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第28讲 图形的相似第1课时课时 相似形相似形1．比例线段．比例线段考试内容考试内容考试考试要求要求比例比例 线段线段定义定义在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．比，那么这四条线段叫做成比例线段．a基本基本 性质性质若a b ＝c d，则ad ad＝＝bc.bc.当当b ＝c 时，时，b b 2＝ad ad，那么，那么b 是a 、d 的比例中项．比例中项．黄金黄金 分割分割 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC>BC)BC(AC>BC)，如果，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且AC AB ＝BC AC ＝5－12≈0.6180.618，，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点．割点．2.2.平行线分线段成比例平行线分线段成比例平行线分线段成比例考试内容考试内容考试考试要求要求基本基本 事实事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段． c推论推论平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边((或两边的延长线或两边的延长线))，所得的对应线段成比例．成比例．3.3.相似图形的有关概念相似图形的有关概念相似图形的有关概念考试内容考试内容考试考试要求要求相似图形________________________________________相同的图形称为相似图形．相同的图形称为相似图形．相同的图形称为相似图形．a相似多相似多边形边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别如果它们的角分别 ，边 ，那么这两个多边形叫做相似多边形．多边形叫做相似多边形．相似多边形对应相似多边形对应 的比叫做相似比．的比叫做相似比．(1)(1)相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比； (2)(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似三相似三 角形角形 两个三角形的三个角分别两个三角形的三个角分别_ _ ，三条边，三条边 ，则这两个三角形相似．当相似比等于1时，这两个三角形时，这两个三角形 ． 4.4.相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角形的判定考试内容考试内容考试考试要求要求判定1________________________________________于三角形一边的直线和其他两边相交，于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．三角形与原三角形相似．a 判定2 三边三边 的两个三角形相似．的两个三角形相似．判定3 两边两边 且夹角且夹角 的两个三角形相似．的两个三角形相似． 判定4 两角分别两角分别 的两个三角形相似．的两个三角形相似．判定5满足斜边和一条直角边满足斜边和一条直角边 的两个直角三角形相似．的两个直角三角形相似．拓展拓展直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．两个三角形都与原三角形相似．5.5.相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的性质考试内容考试内容考试考试要求要求性质性质1.1.相似三角形的对应角相似三角形的对应角相似三角形的对应角 ，对应边对应边． a2.2.相似三角形对应高的比、相似三角形对应高的比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应中线的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的对应角平分线的比和周长的比都等于比都等于．3.3.相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的____________________. ____________________.三角形三角形 的重心的重心 三角形三条中线的交点叫做重心．三角形三条中线的交点叫做重心．三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段．拓展拓展如图，△ABC 中，∠中，∠ACB ACB ACB＝＝9090°，°，CD 是斜边AB 上的高，则有下列结论．则有下列结论．①AC 2＝AD·AB；＝AD·AB；②BC 2＝BD·AB；＝BD·AB；③CD 2＝AD·BD；＝AD·BD；④AB AB··CD CD＝AC·BC.＝AC·BC.＝AC·BC.考试内容考试内容考试考试要求要求基本基本 思想思想转化思想：证角相等，证比例线段往往转化为证相似三角形；测量问题，往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．b1．(2017·杭州．(2017·杭州))如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB AB，，AC 上，DE DE∥∥BC BC，，若BD BD＝＝2AD 2AD，，则( ( )A .AD AB ＝12 B .AE EC ＝12 C .AD EC ＝12 D .DE BC ＝12 2．(2015·嘉兴．(2015·嘉兴))如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F.AC 与DF 相交于点H ，且AH AH＝＝2，HB HB＝＝1，BC BC＝＝5，则DEEF的值为的值为( ( ( )A .12B ．2C .25D .35 3．(2015·嘉兴．(2015·嘉兴))如图是百度地图的一部分如图是百度地图的一部分((比例尺1∶4000000)．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西偏西_______________________________________度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm ，则杭州到嘉兴的实际距离约为________________________________________．．【问题】如图，点D 在△ABC 的边AC 上．上．(1)(1)要判断△ADB 要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件是相似，添加一个条件是____________________________________________________________；； (2)若△ADB∽△ABC，若△ADB∽△ABC，AB AB AB＝＝4，AD AD＝＝2，则AC AC＝＝________________；； (3)(3)通过通过通过(1)(1)(1)、、(2)(2)解答，你能说出相似三角形哪些知识？解答，你能说出相似三角形哪些知识？解答，你能说出相似三角形哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理比例、相似多边形有关概念，相似三角形性质、判定．类型一 比例性质、黄金分割等相关概念例1 (1)(2016·山西(1)(2016·山西))宽与长的比是5－12(约0.618)0.618)的矩形叫做黄金矩形，的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ABCD，，分别取AD AD、、BC 的中点E 、F ，连结EF EF；以点；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH⊥AD，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是，则图中下列矩形是黄金矩形的是( ( ( )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【解后感悟】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF 的长，再根据DF DF＝＝GF 求得CG 的长，最后根据CG 与CD 的比值为黄金比，判断矩形DCGH 为黄金矩形．为黄金矩形．(2)(2) 已知x 3＝y 4＝z 6≠0，求x ＋y －z x －y ＋z 的值．的值．【解后感悟】这类题我们一般是设辅助未知数k ，即比值为k ，把所有字母都用含有k 的式子表示出来，从而达到计算或化简的目的．示出来，从而达到计算或化简的目的．1．在中华经典美文阅读中，在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．宽与长之比为黄金比．已知这本书的已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为，则它的宽约为( ( ( )A ．12.36cmB ．13.6cmC ．32.36cmD ．7.64cm 2．(2015·扬州．(2015·扬州))如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A 、B 、C 都在横格线上，若线段AB AB＝＝4cm ，则线段BC BC＝＝cm .类型二 相似多边形例2 已知矩形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ADCB 相似，则AD AD＝＝( ( )A .5－12B .5＋12C .3D ．2 【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比．【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比．3．(2015·葫芦岛．(2015·葫芦岛))如图，在矩形ABCD 中，中，AD AD AD＝＝2，CD CD＝＝1，连结AC AC，以对角线，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，再连结AC 1，以对角线AC 1为边作矩形AB 1C 1C 的相似矩形AB 2C 2C 1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n －1的面积为的面积为____________________________________________________________．．类型三 相似三角形的判定与性质例3 (2016·南充(2016·南充))已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP 交AD 于点N ，连结CM.(1)(1)如图如图1，若点M 在线段AB 上，求证：AP⊥BN；上，求证：AP⊥BN；AM AM AM＝＝AN AN；；(2)①如图2，在点P 运动过程中，满足△PBC∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，的延长线上时，AP AP AP⊥⊥BN 和AM ＝AN 是否成立？是否成立？((不需说明理由不需说明理由) )②是否存在满足条件的点P ，使得PC PC＝＝12？请说明理由．？请说明理由．【解后感悟】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．4．(1)(1)如图，在△ABC 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB AB，，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( ( )A ．1∶3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4(2)(2) (2016·河北(2016·河北))如图，△如图，△ABC ABC 中，∠中，∠A A ＝7878°，°，°，AB AB AB＝＝4，AC AC＝＝6.6.将△ABC 将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是的是( ( ( )5．(1)(2015·自贡)将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于 .(2)(2015·无锡市南长区模拟(2)(2015·无锡市南长区模拟))如图，△如图，△ABC ABC 中，中，AB AB AB＝＝5，BC BC＝＝3，CA CA＝＝4，D 为AB的中点，过点D 的直线与BC 所在直线交于点E ，若直线DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似，则DE DE＝＝ .类型四 与相似三角形相关的问题例4 如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，上的四个点，AC AC 平分∠BAD，平分∠BAD，AC AC 交BD 于点E ，CE CE＝＝4，CD CD＝＝6，则AE 的长为的长为( ( ( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解后感悟】本题运用圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD ＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.6．(1)(1)已知：在△ABC 已知：在△ABC 中，中，BC BC BC＝＝1010，，BC 边上的高h ＝5，点E 在边AB 上，过点E 作EF∥BC，交AC 边于点F.F.点点D 为BC 上一点，连结DE DE、、DF.DF.设点设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为函数图象大致为( ( ( )(2)(2015·杭州模拟(2)(2015·杭州模拟))在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新的三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是对于两人的观点，下列说法正确的是( ( ( ) )A ．两人都对．两人都对B ．两人都不对．两人都不对C ．甲对，乙不对．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对．甲不对，乙对(3)(3) (2015·滨州(2015·滨州))如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y ＝－1x 、y ＝2x的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的大小的变化趋势为的大小的变化趋势为( ( ( ) )A ．逐渐变小．逐渐变小B ．逐渐变大．逐渐变大C ．时大时小．时大时小D ．保持不变．保持不变7．(2016·龙东．(2016·龙东))已知，在平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，上，AE AE AE＝＝13AD AD，连结，连结CE 交BD 于点F ，则EF∶FC 的值是的值是 .【课本改变题】教材母题－－浙教版教材九上第149页第5题课本中有一道作业题：课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ABC，它的边，它的边BC BC＝＝120mm ，高AD AD＝＝80mm .要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB AB，，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48mm ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ？请你计算．？请你计算．(2)(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【方法与对策】本题是课本改变题，试题设置上主要是三角形和矩形的组合，通过基本图形是相似三角形，揭示对应边成比例的关系式来解决问题，再深入探究，规律性较强，这种题型是中考常用的命题方式．常用的命题方式．【找不准相似三角形中的对应边】【找不准相似三角形中的对应边】如图，△如图，△ABC ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC∽△D 上，且△ABC∽△DBA BA BA，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是( ( ( )A ．AB 2＝BC·BD ＝BC·BD B ．AB 2＝AC·BD ＝AC·BDC ．AB AB··AD AD＝BD·BC ＝BD·BC ＝BD·BC D ．AB AB··AD AD＝AD·CD ＝AD·CD ＝AD·CD参考答案 第28讲 图形的相似 第1课时 相似形【考点概要】【考点概要】2．成比例成比例 3.形状形状 相等相等 成比例成比例 边 相等相等 成比例成比例 全等全等 4.平行平行 成比例成比例 成比例成比例 相等 相等相等 成比例成比例 5.相等相等 成比例成比例 相似比相似比 平方平方【考题体验】【考题体验】1．B 2.D 3.45 80km 【知识引擎】【知识引擎】【解析】(1)添加条件是∠ABD ＝∠C 或∠ADB ＝∠ABC 或者AD AB ＝AB AC ； (2)由△ADB ∽△ABC ，得AD AB ＝ABAC，得AC ＝8； (3)相似三角形知识：性质、判定等．相似三角形知识：性质、判定等． 【例题精析】【例题精析】例1 (1)(1)设正方形的边长为设正方形的边长为2，则CD CD＝＝2，CF CF＝＝1.1.在直角三角形在直角三角形DCF 中，中，DF DF DF＝＝12＋22＝5，∴FG FG＝＝5，∴CG CG＝＝5－1，∴CG CD ＝5－12，∴矩形DCGH 为黄金矩形．故选D . . (2)(2)(2)设设x 3＝y 4＝z 6＝k(k≠0)，根据题意，得x ＝3k 3k，，y ＝4k 4k，，z ＝6k 6k，所以，所以x ＋y －z x －y ＋z ＝3k 3k＋＋4k 4k－－6k 3k 3k－－4k 4k＋＋6k ＝k 5k ＝15. .例2 B 例3(1)(1)如图如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AB＝＝BC BC＝＝CD CD＝＝AD AD，，∠DAB DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝909090°，°，∵△∵△PBC PBC PBC∽△∽△∽△PAM PAM PAM，∴∠，∴∠，∴∠PAM PAM PAM＝∠PBC，＝∠PBC，PM PC ＝AM BC ＝PA PB，∵∠，∵∠PBC PBC PBC＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠PAM PAM PAM＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，°，∴∠∴∠APB APB APB＝＝9090°，∴°，∴°，∴AP AP AP⊥⊥BN BN，∵∠，∵∠，∵∠ABP ABP ABP＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠APB APB APB＝∠＝∠＝∠BAN BAN BAN＝＝9090°，∴△°，∴△°，∴△BAP BAP BAP∽△∽△∽△BNA BNA BNA，∴，∴PA PB PB＝＝ANAB AB，，∴AN AB ＝AM BC，∵AB AB＝＝BC BC，，∴AN AN＝＝AM. AM. (2)①仍然成立，(2)①仍然成立，AP AP⊥⊥BN 和AM AM＝＝AN.AN.理由如图理由如图2中，∵四边形ABCD 是正方形，∴是正方形，∴AB AB AB＝＝BC BC＝＝CD CD＝＝AD AD，∠，∠，∠DAB DAB DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝909090°，∵△°，∵△°，∵△PBC PBC PBC∽△∽△∽△PAM PAM PAM，∴∠，∴∠，∴∠PAM PAM PAM＝＝∠PBC，PM PC ＝AM BC ＝PA PB，∵∠，∵∠PBC PBC PBC＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠PAM PAM PAM＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠APB APB APB＝＝9090°，∴°，∴°，∴AP AP AP⊥⊥BN BN，，∵∠∵∠ABP ABP ABP＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠APB APB APB＝∠BAN＝＝∠BAN＝＝∠BAN＝909090°，∴△°，∴△°，∴△BAP BAP BAP∽△∽△∽△BNA BNA BNA，∴，∴PA PB ＝AN AB ，∴AN AB ＝AM BC，∵，∵AB AB AB＝＝BC BC，∴，∴，∴AN AN ＝AM. AM. ②这样的点P 不存在．理由：假设PC PC＝＝12，如图3中，以点C 为圆心12为半径画圆，以AB为直径画圆，为直径画圆，CO CO CO＝＝BC 2＋BO 2＝52＞12＋12，∴两个圆外离，∴∠，∴两个圆外离，∴∠APB APB APB＜＜9090°，这与°，这与AP⊥PB 矛盾，∴假设不可能成立，∴满足PC PC＝＝12的点P 不存在．不存在． 例4 设AE AE＝＝x ，则AC AC＝＝x ＋4，∵，∵AC AC 平分∠BAD，∴∠平分∠BAD，∴∠BAC BAC BAC＝∠CAD，∵∠＝∠CAD，∵∠＝∠CAD，∵∠CDB CDB CDB＝∠BAC(圆周角定＝∠BAC(圆周角定理)，∴∠，∴∠CAD CAD CAD＝∠CDB，∵∠＝∠CDB，∵∠＝∠CDB，∵∠ACD ACD ACD＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴CD CE ＝AC DC ，即64＝x ＋46，解得：，解得：x x ＝5.故选B .【变式拓展】【变式拓展】1．A 2.12 2.12 3.3.5n 22n 2n－－1 4.(1)C (2)C 5.(1)1∶35.(1)1∶3 (2)2或103 6.(1)D (2)A (3)D 7.23或43 【热点题型】【热点题型】【分析与解】【分析与解】(1)(1)(1)设矩形的边长设矩形的边长PN PN＝＝2y mm ，则PQ PQ＝＝y mm ，由条件可得△APN∽△ABC，∴PN BC BC＝＝AEAD AD，，即2y 120＝8080－－y 80，解得y ＝2407，∴PN PN＝＝2407×2＝4807(mm )，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm ； (2)(2)设设PN PN＝＝x mm ，由条件可得△APN∽△ABC，由条件可得△APN∽△ABC，∴∴PN BC ＝AE AD ，即x 120＝8080－－PQ 80，解得PQ PQ＝＝8080－－23x.∴S ＝PN·PQ＝＝PN·PQ＝x(80x(80x(80－－23x)x)＝－＝－23x 2＋80x 80x＝－＝－23(x (x－－60)2＋24002400，∴，∴，∴S S 的最大值为2400mm 2，此时PN PN＝＝60mm ，PQ PQ＝＝8080－－23×6060＝＝40(mm )． 【错误警示】A ．∵△．∵△ABC ABC ABC∽△∽△∽△DBA DBA DBA，∴，∴AB BD ＝BC AB ，∴，∴AB AB 2＝BD·BC.＝BD·BC.。
第五章 图形的相似与解直角三角形第一节 图形的相似与位似1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( B )A .12B ．2C ．3D ．4(第1题图)(第2题图)2．(2017泰安中考)如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E.若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为( B )A ．18B .1095 C .965 D .2533．(2017遵义十九中一模)如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( D )A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C .AP AB ＝ABACD .AB BP ＝AC CB(第3题图)(第4题图)4．(济南中考)如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的平分线分别交AB ，DB 于M ，N 两点．若AM ＝2，则线段ON 的长为( C )A .22 B .32 C ．1 D .625．(2017滨州中考)在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为__(4，6)或(－4，－6)__．6．(2017随州中考)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝__125或53__时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 7．(汇川升学一模)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D ，G 分别在边AB ，AC 上．若△ABC 的边BC 长为40 cm ，高AH 为30 cm ，则正方形DEFG 的边长为__1207__cm .(第7题图)(第8题图)8．(2017包头中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，OA 与反比例函数y ＝kx 的图象交于点D ，且OD ＝2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD ＝10，则k 的值为__－16__．9．(2017六盘水中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F ，若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝__169__．10．(泰安中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当PD∥AB 时，求BP 的长． 解：(1)∵AB＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠APD ＝∠B， ∴∠APD ＝∠B＝∠C. ∵∠APC ＝∠BAP＋∠B， ∠APC ＝∠APD＋∠DPC， ∴∠BAP ＝∠DPC， ∴△ABP ∽△PCD ， ∴BP CD ＝AB CP， ∴AB ·CD ＝CP·BP. ∵AB ＝AC ， ∴AC ·CD ＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD ＝∠BAP. ∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C. ∵∠B ＝∠B，∴△BAP ∽△BCA ， ∴BA BC ＝BP BA. ∵AB ＝10，BC ＝12， ∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.11．(随州中考)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( B )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2512．(盘锦中考)如图，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于点H ，AD ＝3，DC ＝4，DE ＝52，∠EDF ＝90°，则DF 长是( C )A .158B .113C .103D .165(第12题图)(第13题图)13．(2017杭州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于__78__.14.(2017长春中考)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G. (1)求证：BD∥EF；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形， ∴BD ∥EF ；(2)∵四边形BEFD 是平行四边形， ∴DF ＝BE ＝4. ∵DF ∥EC ， ∴△DFG ∽△CEG ， ∴DG CG ＝DF CE， ∴CE＝DF·CG DG ＝4×32＝6.15.(2017杭州中考)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若AD ＝3，AB ＝5，求AFAG 的值．解：(1)∵AG⊥BC，AF ⊥DE ， ∴∠AFE ＝∠AGC＝90°.∵∠EAF ＝∠GAC，∴∠AED ＝∠ACB， ∵∠EAD ＝∠BAC，∴△ADE ∽△ABC ； (2)由(1)可知：△ADE∽△ABC，∴AD AB ＝AE AC ＝35. ∵∠AFE ＝∠AGC＝90°，∠EAF ＝∠GAC， ∴△EAF ∽△CAG ， ∴AF AG ＝AE AC ， ∴AF AG ＝35. 16 .(2017枣庄中考)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，－4)．(1)请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求； (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求， 由图形可知，∠A 2C 2B 2＝∠ACB， 过点A 作AD⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A(2，2)，C(4，－4)，B(4，0)，易得D(4，2)， ∴AD ＝2，CD ＝6，AC ＝22＋62＝210， ∴sin ∠ACB ＝AD AC ＝2210＝1010，即sin ∠A 2C 2B 2＝1010.17．(2017连云港中考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，D 为AC 延长线上一点，AC ＝3CD ，过点D 作DH∥AB，交BC 的延长线于点H. (1)求BD·cos ∠HBD 的值； (2)若∠CBD＝∠A，求AB 的长． 解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD ＝∠ABC＝90°，∠A ＝∠HDC， ∴△ABC ∽△DHC ， ∴AC CD ＝BCCH＝3， ∴CH ＝1，BH ＝BC ＋CH ＝4， 在Rt △BHD 中，cos ∠HBD ＝BHBD ，∴BD ·cos ∠HBD ＝BH ＝4； (2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC ＝∠BHD， ∴△ABC ∽△BHD ， ∴BC HD ＝AB BH. ∵△ABC ∽△DHC ， ∴AB DH ＝ACCD＝3， ∴AB ＝3DH ， ∴3DH ＝3DH4，解得DH ＝2， ∴AB ＝3DH ＝3×2＝6.18．(2017眉山中考)如图，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB ＝∠BEC＝90°，AC ＝42，点P 为线段BE 延长线上一点，连接CP ，以CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD 相交于点F.(1)求证：PC CD ＝CECB；(2)连接BD ，请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由； (3)设PE ＝x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式． 解：(1)∵△BCE 和△CDP 均为等腰直角三角形， ∴∠ECB ＝∠PCD＝45°， ∠CEB ＝∠CPD＝90°， ∴△BCE ∽△DCP ，∴PC DC ＝EC CB； (2)AC∥BD.理由如下：∵∠PCE ＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°， ∴∠PCE ＝∠BCD. 又∵PC DC ＝EC CB ，∴△PCE ∽△DCB ， ∴∠CBD ＝∠CEP＝90°， ∴∠ACB ＝∠CBD， ∴AC ∥BD ；(3)作PM ⊥BD ，交BD 的延长线于点M. ∵AC ＝42，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝4. ∵△PCE ∽△DCB ， ∴EC CB ＝PE BD ，即442＝x BD， ∴BD ＝2x.∵∠PBM ＝∠CBD－∠CBP＝45°， BP ＝BE ＋PE ＝4＋x ， ∴PM ＝4＋x 2，∴S △PBD ＝12BD ·PM＝12×2x×4＋x 2 , ＝12x 2＋2x.。
第五章 图形的相似与解直角三角形第一节 图形的相似与位似,遵义五年中考命题规律),遵义五年中考真题及模拟)相似三角形1．(2014遵义中考)如图，边长为2的正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点F ，作△CPF 的外接圆⊙O，连接BP 并延长交⊙O 于点E ，连接EF ，则EF 的长为( D )A .32B .53C .35 5D .455,(第1题图)),(第2题图))2．(2017遵义十二中一模)如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A 的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( C )A ．(2，4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)3．(2014遵义中考)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E ，南门点F 分别是AB ，AD的中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过点A ，则FH ＝__1.05__ 里．4．(2017遵义中考)边长为22的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点(点P 与A ，C 不重合)，连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，QP 的延长线与AD(或AD 延长线)交于点F.(1)连接CQ ，证明：CQ ＝AP ；(2)设AP ＝x ，CE ＝y ，试写出y 关于x 的函数关系式，并求当x 为何值时，CE ＝38BC ；(3)猜想PF 与EQ 的数量关系，并证明你的结论．解：(1)如图①，连接CQ.∵线段BP 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BQ ， ∴BP ＝BQ ，∠PBQ ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠ABC － ∠PBC＝∠PBQ－∠PBC， 即∠ABP＝∠CBQ.在△BAP 和△BCQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BC ，∠ABP ＝∠CBQ，BP ＝BQ ，∴△BAP ≌△BCQ (SAS )， ∴CQ ＝AP ； (2)如图①，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAC ＝12∠BAD＝45°，∠BCA ＝12∠BCD＝45°，∴∠APB ＋∠ABP＝180°－45°＝135°. ∵DC ＝AD ＝22，由勾股定理得：AC ＝（22）2＋（22）2＝4. ∵AP ＝x ，∴PC ＝4－x.∵△PBQ 是等腰直角三角形， ∴∠BPQ ＝45°，∴∠APB ＋∠CPQ＝180°－45°＝135°， ∴∠CPQ ＝∠ABP. ∵∠BAC ＝∠ACB＝45°， ∴△APB ∽△CEP ， ∴AP CE ＝AB CP， ∴x y ＝224－x， ∴y ＝122x(4－x)＝－24x 2＋2x(0＜x ＜4)．∵CE ＝38BC ＝38×22＝324，∴y ＝－24x 2＋2x ＝324，解得x ＝3或1， ∴当x ＝3或1时，CE ＝38BC ；(3)PF ＝EQ.理由如下：如图②，当F 在边AD 上时，过P 作PG⊥FQ，交AB 于G ，则∠GPF＝90 °. ∵∠BPQ ＝45°， ∴∠GPB ＝45°. ∴∠GPB ＝∠PQB＝45°. ∵PB ＝BQ ，∠ABP ＝∠CBQ ， ∴△PGB ≌△QEB ， ∴EQ ＝PG. ∵∠BAD ＝90°， ∴F ，A ，G ，P 四点共圆． 连接FG ，∴∠FGP ＝∠FAP＝45°， ∴△FPG 是等腰直角三角形， ∴PF ＝PG ， ∴PF ＝EQ.当F 在AD 的延长线上时，如图③，同理可得： PF ＝PG ＝EQ.5．(2016遵义中考)如图，矩形ABCD 中，延长AB 至E ，延长CD 至F ，BE ＝DF ，连接EF ，与BC ，AD 分别相交于P ，Q 两点．(1)求证：CP ＝AQ ；(2)若BP ＝1，PQ ＝22，∠AEF ＝45°，求矩形ABCD 的面积． 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°， AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥BC ， ∴ ∠E ＝∠F.∵BE＝DF ，∴AE ＝CF. 在△CFP 和△AEQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C＝∠A，CF ＝AE ，∠F ＝∠E，∴△CFP ≌△AEQ(ASA )，∴CP ＝AQ ； (2)∵∠EBP＝∠FDQ＝90°， ∠F ＝∠AEF＝45°，∴△BEP ，△AEQ 是等腰直角三角形， ∴BE ＝BP ＝1，AQ ＝AE ，∴PE ＝2BP ＝2， ∴EQ ＝PE ＋PQ ＝2＋22＝32， ∴AQ ＝AE ＝3，∴AB ＝AE －BE ＝2. 由(1)知CP ＝AQ ， ∴CP ＝3，∴CB ＝CP ＋BP ＝1＋3＝4，∴矩形ABCD 的面积＝AB·BC＝2×4＝8.6．(2013遵义中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm .动点M ，N 从点C 同时出发，均以每秒1 cm 的速度分别沿CA ，CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2 cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t.(单位：s ，0<t<2.5)(1)当t 为何值时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？(2)是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ， ∴根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5 cm . 设AM ＝4－t ，则AP ＝5－2t ，BN ＝3－t.以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC 时，AP AC ＝AMAB ，即5－2t 4＝4－t 5，解得t ＝32； ②当△APM∽△ABC 时，AM AC ＝AP AB ，即4－t 4＝5－2t5，解得t ＝0(不合题意，舍去)． 综上所述，当t ＝32时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似；(2)存在．理由如下：过点P 作PH⊥BC 于点H ，则PH∥AC， ∴PH AC ＝BP BA ，即PH 4＝2t 5，∴PH ＝85t ， ∴S ＝S △ABC －S △BPN ＝12×3×4－12×(3－t)·85t＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋215(0<t<2.5)．∵45>0，∴S 有最小值， 当t ＝32时，S 最小值＝215.故当t ＝32时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是215.,中考考点清单)比例的相关概念及性质1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．2．比例中项：如果a b ＝b c ，即b 2＝__ac__，我们就把b 叫做a ，c 的比例中项．3．比例的性质：4.黄金分割：如图，如果点C 把线段AB 分成两条线段，使AC AB ＝__BCAC __，那么点C 叫做线段AC 的__黄金分割点__，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比叫做__黄金比__．相似三角形的判定及性质5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．6．性质(1)相似三角形的__对应角__相等；(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于相似比； (3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． 7．判定(1)__两角__对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似； (3)三边__对应成比例__，两三角形相似；(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似． 【方法点拨】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)．(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]． (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等．(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例． (5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，可找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．【温馨提示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．如：AB BC ＝DEEF，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．相似多边形8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．9．性质(1)相似多边形的对应边__成比例__； (2)相似多边形的对应角__相等__；(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．位似图形10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．11．性质(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点坐标的比等于__k 或－k__；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．13．画位似图形的步骤 (1)确定__位似中心__； (2)确定原图形的关键点；(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．,中考重难点突破)比例的性质【例1】已知a 5＝b 4＝c3，且3a －2b ＋c ＝20，则2a －4b ＋c 的值为________．【解析】设a 5＝b 4＝c3＝k(k≠0)，用含k 的式子表示a ，b ，c ，则a ＝5k ，b ＝4k ，c ＝3k ，代入等式3a －2b ＋c＝20求出k 值，再求出a ，b ，c 值代入可求．【答案】－61．(2016遵义六中一模)若y x ＝34，则x ＋yx 的值为( D )A ．1B .47C .54D .74相似三角形的判定与性质【例2】如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A＝∠B＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G.(1)写出图中两对相似三角形并证明其中的一对；(2)请连接FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长． 【解析】(1)两角对应相等的两个三角形是相似三角形；(2)由相似三角形性质求BG 长，由AB 长可求AC ，BC 长，在Rt △FCG 中由勾股定理求FG 长． 【答案】解：(1)△A MF∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM(写出两对即可)． 证明△AMF∽△BGM 如下： ∵∠DME ＝∠A＝∠B＝α， ∴∠AMF ＋∠BMG＝180°－α. ∵∠A ＋∠AMF＋∠AFM＝180°， ∴∠AMF ＋∠AFM＝180°－α， ∴∠AFM ＝∠BMG，∴△AMF ∽△BGM ； (2)当α＝45°时，可得AC⊥BC，且AC ＝BC. ∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ＝2 2. 又∵△AMF∽△BGM，∴AF AM ＝BMBG ，∴BG ＝AM·BM AF ＝22×223＝83.又AC ＝BC ＝42·cos 45°＝4， ∴CG ＝4－83＝43，CF ＝4－3＝1.在Rt △FCG 中，FG ＝CF 2＋CG 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.2．(2017庆阳二模)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，下列说法中不正确的是( D )A ．DE ＝12BC B .AD AB ＝AE ACC ．△ADE ∽△ABCD ．S △ADE ∶S △ABC ＝1∶23．(2017武威中考模拟)如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E.求证：(1)AG ＝CG ； (2)AG 2＝GE·GF.证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB， 在△ADG 与△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ， ∴AG ＝CG ；(2)∵△ADG≌△CDG， ∴∠DAG ＝∠DCF. 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ，∴∠F ＝∠DCF， ∴∠EAG ＝∠F.∵∠AGE ＝∠FGA，∴△AEG ∽△FAG ， ∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF.位似图形【例3】(2017遵义六中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 的面积的14，那么点B′的坐标是( ) A ．(－2，3) B ．(2，－3)C ．(3，－2)或(－2，3)D ．(－2，3)或(2，－3)【解析】根据面积比等于相似比的平方得到位似比为12，由图形得到点B 的坐标，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标比等于tk ，即可得出答案．【答案】D4．(威海中考)如图，直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B 的对应点B′的坐标为__(－8，－3)或(4，3)__．(第4题图)(第5题图)5．(2017云南中考)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B.如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为( D )A ．15B ．10C .152D ．5。
