使不等式 x≤f(x)≤ x22+1对一切实数 x 都成立? 解: 假设存在常数 a, b, c, 使题中不等式对一切实数 x 都成立.
则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1, 0), 得 a-b+c=0. ① ∵ x≤f(x)≤ x22+1对一切实数 x 都成立, 当 x=1 时也成立, ∴ 1≤f(1)≤1, 即 f(1)=1, 得 a+b+c=1. ②
一、二次函数的解析式
1.一般式: y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标);
3.两根式: y=a(x -x1)(x -x2)(其中x1, x2为抛物线与 x 轴两交点 的横坐标);
注: 求二次函数的解析式, 一般都采用待定系数法. 做题时, 要根据题设条件, 合理地设出解析式.
{x | x<x1 或 x>x2}
{x | x≠- 2ba}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x | x1<x<x2}
八、典型例题
1.已知二次函数 f(x) 满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值 是 8, 试确定此二次函数的解析式.
解法一: 利用二次函数的一般式. 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则
解: f(x) 的图象是开口向上的抛物线, 其对称轴为直线 x=a-1.
(1)问题等价于“对于 x∈[-1, 1], 有 f(x)max>0.” 讨论如下: ①当 a-1≤0 即 a≤1 时, f(x)max=f(1)=-a2-2a+15. 由 -a2-2a+15>0 得: -5<a<3. ∵ a≤1, ∴ -5<a≤1. 注: 亦可 ②当 a-1>0 即 a>1 时, f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7. 用补集法 由 -a2+6a+7>0 得: -1<a<7. ∵ a>1, ∴ 1<a<7. 求解. 综上所述, -5<a<7. 即实数 a 的取值范围是 (-5, 7).
