军事与我对所要构建模型的真实系统的直觉相一致。
我们下面开始着手建立一个航空公司来源于不足订票的简单效益模型。
1 初始模型与某次飞行有关的费用不依赖于飞机的实际载客数。
不管飞机是否满员，航空公司都必须付钱给飞行员、导航员，工程师以及客舱工作人员。
满载飞行与半载飞行所消耗的燃油量的差别是非常小的，起飞、降落或机场索要的管理费以及飞机的维修和保养费用也不与飞机的实际载客数有关。
因此，一定精度下，我们可以忽略飞行的各种费用差别，而假定进行一次飞行的固定费用为常数f.若一次飞行载有n 个旅客，显然一次飞行的利润为f ng -. 十分明显，这个简单的模型由我们所期望的那种特性：当所载的旅客数增加时，利润相应增加，能够取得的最大利润时f Ng -, 这里N 是飞机的载客容量。
这里有一个临界点，在临界点处，正好由所载的旅客支付的费用抵消了飞行的固定费用，此时的载客量gfn =0称为临界载荷。
售机票的学问某航空公司新开辟了一条航线。
在最初的20个航班中，每个航班的75个座位都被全部预定出去了。
在飞机起飞之前，每个航班却发现有个别乘客没有乘机。
显然，坐不满的飞机会给航空公司带来经济损失。
经过对最初20个航班资料的整理，得到如下空座位的次数分布：航班空座位的次数分布空座位的个数航班次数2 13 4405 46 27 58 19 110011 2合计20如果每个航班只售75张机票，则航空公司面临着乘客没有乘机的风险。
当然，航空公司也可以在售票时多售一些，但这样又面临着超过75个人来登机的风险。
为了减少风险，制定出更合理的方案，航空公司需要掌握没来登机的概率和规律。
在不知道购票后没来登机的概率时，我们就需要利用实际数据估计这一概率。
当然，我们从概率论的大数定律知道，实际数据越多，其样本的相对频率越接近实际概率。
让我们来看看在75个座位中有3个空座位情况。
若用20次航班的样本数据估计，即4/20=0.20，显然0.20这个概率估计值太高，这是由于样本数据较少导致误差的影响。
现在，让我们来估计某一乘客购买机票后而没来乘机的概率π.若假定一个航班的75位乘客是从乘客中随机抽取的，即每个乘客间是互相独立的，且都有相同的π值，空座位数x 服从二项分布，20航班共有75201500×=个座位，其中有 个座位是空座位，这样，我们用20个航班数据估计的空座位率2134100112120i i x f =×+×++×+×=∑"12015000.08π≈= 。
现在我们用估计值0.08π=来求二次分布的P(3)，即有3个空座位的概率337275(3)(0.08)(0.92)0.085P C =×= 显然，实际数据得出的0.02比用二项分布算出的0.085要高得多。
假如该航空公司决定每个航班售出78张机票，同时假定未乘飞机的乘客是从全部乘客中随机抽出的样本，那么来乘飞机的超过75人的概率是多少？这个问题就是求在售出的78张机票中，来乘飞机的达76人、77人和78人的概率，即76762777717878787878(10.08)(0.08)(10.08)(0.08)(10.08)0.046C C C −+−+−≈这样，若每个航班售出78张机票，在登机时因座位已满而无法登机的风险是0.046，即平均每100个航班中会有4.6个航班发生这种风险。
航空公司超额订票策略摘要市场竞争过程中，航空公司为了既获得最大的经济利润，又要营造良好的社会声誉采取超额订票策略。
航空公司的经济利润可以由机票收入扣去飞行费用和赔偿金来度量。
而社会声誉则由持票前来登机，却因客满而无法登机的乘客的数量来衡量。
这是一个二元优化问题，目标变量分别是经济利润最大化和社会声誉损失最小化。
决策变量为订票的数量m.我们设被挤掉的乘客的数量超过j的概率是p（m）.获得的经济j利润为S(m).本模型的最终目标就是在这两个变量之间找到一种平衡关系，各自达到最大化。
关键字二元优化目标函数约束条件一.问题重述在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目。
公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。
设飞机容量为N ，若公司限制只预订m 张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。
如果不限制订票数量，则当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，将会引起那些不能登机的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，导致公司声誉受损和一定的经济损失（如付给赔偿金）。
这样，综合考虑公司的经济利益和社会声誉，必然存在一个恰当的预订票数量的限额。
假设已经知道飞行费用（可设与乘客人数无关）、机票价格（一般飞机满员50%_60%时不亏本，由飞行费用可确定价格）、飞机容量、每位被挤掉者的赔偿金等数据，以及由统计资料估计的每位乘客不按时前来登机的概率（不妨认为乘客间是相互独立的），建立一个数学模型，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等），确定最佳的预订票数量。
二．模型假设(1) 航班的飞行成本f 为常数，飞机最大容量为N.；（2）订票数肯定会大于飞机的最大容量。
(3) 设机票的价格是统一的，机票价格按照 /g f N λ=，预订票乘客不按时前来登机概率为q ()1p q =-；三．符号说明四．问题分析（1）航空公司的经济利润可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者限制在一定数量为标准，这个问题的关键因素――预订票的成可是否按时前来登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量，这是一个两目标的规划问题，决策变量是预订票数量的限额。
