配套K12课标通用2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9函数模型及其应用学案

§2.4 二次函数与幂函数考纲展示► 1.了解幂函数的概念．2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12 的图象，了解它们的变化情况．3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．考点1 幂函数的图象与性质五种常见幂函数的图象与性质奇增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减 (1,1)[教材习题改编]已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，则函数f (x )＝________. 答案：x 12解析：设f (x )＝x α，则2＝2α，所以α＝12，故函数f (x )＝x 12 .幂函数概念的误区：系数为1；指数为常数． 已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x m －3，则m 为________．答案：2或－1解析：若函数为幂函数，则m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.[典题1] (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )A BC D[答案] C[解析] 令f (x )＝x α，则4α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12 .(2)[2017·安徽江南七校联考]已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·xn 2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2[答案] B[解析] 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3.当n ＝1时，函数f (x )＝x －2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.(3)1.1 12 ，0.9 12，1的大小关系为________． [答案] 0.9 12 ＜1＜1.1 12[解析] 把1看作1 12 ，幂函数y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴0.9 12 ＜1 12 ＜1.1 12 ，即0.9 12 ＜1＜1.1 12 .(4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．[答案] (0,1)[解析] 作出函数y ＝f (x )的图象如图．则当0＜k ＜1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．[点石成金] 1.幂函数y ＝x α的性质和图象由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：(1)α的正负：当α>0时，图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的部分“上升”；当α<0时，图象不过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分“下降”；(2)曲线在第一象限的凹凸性：当α>1时曲线下凹；当0<α<1时曲线上凸，当α<0时曲线下凹；(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．考点2 求二次函数的解析式二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝____________； (2)顶点式：f (x )＝____________； (3)零点式：f (x )＝____________.答案：(1)ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)a (x －m )2＋n (a ≠0) (3)a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)二次函数对称轴的判断方法：中值法；结论法．(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于直线________对称．(2)“二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立”的充要条件是“函数y ＝f (x )的图象关于直线________对称”(a 为常数)．答案：(1)x ＝x 1＋x 22(2)x ＝a解析：(1)作出二次函数y ＝f (x )的图象(图略)，由图可知，当f (x 1)＝f (x 2)时， 点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))关于直线x ＝x 1＋x 22对称．由x 1，x 2的任意性，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝x 1＋x 22对称．(2)由(1)可知，y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数).[典题2] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 解法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m ) 2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋－2＝12， ∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数的最大值为y max ＝8，即4a－2a －－a24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [点石成金] 求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： (1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x 轴两交点的坐标，宜选用零点式.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A ．y ＝14(x ＋3)2B ．y ＝－14(x －3) 2C ．y ＝－14(x ＋3) 2D ．y ＝14(x －3) 2答案：D解析：由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为42＋22＝3，即C (－3,0)．因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3) 2(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y ＝14(x －3) 2.考点3 二次函数的图象与性质二次函数的图象和性质(1)[教材习题改编]若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[－1,2]上是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案：(－∞，－8]∪[16，＋∞)解析：f (x )图象的对称轴方程是x ＝k 8，故k 8≤－1或k8≥2，即k ≤－8或k ≥16.故所求k的取值范围是(－∞，－8]∪[16，＋∞)．(2)[教材习题改编]已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫120，＋∞解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－20a <0， 解得a >120.二次函数单调性的求解误区：单调区间；在区间上单调． 已知二次函数f (x )＝(k 2－1)x 2＋2x －3.(1)若函数f (x )的单调递增区间是(－∞，2]，则k ＝________； (2)若函数f (x )在区间(－∞，2]上单调递增，则k 满足________．答案：(1)±22(2)22≤k<1或－1<k≤－22解析：(1)显然图象开口向下，k2－1<0，且－2k2－＝2，得k＝±22.(2)图象开口向下，k2－1< 0，且－2k2－≥2，得22≤k<1或－1<k≤－22.[考情聚焦] 二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考考查频率非常高的一个热点，考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等问题．主要有以下几个命题角度：角度一二次函数的图象和应用[典题3] [2017·四川雅安诊断] 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是( )A．②④B．①④C．②③D．①③[答案] B[解析] 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a ＜0， 所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确． 角度二二次函数的单调性问题[典题4] 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．[解] (1)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.所以实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (2)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，所以f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，所以f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]． 角度三二次函数的最值问题 [题型1] 轴定，区间动类型[典题5] 若函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围．[解] 作出函数y ＝x 2－2x ＋3的图象如图．由图象可知，要使函数在[0，m ]上取得最小值2，则1∈[0，m ]，从而m ≥1， 当x ＝0时，y ＝3； 当x ＝2时，y ＝3，所以要使函数取得最大值为3，则m ≤2， 故所求m 的取值范围为[1,2]．[题型2] 轴动，区间定类型[典题6] 求函数f (x )＝ax 2－2x 在区间[0,1]上的最小值．[解] f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a 2－1a.(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a ＞0时，函数f (x )的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )的图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－1a.当1a＞1，即0＜a ＜1时，函数f (x )的图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a ＜0时，函数f (x )的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a＜0，在y 轴的左侧，∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.[题点发散] 若将本例中的函数改为f (x )＝x 2－2ax ，其他不变，应如何求解？ 解：f (x )＝x 2－2ax ＝(x －a )2－a 2，对称轴为x ＝a . 当a ＜0时，f (x )在[0,1]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝0；当0≤a ≤1时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2； 当a ＞1时，f (x )在[0,1]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝1－2a .综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a <0，－a 2，0≤a ≤1，1－2a ，a >1.角度四二次函数中的恒成立及零点问题[典题7] (1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [解析] 作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧fm <0，fm ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，m ＋2＋m m ＋－1<0，解得－22＜m ＜0. (2)若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23[解析] 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，3k －2<0，4k －1>0，解得12<k <23.[点石成金] 1.(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)而用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．2．二次函数最值问题的三种类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴． 3．由不等式恒成立求参数取值范围的两大思路及一个关键 (1)两大思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)一个关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min.[方法技巧] 1.二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解． 3．幂函数y ＝x α(α∈R )图象的特征当α>0时，图象过原点和点(1,1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．[易错防范] 1.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知a ＝2 43 ，b ＝425 ，c ＝25 13，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案：A解析：因为a ＝2 43 ＝16 13 ，b ＝425 ＝16 15 ，c ＝25 13 ，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b <a <c .2．[2015·四川卷]如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25D ．812答案：B解析：①当m ＝2时，∵ f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，∴ 0≤n <8，mn ＝2n <16. ②当m ≠2时，函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)的对称轴方程为x ＝－n －8m －2. a ．当m ＞2时，抛物线开口向上，∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减， ∴－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12. 又2m ＋n ≥22mn ，∴ 22mn ≤12， ∴ mn ≤18.当2m ＝n ＝6，即m ＝3，n ＝6时取等号， ∴ mn 的最大值为18.b ．当m ＜2时，抛物线开口向下，∵ f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减， ∴－n －8m －2≤12，即m ＋2n ≤18，即n ≤9－12m . 又∵ 0≤m ＜2，n ≥0，∴ mn ≤9m －12m 2＝－12(m －9)2＋812＜－12(2－9)2＋812＝16. 综上所述，mn 的最大值为18，故选B.3．[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )A BC D答案：D解析：当a >1时，函数f (x )＝x a(x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0<a <1时，函数f (x )＝x a(x >0)单调遂增，函数g (x )＝log a x 单调递减，且过点(1,0)，排除A ，又由幂函数的图象性质可知B 错，故选D.4．[2013·重庆卷]－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A. 9 B ． 92C. 3 D ． 322答案：B解析：易知函数y ＝(3－a )(a ＋6)的两个零点是3，－6，对称轴为a ＝－32，y ＝(3－a )(a＋6)的最大值为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫922，则－a6＋a 的最大值为92，故选B.5．[2014·辽宁卷]对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．答案：－2解析：设2a ＋b ＝x ，则2a ＝x －b ， ∴(x －b )2－b (x －b )＋4b 2－c ＝0，x 2－3bx ＋6b 2－c ＝0，即6b 2－3xb ＋x 2－c ＝0.∴Δ＝9x 2－4×6×(x 2－c )≥0，∴3x 2－8x 2＋8c ≥0，∴x 2≤85c .当|2a ＋b |＝|x |取最大时，有(2a ＋b )2＝85c ，∴4a 2＋4ab ＋b 2＝85c .又∵4a 2－2ab ＋4b 2＝c ，①∴b a ＝23，∴b ＝23a . 将b ＝23a 代入①，得4a 2－2a ·23a ＋49a 2·4＝c ，∴a ＝32c10，b ＝c 10或a ＝－32c10，b ＝－c10.当a ＝32c10，b ＝c10时，有 3a －4b ＋5c ＝332c 10－4c10＋5c＝210c －410c ＋5c ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1052－2≥－2， 当1c＝105，即c ＝52时等号成立． 此时a ＝34，b ＝12.当a ＝－32c10，b ＝－c10时，3a －4b ＋5c＝－210c ＋410c＋5c＝210c＋5c＞0，综上可知，当c ＝52，a ＝34，b ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －4b ＋5c min ＝－2.课外拓展阅读 构造二次函数解决问题二次函数是中学数学的一个重要知识，它与一元二次不等式、一元二次方程的联系是诸多命题者的关注点．对于有些问题若能充分利用二次函数的性质，则会迎刃而解．下面就给出几种构造二次函数解决问题的例题．1．构造二次函数求根式函数的最值 [典例1] 求函数y ＝x 2＋1－x 2的最值． [思路分析] 利用换元法转化为二次函数求最值． [解] 令1－x 2＝u ，则x 2＝1－u 2， 且0≤u ≤1.所以y ＝1－u 2＋u ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122＋54，所以1≤y ≤54，故y min ＝1，y max ＝54.2．构造二次函数解不等式(1)从结论的外形结构作形式联想进行构造[典例2] 已知a <b <c ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2.[思路分析] 观察结论的特点，若将不等式移项后，有a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(ab 2＋bc 2＋ca 2)<0， 设A ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(ab 2＋bc 2＋ca 2)＝(b －c )a 2＋(c 2－b 2)a ＋(b 2c －bc 2)，考虑到a 是按降幂排列的，故可联想到构造二次函数f (x )＝(b －c )x 2＋(c 2－b 2)x ＋(b 2c －bc 2)求解．[证明] 令A ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(ab 2＋bc 2＋ca 2)＝(b －c )a 2＋(c 2－b 2)a ＋(b 2c －bc 2)． 设f (x )＝(b －c )x 2＋(c 2－b 2)x ＋(b 2c －bc 2)＝(b －c )(x －b )(x －c )，因为b <c ，所以函数f (x )的图象开口向下，且与x 轴交点的横坐标为b ，c ，所以当x <b 或x >c 时，f (x )<0.又a <b ，所以f (a )<0，即A <0，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2. (2)利用二次函数的最值特征进行构造[典例3] 已知a 1，a 2，…，a n 为实数，试证：(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2≥n a 21＋a 22＋…＋a 2n－a 1＋a 2＋…＋a n 2n[思路分析] 所证不等式的左边可看作是关于x 的二次函数，只要证此二次函数的最小值是n a 21＋a 22＋…＋a 2n－a 1＋a 2＋…＋a n 2n即可．[证明] 设f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )．因为n >0，所以对于二次函数f (x )，当x ＝a 1＋a 2＋…＋a nn时，f (x )有最小值，且f (x )min ＝n a 21＋a 22＋…＋a 2n－a 1＋a 2＋…＋a n 2n .所以f (x )≥n a 21＋a 22＋…＋a 2n－a 1＋a 2＋…＋a n 2n，故原不等式成立．(3)利用根与系数的关系构造二次函数[典例4] 已知a >13，b >13，ab ＝29，求证：a ＋b <1.[思路分析] 已知条件出现了ab ＝29，而结论中有a ＋b ，若设a ＋b ＝t ，则a ，b 为二次函数f (x )＝x 2－tx ＋29的图象与x 轴的两个交点的横坐标，由于a >13，b >13，根据二次函数的性质，易证t <1.[证明] 设t ＝a ＋b ，又ab ＝29，则a ，b 为二次函数f (x )＝x 2－tx ＋29的图象与x 轴的两个交点的横坐标．由于a >13，b >13，二次函数的图象开口向上，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>0，即19－13t ＋29>0，解得t <1，即a ＋b <1.。

第二章 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用1.函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象．(4)体会指数函数是一类重要的函数模型． 3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象．(3)体会对数函数是一类重要的函数模型． (4)了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况．5．函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．6．函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．2．1 函数及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做，x的取值范围A 叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的．2．函数的表示方法(1)解析法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法．(2)图象法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法．(3)列表法：就是来表示两个变量之间的对应关系的方法．3．构成函数的三要素(1)函数的三要素是：，， .(2)两个函数相等：如果两个函数的相同，并且完全一致，则称这两个函数相等．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．5．映射的概念一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的元素x，在集合B中都有元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．6．映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的___________．(2)区别：函数是从非空数集．．A到非空数集．．B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集．．．自查自纠1．唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2．(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格3．(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系5．任意一个唯一确定的6．(1)映射(2015·湖北)函数f(x)＝4-|x|＋lgx2-5x＋6x-3的定义域为( )A．(2，3) B．(2，4]C．(2，3)∪(3，4] D．(-1，3)∪(3，6] 解：依题意有4-|x|≥0，解得-4≤x≤4，①由x2-5x＋6x-3>0，解得x>2且x≠3，②由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4]．故选C.下列各图表示两个变量x，y的对应关系，则下列判断正确的是()A．都表示映射，都表示y是x的函数B．仅③表示y是x的函数C ．仅④表示y 是x 的函数D ．都不能表示y 是x 的函数解：根据映射的定义，①②③中，x 与y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C .(2015·全国新课标Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2-x ），x <1，2x -1， x ≥1， 则f (-2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：由条件得f (-2)＝1＋log 24＝3，因为log 212>1，所以f (log 212)＝2(log 212)-1＝2log 26＝6，故f (-2)＋f (log 212)＝9.故选C .(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x-3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1， 则f (f (-3))＝________，f (x )的最小值是________．解：f (f (-3))＝f (1)＝0.当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x-3≥22-3，当且仅当x ＝2时取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg1＝0，当且仅当x ＝0时取等号．所以f (x )的最小值为22-3. 故填0；22-3.(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧-x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是．类型一 函数和映射的定义下列对应是集合P 上的函数的是________．(填序号)①P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；②P ＝{-1，1，-2，2}，Q ＝{1，4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．解：由于①中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，而③中集合P 不是数集，所以①和③都不是集合P 上的函数．由题意知，②正确．故填②.【点拨】函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值y 与之对应；③集合P ，Q 是否为非空数集．给出下列四个对应：①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝1x ＋1； ②A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|12a ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b|b ＝1n ，n ∈N *，对应关系f ：a →b ，b ＝1a；③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ； ④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．其中是从A 到B 的映射的为________．(填序号) 解：对于①，当x ＝-1时，y 值不存在，所以①不是从A 到B 的映射；对于②，A ，B 两个集合分别用列举法表述为A ＝{2，4，6，…}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，13，14，…，由对应关系f ：a →b ，b ＝1a知，②是从A 到B 的映射；③不是从A 到B 的映射，如A 中元素1对应B 中两个元素±1；④是从A 到B 的映射． 故填②④.类型二 判断两个函数是否相等已知函数f (x )＝|x -1|，则下列函数中与f (x )相等的函数是( )A ．g (x )＝|x 2-1||x ＋1|B ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2-1||x ＋1|，x ≠-1，2，x ＝-1C ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x -1，x ＞0，1-x ，x ≤0D ．g (x )＝x -1解：因为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2-1||x ＋1|＝|x -1|，x ≠-1，2，x ＝-1与f (x )的定义域和对应关系完全一致，故选B .【点拨】两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2-1x -1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x -1，g (x )＝x 2-1 解：A 中，g (x )＝|x |，所以f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |，g (x )＝x (x ≥0)， 所以两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1(x ≠1)，g (x )＝x ＋1， 所以两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x -1(x ＋1≥0且x -1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}；g (x )＝x 2-1(x 2-1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤-1}．所以两函数的定义域不同．故选A .类型三 求函数的定义域(1)(2016·江苏)函数y ＝3-2x -x 2的定义域是________．解：要使函数有意义，必须3-2x -x 2≥0，即x 2＋2x -3≤0，所以-3≤x ≤1.故填．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为∪[2，2)． 故填(-2，-2]∪[2，2)．【点拨】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x 轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y ＝f (x )用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x 的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等．若已知函数y ＝f (x )的定义域为，则函数y ＝f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 解出．(1)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1-x 2的定义域为________．解：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x ＞0，x ≠0，1-x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜-1或x ＞0，x ≠0，-1≤x ≤1⇒x∈(0，1]．故填(0，1]．(2)已知f (2x)的定义域是，则f (log 2x )的定义域为________．解：由已知x ∈，所以2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2，即log 22≤log 2x ≤log 24，所以2≤x ≤4，故f (log 2x )的定义域为[2，4]．故填[2，4]．类型四 求函数的值域求下列函数的值域：(1)y ＝1-x21＋x 2；(2)y ＝2x ＋1-x ； (3)y ＝2x ＋1-x 2； (4)y ＝x 2-2x ＋5x -1； (5)若x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，求函数z ＝x 2＋y 2的值域；(6)f (x )＝||2x ＋1-||x -4. 解：(1)解法一：(反解) 由y ＝1-x 21＋x 2，解得x 2＝1-y 1＋y， 因为x 2≥0，所以1-y 1＋y ≥0，解得-1＜y ≤1，所以函数值域为(-1，1]． 解法二：(分离常数法) 因为y ＝1-x 21＋x 2＝-1＋21＋x2，又因为1＋x 2≥1，所以0＜21＋x 2≤2，所以-1＜-1＋2x 2＋1≤1， 所以函数的值域为(-1，1]． (2)(代数换元法)令t ＝1-x (t ≥0)，所以x ＝1-t 2，所以y ＝2(1-t 2)＋t ＝-2t 2＋t ＋2＝-2⎝ ⎛⎭⎪⎫t -142＋178. 因为t ≥0，所以y ≤178，故函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞，178. (3)(三角换元法) 令x ＝cos t (0≤t ≤π)，所以y ＝2cos t ＋sin t ＝5sin(t ＋φ)(其中cos φ＝15，sin φ＝25)．因为0≤t ≤π，所以φ≤t ＋φ≤π＋φ， 所以sin(π＋φ)≤sin(t ＋φ)≤1. 故函数的值域为． (4)解法一：(不等式法)因为y ＝x 2-2x ＋5x -1＝（x -1）2＋4x -1＝(x -1)＋4x -1，又因为x ＞1时，x -1＞0，x ＜1时，x -1＜0， 所以当x >1时，y ＝(x -1)＋4x -1≥24＝4，且当x ＝3，等号成立；当x <1时，y ＝-⎣⎢⎡⎦⎥⎤-（x -1）＋4-（x -1）≤-4，且当x ＝-1，等号成立．所以函数的值域为(-∞，-4]∪∪上单调递增． 所以当x ＝0时，z 有最小值0，当x ＝2时，z 有最大值4，故所求函数的值域为． (6)(图象法)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧-x -5，x ＜-12，3x -3，-12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-92，＋∞.【点拨】求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．(1)(2015·江西模拟)函数y ＝x -3x ＋1的值域为________．解：y ＝x -3x ＋1＝x ＋1-4x ＋1＝1-4x ＋1，因为4x ＋1≠0，且可取除0外的一切实数，所以1-4x ＋1≠1，且可取除1外的一切实数．故函数的值域是{y |y ∈R 且y ≠1}．故填{y|y ∈R 且y ≠1}．(2)函数f (x )＝x ＋1-2x 的值域为________． 解：(代数换元法)函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞，12，令t ＝1-2x (t ≥0)，则x ＝1-t22.所以y ＝1-t 22＋t ＝-12(t -1)2＋1(t ≥0)，故当t ＝1(即x ＝0)时，y 有最大值1，故函数f (x )的值域为(-∞，1]．故填(-∞，1]．(3)函数y ＝2x 2-x ＋2x 2＋x ＋1的值域是________．解：因为x 2＋x ＋1>0恒成立，所以函数的定义域为R . 由y ＝2x 2-x ＋2x 2＋x ＋1，得(y -2)x 2＋(y ＋1)x ＋y -2＝0.当y -2＝0，即y ＝2时，上式化为3x ＋0＝0，所以x ＝0∈R .当y -2≠0，即y ≠2时，因为当x ∈R 时，方程(y -2)x 2＋(y ＋1)x ＋y -2＝0恒有实根，所以Δ＝(y ＋1)2-4×(y -2)2≥0，所以1≤y ≤5且y ≠2.故函数的值域为．故填．(4)(2015·江西模拟)设O 为坐标原点，给定一个定点A (4，3)，点B (x ，0)在x 轴的正半轴上移动．l (x )表示AB →的长，则函数y ＝xl （x ）的值域为________． 解：依题意有x ＞0，l (x )＝（x -4）2＋32＝x 2-8x ＋25，所以y ＝x l （x ）＝xx 2-8x ＋25＝11-8x ＋25x2. 由于1-8x ＋25x 2＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -4252＋925，所以1-8x ＋25x 2≥35，故0＜y ≤53. 即函数y ＝x l （x ）的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53. 类型五 求函数的解析式根据要求求函数的解析式：(1)(2015·福建模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1-x )，则当-1≤x ≤0时，f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，并且f (f (x ))＝4x ＋3，求f (x )．(3)(2015·武昌模拟)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1＋x ＝1-x 21＋x 2，求f (x )．(4)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2-3，求f (x )．解：(1)当-1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1， 故f (x ＋1)＝(x ＋1)＝-x (x ＋1)，又f (x ＋1)＝2f (x )，故f (x )＝12f (x ＋1)＝-x （x ＋1）2.所以当-1≤x ≤0时，f (x )＝-x （x ＋1）2.故填-x （x ＋1）2.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝-2，b ＝-3.故所求的函数为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝-2x -3. (3)设t ＝1-x 1＋x ，由此得x ＝1-t 1＋t(t ≠-1)，则f (t )＝1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1-t 1＋t 2＝2t1＋t 2， 故f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2(x ≠-1)．(4)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2-3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2-5，而x ＋1x ≥2或x ＋1x≤-2，所以f (x )＝x 2-5(x ≥2或x ≤-2)．【点拨】由y ＝f (g (x ))的解析式求函数y ＝f (x )的解析式，应根据条件，采取不同的方法：①若函数g (x )的类型已知，则用待定系数法；②已知f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围；③函数方程法(即解方程组法)，将f (x )作为一个“未知数”，建立方程(组)，消去另外的“未知数”，便得到f (x )的解析式，含f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (-x )的类型常用此法．求下列各题中函数f (x )的解析式．(1)已知f (x ＋2)＝x ＋4x ，求f (x )； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )； (3)已知函数y ＝f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2x ，x ∈R 且x ≠0，求f (x )；(4)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，求f (x )．解：(1)解法一：设t ＝x ＋2(t ≥2)，则x ＝t -2， 即x ＝(t -2)2，所以f (t )＝(t -2)2＋4(t -2)＝t 2-4， 所以f (x )＝x 2-4(x ≥2)．解法二：因为f (x ＋2)＝(x ＋2)2-4， 所以f (x )＝x 2-4(x ≥2)．(2)设t ＝2x ＋1，由于x ＞0，所以t ＞1，则x ＝2t -1，所以f (t )＝lg2t -1，即f (x )＝lg 2x -1(x >1)． (3)由2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①将x 换成1x ，则1x换成x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝2x，②①×2-②，得3f (x )＝4x -2x ，得f (x )＝43x -23x .(4)因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝1，得c ＝1.由f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝(ax 2＋bx ＋1)＋2x ，整理得(2a -2)x ＋a ＋b ＝0，由x 的任意性知⎩⎪⎨⎪⎧2a -2＝0，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝-1，所以f (x )＝x 2-x ＋1.类型六 分段函数(1)(2016·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（8-x ），x ≤0，f （x -1）-f （x -2），x ＞0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．-2D ．-3 (2)(2014·上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x -a ）2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．(3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，-x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.解：(1)f (3)＝f (2)-f (1)＝f (1)-f (0)-f (1)＝-f (0)＝-log 28＝-3.故选D .(2)因为当x ≤0时，f (x )＝(x -a )2，又f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0；当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，须2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2-a -2≤0，解之得-1≤a ≤2，所以a 的取值范围是．故选D .(3)当a ＞0时，f (a )＝-a 2＜0，f (f (a ))＝a 4-2a2＋2＝2，解得a ＝2(a ＝0与a ＝-2舍去)．当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝-(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．故填2.【点拨】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如f (f (x 0))的求值问题时，应从内到外依次求值．(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．(1)(2015·浙江)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x-6，x ＞1， 则f (f (-2))＝________. (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋1），x ≤2，3-x ，x >2， 则f (log 32)的值为________．(3)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x -1，x <1，2x ，x ≥1， 则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．(表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解法一：特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，故B 正确．解法二：设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )， 当0≤α≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10，当6<α≤9时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1. 故选B .6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1-x ），x ≤0，f （x -1）-f （x -2），x >0， 则f (2 018)的值为( )A ．-1B ．0C ．1D ．2解：因为f (2 018)＝f (2 017)-f (2 016)＝f (2 016)-f (2 015)-f (2 016)＝-f (2 015)，同理有f (2 015)＝-f (2 012)，所以f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)，f (2)＝-f (-1)＝-1.故选A .7．函数f (x )＝1-x ＋x ＋3的值域是________．解：由⎩⎪⎨⎪⎧1-x ≥0，x ＋3≥0，解得-3≤x ≤1.因为y ≥0，所以y 2＝4＋2（1-x ）（x ＋3）， 即y 2＝4＋2-（x ＋1）2＋4(-3≤x ≤1)． 从而y 2∈，即y ∈，所以函数f (x )的值域是．故填．8．(2015·山东模拟)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x ＜1，-x -2a ，x ≥1. 若f (1-a )＝f (1＋a )，则a的值为________．解：当a ＞0时，1-a ＜1，1＋a ＞1.此时f (1-a )＝2(1-a )＋a ＝2-a ，f (1＋a )＝-(1＋a )-2a ＝-1-3a .由f (1-a )＝f (1＋a )，得2-a ＝-1-3a ，解得a ＝-32，不合题意，舍去．当a ＜0时，1-a ＞1，1＋a ＜1.此时f (1-a )＝-(1-a )-2a ＝-1-a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1-a )＝f (1＋a )，得-1-a ＝2＋3a ，解得a ＝-34.综上可知，a 的值为-34.故填-34.9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2-2)的值域． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝0，所以c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 因为f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. 所以(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2-2)＝12(x 2-2)2＋12(x 2-2)＝12(x 4-3x 2＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-322-18，当x 2＝32时，y 取最小值-18.所以函数y ＝f (x 2-2)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-18，＋∞.10．已知函数f (x )＝（1-a 2）x 2＋3（1-a ）x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为＝sgn x B ．sgn ＝-sgn x C ．sgn ＝sgn D ．sgn ＝-sgn解：因为f (x )是R 上的增函数，又a ＞1，所以当x ＞0时，f (x )＜f (ax )，即g (x )＜0；当x ＝0时，f (x )＝f (ax )，即g (x )＝0；当x ＜0时，f (x )＞f (ax )，即g (x )＞0.由符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ＞0，0， x ＝0，-1，x ＜0可得，sgn ＝⎩⎪⎨⎪⎧-1，x ＞0，0， x ＝0，1， x ＜0＝-sgn x ．故选B .1．已知集合A ＝{x |0≤x ≤8}，集合B ＝{x |0≤x ≤4}，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解：按照对应关系f ：x →y ＝x ，对集合A 中某些元素(如x ＝8)，集合B 中不存在元素与之对应，故不能看作从A 到B 的映射．选项A ，B ，C 都符合题意．故选D .2．(2016·厦门模拟)函数f (x )＝2x ＋12x 2-x -1的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠-12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x >-12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠-12且x ≠1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x >-12且x ≠1解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x 2-x -1≠0，解得x >-12且x ≠1.故选D .3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin （πx 2），-1＜x ＜0，e x -1，x ≥0， 若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．1，-22C ．-22D ．1，22解：f (1)＝1，当a ≥0时，f (a )＝e a -1，所以1＋e a -1＝2，所以a ＝1；当-1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)，所以1＋sin(πa 2)＝2，所以πa 2＝π2＋2k π(k ∈Z )，因为-1<a <0，所以a ＝-22.故选B . 4．(2015·浙江)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( )A ．f (sin2x )＝sin xB ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x＋1|解：选项A 中：取x ＝0，π2，可得f (0)＝0且f (0)＝1，这与函数定义矛盾，错误；选项B 中：取x ＝0，π2，可得f (0)＝0且f (0)＝π24＋π2，这与函数定义矛盾，错误；选项C 中：取x ＝1，-1，可得f (2)＝2且f (2)＝0，这与函数定义矛盾，错误；选项D 中，取f (x )＝x ＋1，那么有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|对任意x ∈R 成立．故选D .5．(2015·四川模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：(1)y ＝2x 2＋1，x ∈{-2}； (2)y ＝2x 2＋1，x ∈{2}； (3)y ＝2x 2＋1，x ∈{-2，2}．那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个解：由题意，当函数值为1时，x ＝0；当函数值为5时，x ＝±2，故符合条件的定义域有{0，2}，{0，-2}，{0，2，-2}．所以函数解析式为y ＝2x2＋1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有3个．故选C .6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ≤x ＜0，-x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，-3]B ．D ．{-3}解：当0≤x ≤4时，f (x )∈；当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12a ，-1，所以⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12a ，-1⊆，-8≤-12a <-1，即-3≤a <0.故选B .7．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 解：设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t -1，代入f (x ＋1)＝x ＋2x ，得f (t )＝t 2-1(t ≥1)， 所以f (x )＝x 2-1(x ≥1)．故填x 2-1(x≥1)． 8．(2016·长春市三调)已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (-2)＋f (-1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝________.解：因为f (x )＋f (-x )＝22x＋1＋sin x ＋22-x＋1-sin x ＝22x ＋1＋2x ＋11＋2x ＝2，且f (0)＝1，所以f (-2)＋f (-1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5.故填5.9．函数f (x )＝x 2＋x -14.(1)若函数f (x )的定义域为，求f (x )的值域；(2)若f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12，116，且定义域为，求b -a 的最大值．解：因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122-12， 所以其图象的对称轴为x ＝-12.(1)因为3≥x ≥0＞-12，所以f (x )的值域为，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤-14，474. (2)因为x ＝-12时，f (x )＝-12是f (x )的最小值，所以x ＝-12∈，令x 2＋x -14＝116，得x 1＝-54，x 2＝14，根据f (x )的图象知当a ＝-54，b ＝14时，b -a 取最大值14-⎝ ⎛⎭⎪⎫-54＝32. 10．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/小时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/小时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100 (x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得-72≤x ≤70. 因为x ≥0，所以0≤x ≤70. 故行驶的最大速度是70千米/小时．(2016·广州模拟)已知映射f ：P (m ，n )→P ′(m ，n )(m ≥0，n ≥0)．设点A (1，3)，B (2，2)，点M 是线段AB 上一动点，f ：M →M ′.当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M ′所经过的路线长度为( )A.π12B.π6C.π4D.π3 解： 因为点A (1，3)，B (2，2)，所以线段AB 的方程为x ＋y ＝4(1≤x ≤2)．设M ′(x ，y )，则M (x 2，y 2)，又因为点M 是线段AB 上一动点，所以x 2＋y 2＝4(1≤x ≤2)，所以点M 的对应点M ′的轨迹是一段圆弧，且该圆弧所对圆心角为π3-π4＝π12，所以点M 的对应点M ′所经过的路线长度为π12×2＝π6.故选B .。

第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第一节 函数及其表示突破点(一) 函数的定义域1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．本节主要包括3个知识点：1.函数的定义域；2.函数的表示方法；分段函数.(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] (2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12， 所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点[典例] (1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．(3)用1x 代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，通过换元的方法可得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)． 答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)(2017·张掖高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12 21log 5＋ C.12D.120[解析] (1)因为f (－2)＝2－2＝14，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－ 14＝12，故选C. (2)因为2<log 25<3，所以3<1＋log 25<4，则4<2＋log 25<5，则f (1＋log 25)＝f (1＋log 25＋1)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫12 22log 5＋＝14×⎝⎛⎭⎫12 2log 5＝14×15＝120，故选D. [答案] (1)C (2)D [方法技巧]分段函数求值的解题思路求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．求参数或自变量的值或范围[例2] (1)(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，x 2，x ≤0，若f (4)＝2f (a )，则实数a 的值为( )A ．－1或2B ．2C ．－1D ．－2(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．[解析] (1)f (4)＝log 24＝2，因而2f (a )＝2，即f (a )＝1，当a >0时，f (a )＝log 2a ＝1，因而a ＝2，当a ≤0时，f (a )＝a 2＝1，因而a ＝－1，故选A.(2)当x <1时，由e x －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x 13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.[答案] (1)A (2)(－∞，8][方法技巧]求分段函数自变量的值或范围的方法求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 2，x >0，则f (f (－1))＝( )A ．2B ．1 C.14D.12解析：选C 由题意得f (－1)＝1－2－1＝12，则f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 2．[考点一]已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫23的值为( ) A.12B ．－12C ．1D ．－1解析：选B f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋1＝－12. 3．[考点一]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2， 解得b ＝1.f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.4．[考点二]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1. 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.5．[考点二]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为________．解析：由条件可知，当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3，所以x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝3x 20＝3，所以x 0＝－1.所以实数x 0的值为－1或1.答案：－1或16．[考点二]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2][全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选C ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：选A 由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x >0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：选D y ＝|f (x )|的图象如图所示，y ＝ax 为过原点的一条直线，当|f (x )|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线的斜率，显然，k ＝－2.所以a 的取值范围是[－2,0]．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )解析：选C A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．2．若函数f (x ＋1)的定义域为[0,1]，则f (2x －2)的定义域为( ) A ．[0,1] B ．[log 23,2] C ．[1，log 23]D ．[1,2]解析：选B ∵f (x ＋1)的定义域为[0,1]，即0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2.∵f (x ＋1)与f (2x －2)是同一个对应关系f ，∴2x －2与x ＋1的取值范围相同，即1≤2x －2≤2，也就是3≤2x ≤4，解得log 23≤x ≤2.∴函数f (2x －2)的定义域为[log 23,2]．3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .4．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12.答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg (x －1)的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D 要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg (x －1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －10)≤0，x >1，x ≠2，解得1<x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C f ⎝⎛⎭⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52.故f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 3．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1解析：选A 令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2， ② 联立①②得f (1)＝2.4．(2017·贵阳检测)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么c 和a 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 解析：选D 因为组装第a 件产品用时15分钟， 所以ca＝15，① 所以必有4<a ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，a ＝16.5．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D 当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.6．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足“倒负”变换；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足“倒负”变换；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.二、填空题7．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，f (x ＋1 001)＝2f (x )＋1，已知f (15)＝1，则f (2 017)＝________.解析：根据题意，f (2 017)＝f (1 016＋1 001)＝2f (1 016)＋1，f (1 016)＝f (15＋1 001)＝2f (15)＋1，而f (15)＝1，所以f (1 016)＝21＋1＝1，则f (2 017)＝2f (1 016)＋1＝21＋1＝1.答案：18．(2017· 绵阳诊断)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案：－349．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：710．定义函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式(x ＋1)f (x )>2的解集是________．解析：①当x >0时，f (x )＝1，不等式的解集为{x |x >1}；②当x ＝0时，f (x )＝0，不等式无解；③当x <0时，f (x )＝－1，不等式的解集为{x |x <－3}．所以不等式(x ＋1)·f (x )>2的解集为{x |x <－3或x >1}．答案：{x |x <－3或x >1} 三、解答题11．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节函数的单调性与最值本节主要包括2个知识点：1.函数的单调性；函数的最值.突破点(一)函数的单调性1．单调函数的定义2.单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．1．复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．2．函数单调性的性质(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≠0)与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )单调性相反；(4)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≥0)与y ＝f (x )单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．[例1] (1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |(2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)[解析] (1)当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． (2)设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． [答案] (1)C (2)B [易错提醒](1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x 1，x 2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．函数单调性的应用应用(一) 比较函数值或自变量的大小[例2] 已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c[解析] 由f (x )的图象关于直线x ＝1对称，可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，∴b >a >c . [答案] D应用(二) 解函数不等式[例3] f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)[解析] 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x ) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.[答案] B [方法技巧]用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(2)有时，在不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式．如若已知f (a )＝0，f (x －b )<0，则f (x －b )<f (a )．应用(三) 求参数的取值范围[例4] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 (2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述得－14≤a ≤0.(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.[答案] (1)D (2)D[易错提醒](1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的． (2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．2．[考点二·应用(一)]已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )解析：选C 由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π，且0<12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |>0，∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )．3．[考点二·应用(二)](2017·太原模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f log 19x >0的x 的集合为________．解析：由题意，y ＝f (x )为奇函数且f ⎝⎛⎭⎫12＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， 又y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增， 于是⎩⎪⎨⎪⎧log 19x >0，f log 19x >f ⎝⎛⎭⎫12或⎩⎪⎨⎪⎧log 19x <0，f log 19x >f ⎝⎛⎭⎫－12，即⎩⎪⎨⎪⎧log 19x >0，log 19x >12或⎩⎪⎨⎪⎧log19x <0，log 19x >－12，解得0<x <13或1<x <3.答案：⎝⎛⎭⎫0，13∪(1,3) 4．[考点二·应用(三)]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．解析：由已知条件得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.答案：⎣⎡⎭⎫32，25．[考点一]用定义法讨论函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的单调性．解：函数的定义域为{x |x ≠0}．任取x 1，x 2∈{x |x ≠0}，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋ax 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1·x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2. 令x 1＝x 2＝x 0,1－ax 20＝0可得到x 0＝±a ，这样就把f (x )的定义域分为(－∞，－a ]，[－a ，0)，(0，a ]，[a ，＋∞)四个区间，下面讨论它的单调性．若0<x 1<x 2≤a ，则x 1－x 2<0,0<x 1x 2<a ，所以x 1x 2－a <0.所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋ax 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1·x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，a ]上单调递减． 同理可得，f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，－a ]上单调递增，在[－a ，0)上单调递减．故函数f (x )在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．突破点(二) 函数的最值1.函数的最值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．1．(1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值．2．分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．[典例] (1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________． (2)函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________．(3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．[解析] (1)法一：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1， ∴原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0. 配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 又∵t ≥0，∴y ≥14＋34＝1.故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在其定义域[1，＋∞)内为增函数，所以当x ＝1时y 取最小值，即y min ＝1.(2)y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1＝2(x 2－x ＋1)＋1x 2－x ＋1＝2＋1x 2－x ＋1＝2＋1⎝⎛⎭⎫x －122＋34. ∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴2<2＋1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤2＋43＝103.故函数的值域为⎝⎛⎦⎤2，103. (3)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.[答案] (1)1 (2)⎝⎛⎦⎤2，103 (3)2 [方法技巧] 求函数最值的五种常用方法1．已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034解析：选D 由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝2 018－22 018x＋1.∵y ＝2 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 018－22 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a＋1－22 018－a ＋1＝4 034. 2．(2017·贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，且1－2＝13－2＝－1.∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f (x )在区间[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：34．(2017·益阳模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12.令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，785．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，则h (x )max ＝h (2)＝1.答案：1[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析：选A ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋(－x )2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1<0⇔13<x <1.故选A.2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为________．解析：∵点(1,0)，(－1,0)在f (x )的图象上，且图象关于直线x ＝－2对称， ∴点(－5,0)，(－3,0)必在f (x )的图象上．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－5)＝(1－25)(25－5a ＋b )＝0，f (－3)＝(1－9)(9－3a ＋b )＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 5a －b ＝25，3a －b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝15.∴f (x )＝(1－x 2)(x 2＋8x ＋15) ＝－(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x ＋5) ＝－(x 2＋4x ＋3)(x 2＋4x －5) 令t ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4≥－4， 则y ＝－(t ＋3)(t －5) ＝－(t 2－2t －15)＝－(t －1)2＋16.故当t ＝1时，f (x )max ＝16. 答案：16[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：选C 二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2. 3．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x <0＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的大致图象，如图所示．由图易知函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增，故选B.4．函数f (x )＝2x －1在[－6，－2]上的最大值是________；最小值是________． 解析：因为f (x )＝2x －1在[－6，－2]上是减函数，故当x ＝－6时，f (x )取最大值－27.当x＝－2时，f (x )取最小值－23.答案：－27 －235．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，12[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0<12<1，故y ＝log12(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y ＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (0)>f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)解析：选A 依题意得f (3)＝f (1)，且－1<1<2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数得f (－1)<f (1)＝f (3)．3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 解析：选B 令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18.因为u ＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在R 上单调递减．所以y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，34. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13D.⎣⎡⎭⎫17，1解析：选C 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a >0在x <1时恒成立，令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a ≥0，解得17≤a ＜13.此时，log a x 是减函数，符合题意．5．(2017·九江模拟)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.6．(2017·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选D ∵f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，∴a ≤1，又∵g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，∴a >0，∴0<a ≤1.二、填空题7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞) 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，由函数图象易得函数g (x )的单调递减区间是[0,1)．答案：[0,1)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：22－310．(2017·豫南名校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a 2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2.答案：(－∞，－2) 三、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．12．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a ，当a >1时，a －1a >0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1a <0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1. 第三节函数的奇偶性及周期性突破点(一) 函数的奇偶性1．函数的奇偶性2.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．本节主要包括3个知识点： 1.函数的奇偶性； 2.函数的周期性；函数性质的综合问题.。

§2.1函数及其表示考纲展示► 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．考点1 函数的概念1.函数与映射的概念2．函数由定义域、________和值域三个要素构成．答案：对应关系3．相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．答案：定义域对应关系[教材习题改编]以下属于函数的有________．①y＝±x；②y2＝x＋1；③y＝－x＋x－3；④y＝x2－2(x∈N)．解析：①②中，对于定义域内任意一个数x，可能有两个不同的y值，不满足对应的唯一性，所以①②错误；③中，定义域是空集，而函数的定义域是非空的数集，所以③错误．函数与映射理解的误区：唯一性；非空数集．如图表示的是从集合A到集合B的对应，其中________是映射，________是函数．答案：①②④①②解析：函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，所以③不是映射也不是函数；①②④表示的对应是映射；①②是函数，由于④中集合A，B不是数集，所以不是函数．[典题1] (1)下列四个图象中，是函数图象是( )A．①B．①③④C．①②③D．③④[解析] ②中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；①③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.(2)下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 [答案] A[解析] A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )； B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同；C 中，f (x )＝x ＋1(x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )， ∴两函数的定义域不同；D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}；g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选A. (3)下列集合A 到集合B 的对应f 中：①A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方； ②A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方； ③A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数；④A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值． 是从集合A 到集合B 的函数的为________． [答案] ①[解析] ②中，由于1的开方数不唯一，因此f 不是A 到B 的函数；③中，A 中的元素0在B 中没有对应元素；④中，A 中的元素0在B 中没有对应元素．[点石成金] 函数的三要素：定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定．因此当且仅当定义域和对应法则都相同时，函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．考点2 函数的定义域对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域．(1)[教材习题改编]函数f(x)＝2x－1＋1x－2的定义域为( )A．[0,2)B．(2，＋∞)C．[0,2)∪(2，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案：C(2)[教材习题改编]若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )A BC D答案：B定义域问题的两个易错点：忽略定义域；化简后求定义域．(1)已知长方形的周长为12，设一边长为x ，则其面积y 关于x 的函数解析式为________． 答案：y ＝x (6－x )(0＜x ＜6)解析：因为长方形一边长为x ，则另一边长为12－2x 2＝6－x ，所以y ＝x (6－x )．又x ＞0,6－x ＞0，所以0＜x ＜6.如果不考虑x 的范围，会扩大x 的范围，这样会使实际问题失去意义．(2)函数y ＝x 2＋x －2x －1的定义域为________．答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：要使函数有意义，应使x －1≠0，即x ≠1，所以函数定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．本题如果对解析式化简会有y ＝x 2＋x －2x －1＝x ＋x －x －1＝x ＋2，从而得函数定义域为R ，所以在求解定义域时，不能对函数变形、化简，以免定义域发生变化．[考情聚焦] 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．主要有以下几个命题角度： 角度一求给定函数解析式的定义域[典题2] (1)[2017·山东淄博月考]函数f (x )＝2－xlg x的定义域是( ) A ．(0,2) B ．(0,1)∪(1,2) C ．(0,2] D ．(0,1)∪(1,2][答案] D[解析] 要使函数有意义，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ≥0，x >0，lg x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x >0，x ≠1.所以0<x ≤2且x ≠1，所以函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1,2]，故选D. (2)[2017·山东青州高三模拟]函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2][答案] A[解析] 函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x >0⇒1<x <2，故选A.角度二求抽象函数的定义域[典题3] (1)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg 2][答案] C[解析] 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2. 因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则， 所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100， 所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．(2)[2017·河北唐山模拟]已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12的定义域是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 [解析] 因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12中的自变量x 需要满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.角度三已知定义域确定参数问题[典题4] [2017·安徽合肥模拟]若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a－1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．[答案] [－1,0][解析] 函数f (x )的定义域为R ， 所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0， 解得－1≤a ≤0.[点石成金] 求函数定义域的两种方法续表函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、 ________.答案：解析法 图象法 列表法[典题5] (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________.[答案] lg2x －1(x >1) [解析] 令t ＝2x ＋1(t ＞1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1， 即f (x )＝lg2x －1(x ＞1)． (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. [答案] 2x ＋7[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，则f (x )＝________.[答案] 2x －1x(x ≠0)[解析] ∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，① 以1x代替①式中的x (x ≠0)，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋f (x )＝3x.②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x(x ≠0)．(4)[2017·山东青岛一中检测]奇函数f (x )在(0，＋∞)上的表达式为f (x )＝x ＋x ，则在(－∞，0)上f (x )的表达式为f (x )＝________.[答案] x －－x[解析] 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－x ＋－x .又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝x －－x ， 即x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －－x . [点石成金] 求函数解析式的方法1.已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案：x 2－1(x ≥1)解析：令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2， 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．2．已知f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________． 答案：f (x )＝x 2－x ＋3解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋3.考点4 分段函数及其应用1.分段函数的定义若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．答案：对应关系 2．分段函数的性质(1)分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量的取值集合的________．(2)分段函数的值域是各段函数值的________，它的最大值取各段最大值中最大的，最小值取各段最小值中最小的．(3)分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，若符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减；若不符合，则必须分区间说明单调性．答案：(1)并集 (2)并集[考情聚焦] 分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．主要有以下几个命题角度： 角度一求分段函数的函数值或取值范围[典题6] [2017·广东广州模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1，log 2－x ，x <1，则f (f (4))＝________；若f (a )<－1，则a 的取值范围为________．[答案] 5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)[解析] f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.当a ≥1时，由－2a 2＋1<－1，得a 2>1， 解得a >1；当a <1时，由log 2(1－a )<－1， 得log 2(1－a )<log 212，∴0<1－a <12，∴12<a <1.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．角度二分段函数的图象与性质的应用[典题7] 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)[答案] D[解析] 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3.解x 2－1－(4＋x )<1，得－2<x <3. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈－∞，－2]∪[3，＋，x 2－1，x ∈－2，其图象如图实线所示．由图可知，当－2≤k <1时，函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，故选D.[点石成金] 分段函数应用的常见题型与破解策略整合.[方法技巧] 1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法． [易错防范] 1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域，如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式时，通过换元的方法可得f (x )＝x 2＋1，这个函数的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．2．求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f (x 0)时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．真题演练集训1．[2013·大纲全国卷]已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案：B解析：∵f (x )的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x <－12.2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案：C解析：∵ －2<1，∴ f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24 ＝1＋2＝3.∵ log 212>1，∴ f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴ f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.3．[2015·浙江卷]存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 答案：D解析：取特殊值法．取x ＝0，π2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x ＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误； 取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确． 综上可知，故选D.4．[2014·山东卷]函数f (x )＝12x2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案：C解析：(log 2x )2－1＞0，即log 2x ＞1或log 2x ＜－1，解得x ＞2或0＜x ＜12，故所求的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 5．[2014·上海卷]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案：D解析：∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2， 又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时等号成立．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2， ∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．[2016·江苏卷]函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案：[－3,1]解析：要使函数y ＝3－2x －x 2有意义，则3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1，则函数y ＝3－2x －x 2的定义域是[－3,1]．课外拓展阅读已知定义域求参数问题[典例1] 已知函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域为R ，求实数k 的值．[解] 函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域即使k 2x 2＋3kx ＋1≠0的实数x 的集合．由函数的定义域为R ，得方程k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解． 当k ＝0时，函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1＝1，函数的定义域为R ，因此k ＝0符合题意；当k ≠0时，k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解，即Δ＝9k 2－4k 2＝5k 2<0，不等式不成立．所以实数k的值为0.归纳总结已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．如本题中将求参问题转化为方程无解的问题．[典例2] 已知函数y ＝ax ＋1(a <0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．[解] 由题意知ax ＋1≥0，a <0，所以x ≤－1a，即函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1a .因为函数在(－∞，1]上有意义， 所以(－∞，1]⊆⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1a ，所以－1a≥1.又a <0，所以－1≤a <0，即a 的取值范围是[－1,0)．温馨提示函数在(－∞，1]上有意义，说明函数的定义域包含区间(－∞，1]，使函数有意义的自变量的集合是定义域的子集．已知分段函数图象求解析式已知函数的图象求函数的解析式y ＝f (x )，如果自变量x 在不同的区间上变化时，函数y ＝f (x )的解析式也不同，应分类求解．此时应根据图象，结合已学过的基本函数的图象，选择相应的解析式，用待定系数法求解，其函数解析式一般为分段函数．要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重也不漏．[典例3] 根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．[解] 当－3≤x <－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)， 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；当－1≤x <1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入， 可得f (x )＝32x －12；当1≤x <2时，f (x )＝1.综上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x <－1，32x －12，－1≤x <1，1，1≤x <2.方法探究由图象求函数的解析式，需充分挖掘图象中提供的点的坐标，合理利用待定系数法求解．对于分段函数，需观察各段图象的端点是空心点还是实心点，正确写出各段解析式对应的自变量的范围．。

第二章函数概念与基本初等函数I 2.4 二次函数与幂函数教师用书理苏教版1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(2)二次函数的图象和性质(1)定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图象过定点(1，1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 【知识拓展】1.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.2.幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数.( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )(4)函数122y x =是幂函数.( × )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( √ ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n是定义域上的减函数.( × )1.(教材改编)若幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (9)＝________. 答案 27解析 设f (x )＝x α，则2α＝22， ∴α＝32，∴f (x )＝32x .∴f (9)＝329＝27.2.(教材改编)设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值和为__________. 答案 4解析 当α＝1，3时，函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数；当α＝－1时，y ＝1x的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }；当α＝12时，y ＝12x ＝x 的定义域是{x |x ≥0}.∴满足题意的a 值为1和3，其和为4.3.(教材改编)函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝______. 答案 －3解析 f (x )＝2(x －m4)2＋3－m 28，由题意m4＝2，∴m ＝8，∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.4.已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________. 答案 [1，2]解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1，2].5.(教材改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减. 答案 y ＝12x- (0，＋∞)解析 设f (x )＝x a，则2a＝22， ∴a ＝－12，即幂函数的解析式为y ＝12x -，单调减区间为(0，＋∞).题型一 求二次函数的解析式例1 (1)(2016·南京模拟)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式. 解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2. ∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， 又f (x )的图象过点(4，3)， ∴3a ＝3，a ＝1，∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.思维升华 求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ，由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴－a ＝－(－2a b)，即b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4. 题型二 二次函数的图象和性质 命题点1 二次函数的单调性例2 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是__________. 答案 [－3，0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件. 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3，0]. 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知a <0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3. 命题点2 二次函数的最值例3 已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值. 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上 且对称轴为x ＝1a.①当0<1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]内，∴f (x )在[0，1a ]上单调递减，在[1a，1]上单调递增.∴f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上单调递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下 且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.命题点3 二次函数中的恒成立问题例4 (1)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12解析 2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立. 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12. (2)(2016·江苏徐州一中质检改编)若14t 2－kt －1≤0在t ∈[－1，1]上恒成立，求实数k 的取值范围.解 求二次函数f (t )＝14t 2－kt －1在给定区间[－1，1]上的最大值M ，二次函数f (t )的图象的对称轴为直线t ＝2k .①当2k ∈[－1，1]，即k ∈[－12，12]时，M ＝f (－1)或f (1)，由M ≤0，得f (－1)≤0且f (1)≤0，解得－34≤k ≤34，又k ∈[－12，12]，故－12≤k ≤12；②当2k <－1，即k <－12时，函数f (t )在[－1，1]上单调递增，故M ＝f (1)＝14－k －1，由M ≤0，得k ≥－34，又k <－12，故－34≤k <－12；③当2k >1，即k >12时，函数f (t )在[－1，1]上单调递减，故M ＝f (－1)＝14＋k －1，由M ≤0，得k ≤34，又k >12，故12<k ≤34.综上知，实数k 的取值范围为[－34，34].思维升华 (1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 由题意得a >2x －2x2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.(2)已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值. 解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1. 综上，当－2<a ≤1时，y min ＝a 2－2a ，当a >1时，y min ＝－1. 题型三 幂函数的图象和性质 例5 (1)若12(21)m +>122(1)m m +-，则实数m 的取值范围是__________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析 因为函数y ＝12x 的定义域为[0，＋∞) 且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2. 综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. (2)已知函数f (x )＝x －m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3)<f (5)，求m 的值，并确定f (x )的函数解析式.解 由f (3)<f (5)，得3－m ＋3<5－m ＋3，所以(35)－m ＋3<1＝(35)0.因为y ＝(35)x是减函数，所以－m ＋3>0.解得m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1或2； 当m ＝2时，f (x )＝x －m ＋3＝x 为奇函数，所以m ＝2舍去. 当m ＝1时，f (x )＝x－m ＋3＝x 2为偶函数，所以m ＝1，此时f (x )＝x 2.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.(2016·盐城模拟)幂函数的图象经过点(4，2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是________.①f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b)②f (1a )<f (1b)<f (b )<f (a )③f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a)④f (1a)<f (a )<f (1b)<f (b )答案 ③解析 设幂函数为f (x )＝x α，将(4，2)代入得α＝12，所以f (x )＝12x ，该函数在(0，＋∞)上为增函数， 又0<a <b <1，所以1a >1b>1，即a <b <1b <1a，所以f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a).3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例 (14分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值. 思想方法指导 已知函数f (x )的最值，而f (x )图象的对称轴确定，要讨论a 的符号. 规范解答解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a . [2分](1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； [4分](2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；[9分](3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.[12分]综上可知，a 的值为38或－3.[14分]1.(教材改编)幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，4)，那么函数f (x )的单调递增区间是__________. 答案 [0，＋∞)解析 把点(2，4)代入函数解析式得4＝2α，所以α＝2，故f (x )＝x 2，所以函数的单调递增区间为[0，＋∞).2.(教材改编)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么f (－2)，f (0)，f (2)大小关系为____________. 答案 f (0)＜f (2)＜f (－2)解析 函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x ).可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大.3.已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是____________. 答案 [0，4]解析 由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)， 若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.4.若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是____________. 答案 [32，3]解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈[32，3].5.若a <0，(12)a 、(0.2)a 、2a大小关系为__________.答案 (0.2)a>(12)a >2a解析 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是单调减函数，又∵0.2<12<2，∴(0.2)a>(12)a >2a .6.已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________. 答案 {1}解析 由定义域为R ，则x 2－2x ＋a ≥0恒成立.又值域为[0，＋∞)，则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点，所以Δ＝4－4a ＝0，则a ＝1，所以实数a 的取值集合为{1}. 7.(2016·连云港模拟)已知幂函数f (x )＝12x -，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________. 答案 (3，5)解析 ∵幂函数f (x )＝12x -单调递减，定义域为(0，＋∞)，∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5.8.(2016·无锡模拟)已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________________. 答案 [1，2]解析 作出已知函数的图象如图所示，当x ＝1时，y 最小，最小值为2； 当x ＝2时，y ＝3；当x ＝0时，y ＝3. 由图象知m 的取值范围是[1，2].*9.若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________. 答案 [0，2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋，x 2＋ax －a ，x －∞，，x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝(x －a 2)2＋a －a 24，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a ＝(x ＋a2)2－a －a 24.①当a 2>1，即a >2时，f (x )在[1，a2)上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，不合题意； ②当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意；③当a2<0，即a <0时，不符合题意.综上，a 的取值范围是[0，2].10.若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ] (b >1)，则a ＋b ＝________.答案 92解析 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3.∴a ＋b ＝92.11.(2016·江苏赣榆高级中学质检)设函数f (x )＝x 2－3x ＋a .若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为________. 答案 (0，94]解析 方法一 由f (x )＝0，得a ＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94.因为x ∈(1，3)，所以－(x －32)2＋94∈(0，94]，所以a ∈(0，94].方法二 因为f (x )＝x 2－3x ＋a ＝(x －32)2－94＋a ，所以要使函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则需f (32)≤0且f (3)>0，解得0<a ≤94.12.(2016·江苏淮阴中学期中)已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两个实数根是α，β，且有1<α<2<β<3，则实数a 的取值范围是__________. 答案 (2，115)解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋a ＋2>0，4－4a ＋a ＋2<0，9－6a ＋a ＋2>0，解得2<a <115，所以实数a 的取值范围为(2，115).13.(2016·江苏泰州中学质检)已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ].若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为__________. 答案 (0，1)∪{2}解析 因为f (x )＝(x －1)2＋a －1，且f (0)＝f (2)＝a ，当a －1≥－a ，即a ≥12时，此时恒有[a －1，a ]⊆[－a ，a ]，故t ∈(0，2]，从而它的最大值为2；当a －1<－a ，即0<a <12，此时t ∈(0，1)且t 2－2t ＋a ≥－a 在0<a <12上恒成立，即t ≥1＋1－2a(不成立，舍去)或t ≤1－1－2a ，由于0<a <12，故t ∈(0，1).综上，g (a )的值域为(0，1)∪{2}. 14.已知幂函数f (x )＝223m m x --(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数.(1)求函数f (x )；(2)讨论F(x)＝a f x－bxf x的奇偶性.解(1)∵f(x)是偶函数，∴m2－2m－3应为偶数. 又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调减函数，∴m2－2m－3<0，－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0，1，2.当m＝0或2时，m2－2m－3＝－3不是偶数，舍去；当m＝1时，m2－2m－3＝－4，∴m＝1，即f(x)＝x－4.(2)F(x)＝ax2－bx3，∴F(－x)＝ax2＋bx3.①当a≠0且b≠0时，函数F(x)为非奇非偶函数；②当a≠0且b＝0时，函数F(x)为偶函数；③当a＝0且b≠0时，函数F(x)为奇函数；④当a＝0且b＝0时，函数F(x)既是奇函数，又是偶函数.。

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.5指数与指数函数教师用书1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m na＝1 m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r ＋s，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质【知识拓展】1．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，(－1，1a)．2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)na n＝(na )n＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为m n个a 相乘．( × ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x是R 上的增函数．( × ) (5)函数21x y a +=(a >1)的值域是(0，＋∞)．( × )(6)函数y ＝2x －1是指数函数．( × )1．(2016·临安中学期末)已知函数f (x )＝ax －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为( )A ．(0,1)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,2) 答案 B解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2,3)． 2．已知a ＝(35)13-，b ＝(35)14-，c ＝(32)34-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <b ．a <b <c C ．b <a <c ．c <b <a答案 D解析 ∵y ＝(35)x是减函数，∴(35)13->(35)14->(35)0， 即a >b >1，又c ＝(32)34-<(32)0＝1，∴c <b <a .3．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫3213-×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42________.答案 2解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2. 4．函数y ＝8－23－x(x ≥0)的值域是________．答案 [0,8)解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y ＝8－23－x的值域为[0,8)．题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a23÷(a23-－23b a)×a ·3a 25a ·3a.解 (1)原式＝{[(641 000)15]52-}23－(278)13－1＝[(410)3]152()523⨯-⨯－[(32)3]13－ 1＝52－32－1＝0. (2)原式＝a 13a133－b133]a132＋a13b 13＋b132÷a 13－2b13a×a ·a2312a 12·a1315＝a 13(a 13－2b 13)×aa 13－2b 13×a 56a16＝a 13×a ×a 23＝a 2.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．化简(14)12-·4ab－13－1a 3·b －312＝________.答案 85解析 原式＝2×23·a 32·b32-10·a 32·b32-＝21＋3×10－1＝85.题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个(2)已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a<2cD ．2a＋2c<2答案 (1)B (2)D解析 (1)如图，观察易知，a ，b 的关系为a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.(2)作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)(2017·湖州调研)已知函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，则函数g(x)＝ax ＋b的图象可能是( )(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案 (1)A (2)[－1,1]解析 (1)由f (x )的单调性知0<a <1， 又x ＝0时，a －b>1，x ＝1时，a1－b<1，∴0<b <1，对照图象知g (x )的图象可能是A.(2)曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·绍兴模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)(－3,1)解析 (1)选项B 中，∵y ＝0.6x是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a－7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3， ∴a >－3.又a <0，∴－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. ∴0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3,1)． 命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f (x )＝22x m-(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12221x x -+-的单调减区间为_____________________________________．答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝22x m-在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． 引申探究 函数f (x )＝142x x +-的单调增区间是________．答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)， 令2x≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝142xx +-的单调增区间是[0，＋∞)．命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________． (2)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为x ∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8， 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[1a，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)． 当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[a ，1a]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3,0) C ．[－3，－1]D ．{－3}(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________． 答案 (1)B (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]， 当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a，－1)，所以[－12a ，－－8,1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x－12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.2．指数函数底数的讨论典例 (2016·金华模拟)已知函数y ＝b ＋22x xa+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52， 则a ，b 的值分别为________．错解展示解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a≤b ＋a t≤b ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.答案 2,2 现场纠错解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1,0]．①若a >1，函数f (x )＝a t在[－1,0]上为增函数， ∴a t∈[1a ，1]，b ＋22x x a +∈[b ＋1a，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (x )＝a t在[－1,0]上为减函数，∴a t∈[1，1a]，则b ＋22x xa+∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.答案 2,2或23，32纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1．(2016·宁波模拟)设2x＝8y ＋1,9y＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．27 答案 D 解析 ∵2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y＝3x －9＝32y，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27. 2．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )答案 B解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除C 、D.又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除A.故选B.3．已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >a答案 A解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y ＝0.4x 在R 上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b >c . 又a ＝40.2>40＝1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)答案 C解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.故选C.5．(2015·山东)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为() A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x＋12x －a ，整理得(a －1)(2x＋1)＝0，∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3， 当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解．∴x 的取值范围为(0,1)．*6.(2016·富阳模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,1]C ．(0,1]D ．(－∞，1] 答案 B解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域为f (x )，x ∈[－2,2]的值域的子集． 经分析知f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1,2a ＋1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0. 综上可得－1≤a ≤1. 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由ex －1≤2，得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立； 当x ≥1时，由x 13≤2，得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是(－∞，8]．8．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．答案 (0，12) 解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9．(2016·武汉模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．答案 [－14，14] 解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0<t ≤1， f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14.∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14]． ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0]． 故函数的值域为[－14，14]． 10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,2)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 11．已知函数f (x )＝(23)|x |－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t ， 不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝(23)－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12．已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3x x --+， 令t ＝－x 2－4x ＋3， 由于t 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3 ＝(12)2x －2λ·(12)x ＋3(－1≤x ≤2)． 设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2)． 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2)． 所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34. 所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34， 故函数f (x )的值域为[34，3716]． (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)． ①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916， 令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14， 不符合，舍去；②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3， 令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合，舍去)； ③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合，舍去． 综上所述，实数λ的值为 2.。

第二章函数概念与基本初等函数I 2.4 二次函数与幂函数教师用书理苏教版1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(2)二次函数的图象和性质(1)定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图象过定点(1，1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 【知识拓展】1.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.2.幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数.( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )(4)函数122y x =是幂函数.( × )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( √ ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n是定义域上的减函数.( × )1.(教材改编)若幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (9)＝________. 答案 27解析 设f (x )＝x α，则2α＝22， ∴α＝32，∴f (x )＝32x .∴f (9)＝329＝27.2.(教材改编)设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值和为__________. 答案 4解析 当α＝1，3时，函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数；当α＝－1时，y ＝1x的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }；当α＝12时，y ＝12x ＝x 的定义域是{x |x ≥0}.∴满足题意的a 值为1和3，其和为4.3.(教材改编)函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝______. 答案 －3解析 f (x )＝2(x －m4)2＋3－m 28，由题意m4＝2，∴m ＝8，∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.4.已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________. 答案 [1，2]解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1，2].5.(教材改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减. 答案 y ＝12x- (0，＋∞)解析 设f (x )＝x a，则2a＝22， ∴a ＝－12，即幂函数的解析式为y ＝12x -，单调减区间为(0，＋∞).题型一 求二次函数的解析式例1 (1)(2016·南京模拟)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式. 解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2. ∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， 又f (x )的图象过点(4，3)， ∴3a ＝3，a ＝1，∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.思维升华 求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ，由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴－a ＝－(－2a b)，即b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4. 题型二 二次函数的图象和性质 命题点1 二次函数的单调性例2 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是__________. 答案 [－3，0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件. 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3，0]. 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知a <0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3. 命题点2 二次函数的最值例3 已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值. 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上 且对称轴为x ＝1a.①当0<1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]内，∴f (x )在[0，1a ]上单调递减，在[1a，1]上单调递增.∴f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上单调递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下 且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.命题点3 二次函数中的恒成立问题例4 (1)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12解析 2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立. 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12. (2)(2016·江苏徐州一中质检改编)若14t 2－kt －1≤0在t ∈[－1，1]上恒成立，求实数k 的取值范围.解 求二次函数f (t )＝14t 2－kt －1在给定区间[－1，1]上的最大值M ，二次函数f (t )的图象的对称轴为直线t ＝2k .①当2k ∈[－1，1]，即k ∈[－12，12]时，M ＝f (－1)或f (1)，由M ≤0，得f (－1)≤0且f (1)≤0，解得－34≤k ≤34，又k ∈[－12，12]，故－12≤k ≤12；②当2k <－1，即k <－12时，函数f (t )在[－1，1]上单调递增，故M ＝f (1)＝14－k －1，由M ≤0，得k ≥－34，又k <－12，故－34≤k <－12；③当2k >1，即k >12时，函数f (t )在[－1，1]上单调递减，故M ＝f (－1)＝14＋k －1，由M ≤0，得k ≤34，又k >12，故12<k ≤34.综上知，实数k 的取值范围为[－34，34].思维升华 (1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 由题意得a >2x －2x2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.(2)已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值. 解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1. 综上，当－2<a ≤1时，y min ＝a 2－2a ，当a >1时，y min ＝－1. 题型三 幂函数的图象和性质 例5 (1)若12(21)m +>122(1)m m +-，则实数m 的取值范围是__________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析 因为函数y ＝12x 的定义域为[0，＋∞) 且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2. 综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. (2)已知函数f (x )＝x －m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3)<f (5)，求m 的值，并确定f (x )的函数解析式.解 由f (3)<f (5)，得3－m ＋3<5－m ＋3，所以(35)－m ＋3<1＝(35)0.因为y ＝(35)x是减函数，所以－m ＋3>0.解得m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1或2； 当m ＝2时，f (x )＝x －m ＋3＝x 为奇函数，所以m ＝2舍去. 当m ＝1时，f (x )＝x－m ＋3＝x 2为偶函数，所以m ＝1，此时f (x )＝x 2.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.(2016·盐城模拟)幂函数的图象经过点(4，2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是________.①f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b)②f (1a )<f (1b)<f (b )<f (a )③f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a)④f (1a)<f (a )<f (1b)<f (b )答案 ③解析 设幂函数为f (x )＝x α，将(4，2)代入得α＝12，所以f (x )＝12x ，该函数在(0，＋∞)上为增函数， 又0<a <b <1，所以1a >1b>1，即a <b <1b <1a，所以f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a).3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例 (14分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值. 思想方法指导 已知函数f (x )的最值，而f (x )图象的对称轴确定，要讨论a 的符号. 规范解答解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a . [2分](1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； [4分](2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；[9分](3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.[12分]综上可知，a 的值为38或－3.[14分]1.(教材改编)幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，4)，那么函数f (x )的单调递增区间是__________. 答案 [0，＋∞)解析 把点(2，4)代入函数解析式得4＝2α，所以α＝2，故f (x )＝x 2，所以函数的单调递增区间为[0，＋∞).2.(教材改编)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么f (－2)，f (0)，f (2)大小关系为____________. 答案 f (0)＜f (2)＜f (－2)解析 函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x ).可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大.3.已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是____________. 答案 [0，4]解析 由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)， 若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.4.若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是____________. 答案 [32，3]解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈[32，3].5.若a <0，(12)a 、(0.2)a 、2a大小关系为__________.答案 (0.2)a>(12)a >2a解析 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是单调减函数，又∵0.2<12<2，∴(0.2)a>(12)a >2a .6.已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________. 答案 {1}解析 由定义域为R ，则x 2－2x ＋a ≥0恒成立.又值域为[0，＋∞)，则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点，所以Δ＝4－4a ＝0，则a ＝1，所以实数a 的取值集合为{1}. 7.(2016·连云港模拟)已知幂函数f (x )＝12x -，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________. 答案 (3，5)解析 ∵幂函数f (x )＝12x -单调递减，定义域为(0，＋∞)，∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5.8.(2016·无锡模拟)已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________________. 答案 [1，2]解析 作出已知函数的图象如图所示，当x ＝1时，y 最小，最小值为2； 当x ＝2时，y ＝3；当x ＝0时，y ＝3. 由图象知m 的取值范围是[1，2].*9.若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________. 答案 [0，2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋，x 2＋ax －a ，x －∞，，x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝(x －a 2)2＋a －a 24，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a ＝(x ＋a2)2－a －a 24.①当a 2>1，即a >2时，f (x )在[1，a2)上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，不合题意； ②当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意；③当a2<0，即a <0时，不符合题意.综上，a 的取值范围是[0，2].10.若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ] (b >1)，则a ＋b ＝________.答案 92解析 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3.∴a ＋b ＝92.11.(2016·江苏赣榆高级中学质检)设函数f (x )＝x 2－3x ＋a .若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为________. 答案 (0，94]解析 方法一 由f (x )＝0，得a ＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94.因为x ∈(1，3)，所以－(x －32)2＋94∈(0，94]，所以a ∈(0，94].方法二 因为f (x )＝x 2－3x ＋a ＝(x －32)2－94＋a ，所以要使函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则需f (32)≤0且f (3)>0，解得0<a ≤94.12.(2016·江苏淮阴中学期中)已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两个实数根是α，β，且有1<α<2<β<3，则实数a 的取值范围是__________. 答案 (2，115)解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋a ＋2>0，4－4a ＋a ＋2<0，9－6a ＋a ＋2>0，解得2<a <115，所以实数a 的取值范围为(2，115).13.(2016·江苏泰州中学质检)已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ].若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为__________. 答案 (0，1)∪{2}解析 因为f (x )＝(x －1)2＋a －1，且f (0)＝f (2)＝a ，当a －1≥－a ，即a ≥12时，此时恒有[a －1，a ]⊆[－a ，a ]，故t ∈(0，2]，从而它的最大值为2；当a －1<－a ，即0<a <12，此时t ∈(0，1)且t 2－2t ＋a ≥－a 在0<a <12上恒成立，即t ≥1＋1－2a(不成立，舍去)或t ≤1－1－2a ，由于0<a <12，故t ∈(0，1).综上，g (a )的值域为(0，1)∪{2}. 14.已知幂函数f (x )＝223m m x --(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数.(1)求函数f (x )；(2)讨论F(x)＝a f x－bxf x的奇偶性.解(1)∵f(x)是偶函数，∴m2－2m－3应为偶数. 又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调减函数，∴m2－2m－3<0，－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0，1，2.当m＝0或2时，m2－2m－3＝－3不是偶数，舍去；当m＝1时，m2－2m－3＝－4，∴m＝1，即f(x)＝x－4.(2)F(x)＝ax2－bx3，∴F(－x)＝ax2＋bx3.①当a≠0且b≠0时，函数F(x)为非奇非偶函数；②当a≠0且b＝0时，函数F(x)为偶函数；③当a＝0且b≠0时，函数F(x)为奇函数；④当a＝0且b＝0时，函数F(x)既是奇函数，又是偶函数.。

真题演练集训
．[·新课标全国卷Ⅰ]函数＝－在[－]的图象大致为( )
答案：
解析：当≥时，令函数()＝－，则′()＝－，易知′()在[，)上单
调递增，在[ ]上单调递减，又′()＝－<，′＝－>，′()＝－>，′()＝－>，所以存在∈是函数()的极小值点，即函数()在(，)上单调递减，在()上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图象为.．[·新课标全国卷Ⅱ]已知函数()(∈)满足(－)＝－()，若函数＝与＝()图象的交点为(，)，(，)，…，(，)，则(＋)＝( )
．
．
．
．
答案：
解析：因为()＋(－)＝，＝＝＋，所以函数＝()与＝的图象都关于
点()对称，所以＝，＝×＝，故选.．[·安徽卷]函数()＝
的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
．>，>，<
．<，>，>
．<，>，<
．<，<，<
答案：
解析：函数的定义域为{≠－}，结合图象知－>，∴<.令＝，得()＝，又由图象知()>，∴>.令()＝，得＝－，结合图象知－>，∴<.
故选.．[·北京卷]如图，函数()的图象为折线，则不等式()≥(＋)的解集是( )
．{－≤≤}
．{－＜≤}
．{－＜≤}
．{－＜≤}
答案：
解析：令()＝＝(＋)，作出函数()图象如图．。

§2.7 函数的图象考纲展示► 1.理解点的坐标与函数图象的关系．2．会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象． 3．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．考点1 作函数的图象1.描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)． (3)描点，连线． 2．图象变换 (1)平移变换：①y ＝f (x )的图象――→a >0，左移a 个单位a <0，右移|a |个单位y ＝________的图象；②y ＝f (x )的图象――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝________的图象．(2)对称变换：①y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝________的图象； ②y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝________的图象； ③y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝________的图象；④y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象．(3)伸缩变换： ①y ＝f (x )的图象y ＝________的图象；②y ＝f (x )的图象――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝________的图象．(4)翻转变换：①y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝________的图象；②y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴及左侧部分去掉，右侧不变y ＝________的图象．答案：(1)①f (x －a ) ②f (x )＋b (2)①－f (x ) ②f (－x ) ③－f (－x ) (3)①f (ax ) ②af (x ) (4)①|f (x )| ②f (|x |)(1)[教材习题改编]对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝0，x ，x ≠0，有下列三个说法：①图象是一个点和一条直线(去掉点(0,0))；②图象是两条直线；③图象是一个点和两条射线．其中正确的说法是________．(填序号)答案：①解析：当x ≠0时，图象是一条直线去掉点(0,0)，当x ＝0时，图象是一个点． (2)[教材习题改编]为了得到函数y ＝log 3(x ＋3)－2的图象，只需把函数y ＝log 3x 的图象上所有的点向________平移________个单位长度，再向________平移________个单位长度．答案：左 3 下 2图象变换中的误区：平移的方向；平移的大小．(1)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象． 答案：y ＝f (－x ＋1)解析：将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位长度得到函数y ＝f (－(x －1))＝f (－x ＋1)的图象(注意平移方向)．(2)把函数y ＝f (2x )的图象向右平移________个单位长度得到函数y ＝f (2x －3)的图象． 答案：32解析：本题易理解为向右平移3个单位长度，事实上把函数y ＝f (2x )的图象向右平移3个单位长度后得到的是函数y ＝f (2(x －3))＝f (2x －6)的图象.[典题1] 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|； (2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2； (4)y ＝2x ＋1x ＋1；(5)y ＝10|lg x |.[解] (1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图①所示(实线部分)．① ②(2)y ＝2x ＋1－1的图象可由y ＝2x的图象向左平移1个单位，得y ＝2x ＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．③ ④ ⑤(4)y ＝2x ＋1x ＋1＝x ＋－1x ＋1＝2－1x ＋1.可由函数y ＝－1x向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．(5)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，如图⑤所示．[点石成金] 函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．考点2 识图与辨图[考情聚焦] 高考对函数图象的考查主要有识图和辨图两个方面，其中识图是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中．主要有以下几个命题角度： 角度一借助实际问题情境探究函数图象[典题2] [2017·云南昆明模拟]如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y 与行走时间x 的函数y ＝f (x )的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是( )A BC D[答案] D[解析] 由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y随行走时间x的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．[点石成金] 解决此类问题的关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域．角度二借助动点探究函数图象[典题3] [2015·新课标全国卷Ⅱ]如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )A BC D[答案] B[解析] 排除法排除错误选项．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2.∵ 22＜1＋5，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B.[点石成金] 解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而作出选择．角度三同一坐标系下辨析不同函数的图象[典题4] (1)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )A BC D[答案] D[解析] 当a >1时，A 中的直线位置错误，排除A ，D 中的三个函数图象都正确；当0<a <1时，B 中的直线位置错误，排除B ，C 中的直线与指数函数的图象都错误，排除C.故选D.(2)已知函数f (x )＝a3x 3＋ax 2＋cx ，g (x )＝ax 2＋2ax ＋c ，a ≠0，则它们的图象可能是( )A BC D[答案] B[解析] 因为f ′(x )＝ax 2＋2ax ＋c ，则函数f ′(x )即g (x )图象的对称轴为x ＝－1，可排除A ，D ；由选项C 的图象可知，当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝a3x 3＋ax 2＋cx 在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f (x )在(0，＋∞)上不具有单调性，排除C.故选B.[点石成金] 解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图象是正确的，然后再验证另一个函数图象是否符合要求，逐项作出验证排查．角度四函数图象与解析式对应关系的识别[典题5] (1)[2017·湖南师大附中月考]函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －1cosx 的图象的大致形状是( )A BC D[答案] D[解析] 因为f (－x )＝－f (x )，所以函数y ＝f (x )是奇函数，且当x ＝π时，f (x )>0，故选D.(2)[2017·山东潍坊模拟]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，，－x 2＋2x ，x ∈[1，2]，则函数y ＝f (x )在[2,4]上的大致图象是( )A BC D[答案] A[解析] 当2≤x ＜3时，0≤x －2＜1，又f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －2)＝2x －4， 当3≤x ≤4时，1≤x －2≤2，又f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －2)＝－2(x －2)2＋4(x －2)＝－2x 2＋12x －16，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，2≤x <3，－2x 2＋12x －16，3≤x ≤4，故选A.[点石成金] 此类问题往往从以下几方面判断：(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项． 角度五考查图象变换问题[典题6] 已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (1－x )的图象为( )A BC D[答案] D[解析] 解法一：把函数y＝f(x)的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到y＝f(x＋1)的图象，再把所得的图象关于原点对称，即可得到y＝－f(1－x)的图象，故选D.解法二：取函数y＝f(x)的图象上的点(2,4)，则有f(2)＝4，因为－f[1－(－1)]＝－f(2)＝－4，所以函数y＝－f(1－x)的图象过点(－1，－4)，排除A，B，C，故选D.解法三：把函数y＝f(x)的图象关于原点对称，得到y＝－f(－x)的图象，再把所得的图象上的所有的点向右平移1个单位长度，可得到y＝－f(－(x－1))＝－f(1－x)的图象．[点石成金] 本例中，已知函数y＝f(x)的图象，求变换后的函数y＝－f(1－x)的图象的易错点有两处：一是先作平移变换后作对称变换时，误以为函数y＝f(x)的图象上的所有的点向右平移1个单位长度，得到y＝f(x－1)图象，误选C；二是先作对称变换后作平移变换时，把函数y＝f(x)的图象关于原点对称，误选C.要避免此类错误，应熟练掌握图象的变换规律．考点3 函数图象的应用函数图象对称问题的误区：图象的自对称与互对称．(1)函数y＝log2(x2－1)的图象关于________对称．答案：y轴解析：函数的定义域关于原点对称，且易知是偶函数，所以函数的图象关于y轴对称．这是图象的自对称问题，自对称函数的图象的对称轴一定垂直于x轴．(2)函数y＝ln x与y＝－ln x的图象关于________对称．答案：x轴解析：函数y＝ln x与y＝－ln x的图象关于x轴对称，这里涉及两个函数，是图象的互对称问题．一般地，y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．[考情聚焦] 函数图象的应用也是高考命题的一个热点，题型多为选择题和填空题．主要有以下几个命题角度：角度一利用图象研究函数的性质[典题7] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) [答案] C[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图所示．观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[点石成金] 利用函数图象可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质． 角度二利用图象研究方程的根或不等式求解问题[典题8] (1)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．[答案] (0,1)∪(1,2)[解析] 将函数y ＝|x 2－1|x －1化成分段函数，并作出其图象如图所示．利用图象可得，实数k 的取值范围为(0,1)∪(1,2)．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1，＋∞)[解析] 如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1，∴a ≥－1.(3)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．[答案] 5[解析] 方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.[点石成金] 函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.[方法技巧] 1.识辨函数图象的方法(1)知式选图①从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．②从函数的单调性，判断图象的变化趋势．③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)知图选式①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域．②从图象的变化趋势，观察函数的单调性．③从图象的对称性，观察函数的奇偶性．④从图象的循环往复，观察函数的周期性．2．常见结论(1)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0对称．(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于坐标原点对称．(3)如果函数y＝f(x)对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，那么y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(4)如果函数y＝f(x)对于一切x∈R，都有f(a＋x)＋f(a－x)＝0，那么y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称．[易错防范] 1.图象左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．2．图象上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上加下减”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．3．要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )A BC D答案：D解析：当x≥0时，令函数f(x)＝2x2－e x，则f′(x)＝4x－e x，易知f′(x)在[0，ln 4)上单调递增，在[ln 4,2]上单调递减，又f ′(0)＝－1<0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－e>0，f ′(1)＝4－e>0，f ′(2)＝8－e 2>0，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12是函数f (x )的极小值点，即函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0,2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图象为D.2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案：B解析：因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的图象都关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝m2×2＝m ，故选B. 3．[2015·安徽卷]函数f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 答案：C解析：函数的定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，∴ c <0.令x ＝0，得f (0)＝b c2，又由图象知f (0)>0，∴ b >0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－b a>0，∴ a <0.故选C.4．[2015·北京卷]如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}答案：C解析：令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴ 结合图象知，不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．5．[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )A BC D答案：C解析：如图所示，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x,0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，则|MM ′||OM |＝sin x ，∴f xcos x ＝sin x ，∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，则当x ＝π4时，f (x )max ＝12； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，有f x |cos x |＝sin(π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ，当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有C 选项的图象符合．课外拓展阅读函数图象的变换问题1．对称变换通过特殊值，我们可以得到函数y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax (a >0，a ≠1)的图象关于y 轴对称，函数y ＝log a x 与y ＝log 1a x (a >0，a ≠1)的图象关于x 轴对称，原因是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＝a －x ，y ＝log 1a x ＝－log a x .推广到一般，可以得到：函数f (x )的图象与函数f (－x )的图象关于y 轴对称，函数f (x )的图象与函数－f (x )的图象关于x 轴对称．2．平移变换 (1)左右平移变换一般地，函数图象左右平移变换时，当h >0时，将函数f (x )的图象向右平移h 个单位长度后，得到函数f (x －h )的图象；向左平移h 个单位长度后，得到函数f (x ＋h )的图象．(2)上下平移变换一般地，函数图象上下平移变换时，当h >0时，将函数f (x )的图象向上平移h 个单位长度后，得到函数f (x )＋h 的图象；向下平移h 个单位长度后，得到函数f (x )－h 的图象．3．翻折变换(1)画函数f (|x |)的图象时，先画出函数f (|x |)在y 轴右侧的图象，再将此部分图象关于y 轴翻折，即得函数f (|x |)在y 轴左侧的图象．(2)画函数|f (x )|的图象时，先画出函数f (x )的图象，再将x 轴下方的图象关于x 轴翻折，即得函数|f (x )|的图象．[典例1] 为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 [思路分析] y ＝lgx ＋310＝x ＋－1向上平移1个单位长度向下平移1个单位长度y ＝x ＋向右平移3个单位长度向左平移3个单位长度y ＝lg x[解析] 因为y ＝lgx ＋310＝lg(x ＋3)－1，所以只需将y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y ＝lgx ＋310的图象．[答案] C[典例2] 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2.那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个[思路分析][解析] 画出两个函数图象如图所示，可看出交点有10个．[答案] A。