高中数学选修2-1北师大版 空间向量的运算第二课时 学案1(含答案)

§2 空间向量的运算1．空间向量的加减法(1)设a 和b 是空间两个向量，过一点O 作a 和b 的__________OA 和OB，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的__________就是a 与b 的和，记作____________.(2)与平面向量类似，a 与b 的差定义为a +(－b)，记作____________，其中-b 是b 的___________.(3)空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同，表示如下： ①结合律________________； ②交换律________________. 预习交流1做一做：利用空间图形验证空间向量满足结合律． 2．空间向量的数乘(1)空间向量a 与一个实数λ的乘积是一个____，记作____．满足： ①|λa |＝____________；②当λ＞0时，λa 与a __________；当λ＜0时，λa 与a ________；当λ＝0时，λa ＝____. (2) 空间向量的数乘运算律与平面向量的数乘运算律相同，表示如下： ①λa ＝______(λR )；②λ(a ＋b )＝________________，(λ＋μ)a ＝________________(λR ，μR )； ③(λμ)a ＝__________(λR ，μR )．(3)空间两个向量a 与b (b ≠0)____的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 预习交流2问题研讨：设e 1，e 2不共线，且λe 1＋μe 2＝0，那么你能够得到什么结论？ 3．空间向量的数量积(1)由于空间任意两个向量经平移后都可以在______内，因此，空间两个向量a 和b 的数量积和平面中的情形完全一样，即空间两个向量a 和b 的数量积是__________，等于______________________，记作______________．(2)空间向量的数量积与平面向量的数量积具有同样的运算律． ①交换律：a ·b ＝______________；②分配律：a ·(b ＋c )＝______________； ③λ(a ·b )＝______________(λR )．(3)和平面向量一样，利用空间向量的数量积，可以得到以下结论： ①|a |＝_______________；②a ⊥b ______________；③cos 〈a ，b 〉＝___________(a ≠0，b ≠0)．(4)对于任意一个非零向量a ，我们把a|a |叫作向量a 的________，记作a 0，a 0与a ________.预习交流3议一议：三个向量a ，b ，c 均不为0，则等式(a·b )·c ＝a ·(b·c )成立吗？答案：1．(1)相等向量 对角线OC 对应的向量OC →a ＋b (2)a －b 相反向量(3)①(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) ②a ＋b ＝b ＋a预习交流1：提示：如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则(a ＋b )＋c ＝(OA →＋AB →)＋BC →＝OB →＋BC →＝OC →，a ＋(b ＋c )＝OA →＋(AB →＋BC →)＝OA →＋AC →＝OC →， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．2．(1)向量 λa ①|λ||a | ②方向相同 方向相反 0 (2)①a λ ②λa ＋λb λa ＋μa ③λ(μa ) (3)共线预习交流2：提示：λ＝μ＝0.(否则e 1∥e 2，与e 1，e 2不共线矛盾) 3．(1)同一个平面 一个数 |a |·|b |cos 〈a ，b 〉 a ·b (2)①b ·a ②a ·b ＋a ·c ③(λa )·b(3)①a ·a ②a ·b ＝0 ③a·b|a ||b |(4)单位向量 同方向预习交流3：提示：不成立，因a·b ，b·c 是一个数，(a·b )·c 与c 共线，a·(b·c )与a 共线，故它们不表示同一个向量．一、空间向量的加减法运算如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为1AC的共有( )．①(AB BC + )+1CC ；②(111AA AD + )+11D C ；③(1AB BB + )+11B C ；④(111AA A B + )+11B C .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列各式．(1)AB BB D A D D DC ''''+-+- ； (2)AC AC AD AA ''-+- .1.充分利用空间向量的运算律及AB →＋BB ' ＝AB ' ，AC AC CC ''-= 等化简技巧．2．充分利用图形的有关性质． 二、空间向量的数乘运算如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求证：EF →＋GH →＋PQ →＝0.已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，化简下列向量表达式．(1)AA 1→＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→＋MA 1→；(2)12AB →＋12AD →＋C 1M →.先用a ，b ，c 分别表示各向量，再进行向量的代数运算，用空间向量的方法处理立体几何问题，使复杂的问题代数化．正确运用向量的运算律，在向量的运算中要注意向量的方向．对向量算式的化简或证明，要结合图形，充分利用图形的性质．三、空间向量的数量积运算如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都为a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点．求下列向量的数量积：(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →；(3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.思路分析：利用数量积的定义分别求出向量的长度及两向量的夹角，再计算．如图所示，已知在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD . 求证：AD ⊥BC .1.牢记公式：a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及若a ⊥b ，则a·b ＝0.2．注意向量的夹角的大小，如〈AB →，AC →〉＝60°，而〈AB →，CA →〉＝120°.答案：活动与探究1：D 解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.迁移与应用1：解：(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →＝(AB →＋BB ′→)＋(D ′D →－D ′A ′→)－BC →＝AB ′→＋A ′D →－BC →＝AB ′→＋(A ′D →－A ′D ′→)＝AB ′→＋D ′D →＝AB ′→＋B ′B →＝AB →. (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→＝(AC ′→－AC →)＋(AD →－AA ′→)＝CC ′→＋A ′D →＝CC ′→＋B ′C →＝B ′C ′→. 活动与探究2：证明：∵在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c .∴EF →＝12a ＋12b ，GH →＝－12c －12a ，PQ →＝－12b ＋12c .∴EF →＋GH →＋PQ →＝12a ＋12b －12c －12a －12b ＋12c ＝0.迁移与应用2：解：∵AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，∴A 1B 1→＝AB →＝a ，A 1D 1→＝AD →＝b ，MA 1→＝－a 2－b 2，C 1M →＝－a 2－b 2，(1)AA 1→＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→＋MA 1→＝c ＋12a ＋12b －12a －12b ＝c .(2)12AB →＋12AD →＋C 1M →＝12a ＋12b －12a －12b ＝0. 活动与探究3：解：(1)在空间四边形ABCD 中，|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°，∴AB →·AC →＝a ·a ·cos 60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，〈AD →，BD →〉＝60°，∴AD →·BD →＝a ·a ·cos 60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，〈GF →，AC →〉＝π，∴GF →·AC →＝12a 2cos π＝－12a 2.(4)∵|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，EF ∥BD .∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°，∴EF →·BC →＝12a 2cos 60°＝14a 2.迁移与应用3：证明：∵AB ⊥CD ，∴AB →·CD →＝0.∵AC ⊥BD ，∴AC →·BD →＝0. ∵AD →·BC →＝(AC →＋CD →)·(BD →＋DC →) ＝AC →·BD →＋AC →·DC →＋CD →·BD →＋CD →·DC → ＝AC →·DC →＋CD →·(BD →＋DC →) ＝AC →·DC →＋CD →·BC → ＝CD →·(BC →＋CA →)＝CD →·BA →＝0， ∴AD ⊥BC .1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( )．A.BD 1→B.D 1B →C.B 1D →D.DB 1→2.已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，若G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )．A.BG →B.AG →C.BC →D.12BC →3．设|a |＝1，|b |＝2，且〈a ，b 〉＝120°，则(2a ＋b )2＝( )． A ．2 3 B ．12 C ．2 D ．4 4．已知非零向量a ，b 不平行，并且|a |＝|b |，则a ＋b 与a －b 之间的位置关系是________． 5.已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .。

§2 空间向量的运算(一)学习目标 1.了解空间向量的加减法及运算律.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌握共线向量定理．知识点一 空间向量的加减法及运算律思考 下面给出了两个空间向量a ，b ，如何作出b ＋a ，b －a?答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →＝b －a.梳理 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →＝a －b知识点二 空间向量的数乘运算及运算律注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论． 空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .1．若a ＋b ＝0，则a ＝b ＝0.(×)2．设λ∈R ，若a ＝λb ，则a 与b 共线．(×) 3.OA →－OB →＝AB →.(×)4．直线l 的方向向量为a ，若a ∥平面α，则l ∥平面α.(×)类型一 空间向量的加减运算例1 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→. 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′→＋B ′C ′—→＋C ′A —→. 解 结合加法运算AA ′—→＋A ′B ′—→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′—→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0.跟踪训练1 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→.考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)． 又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型二 共线问题例2 (1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D(2)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________. 考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断 答案 (1)A (2)1解析 (1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，故AD →∥AB →，又AD →与AB →有公共点A ， 所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2， 且AB →与AD →共线，故AD →＝xAB →， 即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2，故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0， 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1. 反思与感悟 (1)判断向量共线的策略①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b .②判断向量共线的关键：找到实数λ. (2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． ①存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．②对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． ③对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练2 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断解 设AC 的中点为G ，连接EG ，FG ， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，又∵GF →，EG →，EF →共面，∴EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)，∴EF →与AD →＋BC →共线．类型三 空间向量的数乘运算及应用例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →＋NC 1—→. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 解 (1)AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝(AA 1—→＋AD →)＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)A 1N —→＝A 1A —→＋AN →＝－AA 1—→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)MP →＋NC 1—→＝(MA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1P —→)＋(NC →＋CC 1→) ＝12AA 1—→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1—→ ＝32AA 1—→＋32AD →＋12AB →＝32a ＋12b ＋32c . 引申探究若把本例中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解 AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝AA 1—→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线． 考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c . 因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c ， 所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a －415b －25c＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．1.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1—→的共有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 D解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→，故选D.2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形D ．矩形考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用 答案 A解析 由AO →＋OB →＝AB →＝DO →＋OC →＝DC →，得AB →＝DC →，故四边形ABCD 为平行四边形，故选A. 3．下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC →D ．|AB →|＝|BC →|考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 C解析 由AB →＝BC →知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A ，B ，C 三点共线．4．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线的k 的值为________． 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 －12解析 若2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线， 则2k e 1－e 2＝λ[e 1＋2(k ＋1)e 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝λ，－1＝2λ(k ＋1)，∴k ＝－12.5．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0.(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．(2)证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线．一、选择题1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0D.MN →考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0，故选C. 2．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AC → C.AB →D.BA →考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算答案 D3．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 A解析 如图，因为BD →＋BC →＝2BG →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→＝c ，则下列向量中与B 1M —→相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 A解析 B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .5．如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BE →等于( )A ．a －12b ＋12cB ．－a ＋12b ＋12cC ．12a －b ＋12cD ．－12a ＋b ＋12c考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 B解析 连接AE (图略)，∵E 是CD 的中点，AC →＝b ，AD →＝c ， ∴AE →＝12(AC →＋AD →)＝12(b ＋c )．在△ABE 中，BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋AE →， 又AB →＝a ，∴BE →＝－a ＋12(b ＋c )＝－a ＋12b ＋12c .6．设点M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →等于( ) A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 3考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 D解析 设D 是BC 边的中点， ∵M 是△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AM →＝13(c －b )．7．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．AB →与AP →的方向一定相同 考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用答案 A解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，又AP 和AB 有公共点A ，所以点A ，P ，B 共线，故选A.二、填空题8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________．考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.9．在空间四边形ABCD 中，连接BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 0解析 连接DE 并延长交BC 于点F ，连接AF (图略)，则DF →＝32DE →， ∴AB →＋12BC →－32DE →－AD → ＝AB →＋BF →－DF →＋DA →＝AF →＋FD →＋DA →＝0.10．若G 为△ABC 内一点，且满足AG →＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”“重心”)考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用答案 重心解析 因为AG →＋BG →＝－CG →＝GC →，所以AG 所在直线的延长线为边BC 上的中线，同理，得BG 所在直线的延长线为AC 边上的中线，故G 为其重心．11．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________． 考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 13解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →， 且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1， ∴x ＝13. 三、解答题12．如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用证明 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ， 所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →. 同理AN →＝13AD →＋13DE →. 所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝13DA →＋13AB →＋BA →＋13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理可知MN →，CD →，DE →共面．因为MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE .四、探究与拓展13．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 214．设e 1，e 2，e 3三向量不共面，而AB →＝e 1＋2e 2＋3e 3，BC →＝2e 1＋λe 2＋μe 3，CD →＝3λe 1－e 2－2μe 3，如果A ，B ，D 三点共线，则λ，μ的值为________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用解析 BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋λe 2＋μe 3)＋(3λe 1－e 2－2μe 3)＝(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3.∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →是共线向量．∴存在实数k ，使得AB →＝kBD →，即e 1＋2e 2＋3e 3＝k [(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3]．∴(1－2k －3kλ)e 1＋(2－kλ＋k )e 2＋(3＋kμ)e 3＝0.∵e 1，e 2，e 3三向量不共面，∴1－2k －3kλ＝0,2－kλ＋k ＝0,3＋kμ＝0.将k ＝－3μ代入前两式， 可得⎩⎪⎨⎪⎧9λ＋μ＋6＝0，3λ＋2μ－3＝0， 解得λ＝－1，μ＝3.。

第二章空间向量与立体几何本章知识要览本章是在平面向量的基础上，通过类比的方法，学习空间向量的概念、性质和运算，并以向量为工具讨论立体几何中的一些问题．主要包括两个方面：一是关于空间向量及其运算，这是立体几何的基础，也是重点内容；二是关于空间向量的应用，即用向量讨论垂直与平行，夹角的计算和距离的计算．本章的重点是：空间向量及其运算，以空间向量为工具通过空间向量的运算证明空间直线与直线、直线与平面、两个平面的平行和垂直，求空间两条直线、直线与平面所成的角、二面角的大小，求空间点到平面的距离；难点是：以空间向量为工具证明空间的位置关系，求空间角和空间距离；易错点是求空间角时，对角的范围的判断．(1)解决问题要从图形入手，分析已知条件在图形中的向量表示，由已知到图形、由图形到已知的基本训练，有序地建立图形、文字、符号三种语言间的联系．(2)适时地联系平面向量的知识及平面几何的知识，采用联想对比、引申等方法认识平面向量与空间向量、平面几何与立体几何知识的异同，并找出两者之间的内在联系，逐步培养能将立体几何问题转化为平面几何问题的能力．(3)由空间向量解决立体几何问题时，要注意在空间直角坐标系下，通过转化将图形的关系转化为坐标系中数的运算，并可以灵活地运用空间向量基本定理进行转化．§1 从平面向量到空间向量知识点一 向量的概念 [填一填](1)向量既有大小又有方向的量叫作向量． 在物理中，有许多量可以用向量来表示，如位移、速度、加速度、力等，这些量不但有大小，而且还具有方向．(2)空间向量在空间中，既有大小又有方向的量叫作空间向量．过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA→和OB →，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，规定0≤〈a ，b 〉≤π.[答一答]1．向量a ，b 的夹角是π2，0或π时，向量a ，b 应具备什么条件？提示：当〈a ，b 〉＝π2时，向量a 与b 垂直，当〈a ，b 〉＝0或π时，向量a 与b 平行．2．思考与交流：仿照平面向量的有关概念，请分别给出下列定义：单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量．提示：在空间中，模为1的向量叫单位向量；模为0的向量叫零向量；模相等，方向相同的向量叫相等向量；模相等，方向相反的向量叫相反向量；方向相同或相反的向量叫平行向量．知识点二向量与直线[填一填]→为直线(1)l是空间一直线，A，B是直线l上的任意两点，则称AB→平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直l的方向向量．与AB线的方向向量平行于该直线．(2)根据立体几何知识，我们知道，给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．[答一答]讨论：直线的方向向量是唯一确定的吗？提示：不是，只要是平行于直线的非零向量均可成为直线的方向向量，正是由于直线的方向向量的任意性，才可便于选取方向向量，才具有可操作性．知识点三向量与平面[填一填](1)如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量．平面的法向量垂直于该平面．(2)给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A 且垂直于向量a的平面．[答一答]想一想：要想在空间中确定一个平面需要哪些条件？提示：需要有一点和一个非零向量．过这一点且垂直于已知向量就可确定一个平面．1．向量无法比较大小．关于向量的比较，我们只限于研究它们是否相等，而不是研究它们谁大谁小．一般来说，向量不能比较大小．向量的模可以比较大小，应注意a ＝b ⇒|a |＝|b |，但反之不成立．2．(1)〈a ，b 〉表示a 与b 的夹角，书写一定要规范，不能误写为(a ，b )．(2)在图甲中，〈OA →，OB →〉＝∠AOB ，而图乙中，〈AO→，OB →〉＝π－∠AOB .向量夹角与向量大小无关，只与方向有关．3．平行向量所在的直线可能平行也可能重合，与两直线平行不同；平行向量的方向可能同向，也可能反向．4．零向量与任意向量共线．5．平面法向量的性质：(1)若直线l ⊥平面α，则所有与直线l 平行的非零向量都是平面α的法向量，故平面α的法向量不唯一，有无限多个，但它们互相平行．(2)一个平面的单位法向量只有两个．(3)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量，也就是平面的法向量垂直于该平面．题型一 向量的有关概念【例1】 给出下列五个命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间两向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中必有AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 当空间两个向量的起点、终点分别相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量的起点不一定相同，终点也不一定相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅它们的模要相等，而且方向也要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同，故②不对；根据正方体的性质，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AC→和A 1C 1→不但方向相同而且长度相等，故应有AC →＝A 1C 1→，所以③正确；④显然正确；对于⑤，空间任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以⑤不对．【答案】 C规律方法 (1)只要两个向量的方向相同，模相等，这两个向量就相等，与起点和终点位置无关．(2)熟练掌握空间向量的有关概念是解决这类问题的关键．下列命题错误的是( B )A ．空间向量AB→与BA →的长度相等 B ．零向量没有长度，所以它不是空间向量C ．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c解析：概念的理解是解决本题的关键．A 选项中的两个向量互为相反向量，所以它们长度相等；空间向量并不是一个立体图形，只要是存在于立体空间内的向量都是空间向量，所以B 选项错误；C 选项是相等向量定义的另外一个说法；我们研究的向量是自由向量，只要向量相等都可以移动到同一起点，所以D 选项正确．题型二 向量的夹角【例2】 如图，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，求：(1)〈AB →，A ′B ′→〉，〈AD →，D ′C ′→〉，〈AB →，C ′D ′→〉．(2)〈AD ′→，BC →〉，〈AD ′→，D ′C →〉．【思路探究】 按空间向量夹角的定义求解，空间向量a ，b 夹角范围是[0，π]．【解】 (1)∵在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ∥A ′B ′，AD ⊥D ′C ′，AB ∥C ′D ′.∴〈AB →，A ′B ′→〉＝0，〈AD →，D ′C ′→〉＝π2，〈AB →，C ′D ′→〉＝π.(2)∵在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AD ∥BC .∴〈AD ′→，BC →〉＝〈AD ′→，AD →〉＝π4.连接AC ，则△ACD ′为等边三角形．∴〈AD ′→，D ′C →〉＝2π3.规律方法 与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解．必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若〈AB →，AC →〉＝π4，而〈AB →，CA →〉＝3π4.如图，棱长都相等的平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知∠A 1AB＝60°，则〈AA 1→，CC 1→〉＝0°，〈AB →，C 1D 1→〉＝180°，〈BA →，DD 1→〉＝120°.解析：在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1→∥CC 1→，且方向相同，所以〈AA 1→，CC 1→〉＝0°.因为AB ∥CD ，CD ∥C 1D 1，所以AB ∥C 1D 1，所以AB →∥C 1D 1→，但方向相反，所以〈AB →，C 1D 1→〉＝180°.因为AA 1→＝DD 1→，所以〈BA →，DD 1→〉＝〈BA →，AA 1→〉＝180°－∠A 1AB ＝120°.题型三 向量与平面【例3】 如图，四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形且PD ＝AD ＝CD ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点．(1)试以F 为起点作直线DE 的一个方向向量；(2)试以F 为起点作平面PBC 的一个法向量．【思路探究】 (1)只要作出过F 与DE 平行的直线即可．(2)作出过F 与平面PBC 垂直的直线即可．【解】 (1)如图，连接EF .∵E ，F 分别是PC ，PB 的中点．∴EF 綊12BC .又BC 綊AD ，∴EF 綊12AD .取AD 的中点M ，连接MF ，则由EF 綊DM 知四边形DEFM 是平行四边形，∴MF ∥DE .∴FM→就是直线DE 的一个方向向量． (2)∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC .又BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD .∵DE 平面PCD ，∴DE ⊥BC .又PD ＝CD ，E 为PC 中点，∴DE ⊥PC .从而DE ⊥平面PBC .∴DE→是平面PBC 的一个法向量． 由(1)可知FM→＝ED →， ∴FM→就是平面PBC 的一个法向量． 规律方法 直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面．而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时，可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，AA 1的中点．(1)分别给出平面ABCD ，平面ADD 1A 1的一个法向量；(2)写出平面AB 1C 1D 的法向量，你能写出几个？(3)图中与向量EF→共线的向量有哪些？ 解：(1)平面ABCD 的法向量可以是：AA 1→，BB 1→，CC 1→，DD 1→或A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →这8个向量中的任意一个．平面ADD 1A 1的法向量可以是：AB →，DC →，A 1B 1→，D 1C 1→或BA →，CD →，B 1A 1→，C 1D 1→这8个向量中的任意一个．(2)由正方体的性质可知EF ∥CD 1，EF ⊥平面AB 1C 1D ，CD 1⊥平面AB 1C 1D ，平面AB 1C 1D 的法向量可以是：D 1C →，CD 1→，EF →，FE →.(3)题图中与向量EF →共线的向量有：CD 1→，D 1C →，FE →.——易错警示——对向量概念理解的错误【例4】 下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb【误解】 A(或B 或D)【正解】 在选项A 中，若b ＝0，则结论不成立；在选项B 中，向量共面与直线共面的不同点在于三个向量中的一个向量所在直线与另两个向量所在平面平行时，三个向量所在的直线虽然不共面，但这三个向量是共面的；选项D 中，若a ＝b ＝0时，有无数个λ满足等式，而不是唯一一个；若b ＝0，a ≠0，则不存在λ使a ＝λb .【答案】 C下列说法中正确的是( B )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．如果两向量平行，则向量相等D ．在四边形ABCD 中，一定有AB→＋AD →＝AC → 解析：A 项，|a |＝|b |，只表示a ，b 的长度相同，而方向不确定；C 项，两向量平行，不能说明两向量相等；D 项，在平行四边形中具有该项结论．【例5】 下列命题是真命题的序号是________．①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上； ②向量AB →与AC →是共线向量，则A 、B 、C 必在一条直线上． 【误解】 ①②【正解】 命题①为假命题，因为AB→、CD →两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；命题②为真命题，因为AB→、AC →两个向量所在的直线有公共点A ，所以三点共线．故填②. 【答案】 ②下列命题是真命题的是( D )A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．方向相反的向量是相反向量C ．若向量AB→，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD → D ．若两个非零向量AB→与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD → 解析：A 项向量可以平移到一个平面；B 项方向相反，大小相等的向量为相反向量；C 项，向量不能比较大小.1.AB→＝CD →的一个必要不充分条件是( C )A ．A 与C 重合B ．A 与C 重合，B 与D 重合 C ．|AB→|＝|CD →| D ．A 、B 、C 、D 四点共线解析：向量相等只需方向相同，长度相等，而与表示向量的有向线段的起点、终点位置无关．表示两个共线向量的两个有向线段所在的直线平行或重合，不能得到四点共线．2．在等腰直角三角形ABC 中，角B 为直角，则〈BC →，CA →〉等于( B )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．不确定解析：如图，严格利用向量夹角定义，过空间一点作出两向量，明确夹角．3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( A ) A.BD → B.BC 1→ C.BD 1→ D.A 1B →解析：由正方体性质可知BD ⊥平面ACC 1A 1，故BD →为其法向量． 4．与向量a 共线的单位向量有2或者无数个．解析：当a 是零向量时，任何单位向量都与之共线；当a 是非零向量时，只有方向相同或者相反的两个单位向量与向量a 共线．5．如图，在长、宽、高分别为AB ＝5，AD ＝3，AA 1＝4的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的8个顶点中，任选两点作为起点和终点构成一个向量，在这些向量中哪些向量．(1)与向量AD →平行； (2)与向量AB→相反； (3)是平面ABB 1A 1的法向量．解：(1)与向量AD →平行的向量有：BC →，B 1C 1→，A 1D 1→，D 1A 1→，C 1B 1→，CB→，DA →，共7个． (2)与向量AB →相反的向量有BA →，CD →，B 1A 1→，C 1D 1→，共4个． (3)平面ABB 1A 1的法向量有AD →，BC →，B 1C 1→，A 1D 1→，D 1A 1→，C 1B 1→，CB →，DA→，共8个．。

第2课时空间向量运算的坐标表示Q错误!错误!向量的坐标表示为我们展示了一幅美丽的画卷，那么将向量坐标化之后，向量的线性运算、数量积运算及向量平行、垂直、向量的模、夹角的坐标表示是不是更简化了？X错误!错误!1．空间向量坐标运算的法则若a＝(x1，y1，z1),b＝（x2,y2,z2)，则a＋b＝__(x＋x2，y1＋y2,z1＋z2）__；1a－b＝__(x－x2，y1－y2，z1－z2）__;1λa＝__（λx，λy1，λz1）(λ∈R)__;1空间向量平行的坐标表示为a∥b（b≠0)⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)．2．空间向量坐标的确定在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1），B（x2，y2,z2）,则错误!＝__（x2－x1,y2－y1，z2－z1）__，即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．3．数量积的坐标表示设空间两个非零向量为a＝（x1,y1,z1），b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2＋z1z2__.空间两向量的数量积等于它们__对应坐标的乘积之和__.4．空间向量长度与夹角的坐标表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝（x2,y2，z2）,根据空间向量运算的坐标表示，我们可以得到以下结论．（1）｜a|＝a2＝__错误!__；（2）cos<a,b〉＝__错误!__(a≠0，b≠0)；（3）a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＋z1z2＝0__.Y错误!错误!1．已知向量a＝(4，－2，－4），b＝（6，－3，2)，则下列结论正确的是( D ）A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10 D．|a|＝6［解析］a＋b＝（10，－5,－2）,A错误;a－b＝(2，－1,6），B错误；a·b＝4×6＋(－2)×(－3）＋（－4）×2＝22，C错误；|a｜＝42＋－22＋42＝6，故选D．2．已知a＝(2，1，－3)，b＝（4，2,λ），若a⊥b，则实数λ等于（ B ）A．－2 B．错误!C．2 D．－错误![解析] ∵a＝(2,1，－3）,b＝（4，2,λ），a⊥b，∴a·b＝8＋2－3λ＝0,解得λ＝错误!。

2.2 空间向量及其加减运算学习目标1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝ .(2)当λ＞0时，λa 与A. ；当λ＜0时，λa 与A. ；当λ＝0时，λa ＝ .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB = ， AB = ，试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +- a .b2. 点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？(1)加法交换律：A. + B. = B. + a ；(2)加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )；(3)数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ．典型例题例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC + ⑴；'AB AD AA ++ ⑵； 1'2AB AD CC ++ ⑶ 1(')2AB AD AA ++ ⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：(1) AB BC CA ++ ;(2);AB MB BO OM +++(3);AB AC BD CD -+-(4) OA OD DC -- .变式：化简下列各式：(5) OA OC BO CO +++ ;(6) AB AD DC -- ;(7) NQ QP MN MP ++- .小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.动手试试练1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式：(1) 111AA A B + ; (2) 11111122A B A D + ; (3) 111111122AA A B A D ++ (4) 1111AB BC CC C A A A ++++ .三、总结提升学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.当堂检测：1. 下列说法中正确的是（ ）A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC += .2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++ =3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）A. 00a b =B. 00a b = 或00a b =-C. 01a =D. ∣0a ∣=∣0b ∣4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+ ,则四边形是（ ）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（ ）A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量课后作业1. 在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子：(1) AM + BN(2)'A N －'MC + 'BB2. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a = ，AD b = ，1A A c = ，则下列向量中与1B M 相等的是（ ） A. 1122a b c -++B. 1122a b c ++ C. 1122a b c -+ D. 1122a b c --+。

[学习目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.知识点一 空间向量的夹角知识点二 空间向量的数量积 (1)定义已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律(3)数量积的性质题型一 空间向量的数量积运算例1 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →；(4)BF →·CE →. 解 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD |→·|BA →|·cos 〈BD →，BA →〉 ＝12×1×1×cos60°＝14， 所以EF →·BA →＝14；(2)EF →·BD →＝12|BD →|·|BD →|·cos 〈BD →，BD →〉＝12×1×1×cos0°＝12， 所以EF →·BD →＝12；(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|·cos 〈BD →，DC →〉＝12×1×1×cos120°＝－14，所以EF →·DC →＝－14；(4)BF →·CE →＝12(BD →＋BA →)·12(CB →＋CA →)＝14[BD →·(－BC →)＋BA →·(－BC →)＋BD →·CA →＋BA →·CA →] ＝14[－BD →·BC →－BA →·BC →＋(CD →－CB →)·CA →＋AB →·AC →] ＝14(－12－12＋12－12＋12)＝－18. 反思与感悟 由向量数量积的定义知，要求a 与b 的数量积，需已知|a |，|b |和〈a ，b 〉，a 与b 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a ·b 计算准确.跟踪训练1 已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为. 答案 －13解析 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.题型二 利用数量积求夹角例2 如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值.解 因为BC →＝AC →－AB →， 所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120° ＝－162＋24.所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.反思与感悟 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零.跟踪训练2 如图所示，正四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点，求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD . 证明 MN →·AB →＝(MB →＋BC →＋CN →)·AB →＝(MB →＋BC →＋12CD →)·AB →＝(MB →＋BC →＋12AD →－12AC →)·AB →＝12a 2＋a 2cos120°＋12a 2cos60°－12a 2cos60°＝0， 所以MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . 题型三 利用数量积求距离例3 正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，求EF 的长.解 如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .由题意知|a |＝|b |＝|c |＝2， 且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1→＋A 1F → ＝－12AB →＋AA 1→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以EF 2＝|EF →|2＝EF →2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝⎛⎭⎫－12a ·12b ＋12b·c －12a·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝⎛⎭⎫－14×2×2cos60° ＝1＋1＋4－1＝5， 所以EF ＝ 5.反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可. 跟踪训练3 如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是在这两个面内且垂直于AB 的线段.又知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长.解 ∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴〈CA →，BD →〉＝120°. ∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，且CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0， ∴|CD →|2＝CD →·CD →＝(CA →＋AB →＋BD →)(CA →＋AB →＋BD →) ＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD →＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2|CA →||BD →|cos 〈CA →，BD →〉 ＝62＋42＋82＋2×6×8×(－12)＝68，∴|CD →|＝217，故CD 的长为217.1.若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件答案 A解析 a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立.2.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －3b |等于( ) A.7B.10C.13D.4 答案 A解析 ∵|a －3b |2＝(a －3b )2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝1－6×cos60°＋9＝7.∴|a －3b |＝7.3.对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( ) A.若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B.若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C.若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D.若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c 答案 B解析 对于A ，可举反例：当a ⊥b 时，a ·b ＝0； 对于C ，a 2＝b 2，只能推得|a |＝|b |，而不能推出a ＝±b ； 对于D ，a ·b ＝a ·c 可以移项整理得a ·(b －c )＝0.4.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1B.2C.3D.5 答案 A解析 |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，将上面两式左、右两边分别相减，得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.5.若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |等于( ) A.2B.2C.1D.22答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b )·a ＝0，(2a ＋b )·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ·a ＝0， ①2a ·b ＋b 2＝0，② 将①×2－②得，2a 2－b 2＝0， ∴b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2， 故|b |＝ 2.求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模.。

§2空间向量的运算1．会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律．(重点) 2．会利用两个空间向量共线的充要条件解决有关问题．(难点))3．能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积．(重点阅读教材P29～P30的部分，完成下列问题．与平面向量类似，a与b的差定义为b是b的相反向量1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．( ) (2)AB →＋BA →＝0.( )【解析】 (1)实数与向量之间不能进行加、减法运算． (2)AB →＋BA →＝0，注意0与0的区别． 【答案】 (1)× (2)×2．如图2­2­1所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝( )图2­2­1A.AB 1→B ．DC → C.AD →D ．BA → 【解析】 AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1B →＝AB 1→＋B 1B →＝AB →＝DC →. 【答案】 B3．在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为________． 【解析】 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.【答案】 AD →4．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，求a·a ＋a·b ＝_____. 【解】 由空间向量数量积的性质a·a ＝|a |2＝1，由空间向量数量积的定义得a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×1×cos 60°＝12，从而a·a ＋a·b ＝1＋12＝32.教材整理2 共线向量定理阅读教材P 29“定理”的部分，完成下列问题．空间两个向量a 与b (b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)若向量a ，b 共线，则一定存在实数λ，使得a ＝λb .( ) 【解析】 当a ≠0，b ＝0，实数λ不存在． 【答案】 × 教材整理3 单位向量阅读教材P 31“例2”以上的部分，完成下列问题． 对于任意一个非零向量a ，我们把a|a|叫作向量a 的单位向量， 记作a 0，a 0与a 同方向．预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________(1)已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c【自主解答】 CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝－AB →＋CB →＋AD → ＝－a ＋b ＋c 【答案】 C(2)化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________. 【自主解答】 法一：(AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →) ＝AD →＋DA →＝0.法二：(AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →＝0. 【答案】 0(3)如图2­2­2所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1→的共有( )图2­2­2①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【自主解答】 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→. 【答案】 D1．在运算时，要注意运算律的应用，在例题中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算．2．对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的性质．M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线？图2­2­3【精彩点拨】 要判断CE →与MN →是否共线，由共线向量定理可判断是否存在实数λ使CE →＝λMN →.若存在，则CE →与MN →共线；否则，CE →与MN →不共线．【自主解答】 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，而四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)＝2MN →，即CE →＝2MN →. ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．1．判定向量a 与b 共线就是要找到实数λ，使得a ＝λb 成立．要充分运用空间向量的运算法则，同时结合空间图形，化简得a ＝λb ，从而判定a 与b 共线．2．向量共线定理是证明三点共线，线线平行问题的重要依据，有关空间和平面几何中的线线平行问题均可转化为向量的共线问题．1．如图2­2­4，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．【导学号：32550024】图2­2­4【证明】 ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12(32CG →－32CF →)＝34(CG →－CF →)＝34FG →， ∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在EH 上，∴四边形EFGH 是梯形．探究1 【提示】 (1)向量a ，b 的数量积记为a·b ，而不能表示为a ×b 或ab .(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定；θ为锐角时，a·b ＞0，但a·b ＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b ＜0，但a·b ＜0时，θ可能为π.(3)当a ≠0时，由a·b ＝0不能推出b 一定是零向量，这是因为任一个与a 垂直的非零向量b ，都有a·b ＝0.探究2 在应用空间向量数量积的运算律时要注意什么？【提示】 要准确区分两向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积之间的差异．注意以下几点：(1)数量积的运算不满足约去律，即a·b ＝b·c 推不出a ＝c . (2)数量积的运算不满足结合律，即(a·b )c 不一定等于a (b·c )．(3)数量积的运算不满足除法，即对于向量a ，b ，若a·b ＝k ，不能得到a ＝k b ⎝⎛⎭⎪⎫或b ＝k a.例如当非零向量a ，b 垂直时，a·b ＝0，但a ＝0b显然是没有意义的．探究3 如何灵活地应用空间向量的数量积公式？【提示】 空间向量的数量积的应用主要有以下三个方面： (1)利用|a |＝a 2，求线段的长； (2)利用cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，求两直线所成的角； (3)利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0，证明两直线垂直．如图2­2­5所示，已知正四面体O ­ABC 的棱长为1.图2­2­5求(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)．【精彩点拨】 在正四面体中，所有棱的长度都相等，每一个面都是正三角形，所以从同一顶点出发的任意两条棱所对应向量间的夹角等于60°或120°(与方向有关)．【自主解答】 如图所示．(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.数量积的定义式、数量积的运算律、模与向量的数量积关系是重要的基础知识点．正四面体中从同一顶点出发的任意两条棱的夹角有两种情况，应注意向量的方向．2．本例条件不变，求|OA →＋OB →＋OC →|. 【解】 |OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC→2＝OA→2＋OB →2＋OC →2＋2OA →·OB →＋2OA →·OC →＋2OB →·OC →＝12＋12＋12＋＝ 6.1．直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c【解析】 A 1B →＝A 1C 1→＋C 1C →＋CB →＝－a ＋b －c . 【答案】 D2．下列命题中正确的是( )A ．若a∥b ，b∥c ，则a 与c 所在直线平行B ．向量a ，b ，c 共面即它们所在直线共面C ．空间任意两个向量共面D ．若a∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb【解析】 a∥b ，b∥c 则a∥c ，a 与c 所在直线可能平行也可能重合，故选项A 错误，选项B 中它们所在直线可能不共面；当b ＝0，a ≠0时，不存在λ使得a ＝λb ，故选项D 错误，故选C.【答案】 C3．如图2­2­6已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则AB 1→·C 1B →＝( )图2­2­6A ．－2B ．2C ．－1D ．1【解析】 AB 1→·C 1B →＝AB 1→·D 1A →＝(2)2cos 〈AB 1→，D 1A →〉＝2cos(180°－60°)＝2cos 120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－1.故选C. 【答案】 C4．设a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |＝________.【导学号：32550025】【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b . ∴|c |＝－a －b2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋4＝ 5. 【答案】55．在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AM →＝12MC →，A 1N →＝2ND →.设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.【解】 如图所示，连接AN ，则MN →＝AN →－AM → ＝AA 1→＋A 1N →－13AC →＝AA 1→＋23A 1D →－13(AB →＋BC →)＝AA 1→＋23(AD →－AA 1→)－13(AB →＋AD →)＝c ＋23(b －c )－13(a ＋b ) ＝－13a ＋13b ＋13c .我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。

§2　空间向量的运算第1课时　空间向量的加、减法及数乘运算课后训练案巩固提升A组DD1‒AB+BC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量表达式化简后的结果是( )BD1D1B B1D DB1A. B. C. D.DD1‒AB+BC=DD1BA+BC DD1+BD=BD1解析:　+()=.答案:A2.设a,b是两个不共线的向量,λ,μ∈R,若λa+μb=0,则( )A.a=b=0B.λ=μ=0C.λ=0,b=0D.μ=0,a=0解析:∵a,b是两个不共线的向量,∴a≠0,b≠0,∴只有B正确.答案:BOP=OA AB3.设空间四点O,A,B,P满足+t,其中0<t<1,则有( )A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段BA的延长线上D.点P不一定在直线AB上解析:∵0<t<1,∴点P在线段AB上.答案:A4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,有下列结论:OA+OD与OB1+OC1①是一对相反向量;OB‒OC与OA1‒OD1②是一对相反向量;OA+OB+OC+OD与OA1+OB1+OC1+OD1③是一对相反向量; OA1‒OA与OC‒OC1④是一对相反向量.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:∵O为正方体的中心,OA OC1,OD OB1∴=-=-,OA+OD OB1+OC1故=-(),OB+OC OA1+OD1同理可得=-(),OA+OB+OC+OD OA1+OB1+OC1+OD1故=-(),∴①③正确;OB‒OC=CB,OA1‒OD1=D1A1∵,OB‒OC与OA1‒OD1∴是两个相等的向量,∴②不正确;OA1‒OA=AA1,OC‒OC1=C1C AA1∵=-,OA1‒OA OC‒OC1∴=-(),∴④正确.答案:C5.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是A'C'的中点,点F 是AE 的三等分点,且AF=EF ,则=( )12AF A.AA '+12AB +12ADB.12AA '+12AB +12ADC.12AA '+16AB +16ADD.13AA '+16AB +16AD解析:由条件AF=EF ,知EF=2AF ,12∴AE=AF+EF=3AF ,∴)=)=.AF =13AE =13(AA +A 'E 13(AA +12A 'C )=13AA +16(A 'D +A 'B 13AA +16AD +16AB 答案:D6.在四面体A-BCD 中,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,则的关系是 (填平行、相等或相反). EF 与AD +BC 解析:设G 是AC 的中点,则),EF =EG +GF =12BC +12AD =12(AD +BC ∴2,∴∥().故填平行.EF =AD +BC EF AD +BC 答案:平行7.若非零向量e 1,e 2不共线,则使k e 1+e 2与e 1+k e 2共线的k 值为 .解析:若k e 1+e 2与e 1+k e 2共线,则存在实数λ,使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2),又e 1,e 2不共线,所以所以{k =λ,1=λk ,{k =1,λ=1或{k =-1,λ=-1.答案:1或-18.导学号90074020如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,=2.设=a ,=b ,AM =12MC ,A 1N ND AB AD =c ,试用a ,b ,c 表示.AA 1MN解如图,连接AN ,则)=)-MN =AN ‒AM =AA 1+A 1N ‒13AC =AA 1+23A 1D ‒13(AB +BC AA 1+23(AD ‒AA 113(AB +AD)=c+(b-c )-(a+b )=-a+b+c .2313131313B 组1.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D 是CC 1的中点,F 是A 1B 的中点,且=α+β,则( )DF AB ACA.α=,β=-112B.α=-,β=112C.α=1,β=-12D.α=-1,β=12解析:因为+()+)=,所以α=,β=-1.DF =DC +CB +BF =12C 1C AB ‒AC 12(BA +BB 112AB ‒AC 12答案:A2.已知空间向量满足||=||+||,则( )AB ,AC ,BC AB AC BC A. B.=-AB =AC +BCAB AC ‒BC C.同向 D.同向AC 与BC AC 与CB 解析:由||=||+||=||+||,知C 点在线段AB 上,否则与三角形两边之和大于第三边矛盾,AB AC BC AC CB 所以同向.AC 与CB 答案:D3.如图,已知四面体O-ABC 中,M ,N 分别为OA ,BC 的中点,点G 在线段MN 上,且=2.若=x +y +z ,则MG GN OG OA OB OC x+y+z=( )A.1 B.0C. D.5623解析:　OG =OM +MG =12OA +23MN =12OA +23(-12OA +OC +12CB )=12OA ‒13OA +23OC +13OB ‒13OC =16OA +13,所以x=,y=,z=,所以x+y+z=.OB +13OC 16131356答案:C 4.如图,在三棱锥A-BCD 中,若△BCD 是正三角形,E 为其中心,则化简的结果为 .AB +12BC ‒32DE ‒AD解析:延长DE 交BC 于点F ,连接AF ,则F 为BC 的中点,,故AB +12BC =AF ,32DE +AD =DF +AD =AF AB +12BC ‒320.DE ‒AD 答案:05.如图,已知正四棱锥P-ABCD ,点O 是正方形ABCD 的中心,Q 是CD 的中点.(1)若+x +y ,求x ,y 的值;OQ =PQ PC PA (2)若=m +n ,求m ,n 的值.PA PO PQ +PD 解(1)因为)=,所以x=y=-.OQ =PQ ‒PO =PQ ‒12(PA +PC PQ ‒12PC ‒12PA 12(2)因为O 为AC 的中点,Q 为CD 的中点,所以=2=2,所以=2=2,所PA +PC PO ,PC +PD PQ PA PO ‒PC ,PC PQ ‒PD 以=2-2,所以m=2,n=-2.PA PO PQ +PD 6.导学号90074021如图,在空间四边形ABCD 中,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD上的点,且.求证:四边形EFGH 是梯形.CF =23CB ,CG =23CD 证明因为E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,所以)=)=AE =12AB ,AH =12AD ,EH =AH ‒AE =12AD ‒12AB =12(AD ‒AB 12BD =12(CD ‒CB 12(32CG -32CF )=34(CG )=.‒CF 34FG所以,且||=|≠||.EH ∥FG EH 34|FG FG 又因为点F 不在EH 上,所以四边形EFGH 是梯形.。

2.2 空间向量的数乘运算学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 学习过程 一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量,a b ， 若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件是复习2：已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若1233OP OA OB =+，试判断A,B,P 三点是否共线？二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量,a b 有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？新知：共面向量： 同一平面的向量. 1.空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量,a b ，向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在 ， 使得 .推论：空间一点P 与不在同一直线上的三点A,B,C 共面的充要条件是： (1) 存在 ，使(2) 对空间任意一点O ，有试试：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式111236OP OA OB OC =++,则点P 与 A,B,C 共面吗？反思：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式OP xOA yOB zOC =++,且点P与 A,B,C 共面，则x y z ++= . 典型例题例1 下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（ ） ①;OM OA OB OC =-- ②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++= ④0OM OA OB OC +++=.A. 1B. 2C. 3D. 4变式：已知A,B,C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若向量()17,53OP OA OB OC R λλ=++∈则P,A,B,C 四点共面的条件是λ=例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使,OE OF OG OHk OA OB OC OD==== 求证：E,F,G,H 四点共面.变式：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F,G,H 四点共面.小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. 动手试试练1. 已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？练2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x三、总结提升 学习小结ABCD FEGH1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. 当堂检测：1. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11AC 是（ ）A. 有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量.2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D 的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO .5. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）.A ．0 B.1 C. 2 D. 3 课后作业：1. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y .2.已知两个非零向量21,e e 不共线,12,AB e e =+ 121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：,,,A B C D 共面．。