内蒙古赤峰市2019年数学高二年级上学期期末质量跟踪监视试题

2019-2020学年内蒙古乌兰察布市集宁一中（西校区）高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．有下列四个命题：（1）“若x 2+y 2=0，则xy=0”的否命题； （2）“若x ＞y ，则x 2＞y 2”的逆否命题； （3）“若x≤3，则x 2﹣x ﹣6＞0”的否命题； （4）“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】试题分析：根据四种命题的真假关系进行判断即可．解：（1）“若x 2+y 2=0，则xy=0”的否命题是若x 2+y 2≠0，则xy≠0”错误，如当x=0，y=1时，满足x 2+y 2≠0，但xy=0，故命题为假命题．（2）“若x ＞y ，则x 2＞y 2”为假命题，如当x=1，y=﹣2，满足x ＞y ，但x 2＞y 2不成立，即原命题为假命题，则命题的逆否命题也为假命题．（3）“若x≤3，则x 2﹣x ﹣6＞0”的否命题是若x ＞3，则x 2﹣x ﹣6≤0为假命题，如当x=4时，满足x ＞3，但x 2﹣x ﹣6≤0不成立，即命题为假命题． （4）“对顶角相等”的逆命题为相等的角是对顶角，为假命题． 故真命题的个数是0个 故选A ．2．23520x x +->的一个充分但不必要的条件是( ) A ．132x -<< B ．102x -<< C ．16x -<< D ．132x -<<【答案】B【解析】先求解不等式的解集，再根据集合的大小关系判定得到充分不必要条件，即可得到答案. 【详解】由不等式23520x x +->，可得22530x x --<，解得132x -<<，由此可得：选项A ，132x -<<是不等式23520x x +->成立的一个充要条件； 选项B ，102x -<<是不等式23520x x +->成立的一个充分不必要条件； 选项C ，16x -<<是不等式23520x x +->成立的一个必要不充分条件； 选项D ，132x -<<是不等式23520x x +->成立的一个既不充分也不必要条件， 故选B. 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及不等式的求解，其中根据一元二次不等式的解法求解不等式的解集，再根据集合之间的关系判定充要条件是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3．命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是 A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤ C ．存在x ∈R ，3210x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>【答案】C 【解析】【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是:存在x ∈R ，3210x x -+> 选C.4．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足7245S S -=，则5a ＝( ) A ．7 B ．9C ．14D ．18【答案】B【解析】法一：利用等差数列的下标和性质即可求出；法二：利用待定系数法设出公差，再利用等差数列的通项公式即可以求出． 【详解】解法一：因为在等差数列{}n a 中，7245S S -=，所以345675545a a a a a a ++++==，所以59a =，故选B.解法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为在等差数列{}n a 中，7245S S -=， 所以11765)22(74a d a d ⋅+⨯+－＝，整理得149a d +=，所以59a =，故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的应用以及等差数列性质的应用． 5．已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ） A ．14B ．12C ．12-D ．12或12-【答案】B【解析】试题分析：因为122,,,8a a --成等差数列，所以()21822,3a a ----==-因为1232,,,,8b b b --成等比数列，所以()()222816b =--=，由21220b b =->得24b =-，2122142a ab --==-，故选B. 【考点】1、等差数列的性质；2、等比数列的性质.6．111112233499100++++=⨯⨯⨯⨯L （ ）． A ．99100- B ．99100 C ．10099-D ．10099【答案】B【解析】采用裂项相消法可直接求得结果. 【详解】 原式1111111199112233499100100100=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查裂项相消法求和的问题，属于基础题.7．曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k+=<--的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】C【解析】试题分析：221259x y +=，45,3,4,5a b c e ====．221(9)259x y k k k +=<--，25,9,4,25a k b k c e k=-=-==-因此焦距相等，故选C ．【考点】椭圆的定义8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin cos cos =+c C a B b A ，且2223b c a bc +-=，则角B 的大小（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】利用正弦定理由sin cos cos =+c C a B b A 求出角C ，再利用余弦定理由2223b c a bc +-=求出角A ，由三角形内角和为π即可求得角B .【详解】由正弦定理得()()2sin sin cos cos sin sin sin sin =+=+=-=C A B A B A B C C π得sin 1C =，所以2C π=．又2223cos 2b c a A bc +-==，得6A π=．所以3B π=． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属常规考题.9．双曲线22184x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．4B 45C ．2D 215【答案】C【解析】求得双曲线的a ，b ，c ，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值． 【详解】双曲线22184x y -=的22a =2b =，23c =，一个焦点设为30)，一条渐近线设为20x -=，可得一个焦点到一条渐近线的距离为23212d ==+. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质、渐近线方程、点到直线的距离公式，考查化简运算能力，属于基础题．10．若直线(3)y k x =-与双曲线22194x y -=只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【解析】由题意可得直线经过点(3,0)，即为双曲线的右顶点，求得渐近线方程，考虑与渐近线平行的直线，即可得到所求条数． 【详解】直线(3)y k x =-经过点(3,0)，即为双曲线的右顶点， 由于直线的斜率为k ，故直线3x =不成立，而双曲线22194x y -=的渐近线方程为23y x =±，可得经过点(3,0)与渐近线平行的直线，与双曲线只有一个公共点， 故满足条件的直线有两条． 故选：B. 【点睛】本题考查直线和双曲线的位置关系、双曲线的性质、渐近线方程，考查分类讨论思想，属于基础题．11．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为13，则双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为（ ） A ．22y x = B ．3y x = C ．22y x =±D ．y x =±【答案】A【解析】分析：根据题意，结合椭圆的性质，可得22222119c b e a a ==-=，进而可得2289b a =，再由双曲线的渐近线方程的定义可得答案． 详解：根据题意，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为13，则有22222119c b e a a ==-=，即2289b a =，则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，即23y x =±，故选A ．点睛：本题主要考查了椭圆的离心率以及双曲线的渐近线定义，解本题时，注意椭圆与双曲线的标准方程中，a 、b 的意义与相互间的关系.12．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF V 的面积为A ．2B 3C ．2D ．3【答案】B【解析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得. 【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入24y x =可得23y =±,所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=123132⨯=故选B .【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.二、填空题13．在△ABC 中，∠A=3π，AB=2，AC=1，则ABC S V =______． 【答案】32【解析】利用三角形的面积公式S=12AB•ACsinA 即可求得答案． 【详解】∵在△ABC 中，∠A=3π，AB=2，AC=1， ∴△ABC 的面积S=12AB•ACsinA =12×2×1×33． 故答案为：32．【点睛】本题考查三角形的面积公式，属于基础题． 14．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =________． 【答案】36【解析】试题分析：因为()4(0,0)af x x x a x=+>>，所以，当且仅当即，由题意，解得【考点】基本不等式15．已知双曲线22221(0,0)x y C a b a b -=>>：的一条渐近线方程为5y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则曲线C 的方程为______． 【答案】22145x y -=【解析】由双曲线的渐近线方程可得52b a =①,求得椭圆的焦点,可得229a b +=②,解方程可得a ,b ,进而得到双曲线的方程． 【详解】解：双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的渐近线方程为b y x a =±,由一条渐近线方程为5y x =,可得5b a =① 椭圆221123x y +=的焦点为()3,0-,()3,0，可得229a b +=② 由①②可得2a =,5b =即双曲线的方程为22145x y -=,故答案为:22145x y -=．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题．16．斜率为2的直线l 经过抛物线28y x =的焦点F ,且与抛物线相交于,A B 两点,则线段AB 的长为__________. 【答案】10【解析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线焦点弦的计算公式：A B x x p ++，即可求解出过焦点的弦长AB . 【详解】因为焦点()2,0F ，所以():22l y x =-，联立直线与抛物线可得：2824y x y x ⎧=⎨=-⎩，所以2424160x x -+=即2640x x -+=，所以6A B x x +=，所以6410A B AB x x p =++=+=. 故答案为：10. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦的弦长计算，难度较易.抛物线中计算焦点弦弦长的两种方法： (1)直接利用弦长公式：()()222211414A B A B A B A B AB k x x x x y y y y k=++-=++-(2)利用焦半径公式简化计算：22A B A B p pAB x x x x p =+++=++.三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+ （1）证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列， （2）求数列{}n a 的前n 项和n S【答案】（1）见解析；（2）13234n n n s +--=【解析】（1）利用定义法证明11212n n a a +++是一个与n 无关的非零常数，从而得出结论； （2）由（1）求出n a ，利用分组求和法求n S ． 【详解】（1）由1 3 1n n a a +=+得111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以112312n n a a ++=+， 所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为11322a +=，公比为3的等比数列,，所以113322n n a -+=⋅， （2）由（1）知{}n a 的通项公式为31(*)2n n a n N -=⋅∈；则123332222n n n S ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭L L所以13234n n n S +--=【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题． 18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-.（1）求A ；（2）当6a =时，求其面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状.【答案】（1）60o ；（2）ABC ∆面积的最大值为93，此时ABC ∆为等边三角形. 【解析】（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出1cos 2A =，再结合角A 的取值范围可得出角A 的值；（2）对a 利用余弦定理，利用基本不等式求出bc 的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出b c =，可判断出此时ABC ∆的形状. 【详解】（1）()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-Q ，()22b c a bc ∴-=-，222b c a bc ∴+-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，0180A <<o o Q ，60A ∴=o ； （2）由余弦定理和基本不等式得222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，236bc a ∴≤=，当且仅当6b c a ===时，等号成立，ABC ∆∴的面积113sin 369322ABC S bc A ∆=≤⨯⨯=. 此时，由于6b c ==，60A =o ，则ABC ∆是等边三角形.【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了三角形面积最值的计算，一般利用基本不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.19．设椭圆()222210x y C a b a b+=>>：过点(0,4)，离心率为35 . (1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率45k =的直线被椭圆C 所截线段的中点坐标． 【答案】（1）2212516x y +=；（2）36(,)25-． 【解析】（1）椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），可求b ，利用离心率为，求出a ，即可得到椭圆C 的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），代入椭圆C 方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．【详解】（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得=1，∴b=4，由e==，得1﹣=，∴a=5， ∴椭圆C 的方程为+=1．（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），设直线与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程y=（x ﹣3）代入椭圆C 方程，整理得x 2﹣3x ﹣8=0，由韦达定理得x 1+x 2=3，y 1+y 2=（x 1﹣3）+（x 2﹣3）=（x 1+x 2）﹣=﹣．由中点坐标公式AB 中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．20．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长为63 (1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点,A B ，求||AB ．【答案】(1) 22136x y -=；(2)1635. 【解析】（1）由题意可得3==c e a 226b c a =-=a ，b ，c ，可得所求双曲线的方程；（2）设经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3(3)y x =-，联立双曲线方程，可得x 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．【详解】（1）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为263， ∴36c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得3a =6b =，3c =，∴双曲线的方程为22136x y -=. （2）由（1）知双曲线22136x y -=的右焦点为2(3,0)F ，设经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为33)y x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221363(3)3x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得256270x x +-=，其中，1265x x +=-，12275x x =-， ∴22121627163||1|1+()4()355AB k x x =+-=--⨯-=. 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4133n n S a =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1n b n =+，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）14n n a -=（2）322499n n n T +=⨯- 【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-代入计算得到答案.（2）先计算得到()114n n na b n -=+⨯，再利用错位相减法计算得到答案. 【详解】（1）因为4133n n S a =-，所以()1141233n n S a n --=-≥， 所以当2n ≥时，14433n n n a a a -=-，即14n n a a -=， 当1n =时，114133S a =-，所以11a =， 所以14n n a -=. （2）()114n n na b n -=+⨯， 于是()01221243444414n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，①()12314243444414n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，②由①-②，得()121223244414433n n n n T n n -⎛⎫-=++++-+⨯=-+⨯ ⎪⎝⎭L ，所以322499n n n T +=⨯-. 【点睛】 本题考查了数列的通项公式，利用错位相减法计算数列的前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.22．已知直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.（1）若4AF =，求点A 的坐标；（2）若直线l 的倾斜角为45︒，求线段AB 的长.【答案】(1) 点A 的坐标为(3,23)或(3,23)-. (2) 线段AB 的长是8【解析】解：由24y x =，得2p =，其准线方程为1x =-，焦点(1,0)F . （2分）设11(,)A x y ，22(,)B x y .（1）由抛物线的定义可知，12pAF x =+，从而1413x =-=.代入24y x =，解得123y =±∴ 点A 的坐标为24y x =或(3,23)-. （6分）（2）直线l 的方程为0tan 45?(1)y x -=︒-，即1y x =-.与抛物线方程联立，得21{4y x y x =-=， （9分）消y，整理得2610x x-+=，其两根为12,x x，且123y=±由抛物线的定义可知，12628AB x x p=++=+=. 所以，线段AB的长是8. （14分）。

高三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数的概念与性质，指数函数与对数函数，一元函数的导数及其应用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为A.， B.， C.， D.，2.满足的集合的个数为A.8B.7C.6D.43.已知，，，则A. B. C. D.4.已知函数，则A.有最小值1，无最大值 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值0，无最大值 D.有最大值0，无最小值5.已知，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.每年3月21日是世界睡眠日.充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准.对于青少年来说，每天进行中等强度的体育运动有助于提高睡眠质量.运动强度等级与运动后的心率的关系如下表：运动强度等级运动不足中等强度运动过量运动后的心率已知青少年羽毛球运动后的心率与运动时间（单位：分钟）满足关系式，其中为正常心率.某同学正常心率为70，若该同学要达到中等强度的羽毛球运动，则运动时间至少约为（参考数据：）0a ∀>22a a+≠0a ∀>22a a +=0a ∀≤22a a+=0a ∃>22a a+=0a ∃≤22a a+={}{}2221020x x x M x x x ++=⊆⊆∈+-≤Z M 0.13a =30.1b =3log 0.1c =a c b>>a b c>>b a c>>c b a>>()e e x f x x =-()f x 0a b >>0c >a b a c b c>++y y110y <110130y ≤≤130y ≥y t )20ln1y a =++a2e 7.4≈A.35分钟B.41分钟C.52分钟D.62分钟7.已知函数恰有一个零点，则A.－2B.－1C.0D.18.已知，且是函数的极大值点，则的取值范围为A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论错误的有A.若，则B.若，，则C.若，则D.若，则10.已知幂函数的图象经过点，则函数的大致图象可能为A. B. C. D.11.对任意，，函数，都满足，则A.是增函数 B.是奇函数C.的最小值是D.为增函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在处的切线方程为________.13.已知二次函数满足，则函数的单调递增区间为________.14.已知，，且，若3，则________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.()2e e 1cos ex x xm f x x ++=-m =0a >0x =()()2ln f x x x a =+a ()0,e ()1,e (]0,e ()0,10x >2112x x ≥+a b >c d >ac bd>0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22114sin cos x x +≥10a b c >>>>c cab ba<()f x ()2,4()()f xg x mx m=+x y ∈R ()f x ()g x ()()()()2e x f x f y g x g y y ++-=+()f x ()f x ()g x ()0g ()()2y f x g x =-2xy x =⋅0x =()f x ()()22129f x f x x x --=-()()12log g x f x =0a >0b >a c =a b c a c ++++c =15.（13分）已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求的取值范围.16.（15分）已知正实数，满足.（1）求的最小值；（2.17.（15分）已知函数，且.（1）求的值；（2）求不等式的解集.18.（17分）已知，函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求的取值范围.19.（17分）在平面直角坐标系中，定义：若曲线和上分别存在点，关于原点对称，则称点和点为和的一对“关联点”.（1）若上任意一点的“关联点”为点，求点所在的曲线方程.（2）若上任意一点的“关联点”为点，求的取值范围.（3）若和有且仅有两对“关联点”，求实数的取值范围.{}12511A x x =<+<{}1B x x m =<+32m =A B ()A B R ðA B B = m x y 2x y +=12x y+3≤()333xx a f x ⋅=+()()66log 3log 122f f +=a ()22310f x x +->0a >()()e 1ln x f x a x a =---()f x ()ln f x x ≥\a Oxy 1C 2C M N O M N 1C 2C 21:4C y xy x y +-+=P Q Q ()221:1C x y x+-=S T 2ST 1:e 2xC y a =+2:e xC y x a =-a高三数学试卷参考答案1.C 全称量词命题的否定为存在量词命题.2.A 由题可知，则满足条件的集合有8个.3.B 因为，，，所以.4.C 因为，所以.当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，无最大值.5.A 若，则，即.取，，，满足，，不满足.故“”是“”的充分不必要条件.6.B 由题可知，，则，所以，从而，故运动时间至少约为41分钟.7.B 为偶函数，其图象关于轴对称.由恰有一个零点，可得，解得，此时，当时，，，则在上无零点，从而恰有一个零点.8.D .令，易知在上单调递增，.当时，则存在，使得，符合是函数的极大值点；当时，则存在，使得，不符合是函数的极大值点；当时，，不符合是函数的极大值点.综上，的取值范围为.9.ABD 对于A ，当时，，所以A 错误；对于B ，若，，，，则，，此时，所以B 错误；对于C，{}{}12,1,0,1M -⊆⊆--M 0.131>300.11<<3log 0.10<a b c >>()e e x f x x =-()e e x f x '=-(),1x ∈-∞()0f x '<()f x ()1,x ∈+∞()0f x '>()f x ()f x ()10f =0c >()()()()()()()0a b c b a c a b c a b a c b c a c b c a c b c +-+--==>++++++a ba cbc >++3a =1b =2c =-0a b >>a b a c b c >++0c >0c >a ba cb c>++)20ln170110y =++≥)ln12+≥21e +≥()22e 140.96t ≥-≈()2e e 1cos e e cos x x x xxm f x x x m e-++=-=+-+y ()f x ()010f m =+=1m =-()e e cos 1x x f x x -=+--0x >e e 2x x -+>cos 12x --≥-()f x ()0,+∞()f x ()()()22ln 2ln 1x a f x x x a x x a x a x a ⎡⎤=++=+-+⎢++⎣'⎥⎦()()2ln 1a g x x a x a =+-++()g x (),a -+∞()02ln g a =()0,1a ∈()0,m ∈+∞()0g m =0x =()()2ln f x x x a =+()1,a ∈+∞(),0m a ∈-()0g m =0x =()()2ln f x x x a =+1a =()00g =0x =()()2ln f x x x a =+a ()0,10x >211112x x x x=≤++1a =1b =-1c =-2d =-1ac =-2bd =ac bd <，当且仅当时，等号成立，所以C 正确；对于D ，，则，所以D 错误.10.BD 设，因为的图象过点，所以，解得，所以，，故A ，C 错误，B ，D 正确.11.ACD 由题意得恒成立，所以存在常数，使得且.令，得解得经检验，符合条件.由，得是增函数且不是奇函数，A 正确，B 错误.因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，C 正确.，D 正确.12. 由，得.当时，，，故曲线在处的切线方程为.13. 设，则，所以，，，则，故.由，得.因为在上单调递增，在上单调递减，所以根()22222222221111cos sin sin cos 224sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭4x π=11c c b a -->c c ab ba >()f x x α=()f x ()2,424α=2α=()2223124x m m g x mx x m m ⎛⎫=+=+-⎪⎝⎭202m -<()()()()e 2x f x g x y f y g y --=-+-a ()()e x f x g x a --=()()2y f y g y a -+-=y x =()()()()e ,2,x f x g x a x f x g x a ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩()()2e ,3e 2,3x xx af x x ag x ⎧+-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩()2e 3x x a f x +-=()f x ()f x ()e 13x g x ='-()g x (),0-∞()0,+∞()g x ()0g ()()()()22e e 22e 3x x x x a x a f x g x x +-----==+0x y -=2x y x =⋅22ln 2x x y x ⋅'=+0x =0y =1y '=2xy x =⋅0x =0x y -=1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭()2f x ax bx c =++()()()()22212121f x f x ax bx c a x b x --=++----()22242229c ax a b x a b c x x -=-+--+-=-2a =-1b =6c =()226f x x x =-++()()212log 26g x x x =-++2260x x -++>322x -<<()f x 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭据复合函数的单调性可知，的单调递增区间为.14.8 因为，所以.，当且仅当，等号成立.故，解得.15.解：（1）由，得，则.…………1分因为，所以由，得，则.…………2分故，，.…………6分（2）因为，所以.…………7分若，即，则，符合；…………9分若，即，则，…………10分由，可得解得.…………12分综上所述，的取值范围为.…………13分16.（1）解：因为，所以…………3分，…………5分当且仅当，…………6分故.…………7分（2）证明：由，…………9分()g x 1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭a c +=()1314a b c b a c a c c a c ⎛++=+++ ++⎝()())232b b a c a c c a b a ca c ⎛⎛⎡⎤+++=++=++ ⎣⎦++⎝⎝(222a b a c ≥++=+=a =134a b c ca c ++≥+=+8c =12511x <+<23x -<<()2,3A =-32m =52x <5522x -<<55,22B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5,32A B ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 55,,22B ⎛⎤⎡⎫=-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭R ð()5,32A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭R ðA B B = B A ⊆10m +≤1m ≤-B =∅B A ⊆10m +>1m >-()1,1B m m =--+B A ⊆12,13,m m --≥-⎧⎨+≤⎩11m -<≤m (],1-∞2x y +=()1211212322y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥2x =-4y =-12x y+2x y =+≥1≤则，…………11分当且仅当时，等号成立，…………12分， (14)分. (15)分17.解：（1）因为，所以，…………3分则.…………5分又，…………6分所以，…………7分从而.…………8分（2）由（1）可知，…………9分显然在上单调递增.…………10分因为，所以由，可得，…………12分则，解得或，…………14分故不等式的解集为.…………15分18.解：（1）的定义域为，.…………1分当时，，则在上单调递增；…………3分当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.…………6分（2）由，可得，即.…………9分令，易知单调递增.…………10分由，可得，则，即.…………分224x y =++=+≤1x y ==2≤3≤()333x x a f x ⋅=+()2213932333933x x x x a a af x --+⋅-===+++()()3323333x x x a af x f x a ⋅+-=+=++666log 3log 12log 362+==()()66log 3log 12f f a +=2a =()23623333x x xf x ⨯==-++()f x R ()102f =()22310f x x +->()()230f x x f +>230x x +>3x <-0x >()22310f x x +->()(),30,-∞-+∞ ()f x R ()()e 1x f x a ='--01a <≤()0f x '>()f x R 1a >()0f x '>()ln 1x a >-()0f x '<()ln 1x a <-()f x ()()ln 1,a -+∞()(),ln 1a -∞-()ln f x x ≥ln ln e x x a ax x ++≤+()()ln e ln e ax x ax x +≤+()e x g x x =+()g x ()()ln eln e ax xax x +≤+()()()ln g ax g x ≤()ln ax x ≤()ln 1ax ax a≤令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，…………15分则，解得，故的取值范围为.…………17分19.解：（1）设点，则点的“关联点”为，将点的坐标代入，得，…………2分即，所以点所在的曲线方程为.…………4分（2）设，则根据对称性得.…………5分因为曲线关于轴对称，当时，设，，，…………7分所以，…………9分所以的最小值为，最大值为，所以的取值范围为.10分（3）和有且仅有两对“关联点”等价于曲线和有且仅有两个交点，即，化简可得.…………11分令，则.（i ）若，则，由，得.当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，()ln x h x x =()21ln xh x x -'=e x >()0h x '<()h x 0e x <<()0h x '>()h x ()max ln e 1e eh x ==11ea ≥0e a <≤a (]0,e (),Q x y Q (),P x y --P 24y xy x y +-+=()()()()2()4y x y x y -+----+-=24y xy x y ++-=Q 24y xy x y ++-=(),S x y ()2224STx y =+1C y 0x ≥cos x θ=sin y x θ-=,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()2222221cos 2cos cos sin 2cos sin 2sin cos 1sin 22x y θθθθθθθθθ++=++=++=++=()313cos 2sin 22222θθθϕ++=+2ST 6-6+2ST 6⎡-+⎣1:e 2x C y a =+2:e xC y x a =-e 2x y a =+ex xy a =+e 2exx xa a +=+()2e 2e 0x x a a x +--=()()2e 2e x x g x a a x =+--()()()()22e2e 1e 12e 1xx x x g x a a a =+--=+-'0a ≥e 10xa +>()0g x '=ln 2x =-(),ln 2x ∈-∞-()0g x '<()ln 2,x ∈-+∞()0g x '>()g x (),ln 2-∞-()ln 2,-+∞所以的最小值为.①当时，，即，则没有零点，不满足题意.②当时，，只有一个零点，不满足题意.③当时，，即，当时，，，因为，所以，故，又，所以在上有一个零点.设，则，单调递增，所以，则当时，，又，所以，因此在上有一个零点.故当时，有两个不同的零点，满足题意.…………14分（ii ）若，则由，得，.①当时，，当时，；当时，；当时，.所以在和上单调递减，在上单调递增.又，所以至多有一个零点，不满足题意.②当时，，则，所以单调递减，至多有一个零点，不满足题意.③当时，，当时，；当时，；当时，.所以在和上单调递减，在上单调递增，()g x ()()1ln 2ln 2e 4g a -=-())0,4ln 2e a ∈⎡⎣()1ln 2e 04a ->()ln 20g ->()g x ()4ln 2e a =()ln 20g -=()g x ()()4ln 2e ,a ∈+∞()1ln 2e 04a -<()ln 20g -<0x <2e0xa >0e 1x <<20a -<()2g x a x >--()20g a ->2ln 2a -<-()g x ()2,ln 2a --()()e 0x h x x x =->()e 10x h x ='->()h x ()0h x >0x >()()()()2e 2e e e e 1e 1xx x x x x g x a a a a ax a >+--=+->+-110a ->110g a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭()g x 1ln 2,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()4ln 2e a >()g x 0a <()0g x '=1ln 2x =-()2ln x a =--20a -<<12x x <(),ln 2x ∈-∞-()0g x '<()()ln 2,ln x a ∈---()0g x '>()()ln ,x a ∈--+∞()0g x '<()g x (),ln 2-∞-()()ln ,a --+∞()()ln 2,ln a ---()()1ln 2ln 2e 04g a -=->()g x 2a =-12x x =()0g x '≤()g x 2a <-12x x >()(),ln x a ∈-∞--()0g x '<()()ln ,ln 2x a ∈---()0g x '>()ln 2,x ∈-+∞()0g x '<()g x ()(),ln a -∞--()ln 2,-+∞()()ln ,ln 2a ---又，所以至多有一个零点，不满足题意.综上，实数的取值范围为.…………17分()()()1ln 1ln 0g a a a--=-+->()g x a ()()4ln 2e ,+∞。

内蒙古包头市2019年数学高二年级上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．在中，，则（ ）A.B.C.D.2．观察下列各式：553125=，6515625=，7578125=，…，则20195的末四位数字为（ ） A ．3125B ．5625C ．0625D ．81253．已知随机变量(6,1)X N ，且(57),(48)P X a P X b <<=<<=，则(47)P X <<=A.2b a- B.+2b aC.12b- D.12a- 4．已知，则的最小值是A.B.C.D.5．已知定义在R 上的函数()f x 的图象如图所示,则'()0xf x <的解集为( )A ．(-∞,0)∪(1,2)B ．(1,2)C ．(-∞,1)D ．(0,1)∪(2,+∞)6．已知复数2222i iz i i-+=-+-，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．65 B ．85C ．85-D ．85i -7．直线：3x-4y-9=0与圆：2cos {2sin x y θθ==（θ为参数）的位置关系是 （ ）A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心8．若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．79-B ．13-C ．13D ．799．函数2ln ||y x x =⋅的图象大致为（ ）A. B. C. D.10．已知函数，满足且，，则当时，有（ ）A.B.C.D.11．在四边形中，，且，则四边形是（ ） A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形12．相关变量,x y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（ ）A.1201r r <<<B.2101r r <<<C.1210r r -<<<D.2110r r -<<< 二、填空题13．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题．“今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人．则西乡遣___________人”． 14．三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，BC ⊥平面PAB ，PA AB ⊥，2PA =，1AB =，BC =O 的表面积为___．15．已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数t 的取值范围是______．16．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （C ）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.由下表中数据得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中ˆ2b =-，据此预测当气温为5C 时，用电量的度数约为__________．17．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线的普通方程；（2）若圆与曲线的公共弦长为，求的值.18．如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面平面, ,点在棱上,,点是棱的中点,求证：(1) 平面; (2)平面.19．已知函数.（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.20．已知展开式的二项式系数之和为（1）求；（2）若展开式中常数项为，求的值；21．已知数列是等比数列，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的的最小值；若不存在，说明理由. 22．已知直线过坐标原点，圆的方程为．（1）当直线的斜率为时，求与圆相交所得的弦长；（2）设直线与圆交于两点，且为的中点，求直线的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．14514．815．16．40三、解答题17．(1) 曲线的直角坐标方程为,曲线的普通方程为;(2).【解析】分析：（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可得圆的直角坐标方程；消去参数即可得曲线的普通方程；（2）联立圆C与曲线，因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，即公共弦直线经过圆的圆心，即可得到答案.详解：(1）由，得，所以，即，故曲线的直角坐标方程为.曲线的普通方程为（2）联立，得因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，所以直线经过圆的圆心，则，又所以点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．18．（1）见解析；（2）见解析．【解析】分析：(1)，所以点是棱的中点，所以，所以，所以平面. (2)先证明平面所以，又因为，所以平面.详解：证明：(1)因为在中, ，所以点是棱的中点.又点是棱的中点,所以是的中位线,所以.因为底面是矩形,以,所以.又平面, 平面,所以平面.(2)因为平面平面, 平面，平面平面，所以平面.又平面,所以.因为,, ,平面,平面,所以平面.点睛：线面垂直的判定和性质定理的应用是高考一直以来的一个热点，把握该知识点的关键在于判定定理和性质定理要熟练掌握理解，见到面面垂直一般都要想到其性质定理，这是解题的关键.19．（1）递减区间是（2）【解析】【分析】（1）求函数的导数，解不等式，即得函数的递减区间；（2）构造函数，由题意不等式恒成立只需,对函数g(x)求导,对参数a进行讨论，判断函数单调性，由单调性得函数最小值，从而可求出a的范围．【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，当时，由得，故的单调递减区间是（2）设，则，当时，时，，在单调递增，恒成立；当时，设，∵，∴，使得时，，∴，在单调递减，∴，与条件矛盾.故的取值范围为.【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题．20．⑴8；⑵【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和为2n=256，可得n的值；（2）二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项，再根据常数项为，求得m的值．【详解】⑴展开式的二项式系数之和为256，，解得⑵的通项公式：令，解得则解得【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．21．（1）；（2）11.【解析】分析：（1）用基本量法求得首项和公比，可得通项公式；（2）求出和，研究不等式的解．详解： (1) 设数列的公比为，因为，所以.因为所以又因为,所以（或写成）(2)因为.令, 即，整理得.当为奇数时，原不等式等价于，解得，所以满足的正整数的最小值为11.点睛：本题考查等比数列的基本量法，基本量法是解决数列问题的基本方法．在等差数列和等比数列中，用首项和公差（公比）表示出已知条件并解出，然后得出通项公式和前项和公式，是我们必须掌握的基本方法．22．(1);(2) 直线l的方程为y=x或y=﹣x.【解析】试题分析：(1) 由已知，直线的方程为，圆圆心为，半径为，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理可求与圆相交所得的弦长；（2）设直线与圆交于两点，且为的中点，设，则，将点的坐标代入椭圆方程求出的坐标，即可求直线的方程.试题解析：（1）由已知，直线l的方程为y=x，圆C圆心为（0，3），半径为，所以，圆心到直线l的距离为=．…所以，所求弦长为2=2．（2）设A（x1，y1），因为A为OB的中点，则B（2x1，2y1）．又A，B在圆C上，所以 x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0．解得y1=1，x1=±1，即A（1，1）或A（﹣1，1）所以，直线l的方程为y=x或y=﹣x．。

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩　. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

2022-2023学年内蒙古乌兰察布市化德县高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．等差数列{an }中，a 4+a 8=10，a 10=6，则公差d 等于（ ）A ．B ．C ．2D ．-141212【答案】A【分析】由条件，可得，又可得答案.486210a a a +==65a =106410a a d =+=【详解】等差数列中，，则{}n a 486210aa a +==65a =，所以，则1064546a a d d =+=+=41d =14d =故选：A2．在中，角、、对的边分别为、、．若，，等于ABC A B C a b c 4a =5b =c =C （ ）A ．B ．C ．D ．120906045【答案】A【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值.cos C C C 【详解】由余弦定理可得，，故.2221cos 22a b c C ab +-==-0180C << 120C = 故选：A.3．下列是全称命题且是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2>0B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x >1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>02【答案】B【详解】主要考查全称量词和全称命题的概念．解：A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．故选B ．4．不等式<2的解集为（ ）22221x x x x --++A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}【答案】A【分析】根据分母大于零恒成立，即可容易将分式不等式转化为一元二次不等式，求解即可.【详解】∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}.故选：.A 【点睛】本题考查分式不等式的求解，注意分母恒为正数，是本题的关键，属基础题.5．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　)A ．＋＝1B ．＋y 2＝124x 23y 24x C ．＋＝1D ．x 2＋＝124y 23x 24y 【答案】A【分析】设出椭圆的标准方程，由题意可得，解得a ，c ，利用b 2＝a 2﹣c 2得到b 2,从而得23a a c =⎧⎨+=⎩到标准方程.【详解】设椭圆的方程为（a>b>0），由右焦点到短轴端点的距离为2知a=2, 右焦点到22221x y a b +=左顶点的距离为3知a+c=3,解得a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，因此椭圆的方程为＋＝1．24x 23y 故选：A.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属基础题．6．已知抛物线的准线与圆相切，则p 的值为22(0)y px p =>22(3)16x y -+=A ．B ．1C ．2D ．412【答案】C【详解】抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=-，2p因为抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆（x-3）2+y 2=16相切，所以3+=4，p=2；2p故选C ．7．椭圆的左右焦点为，，P 为椭圆上第一象限内任意一点，关于P 的对称点为22143x y +=1F 2F 1F M ，关于的对称点为N ，则的周长为（ ）．2F 1MF NA ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【分析】根据对称关系可知为的中位线，再利用椭圆定义可得，从而可2PF 1F MN △24,22a c ==得的周长.1MF N 【详解】因为关于的对称点为，关于的对称点为，1F P M 2F N 所以为△的中位线，2PF 1F MN 所以，11212222()228MF MN PF PF PF PF a +=+=+=⨯=，11224F N F F c ===4=所以的周长为.1MF N 8412+=故选：D.8．设F 为双曲线C ：（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆22221x y a b -=x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，PQ x A PQ x ⊥又，为以为直径的圆的半径，||PQ OF c == ||,2cPA PA ∴=∴OF 为圆心．A ∴||2c OA =，又点在圆上，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭P 222x y a +=，即．22244c c a∴+=22222,22cc a e a=∴==，故选A ．e ∴=【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．9．已知函数，若等比数列满足，则22()()1f x x R x =∈+{}n a 120191a a =（ ）1232019()()()()f a f a f a f a +++=A ．2019B ．C ．2D ．2019212【答案】A【分析】由已知可得，根据等比数列的性质可得1()2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得出所求.212019220181009101110101a a a a a a a ===== 【详解】，，22()()1f x x R x =∈+ 2222212222()211111x f x f x xxx x ⎛⎫∴+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭是等比数列，，{}n a 212019220181009101110101a a a a a a a ∴===== 则.()12320191010()()()()21009201812019f a f a f a f a f a +++=⨯+=+=【点睛】关键点睛：本题考查函数和等比数列的性质的应用，解题的关键是得出，1()2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭结合等比数列的性质解决问题.10．已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则{}n a {}n b e nbn a =*n ∈N {}n b 252018e a a -⋅=（ ）122022b b b +++= A ．2022B ．－2022C ．D ．1011ln 2022【答案】B【分析】根据条件，可以推出.然后，根据等差数列的性质，可得结果；也可以直接根520182b b +=-据前n 项和公式求和.【详解】解法1：由已知，得，则，5201852018252018e e =e =e b b b b a a +-⋅=⋅520182b b +=-根据等差数列的性质有，120222202110111012520182b b b b b b b b +=+==+=+=- 所以，有()()()()2122022120222021101121012085110112022b b b b b b b b b b b +++++=+==++-++ 解法2：由已知，得，则，5201852018252018e e =e =e b b b b a a +-⋅=⋅520182b b +=-根据等差数列的性质有，12022520182b b b b +=+=-所以，.()120221220222022202220222b b b b b S ++++===- 故选：B.11．已知，，且，则的最小值为（ ）0x >0y >2x y +=19x y +A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A【分析】利用乘“1”法及及基本不等式计算可得.【详解】解：因为，，且，0x >0y >2x y +=所以，()1911919110108222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为.9y x xy =12x =32y =19x y +812．在中，角的对边分别为，面积为，若，且ABC A B C ，，a b c ，，S cos cos 2a B b A bc +=，则（）cos S A =A =A ．B ．C ．D ．6π4π3π23π【答案】C【分析】根据正弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可．【详解】解：，cos cos 2a B b A bc += 由正弦定理得，∴sin cos sin cos 2sin A B B A b C +=即，sin()sin 2sin A B C b C +==由，sin 0C >得，，21b =12b=，，cos SA ∴1cos sin 2S A bc A==即，即，sin A A =sin tan cos A A A ==3A π=故选：．C 13．若等差数列和等比数列满足，，则（ ）．{}n a {}n b 111a b ==-448a b ==22a b =A ．2B ．1C ．3D ．4【答案】B【分析】根据条件求出等差数列的公差和等比数列的公比，然后求出、即可.2a 2b 【详解】因为等差数列满足，，所以，，{}n a 11a =-4138a a d =+=3d =22a=因为等比数列满足，，所以，{}n b 11b =-3418b b q ==22,2q b =-=所以，22212a b ==故选：B.14．已知，则的最小值是（ ）．110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩22x y +A ．1B ．2C ．5D ．6【答案】C【分析】作出约束条件所表示的可行域，利用两点间的距离的几何意义，即可得到答案.【详解】不等式组表示的区域如图，由于的几何意义是可行域中的点与原点的距离的平方；22x y +(),x y 由图形知点B 与原点O 的距离最小，联立方程得的最小值是，110x x y =⎧⎨-+=⎩()1,2B 22x y +5故选：C ．15．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则（ ）．()222:104x y C b b -=>b =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】求出双曲线的渐近线方程，然后由垂直可得答案.【详解】双曲线的渐近线方程为，()222:104x y C b b -=>2b y x=±因为双曲线的两条渐近线互相垂直，()222:104x y C b b -=>所以，解得或（舍去），122b b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭2b =2b =-故选：B16．已知P 是抛物线上一点，F 为抛物线的焦点，则点P 到点的距离与点P 到直线24y x =()1,1A -的距离之和的最小值为（ ）．=1x -A B C ．2D 【答案】D【分析】先求出抛物线的焦点坐标、准线方程，再由抛物线的定义可得，再求出PA PF AF+≥的值即可．AF【详解】由抛物线可得，直线是其准线，24y x =()1,0F =1x -由抛物线定义可得P 到直线的距离等于=1x -PF，当三点共线时等号成立，=,,P A F 故选：D.二、解答题17．已知是等比数列，.{}n a 11a =48a =(1)求的通项公式；{}n a (2)若等差数列满足，，求的前n 项和.{}n b 23b a =45b a ={}n b n S 【答案】(1)12n n a -=(2)235n S n n=-【分析】（1）由求出，进而得出的通项公式；3418a a q ==q {}n a （2）由解出首项和公差，再由求和公式计算即可.114316b d b d +=⎧⎨+=⎩【详解】（1）设公比为，因为，所以q3418,2a a q q ===11122n n n a --=⨯=（2）设公差为，因为，所以，解得d 242424,216b b ====114316b d b d +=⎧⎨+=⎩12,6b d =-=故221(1)233352n n n S nb d n n n n n -=+=-+-=-18．已知在中，角对应的边分别为，．ABC ∆、、A B C a b c 、、sin sin sin sin b B a C a A c C +=+（1）求角；B （2）若，．1c =ABC ∆C 【答案】（1）（2）3B π=3C π=【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简即得B 的大小；（2）sin sin sin sin b B a C a A c C +=+先根据a=1,即得C.ABC ∆【详解】（1）由及正弦定理sin sin sin sin b B a C a A c C +=+可得222b ac a c +=+由余弦定理可得222221cos 222a c b b ac b B ac ac +-+-===又因为，所以.()0,B π∈3B π=（2）因为11sin 22ABC S ac B a ∆===所以. 1a =又因为，1,3a c B π===所以是等边三角形，所以ABC ∆3C π=【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．已知空间三点，，(0,2,3)A (2,1,6)B -(1,1,5)C -（1）求以为边的平行四边形的面积;,AB AC（2）若向量分别与垂直，且|的坐标.a ,AB AC a a【答案】（1）2）或()1,1,1a =()1,1,1---【详解】(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∴||=,||=,cos ∠BAC==,∴∠BAC =60°,∴S=||·||sin ∠BAC =7.(2)设向量=(x,y,z ),则由·=0, ·=0,| |=,得a aa a ∴或∴=(1,1,1)或(-1,-1,-1).a【点睛】本题主要考查向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示以及向量夹交余弦公式的应用，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行;（2）两向量垂直.20．已知抛物线．24y x =（1）求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；()0,1P （2）过焦点，，求的长．F M N MN 【答案】（1），，；（2）．0x =1y =1y x =+163【解析】（1）分类讨论，再设出直线方程与抛物线方程联立，即可得到结论；（2）先求出直线方程，联立方程组，求出点，的坐标，根据两点之间的距离公式即可求出．M N 【详解】解：（1）由题意，斜率不存在时，直线满足题意，0x =斜率存在时，设方程为，代入，可得，1y kx =+24y x =22(24)10k x k x +-+=当时，，满足题意，0k =1y =当时，，，直线方程为，0k ≠22(24)40k k ∆=--=1k ∴=10x y -+=综上，直线的方程为或或；l 0x =1y =10x y -+=（2）抛物线的焦点坐标为，24y x =(1,0)则过焦点，F1)y x =-联立，解得或21)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩不妨令，，(3,M 1,3N ⎛ ⎝．163=【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．21．已知数列满足，．{}n a 11a =()13462,n n a a n n n *-=-+≥∈N (1)设，求证：是等比数列．2n n b a n=-{}n b (2)求数列的前n 项和．{}n a n S 【答案】(1)证明见解析；(2)2312n n S n n -=+-【分析】（1）利用等比数列的定义进行证明；（2）先求出数列的通项公式，利用分组求和的方法求和.{}n a 【详解】（1）证明：因为，所以1346n n a a n -=-+，()1111234623663213n n n n n n b a n a n n a n a n b ----=-=-+-=-+=--=⎡⎤⎣⎦因为，所以是公比为3，首项为的等比数列.11b =-{}n b 1-（2）由（1）知，所以，123n n n b a n -=-=-123n n a n -=-所以()()012121233333n n S n -=++++-++++ .()21133122132n n n n n n +--=⨯-=+--22．设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两1F 2F E 22221(0)x y a b a b +=>>1F E ,A B 点，113AF BF =（1）若的周长为16，求；24,AB ABF =∆2AF （2）若，求椭圆的离心率.23cos 5AF B ∠=E【答案】（1）；（2.5【详解】试题分析：（1）由题意可以求得，而的周长113,4AF F B AB ==113,1AF F B ==2ABF ∆为，再由椭圆定义可得.故.（2）设出1612416,28a AF AF a =+==212835AF a AF =-=-=，则且.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出的关系1F B k =0k >13,4AF k AB k ==,a k ，从而，，则，故()(3)0a k a k +-=3a k =2123,5AF k AF BF k ===22222||||BF F A AB =+，为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率12F A F A ⊥12AF F ∆c =E c e a ==（1）由，得.因为的周长为，所以由椭圆定义可得113,4AF F B AB ==113,1AF F B ==2ABF ∆16.故.12416,28a AF AF a =+==212835AF a AF =-=-=（2）设，则且.由椭圆定义可得.1F B k =0k >13,4AF k AB k ==2223,2AF a k BF a k =-=-在中，由余弦定理可得，即2ABF ∆22222222||||2cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，化简可得，而，故2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k =-+---⋅-()(3)0a k a k +-=0a k +>.于是有.因此，可得，故为3a k =2123,5AF k AF BF k ===22222||||BF F A AB =+12F A F A ⊥12AF F ∆等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率c =E c e a ==【解析】1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.。

四川省雅安市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线：和：垂直，则实数A. B. 1 C. 或1 D. 3【答案】A【解析】【分析】本题可以根据直线与直线的解析式以及两直线垂直的相关性质列出算式，然后通过计算得出结果。

【详解】由，解得，故选A。

【点睛】本题考查两直线之间的位置关系，主要考查两直线垂直的相关性质，有直线和直线垂直，则有，考查计算能力，是简单题。

2.若命题p：，，则为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】本题首先可以判断出命题是特称命题，然后根据特称命题的否定是全称命题，分别对量词和结论进行否定即可得出结果。

【详解】命题是特称命题，则命题的否定是：，，故选C。

【点睛】本题考查命题的否定，主要考查了全称命题与特称命题的否定的应用，特称命题的否定是全称命题，需要对量词和结论进行否定，是简单题。

3.中，若，，，则该三角形的形状是：（）A. 锐角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用空间向量模的公式求出三角形三边的长，从而可得结果.【详解】因为，，，所以，，，，所以，且，是等腰直角三角形，故选 D.【点睛】本题主要考查空间向量的线性运算以及空间向量模的公式的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先得出，由子集关系可得解。

【详解】?，但由包含了，得是充分不必要条件。

故选A【点睛】在判断充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件时转化为集合的关系。

等价于是的子集。

5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。

陕西省名校2019-2020学年数学二上期末质量跟踪监视模拟试题一、选择题1．不计算，估计下面算式的结果最接近80的是（）A．47+34 B．26+35 C．98－82．1米65厘米可能是（）A．妈妈的身高 B．音乐书的长度 C．旗杆的高度3．时是________分。

（）A．20 B．48 C．D．264．下图中，（）是角．A．B．C．D．5．算式( )的得数小于 60。

A．90－31 B．37＋24 C．86－19二、填空题6．3个6相加的和是（___），6个3相加的和是（___）。

7．同学们排队,小丽前面有14名同学,后面有16名同学,她所在的这队共有（____）名同学。

8．填上合适的长度单位（“厘米”或“米”）。

鞋大约长20（_______）床大约长2（_______）小朋友大约高110（_______）黑板约长4（_______）9．在( )里填上合适的长度单位。

一块橡皮长3（____）,一张床长2（____）,小平的身高是1（____）25（____）。

10．笔算加、减法都要把相同的数位对齐，都从（______）位算起。

11．已知□+□+□+□+□=25,□×○=30,则□=（______）,○=（______）。

12．找规律填数：（1）0、3、6、9、12、_____（2）1、4、9、16、25、_____13．在括号里填上“米”或“厘米”。

课桌高约75 （______）；一座楼房大约高15（______）；一根跳绳长约2（______）；粉笔大约长8（______）；小明身高约120（______）；一棵大树高18 （______）。

14．笔算两位数加、减两位数时，应注意（____）对齐，从（____）位算起。

15．下列物体的长是几厘米?铁钉长（_________）厘米铅笔长（__________）厘米三、判断题16．求两个数相差多少，一定要用减法计算。

（____）17．5个7与7个5的含义一样。

2022-2023学年四上数学期末模拟试卷一、我会选。

1．下列说法正确的是（）。

A．有教官做过统计，参加国庆70周年阅兵的每位队员每天平均站军姿不少于90分，踢腿次数高达800余次，每人每天在训练场大约进行29000步。

题中的90、800和29000都是近似数B．左图温度计表示0-15C≈万，□最大可以填9C．66976D．左图中有2条射线2．下面对于一万的描述，你认为不正确的是（）。

A．一万名学生大约可以组成200个班B．一万天大约是27年C．一万张纸叠起来大约是1米D．一万步大约需要在400米的跑道上走150圈3．一个自然数省略万位后面的尾数约为80万，这个数最大是（）。

A．804999 B．809999 C．800000 D．7999994．用简便方法计算25×44，不恰当的方法是（（）A．25×44＝25×（40+4）B．25×44＝25×4×11C．25×44＝25×40×45．北京颐和园的面积是3500000平方米，约合（）公顷．A．35 B．350 C．3500二、我会判断。

6．小华要写一张308个字的字帖，每分钟写31字，他10分钟就可以完成。

（______）7．赵静用量角器量角的度数时，误把外圈刻度看成内圈刻度，读出角的度数是30°，那么这个角的正确度数是150°。

（________）8．“小林家和学校相距1600 米，他从家走到学校用了25 分钟，他平均每分钟走多少米？”这道题要求的是路程。

（______）9．在同一平面内，不平行的两条直线一定互相垂直。

（________）三、我能填。

11．两个数的商是12，如果被除数不变，除数除以4，则商是（______）。

12．在横线上填上“L”或“mL”.一瓶洗衣液大约有3_____；一瓶绿茶是500_____.13．用0，1，5，6，8组成的最大的五位数是（_______），最小的五位数是（________）．14．妈妈用平底锅煎饼，每次最多煎两张，两面都要煎，每面需要3分钟，煎5张饼最快需要（__________）分钟，煎7张饼最快需要（__________）分钟。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。