【高考模拟】广东省汕头市潮南区2018届高考冲刺 数学文(word版有答案)

汕头市潮南2018高考冲刺试卷数 学（理科）一、选择题：本大题共121．设集合{|(3)(6)0}A x x x =+-≥ R ()A B =ð A ．(3,6)-B ．[6,)+∞C ．(,3)(6,)-∞-+∞2．i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B C ．第三象限 D ． 第四象限 3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A ．215π B ．320π C ．2115π- D ．3120π- 4. 在如图所示的框图中，若输出360S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 A ．2?k > B ．2?k < C ．3?k > D ．3?k <5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则42S S = A ．3 B ．9 C ．10 D ．136．已知直线20xy a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），则“a =0OA OB ⋅=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x> 则(1)(2)(3)(2020)f f f f +++⋅⋅⋅+= A ．2log 5B ．2log 5-C ．2-D ．08．将函数()=2sin(2+)3f x x π图像上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为 A ．24x π=- B ．4x π= C ．524x π= D ．12x π=9．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-a y y x y x 41，目标函数y x z 23-=的最小值为4-，则a 的值是A ．1B ．0C ．1-D ．1210．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π11．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ， 1AA l ⊥于点1A ，若四边形1AACF的面积为l 的方程为A．x =．x =-．2x =- D ．1x =-12．已知A ，B 是函数2e ,()()(2),()x a x a f x f a x x a -⎧-≥=⎨-<⎩（其中常数0a >）图象上的两个动点，点(),0P a ，若PA PB ⋅的最小值为0，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．21e -B ．1e-C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．已知向量a ，b 满足||5b =，||4a b +=，||6a b -=，则向量a 在向量b 上的投影为 ． 14．已知5()(21)a x x x+-展开式中的常数项为30，则实数a = ．15．定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则122320172018111b b b b b b +++= ．16．已知三棱锥A BCD -中，3,1,4,2A B A D B C BD ====当三棱锥A BCD -的体积最大时，其外接球的体积为 ． 三、解答题： 17．（本小题满分12分）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知cos b A c =．（1）求cos B ；（2）如图，D 为ABC ∆外一点，若在平面四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，BC ，求AB 的长．18. （本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，BC =AC =,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2AD DB =，2CE EB =，PD AC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABC ； （2）若PA 与平面ABC 所成的角为4π，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角. 19．（本小题满分12分）为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N u σ（0u u =， σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%. （ⅰ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （ⅱ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y ．（说明：()111()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6φ=,(0.6554)0.4φ=）CAB D20.（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于B A ,两点，抛物线C 在B A ,两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4. (1)求抛物线C 的方程；(2)设N M ,是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足OB OA ON OM k k k k ⋅=⋅，求OMN ∆面积的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数2()ln (R)f x x ax x a =++∈. （1）讨论函数()f x 在[1,2]上的单调性；（2）令函数12()()x g x e x a f x -=++-， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数， 若函数()g x 有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：22x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线:2sin C ρθ=．（1）求直线的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）记射线0,02θαραπ⎛⎫=≥<< ⎪⎝⎭与直线和曲线C 的交点分别为点M 和点N （异于点O ），求ON OM 的最大值．23．已知函数()1f x x =-．（1）解关于x 的不等式()21f x x ≥-；（2）若关于x 的不等式()21f x a x x <-++的解集非空，求实数a 的取值范围．.汕头市潮南2018高考冲刺试卷(理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C B C D C A B A C C A B 12【答案】B【解析】由题2e ,()()e ,()x a x x a f x x a --⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，当点A ，B 分别位于分段函数的两支上，且直线PA ，PB分别与函数图像相切时，PA PB ⋅最小，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当x a ≥时，2()e x a f x -'=-，121()e x a f x -'=-，直线11221:e e ()x a x a PA y x x --+=--，因为点(,0)P a 在直线直线PA 上，112210e e ()x a x a a x --∴+=--，解得11x a =+，同理可得21x a =-，则1(1,e )a A a -+-，1(1,e )a B a ---，112(1)(1,e )(1,e )1e 0a a a PA PB A ---∴⋅=---=--=，1a ∴=2e ,(1)()e ,(1)x x x f x x --⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，且函数在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递见，故函数()f x 的最大值为1e-．故选B ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1- 14．3 15．20172018 16．1256π 三、解答题：17. （本小题满分12分）解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得sin cos sin 3B A AC +=， ………………2分 又()C A B π=-+，所以sin cos sin()3B A A A B +=+，故sin cos sin cos cos sin B A A A B A B =+，…………………………………4分所以sin cos A B A =， 又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，故cos 3B =……………………………………………6分（2）2D B ∠=∠，21cos 2cos 13D B ∴=-=-………………………………………7分又在ACD ∆中， 1AD =， 3CD =∴由余弦定理可得22212cos 1923()123AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴AC = ………………………………………………………………………………9分在ABC ∆中， BC ， AC = cos B =， ∴由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =-+⋅，即212623AB AB =+-⋅，化简得260AB --=，解得AB =故AB 的长为12分18．（本小题满分12分）解:（1）证明：连接DE ，由题意知,2,4==BD AD.90,222 =∠∴=+ACB AB BC AC …………………………………………………（2分）.33632cos ==∠ABC .8cos 322212222=∠⨯⨯-+=∴ABC CD .22=∴CD 222AC AD CD =+∴,则AB CD ⊥,…………………………………（4分）又因为ABC PAB 平面平面⊥，所以,,PD CD PAB CD ⊥∴⊥平面 因为AC PD ⊥，CD AC ,都在平面ABC 内，所以⊥PD 平面ABC ……………………………………………………………………（6分）（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，且PA与平面ABC 所成的角为4π，有4=PD ，……………………………………………（7分）则)4,0,0(),0,2,0(),0,0,22(),0,4,0(P B C A -∴)4,4,0(),0,4,22(),0,2,22(--==-= 因为,//,2,2AC DE EB CE DB AD ∴==………………………………（8分）由（1）知,BC AC ⊥⊥PD 平面ABC ，∴ CB ⊥平面DEP ∴)0,2,22(-=CB 为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥AC∴⎩⎨⎧=--=+0440422z y y x ，令1=z ，则1,2-==y x ，∴)1,1,2(-=n 为平面PAC 的一个法向量.……………………………（10分） ∴.2312424,cos -=⋅-->=<…………………………（11分）故平面PAC 与平面PDE 的锐二面角的余弦值为23, 所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为30…………………………（12分） 19．（本小题满分12分） 解：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为： 0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ …3分 （2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ，根据题意，111103()1()1()0.419.3x u x P x x φφσ-->=-=-=，即1103()0.619.3x φ-=. 由(0.7257)0.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈， 所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分. …………7分（ⅱ）因为(45)2,Y B ～，4423()55()()i i iP Y i C -∴==，0,1,2,3,4i =.10分所以()45528E Y =⨯=. …………………………12分20．（本小题满分12分） 解：(1)依题意得),2(),,2(p pB p p A -， 由px y 2=，得pxpy 2='，………………………………………………………………1分∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线斜率为1-，……………………………2分 抛物线在A 处的切线方程为2px p y -=-……………………………3分 令y=0,得2-p x = ∴S=4221=⋅⋅p p ，解得2=p . ∴抛物线C 的方程为x y 42=.…………………………………………………5分(2)由已知可得4-=⋅O B O A k k ，………………………………………………6分设),,41(),,41(222121y y N y y M 则4161222121-=⋅=⋅y y y y k k ON OM ，∴421-=y y .…………7分令直线MN 的方程为n ty x +=，联立方程组⎩⎨⎧+==nty x x y ,42消去x 得0442=--n ty y ，……………………………8分则t y y n y y 4,42121=+-=， ∵421-=y y ，∴1=n .∴直线MN 过定点（1，0）……………………………9分 ∴121616214)(2121222122121+=+=-+=-=∆t t y y y y y y S OMN .…………11分 ∵02≥t ，∴2≥∆OMN S .综上所示，OMN ∆面积的取值范围是),2[+∞.……………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（1）由已知0x >，且2121()2x ax f x x a x x++'=++=①当280a ∆=-≤时，即当a -≤≤()0f x '≥则函数()f x 在[1,2]上单调递增…………………………………………………………1分②当280a ∆=->时，即a <-a >2210x ax ++=有两个根，4a x -±=，因为0x >，所以4a x -+=4∴当3a -≤<-或a >()f x 在[1,2]上单调递增…………………3分2°当12<<时，令(1)30f a '=+<，9(2)02f a '=+>，解得932a -<<-∴当932a -<<-时，函数()f x 在上单调递减， 在[a -上单调递增；…………………5分32≥时，令9(2)02f a '=+≤，解得92a ≤-∴当92a ≤-时，函数()f x 在[1,2]上单调递减； ……………………………………6分（2）函数121()()ln x x g x e x a f x e x ax a --=++-=--+则11()()x g x e a h x x -'=--=则121()0x h x e x-'=+>，所以()g x '在(0,)+∞上单调增当0,(),,()x g x x g x →→-∞→+∞→+∞，所以()R g x '∈ 所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点1x当11(0,),()0,(,),()0x x g x x x g x ''∈<∈+∞>，所以1()g x 为()g x 的最小值 由已知函数()g x 有且只有一个零点m ，则1m x =所以()0,()0,g m g m '==则111ln 0m m e a m e m am a --⎧--=⎪⎨⎪--+=⎩ …………………………………9分则11111ln ()()0m m m e m e m e m m ------+-=，得11(2)ln 0m m m e m m----+= 令11()(2)ln (0)x x p x x e x x x --=--+>，所以()0,p m = 则121()(1)()x p x x e x-'=-+，所以(0,1),()0,(1,),()0x p x x p x ''∈>∈+∞<所以()p x 在(1,)+∞单调递减，因为1111(1)10,()(2)1(2)0e e e p p e e e e e e e---=>=--+=--< 所以()p x 在(1,)e 上有一个零点，在(,)e +∞无零点所以m e < …………………………………………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．22．【解析】（1）由题意得直线l 的普通方程为：4x y +=， 所以其极坐标方程为：4sin cos ρθθ=+．由2sin ρθ=得：22sin ρρθ=，所以222x y y +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为：2220x y y +-=． （2）由题意2sin ON α=，4sin cos OM αα=+，所以2sin sin cos 12244ONOM αααα+π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， 由于02απ<<，所以当38απ=时，ON OM．23．【解析】（1）由题意()22211111f x x x x x x ≥-⇔-≥-⇔-≥-或211x x -≤-，所以220x x +-≥或20x x -≥， 即2x ≤-或1x ≥，或1x ≥或0x ≤， 故原不等式的解集为{}01x x x ≤≥或．（2）()22111f x a x x a x x x <-++⇔>+--+，由于211x x x +--+2222,12,112,1x x x x x x x ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，所以当1x =时，211x x x +--+的最小值为1-．所以实数a 的取值范围为()1,-+∞．。

2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.421ii-=+（ ） A ．3i - B ．3i + C ．13i + D ．13i - 2.已知()1,3a =-，(),4b m m =-，若//a b ，则m =（ ） A ．1 B ．2- C ．3 D ．63.已知x R ∈，集合{}0,1,2,4,5A =，集合{}2,,2B x x x =-+，若{}0,2A B =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．24.空气质量指数（简称：AQI ）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[)0,50为优，[)50,100为良，[)100,150为轻度污染，[)150,200为中度污染，[)200,250为重度污染，[)250,300为严重污染.下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）A ．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B ．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C. 在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最好 D ．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有6天5.如图，AD 是以正方形的边AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（ ）A ．16π B ．316 C.4πD ．14 6.已知等比数列{}n a 的首项为1，公比1q ≠-，且()54323a a a a +=+，则5a =（ ） A ．9- B ．9 C.81- D ．817.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为()4,0，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）A ．22188x y -=B ．2211616x y -= C. 22188y x -= D ．22188x y -=或22188y x -= 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．86π+B ．66π+ C.812π+ D ．612π+9.在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔.国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ）A． B． C. D．10.已知三棱锥D ABC-的外接球的球心O恰好是线段AB的中点，且AC BC BD AD====2=，则三棱锥D ABC-的体积为（）A．3B．3C.3D．1311.已知数列{}n a的前n项和为n S，115a=，且满足112325n na an n+=+--，已知*,n m N∈，n m>，则n mS S-的最小值为（）A．494- B．498- C.14- D．28-12.已知函数()()ln3xf x e x=-+，则下面对函数()f x的描述正确的是（）A．()0,x∀∈+∞，()2f x≤ B．()0,x∀∈+∞，()2f x>C. ()0,x∃∈+∞，()00f x= D．()()min0,1f x∈第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将函数()()()2sin20f x xϕϕ=+<的图象向左平移3π个单位长度，得到偶函数()g x的图象，则ϕ的最大值是．14.设x，y满足约束条件2,1,1,yy xy x≤⎧⎪≥-+⎨⎪≥-⎩则3412z x y=--的最大值为．15.设函数()2logf x a x=+在区间[]1,a上的最大值为6，则a=．16.已知抛物线()220y px p=>与圆()2211x y+-=，则该抛物线的焦点到准线的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =，8c =.（1）若点M 是线段BC 的中点，ANBM=b 的值； （2）若12b =，求ABC ∆的面积.18.经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：.已知某经销商下一年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率. （1）求X 的平均估计值.（2）为了鼓励经销商提高销售额，计划确定一个合理的年度销售额m （单位：万元），年销售额超过m 的可以获得红包奖励，该工厂希望使62%的经销商获得红包，估计m 的值，并说明理由. 19.如图：在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形， 90ADE ∠=， （1）证明：FCB ∆为直角三角形；（2）已知四边形ABCD 是等腰梯形，且60DAB ∠=，1AD DE ==，求五面体ABCDEF 的体积.20.已知椭圆()2212:108x y C b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线21:8C y x =的焦点. （1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为()1,1，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值. 21.已知函数()xmf x nx e =+. （1）若函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为32y x =-+，求m ，n 的值；（2）当1n =时，在区间(],1-∞上至少存在一个0x ，使得()00f x <成立，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,4x y a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）若射线()03πθρ=>与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知()32f x mx x n =+-+.（1）当2m =，1n =-时，求不等式()2f x <的解集；（2）当1m =，0n <时，()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于24，求n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DABCD 6-10:BABCA 11、12：CB 二、填空题 13.6π-14.9- 15.416.6三、解答题17.解：（1）若点M 是线段BC的中点，AMBM=BM x =，则AM =， 又60B =，8AB =，在ABM ∆中，由余弦定理得2236428cos60x x x =+-⨯， 解得4x =（负值舍去），则4BM =，8BC =. 所以ABC ∆为正三角形，则8b =. （2）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C=，得8sin 2sin 12c BC b⨯===又b c >，所以B C >，则C 为锐角，所以cos C =则()1sin sin sin cos cos sin 23236A B C B C B C =+=+=+⨯=，所以ABC ∆的面积1sin 482S bc A ===18. 解：（1）由题可知：0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）因为后4组的频率之和为0.040.10.120.240.50.62+++=<， 而后5组的频率之和为0.040.10.120.240.30.80.62++++=>， 所以100200m ≤≤. 由0.120.3200100m =-，解得160m =. 所以年销售额标准为160万元时，62%的经销商可以获得红包.19.（1）证明：由已知得AD DE ⊥，DC DE ⊥，,AD CD ⊂平面ABCD ，且AD CD D =，所以DE ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以BC ED ⊥.又因为//ED FC ，所以FC BC ⊥，即FCB ∆为直角三角形. （2）解：连结AC ，AF ，ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+.过A 作AG CD ⊥交CD 于G ，又因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AG ⊥， 且CDDE D =，所以AG ⊥平面CDEF ，则AG 是四棱锥A CDEF -的高.因为四边形ABCD 是底角为60的等腰梯形，1AD DE ==，所以2AG =,2AB =，136A CDEF CDEF V AG S -=⋅=因为DE ⊥平面ABCD ，//FC DE ，所以FC ⊥平面ABCD ，则FC 是三棱锥F ACB -的高.13F ACB ACB V FC S -∆=⋅=.所以ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+=20.解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=. （1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，又MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=. 所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-. （2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，118m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得()222,28,y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()2222128880k x k x k +-+-=， 因为()()()()222228412883210kk k k ∆=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+. 所以)22112k m k+==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k km n k k⎫+++=+=⎪++⎭为定值.21.解：（1）因为()'xmf x ne=-+，让你以()'0f n m=-，即3n m-=-.又因为()0f m=，所以切点坐标为()0,m，因为切点在直线32y x=-+上，所以2m=，1n=-.（2）因为()xmf x xe=+，所以()'1xx xm e mf xe e-=-+=.当0m≤时，()'0f x>，所以函数()f x在(],1-∞上单调递增，令x a=<，此时()00amf x ae=+<，符合题意；当0m>时，令()'0f x=，则lnx m=，则函数()f x在(),ln m-∞上单调递减，在()ln,m+∞上单调递增.①当ln1m<，即0m e<<时，则函数()f x在(),ln m-∞上单调递减，在(]ln,1m上单调递增，()()minln ln10f x f m m==+<，解得10me<<.②当ln1m≥，即m e≥时，函数()f x在区间(],1-∞上单调递减，则函数()f x在区间(],1-∞上的最小值为()110mfe=+<，解得m e<-，无解.综上，1me<，即实数m的取值范围是1,e⎛⎫-∞⎪⎝⎭.22. 解：（1）在直线l的参数方程中消去t，可得，34x y a--+=，将cosxρθ=，sinyρθ=代入以上方程中，所以，直线l的极坐标方程为3cos sin04aρθρθ--+=.同理，圆C的极坐标方程为26cos6sin140ρρθρθ--+=.（2）在极坐标系中，由已知可设1,3Mπρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,3Aπρ⎛⎫⎪⎝⎭，3,3Bπρ⎛⎫⎪⎝⎭.联立2,36cos6sin140,πθρρθρθ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M恰好为AB的中点，所以132ρ+=，即3Mπ⎫⎪⎪⎝⎭.把3,23M π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(313024a +-+=，所以94a =. 23. 解：（1）当2m =，1n =-时，()2321f x x x =+--.不等式()2f x <等价于()()3,223212,x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩ 或()()31,2223212,x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩ 或()()1,223212,x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩解得32x <-或302x -≤<，即0x <.所以不等式()2f x <的解集是(),0-∞. （2）由题设可得，()3,3,3233,3,23,,2x n x n f x x x n x n x n x n x ⎧⎪+-<-⎪⎪=+-+=++-≤≤-⎨⎪⎪-+->-⎪⎩所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为3,03n A +⎛⎫-⎪⎝⎭，()3,0B n -，,322nn C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 所以三角形ABC 的面积为()2613332326n n n n -+⎛⎫⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由题设知，()26246n ->，解得6n <-.。

2018年广东省汕头市潮南区高考考前冲刺试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．已知全集U=R ，集合A={x|x ＞2}，B={1，2，3，4}，那么（∁U A ）∩B=（ ） A ．{3，4} B ．{1，2，3} C ．{1，2} D ．{1，2，3，4}2．已知复数z=+i ，则z 的共轭复数为（ ） A ．1+i B ．1+2iC ．1﹣2iD ．2+3i3．下列说法中不正确的个数是（ ） ①“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的必要不充分条件②命题“∀x ∈R ，cosx ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，cosx 0≥1” ③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真． A ．3B ．2C ．1D ．04．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n 人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（ ） A ．860 B ．720 C ．1020D ．10405．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A ．3B ．4C ．5D ．66．若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ） A ．2log 23 B ．log 27 C ．3D ．27．双曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．C ．D ．8．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．16B ．32C ．D ．9．已知函数f （x ）=的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，2）B ．[﹣1，2）C ．（﹣∞，﹣1]D ．{﹣1}10．在等腰直角△ABC 中，AC=BC ，D 在AB 边上且满足：，若∠ACD=60°，则t 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．设偶函数f （x ）（x ∈R ）的导函数是函数f′（x ），f （2）=0，当x ＜0时，xf′（x ）﹣f （x ）＞0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C ．（﹣2，0）∪（2，+∞）D ．（0，2）∪（﹣2，0）12．抛物线y 2=8x 的焦点为F ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上的两个动点，若x 1+x 2+4=|，则∠AFB 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知实数x ，y 满足条件，则z=2x+y ﹣5的最小值为 ．14．已知向量，，且∥，则= ．15．正四棱锥O ﹣ABCD 的体积为，底面边长为，求正四棱锥O ﹣ABCD 的内切球的表面积 ．16．设Sn 为数列{an}的前n项和，若2an+（﹣1）n•an=2n+（﹣1）n•2n（n∈N*），则S10= ．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．18．某中学环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年连续100天的空气质量指数数据作为样本，绘制了如图的频率分布表，将频率视为概率．估算得全年空气质量等级为2级良的天数为73天（全年以365天计算）．（Ⅰ）求x，y，a，b的值；（Ⅱ）请在答题卡上将频率分布直方图补全（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算这100天空气质量指数监测数据的平均数．19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求点A到面PBC的距离．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳21．已知函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．2018年广东省汕头市潮南区高考考前冲刺试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．已知全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={1，2，3，4}，那么（∁UA）∩B=（）A．{3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1，2，3，4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由题意和补集的运算求出∁U A，由交集的运算求出（∁UA）∩B．【解答】解：因为全集U=R，集合A={x|x＞2}，所以CUA={x|x≤2}，又B={1，2，3，4}，则（CUA）∩B={1，2}，故选C．2．已知复数z=+i，则z的共轭复数为（）A．1+i B．1+2i C．1﹣2i D．2+3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=+i=，∴．故选：C．3．下列说法中不正确的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx≥1”③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．A．3 B．2 C．1 D．0【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用充要条件判断①的正误；命题的否定判断②的正误；四种命题的逆否关系判断③的正误；【解答】解：对于①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，不是必要不充分条件，所以①不正确；对于②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx≥1”，不满足命题的否定形式，所以②不正确；对于③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．满足四种命题的逆否关系，正确；故选：B．4．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n 人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．1040【考点】B3：分层抽样方法．【分析】先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中高二被抽取的人数为30，求总体．【解答】解：由已知条件抽样比为，从而，解得n=1040，故选：D．5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A．3 B．4 C．5 D．6【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】设出塔顶灯的盏数，由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可．【解答】解：由题意设塔顶有a盏灯，由题意由上往下数第n层就有2n﹣1•a盏灯，∴共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，即．解得：a=3．故选：A．6．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．2log23 B．log27 C．3 D．2【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=×的值，即可求得S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=×的值，由于S=×=×==3．故选：C．7．双曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆相切，∴圆心到渐近线的距离为=1或=1，求得a=b，∴c2=a2+b2=4a2，∴e=2．故选：A．8．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．16 B．32 C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，过点P作PO⊥底面ABC，垂足为O，连接OB，OC，则四边形OBAC是边长为4的正方形，高PO=4．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，过点P作PO⊥底面ABC，垂足为O，连接OB，OC，则四边形OBAC是边长为4的正方形，高PO=4．则该几何体的体积V==．故选：D．9．已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1] D．{﹣1}【考点】34：函数的值域．x是增函数，可得y=（2﹣a）x+3a 【分析】根据分段函数的值域为R，具有连续性，由y=log2也是增函数，故得2﹣a＞0，（2﹣a）+3a≤0，可得答案．【解答】解：函数f（x）=的值域为R，x是增函数，由y=log2∴y=（2﹣a）x+3a也是增函数，故得2﹣a＞0，解得：a＜2，∵函数f（x）的值域为R，1，（2﹣a）×1+3a≥log2解得：a≥﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣1，2）．故选B．10．在等腰直角△ABC中，AC=BC，D在AB边上且满足：，若∠ACD=60°，则t的值为（）A．B．C． D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】易知A，B，D三点共线，从而建立坐标系，从而利用坐标运算求解即可．【解答】解：∵，∴A，B，D三点共线，∴由题意建立如图所示坐标系，设AC=BC=1，则C（0，0），A（1，0），B（0，1），直线AB的方程为x+y=1，直线CD的方程为y=x，故联立解得，x=，y=，故D（，），故=（，），=（1，0），=（0，1），故t+（1﹣t）=（t，1﹣t），故（，）=（t，1﹣t），故t=，故选：A．11．设偶函数f（x）（x∈R）的导函数是函数f′（x），f（2）=0，当x＜0时，xf′（x）﹣f （x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（0，2）∪（﹣2，0）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，利用导数得到，g（x）在（﹣∞，0）是增函数，再根据f （x）为偶函数，得到g（x）是奇函数，在（0，+∞）递增，从而求出f（x）＞0的解集即可．【解答】解：令g（x）=，∴g′（x）=，∵x＜0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，∴x＜0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上是增函数，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣=﹣g（x），∴g （x ）是奇函数，∴g （x ）在（0，+∞）上是增函数，∵f （2）=0，∴g （2）==0，∴g （﹣2）=﹣g （2）=0， 如图示：当x ＞0，f （x ）＞0，即g （x ）＞0=g （2），解得：x ＞2， 当x ＜0时，f （x ）＜0，即g （x ）＜g （﹣2）=0，解得：x ＜﹣2故不等式f （x ）＜0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， 故选：B ．12．抛物线y 2=8x 的焦点为F ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上的两个动点，若x 1+x 2+4=|，则∠AFB 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB 的最大值．【解答】解：因为，|AF|+|BF|=x 1+x 2+4，所以．在△AFB中，由余弦定理得：=．又．所以，∴∠AFB的最大值为，故选D．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知实数x，y满足条件，则z=2x+y﹣5的最小值为﹣6 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先利用二元一次不等式表示平面区域的性质画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合得最优解，代入目标函数即可得目标函数的最值【解答】解：画出的可行域如图阴影区域：由得A（﹣1，1）目标函数z=2x+y可看做斜率为﹣2的动直线l，由图数形结合可知：当l过点A时，z最小为﹣2×1+1﹣5=﹣6．故答案为：﹣6．14．已知向量，，且∥，则= 2．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵∥，∴2x﹣6=0，解得x=3．则=（﹣2，﹣4），则==2．故答案为：．15．正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，求正四棱锥O﹣ABCD的内切球的表面积．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，可得斜高，利用等体积法求出正四棱锥O﹣ABCD的内切球的半径，根据球的表面积公式计算即得结论．【解答】解：正四棱锥O﹣ABCD的体积V=Sh=×h=，∴h=，∴斜高为=，设正四棱锥O﹣ABCD的内切球的半径为r，则×（+4×）r=，∴r=∴正四棱锥O﹣ABCD的内切球的表面积为4πr2=．故答案为：．16．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若2a n +（﹣1）n •a n =2n +（﹣1）n •2n （n ∈N*），则S 10= ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】由2a n +（﹣1）n •a n =2n +（﹣1）n •2n ，得当n=2k ﹣1（k ∈N *）时，可得a 2k ﹣1=0．当n=2k时，，即a 2k =．再利用等比数列的前n 项公式即可得出答案．【解答】解：∵2a n +（﹣1）n •a n =2n +（﹣1）n •2n ， ∴当n=2k ﹣1（k ∈N *）时，2a 2k ﹣1﹣a 2k ﹣1=0，即a 2k ﹣1=0．当n=2k 时，，即a 2k =．∴S 10=a 2+a 4+…+a 10===．故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC 中，三个内角的对边分别为a ，b ，c ，cosA=，asinA+bsinB ﹣csinC=asinB ．（1）求B 的值；（2）设b=10，求△ABC 的面积S ． 【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得cosC 的值，进而求得C ，进而求得sinA 和sinC ，利用余弦的两角和公式求得答案． （2）根据正弦定理求得c ，进而利用面积公式求得答案．【解答】解：（1）∵，∴．∴．又∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴．∵，又∵A、B、C是△ABC的内角，∴0＜A+C＜π，∴．∴．（2）∵，∴．∴△ABC的面积．18．某中学环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年连续100天的空气质量指数数据作为样本，绘制了如图的频率分布表，将频率视为概率．估算得全年空气质量等级为2级良的天数为73天（全年以365天计算）．（Ⅰ）求x，y，a，b的值；（Ⅱ）请在答题卡上将频率分布直方图补全（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算这100天空气质量指数监测数据的平均数．【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）由题意得：365b=73，a+b=0.3，由此能求出x，y，a，b的值．（Ⅱ）补全直方图，由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：365b=73，解得b=0.2，又a+b=0.3∴a=0.1，∴x=100×0.1=10，y=100×0.2=20﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）补全直方图如图所示﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数为：25×0.1+75×0.2+125×0.25+175×0.2+225×0.15+275×0.1=145．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求点A到面PBC的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（1）证明点O为△ABD的外心，利用△ABD是直角三角形，可得O是AD中点；（2）由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，即可证明：BC⊥PB；（3）由等体积法VP﹣ABC =VA﹣PBC，求点A到面PBC的距离．【解答】（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，又∵PO⊥底面ABCD，∴OA=OB=OD，则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，∴点O为AD中点．（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，于是PO⊥面ABCD，∴BC⊥PO，∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，∴，又，∴，从而即CB⊥BO，由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，∴BC⊥PB．（3）解：∵，∴ABCD是平行四边形，在Rt△ABD中，∵AB=AC=2，∴，由（2）知：PO⊥面ABCD，BC⊥PB，由PB=2，，∴，∴，．设点A到面PBC的距离为h，由等体积法VP﹣ABC =VA﹣PBC，∴，∴．即点A到面PBC的距离为1．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳•︳MB︳化为，再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案．【解答】（Ⅰ）解：如图，由题意可得，解得a2=4，b2=1，∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y=，联立，得x2+2mx+2m2﹣2=0．∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），则，|AB|==．∴x=﹣m，，即M（），则OM所在直线方程为y=﹣，联立，得或．∴C（﹣，），D（，﹣）．则︳MC︳•︳MD︳===．而︳MA︳•︳MB︳=（10﹣5m2）=．∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳．21．已知函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数g（x）的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（x﹣1）e x+ax2，f′（x）=x（e x+2a），①a≥0时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；②﹣＜a＜0时，ln（﹣2a）＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜ln（﹣2a），令f′（x）＜0，解得：ln（﹣2a）＜x＜0，故f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））递减，在（ln（﹣2a），0）递增，在（0，+∞）递减；③a=﹣时，ln1=0，f（x）在R递增；④a＜﹣时，ln（﹣2a）＞0，令f′（x）＞0，解得：x＜0或x＞ln（﹣2a），令f′（x）＜0，解得：ln（﹣2a）＞x＞0，故f （x ）在（﹣∞，0）递减，在（0，ln （﹣2a ））递增，在（ln （﹣2a ），+∞）递减； （Ⅱ）函数g （x ）的定义域为R ，由已知得g'（x ）=x （e x +2a ）． ①当a=0时，函数g （x ）=（x ﹣1）e x 只有一个零点； ②当a ＞0，因为e x +2a ＞0，当x ∈（﹣∞，0）时，g'（x ）＜0；当x ∈（0，+∞）时，g'（x ）＞0． 所以函数g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增． 又g （0）=﹣1，g （1）=a ，因为x ＜0，所以x ﹣1＜0，e x ＜1，所以e x （x ﹣1）＞x ﹣1，所以g （x ）＞ax 2+x ﹣1， 取x 0=，显然x 0＜0且g （x 0）＞0，所以g （0）g （1）＜0，g （x 0）g （0）＜0，由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a ＜0时，由g'（x ）=x （e x +2a ）=0，得x=0，或x=ln （﹣2a ）． ⅰ） 当a＜﹣，则ln （﹣2a ）＞0．当x 变化时，g'（x ），g （x ）变化情况如下表：注意到g （0）=﹣1，所以函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意．ⅱ） 当a=﹣，则ln （﹣2a ）=0，g （x ）在（﹣∞，+∞）单调递增，函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意．若a ＞﹣，则ln （﹣2a ）≤0．当x 变化时，g'（x ），g （x ）变化情况如下表：注意到当x ＜0，a ＜0时，g （x ）=（x ﹣1）e x +ax 2＜0，g （0）=﹣1，所以函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是（0，+∞）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1过点P （a ，1），其参数方程为（t 为参数，a ∈R ）．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C 1与曲线C 2交于A 、B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值． 【考点】QH ：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； （Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t 1|，|PB|=2|t 2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a 的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C 1参数方程为，∴其普通方程x ﹣y ﹣a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ﹣ρ=0，∴ρ2cos 2θ+4ρcos θ﹣ρ2=0 ∴x 2+4x ﹣x 2﹣y 2=0，即曲线C 2的直角坐标方程y 2=4x ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为t 1，t 2，联解得要有两个不同的交点，则，即a ＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t 1|，|PB|=2|t 2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t 1|=2×2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=﹣2t 2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴当t 1=2t 2时，有t 1+t 2=3t 2=，t 1t 2=2t 22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当t 1=﹣2t 2时，有t 1+t 2=﹣t 2=，t 1t 2=﹣2t 22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，实数a的值为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1∴+= [（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．∴+≥1成立．。

高考数学三轮复习冲刺模拟试题01集合一、选择题1 ．已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2 ．设集合{1}A x x a x R =-<∈，，B={x|1<x<5,x ∈Ｒ}，若A ⋂B=φ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{a|0≤a ≤6}B ．{a|a ≤2，或a ≥4}C ．{a|a ≤0，或a ≥6}D ．{a|2≤a ≤4}3 ．已知集合2A ={|log<1},B={x|0<<c}x x x，若=A B B ，则c 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．[1,+)∞C ．(0,2]D ．[2,+)∞二、填空题4 ．若不等式4+-2+1x m x≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈,集合{}2=--6<0B x R x x ∈,则集合=A B ___________.5 ．设集合是A={32|()=83+6a f x xax x -是(0，+∞)上的增函数}，5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈，则()R A B ð= ；6．试题）己知集合222{|28},{|240}xxA xB x x mx -=<=+-<, 若{|11},{|43}A B x x A B x x =-<<=-<<,则实数m 等于__________ .7 ．设集合{}1,R A x x a x =-<∈,{}15,R B x x x =<<∈,若∅=B A ,则实数a 取值范围是___________.三、解答题8 ．已知={()|1},B={()|3,0x 3}2A x,y y =-x+mx -x,y x+y =≤≤，若A B ⋂是单元素集，求实数m的取值范围.参考答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】{(3)0}{03}P x x x x x =-<=<<,={2}{22}Q x x x x <=-<<，所以{02}(0,2)P Q x x =<<=,选B.2. 【答案】C【解析】{1}{11}A x x a x R x a x a =-<∈==-<<+，,因为=A B φ，所以有15a -≥或11a +≤，即6a ≥或0a ≤，选C.3. 【答案】D【解析】2{log 1}{01}A x x x x =<=<<.因为A B B =，所以A B ⊆.所以1c ≥，即[1,)+∞，选B.二、填空题4. {}-1<3x x ≤; 5. 【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】2()=2466f 'x x ax -+，要使函数在(0,)+∞上是增函数，则2()=24660f 'x x ax -+>恒成立，即14a x x <+，因为144x x +≥=，所以4a ≤，即集合{4}A a a =≤.集合5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈{15}y x =≤≤，所以{14}A B x x ⋂=≤≤，所以()=R A B ð(,1)(4,)-∞+∞.6. 【答案】32222{|28}{|230}{13}x xA x x x x x x -=<=--<=-<<，因为{|11},{|43}AB x x A B x x =-<<=-<<，所以由数轴可知{|41}B x x =-<<，即4,1-是方程2240x mx +-=的两个根，所以4123m -+=-=-，解得32m =。

2018年高考模拟卷数学(文)试题Word版含答案2018年高中毕业班教学质量检测高考模拟数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z满足(1-i)z=1+3i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集U=Z，A={x∈Z|x^2-x-2≥0}，B={-1,0,1,2}，则(C∩A)∩B=（）A.{-1,2}B.{-1,0}C.{0,1}D.{1,2}3.若-1<sinα+cosα<1，则（）A.sinα<cosαB.cosα<sinαC.tanα<cosαD.cos2α<14.已知点(2,3)在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)的一条渐近线上，则a=（）A.3B.4C.2D.235.“a^2=1”是“函数f(x)=lg((2+x)/(1-x))+(a^2-1)/2为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.执行以下程序框架，则输出A的值是（）int A=0;for(int i=1;i<=6;i++){A=A*10+i;XXX<<A<<endl;A.B.xxxxxxxxC.D.xxxxxxx7.边长为4的正三角形ABC中，点D在边AB上，AD=DB，M是BC的中点，则AM×CD=（）A.16B.12√3C.-8/3D.-88.等比数列{a_n}共有2n+1项，其中a_1=1，偶数项和为170，奇数项和为341，则n=（）A.3B.4C.7D.99.函数f(x)=x^2cos(x)在(-π/2,π/2)的图象大致是（）A。

B。

C。

D。

10.抛物线x^2=4y的焦点为F，过F作斜率为-3的直线l 与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是（）A.4B.3/3C.4/3D.811.将函数f(x)=sin(ωx)(ω>0)的图象向左平移π/4个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于直线x=ω对称且在区间(-ω,ω)内单调递增，则ω的值为（）A.3π/2B.2π/3C.3π/4D.π/212.若函数f(x)={-x-e^(x+1),x≤a。

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2018年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2≤1}，B={x|0＜x＜1｝，则A∩B=（）A．[﹣1，1) B．(0，1）C．[﹣1，1］D．（﹣1,1)2．（5分）若i为虚数单位，则复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）已知等差数列｛a n}前3项的和为6,a5=8，则a20=( ）A．40 B．39 C．38 D．374．（5分）若向量，的夹角为，且｜｜=4，｜|=1，则||=（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）已知双曲线C：(a＞0,b＞0)的渐近线与圆（x+4）2+y2=8无交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，） B．() C．（1，2) D．（2,+∞）6．（5分）已知实数x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值为( ) A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）函数y=log(x2﹣4x+3)的单调递增区间为（）A．（3，+∞）B．（﹣∞,1）C．(﹣∞,1）∪(3，+∞) D．（0，+∞）8．（5分)宜宾市组织“歌颂党，歌颂祖国”的歌咏比赛,有甲、乙、丙、丁四个单位进入决赛，只评一个特等奖，在评奖揭晓前，四位评委A，B，C，D对比赛预测如下：A说:“是甲或乙获得特等奖"； B说：“丁作品获得特等奖”;C说：“丙、乙未获得特等奖”； D说:“是甲获得特等奖"．比赛结果公布时,发现这四位评委有三位的话是对的，则获得特等奖的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．（5分）某几何组合体的三视图如图所示，则该几何组合体的体积为（）A． B．C．2 D．10．(5分）若输入S=12,A=4，B=16，n=1，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．711．(5分）分别从写标有1，2，3，4，5,6,7的7个小球中随机摸取两个小球，则摸得的两个小球上的数字之和能被3整除的概率为( ）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x(x+1），给出下列命题：①当x≥0时，f（x）=e﹣x（x+1）;②∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）｜＜2；③f（x）＞0的解集为(﹣1,0）∪，（1，+∞）;④方程2［f（x）]2﹣f（x)=0有3个根．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②④D．③④二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在等比数列{a n｝中,若a2+a4=，a3=，且公比q＜1,则该数列的通项公式a n= ．14．(5分）已知y=f（x)是偶函数，且f（x)=g（x）﹣2x，g(3）=3，则g（﹣3)= ．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC是边长为的等边三角形，PA=PB=PC，PB ⊥平面PAC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．16．(5分）在△ABC中，D为AC上一点，若AB=AC，AD=，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

汕头市潮南2018高考冲刺试卷数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每小题有四个选项，只有一个是正确的）1. 已知全集，集合，，那么=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意和补集的运算求出，由交集的运算求出（．【详解】因为全集，集合，，所以，又，则（，故选：C．【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．2. 已知复数满足则（）A. B. C. D.【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题3. 等比数列的前项和，成等差数列，，则（）A. 15B. -15C. 4D. -4【答案】A【解析】【分析】利用成等差数列求出公比即可得到结论．【详解】由题成等差数列．，即即解得，【点睛】本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．4. 设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】移项得.故选B视频5. 下列命题正确的是（）A. 命题的否定是：B. 命题中，若，则的否命题是真命题C. 如果为真命题，为假命题，则为真命题，为假命题D.是函数的最小正周期为的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】在A中，命题的否定是：；在B中，命题中，若，则的否命题是假命题；在C中，与中一个是假命题，另一个是真命题；在D中，，从而是函数的最小正周期为的充分不必要条件．【详解】在A中，命题的否定是：，故A错误；在B中，命题中，若，则的否命题是假命题，故B错误；在C中，如果为真命题，为假命题，则与中一个是假命题，另一个是真命题，故C错误；在D中，∴ω=1⇒函数f（x）=sinωx-cosωx的最小正周期为2π，函数f（x）=sinωx-cosωx的最小正周期为2π⇒ω=±1．∴是函数的最小正周期为的充分不必要条件，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查否命题、复合命题的真假判断、充分不必要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6. 若如右图所示的程序框图输出的是，则①可以为 ( )A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：不成立，输出考点：程序框图7. 已知函数，下列结论中错误的是（）A. 的图像关于中心对称B. 在上单调递减C. 的图像关于对称D. 的最大值为【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性，最值性，对称性的性质分别进行判断即可．【详解】A．当时，，则的图像关于中心对称，故A正确，B．由得当时，函数的递减区间是，故B错误，C．当时，，则的图像关于对称，故C正确，D．当时，函数取得最大值为，故D正确，故选：B．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的性质是解决本题的关键．8. 若＝＝＝1，则a，b，c的大小关系是（）A. a＞b＞cB. b＞a＞cC. a＞c＞bD. b＞c＞a【答案】D【解析】【分析】由求出的值，由求得的值，由＝1求得的值，从而可得答案．【详解】由，可得故，由，可得，故，由，可得，故，．故选：D．【点睛】本题主要考查对数的定义，对数的运算性质的应用，属于基础题．9. 已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值，然后根据基本不等式的性质进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．代入目标函数得．即．则，当且仅当取等号，故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是一个几何体的三视图.则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的组合体，长方体的长，宽，高分别为：2，1，2，体积为：4，切去的三棱锥的长，宽，高分别为：2，1，1，体积为，故组合体的体积，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度不大，属于基础题．11. 抛物线的焦点为，设是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由抛物线定义得所以由得,因此所以，选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．12. 已知函数，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出函数f(x)的图象如图，若m<n,且f(m)=f(n)，则当ln(x+1)=1时，得x+1=e，即x=e−1，则满足0<n⩽e−1，−2<m⩽0，则ln(n+1)=m+1,即m=2ln(n+1)−2，则n−m=n+2−2ln(n+1)，设h(n)=n+2−2ln(n+1)，0<n⩽e−1则，当h′(x)>0得1<n⩽e−1，当h′(x)<0得0<n<1，即当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2−2ln2=3−2ln2，当n=0时,h(0)=2−2ln1=2，当n=e−1时,h(e−1)=e−1+2−2ln(e−1+1)=1+e−2=e−1<2，则3−2ln2⩽h(n)<2，即n−m的取值范围是[3−2ln2,2)，本题选择A选项.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知实数满足条件,则的最小值为__________．【答案】-6【解析】【分析】先利用二元一次不等式表示平面区域的性质画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合得最优解，代入目标函数即可得目标函数的最值【详解】画出的可行域如图阴影区域：由得，目标函数可看做斜率为-2的动直线，由图数形结合可知：当过点时，最小为．故答案为：-6．【点睛】本题主要考查了简单线性规划问题的一般解法，线性约束条件对应的可行域的画法，数形结合解决问题的思想方法，属基础题．14. 已知动点在圆上运动,点为定点与点距离的中点，则点的轨迹方程为__________ 【答案】【解析】【分析】设，用表示出点坐标，代入圆方程化简即可．【详解】设，则把代入圆的方程可得：，即，故答案为：．【点睛】本题考查了轨迹方程的求解，中点坐标公式的应用，属于基础题．15. 三棱锥D-ABC中，DC⊥平面ABC，且AB=BC=CA=DC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是__________【答案】【解析】【分析】作的外接圆，过点作圆的直径，连结则为三棱锥的外接球的直径，由此能求出三棱锥的外接球表面积．【详解】作的外接圆，过点作圆的直径，连结，则为三棱锥的外接球的直径，∵三棱锥平面，且，∵平面，∴三棱锥的外接球表面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16. 定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________【答案】【解析】【分析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解可得的范围，即可得答案．【详解】根据题意，，则，分析可得，当时，取得最小值2，则有，则，若为减函数，必有，解可得：，即m的取值范围为；故答案为：．【点睛】本题考查函数单调性、函数最值的计算，关键是求出c的值．三、解答题（共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知(1)若向量，，且∥，求的值.(2)在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标运算与辅助角公式得到：，从而可求)的值；（2）利用正弦定理求出取值范围，然后求出函数的取值范围．【详解】（1），即，所以.（2）因为，由正弦定理得：即又中，∴∵，∴，则，因此，于是，由，∴，故的取值范围为.【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查辅助角公式与两角和的余弦，属于中档题．18. 2017年5月27日当今世界围棋排名第一的柯洁在与的人机大战中中盘弃子认输，至此柯洁与的三场比赛全部结束，柯洁三战全负，这次人机大战再次引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.（1）请根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？（2）为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平，从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组队参加校际交流赛，首轮该校需派两名学生出赛，若从5名学生中随机抽取2人出赛，求2人恰好一男一女的概率. 参考数据:【答案】(1)没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.(2).【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求得频率与频数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据分层抽样原理，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】（1）由频率分布直方图可知，所以在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而列联表如下因为，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.（2）由（1）中列联表可知25名“围棋迷”中有男生15名，女生10名，所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的5名学生中，有男生3名，记为，有女生2名，记为.则从5名学生中随机抽取2人出赛，基本事件有：，，，，，，，，，，共10种；其中2人恰好一男一女的有：，，，，，，共6种；故2人恰好一男一女的概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图、独立性检验和列举法求概率的应用问题，是基础题．19. 如下图，四梭锥中,⊥底面,,为线段上一点，,为的中点.(1)证明:平面；（2）求四面体的体积.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，连接，得到四边形为平行四边形，即，利用直线与平面平行的判定定理，即可证得平面；（Ⅱ）由平面，得到平面的距离为，取的中点，连结，求德，利用，即可求解三棱锥的体积．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面（Ⅱ）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积.20. 已知椭圆的右焦点为,坐标原点为.椭圆的动弦过右焦点且不垂直于坐标轴，的中点为,过且垂直于线段的直线交射线于点(I)证明:点在直线上;(Ⅱ)当四边形是平行四边形时,求的面积.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）设所在直线为：，联立方程组，由韦达定理得，得到，从而和所在直线方程，联立方程组解得，即可证得点在直线上.（Ⅱ）由点是的中点，且四边形是平行四边形，即点是的中点，由（Ⅰ）知的坐标，求得的值，得到，利用弦长公式和两点的距离公式分别求得，即可求得的面积．试题解析：（Ⅰ）易知，设所在直线为：，，联立方程组，化简得由韦达定理得，，则，从而所在直线方程为又所在直线方程为，联立两直线方程解得.所以点在直线上.（Ⅱ）∵点是的中点，且四边形是平行四边形∴点是的中点由（Ⅰ）知，，则此时.从而.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21. 已知函数（1）求函数的极值（2）定义：若函数在区间上的取值范围为，则称区间为函数的“美丽区间”．试问函数在上是否存在“美丽区间”？若存在，求出所有符合条件的“美丽区间”；若不存在，请说明理由【答案】(1)当时，函数有极大值为1，当时，函数有极小值为．(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用函数的正负性，来求原函数的单调区间，可得函数的极值；（Ⅱ）据“域同区间”的定义得到，则方程有两个大于3的相异实根．，然后利用方程根的情况列式求解，即可得出结论．【详解】（1）因为，所以．令，可得或．则在上的变化情况为：所以当时，函数有极大值为1，当时，函数有极小值为．（2）假设函数在上存在“美丽区间”，由（1）知函数在上单调递增．所以即也就是方程有两个大于3的相异实根．设，则．令，解得，．当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．因为，，，所以函数在区间上只有一个零点．这与方程有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数在上不存在“美丽区间”．【点睛】本题考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22. 选修：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，）．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线与曲线交于、两点，且，求实数的值．【答案】(1)见解析;(2)或．【解析】试题分析：（1）对曲线进行消参即可得曲线的普通方程，根据和将曲线化为直角坐标方程；（2）将曲线的参数方程代入曲线,根据参数方程的几何意义可知，| |，利用，分类讨论，即可求实数的值．试题解析：（1）的参数方程，消参得普通方程为，的极坐标方程为两边同乘得即；（2）将曲线的参数方程（为参数，）代入曲线得，由，得，设对应的参数为，由题意得即或，当时，，解得，当时，解得，综上：或．23. 选修：不等式选讲已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.（1）求的值；（2）正数满足，求证：.【答案】(1).(2)见解析.【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得，所以，解这个不等式可求得.（2）由（1）得，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后利用基本不等式可求得最小值为.试题解析：（1）,若不等式有解，则满足，解得，∴.（2）由（1）知正数满足，∴.当且仅当，时，取等号.。

广东省汕头市2018年普通高校招生模拟考试数学试题（文科）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A ∪B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A ∩B)=P(A)·P(B) 棱锥的体积公式 Sh V 31=球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

2．第14题、15题为选答题，考生选答其中一题，两题都答的只计算前一题得分第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共1小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中 “2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ） A ．0 B ．7C ．快D ．乐2．已知三角形的边长分别为4，5，61，则它的最大内角的度数是 （ ）A ．150°B ．120°C ．135°D ．90° 3．如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为 （ ）A ．棱锥B ．棱柱C ．圆锥D ．圆柱 4．在平行四边形ABCD 中，+-等于 （ ）A ．B ．C ．D ．5．某机床生产一种机器零件，10天中每天出的次品分别是：2，3，，1，1，0，2，1，1，0，1则它的平均数和方差即标准差的平方分别是 （ ） A ．1，2，0.76 B ．1，2，2.173 C ．12，0.472 D ．1，2，0.6876．设全集U=R ，A=}1|{},0)3(|{-<=<+x x B x x x ，则右图中阴影部分表示的集合为 （ ）A ．}0|{>x xB ．}03|{<<-x xC ．}13|{-<<-x xD ．}1|{-<x x7．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。

2017-2018学年广东省汕头市潮南区高考数学模拟试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，6）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）2．若复数（i是虚数单位），则=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．函数y=sinxsin的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A．B．1 C．2 D．45．给出下列四个结论：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）=0.2；②若P：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知等比数列{a n}中，a5+a7=dx，则a6（a4+2a6+a8）的值为（）A．16π2 B．4π2C．2π2D．π27．若直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]8．现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意1个，则恰有1个题目没有被这4为选手选中的情况有（）A．36种B．72种C．144种D．288种9．展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）A．B．C．1 D．11．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． + C．D．12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．8二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量，满足||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为________．14．设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为________．15．设A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是________．16．已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为，设，若在数列{c n}中，（n∈N*，n≠10），则实数p的取值范围是________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．（1）求C；（2）若△ABC的面积为2，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度．18．某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，82100（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8．现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求折起后AC与平面MCD所成角的正弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，设直线l与圆x2+y2=r2（1＜r＜）、椭圆C同时相切，切点分别为A，B，求|AB|的最大值．21．已知f（x）=e x﹣ax2﹣2x+b（e为自然对数的底数，a，b∈R）．（Ⅰ）设f′（x）为f（x）的导函数，证明：当a＞0时，f′（x）的最小值小于0；（Ⅱ）若a＞0，f（x）＞0恒成立，求符合条件的最小整数b．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ和曲线C2：ρcosθ=3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ 长度的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．2016年广东省汕头市潮南区高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，6）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，再求A∩B的值．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|﹣1＜x＜6}，B={x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故选：C．2．若复数（i是虚数单位），则=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴．故选：B．3．函数y=sinxsin的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【考点】二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用诱导公式、二倍角公式对已知函数进行化简，然后代入周期公式即可求解【解答】解：∵y=sinxsin=sinxcosx=sin2x∴T==π故选B4．程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，x=2013，满足进行循环的条件，第2次执行循环体后，x=2010，满足进行循环的条件，第3次执行循环体后，x=2007，满足进行循环的条件，…第n次执行循环体后，x=2016﹣3n，满足进行循环的条件，…第672次执行循环体后，x=0，满足进行循环的条件，第673次执行循环体后，x=﹣3，不满足进行循环的条件，故y=，故选：A5．给出下列四个结论：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）=0.2；②若P：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】的真假判断与应用．【分析】①根据正态分布的性质进行判断，②根据含有量词的的否定进行判断．③根据直线垂直的等价条件进行判断．④根据回归直线的性质进行判断．【解答】解：①若ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）===0.2，故①正确，②若p：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈[1，+∞），x2﹣x﹣1≥0；故②错误③当b≠0时，两直线的斜率分别为，，由•（）==﹣1，即a=﹣3b，当b=0，a=0时，两直线分别为l1：3y﹣1=0，l2：x+1=0，满足l1⊥l2，故l1⊥l2的充要条件是错误，故③错误，④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均减少2.5个单位．故④错误，故正确是①，故选：A．6．已知等比数列{a n}中，a5+a7=dx，则a6（a4+2a6+a8）的值为（）A．16π2 B．4π2C．2π2D．π2【考点】定积分；等比数列的通项公式．【分析】先利用定积分的几何意义计算定积分dx的值，然后利用等比数列的性质进行化简整理，可得结论．【解答】解：∵dx，表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的二分之一，∴dx=π×4=2π，∴a5+a7=2π，∵等比数列{a n}，∴a6（a4+2a6+a8）=a6a4+2a62+a6a8=a52+2a5a7+a72=（a5+a7）2=4π2．故选：B．7．若直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线的斜率的正值不大于2，由a，b，c 的关系和离心率公式，可得范围．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，可得≤2，即b≤2a，又e==≤=，但e＞1，可得1＜e≤．故选：D．8．现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意1个，则恰有1个题目没有被这4为选手选中的情况有（）A．36种B．72种C．144种D．288种【考点】计数原理的应用．【分析】利用间接法，先确定4个选手无遗漏的选择，再去掉恰好2、3、4道题目被选的情况，即可得出结论．【解答】解：由题意，每个选手都有4种选择，所以4个选手无遗漏的选择是44种，其中恰好2道题目被选的有C42（C43A22+C42）=84、恰好3道未被选（四人选了同一题目，有4种）、恰好0道题未被选的（4个题目都被选，有A44=24种）．故共有256﹣84﹣4﹣24=144种．故选：C．9．展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】二项式定理．【分析】采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去x4项系数C8820（﹣1）8=1即为所求【解答】解：中，令x=1得展开式的各项系数和为1的展开式的通项为=令得含x4项的系数为C8820（﹣1）8=1故展开式中不含x4项的系数的和为1﹣1=0故选项为B10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图利用三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：由题意，原几何体为三棱锥，如图所示．点P在底面ABC上的射影与ACB组成正方形．∴．故选：D．11．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． + C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，=1+3（k﹣1）=3k﹣2，a2k=2+3（k﹣1）=3k﹣1．且a2k﹣1则当n为偶数时，设2k=n，数列{a n}的前n项和S n=+=3k2=．故选：C．12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．8【考点】其他不等式的解法．【分析】画出函数f（x）的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．【解答】解：函数f（x），如图所示，[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为3，又f（3）=﹣9+6=﹣3，∴﹣a＜﹣3＜0，﹣a≥f（4）=﹣8，则8≥a＞3，a≤0不必考虑，故选：D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量，满足||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为120°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设与的夹角为θ，根据（+）•=+=0，求得cosθ，可得θ的值．【解答】解：平面向量，满足||=1，||=2，且（+）⊥，设与的夹角为θ，则（+）•=+=1+1×2×cosθ=0，cosθ=﹣，∴θ=120°，故答案为：120°．14．设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出约束条件对应的平面区域，得如图所示的扇形及其内部．再将直线直线l：z=x+y 进行平移，观察直线l在y轴的截距变化，可得当l经过扇形的顶点B时，目标函数z达最大值，由此可得目标函数z=x+y的最大值．【解答】解：作出约束条件D：对应的平面区域，为如图所示的扇形及其内部．将直线l：z=x+y进行平移，当直线越向上平移，z的值越大可得当l与圆弧BC相切时，l在y轴上的截距最大，目标函数z同时达最大值，求得切点（2，2）∴目标函数z=x+y的最大值是z max=F（2，2）=2+2=4．故答案为：4．15．设A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是32．【考点】球内接多面体．【分析】设AB=a，AC=b，AD=c，根据AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，可得a2+b2+c2=4R2=64，而S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc），利用基本不等式，即可求得最大值．【解答】解：设AB=a，AC=b，AD=c，∵AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，∴a2+b2+c2=4R2=64∴S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc）≤（a2+b2+c2）=32∴S△ABC+S△ACD+S△ADB的最大值为32故答案为：32．16．已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为，设，若在数列{c n}中，（n∈N*，n≠10），则实数p的取值范围是（24，30）．【考点】数列递推式．【分析】当n≤10时，a n＞b n，可得c n=b n＜c10=a10；当n≥11时，a n≤b n，∴c n=a n＜c10=b10，解出即可得出．【解答】解：当n≤10时，a n＞b n，∴c n=b n＜c10=﹣20+p，∴﹣20+p＞b9=22，解得p＞24；当n≥11时，a n≤b n，∴c n=a n＜c10=b10，∴﹣22+p＜23，解得p＜30．∴p的取值范围是（24，30）．故答案为：（24，30）．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．（1）求C；（2）若△ABC的面积为2，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）根据正弦定理将边化角，化简得出cosC；（II）根据三角形的面积公式列方程解出CD．【解答】解：（Ⅰ）∵acosB+bcosA=2ccosC，∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，因为0＜C＜π，所以，故；（Ⅱ）在△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴．∵S△ABC=S△ACD+S△BCD，∴2=a+=（a+b）•CD•sin．解得．18．某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（Ⅰ）分布求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解（Ⅱ）（ⅰ）先判断随机变量X的所有取值情况有90，45，30，﹣15．，然后分布求解出每种情况下的概率，即可求解分布列及期望值（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．由题意，得50n﹣10（5﹣n）≥140，解不等式可求n，然后利用独立事件恰好发生k次的概率公式即可求解【解答】解：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为，芯片乙为合格品的概率约为．…（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15.；；；．X（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．依题意，得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以n=4，或n=5．设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，则．…19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8．现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求折起后AC与平面MCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取BD中点O，连接OA，OC，利用余弦定理求出AC，利用勾股定理的逆定理得出AO⊥OC，又OA⊥BD，故而AO⊥平面BCD，于是平面ABD⊥平面CBD；（2）以O为原点建立空间坐标系，求出和平面MCD的法向量，则|cos＜，＞|即为AC与平面MCD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取BD中点O，连接OA，OC，则OA=OC=4，∵AD=CD=5，cos∠ADC=．∴AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC=25+25﹣2×=32．∴OA2+OC2=AC2，∴OA⊥OC．∵AB=AD，O是BD的中点，∴OA⊥BD．又BD⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，BD∩OC=O，∴OA⊥平面BCD．又OA⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．解：（2）∵BC=CD，∴OC⊥BD．以O为原点，以OC，OD，OA为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则C（4，0，0），A（0，0，4），D（0，3，0），M（0，﹣，2）．∴=（4，0，﹣4），=（4，﹣3，0），=（4，，﹣2）．设平面MCD的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=3，得=（3，4，9）．∴=﹣24．∴cos＜＞==﹣．∴AC与平面MCD所成角的正弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，设直线l与圆x2+y2=r2（1＜r＜）、椭圆C同时相切，切点分别为A，B，求|AB|的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能推导出当R→时，|AB|取得最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，∴，解得a=，b=1，∴椭圆方程为=1．（Ⅱ）由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0，设A（x1，y1），B（x0，y0），∵直线l与圆M相切，∴=r，即m2=r2（k2+1），①联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直线l与椭圆G相切，得△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，即m2=2k2+1，②由①②得k2=，m2=，设点B（x0，y0），则=，=1﹣=∴|OB|2===3﹣，∴|AB|2=|OB|2﹣|OA|2=3﹣﹣r2=3﹣（r2+）≥3﹣2=3﹣2，∵1，∴1＜r2＜2，∴r2→2时，|AB|取得最大值=．21．已知f（x）=e x﹣ax2﹣2x+b（e为自然对数的底数，a，b∈R）．（Ⅰ）设f′（x）为f（x）的导函数，证明：当a＞0时，f′（x）的最小值小于0；（Ⅱ）若a＞0，f（x）＞0恒成立，求符合条件的最小整数b．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）令g（x）=f'（x）=e x﹣2ax﹣2，求出g'（x）=e x﹣2a，判断导函数的符号，推出单调性，求出原函数的导数的最小值，再构造最小值函数，利用导数求解最小值函数的最大值为负值，说明f'（x）min＜0成立．（Ⅱ）利用f（x）＞0恒成立，等价于f（x）min ＞0恒成立，构造g（x）=f'（x）=e x﹣2ax﹣2，求出导函数g'（x）=e x﹣2a，判断单调性，推出恒成立且求出b的表达式，a的表达式，在构造函数令，判断单调性，求出满足椭圆的b即可．法2：令x=0，得到符合条件的最小整数b=0，然后证明b=0时，f（x）＞0 求f（x）=e x ﹣ax2﹣2x的最小值．令g（x）=f'（x）=e x﹣2ax﹣2，判断g（x）单调性，求解函数，且，在构造函数函数，利用函数的最值，推出b=0是符合条件的．【解答】解：（Ⅰ）证明：令g（x）=f'（x）=e x﹣2ax﹣2，则g'（x）=e x﹣2a，因为a＞0，令g'（x0）=0，x0=ln2a，所以当x∈（﹣∞，ln2a）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（ln2a，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令G（x）=x﹣xlnx﹣2，（x＞0）G'（x）=1﹣（lnx+1）=﹣lnx当x∈（0，1）时，G'（x）＞0，G（x）单调递增当x∈（1，+∞）时，G'（x）＜0，G（x）单调递减所以G（x）max=G（1）=﹣1＜0，所以f'（x）min＜0成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）f（x）＞0恒成立，等价于f（x）min＞0恒成立令g（x）=f'（x）=e x﹣2ax﹣2，则g'（x）=e x﹣2a，因为a＜0，所以g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，又g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣2a﹣2＞0，所以存在x0∈（0，1），使得g（x0）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则x∈（﹣∞，x0）时，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（x0，+∞）时，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增；所以恒成立 (1)且 (2)由（1）（2），即可﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又由（2），所以x0∈（0，ln2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令n（x）=，所以，所以m（x）单调递增，m（x）＞m（0）=（﹣1）e0=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以b＞﹣1，所以符合条件的b=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣法2：令x=0，f（0）=1+b＞0，b＞﹣1，故符合条件的最小整数b=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣现证明b=0时，f（x）＞0 求f（x）=e x﹣ax2﹣2x的最小值即可令g（x）=f'（x）=e x﹣2ax﹣2，则g'（x）=e x﹣2a，因为a＜0，所以g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，又g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣2a﹣2＞0，所以存在x0∈（0，1），使得g（x0）=0，则x∈（﹣∞，x0）时，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（x0，+∞）时，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增；所以．（1）且 (2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又由（2），所以x0∈（0，ln2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣现在求函数的范围q（x0）=，，所以，所以p（x）单调递减，p（x）＜p（0）=（﹣1）e0=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以b=0是符合条件的．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AB，利用P、B、F、A四点共圆，PA与圆O切于点A，得出两组角相等，即可证明：AE∥CD；（Ⅱ）四边形PBFA的外接圆就是四边形PBOA的外接圆，OP是该外接圆的直径，由切割线定理可得PA，即可求四边形PBFA的外接圆的半径．【解答】（I）证明：连接AB．∵P、B、F、A四点共圆，∴∠PAB=∠PFB．…又PA与圆O切于点A，∴∠PAB=∠AEB，…∴∠PFB=∠AEB∴AE∥CD．…（II）解：因为PA、PB是圆O的切线，所以P、B、O、A四点共圆，由△PAB外接圆的唯一性可得P、B、F、A、O共圆，四边形PBFA的外接圆就是四边形PBOA的外接圆，∴OP是该外接圆的直径．…由切割线定理可得PA2=PC•PD=3×9=27 …∴．∴四边形PBFA的外接圆的半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ和曲线C2：ρcosθ=3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ 长度的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）设出直线PQ的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可．【解答】解：（I）C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…，C2的直角坐标方程为x=3；…（II）设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，∴PQ过点A（2，0），设直线PQ的参数方程为，代入C1可得t2+2tcosθ=0，解得，可知|AP|=|t2|=|2cosθ|…代入C2可得2+tcosθ=3，解得，可知…所以PQ=，当且仅当时取等号，所以线段PQ长度的最小值为．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．【考点】函数恒成立问题．【分析】（I）求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m﹣1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（II）法一：综合法，利用基本不等式证明即可．法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．【解答】解：（I）由已知可得，所以f min（x）=1，…所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M=2…（II）法一：综合法∴ab≤1∴，当且仅当a=b时取等号，①…又∴∴，当且仅当a=b时取等号，②…由①②得，∴，所以a+b≥2ab…法二：分析法因为a＞0，b＞0，所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，…即证2（ab）2﹣ab﹣1≤0，即证（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab…2016年9月7日。

2018年广东省汕头市潮南区高考数学冲刺试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1. 设集合A ={x|(x +3)(x −6)≥0}，B ={x|2x ≤14}，则(∁R A)∩B =( ) A.(−3, 6) B.[6, +∞) C.(−3, −2]D.(−∞, −3)U(6, +∞)2. 在复平面内，复数z =4−7i 2+3i（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.2π15B.3π20C.1−2π15D.1−3π204. 在如图所示的框图中，若输出S =360，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A.k >2？B.k <2？C.k >3？D.k <3？5. 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6，3a 4，−a 5成等差数列，则S4S 2=( )A.3B.9C.10D.136. 已知直线x −2y +a =0与圆O:x 2+y 2=2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），则“a =√5”是“OA →∗OB →=0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知定义域为R 的奇函数f(x)，当x >0时，满足f(x)={−log 2(7−2x),0<x ≤32,f(x −3),x >32，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)=( ) A.log 25 B.−log 25 C.−2 D.08. 将函数f(x)=2sin(2x +π3)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）A.直线x =−π24 B.直线x =π4 C.直线x =5π24D.直线x =π129. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y ≥−1x +y ≤4y ≥a ，目标函数z =3x −2y 的最小值为−4，则a的值是（ ） A.1 B.0 C.−1D.1210. 如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.12πB.24πC.36πD.48π11. 已知过抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF →=3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1CF 的面积为12√3，则准线l 的方程为（ ） A.x =−√2 B.x ＝−2√2 C.x ＝−2D.x ＝−112. 已知A 、B 是函数f(x)={−e x−2a ,(x ≥a)f(2a −x),(x <a) （其中常数a >0）图象上的两个动点，点P(a, 0)，若PA →⋅PB →的最小值为0，则函数f(x)的最大值为（ ） A.−1e 2B.−1eC.−√e e 2D.−√e e二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．已知向量a →,b →满足|b →|=5,|a →+b →|=4,|a →−b →|=6，则向量a →在向量b →上的投影为________．已知(x +ax )(2x −1)5展开式中的常数项为30，则实数a =________． 定义np1+p 2+⋯+p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+1，又b n =a n +14，则1b1b 2+1b2b 3+⋯+1b2017b 2018=________．已知三棱锥A −BCD 中，AB =3，AD =1，BC =4，BD =2√2，当三棱锥A −BCD 的体积最大时，其外接球的体积为________． 三、解答题：△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知bcosA +√33a =c ．（1）求cosB ；（2）如图，D 为△ABC 外一点，若在平面四边形ABCD 中，∠D =2∠B ，且AD =1，CD =3，BC =√6，求AB 的长．如图，在三棱锥P −ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝2√3，AC ＝2√6，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC ．（1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若PA 与平面ABC 所成的角为π4，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角．为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布N(u, σ2)(u＝u0，σ约为19.3)，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%．(i)估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）(ii)从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y，求Y的分布列及数学期望E(Y)．= 1 − \pℎi(\dfrac{{x}_{1} − u}{∖sigma})}表示{X\gt x_{1}}的概率.参考数据{\varphi (0.7257)}{0.6},{\varphi (0.6554)}{0.4)}$如图所示，已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F垂直于x轴的直线与抛物线C相交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线及直线AB所围成的三角形面积为4．（1）求抛物线C的方程；（2）设M，N是抛物线C上异于原点O的两个动点，且满足k OM⋅k ON＝k OA⋅k OB，求△OMN面积的取值范围．已知函数f(x)=x2+ax+lnx(a∈R)．（1）讨论函数f(x)在[1, 2]上的单调性；（2）令函数g(x)=e x−1+x2+a−f(x)，e=2.71828…是自然对数的底数，若函数g(x)有且只有一个零点m，判断m与e的大小，并说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．在平面直角坐标系xOy 中，直线L:{x =2+ty =2−t （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C:ρ=2sinθ．(1)求直线L 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)记射线θ=α(ρ≥0,0<α<π2)与直线L 和曲线C 的交点分别为点M 和点N （异于点O ），求|ON||OM|的最大值．已知函数f(x)=|x −1|．（1）解关于x 的不等式f(x)≥1−x 2；（2）若关于x 的不等式f(x)<a −x 2+|x +1|的解集非空，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省汕头市潮南区高考数学冲刺试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】A={x|x≤−3, 或x≥6}，B={x|x≤−2}；∴∁R A={x|−3<x<6}；∴(∁R A)∩B={x|−3<x≤−2}=(−3, −2]．2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z，再求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】∵z=4−7i2+3i =(4−7i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=−13−26i13=−1−2i，∴z=−1+2i，则z在复平面内对应的点的坐标为：(−1, 2)，位于第二象限．3.【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．【解答】解：直角三角形的斜边长为√52+122=13，设内切圆的半径为r，则r=5+12−132=2，∴内切圆的面积为πr2=4π，∴ 豆子落在内切圆外部的概率P =1−4π12×5×12=1−2π15.故选C . 4.【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】当S =1时不满足退出循环的条件，执行循环体后：S =6，k =5， 当S =6时不满足退出循环的条件，执行循环体后：S =30，k =4， 当S =30时不满足退出循环的条件，执行循环体后：S =120，k =3， 当S =120时不满足退出循环的条件，执行循环体后：S =360，k =2， 当S =360时满足退出循环的条件，故判断框中应填入的关于k 的判断条件是k <3？， 5.【答案】 C【考点】等比数列的前n 项和 【解析】设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q >0，由a 6，3a 4，−a 5成等差数列，可得6a 4=a 6−a 5，6a 4=a 4(q 2−q)，化为q 2−q −6=0，q >0．解得q ，再利用求和公式即可得出． 【解答】设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q >0，∵ 满足a 6，3a 4，−a 5成等差数列， ∴ 6a 4=a 6−a 5，∴ 6a 4=a 4(q 2−q)，∴ q 2−q −6=0，q >0． 解得q =3． 则S 4S 2=a 1(34−1)3−1a 1(32−1)3−1=32+1=10．6.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立{x −2y +a =0x 2+y 2=2 ，化为：5y 2−4ay +a 2−2=0，△>0，由OA →∗OB →=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0，可得5y 1y 2−2a(y 1+y 2)+a 2=0，把根与系数的关系代入解出a ，即可判断出关系． 【解答】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立{x −2y +a =0x 2+y 2=2，化为：5y 2−4ay +a 2−2=0， 直线x −2y +a =0与圆O:x 2+y 2=2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点）， ∴ △=16a 2−20(a 2−2)>0，解得：a 2<10． ∴ y 1+y 2=4a5，y 1y 2=a 2−25，OA →∗OB →=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0， ∴ (2y 1−a)(2y 2−a)+y 1y 2=0，∴ 5y 1y 2−2a(y 1+y 2)+a 2=0， ∴ 5×a 2−25−2a ×4a 5+a 2=0，解得a =±√5．则“a =√5”是“OA →∗OB →=0”的充分不必要条件．7.【答案】 B【考点】函数奇偶性的性质 函数的求值 【解析】通过计算前几项，可得n =3，4，…，2020，数列以3为周期的数列，计算可得所求和． 【解答】解：定义域为R 的奇函数f(x)，可得f(−x)=−f(x)， 当x >0时，满足f(x)={−log 2(7−2x),0<x ≤32,f(x −3),x >32 ， 可得x >32时，f(x)=f(x −3)，则f(1)=−log 25，f(2)=f(−1)=−f(1)=log 25， f(3)=f(0)=0，f(4)=f(1)=−log 25，f(5)=f(2)=f(−1)=−f(1)=log 25， f(6)=f(3)=f(0)=0，f(7)=f(4)=f(1)=−log 25，f(8)=f(2)=f(−1)=−f(1)=log 25， …f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)=(−log 25+log 25+0)×673−log 25=−log 25. 故选B . 8.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】 此题暂无解析 【解答】解：将函数f(x)=2sin(2x +π3)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y =2sin(4x +π3)图象，向左平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象， g(x)=2sin[4(x +π12)+π3]=2sin(4x +2π3)，则4x +2π3=π2+kπ，k ∈Z ，即x =kπ4−π24,k ∈Z ，所以离原点最近的对称轴为直线x =−π24． 故选A ．9.【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】作出可行域，变形目标函数并平移直线y =32x −12z 可得结论． 【解答】作出约束条件所对应的可行域（如图），目标函数z =3x −2y 可化为y =32x −12z ，平移直线y =32x −12z 可知， 由，{x −y =−1y =a，解得x =a −1，y =a ， ∴ A(a −1, a)，当直线经过点A 截距取最小值，z 最小， ∴ 3(a −1)−2a =−4， 解得a =−1 10.【答案】 C【考点】由三视图求体积 【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为4、m ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，将该几何体补成一个长方体，求出外接球半径，代入球表面积公式，可得答案． 【解答】由三视图可得该几何体为底面边长为4、m ， 一条侧棱垂直底面的四棱锥，高为4， 则13×4×4m =323，解得m =2，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为R =12√16+m 2+16=3， 故这个几何体的外接球的表面积为4πR 2=36π． 11.【答案】 A【考点】 抛物线的性质 【解析】设|BF|＝m ，|AF|＝3m ，则|AB|＝4m ，p =32m ，∠BAA 1＝60∘，利用四边形AA 1CF 的面积为12√3，建立方程，求出m ，即可求出准线l 的方程． 【解答】设|BF|＝m ，|AF|＝3m ，则|AB|＝4m ，p =32m ，∠BAA 1＝60∘， ∵ 四边形AA 1CF 的面积为12√3， ∴(32m+3m)×3msin602=12√3，∴ m =43√2，∴ p2=√2， ∴ 准线l 的方程为x =−√2， 12.【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由题意可得函数的图象关于x =a 对称，根据PA →⋅PB →的最小值为0，可得k AP =tan45∘=1，再根据导数的几何意义即可求出a 的值，问题得以解决． 【解答】函数f(x)={−e x−2a ,(x ≥a)f(2a −x),(x <a) （其中常数a >0）图象上的两个动点， ∴ 函数f(x)的图象关于直线x =a 对称，当x <a 时，f(x)=f(2a −x)=−e (2a−x)−2a =−e −x ， 设PA 与f(x)=−e −x 相切于点A ，设A(x 0, y 0)， ∴ f′(x)=e −x ， ∴ k AP =f′(x 0)=e −x 0=−e −x 0x 0−a，解得x 0=a −1， ∵ PA →⋅PB →的最小值为0， ∴ PA →⊥PB →， ∴ k AP =tan45∘=1， ∴ e −x 0=1，∴ x 0=0 ∴ a =1，∴ f(x)max =f(1)=−1e 故选：B ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分． 【答案】 −1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】运用向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，代入计算可得所求值． 【解答】向量a →,b →满足|b →|=5,|a →+b →|=4,|a →−b →|=6， 可得(a →+b →)2=16，(a →−b →)2=36，即为a →2+b →2+2a →⋅b →=16，a →2+b →2−2a →⋅b →=36，两式相减可得a →⋅b →=−5， 则向量a →在向量b →上的投影为a →∗b →|b →|=−55=−1．【答案】 3【考点】二项式定理的应用 【解析】根据二项式展开式定理，求出展开式中的常数项即可． 【解答】(x +ax )(2x −1)5=(x +ax )[...+C 54⋅(2x)⋅(−1)4+C 55⋅(−1)5]， ∴ 展开式中的常数项为ax ⋅C 54⋅2x =30， 解得a =3．【答案】 20172018【考点】数列的求和【解析】由题意可得：na1+a2+⋯⋯+a n =12n+1，可得：a1+a2+……+a n=2n2+n．n≥2时，a1+a2+……+a n−1=2(n−1)2+n−1．相减可得a n．n=1时，a1=3．对于上式成立．可得b n=a n+14=n，1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1．再利用裂项求和方法即可得出．【解答】由题意可得：na1+a2+⋯⋯+a n =12n+1，可得：a1+a2+……+a n=2n2+n．∴n≥2时，a1+a2+……+a n−1=2(n−1)2+n−1．∴a n=4n−1．n=1时，a1=3．对于上式成立．∴a n=4n−1．∴b n=a n+14=n，∴1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1．则1b1b2+1b2b3+⋯+1b2017b2018=1−12+12−13+……+12017−12018=1−12018=20172018．【答案】1256π【考点】球的体积和表面积【解析】直接利用三棱锥的体积和球的体积运算求出结果．【解答】如图所示：当BC⊥平面ABD时，三棱锥的体积最大．由于：AB=3，AD=1，BC=4，BD=2√2，所以：BD2+AD2=AB2，则：△ABD为直角三角形．设外接球的半径为r，则：(2r)2=(4)2+(2√2)2+1，解得：r=52，所以球体的体积为：V=43π(1258)=125π6．故答案为：125π6三、解答题：【答案】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且：bcosA+√33a=c，则：sinBcosA+√33sinA=sin(A+B)，整理得：sinAcosB=√33sinA，由于：sinA≠0，所以：cosB=√33．由于∠D=2∠B，所以：cosD=2cos2B−1=−13．在△ACD中，AD=1，CD=3，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcosD=1+9+2=12，所以：AC=2√3．在△ABC中，BC=√6，AC=2√3,cosB=√33，所以：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB，整理得：AB2−2√2AB−6=0，解得：AB=3√2．故AB的长为3√2．【考点】三角形求面积【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出cosB的值．（2）利用（1）的结论，进一步利用余弦定理求出结果．【解答】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且：bcosA+√33a=c，则：sinBcosA+√33sinA=sin(A+B)，整理得：sinAcosB=√33sinA，由于：sinA ≠0，所以：cosB =√33．由于∠D =2∠B ，所以：cosD =2cos 2B −1=−13．在△ACD 中，AD =1，CD =3，由余弦定理得：AC 2=AD 2+CD 2−2AD ⋅CDcosD =1+9+2=12， 所以：AC =2√3．在△ABC 中，BC =√6，AC =2√3,cosB =√33，所以：AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB ， 整理得：AB 2−2√2AB −6=0， 解得：AB =3√2． 故AB 的长为3√2．【答案】连接DE ，由题意知AD ＝4，BD ＝2，∵ AC 2+BC 2＝AB 2，∠ACB ＝90∘，……………………………………………… cos∠ABC =2√36=√33， ∴ CD 2=22+(2√3)2−2×2×2√3×cos∠ABC =8，∴ CD ＝2√2，∴ CD 2+AD 2＝AC 2，∴ CD ⊥AB ，……………………………… 又∵ 平面PAB ⊥平面ABC ，∴ CD ⊥平面PAB ，∴ CD ⊥PD ， ∵ PD ⊥AC ，AC 、CD 都在平面ABC 内，∴ PD ⊥平面ABC ． …………………………………………………………………由（1）知PD ，CD ，AB 两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系D −xyz ， 且PA 与平面ABC 所成的角为π4，有PD ＝4，………………………………………… 则A(0, −4, 0)，C(√2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，P(0, 0, 4)，∴ CB →=(−2√2, 2, 0)，AC →=(2√2, 4, 0)，PA →=(0, −4, −4)， ∵ AB ＝2DB ，CE ＝2EB ，∴ DE // AC ，…………………………… 由（2）知AC ⊥BC ，PD ⊥平面ABC ，∴ CB ⊥平面DEP ． ∴ CE →=(−2√2, 2, 0)为平面DEP 的一个法向量． 设平面PAC 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅AC →=2√2x +4y =0n →⋅PA →=−4y −4z =0 ，令z ＝1，则x =√2,y =−1， ∴ n →=(√2,−1,1)为平面PAC 的一个法向量．………………………… ∴ cos <n →,CB →>=4⋅12=−√32，………………………∴ 平面PAC 与平面PDE 的锐二面角的余弦值为√32，∴ 平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为30∘．………………………【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直 【解析】（1）连接DE ，由题意知AD ＝4，BD ＝2，推导出∠ACB ＝90∘，CD ⊥AB ，CD ⊥PD ，由此能证明PD ⊥平面ABC ．（2）由PD ，CD ，AB 两两互相垂直，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角的大小． 【解答】连接DE ，由题意知AD ＝4，BD ＝2，∵ AC 2+BC 2＝AB 2，∠ACB ＝90∘，……………………………………………… cos∠ABC =2√36=√33， ∴ CD 2=22+(2√3)2−2×2×2√3×cos∠ABC =8，∴ CD ＝2√2，∴ CD 2+AD 2＝AC 2，∴ CD ⊥AB ，……………………………… 又∵ 平面PAB ⊥平面ABC ，∴ CD ⊥平面PAB ，∴ CD ⊥PD ， ∵ PD ⊥AC ，AC 、CD 都在平面ABC 内，∴ PD ⊥平面ABC ． …………………………………………………………………由（1）知PD ，CD ，AB 两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系D −xyz ， 且PA 与平面ABC 所成的角为π4，有PD ＝4，………………………………………… 则A(0, −4, 0)，C(√2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，P(0, 0, 4)，∴ CB →=(−2√2, 2, 0)，AC →=(2√2, 4, 0)，PA →=(0, −4, −4)， ∵ AB ＝2DB ，CE ＝2EB ，∴ DE // AC ，…………………………… 由（2）知AC ⊥BC ，PD ⊥平面ABC ，∴ CB ⊥平面DEP ． ∴ CE →=(−2√2, 2, 0)为平面DEP 的一个法向量． 设平面PAC 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅AC →=2√2x +4y =0n →⋅PA →=−4y −4z =0，令z ＝1，则x =√2,y =−1，∴ n →=(√2,−1,1)为平面PAC 的一个法向量．………………………… ∴ cos <n →,CB →>=4⋅12=−√32，……………………… ∴ 平面PAC 与平面PDE 的锐二面角的余弦值为√32，∴ 平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为30∘．………………………【答案】u 0＝65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03≈103．(i)设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为x 1， 则P(x >x 1)＝1−φ(x 1−10319.3)＝0.4，∴ φ(x 1−10319.3)＝0.6，∴x 1−10319.3=0.7257，解得x 1≈117．∴ 本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是117分．(ii)由题意可知Y ∼B(4, 25)，∴ P(Y ＝k)=C 4k⋅(25)k (1−25)4−k ，k ＝0，1，2，3，4． ∴ Y 的分布列为：∴ E(Y)＝4×25=85．【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）根据加权平均数公式计算； (2)(i)令x 1−10319.3=0.7257计算x 1的值；(ii)根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列和数学期望． 【解答】u 0＝65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03≈103．(i)设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为x 1，则P(x >x 1)＝1−φ(x 1−10319.3)＝0.4，∴ φ(x 1−10319.3)＝0.6，∴x 1−10319.3=0.7257，解得x 1≈117．∴ 本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是117分．(ii)由题意可知Y ∼B(4, 25)，∴ P(Y ＝k)=C 4k⋅(25)k (1−25)4−k ，k ＝0，1，2，3，4． ∴ Y 的分布列为：∴ E(Y)＝4×25=85． 【答案】抛物线的焦点坐标为F(p2, 0)，∴ A(p 2,p),B(p2,−p)，由y =√2px ，得y ′=2px ，∴ 抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线卸斜率为−1， ∴ 抛物线过A 点的切线方程为y −p ＝x −p2，令y ＝0得x =−p2． ∴ 12⋅2p ⋅p =4，解得p ＝2．∴ 抛物线C 的方程为y 2＝4x ．k OA ＝2，k OB ＝−2，∴ k OA ⋅k OB ＝−4，设M(14y 12,y 1),N(14y 22,y 2)，则k OM ⋅k ON =y 1y 2116y 12⋅y 22=−4，∴ y 1y 2＝−4．令直线MN 的方程为x ＝ty +n ，联立方程组{y 2=4xx =ty +n 消去x 得：y 2−4ty −4n ＝0， 则y 1y 2＝−4n ，y 1+y 2＝4t ，∵ y 1y 2＝−4，∴ n ＝1．即直线MN 过点(1, 0)．∴ S △OMN =12|y 1−y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√16t 2+16=2√t 2+1． ∵ t 2≥0，∴ S △OMN ≥2．综上所示，△OMN 面积的取值范围是[2, +∞)． 【考点】 抛物线的性质 【解析】（1）求出A ，B 坐标，利用导数解出切线方程，求出切线与x 轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p ；（2）计算k OA ⋅k OB ＝−4，设出MN 方程，求出MN 与x 轴的交点，联立方程组，根据根与系数的关系计算|y M −y N |，得出△OMN 面积S 关于t 的函数，解出函数的最值． 【解答】抛物线的焦点坐标为F(p2, 0)，∴ A(p2,p),B(p2,−p)，由y =√2px ，得y ′=√2px ，∴ 抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线卸斜率为−1， ∴ 抛物线过A 点的切线方程为y −p ＝x −p2，令y ＝0得x =−p2． ∴ 12⋅2p ⋅p =4，解得p ＝2．∴ 抛物线C 的方程为y 2＝4x ．k OA ＝2，k OB ＝−2，∴ k OA ⋅k OB ＝−4，设M(14y 12,y 1),N(14y 22,y 2)，则k OM ⋅k ON =y 1y 2116y 12⋅y 22=−4，∴ y 1y 2＝−4．令直线MN 的方程为x ＝ty +n ，联立方程组{y 2=4xx =ty +n 消去x 得：y 2−4ty −4n ＝0， 则y 1y 2＝−4n ，y 1+y 2＝4t ，∵ y 1y 2＝−4，∴ n ＝1．即直线MN 过点(1, 0)．∴ S △OMN =12|y 1−y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√16t 2+16=2√t 2+1． ∵ t 2≥0，∴ S △OMN ≥2．综上所示，△OMN 面积的取值范围是[2, +∞)． 【答案】由已知x >0，且f′(x)=2x 2+ax+1x，①当△=a 2−8≤0时，即当−2√2≤a ≤2√2时，f′(x)≥0， 则函数f(x)在[1, 2]递增，②当△=a 2−8>0即a <−2√2或a >2√2时，2x 2+ax +1=0有2个根， x =−a±√a 2−84，∵ x >0，∴ x =−a+√a2−84，1∘，当−a+√a2−84≤1时，令f′(1)=3+a ≥0，解得：a ≥−3，故−3≤a <−2√2或a >2√2时，函数f(x)在[1, 2]递增， 2∘当1<−a+√a2−84<2时，令f′(1)=3+a <0，f′(2)=92+a >0，解得：−92<a <−3，故当−92<a <−3时，函数f(x)在[1, −a+√a2−84)递减，在[−a+√a2−84, 2]递增，3∘当−a+√a2−84≥2时，令f′(2)=92+a ≤0，解得：a ≤−92，故a ≤−92时，函数f(x)在[1, 2]递减；函数g(x)=e x−1+x 2+a −f(x)=e x−1−lnx −ax +a ， 则g′(x)=e x−1−1x −a =ℎ(x)，则ℎ′(x)=e x−1+1x 2>0，g′(x)在(0, +∞)递增，当x →0，g(x)→+∞，x →+∞，g(x)→+∞，故g′(x)∈R ， 故g′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 1，当x ∈(0, x 1)，g′(x)<0，x ∈(x 1, +∞)，g′(x)>0， 故g(x 1)为g(x)的最小值，由已知函数g(x)有且只有1个零点m ，则m =x 1， 故g′(m)=0，g(m)=0，则{e m−1−1m−a =0em−1−lnm −am +a =0，则e m−1−lnm −(e m−1−1m )m +(e m−1−1m )=0， 得(2−m)e m−1−lnm +m−1m=0，令p(x)=(2−x)e x−1−lnx +x−1x(x >0)，故p(m)=0，则p′(x)=(1−x)(e x−1+1x 2)，故x ∈(0, 1)，p′(x)>0，x ∈(1, +∞)，p′(x)<0， 故p(x)在(1, +∞)递减，∵ p(1)=1>0，p(e)=(2−e)e e−1−1+e−1e=(2−e)e e−1−1e<0，故p(x)在(1, e)上有1个零点，在(e, +∞)无零点， 故m <e ． 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出g′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 1，由已知函数g(x)有且只有1个零点m ，则m =x 1，得(2−m)e m−1−lnm +m−1m=0，令p(x)=(2−x)e x−1−lnx +x−1x(x >0)，故p(m)=0，求出m 的范围即可．【解答】由已知x >0，且f′(x)=2x 2+ax+1x，①当△=a 2−8≤0时，即当−2√2≤a ≤2√2时，f′(x)≥0， 则函数f(x)在[1, 2]递增，②当△=a 2−8>0即a <−2√2或a >2√2时，2x 2+ax +1=0有2个根， x =−a±√a 2−84，∵ x >0，∴ x =−a+√a2−84，1∘，当−a+√a2−84≤1时，令f′(1)=3+a ≥0，解得：a ≥−3，故−3≤a <−2√2或a >2√2时，函数f(x)在[1, 2]递增， 2∘当1<−a+√a2−84<2时，令f′(1)=3+a <0，f′(2)=92+a >0，解得：−92<a <−3，故当−92<a <−3时，函数f(x)在[1, −a+√a2−84)递减，在[−a+√a2−84, 2]递增，3∘当−a+√a2−84≥2时，令f′(2)=92+a ≤0，解得：a ≤−92，故a ≤−92时，函数f(x)在[1, 2]递减；函数g(x)=e x−1+x 2+a −f(x)=e x−1−lnx −ax +a ， 则g′(x)=e x−1−1x −a =ℎ(x)，则ℎ′(x)=e x−1+1x 2>0，g′(x)在(0, +∞)递增，当x →0，g(x)→+∞，x →+∞，g(x)→+∞，故g′(x)∈R ，故g′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 1，当x ∈(0, x 1)，g′(x)<0，x ∈(x 1, +∞)，g′(x)>0， 故g(x 1)为g(x)的最小值，由已知函数g(x)有且只有1个零点m ，则m =x 1， 故g′(m)=0，g(m)=0，则{e m−1−1m−a =0em−1−lnm −am +a =0，则e m−1−lnm −(e m−1−1m )m +(e m−1−1m )=0， 得(2−m)e m−1−lnm +m−1m=0，令p(x)=(2−x)e x−1−lnx +x−1x(x >0)，故p(m)=0，则p′(x)=(1−x)(e x−1+1x 2)，故x ∈(0, 1)，p′(x)>0，x ∈(1, +∞)，p′(x)<0， 故p(x)在(1, +∞)递减，∵ p(1)=1>0，p(e)=(2−e)e e−1−1+e−1e=(2−e)e e−1−1e <0，故p(x)在(1, e)上有1个零点，在(e, +∞)无零点， 故m <e ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答． 【答案】解：(1)由题意得直线l:{x =2+ty =2−t （t 为参数），所以：直线l 的普通方程为：x +y =4， 所以其极坐标方程为：ρ=4sinθ+cosθ．曲线C:ρ=2sinθ．由ρ=2sinθ得：ρ2=2ρsinθ， 所以x 2+y 2=2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0． (2)由题意|ON|=2sinα，|OM|=4sinα+cosα， 所以|ON||OM|=sin 2α+sinαcosα2，=√24sin(2α−π4)+14， 由于0<α<π2，所以当α=3π8时，|ON||OM|取得最大值：√2+14．【考点】参数方程与普通方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出结果．【解答】解：(1)由题意得直线l:{x =2+t y =2−t（t 为参数）， 所以：直线l 的普通方程为：x +y =4，所以其极坐标方程为：ρ=4sinθ+cosθ．曲线C:ρ=2sinθ．由ρ=2sinθ得：ρ2=2ρsinθ，所以x 2+y 2=2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0．(2)由题意|ON|=2sinα，|OM|=4sinα+cosα，所以|ON||OM|=sin 2α+sinαcosα2， =√24sin(2α−π4)+14， 由于0<α<π2，所以当α=3π8时，|ON||OM|取得最大值：√2+14．【答案】由题意f(x)≥1−x 2⇔|x −1|≥1−x 2⇔x −1≥1−x 2或x −1≤x 2−1， 所以x 2+x −2≥0或x 2−x ≥0，即x ≤−2或x ≥1，或x ≥1或x ≤0，故原不等式的解集为{x|x ≤0或x ≥1}．f(x)<a −x 2+|x +1|⇔a >x 2+|x −1|−|x +1|，由于x 2+|x −1|−|x +1|={x 2+2x,x <−1x 2−2x,−1≤x ≤1x 2−2,x >1，所以当x =1时，x 2+|x −1|−|x +1|的最小值为−1．所以实数a 的取值范围为：(−1, +∞)．【考点】绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】（1）去掉绝对值得到关于x 的二次不等式，解出即可；（2）通过讨论x 的范围，去掉绝对值，求出x 2+|x −1|−|x +1|的最小值，求出a 的范围即可．【解答】由题意f(x)≥1−x 2⇔|x −1|≥1−x 2⇔x −1≥1−x 2或x −1≤x 2−1， 所以x 2+x −2≥0或x 2−x ≥0，即x ≤−2或x ≥1，或x ≥1或x ≤0，故原不等式的解集为{x|x ≤0或x ≥1}．f(x)<a −x 2+|x +1|⇔a >x 2+|x −1|−|x +1|，由于x 2+|x −1|−|x +1|={x 2+2x,x <−1x 2−2x,−1≤x ≤1x 2−2,x >1，所以当x =1时，x 2+|x −1|−|x +1|的最小值为−1．所以实数a 的取值范围为：(−1, +∞)．。