3.3.1几何概型(高中数学人教A版必修三)

1.古典概型的特点:
(1) 有限性: 试验中所有可能出现的基本事件为有限个 (2)等可能性: 每个基本事件出现的可能性相等。
2.古典概型的概率计算公式:
P(A)= A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
问题一
1.取一根长度为3米的绳子，拉直 后在任意位置剪断，那么剪得 两段的长都不小于1米的概率有 多大？
几何概型的定义和概率计算：
1.事件A理解为区域Ω的子区域,A的概
率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体 积)成正比，而与A的位置和形状无关。满足 以上条件的试验称为几何概型。 A 2.P( A) ， 其中 B 表示区域的几何度量， B A表示子区域A的几何度量。
3.求几何概型概率的基本步骤 （1）求区域D 的“度量”； （2）求区域d 的“度量”； （3）代入计算公式 。
3
500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放 在显微镜下观察，发现草履虫的概率
P( A) A对应区域的体积 1 试验全部结果构成区域 的体积 250
如果每个事件发生的概率只与构 成该事件区域的长度(面积或体积 )成比例,则称这样的概率模型为 几何概率模型,简称为几何概型.
事件A的概率的计算公式:
是否为古典概型？
此试验中，从每一个位置剪断都是 一个基本事件，剪断位置可以是长度为 记“剪得两段绳子都不小于1m”为事件A. 3m的绳子上的任一点。
A对应区域的长度 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的长度 3
（一）与长度有关的几何概型
1.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪 得两段的长都不少于1米的概率有多大?
y
.M(X,Y)
所以落在正 方 形 内 各 点是 等可能的.
0 1
2 3 4
5
x
二人会面的条件是：| X Y | 1,
阴影部分的面积 p 正方形的面积 1 2 25 2 4 9 2 25 25.
y
5 4 3 2 1
y-x =1 y-x = -1
0
1
2 3 4
5 x
课堂小结
问题二
2.下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面直径为 122cm,靶心直径为12.2cm.现一人随机射箭 ， 假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可 能的, 请问射中黄心的概率是多少?
是几何概型!
记“射中黄心”为事件A
A对应区域的面积 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的面积 100
1. 某人睡午觉醒来,发现表停了, 他打开收音机,想听电台整点报时, 求他等待的时间不多于10分钟的概 率
10 1 P ( A) , 60 6
答：等待的时间不超过10分钟的概率为
1 . 6
2。在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB 上任取一点M，求AM小于AC的概率。
C
解：在AB上截取AC`=AC 于是 P（AM＜AC）=P（AM ＜AC`）
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
古典概型和几何概型的比较
古典概型 几何概型 所有基本事件的个数 每个基本事件发生的可 能性 概率的计算公式 有限个 无限个
等可能
m P ( A) n
A P( A)
解:记“等待的时间不多于10分钟”为事件A. 电台报时间隔为60分钟，所以
想一想
甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面,
先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间
内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响.
求二人能会面的概率.
解:以 X ,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻,于是
0 X 5, 0 Y 5
5 即点 M 落在图中的阴影部分. 4 所有的点构成一个正方形,即 3 有无穷多个结果.由于每人在 2 任一时刻到达都是等可能的, 1
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利用几何概型求概率应注意哪些？
1.几何概型适用条件： (1)基本事件有无限多个（无限性）； (2)事件都是等可能发生的（等可能性）. 2.适用情况： 用于解决与长度,面积和体积等几何测度有 关的问题（即每个事件发生的概率只与构成该 事件区域的测度(长度、面积或体积等)成比例） 3.公式 构成事件A的区域测度(长度,面积,体积) P(A)=全部结果构成的区域测度(长度,面积,体积)
随堂练习，巩固提高 思考题：
有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它
停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，
蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积.
(计算结果保留π） 解：记“蚂蚁最后停在五角星内”为事件A,
P ( A) S圆 S五 角 星
S圆 22 S五 角 星 40 P ( A) 0.1
两种概型、概率公式的联系 1.古典概型的概率公式:
m 事件 A 所包含的基本事件数 P(A) 试验的基本事件总数 n
2.几何概型的概率公式:
构成事件A 的区域长度（面积或体积） P（A ）= 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义 几何概型可以看作是古典概型的推广

1.几何概型的特点. 2.几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

3.公式的运用.
本节核心内容是几何概型特点及概率 求法，易错点是容易找 错、求错几何度量。要求在做解答题时要有规范的步骤和必要 的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！
C` B
AC` AC 2 = = = AB AB 2
A
2 答：AM小于AC的概率为 2
3. 在圆 x ＋y －2x－2y＋1＝0 内随机投点， 1 求点与圆心间的距离小于 的概率． 3
【思路点拨】 确定总结果的图形及面积 →
2
2
确定事件A的图形及面积 → 计算概率
【解】 圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 可化为(x－ 1)2＋(y－1)2＝1，则圆的圆心为 C(1,1)，半径 r ＝1. 1 点与圆心间的距离小于 的区域是以 C(1,1)为 3 1 圆心，以 为半径的圆内部分．故点与圆心距 3 12 π 3 1 1 离小于 的概率为 P＝ 2＝ . 3 π·1 9
1取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那
么剪得两段的长都不小于1米的概率 A对应区域的长度 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的长度 3
2比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm，随机射箭，
假设每箭都能中靶，射中黄心的概率
A对应区域的面积 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的面积 100
解：试验的全部结果 所占的区域面积是“正方形的面积”； 事件A的区域面积是“正方形内切圆的面积” 面积型 且 S a2
a 2 a SA ( ) 2 4 2 a SA 4 P ( A) 2 S a 4
2

问题三
3.在500ml水样中有一只草履虫，从中随机 取出2ml水样放在显微镜下观察，问发现草 履虫的概率？
是几何概型！
记“在2ml水样中发现草履虫”为事 件A
A对应区域的体积 2 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的体积 500 250
类比古典概型，这些实验有什么特点？ 概率如何计算？
试一试: 3.两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人 20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.
解:以x，y分别表示两人的到达时刻， 则两人能会面的充要条件为
x y 20
阴影部分的面积 602 402 5 P ( A) 2 矩形的面积 60 9
（三）合作解疑（四）精讲点拨（破疑难，师生互动提“知能”！） 2.与面积有关的几何概型 例2 如图示，在边长为a的正方形围栏内均匀散布着 米粒，一小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形 内切圆中的概率是_________.
3.3.1
1. 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇 数点的概率。
解：这个试验的基本事件共有6个，即(出现1点)、(出 现2点)、„、(出现6点)，所以基本事件数n=6， 事件A=“掷得奇数点”={出现1点，出现3点，出现5 点}，其包含的基本事件数m=3
m 3 所以，P(A)= =0.5 n 6