【备战2013】高考数学 考前30天冲刺押题系列 专题05 圆锥曲线(上)理(教师版)

高考数学考前押题圆锥曲线的综合问题椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题1.如图,F1,F2是椭圆C1:24x+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )23(C)3262解析:由椭圆定义得,|AF1|+|AF2|=4,41=23因为四边形AF1BF2为矩形,所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12,所以2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)=16-12=4, 所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|=12-4=8,所以2,因此对于双曲线有23,所以C2的离心率e=ca62故选D. 答案:D2.已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)32.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )(A)28x+22y=1 (B)212x+26y=1(C)216x+24y=1 (D)220x+25y=1解析:利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.32,∴ca =22a ba-=32,∴a=2b.∴椭圆方程为x2+4y2=4b2.∵双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0,∴渐近线x±y=0与椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为2525,55b b⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b×255b=4,∴b2=5,∴a2=4b2=20.∴椭圆C的方程为220x+25y=1.故选D.答案:D3．如图所示,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点.若M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )(A)3 (B)2 32解析:设椭圆的标准方程为22xa+22yb=1(a>b>0),半焦距为c1,则椭圆的离心率为e1=1c a.设双曲线的标准方程为22xm-22yn=1(m>0,n>0),半焦距为c2,则双曲线的离心率为e2=2c m.由双曲线与椭圆共焦点知c1=c2.由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m, 即2m=a.∴21e e =21c m c a =a m =2.故选B.答案:B4.已知椭圆C1: 22x a +22y b =1(a>b>0)与双曲线C2:x2-24y =1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B 两点.若C1恰好将线段AB 三等分,则( ) (A)a2=132 (B)a2=13 (C)b2=12 (D)b2=2解析:双曲线渐近线方程为y=±2x,圆的方程为x2+y2=a2,则|AB|=2a,不妨设y=2x 与椭圆交于P 、Q 两点,且P 在x 轴上方,则由已知|PQ|=13|AB|=23a,∴|OP|=3a,∴P. 又∵点P 在椭圆上, ∴225225a a +2220225a b =1.①又a2-b2=5,b2=a2-5,② 联立①②解得2211,21.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选C. 答案:C5.已知双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)和椭圆216x +29y =1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .解析:椭圆216x +29y =1的焦点坐标为,0),离心率为. 由于双曲线22x a -22y b =1与椭圆216x +29y =1有相同的焦点,因此a2+b2=7.又双曲线的离心率,,所以a=2,b2=c2-a2=3, 故双曲线的方程为24x -23y =1.答案: 24x -23y =1椭圆与抛物线综合问题及解法1.在平面直角坐标系xOy 中,F 是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O 三点的圆的圆心为Q,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程;(2)是否存在点M,使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.(3)若点M,直线l:y=kx+14与抛物线C 有两个不同的交点A,B,l 与圆Q 有两个不同的交点D,E,求当12≤k ≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.解:(1)依题意知F 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y=4p 上,因为抛物线C 的准线方程为y=-2p, 所以34p =34,即p=1.因此抛物线C 的方程为x2=2y.(2)假设存在点M 200,2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (x0>0)满足条件,抛物线C 在点M 处的切线斜率为y ′0x x ==22x '⎛⎫ ⎪⎝⎭0x x ==x0,所以直线MQ 的方程为y-202x =x0(x-x0).令y=14得xQ=02x +014x .所以Q （02x +014x ,14）.又|QM|=|OQ|,故（014x -02x ）2+（14-202x ）2=（014x +02x）2+116, 因此（14-202x ）2=916.又x0>0,所以,此时故存在点,1),使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M.(3)当时,由(2)得Q14）,☉Q 的半径为,所以☉Q 的方程为（2+（y-14）2=2732.由21,214y x y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩整理得2x2-4kx-1=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由于Δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-1 2,所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =(1+k2)(4k2+2).由22127,43214x yy kx⎧⎛⎛⎫⎪+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎨⎪=+⎪⎩整理得x-116=0.设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),由于Δ2=24k+278>0,x3+x4=,x3x4=-()21161k+.所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]=()22581k++14.因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+()22581k++14.令1+k2=t,由于12≤k≤2,则54≤t≤5,所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)+ 258t+14=4t2-2t+258t+14,设g(t)=4t2-2t+258t +14,t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 因为g ′(t)=8t-2-2258t ,所以当t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,g ′(t)≥g ′54⎛⎫ ⎪⎝⎭=6,即函数g(t)在t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数, 所以当t=54时,g(t)取到最小值132,因此,当k=12时,|AB|2+|DE|2取到最小值132.2.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C1: 22x a +22y b =1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l 同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x 相切,求直线l 的方程.解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1.将点P(0,1)代入椭圆方程22x a +22y b =1, 得21b =1,即b=1.所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C1的方程为22x +y2=1.(2)由题意可知,直线l 的斜率显然存在且不等于0,设直线l 的方程为y=kx+m, 由221,2,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.因为直线l 与椭圆C1相切,所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得2k2-m2+1=0.①由24,,y xy kx m⎧=⎨=+⎩消去y并整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0.因为直线l与抛物线C2相切, 所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得km=1.②综合①②,解得2,22,km⎧=⎪⎨⎪=⎩或2,22.km⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以直线l的方程为y=22x+2或y=-22x-2.3.设椭圆C1:22xa+22yb=1(a>b>0),抛物线C2:x2+by=b2.(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;(2)设A(0,b),Q（354b）,又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B（0,34b）,且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.解:(1)因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0), 可得c2=b2,由a2=b2+c2=2c2,有22ca=12,所以椭圆C1的离心率2 2.(2)由题设可知M,N关于y轴对称,设M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),则由△AMN的垂心为B,有BM·AN=0.所以-21x +（y1-34b ）(y1-b)=0.①由于点N(x1,y1)在C2上,故有21x +by1=b2.②由①②得y1=-4b或y1=b(舍去),所以b,故M （b,-4b ）,N4b）,所以△QMN4b）.由重心在C2上得3+24b =b2,所以b=2,M （,-12）,N,-12）.又因为M,N 在C1上,2124⎛⎫- ⎪⎝⎭=1,解得a2=163. 所以椭圆C1的方程为2163x +24y =1.抛物线C2的方程为x2+2y=4.4.如图,已知抛物线C1:x2+by=b2经过椭圆C2: 22x a +22y b =1(a>b>0)的两个焦点.(1)求椭圆C2的离心率;(2)设点Q(3,b),又M,N 为C1与C2不在y 轴上的两个交点,若△QMN 的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.解:(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),所以c2+b ×0=b2,即c2=b2.又a2=b2+c2=2c2,所以椭圆C2的离心率22.(2)由(1)可知a2=2b2,椭圆C2的方程为222x b +22y b =1.联立抛物线C1的方程x2+by=b2,得2y2-by-b2=0,解得y=-2b或y=b(舍去),所以x=62即M 62 2b ）,N 622b）,所以△QMN 的重心坐标为(1,0).因为重心在C1上,所以12+b ×0=b2,得b=1.所以a2=2.所以抛物线C1的方程为x2+y=1,椭圆C2的方程为22x +y2=1.5.(2009年浙江卷,理21)已知椭圆C1: 22x a +22y b =1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C1的方程;(2)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.解:(1)由题意,得21, 21, bba=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩从而2,1. ab=⎧⎨=⎩因此,所求的椭圆方程为24y+x2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′|x=t=2t,直线MN的方程为:y=2tx-t2+h.将上式代入椭圆C1的方程中,得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.①因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点, 所以①式中的Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.②设线段MN的中点的横坐标是x3,则x3=122x x+=()()2221t t ht-+.设线段PA的中点的横坐标是x4,则x4=1 2t+.由题意,得x3=x4,即t2+(1+h)t+1=0.③由③式中的Δ2=(1+h)2-4≥0,得h≥1或h≤-3.当h≤-3时,h+2<0,4-h2<0,则不等式②不成立,所以h ≥1.当h=1时,代入方程③得t=-1,将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立.所以h 的最小值为1.双曲线与抛物线的综合问题及解法1.抛物线C1:y=12p x2(p>0)的焦点与双曲线C2: 23x -y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M 处的切线平行于C2的一条渐近线,则p 等于( ) (A)316 (B)38 (C)233 (D)433解析:如图在同一坐标系中画出C1、C2草图,知C1焦点F （0,2p ）,C2右焦点F2(2,0).由C2渐近线方程为y=33x.直线FF2方程为2x +2x p =1.联立C1与直线FF2方程得21,221,2y x p x y p ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①代入②得2x2+p2x-2p2=0.设M(x0,y0),即220x +p2x0-2p2=0.③由C1得y ′=1p x,所以1p 33,即33④由③④得433故选D.答案:D2.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点,则C的实轴长为( )(C)4 (D)8解析:设双曲线的标准方程为x2-y2=λ(λ>0), 抛物线y2=16x的焦点是(4,0),由题意知,点在双曲线上.∴16-12=λ,即λ=4, ∴实轴长为4.故选C.答案:C3.已知双曲线24x-22yb=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )(C)3 (D)5 解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0), ∴c=3,b2=c2-a2=5.∴双曲线的渐近线方程为y=焦点(3,0)到y=x的距离故选A. 答案:A4.已知双曲线C1:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )y(C)x2=8y (D)x2=16y解析:由e=ca=2得4=22ca=1+22ba,∴22ba=3.∴双曲线的渐近线方程为y=x,抛物线x2=2py 的焦点是（0, 2p）,它到直线y=x 的距离d=2=22p=4p, ∴p=8.∴抛物线方程为x2=16y. 故选D.答案:D5.已知双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()解析:双曲线左顶点为A1(-a,0),渐近线为y=±ba x,抛物线y2=2px(p>0)焦点为F （2p,0）,准线为直线x=-2p.由题意知-2p=-2,∴p=4,由题意知2+a=4,∴a=2.∴双曲线渐近线y=±2b x 中与准线x=-2p 交于(-2,-1)的渐近线为y=2bx,∴-1=2b×(-2),∴b=1.∴c2=a2+b2=5, ∴, ∴故选B.答案:B6.已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )(A)236x-2108y=1 (B)29x-227y=1(C)2108x-236y=1 (D)227x-29y=1解析:抛物线y2=24x的准线方程为x=-6, 故双曲线中c=6.①由双曲线22xa-22yb=1的一条渐近线方程为x,知ba,②且c2=a2+b2.③由①②③解得a2=9,b2=27.故双曲线的方程为29x-227y=1.故选B.答案:B7.设双曲线22xa-22yb=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )(A)54(B)5解析:不妨设双曲线22xa-22yb=1的一条渐近线为y=ba x,由方程组22,1by xay x⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y,得x2-ba x+1=0有唯一解,所以Δ=（ba）2-4=0,所以ba=2,e=ca故选D.答案:D8.已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为 .解析:由双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为得ba,∴a.∵抛物线y2=16x的焦点为F(4,0), ∴c=4.又∵c2=a2+b2,∴a)2,∴a2=4,b2=12.∴所求双曲线的方程为24x-212y=1.答案:24x-212y=19.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为. 解析:由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2, ca=2a.所以双曲线方程为x2-23y=1.答案:x2-23y=1圆锥曲线与圆的综合问题及解法1如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C 的纵坐标为2,求|MN|;(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆C 的半径.解:(1)抛物线y2=4x 的准线l 的方程为x=-1.由点C 的纵坐标为2,点C 在抛物线E 上,得点C 的坐标为(1,2),所以点C 到准线l 的距离d=2,又5,所以22CN d -54-=2.(2)设C （24y ,y0）,则圆C 的方程为（x-204y ）2+(y-y0)2=416y +20y ,即x2-22y x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+22y =0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则222000212441240,21.2y y y y y y ⎧⎛⎫=-+=->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4, 所以22y +1=4,解得y0=6,此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为（326）或（326）,从而|CO|2=33 4,,即圆C.2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为,在y轴上截得线段长为.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x,求圆P的方程.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r. 由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1. (2)设P(x0,y0)..又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得0022001,1. x yy x⎧-=⎪⎨-=⎪⎩由0022001,1.x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩得0,1.xy=⎧⎨=-⎩此时,圆P的半径.由0022001,1.x yy x-=-⎧⎪⎨-=⎪⎩得0,1.xy=⎧⎨=⎩此时,圆P的半径.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.3.如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点, AA'=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则()22ca-+222b=1,从而e2+24b=1,又22,故b2=241e-=8,从而a2=221be-=16.故该椭圆的标准方程为216x+28y=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+2x+8×（1-216x）=12(x-2x0)2-20x+8(x∈[-4,4]).设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点, 因此,当x=x1时|QM|2取最小值,又x1∈(-4,4),所以当x=2x0时|QM|2取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-2x.由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以S=12|2y1||x1-x0|=12×218116x⎛⎫⨯-⎪⎝⎭|x0| ()220024x x-2()2224x--+.当x0=2时,△PP′Q的面积S取得最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(2,0),半径28x-6,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为)2+y2=6.4.已知F1,F2分别是椭圆E: 25x +y2=1的左、右焦点,F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.(1)求圆C 的方程;(2)设过点F2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a,b.当ab 最大时,求直线l 的方程.解:(1)由题设知,F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C 的半径为2,圆心为原点O 关于直线x+y-2=0的对称点.设圆心的坐标为(x0,y0), 由00001,20,22y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩解得002,2.x y =⎧⎨=⎩所以圆C 的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2)由题意,可设直线l 的方程为x=my+2,则圆心到直线l 的距离所以由222,1,5x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(m2+5)y2+4my-1=0.设l 与E 的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=-245m m +,y1y2=-215m +.于是从而ab=228515m m ⋅++=()2285114m m ⋅+++ =2285411m m +++≤22285411m m +⋅+=25. 当且仅当21m +=241m +,即m=±3时等号成立. 故当m=±3时,ab 最大,此时,直线l 的方程为x=3y+2或x=-3y+2,即x-3y-2=0或x+3y-2=0.5.如图所示,设P 是抛物线C1:x2=y 上的动点,过点P 作圆C2:x2+(y+3)2=1的两条切线,交直线l:y=-3于A 、B 两点.(1)求圆C2的圆心M 到抛物线C1准线的距离;(2)是否存在点P,使线段AB 被抛物线C1在点P 处的切线平分?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)因为抛物线C1的准线方程为y=-14,所以圆心M 到抛物线C1的准线的距离为()134--=114.(2)设点P 的坐标为(x0, 20x ),抛物线C1在点P 处的切线交直线l 于点D.再设A,B,D 的横坐标分别为xA,xB,xD,过点P(x0,20x )的抛物线C1的切线方程为 y-20x =2x0(x-x0).①当x0=1时,过点P(1,1)与圆C2相切的直线PA 的方程为y-1=158(x-1).可得xA=-1715,xB=1,xD=-1,xA+xB≠2xD.当x0=-1时,过点P(-1,1)与圆C2相切的直线PB的方程为y-1=-158(x+1),可得xA=-1,xB=1715,xD=1,xA+xB≠2xD,所以2x-1≠0.设切线PA、PB的斜率为k1,k2,则PA:y-2x=k1(x-x0),②PB:y-2x=k2(x-x0),③将y=-3分别代入①②③得xD=232xx-(x0≠0),xA=x0-213xk+,xB=x0-223xk+(k1,k2≠0),∴xA+xB=2x0-(2x+3)（11k+ 21k）.即(2x-1)21k-2(2x+3)x0k1+(2x+3)2-1=0.同理,(2x-1)22k-2(2x+3)x0k2+(2x+3)2-1=0.∴k1、k2是方程(2x-1)k2-2(2x+3)x0k+(2x+3)2-1=0的两个不相等的根,从而k1+k2=()2002231x xx+-,k1·k2=()22020311x x +--.因为xA+xB=2xD, 所以2x0-(3+20x )（11k +21k ）=2003x x -, 即11k +21k =01x .从而()()2002202331x x x ++-=01x , 进而得40x =8, 所以x0=.综上所述,存在点P 满足题意,点P 的坐标为(). 6.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是,0),直线y=t 与椭圆C 交于不同的两点M,N,以线段MN 为直径作圆P,圆心为P.(1)求椭圆C 的方程;(2)若圆P 与x 轴相切,求圆心P 的坐标;(3)设Q(x,y)是圆P 上的动点,当t 变化时,求y 的最大值.解:(1)因为ca且,所以=1. 所以椭圆C 的方程为23x +y2=1. (2)由题意知P(0,t)(-1<t<1).由22,1,3y t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x=.所以圆P .当圆P 与x 轴相切时,|t|=()231t -.解得t=±32.所以圆心P 的坐标是（0,±32）.(3)由(2)知,圆P 的方程为x2+(y-t)2=3(1-t2).因为点Q(x,y)在圆P 上,所以y=t ±()2231t x --≤t+()231t -.设t=cos θ,θ∈(0,π),则t+()231t -=cos θ+3sin θ=2sin （θ+π6）.当θ=π3,即t=12,且x=0时,y 取最大值2.7.如图所示,已知抛物线E:y2=x 与圆M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A 、B 、C 、D 四个点.(1)求r 的取值范围;(2)当四边形ABCD 的面积最大时,求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标.解:(1)将y2=x 代入(x-4)2+y2=r2,并化简得x2-7x+16-r2=0,①E 与M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x1,x2,由此得()()221221274160,70,160.r x x x x r ⎧∆=--->⎪⎪+=>⎨⎪=->⎪⎩解得154<r2<16.又r>0,所以r 152,4）.(2)不妨设E 与M 的四个交点的坐标为:1x 、1x )、2x 、2x则直线AC、BD的方程分别为(x-x1),解得点P的坐标为,0).设,由及(1)知0<t<72.由于四边形ABCD为等腰梯形,因而其面积S=12·|x2-x1|. 则)[(x1+x2)2-4x1x2]. 将=t代入上式,并令f(t)=S2,得f(t)=(7+2t)2·(7-2t)（0<t<72）.求导数,f′(t)=-2(2t+7)(6t-7),令f′(t)=0得t=76,t=-72(舍去),当0<t<76时,f′(t)>0;当76<t<72时,f′(t)<0.故当且仅当t=76时,f(t)有最大值,即四边形ABCD的面积最大.故所求的点P的坐标为（76,0）.椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题1.过椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为2a,则双曲线22xa-22yb=1的离心率e的值是( )(A)54(B)52(C)32(D)54解析:椭圆中当x=c1时,212ca+22yb=1,y2=b2（1-212ca）=42ba,∴y=±2b a.∴22ba=2a,即a2=4b2,∴双曲线中22c=a2+b2=5b2,∴e=2ca=52bb=52.故选B. 答案:B2.点A为两曲线C1:29x+26y=1和C2:x2-22y=1在第二象限的交点,B、C为曲线C1的左、右焦点,线段BC上一点P满足: BP=BA+m(ABAB+ACAC),则实数m的值为.解析:法一∵A是曲线C1与C2在第二象限的交点如图所示.∴由22221, 9612x yyx⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得点A坐标为由29x+26y=1知c2=9-6=3,∴,0),∴BA=(0,2), AB=(0,-2), AC,-2).AB=2,AC=4.∴BA+m （ABAB+ACAC）=(0,2)+m()10,12⎡⎤⎫-+-⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎭⎣⎦=(0,2)+m（,-32）=32m）.设点P(x,0),则BP由题意得3202xm=⎪-=⎪⎩解得4,3mx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩法二由椭圆与双曲线方程可知,C1、C2有共同的焦点,即B、C.由椭圆和双曲线定义有6,2,AB ACAC AB⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2,4.ABAC⎧=⎪⎨=⎪⎩又∴△ABC 为直角三角形,且∠BAC=60°.又由BP =BA +m(AB AB +AC AC )得 BP -BA =AP =m(AB AB +AC AC )(*) 由向量的线性运算易知,AP 为∠BAC 的平分线,故cos ∠BAP=ABAP,即cos 30°=2AP ,AP 4将(*)式的两边平方得:|AP |2=m2(1+1+2cos 60°)=2,解得m=43或m=-43(舍去).答案:43椭圆与抛物线综合问题及解法1.已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)与抛物线y2=2px(p>0)有相同的焦点,P 、Q 是椭圆与抛物线的交点,若PQ 经过焦点F,则椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为 .解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为（2p,0）,由题意知,椭圆的半焦距c=2p,又当x=c 时,由22c a +22y b =1得y2=42b a ,∴|PQ|=22b a,由P、Q在抛物线上且PQ过点F, ∴|PQ|=2p.∴22ba=2p,b2=ap.又a2=b2+c2,即a2=ap+24p,解得p(舍)或∴e=ca=()2-1.答案-12.已知椭圆E:22xa+22yb=1(a>b>0),以抛物线y2=8x的焦点为顶点,且离心率为12.(1)求椭圆E的方程;(2)若F为椭圆E的左焦点,O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P 是椭圆E上一点且满足OP=OA+OB,证明OP·FQ为定值,并求出该值.解:(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),又椭圆以抛物线焦点为顶点,∴a=2,又e=ca=12,∴c=1,∴b2=3.∴椭圆E的方程为24x+23y=1.(2)由(1)知,F(-1,0),由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.∵l 与椭圆交于两点,∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即m2<4k2+3.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是上述方程的两个根,∴x1+x2=-2834km k +,x1·x2=2241234m k -+, 又y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m =2634mk +∴OP =OA +OB =（-2834km k +,2634mk +）,由点P 在椭圆上,得228344km k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭+226343m k ⎛⎫⎪+⎝⎭=1. 整理得4m2=3+4k2,又Q(-4,-4k+m),∴FQ =(-3,-4k+m).∴OP ·FQ =（-2834km k +,2634mk +）·(-3,m-4k) =22434km k ++2262434m kmk -+ =2264m m =32.即OP ·FQ 为定值32.双曲线与抛物线综合问题及解法1.点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( )解析:设A(x0,y0),∵A在抛物线上,∴x0+2p=p,∴x0=2p,由2y=2px0得y0=p或y0=-p.∴双曲线渐近线的斜率ba=2pp=2.∴e=ca故选C.答案:C2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,l与双曲线22xa-y2=1(a>0)交于A、B两点,若△FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率为( )(C)2+1解析:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l:x=-1.当x=-1时,由21a-y2=1,得y2=-1+21a.∴A（,B（,∴FA=（, FB=（.∵△FAB 为直角三角形,∴FA ·FB =0.即4+1-21a =0, ∴a2=15.∴e=c a =221b a +=211a +=6. 故选B.答案:B圆锥曲线与圆的综合问题及解法1.过双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左焦点F 引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT 交双曲线右支于点P,若T 为线段FP 的中点,则该双曲线的渐近线方程为( )(A)x ±y=0 (B)2x ±y=0(C)4x ±y=0 (D)x ±2y=0解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F ′,连结OT 、PF ′.∵FT 为圆的切线,∴FT ⊥OT,且|OT|=a,又∵T 、O 分别为FP 、FF ′的中点,∴OT ∥PF ′且|OT|=12|PF ′|,∴|PF ′|=2a,且PF ′⊥PF.又|PF|-|PF ′|=2a,∴|PF|=4a.在Rt △PFF ′中,|PF|2+|PF ′|2=|FF ′|2,即16a2+4a2=4c2,∴22c a =5.∴22ba=22ca-1=4,∴ba=±2,即渐近线方程为y=±2x,即2x±y=0.故选B.答案:B2.已知圆C:x2+y2+6x+8y+21=0,抛物线y2=8x的准线为l,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m,则m+|PC|的最小值为.解析:由题意得圆的方程为(x+3)2+(y+4)2=4,圆心C的坐标为(-3,-4).由抛物线定义知,当m+|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离,即m+|PC|=()()22324--+-=41.答案:413.如图所示,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的右侧),且|MN|=3,已知椭圆D:22xa+22yb=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且过点（2,62）.(1)求圆C和椭圆D的方程;(2)若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点,求证:直线NA与直线NB的倾斜角互补.(1)解:设圆的半径为r,由题意,圆心为(r,2),因为|MN|=3,所以r2=（32）2+22=254,r=52,故圆C的方程是（x-52）2+(y-2)2=254①在①中,令y=0解得x=1或x=4, 所以N(1,0),M(4,0).由22,12ccea=⎧⎪⎨==⎪⎩得c=1,a=2,故b2=3.所以椭圆D 的方程为24x +23y =1.(2)证明:设直线l 的方程为y=k(x-4). 由()221,434,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0 ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=223234k k +,x1x2=22641234k k -+.当x1≠1,x2≠1时, kAN+kBN=111y x -+221y x - =()1141k x x --+()2241k x x -- =k ·()()()()()()122112414111x x x x x x --+----=()()1211k x x --·[2x1x2-5(x1+x2)+8]=()()1211k x x --·()22222641216083434k k k k ⎡⎤-⎢⎥-+++⎢⎥⎣⎦ =0.所以kAN=-kBN,当x1=1或x2=1时,k=±12,此时,对方程②,Δ=0,不合题意.所以直线AN 与直线BN 的倾斜角互补.综合检测1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,若抛物线的准线与双曲线5x2-y2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于则抛物线的方程为( )(A)y2=4x(B)x2=4y(C)y2=8x (D)x2=8y解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0),则准线方程为x=-2p,双曲线5x2-y2=20的渐近线方程为y=抛物线的准线与双曲线渐近线的交点分别为P1（-2p）,P2（-2p）.∴12POP S =12|P1P2|·2p =12p ·2p∴p2=16,p=4,∴抛物线方程为y2=8x.故选C.答案:C2.已知抛物线y=x2+1与双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的渐近线没有公共点,则此双曲线的离心率可以是( )解析:双曲线的渐近线为y=±ba x, 由2,1,b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得x2-b a x+1=0.∵双曲线的渐近线与抛物线没有交点,∴Δ=（-ba ）2-4<0, 即ba <2.∴双曲线的离心率e=c a所以只有选项A满足条件.故选A. 答案:A3.已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的离心率为2,一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为( )(A)y=±32x (B)y=x(C)y=x (D)y=x解析:抛物线y2=16x的焦点坐标为(4,0), ∴双曲线的半焦距c=4,又e=ca=2,∴a=2.∴,∴双曲线渐近线方程为y=±ba x,即y=答案:D4.已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点A(2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线C2:x2=4y交于B,C两点,抛物线C2在点B,C处的切线分别为l1,l2,且l1与l2交于点P.(1)求椭圆C1的方程;(2)是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由.解:(1)设椭圆方程为22xa+22yb=1(a>b>0),由题意可知=8.∴a=4,b2=a2-c2=12.∴椭圆方程为216x+212y=1.(2)设B（x1,214x）,C（x2,224x）,直线BC的斜率为k,则k=124x x+.由y=14x2,得y′=12x.∴点B、C处的切线l1、l2的斜率分别为12x1,12x2,∴l1的方程为y-214x=12x1(x-x1),即y=12x1x-2114x,同理,l2的方程为y=12x2x-2214x.由2112221,241,24xy x xxy x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得12122,22 3.4x xx kx xy k+⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴P(2k,2k-3).∵|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|,∴点P在椭圆C1:216x+212y=1上,∴()2216k+()22312k-=1.化简得7k2-12k-3=0.(*)由Δ=122-4×7×(-3)=228>0,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P有两个.5.已知A,B分别是椭圆C1:22xa+22yb=1的左、右顶点,P是椭圆上异于A,B的任意一点,Q是双曲线C2:22xa-22yb=1上异于A,B的任意一点,a>b>0.(1)若P,,Q（52,1）,求椭圆C1的方程;(2)记直线AP,BP,AQ,BQ的斜率分别是k1,k2,k3,k4,求证:k1·k2+k3·k4为定值.(1)解:由22225341,25141a ba b⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎩解得225,4.ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C1的方程为25x+24y=1.(2)证明:由题意知A(-a,0),B(a,0),设P(x1,y1),(x1≠±a)则212xa+212yb=1,∴21y=b2（1-212xa）=22ba(a2-21x).设Q(x2,y2),(x2≠±a),则222xa-222yb=1,∴22y=b2（222xa-1）=22ba(22x-a2).∴k1=11yx a+,k2=11yx a-,k3=22yx a+,k3=22yx a-.∴k1·k2+k3·k4=21221yx a-+22222yx a-=()22212221ba xax a--+()22222222bx aax a--=0.即k1k2+k3k4为定值,定值是0.。

2013年全国各省市理科数学—圆锥曲线1、2013山东理T9.过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 （A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0 2、2013重庆理T7.已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）A 、4 B1 C 、6-3、2013全国理T8．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4、2013新课标I 理10.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。

若AB 的中点坐标为)11(-,，则E 的方程为A1364522=+y x B 1273622=+y x C 1182722=+y x D 191822=+y x 5、2013浙江理T9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。

若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是A. 2B. 3C.23 D.266、2013辽宁理T15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e ==∠=连接若则的离心率= .7、2013上海理T9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________8、2013福建理14. 椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____9、2013江苏T12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ．10、2013新课标I 理T4.已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25，则C的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±=11、2013北京理T6.若双曲线22221x y a b-=A. y =±2xB. y =C.12y x =±D.y x = 12、2013福建理T3.双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（ ）A. 52B.54C. 552D.55413、2013广东理T7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x =14、2013天津理T5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 315、2013湖北理T5.已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等16、2013江苏T3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 17、2013陕西理T11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 .18、2013湖南理T14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的离心率为___。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题圆锥曲线广东卷历年高考题1. （文理科高考题）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：xy2=0的距离为223，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x0，y0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．2. （文科高考题）3. （理科高考题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：的离心率，且椭圆C 上的点到点Q （0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m ，n ），使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x2+y2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．4. （广东理科高考题）设圆C 与两圆2222(5)4,(5)4x y x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切。

（1）求圆C 的圆心轨迹L 的方程; （2）已知点M 3545(,),(5,0)55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标. 5. （文科高考题）在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程； （2）已知T （1，1），设H 是E 上动点,求HO +HT 的最小值，并给出此时点H 的坐标；（3）过点T （1，1）且不平行与y 轴的直线l1与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围。

6. （广东理科高考题）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点P （x1，y1），Q （x1，﹣y1）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P 与A2Q 交点的轨迹E 的方程；（2）若过点H （0，h ）（h ＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E 都只有一个交点，且l1⊥l2，求h 的值．7. （广东文科高考题）在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP （1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程； （2）已知T （1，1），设H 是E 上动点,求HO +HT 的最小值，并给出此时点H 的坐标；l的斜率k的（3）过点T（1，1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线1取值范围。

2013届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）已知直线l 交椭圆805422=+y x 于N M ,两点,椭圆与y 轴的正半轴交于B 点,若BMN ∆的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l 的方程是 （ ）A ．02856=--y xB ．02856=-+y xC ．02865=-+y xD ．02865=--y x【答案】（ ） A ．设1122(,),(,)M x y N x y ,又(0,4),(2,0)B F ,由重心坐标得1212042,033x x y y ++++== 121264x x y y +=⎧⇒⎨+=-⎩（1）（2）,所以弦MN 的中点为(3,2)-. 因为点1122(,),(,)M x y N x y 在椭圆上,所以,2211222245804580x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,作差得 121212124()()4()()0x x x x y y y y +-++-=,将(1)和(2)代入得121265l y y k x x -==-,所以,直线L 为:62(3)5y x +=-2 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知抛物线y 2=4x 的准线过双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点,且此双曲线的一条渐 近线方程为y =2x ,则双曲线的焦距等于 （ ）A ． 5B ．2 5C ． 3D ．2 3【答案】B 【解析】∵抛物线y 2=4x 的准线x =-1过双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点,∴a =1,∴双曲线的渐近线方程为y =±b ax =±bx .∵双曲线的一条渐近线方程为y =2x ,∴b =2,∴c =a 2＋b 2=5,∴双曲线的焦距为2 5.3 ．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2,且右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．23【答案】B 【解析】抛物线的焦点为,即c =双曲线的渐近线方程为by x a=,由ba=,即b =,所以22222b a c a ==-,所以223c a =,即23,e e ==,即离心率为3,选B ．4 ．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）双曲线228x y -=的左右焦点分别是12F F ，,点n P ()()123n n x y n =，，，在其右支上,且满足121||||n n P F P F +=,1212PF F F ⊥,则2012x 的值是（ ）A ．B ．C ．8048D ．8040【答案】C 【解析】(方法一)22884a b c ==∴=，，，即14x =,又121||||n n P F P F +=， 2222222211111(4)(4)816816n n n n n n n n n n x y x y x x y x x y +++++∴-+=++-++=-++， 即22111114()()()4()n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x +++++-=+⇔+-=+，由题意知,0n x >, 14n n x x +∴-=，故20121(20121)48048x x =+-⨯=. (方法二)焦半径公式法:11211||(2)||(2)4n n n n n n P F e x P F e x x x +++=+=-∴=+，，14x ∴=,故20121(20121)48048x x =+-⨯=.选C ．点评:本题考查双曲线的简单几何性质和等差数列前n 项和的求法. 通过121||||n n P F P F +=得出1n n x x +，的关系式解题的关键.5 ．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）已知双曲线的方程为2221(0)4x y m m m -=>+,则离心率的范围是（ ）A．)+∞ B．)+∞ C ．[1,)+∞ D ．[3,)+∞【答案】B6 ．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）设双曲线22143x y -=的左,右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,则22BF AF +的最小值为 （ ）A ．192B ．11C ．12D ．16 【答案】B【解析】由题意,得:21221121248824AF AF a BF AF AF BF AB BF BF a ⎧-==⎪⇒+=++=+⎨-==⎪⎩ 显然,AB 最短即通径,2min23b AB a=⋅=,故()22min11BF AF +=7 ．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）已知双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ,过左焦点1F 作斜率为33的直线交双曲线的右支于点P,且y 轴平分线段P F 1,则双曲线的离心率为 （ ）AB1+CD．2+【答案】A8 ．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别为,A B ,点P 是第一象限内双曲线上的点.若直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,且(1)k k βα=>,那么α的值是（ ）A ．21k π-B ．2k πC ．21k π+D ．22k π+【答案】D 【解析】:∵双曲线的方程为222x y a -=,22221x y a a-=,∴双曲线的左顶点为(,0)A a -,右顶点为(,0)B a .设(,)P m n ,得直线PA 的斜率PA nk m a=+,直线PB 的斜率PBn k m a=-,∴222PA PB n k k m a ⋅=-①.∵(,)P m n 是双曲线222x y a -=上的点,∴222m n a -=,得222n m a =-,代人①式得1PA PB k k ⋅=.∵直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,所以tan ,tan PA PB k k αβ==,∴tan tan 1αβ⋅=.∵P 是第一象限内双曲线上的点,易知,αβ均为锐角,∴(1)2k παβα+=+=,解得22k πα=+.故选 D ．9 ．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是（ ）A ．78 B ．1516C ．34 D ．0 【答案】B 【解析】抛物线的标准方程为214x y =,抛物线的焦点坐标为1(0,)16,准线方程为116y =-,因为M 到焦点的距离为1,则M 到准线的距离为1,即1()116M y --=,所以11511616M y =-=,选B ． 10．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛 物线224y x =的准线上,则双曲线的方程为（ ）A ．22136108x y -=B ．221927x y -=C ．22110836x y -=D ．221279x y -=【答案】B依题意知2222269,27ba c abc a b +⎧=⎪⎪=⇒==⎨⎪=⎪⎩,所以双曲线的方程为221927x y -=11．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）设M(x 0,y 0)为抛物线C:x 2=8y 上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则y 0的取值范围是 （ ） A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2,+∞)D ．[2,+∞) 【答案】答案:C考点:抛物线的简单性质.分析:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|可由y 0表达,由此可求y 0的取值范围 解答:解:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|=y 0+2>4,所以y 0>2(13)=1 (14)16 (15)m<-1 (16)910π 12．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ,斜率为43的直线交抛物线于,A B 两点,若(1)AF FB λλ=>,则λ的值为（ ）A ．4B ．5C ．43D ．52【答案】A 【解析】:据题意设1122(,),(,)A x y B x y . 由AF FB λ=1122(,)(,)22p px y x y λ⇒--=-,则1122y y y y λλ-=⇒=-. 联立24(),322,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得22302y py p --=,则212123,2y y p y y p +==-. ∴212121221()924y y y y y y y y +=++=-,即1924λλ--+=-,即241740λλ-+=,解得4λ=或14λ=(舍去).故选（ ）A ．二、填空题 13．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为________________.【答案】x 216+y 28=1 【解析】 设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),因为离心率为22,所以22=1－b 2a 2,解得b 2a 2=12,即a 2=2b 2.又△ABF 2的周长为|AB |+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|+|BF 2|+|AF 2|=(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=2a +2a =4a ,,所以4a =16,a =4,所以b =22,所以椭圆方程为x 216+y 28=1.14．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为【答案】【解析】抛物线212y x =-的准线为3x =,双曲线22193x y -=的两渐近线为y x =和y x =,令3x =,分别解得12y y ==,所以三角形的低为(-=,高为3,所以三角形的面积为132⨯=.15．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）过点M(—2,0)的直线m 与椭圆2122,12P P y x 交于=+两点,线段21,P P 的中点为P,设直线m 的斜率为)0(11≠k k ,直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为_______ 【答案】 -1/216．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）M 是抛物线24y x =上一点,F 是抛物线24y x =的焦点.以Fx 为始边,FM 为终边的角60xFM ∠=︒,则MOF ∆(O 是坐标原点)的面积为____________________. 【答案】317．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,A B 、在抛物线上,且2AFB π∠=,弦AB 的中点M 在其准线上的射影为N ,则MNAB的最大值为【答案】. 如图,1111()()22MN AA BB AF BF =+=+, 2222()2AF BF AB AF BF +=+≥,当且仅当AF BF=时取“=”号222222()112222MN AF BF AB AB AF BF AB AB AB⎛⎫⎛⎫+∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⋅≤= 12MNAB ∴≤18．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在x 轴上,离心率为22.过1F 的直线L 交C 于,A B 两点,且2ABF 的周长为16,那么C 的方程为______.【答案】解析:由22416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=22,从而b=8,221168x y ∴+=为所求.19．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2,且12||F F =2c,若点P 在椭圆上,且满足2212120,PF F F PF PF c ⋅=⋅=,则该椭圆的离心率e 等于________【答案】512-20．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_______ 【答案】考点:圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质.分析:先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出c=,再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求出a=2,即可求双曲线的方程.解答:解:由题得,双曲线的焦点坐标为(,0),(﹣,0),c=:且双曲线的离心率为2×==⇒a=2.⇒b 2=c 2﹣a 2=3,双曲线的方程为=1.故答案为:=1.三、解答题21．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21,以原点O 为圆心,椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线06=+-y x 相切(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程(Ⅱ)若直线L:m kx y +=与椭圆C 相交于A 、B 两点,且22ab k k OB OA -=⋅①求证:AOB ∆的面积为定值②在椭圆上是否存在一点P,使OAPB 为平行四边形,若存在,求出OP 的取 值范围,若不存在说明理由.请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号.【答案】(Ⅰ)解:由题意得3,426002122222==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=-==b a b b a c a c ∴椭圆的方程为13422=+y x .(Ⅱ)设)(1,1y x A ,)(2,2y x B 则A,B 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 13422消去y 化简得()0124843222=-+++m kmx xk∴221438kkm x x +-=+,222143124k m x x +-= ,0>∆得03422>+-m k 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++= =2222222243123)438(43124kk m m k km km k m k +-=++-++-. 43-=•OB OA K K432121-=x x y y ,即212143x x y y -= ∴22222431244343123k m kk m +-⋅-=+-即34222=-k m []22222212212)43()34(48)1(4)()1(k m k k x x x x k AB ++-⋅+=-++= =243)43()1(482222k k k +⋅++2243)1(24kk ++=. O 到直线m kx y +=的距离21km d +=∴2121==∆AB d S AOB21k m +2243)1(24k k ++=222243)1(24121k k k m ++⋅+=22432424321k k +⋅+=3 为定值..(Ⅲ)若存在平行四边形OAPB 使P 在椭圆上,则OB OA OP +=设),(00y x P ,则2210438k kmx x x +-=+=2210436kmy y y +=+= 由于P 在椭圆上,所以1342020=+yx从而化简得 1)43(12)43(162222222=+++k m k m k 化简得 22434k m += (1) 由43-=•OB OA K K 知 34222=-k m (2) 解(1)(2)知无解不存在P 在椭圆上的平行四边形. 22．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知AOB ∆的顶点A在射线()1:0l y x =>上,A 、B 两点关于x 轴对称,0为坐标原点,且线段AB 上有一点M 满足 3.AM MB •=当点A 在1l 上移动时,记点M 的轨迹为W. (Ⅰ)求轨迹W 的方程;(Ⅱ)设()2,0,N 是否存在过N 的直线l 与W 相交于P,Q 两点,使得1?OP OQ •=若存在,求出直线l ;若不存在,说明理由.【答案】解:(Ⅰ)因为A,B 两点关于x 轴对称, 所以AB 边所在直线与y 轴平行.设(),,M xy 由题意,得()(),,,3,A x B xAM MB ⋅=)223,1,3y yy x ∴-+=-=所以点M 的轨迹W 的方程为()2210.3y x x -=> (Ⅱ)假设存在,设()()()1122:22,,,,l y k x x P x y Q x y =-=或，当直线():2l y k x =-时,由题意,知点P,Q 的坐标是方程组()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩的解, 消去y 得 ()222234430,k x k x k -+--=所以()()()()22222244343361030k k k k k ∆=----=+>-≠且22121222443,,33k k x x x x k k ++==--直线l与双曲线的右支(即W)相交两点P,Q,221212224430,0,33k k x x x x k k +∴+=>=>--即2 3.k >①()()()2121212122224y y k x k x k x x x x ⎡⎤=-⋅-=-++⎣⎦()()22212121212124OP OQ x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=+-++ ()22222222243435124333k k k k k k k k k +-=+⋅-⋅+=--- 要使1,OP OQ ⋅=则必须有22351,3k k -=-解得21,k =代入①不符合.所以不存在直线l ,使得1,OP OQ ⋅=当直线:2l x =时,()()2,3,2,3,5,P Q OP OQ -⋅=-不符合题意, 综上:不存在直线l ,使得1,OP OQ ⋅=23．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在s 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,OPOM=λ,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.2013海南省高考压轴卷数学【答案】(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ，,由已知得1,4,37a c a c a c -=⎧==⎨+=⎩解得, 所以椭圆C 的标准方程为221167x y +=(Ⅱ)设(,)M x y ,其中[]4,4x ∈-.由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222911216()x x y λ+=+. 整理得2222(169)16112x y λλ-+=,其中[]4,4x ∈-.(i)34λ=时.化简得29112y = 所以点M的轨迹方程为44)y x =±-≤≤,轨迹是两条平行于x 轴的线段. (ii)34λ≠时,方程变形为2222111211216916x y λλ+=-,其中[]4,4x ∈-当304λ<<时,点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分. 当314λ<<时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分;当1λ≥时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆24．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点)0,2(-A ,过右焦点F 且垂直于长轴的弦长为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若过点A 的直线l 与椭圆交于点Q ,与y 轴交于点R ,过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ,求证:2OPAR AQ ⋅为定值.【答案】解:(1)2=a ,设过右焦点F 且垂直于长轴的弦为MN ,将),(M y c M 代入椭圆方程12222=+by a c M ,解得a b y m 2±=,故322=ab ,可得32=b所以,椭圆方程为13422=+y x(2)由题意知,直线OP AQ ,斜率存在,故设为k ,则直线AQ 的方程为)2(+=x k y ,直线OP 的方程为kx y =.可得)2,0(k R ,则212k AR +=设),(11y x A ,),(22y x Q ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=134)2(22y x x k y , 消去y 得:0121616)34(2222=-+++k x k x k ,34162221+-=+k k x x ,3412162221+-=k k x x , 则341124)(1122212212212++=-++=-+=k k x x x x kx x k AQ 设kx y =与椭圆交另一点为),(33y x M ,),(44y x P ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=13422y x kx y , 消去y 得012)34(22=-+x k ,341224+=k x ,所以3412112242++=+=k kx k OP 故2)34121(34112122222222=+++++=⋅k k k k k OP AR AQ . 所以2OPAR AQ ⋅等于定值225．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,过点F作直线l 与抛物线交于A 、B 两点,抛物线的准线与x 轴交于点C .(1)证明:ACF BCF ∠=∠;(2)求ACB ∠的最大值,并求ACB ∠取得最大值时线段AB 的长.【答案】解:(Ⅰ)由题设知,F ( p 2,0),C (- p2,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 方程为x =my + p2,代入抛物线方程y 2=2px ,得y 2-2pmy -p 2=0. y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-p 2.不妨设y 1>0,y 2<0,则 tan ∠ACF =y 1x 1＋ p 2=y 1y 212p ＋p 2=2py 1y 21＋p 2=2py 1y 21－y 1y 2=2p y 1－y 2, tan ∠BCF =-y 2x 2＋p 2=-2p y 2－y 1,∴ta n ∠ACF =tan ∠BCF ,所以∠ACF =∠BCF .(Ⅱ)如(Ⅰ)所设y 1>0,tan ∠ACF =2py 1y 21＋p2≤2py 12py 1=1,当且仅当y 1=p 时取等号, 此时∠ACF 取最大值 π 4,∠ACB =2∠ACF 取最大值 π2,并且A ( p 2,p ),B ( p2,-p ),|AB |=2p .26．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题6分.已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C :)0(12222>>=+b a a y b x 上的一点.斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点,且A 、B 、D 三点不重合. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)ABD ∆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由? (Ⅲ)求证:直线AB 、AD 的斜率之和为定值.【答案】本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题6分.解:(Ⅰ) a c e ==22, 12122=+ab ,222c b a +=∴2=a ,2=b ,2=c∴14222=+y x(Ⅱ)设直线BD 的方程为b x y +=2∴⎩⎨⎧=++=42222y x b x y 0422422=-++⇒b bx x ∴06482>+-=∆b 2222<<-⇒b,2221b x x -=+ ----① 44221-=b x x -----② 222128264864343)2(1b b x x BD -=-=∆=-+= ,设d 为点A 到直线BD :b x y +=2的距离, ∴3b d =∴2)8(422122≤-==∆b b d BD S ABD ,当且仅当2±=b 时取等号. 因为2±)22,22(-∈,所以当2±=b 时,ABD ∆的面积最大,最大值为2. (Ⅲ)设),(11y x D ,),(22y x B ,直线AB 、AD 的斜率分别为:AB k 、AD k ,则=+AB AD k k 122122121222112211--++--+=--+--x b x x b x x y x y =]1)(2[22212121++--++x x x x x x b ------* 将(Ⅱ)中①、②式代入*式整理得]1)(2[22212121++--++x x x x x x b =0,即=+AB AD k k 027．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 是抛物线24y x=上相异两点,且满足122x x +=.(Ⅰ)若AB 的中垂线经过点(0,2)P ,求直线AB 的方程;(Ⅱ)若AB 的中垂线交x 轴于点M ,求AMB ∆的面积的最大值及此时直线AB 的方程.【答案】解:(I)当AB 垂直于x 轴时,显然不符合题意, 所以可设直线AB 的方程为y kx b =+,代入方程24y x =得:222(24)0k x kb x b +-+=∴122422kbx x k -+== 得:2b k k =- ∴直线AB 的方程为2(1)y k x k=-+ ∵AB 中点的横坐标为1,∴AB 中点的坐标为2(1,)k∴AB 的中垂线方程为1213(1)y x x k k k k=--+=-+∵AB 的中垂线经过点(0,2)P ,故32k =,得32k =∴直线AB 的方程为3126y x =-(Ⅱ)由(I)可知AB 的中垂线方程为13y x k k=-+,∴M 点的坐标为(3,0)因为直线AB 的方程为2220k x ky k -+-= ∴M 到直线AB 的距离22242|32|21||k k k d k k k +-+==+由222204k x ky k y x ⎧-+-=⎨=⎩ 得,222204k y ky k -+-=, 212122482,k y y y y k k -+=⋅=12||||AB y y=-=∴214(1AMBSk∆=+t=,则01t<<,234(2)48S t t t t=-=-+,2'128S t=-+,由'0S=,得t=348S t t=-+在上递增,在上递减,当t=,S有最大值得:k=时,maxS=AB方程310x-=28．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）动圆P在x轴上方与圆F:()2211x y+-=外切,又与x轴相切.(1)求圆心P的轨迹C的方程;(2)已知A.B是轨迹C上两点,过A.B两点分别作轨迹C的切线,两条切线的交点为M, 设线段AB的中点为N,是否存在Rλ∈使得MN OFλ=(F为圆F的圆心);(3)在(2)的条件下,若轨迹C的切线BM与y轴交于点R,A.B两点的连线过点F,试求△ABR面积的最小值.【答案】解:(1)设P(x,y)由题意知()22211(1)y x y y=+⇒+-=+21y4x∴=)0(≠x.即圆心P的轨迹C的方程为21y4x=)0(≠x(2)设11(,)A x y,22(,)B x y由1'2y x=得直线AM的斜率112AMk x=直线BM 的斜率212BM k x =∴直线AM 的方程为1111()2y y x x x -=---------------①直线BM 的方程为2221()2y y x x x -=--------------②由①②消去y 得21112211()()22y y x x x x x x -=---2212211111()2222x x x x x =-+-∵11(,)A x y ,22(,)B x y 在抛物线21y 4x =)0(≠x 上∴2222211221111111()442222x x x x x x x -=-+- ∴121()2x x x =+即点M 的横坐标121()2x x x =+,又∵点N 的横坐标为也为122x x +∴MN//y 轴,即MN 与OF 共线 ∴存在R λ∈使得MN OF λ=(3)设点B 的坐标为2(,)(0)4t t t ≠,则轨迹C 的切线BM 的方程为2()42t ty x t -=-可得R 的坐标为2(0,)4t -,直线BA 的方程为2414t y x t -=+,由224414y xt y x t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩可得点A 的坐标为244(,)t t - ∴1||||2ABR B A S FR x x ∆=⋅-=214|1|||24t t t +⋅+3114|2|24t t t=++∵3114|2|24t t t++是关于t 的偶函数,∴只须考虑0t >的情况, 令3114()(2)24f t t t t =++(0t >)则22134'()(2)24f t t t=+-,令'()0f t =解得t =∵当t ∈时,'()0f t <,当)t ∈+∞时,'()0f t >∴当且仅当233t =时,()f t 取得最小值min 23163()()39f t f == 29．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.(Ⅰ)求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程;(Ⅱ)已知点(1,)A t (0t >)是轨迹M 上的定点,E,F 是轨迹M 上的两个动点,如果直 线AE 的斜率AE k 与直线AF 的斜率AF k 满足0AE AF k k +=,试探究直线EF 的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.【答案】30．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）如图,设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2,线段OF 1,OF 2的中点分别为B 1,B 2,且△AB 1B 2 是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ,Q 两点,使PB 2⊥QB 2,求直线l 的方程.【答案】【解析】 (1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),右焦点为F 2(c,0).因为△AB 1B 2是直角三角形,又|AB 1|=|AB 2|,故∠B 1AB 2为直角,因此|OA |=|OB 2|,得b =c2.结合c 2=a 2-b 2,得4b 2=a 2-b 2,故a 2=5b 2,c 2=4b 2,∴离心率e =c a =255.在Rt △AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,故S △AB 1B 2=12|B 1B 2|·|OA |=|OB 2|·|OA |=c 2·b =b 2.由题设条件S △AB 1B 2=4,得b 2=4,从而a 2=5b 2=20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220+y 24=1.(2)由(1),知B 1(-2,0),B 2(2,0).由题意,知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为x =my -2,代入椭圆方程,得(m 2+5)y 2-4my -16=0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则y 1,y 2是上面方程的两根,因此y 1+y 2=4m m 2＋5,y 1·y 2=-16m 2＋5. 又B 2P →=(x 1-2,y 1),B 2Q →=(x 2-2,y 2), ∴B 2P→·B 2Q→=(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=(my 1-4)(my 2-4)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2-4m (y 1+y 2)+16=-16m 2＋1m 2＋5-16m2m 2＋5+16=-16m 2－64m 2＋5.由PB 2⊥QB 1,得B 2P →·B 2Q →=0,即16m 2-64=0,解得m =±2.∴满足条件的直线有两条,其方程分别为x +2y +2=0和x -2y +2=0.31．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）抛物线y x 22-=上有两点),().,(2211y x B y x A 且)2,0(,0-==⋅OM OB OA (O 为坐标原点)(1)求证:AM ∥AB (2)若MB MA 2-=,求AB 所在直线方程.【答案】抛物线y x 22-=上有两点),().,(2211y x B y x A 且)2,0(,0-==⋅OM OB OA (O 为坐标原点)(1)求证:AM ∥AB (2)若MB MA 2-=,求AB 所在直线方程.32．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）如图,(1,1)S 是抛物线为22(0)y px p =>上的一点,以S 为圆心,r 为半径(12r <<)做圆,分别交x 轴于A ,B 两点,连结并延长SA 、SB ,分别交抛物线于C 、D 两点.(1)求证:直线CD 的斜率为定值;(2)延长DC 交x 轴负半轴于点E,若EC : ED = 1 : 3,求sin 2cos CSD CSD ∠+∠的值.【答案】(1)将点(1,1)代入px y 22=,得 12=p∴ 抛物线方程为x y =2设)1(1-=-x k y SA 的方程为直线,),(11y x C 与抛物线方程x y =2联立得:012=-+-k y kyk y 111=+∴111-=∴ky )11,)1((22--∴kk k C由题意有SB SA =,k SB -∴的斜率为直线)11,)1((22--+∴kk k D21)1()1(11112222-=+--++-=∴k k k k k k K CD(2)设)0,(t EEC = )11,)1((31)11,)1((2222---+=---∴k t k k k t k k )11(3111--=-k k 2=∴k12-=∴x y SA 的方程为直线)0,21(A ∴同理)0,23(B532cos cos 222=⋅-+=∠=∠∴SA SB AB SB SA ASB CSD∴4sin 5CSD ∠=,24sin 225CSD ∠=,因此:39sin 2cos 25CSD CSD ∠+∠=33．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）在周长为定值的∆DEC 中,已知|DE |=8,动点C的运动轨迹为曲线G ,且当动点C 运动时,cos C 有最小值725-. (1) “以DE 所在直线为x 轴,线段DE 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,求曲线G 的方程”.2)直线l 分别切椭圆G 与圆M :x 2+y 2=R 2(其中3<R <5)于A 、B 两点,求|AB |的最大值.【答案】【解析】(1)设 |CD |+|CE |=2a (a >8)为定值,所以C 点的轨迹是以D 、E 为焦点的椭圆,所以焦距2c =|DE |=8. 因为2222222||||8(||||)2||||828cos 12||||2||||||||CD CE CD CE CD CE a C CD CE CD CE CD CE +-+---===-又 222||||()2a CD CE a ⋅≤=,所以 228cos 12C a ≥-,由题意得222871,25225a a -=-=.所以C 点轨迹G 的方程为 22 1.259x y +=(2)设1122(,),(,)A x y B x y 分别为直线l 与椭圆和圆的切点, 直线AB 的方程为:y kx m =+因为A 既在椭圆上,又在直线AB 上, 从而有221259x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 消去y 得:222(259)5025(9)0k x kmx m +++-=由于直线与椭圆相切,故222(50)4(259)25(9)0km k m ∆=-+⨯-= 从而可得:22925m k =+ ① 125kx m=-② 由222x y R y kx m ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得:2222(1)20k x kmx m R +++-= 由于直线与圆相切,得222(1)m R k =+ ③ 22kR x m=- ④由②④得:221(25)k R x x m --= 由①③得:222925R k R -=-22222212121||()()(1)()AB x x y y k x x ∴=-+-=+-222222222222(25)9(25)22525925m k R R R R R m R R R ---=⋅=⋅=+---3434304≤-=-= 即||2AB ≤,当且仅当R =,所以|AB|的最大值为2.34．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为12,短轴长为43. (I)求椭圆C 的标准方程;(II)直线x =2与椭圆C 交于P 、Q 两点,A 、B 是椭圆O 上位于直线PQ 两侧的动点,且直线AB 的斜率为12. ①求四边形APBQ 面积的最大值;②设直线PA 的斜率为1k ,直线PB 的斜率为2k ,判断1k +2k 的值是否为常数,并说明理由.【答案】解:(Ⅰ)设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知b=32 离心率222,21c b a a c e +===,得4=a 所以,椭圆C 的方程为1121622=+y x(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点P 、Q 的坐标为)3,2(P ,)3,2(-Q ,则6||=PQ ,设A (),,11y x B(22,y x ),直线AB 的方程为t x y +=21,代人1121622=+y x得:01222=-++t tx x .由△>0,解得44<<-t ,由根与系数的关系得⎩⎨⎧-=-=+1222121t x x t x x 四边形APBQ 的面积2212212134834)(3621t x x x x x x s -=-+⨯=-⨯⨯= 故当312,0max ==S t②由题意知,直线PA 的斜率23111--=x y k ,直线PB 的斜率23222--=x y k则2321232123232211221121--++--+=--+--=+x t x x t x x y x y k k =2222122)2(2122)2(21212211--+--+=--+-+--+-x t x t x t x x t x =4)(2)4)(2(1212121++--+-+x x x x x x t ,由①知⎩⎨⎧-=-=+1222121t x x t x x 可得011828214212)4)(2(122221=-=-++--+=++----+=+t t t t t t t t k k所以21k k +的值为常数035．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）如图,已知2(,)M m m 、2(,)N n n 是抛物线C :2y x =上的两个不同的点,且221m n +=,0m n +≠,直线l 是线段MN 的垂直平分线.设椭圆E 的方程为221022(,)x y a a a +=>≠.(1)当M 、N 在C 上移动时,求直线l 的斜率k 的取值范围;(2)已知直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,与椭圆E 交于P 、Q 两点,设线段AB 的中点为R ,线段QP 的中点为S ,若0OR OS ⋅=,求椭圆E 的离心率的取值范围.【答案】(1)由题意知,直线MN 的斜率为22MNm n k m n m n-==+-, 又l MN ⊥,0m n +≠,∴直线l 的斜率为1k m n=-+. ∵221m n +=,由222m n mn +≥,得2222()()m n m n +≥+,即22()m n ≥+(当m n =时,等号成立),∴2m n +≤∵M 、N 是不同的两点,即m n ≠,∴0m n <+<,∴k >,即k <或k >.∴直线l 的斜率k 的取值范围为22(,(,)-∞+∞. (2)由题意易得,线段MN 的中点坐标为2222(,)m n m n ++.∵直线l 是线段MN 的垂直平分线,∴直线l 的方程为2222()m n m ny k x ++-=-,又∵221m n +=,1k m n =-+,即1m n k+=-, ∴直线l 的方程为1y kx =+.将直线l 的方程分别代入抛物线方程和椭圆方程并整理得,210x kx --=, ①2224220()a k x kx a +++-=.②易知方程①的判别式2140k ∆=+>, 方程②的判别式22821()a k a ∆=+-, 由(1)易知212k >,又0a >,∴2210k a a +->>,∴20∆>恒成立. 设(,),(,),(,),(,)A A B B P P Q Q A x y B x y P x y Q x y ,则21122,()A B A B A B A B x x k y y kx kx k x x k +=+=+++=++=+,∴线段AB 的中点R 的坐标为2122(,)k k +, 又∵224211222,()P Q P Q P Q P Qk ax x y y kx kx k x x a k a k +=-+=+++=++=++, ∴线段QP 的中点S 的坐标为22222(,)k aa k a k -++.∴2122(,)k k OR =+,22222k aOS a k a k -=++(,),由0OR OS ⋅=得,2221202()k k a a k-++=+,即22102()k k a -++=, ∴2222k a k =+. ∵212k >,∴2222222251k a k k ==>++,222242222k a k k ==-<++,∴225a <<.由题易知,椭圆E的离心率e =,222a e ∴=-, ∴222225e <-<,∴2405e <<,∴0e <<. 故椭圆E的离心率的取值范围为0(. 36．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）如图,在矩形ABCD中,8,4,,,,AB BC E F G H ==分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设→→=OF OP λ,)0(≠=→→λλCF CQ .(Ⅰ)求直线EP 与GQ 的交点M 的轨迹Γ的方程;(Ⅱ)过圆222x y r +=(02)r <<上一点N 作圆的切线与轨迹Γ交于,S T 两点,若02=+⋅→→r NT NS ,试求出r 的值.【答案】解:(I)设(,)M x y ,由已知得(4,0),(4,22)P Q λλ-,则直线EP 的方程为22x y λ=-,直线GQ 的方程为22x y λ=-+,消去λ即得M 的轨迹Γ的方程为221(0)164x y x +=≠(II)方法一:由已知得2NS NT ON=,又ON ST ⊥,则OS OT ⊥,设直线:(2)ST y kx m m =+≠±代入221164x y +=得222(14)84160k x kmx m +++-=,设1122(,),(,)S x y T x y ,则21212228416,1414km m x x x x k k -+=-=++ 由OS OT ⊥得12120x x y y +=,即221212()(1)0km x x k x x m ++++=,则22516(1)m k =+, 又O 到直线ST的距离为r =,故(0,2)r =.经检验当直线ST 的斜率不存在时也满足方法二:设00(,)N x y ,则22200x y r +=,且可得直线ST 的方程为200x x y y r += 代入221164x y +=得222242000(4)84160y x x r x x r y +-+-=, 由2NS NT ON =得220200120(1)()()x x x x x r y +--=,即201212()x x x x x r +-=, 则2242200220084164r x r y r y x -+=+,故(0,2)r =37．（2013届天津市高考压轴卷理科数学）已知椭圆1:2222=+by a x C (a >b >0)的焦距为4,且与椭圆1222=+y x 有相同的离心率,斜率为k 的直线l 经过点M(0,1),与椭圆C 交于不同两点A 、B.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时,求k 的取值范围. 【答案】解:(1)∵焦距为4,∴ c =2 又∵1222=+y x 的离心率为22 ∴222===a a c e ,∴a =22,b =2 ∴标准方程为14822=+y x (2)设直线l 方程:y =kx +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧=++=148122y xkx y 得064)21(22=-++kx x k∴x 1+x 2=2214k k +-,x 1x 2=2216k +-由(1)知右焦点F 坐标为(2,0), ∵右焦点F 在圆内部,∴BF AF ⋅<0 ∴(x 1 -2)(x 2-2)+ y 1y 2<0即x 1x 2-2(x 1+x 2)+4+k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1<0 ∴222221185214)2(216)1(k k k k k k k +-=++-⋅-++-⋅+<0 ∴k <81经检验得k <81时,直线l 与椭圆相交,∴直线l 的斜率k 的范围为(-∞,81) .38．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12,右焦点到直线1:3l x + 40y =的距离为35.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若直线2:(0)l y kx m km =+≠ 与椭圆C 交于A 、B 两点,且线段AB 中点恰好在直线1l 上,求△OAB 的面积S 的最大值.(其中O 为坐标原点).【答案】【解析】 (I)由题意得21==a c e ,1=c ,所以2=a ,所求椭圆方程为13422=+y x . (II)设()()2211,,,y x B y x A ,把直线m kx y l +=:2代入椭圆方程13422=+y x 得到01248)34(222=-+-+m kmx x k ,因此34822221+-=+k kmx x ,341242221+-=k m x x , 所以AB 中点)343,344(22++-k mk km M ,又M在直线1l 上,得03434344322=+⨯++-⨯k mk km , 1.0=∴=/k m , 故7821m x x -=+,7124221-=m x x , 所以22127764||1||m x x k AB -=-+=,原点O 到AB 的距离为2||m d =, 得到32)7(732)7(7322222=-+⨯≤-=m m m m S ,当且仅当272=m 取到等号,检验0>∆成立.39．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）给定抛物线2:4C y x =,F 是抛物线C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)设l 的斜率为1,求以AB 为直径的圆的方程; (Ⅱ)设2FA BF =,求直线l 的方程. 【答案】(Ⅰ)解:()24,1,0,y x F =∴又直线l 的斜率为1,∴直线∴l 的方程为:1y x =-,代入24y x =,得:2610x x -+=,由根与系数的关系得:121261x x x x +=⎧⎨⋅=⎩,易得AB 中点即圆心的坐标为()3,2,又128,4AB x x p r =++=∴=,∴所求的圆的方程为:()()223216x y -+-=.^(Ⅱ)2,2,FA BF FA BF =∴=而()()11221,,1,FA x y BF x y =-=--,()12121212x x y y -=-⎧∴⎨=-⎩,直线l 的斜率存在,设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为:()1y k x =-,代入24y x =,得:()2222240k x k x k -++=,由根与系数的关系得:212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩,()12121x x -=-,∴1211x x =⎧⎨=⎩或12212x x =⎧⎪⎨=⎪⎩,∴k =±,∴直线l 的方程为:)1y x =±-40．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）设21,F F 分别为椭圆右两个焦点,若椭圆C 上的点到F 1,F 2两点的距离之和等于4.⑴写出椭圆C 的方程和焦点坐标;⑵过点P(1,的直线与椭圆交于两点D 、E,若DP=PE,求直线DE 的方程;⑶过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M 、N,若△OMN 面积取得最大,求直线MN 的方程. 【答案】⑴椭圆C 的焦点在x 轴上,由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.;又点在椭圆上,b 2=1,于是c 2=3; 所以椭圆C⑵∵P 在椭圆内,∴直线DE 与椭圆相交,∴设D(x 1,y 1),E(x 2,y 2),代入椭圆C 的方程得x 12+4y 12-4=0, x 22+4y 22-4=0,相减得2(x 1-x 2y 1-y 2)=0,∴斜率为k =-1 ∴DE 方程为y -1= -1(x即4x +4y =5; (3)直线MN 不与y 轴垂直,∴设MN 方程为my =x -1,代入椭圆C 的方程得 (m 2+4)y 2+2my -3=0, 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则y 1+y 2y 1y 2且△>0成立.又S △OMNy 1-y 2设t则 S △OMNt-t -2>0对ttt,S △OMN 最大,此时m =0,∴MN 方程为x =141．（2013届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离,且椭圆C 上一点与两个焦点构成的三角形的周长为222+. (I)求椭圆C 的方程;(II)设过椭圆C 右焦点F 的动直线l 与椭圆C 交于A B 、两点,试问:在x 轴上是否存在定点M ,使716MA MB ⋅=-成立?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】【解析】(I)由题意知:c a =,且222a c +=+,解得1a c ==,2221b a c =-=,∴ 椭圆C 的方程为2212x y +=.(II)易求得右焦点(1,0)F ,假设在x 轴上存在点(,0)M t (t 为常数),使716MA MB ⋅=-. ①当直线l 的斜率不存在时,则:1l x =,此时(1,A B, 217(1(1,(1)216MA MB t t t ⋅=-⋅-=--=-,解得54t =或34. ②当直线l 的斜率存在时,设:(1)l y k x =-,联立方程组22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得2222(21)4220k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 1122(,(1))(,(1))MA MB x t k x x t k x ⋅=--⋅--22221212(1)()()k x x t k x x k t =+-++++22222222224(1)()2121k k k t k k t k k -=+⋅-+⋅++++222(41)221t k t k -+=-+ 当41221t -=即54t =时,MA MB ⋅为定值:27216t -=-由①②可知,在x 轴上存在定点5(,0)4M ,使716MA MB ⋅=-成立. 42．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆的焦点坐标是12(10)(10)F F --，，,过点2F 垂直与长轴的直线交椭圆与P Q ，两点,且||3PQ =. (1)求椭圆的方程(2)过2F 的直线与椭圆交与不同的两点M N ，,则1F MN ∆的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.【答案】【解析】(1)设椭圆的方程是22221(0)x y a b a b+=>>,由交点的坐标得:1c =,---------------由||3PQ =,可得223b a=----------------解得2a b ==，故椭圆的方程是22143x y +=-----------(2)设1122()N()M x y x y ，，，,不妨设1200y y ><， 设1F MN ∆的内切圆半径是R ,则1F MN ∆的周长是48a =,1111()42F MN S MN F M F N R R ∆=++=, 因此1F MN S ∆最大,R 就最大-----------------------11212121()2F MN S F F y y y y ∆=-=- 由题知,直线l 的斜率不为0,可设直线l 的方程为1x my =+,由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得,22(34)690m y my ++-=,--------------解得12y y ==则12121()2AMNS AB y y y y ∆=-=-=-----------------。

2013年⾼考数学(理)押题精粹（课标版）（30道选择题+20道⾮选择题）⼀．选择题（30道）1.设集合，，若，则的值为（）A．0 B．1 C． D．2. 已知是实数集，集合，，则 ( )A. B.C. D.3.已知i为虚数单位，则复数等于（）A．-1-i B．-1+i C．1+i D．1—i4.复数在复平⾯上对应的点不可能位于A．第⼀象限 B．第⼆象限 C．第三象限 D．第四象限5. “ ”是“⽅程表⽰焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分⽽不必要条件 B．必要⽽不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6.若命题“ R，使得 ”为假命题，则实数m的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）7.⼀个算法的程序框图如右，则其输出结果是（）A.0B.C. D.8.下⾯的程序框图中，若输出的值为，则图中应填上的条件为（）A． B． C． D．9.右图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10.已知则的值（ ）A．随着k的增⼤⽽增⼤B．有时随着k的增⼤⽽增⼤,有时随着k的增⼤⽽减⼩C．随着k的增⼤⽽减⼩D．是⼀个与k⽆关的常数11.关于函数的四个结论:P1:值为 ;P2:最⼩正周期为 ;P3:单调递增区间为 Z;P4:图象的对称中⼼为 Z.其中正确的有（ ）A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个12. 是两个向量，，，且，则与的夹⾓为（）（A）（B）（C）（D）13.已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且c•a=c•b=1,,则对任意正实数t, 的最⼩值是（ ）A． B． C． D．14.⼀个⼏何体的三视图如右图所⽰，则它的体积为（）A． B．15．正⽅形的边长为 ,中⼼为 ,球与正⽅形所在平⾯相切于点,过点的球的直径的另⼀端点为 ,线段与球的球⾯的交点为 ,且恰为线段的中点,则球的体积为（ ）A． B． C． D．16.不等式组表⽰⾯积为1的直⾓三⾓形区域，则的值为（）Ａ. B. C. D.17.设函数， . 若当时，不等式恒成⽴，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.18、⼀个盒⼦⾥有3个分别标有号码为1，2，3的⼩球，每次取出⼀个，记下它的标号后再放回盒⼦中，共取3次，则取得⼩球标号值是3的取法有（）A.12种B. 15种C. 17种D.19种19、⼆项式的展开式中常数项是（）A．28 B．-7 C．7 D．-2820、⾼三毕业时，甲，⼄，丙等五位同学站成⼀排合影留念，已知甲，⼄相邻，则甲丙相邻的概率为（） A. B. C. D.⼀、某苗圃基地为了解基地内甲、⼄两块地种植的同⼀种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗测量它们的⾼度，⽤茎叶图表⽰上述两组数据，对两块地抽取树苗的⾼度的平均数和中位数进⾏⽐较，下⾯结论正确的是（）A． B．C． D．22、公差不为0的等差数列{ }的前21项的和等于前8项的和．若，则k＝（）A．20 B．21 C．22 D．2323、已知数列为等⽐数列，，，则的值为（）A． B． C． D．24. 已知分别是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是锐⾓三⾓形,则该双曲线离⼼率的取值范围是（ ）A． B． C． D．25．圆－2x＋my－2＝0关于抛物线＝4y的准线对称，则m的值为（）A.1B. 2C. 3D. 426．已知抛物线的焦点到准线的距离为 , 且上的两点关于直线对称, 并且 , 那么 =（ ）A． B． C．2 D．327．如果函数图像上任意⼀点的坐标都满⾜⽅程，那么正确的选项是（）(A) 是区间（0，）上的减函数，且(B) 是区间（1，）上的增函数，且(C) 是区间（1，）上的减函数，且(D) 是区间（1，）上的减函数，且28．定义在R上的奇函数，当 ≥0时，则关于的函数（0＜＜1）的所有零点之和为（）（A）1- （B）（C）（D）29．的展开式中, 的系数等于40,则等于（ ）A． B． C．1 D．30．已知函数 ,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最⼩值为（）A． B． C． D．⼆．填空题（8道）31.已知A ,B(0,1)),坐标原点O在直线AB上的射影为点C,则 = .32.在的展开式中，含项的系数是________.（⽤数字作答）33.若实数、满⾜，且的最⼩值为，则实数的值为__34.已知四⾯体的外接球的球⼼在上,且平⾯ , , 若四⾯体的体积为 ,则该球的体积为_____________35.已知是曲线与围成的区域，若向区域上随机投⼀点，则点落⼊区域的概率为．36.公⽐为4的等⽐数列中,若是数列的前项积,则有也成等⽐数列,且公⽐为；类⽐上述结论，相应的在公差为3的等差数列中，若是的前项和，则有⼀相应的等差数列，该等差数列的公差为_____________.37.在中,⾓所对的边分别为 ,且 ,当取值时,⾓的值为_______________38.已知抛物线的准线为 ,过点且斜率为的直线与相交于点 ,与的⼀个交点为 ,若 ,则等于____________三．解答题（12道）39、中，，，分别是⾓的对边，向量， , ．（1）求⾓的⼤⼩；（2）若，，求的值．40、已知等差数列的⾸项，公差．且分别是等⽐数列的．（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）设数列对任意⾃然数均有 … 成⽴，求 … 的值.41、⼀次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所⽰：学⽣（1）请在直⾓坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归⽅程；（2）要从名数学成绩在分以上的同学中选⼈参加⼀项活动，以表⽰选中的同学的物理成绩⾼于分的⼈数，求随机变量的分布列及数学期望的值．42、⼗⼀黄⾦周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意　单位：名男⼥总计满意 50 30 80不满意 10 20 30总计 60 50 110(1)从这50名⼥游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取⼀个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的⼥游客各有多少名？(2)从(1)中的5名⼥游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的⼥游客各⼀名的概率；(3)根据以上列联表，问有多⼤把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关附：P( )0.050 0.025 0.010 0.0053.841 5.024 6.635 7.87943、如图在四棱锥中,底⾯是边长为的正⽅形,侧⾯底⾯，且 ,设、分别为、的中点．(Ⅰ) 求证： //平⾯；(Ⅱ) 求证：⾯平⾯；(Ⅲ) 求⼆⾯⾓的正切值．44、已知椭圆 : 的焦距为 ,离⼼率为 ,其右焦点为 ,过点作直线交椭圆于另⼀点 .(Ⅰ)若 ,求外接圆的⽅程;(Ⅱ)若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上⼀点，且满⾜（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.45. 已知定点A(1，0), B为x轴负半轴上的动点，以AB为边作菱形ABCD,使其两对⾓线的交点恰好落在y轴上.(1) 求动点D的轨迹五的⽅程.(2) 若四边形MPNQ的四个顶点都在曲线E上，M，N关于x轴对称，曲线E在M点处的切线为l，且PQ//l①证明直线PN与QN的斜率之和为定值；②当M的横坐标为，纵坐标⼤于O, =60°时，求四边形MPNQ的⾯积46. 对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有＞成⽴，则称函数是D上的J函数．（Ⅰ）当函数f（x）＝m lnx是J函数时，求m的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，①试⽐较g（a）与 g（1）的⼤⼩；②求证：对于任意⼤于1的实数x1，x2，x3，…，xn，均有g（ln（x1＋x2＋…＋xn））＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋…＋g（lnxn）．47. 设函数，．(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ）如果存在，使得成⽴，求满⾜上述条件的整数；（Ⅲ）如果对任意的，都有成⽴，求实数的取值范围．48.选修4-1:⼏何证明选讲.如图，过圆E外⼀点A作⼀条直线与圆E交B,C两点，且AB= AC,作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D,⼰知圆E的半径为2， =30.(1)求AF的长.(2)求证：AD=3ED.49. 在直⾓坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系.已知曲线 ,已知过点的直线的参数⽅程为：，直线与曲线分别交于两点.（1）写出曲线和直线的普通⽅程；（2）若成等⽐数列,求的值．50. 选修4-5：不等式选讲设（1）当，求的取值范围；（2）若对任意x∈R，恒成⽴，求实数的最⼩值．2013年⾼考数学(理)押题精粹（课标版）【参考答案与解析】⼆．选择题（30道）1.【答案】A2.【答案】D【点评】:集合问题是⾼考必考内容之⼀，题⽬相对简单.集合的表⽰法有列举法、描述法、图⽰法三种，⾼考中与集合的运算相结合，不外乎上述⼏种题型。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1错误！未指定书签。

．（2013年高考江西卷（理））过点(2,0)引直线l 与曲线21y x =+相交于A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ）A ．33B ．33- C ．33±D ．3-2错误！未指定书签。

．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45C ．255D ．455错误！未指定书签。

3．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A ．22145x y -=B ．22145x y -=C ．22125x y -= D ．22125x y -=4错误！未指定书签。

．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =± B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±5错误！未指定书签。

．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相6错误！未指定书签。

．（2013年高考四川卷（理））抛物线24yx =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12B ．32C ．1D ．37错误！未指定书签。

．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23D ．26错误！未指定书签。

考前30天之备战2013高考理数冲刺押题系列 专题05 圆锥曲线（下）（【押题6】已知椭圆错误！未找到引用源。

的中心为坐标原点错误！未找到引用源。

，焦点在错误！未找到引用源。

轴上，离心率错误！未找到引用源。

，椭圆上的点到焦点的最短距离为错误！未找到引用源。

， 直线错误！未找到引用源。

经过错误！未找到引用源。

轴上一点错误！未找到引用源。

，且与椭圆错误！未找到引用源。

交于相异两点错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

． （1） 求椭圆的标准方程；（2） 求错误！未找到引用源。

的取值范围．【押题7】已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.【押题8】如图，F1，F2是离心率为22的椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x ＝－12将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中垂线与C 交于P ，Q 两点，线段AB 的中点M 在直线l 上．（1）求椭圆C 的方程；（2） 求22F P F Q ⋅的取值范围．【押题9】在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(30)-，，(30)，的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由.【押题10】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ()1,1-，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=．xy–1–212–1–2123AOP（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=，直线OP与QA 交于点M ，试探究：点M 的横坐标是否为定值？并说明理由．【模拟训练1】已知椭圆22221y x a b +=(0)a b >>的一个顶点为），40(B ，离心率e =55，直线l 交椭圆于M 、N 两点．（1）若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；（2）如果BMN ∆的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．【模拟训练2】已知椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为53，短轴的一个端点到右焦点的距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 上的动点P 引圆222:O x y b +=的两条切线PA ，PB ，A ，B 分别为切点，试探究椭圆C 上是否存在点P ，使P A ⊥PB ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【模拟训练3】如图，A ，B 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的两个顶点．||5AB =，直线AB 的斜率为12-．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 平行于AB ，与,x y 轴分别交于点,M N ，与椭圆相交于,C D ．证明：△OCM的面积等于△ODN 的面积．【模拟训练4】已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B . 经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点.（1）求椭圆方程；（2）当直线l 的倾斜角为45 时，求线段CD 的长；（3）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.【模拟训练5】如图，在平面直坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，经过点(1,)e ，其中e 为椭圆的离心率．且椭圆C 与直线3y x =+ 有且只有一个交点。

压轴大题圆锥曲线强化测试（时间150分钟，每题10分，总分150分）1. 如图，12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c=于点Q ；（I ）若点Q 的坐标为(4,4)；求椭圆C 的方程； （II ）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点。

2．已知抛物线()2:1C y x =+与圆()()2221:102M x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭有一个公共点，且在A 处两曲线的切线为同一直线l .（Ⅰ）求r ；（Ⅱ）设,m n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，,m n 的交点为D ，求D 到l 的距离。

3. 如图，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率12e =。

过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为8。

（Ⅰ）求椭圆E 的方程。

（Ⅱ）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q 。

试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =，且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3。

（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由。

5. 设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足()0,1DM m DA m m =>≠且。